Apostila Notacao Indicial UTFPR

Tensores: Tensores:

•• representam representam uma guma generalização eneralização dos dos vetoresvetores

•• são insão independentes dependentes do sisdo sistema tema de coode coordenadasrdenadas

••  são representados através de suas componentes em um dado  são representados através de suas componentes em um dado sistema

sistema Exemplos de Tensores Exemplos de Tensores

Escalar

Escalar - - número número (tensor (tensor de de ordem ordem zero): zero): 11 55

energia energia

Vetor (tensor de primeira ordem): Vetor (tensor de primeira ordem):

−− ⎧⎧ ⎨⎨ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎫⎫ ⎬⎬ ⎪⎪ ⎭⎭ ⎪⎪ 11 22 11 ,, uu vv w w ⎧⎧ ⎨⎨ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎫⎫ ⎬⎬ ⎪⎪ ⎭⎭ ⎪⎪,, aa aa aa 11 22 33 ⎧⎧ ⎨⎨ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎫⎫ ⎬⎬ ⎪⎪ ⎭⎭ ⎪⎪

Matriz (tensor de segunda ordem): Matriz (tensor de segunda ordem):

11 22 55 44 33 22 88 99 55 ⎡⎡ ⎣⎣ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎤⎤ ⎦⎦ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ,, 11 00 00 00 11 00 00 00 11 ⎡⎡ ⎣⎣ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎤⎤ ⎦⎦ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ,, matriz de tensões matriz de tensões σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σσ xxxx xxyy xxzz yyxx yyyy yyzz zzxx zzyy zzzz ⎡⎡ ⎣⎣ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎤⎤ ⎦⎦ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ aa aa aa aa 1111 1122 2211 2222 ⎡⎡ ⎣⎣ ⎢⎢ ⎤⎤ ⎦⎦ ⎥⎥

N

N

OTAÇÃO

OTAÇÃO

II

NDICIAL

NDICIAL

Algumas das equações que regem os problemas de Engenharia podem ser Algumas das equações que regem os problemas de Engenharia podem ser formuladas em termos de quantidades independentes das coordenadas. Estas formuladas em termos de quantidades independentes das coordenadas. Estas equações, normalmente, são bastante longas e seu “manuseio” pode ser equações, normalmente, são bastante longas e seu “manuseio” pode ser extremamente tedioso.

extremamente tedioso.

Neste tópico serão fornecidas algumas regras

Neste tópico serão fornecidas algumas regras para notação destas equações,para notação destas equações, que propiciam uma substancial economia de tempo, sem perda da capacidade de que propiciam uma substancial economia de tempo, sem perda da capacidade de fornecer informações por parte das equações. Adicionalmente, este conjunto de fornecer informações por parte das equações. Adicionalmente, este conjunto de

regras possui um

regras possui um formato bastante adequado à implementação computacional. Estaformato bastante adequado à implementação computacional. Esta notação é denominada

notação é denominada notaçãnotação io i ndicialndicial (NI). (NI).

1. R

1. Representação de Tensores em Notação Indi

epresentação de Tensores em Notação Indi cial

cial

Seja

Seja aa (a  (a ou ou a) um a) um vetor vetor de dde dimensão imensão 3:3: aa = = ⎧⎧ ⎨⎨ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎫⎫ ⎬⎬ ⎪⎪ ⎭⎭ ⎪⎪ aa aa aa 11 22 33 O vetor

O vetor aa pode ser representado por somente um símbolo subscrito (índice), o qual pode ser representado por somente um símbolo subscrito (índice), o qual representa a i-ésima coordenada do vetor

representa a i-ésima coordenada do vetor aa:: aa_ii Convenção:

Convenção:

•• índices índices latinos latinos (i, j, (i, j, k, l, k, l, ...) v...) variam de ariam de 1 a 1 a 3 (repres3 (representam entam o espo espaçoaço tridimensional)

tridimensional)

•• índices índices gregos gregos ((αα,, ββ,, γγ, ...) variam de 1 a 2 (representam o espaço, ...) variam de 1 a 2 (representam o espaço bidimensional

bidimensional Exemplos:

Exemplos:

Vetores: P

Vetores: P_αα ou  ou PP_ββ ou P ou P_γγ:: PP = = ⎧ ⎧_⎨⎨ ⎩⎩ ⎫⎫ ⎬⎬ ⎭⎭ P P P P 11 22 (bidimensional

(bidimensional - 2 - 2 componentes)componentes)

P P_ii ou ou PP _j j ouou PP_kk : : PP = = ⎧⎧ ⎨⎨ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎫⎫ ⎬⎬ ⎪⎪ ⎭⎭ ⎪⎪ P P P P P P 11 22 33 (tridimensional

(tridimensional - 3 - 3 componentes)componentes)

Matrizes: A

Matrizes: A_ijij : :  A A = = == ⎡⎡ ⎣⎣ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎤⎤ ⎦⎦ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ [[ ]]AA A A AA AA A A AA AA A A AA AA 1111 1122 1133 2211 2222 2233 3311 3322 3333 , , AA_αβαβ::  A A = = == ⎡ ⎡ ⎣⎣ ⎢⎢ ⎤⎤ ⎦⎦ ⎥⎥ [[ ]]AA AA AA A A AA 1111 1122 2211 2222 σ σ_ijij :: σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σσ 1111 1122 1133 2211 2222 2233 3311 3322 3333 ⎡⎡ ⎣⎣ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎤⎤ ⎦⎦ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥

2.

2. Convenção Soma - Índices Mudo

Convenção Soma - Índices Mudo ss

Considere a soma Considere a soma

ss aa xx== _{11 11} ++ aa xx_{22 22} ++ aa xx_{33 33} ++ aa xx_{44 44} ++  ++ aa xx_{nn nn}, , (1)(1) a qual pode ser

s a x_{i i} i n = =

∑

1 . (2)

Uma implementação computacional desta operação, utilizando a linguagem Fortran 77, é mostrada abaixo:

s = 0.0 do i = 1, n

 s = s + a(i) * x(i) end do

Naturalmente, esta rotina e a eq. (2) podem ser escritas de forma diferente, mas exatamente com o mesmo significado. Ou seja

s a x _{j j}  j n = =

∑

1 , (3.a) s a x_{m m} m n = =

∑

1 , (3.b) etc.

Os índices i, j e m, nas eqs. (2) e (3) são denominados índices mudos, visto que o

resultado final da equação é independente do índice utilizado. Convenção de Soma de Einstein:

Sempre que um índice aparece repetido em uma equação, este é um índice mudo e indica uma soma ao longo do intervalo 1, 2, 3, … n.

Desta maneira, as eqs. (1) a (3) podem ser escritas, em formato simplificado, suprimindo o símbolo de somatório, como:

s a x= _{i i} = a x_{j j} = a x_{m m} com i, j, m = 1, 2, 3, …, n. (4) Devido a natureza vetorial das equações que definem problemas de Engenharia e destas serem escritas, normalmente, nos espaços bi e tridimensional, pode-se adicionar uma nova convenção à convenção de soma de Einstein, desta feita relacionada ao intervalo de validade dos índices das equações. Assim:

Índices latinos: i, j, k, l, m, n, p, r, s, t, etc. Intervalo de variação: 1 a 3. Note-se que um índice

nunca

 poderá aparecer mais de duas vezes em uma equação. Ou seja, a expressão a_{mm m p}x x não  possui significado algum em NI. Além disso, a convenção soma pode ser empregada para somatórios duplos, triplos, etc. A seguir, alguns exemplos de utilização da convenção soma de Einstein:

v2 = v v_i =_i v v_{1 1} +v v_{2 2} +v v_{3 3}  (5.a) u v⋅ = u v_{α α} = u v_{1 1} +u v_{2 2}  (5.b) a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x ij i j = i i + i i + i i = = + + + + + + + + + + 1 1 2 2 3 3 11 1 1 12 1 2 13 1 3 21 2 1 22 2 2 23 2 3 31 3 1 32 3 2 33 3 3   (5.c)

3. Índices Livres

Considere o seguinte sistema de equações: v₁ = a x_{11 1} + a x_{12 2} +a_{13 3}x

v₂ = a x_{21 1} + a₂₂ x₂ +a₂₃ x₃  (6)

v₃ = a x_{31 1} + a₃₂ x₂ +a₃₃ x₃

Utilizando NI, as eqs. (6) podem ser escritas como v₁ = a_1m x_m

v₂ = a_2m x_m  (7)

v₃ = a_3m x_m

Através de uma notação simplificada, o conjunto de eqs. (7) pode ser escrito como

v_i = a_im x_m. (8)

Um índice que aparece somente uma vez em cada termo de uma equação (como o índice i  acima) é denominado índice livre  e pode variar em qualquer

intervalo. No caso de índices gregos, estes variam de 1 a 2. No caso de índices latinos, variam de 1 a 3.

A quantidade de índices livres em uma equação, escrita em NI, indica a ordem da variável final. Assim, um termo que não possua índice livre indica que este é um escalar. Caso ocorra somente um índice livre, este termo é um vetor, e assim por diante. No caso da eq. (8), esta indica que a i-ésima componente de um vetor (vi) é igual à i-ésima componente de outro vetor, calculado a partir do produto de uma matriz ([a]) por um vetor ({x}). Uma rotina em Fortran 77, representando este produto é:

do i = 1, 3 v(i) = 0.0 do m = 1, 3

v(i) = v(i) + a(i,m) * x(m) end do

end do

Deve-se enfatizar que, na rotina acima, o termo destacado em negrito corresponde exatamente à eq. (8).

O índice livre que ocorre em um termo de uma equação deve ser exatamente o mesmo índice livre dos outros termos desta equação. Assim, na soma de dois vetores a e b resultando em um vetor c, as equações podem ser escritas em formato expandido como:

c₁ = a₁ + b₁

c₂ = a₂ +b₂  (9)

c₃ = a₃ +b₃.

E em NI, esta pode ser simplificada para

c_n = a_n +b_n. (10)

A ocorrência de dois índices livres em uma equação indica que o resultado é uma matriz, sendo que todos os termos desta equação terão os mesmos índices livres. Assim, seja a seguinte equação escrita em NI:

D_ij = L U_{im jm}. (11)

D_ij = L U_{i1 j1}+ L U_{i2 j2} +L U_{i3 j3}. (12) Note-se que esta equação corresponde a 9 termos (i = 1, 2, 3 e  j = 1, 2, 3), os quais

podem ser expandidos como

D L U L U L U L U D L U L U L U L U D L U L U L U L U D L U L U L U L U D L U L U L U L U m m m m m m m m m m 11 1 1 11 11 12 12 13 13 12 1 2 11 21 12 22 13 23 13 1 3 11 31 12 32 13 33 21 2 1 21 11 22 12 23 13 33 3 3 31 31 32 32 33 33 = = + + = = + + = = + + = = + + = = + +        (13)

É interessante comparar o volume das eqs. (13) com a simplicidade da eq. (11).

Novamente, é importante frisar que uma expressão do tipo R_mn = S_mp  não possui qualquer significado em NI.

4. Delta de Kronecker

O delta de Kronecker (δ_ij) é a representação da matriz identidade e é definida, utilizando NI, como

δ_ij se i j se i j = = ≠ ⎧ ⎨ ⎩ 1 0   (14)

Ou seja, a matriz delta pode ser visualizada como

[ ]

δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ ij = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . (15)

A matriz delta de Kronecker possui algumas propriedades que podem ser visualizadas abaixo.

b) Seja a expressão δ_im a_m = a_i, bastante comum em expressões em NI. Expandindo-a tem-se

δ_1m a_m = δ_{11 1} +a δ₁₂ a₂ + δ₁₃ a₃ = a₁

δ_2m a_m = δ_{21 1}a δ+ ₂₂ a₂ +δ₂₃ a₃ = a₂  (17)

δ_3m a_m = δ_{31 1}a +δ₃₂ a₂ +δ₃₃ a₃ = a₃ Reescrevendo as equações acima:

para i = 1 → δ_{im m}a =a₁

para i = 2 → δ_{im m}a =a₂  (18)

para i = 3 → δ_{im m}a =a₃

Pode-se notar que as eqs. (18) representam a versão expandida de δ_im a_m = a_i.

c) δ_im A_mj = A_ij

 

(19)

Expandindo a equação acima

δ_1m A_mj = δ₁₁ A_1j + δ₁₂ A_2j+ δ₁₃ A_3j = A_1j

δ_2m A_mj = δ₂₁ A_1j +δ₂₂ A_2j + δ₂₃ A_3j = A_2j

 

(20)

δ_3m A_mj = δ₃₁ A_1j +δ₃₂ A_2j +δ₃₃ A_3j = A_3j Em forma geral tem-se

δ_im A_mj = A_ij

 

(21)

d) δ δ _{im mj} = δ_ij

 

(22)

Esta equação é idêntica à eq. (21), sendo que a matriz A, neste caso, é igual à matriz identidade.

f) Se e₁, e₂ e e₃ são vetores unitários normais entre si (por exemplo, vetores-base de um sistema cartesiano de coordenadas), então

e e_{i j} = δ_ij. (24)

Definindo dois vetores (a e b) neste sistema de coordenadas, estes são dados por

a = a₁ e₁ +a₂ e₂ +a₃ e₃ = a_i e_i (25.a)

e

b = b₁ e₁ +b₂ e₂ +b₃ e₃ = b_i e_i. (25.b)

O produto interno entre dois vetores pode ser escrito como

( ) ( )

(

)

a b⋅ = e ⋅ e = e e⋅ = = = = = + + a b a b a b a b a b a b a b a b i i j j i j i j i j i j i i j j δ 1 1 2 2 3 3   (26)

5. Símbolo de Permutação

O símbolo de permutação, denotado por ε_ijk , é definido em NI como

ε_ijk

se permutacao par  se permutacao impar 

se quaisquer indices i j k forem iguais

= + − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 1 1 0 , ,   (27) ou seja, ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 123 231 312 321 132 213 111 112 113 211 212 333 1 1 0 = = = + = = = − = = = = = =  =   (28)

Deve-se notar a seguinte propriedade neste símbolo:

Sejam e₁, e₂ e e₃ os vetores unitários normais que definem os vetores-base de um sistema cartesiano de coordenadas. Assim o produto externo (produto vetorial) entre estes vetores pode ser escrito como

e₁ × e₂ = e₃ e₂ × e₃ = e₁ e₃ × e₁ = e₂

e₂ × e₁ = − e₃ e₃ × e₂ = −e₁ e₁ × e₃ = −e₂  (30) e₁ × = × = × =e₁ e₂ e₂ e₃ e₃ 0

Estes produtos vetoriais podem ser escritos, em NI, de maneira simplificada como e_i ×e_j = ε _ijk e_k = ε _kij e_k = ε_jki e_k. (31)

Note-se a existência de índices mudos (soma implícita) na eq. (31). É deixada ao leitor a tarefa de expandir as eqs. (31) e mostrar que estas são equivalentes às eqs. (30).

Sejam os dois vetores (a e b) definidos, neste sistema de coordenadas, pelas eqs. (25). Realizando o produto externo entre ambos e igualando a um vetor c, esta

operação pode ser realizada como

(

)

(

)

(

)

(

)

c a b e e e e e e e e = × = + + × + + = = × a a a b b b a_{i i} b_{j j} 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3   (32)

+

1

2

3

-1

2

3

(a) - Permutação par (b) - Permutação ímpar. Figura 1: Definição de tipos de permutação entre 3 números.

Note-se que, na equação acima, ocorrem duas somas implícitas (índices mudos) e que os termos a_i e b_i representam as componentes de cada vetor e são escalares. Assim a eq. (32) pode ser simplificada como

( )

( ) ( )

c = a_i e_i × b_j e_j = a b_{i j} e_i ×e_j = a b_{i j ijk k}ε e , (33)

o que representa que o vetor c possui componentes cuja forma final é

c a b c a b c a b o c a b i j ij i j ij i j ij k i j i jk 1 1 2 2 3 3 = = = ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = ε ε ε ε log , . (34)

Assim, o vetor c pode ser escrito como

c = c_k e_k, (35)

onde as componentes ck são calculadas através da eq. (34).

6. Manipulações com Notação Indici al

A manipulação algébrica de equações escritas em NI, na maioria das vezes, é de grande valia, podendo simplificar extremamente o número de operações envolvidas. A seguir serão mostradas algumas destas manipulações e os cuidados a serem tomados quando de sua realização.

 A) Substit uição:

Sejam os dois escalares p e q, calculados a partir do produto interno de

vetores conhecidos. Assim,

p a b= _{m m}  (36.a)

e

O produto destes dois escalares pode ser realizado normalmente em NI, resultando em um outro escalar r . Entretanto, a expressão para r  não poderá conter o índice

mudo m repetido 4 vezes. Assim, é requerida a substituição dos índices mudos da expressão para o escalar p ou de q.

r = p q a b c d ⋅ = _{m m n n} =a b c d_{n n m m}. (37)

Note-se que a expressão (37) possui dois índices mudos indicando duas somas implícitas. É interessante o leitor realizar a expansão destas somas e mostrar que a expressão final corresponde ao produto de dois escalares (p e q), os quais são resultado de dois produtos internos.

B) Fatoração:

Seja uma matriz

_{[ ]}

T , conhecida e que define uma transformação de coordenadas no sistema cartesiano. Quando

_{[ ]}

T  é aplicada sobre um vetor genérico

{ }

n , resulta em um vetor

_{{ }}

p . A transformação

_{[ ]}

T  é responsável por uma rotação e um escalonamento do vetor

_{{ }}

n . Esta operação pode ser escrita, em notação matricial, como p p p T T T T T T T T T n n n 1 2 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 2 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⋅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪. (38)

Esta operação representa uma transformação linear   através da aplicação do

operador linear

_{[ ]}

T  sobre a variável

_{{ }}

n , resultando em um vetor

_{{ }}

p . Em NI, esta transformação pode ser escrita como

p_i = T n_{ij j}. (39)

O problema de autovalores/autovetores, associado à matriz de transformação

[ ]

T , corresponde à busca de três escalares (autovetores) relacionados a três vetores (autovetores). A característica principal do problema é que quando é realizada a transformação sobre um autovetor qualquer

_{{ }}

n , irá resultar em um vetor

{ }

p  na mesma direção do vetor

_{{ }}

n . A relação entre os módulos dos vetores

_{{ }}

p  e

{ }

n   é o escalar λ  (denominado autovetor associado à esta direção

_{{ }}

n ). Este problema pode ser escrito em notação matricial como

p p p T T T T T T T T T n n n n n n 1 2 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 2 3 1 2 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⋅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = ⋅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ λ   (40)

Em NI, a eq. (40) corresponde a

p_i = T n_{ij j} = λ n_i. (41)

Utilizando a matriz delta de Kronecker, tem-se que o último termo da eq. (41) pode ser escrita como

λ n_i = λ δ_ijn_j  (42)

e a eq. (41) resulta em

(

)

T n_{ij j} − = λ n_i T n_{ij j} − λ δ_ijn_j = − T_ij λ δ_ij ⋅ =n_j 0 . (43) Ou seja, a eq. (43) deve ser solucionada para obter os três valores característicos do problema. Note-se que, em notação matricial a eq. (43) corresponde a

T T T T T T T T T n n n n n n T T T T T T T T T n n n n n n 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 2 3 1 2 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 2 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 2 3 0 0 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⋅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪− ⋅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⋅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪− ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⋅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ λ λ δ δ δ δ δ δ δ δ δ   (44.a)

Simplificando, tem-se a forma final do problema de autovalores/autovetores associado à matriz [T]: T T T T T T T T T n n n 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 2 3 0 0 0 − − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⋅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ λ λ λ   (44.b)

C) Contração:

Seja uma matriz

_{[ ]}

T , conhecida. Define-se traço da matriz como sendo a soma dos termos da diagonal da mesma. Assim, pode-se calcular este escalar utilizando a matriz delta de Kronecker (também denominado tensor de contração),

da seguinte maneira:

[ ]

tr T = + + = =T₁₁ T₂₂ T₃₃ T_kk T_{ij ij}δ . (45) Ou seja, a soma dos termos da diagonal de uma matriz qualquer pode ser calculada fazendo o “produto” desta matriz pela matriz delta de Kronecker. Isto resulta em uma contração dos índices.

Exemplo:

A matriz de tensões em um ponto material P qualquer de um sólido pode ser

calculada em função da matriz de deformações (se o material é isotrópico, elástico e linear) através da lei de Hooke generalizada, dada por

σ ε ν ν ε δ ij = G ij + ₋ kk ij ⎛  ⎝  ⎜ ⎞  ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 1 2 . (46)

Neste caso, G é o módulo de elasticidade transversal e ν é o coeficiente de Poisson. Esta equação pode ser invertida, resultando em

ε σ ν ν σ δ ij = _G ij −⎛ _⎝ ⎜ _{+  ⎠⎟}⎞ kk ij ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 1 2 1 . (47)

A deformação volumétrica

_{( )}

ε_v  em um ponto pode ser calculada através da soma das três componentes de deformações lineares neste ponto. Assim, pode-se determinar a relação entre a deformação volumétrica e as tensões responsáveis pela mesma através da contração desta matriz. Esta operação e a operação de inversão

7. Tensores

A manipulação algébrica de equações escritas em NI, freqüentemente, recai em equações com dois ou mais índices livres. Neste caso, buscando uma homogeneidade da nomenclatura, define-se tensores.

Pode-se mostrar que tensores transformações lineares e, como tal, possui todas as propriedades destas operações matemáticas. Não é função deste texto mostrar estas propriedades. Entretanto, será fornecida somente a nomenclatura. Assim, em uma sentença escrita em NI, tem-se

termo com 0 _{índice livre escalar tensor de ordem zero}

termo com 1 _{índice livre vetor tensor de primeira ordem}

termo com 2 _{índices livres matriz tensor de segunda ordem}

termo com 3 _{índices livres - - - tensor de terceira ordem}

termo com 4 _{índices livres - - - tensor de quarta ordem} e assim por diante.

8. Simetria e Anti-simetria de Tensores de Segunda Ordem

Um tensor de segunda ordem (matriz) é dito ser simétrico se

_{[ ] [ ]}

T = T T, onde o símbolo

_{[ ]}

• T  denota o transposto da matriz. Assim, um tensor simétrico tem a propriedade

T_ij = T_ijT = T _ji, (48)

ou seja, T₁₂ = T₂₁, T₁₃ = T₃₁, e T₃₂ = T₂₃.

Um tensor de segunda ordem (matriz) é dito ser anti-simétrico se

[ ] [ ]

T = − T T. Assim, as componentes de um tensor anti-simétrico têm a propriedade

ou seja, T₁₁ = T₂₂ = T₃₃ = 0 e T₁₂ = −T₂₁, T₁₃ = −T₃₁, e T₃₂ = −T₂₃.

Qualquer tensor [T] pode ser decomposto na soma de um tensor simétrico e de um tensor anti-simétrico, ou seja,

T_ij = T_ijS +T_ijAs. (50)

Neste caso, estes tensores são dados por

T_ijS Tij Tij T T T ij ji = + = + 2 2   (51.a) e T_ijAs Tij Tij T T T ij ji = − = − 2 2 . (51.b)

É deixado como atividades para o leitor, mostrar que as eqs. (50) e (51) são válidas para qualquer tensor [T] de segunda ordem.

9. Operadores Diferenciais

1

A consideração de uma grandeza tensorial qualquer (escalar U, vetor {v} , matriz [T] ou tensor de ordem superior), dependente da posição de um ponto P, conduz ao conceito de função tensorial de ponto (ou função de posição), sendo do tipo escalar U P , vetorial

_{( )}

_{{ }}

v P , matricial

_{( )}

_[

T P ou tensorial de ordem superior.

_{( )}

_]

Se a cada ponto P de uma região Ω do espaço corresponde uma grandeza escalar ou vetorial, diz-se que esta grandeza é um campo escalar ou um campo vetorial. Generalizando, diz-se que é uma grandeza tensorial. Assim, a temperatura em cada um dos pontos em um ambiente qualquer é um campo escalar, enquanto que as velocidades das partículas de um fluido, internas a um recipiente, é um campo vetorial e a inércia de um ponto material em relação a um sistema de eixos de coordenadas é uma grandeza matricial.

Tendo como base estes campos tensoriais, pode-se definir uma série de outras funções denominadas operadores diferenciais. Alguns dos principais

1 _{Visando a aplicação da notação indicial, é conveniente denominar as direções cartesianas x, y, e z}

operadores diferenciais são gradiente, divergente e rotacional. Estes operadores possuem grande aplicação em problemas da Engenharia e é de vital importância o conhecimento dos conceitos relacionados aos mesmos.

9.1 Convenção Comma

Inicialmente, será discutida uma notação bastante simples e empregada na maioria das bibliografias relacionadas à área. Trata-se da convenção comm a. Esta convenção é baseada na substituição, pura e simples, do operador derivada parcial por uma vírgula. Assim, têm-se as seguintes equivalências matemáticas, válidas para qualquer campo tensorial:

∂ ∂ U x =U,1  (52.a) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 12 21 U x y U y x U U = = _, = _,   (52.b) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 3 2 3 2 112 121 211 U x y U y x U U U = = _, = _, = _,   (52.c) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 123 132 v y z v z y v v x ₌ x _{= =} , ,   (52.d) ∂ ∂ T y T xy ₌ 12 2,   (52.e) 9.2 Gradiente

Seja um campo U(P) ou U(x, y, z), onde as variáveis x (ou x1), y (ou x2) e z (ou x3) são as coordenadas do ponto P em relação a um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal fixo, uma função escalar característica de campo.

Denomina-se gradiente da função escalar U e se indica por grad U ao vetor grad U = ∂ e + e + e ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ U x U y U z 1 2 3, (53)

cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação às coordenadas x, y e z. Os vetores e e₁, ₂ e e₃ são os vetores unitários fundamentais do triedro do sistema de coordenadas de referência.

O operador gradiente associa um campo vetorial a um campo escalar e representa, resumidamente, a direção de maior crescimento da função escalar U no ponto onde foi calculado. A forma final do operador, aplicado a um campo escalar, escrito em NI é

(

grad U

)

U x U i i i = ∂ = ∂ , . (54)

Seja um campo v P( ) ou v (x, y, z), uma função vetorial característica de campo, dado por

(

)

(

)

(

)

v = v x y z₁ , , e₁ + v x y z₂ , , e₂ + v x y z₃ , , e₃. (55) Alguns exemplos de campos vetoriais são deslocamentos de pontos em uma estrutura quando carregada, as velocidades dos pontos de um fluido em escoamento, as forças de inércia em uma estrutura sólida sob aceleração, forças de superfície aplicadas sobre o contorno de um corpo, etc. O gradiente deste campo pode ser calculado, sobre cada componente, resultando em

[

grad v

]

= ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v x v y v z v x v y v z v x v y v z 1 1 1 2 2 2 3 3 3 . (56)

Note-se que a i-ésima linha da matriz corresponde ao vetor gradiente da função escalar que define i-ésima componente ( v_i) do vetor v. Uma interpretação geométrica deste tensor será dada posteriormente no estudo da cinemática de deformação de sólidos. Por outro lado, a eq. (56) pode ser escrita, em NI, como

[

grad v

]

_ij i  j i j v x v = ∂ = ∂ , . (57)

Da mesma maneira, o gradiente de um campo tensorial de ordem superior (tensões, por exemplo) pode ser calculado, resultando em

[ ]

[

grad T

]

T x T ijk ij k ij k = ∂ = ∂ , . (58)

Note-se que a aplicação do operador gradiente resulta no aumento da ordem da variável resultante. Ou seja, o gradiente de um escalar (tensor de ordem zero) resulta em um vetor (tensor de primeira ordem), o gradiente de um vetor resulta em uma matriz (tensor de segunda ordem), e assim por diante.

9.3 Divergente

Seja um campo tensorial T de qualquer ordem, uma função tensorial característica de campo. O divergente deste campo, o qual é associado a um parâmetro de crescimento desta função no ponto, pode ser calculado como

(

)

div T( ) = tr grad T . (59)

No caso de um campo vetorial u, o divergente deste campo é dado por

(

)

div( )u = tr grad u = ⋅ = = + +u_{i j,} δ_ij u_{k k,} u_11, u_{2 2,} u_{3 3,} . (60)

O divergente de um campo tensorial de segunda ordem T é calculado por

[ ]

( )

(

[ ]

)

div T = tr grad T = T_{i j k} ⋅_, δ_jk = T_{ik k} =_, T_i11, +T_{i2 2} +_, T_{i3 3,} . (61)

Será mostrado, no transcorrer do curso, a relação existente entre estas definições puramente matemáticas e conceitos e variáveis de grande importância para a compreensão do processo de deformação dos meios contínuos em geral.

9.4 Rotacional de um Campo Vetorial

Seja  A  um campo vetorial. O rotacional desse campo é dado pelo produto vetorial entre o operador gradiente (∇) e o vetor A.

rot x A

x  j

i ijk k ( ) A = A = ∂

10 Transformação de Coordenadas

Sejam x ( x₁, x₂, x₃) e x' ( x'_{1, x}

2

' _{, x}

3

' _{) dois sistemas de coordenadas} cartesianos, tendo em comum a origem. Um ponto P, de coordenadas x_i em relação ao primeiro sistema de coordenadas, terá coordenadas x_i' no segundo sistema. A seguir será visto como essas coordenadas se relacionam e desta forma como faz-se a transformação de coordenadas de tensores.

10.1 Sistema de Coordenadas Bidimensional

θ

θ

x

1 '

x

₁

x

'₂

x

₂

P

Figura 2: Transformação de coordenadas: sistema bidimensional. x'₁ = x₁cosθ +x₂senθ

x'₂ = − x₁senθ +x₂cosθ

Observando a figura 2, tem-se

cos( , ) cosx x₁' ₁ = θ α= ₁₁

cos( , ) cos(x x₁' ₂ = 90 − = θ ) senθ α= ₁₂

cos( , ) cos(x x'_{2 1} = 90 + = θ ) − senθ α= ₂₁

cos( , ) cosx x'_{2 2} = θ α= ₂₂ e 2 12 1 11 '   _{x  x}  x 1 α  α 

+

=

2 22 1 21 '   x  x  x 2 α  α 

+

=

ou x x x x 1 1 2 11 12 21 22 2 ' ' ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ =  ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎧⎨ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎭⎪ α α α α

Em notação indicial:

x

_α '

=

α

_{αβ β}

x

_{Lei de Transformação de Coordenadas para}

Tensores de Primeira Ordem

α_αβ =cos(x x _{α β}' ; ) cossenos diretores do sistema x'. 10.2 Sistema de Coordenadas Tridimensional

x

₂

x

'₃

x

₃

x

₁

P

x

₂'

x

'₁  x₂'   x₁'   x₃'   x₁  x₂  x₃

Figura 3: Transformação de coordenadas: sistema tridimensional. Da mesma forma que para o sistema de coordenadas bidimensional, tem-se

x

_i'

= α

_ij

x

_{j αij = cos( ; )x xi}' _j

Característica dos cossenos diretores: α α _{ki kj} =δ_ij

Transformação de coordenadas para tensores de várias ordens

• Ordem zero - escalar: invariante com o sistema de coordenas

• Primeira ordem - vetor:

A

_i'

= α

_ij

A

_j

E

XERCÍCIOS

• Exercício 1. Dados os tensores,

[ ]

T = − − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 1 0 3 0 4 2 3 2 4 e

_{{ }}

n = ⋅ − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ 1 3 2 1 1 4 , calcule: a) T_pp b) H_ij = Tpp _ij 3 δ c) Hqq d) S_ij = T_ij − Tpp _ij 3 δ e) Sqq f) T Tij ij g) T n_{ij j} h) T n n_{ij i j} i) n n_{i i} • Exercício 2.

Dada a seguinte relação entre os tensores tensão

_{[ ]}

σ  e deformação

_{[ ]}

ε

σ ε ν ν ε δ ij = G ij + ₋ kk ij ⎛  ⎝  ⎜ ⎞  ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 1 2 ,

mostre que a energia de deformação específica U, calculada através da expressão

U = 1

(

)

2 σ ε σ ε σ ε σ ε 11 11+ 12 12 + 13 13 + 21 21+  +σ ε33 33 ,

pode ser escrita em NI como

( )

U = 1

−

4 2 2 G σ σij ij E kk ν σ

,

onde E = 2G

₍

1+ ν

₎

.

• Exercício 3. Dados os tensores,

[ ]

S = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 0 1 2 1 2 3 2 3 1 ,

_{{ }}

p = ⋅ ⋅ − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ 1 3 2 1 1 4 e

_{{ }}

q = ⋅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ 1 25 3 0 4

a) calcule r_k = ε_ijk p q_{i j} e mostre que este resultado é o mesmo que o produto vetorial r = ×p q;

b) calcule ε_ijk p p_{i j} e mostre que este resultado é válido para qualquer vetor p; c) calcule S_ijS = 1

(

S_ij +S_ji

)

2 e mostre que o tensor Sij

S  _{é simétrico e válido para}

qualquer tensor [S];

d) calcule S_ijAs = 1

(

S_ij −S_ji

)

2 e mostre que o tensor Sij

As  _{é anti-simétrico e válido}

para qualquer tensor [S];

e) calcule os traços dos tensores S_ijS e S_ijAs.

• Exercício 4.

Seja o campo vetorial u P( ) ou u  (x, y, z), uma função vetorial característica de campo, dado por

(

)

(

)

(

)

u = u x y z₁ , , e₁ + u x y z₂ , , e₂ + u x y z₃ , , e₃

a) mostre a obtenção do tensor gradiente de u, em NI e em formato expandido (matriz expandida);

b) obtenha o divergente de u;

c) obtenha a parcela simétrica  do tensor gradiente de u, nos dois formatos especificados acima;

d) idem para a parcela anti-simétrica;

• Exercício 5.

A seguir é fornecido o campo de deslocamentos u na estrutura visualizada abaixo.

(

)

u x y z

R

z

R

x

R

y

m z

y

1

, ,

= −

₂

1

_⋅

⋅

2

−

₂

_⋅

⋅

2

+

₂

_⋅

  ⋅ − ⋅ + ⋅ +

2

ν

ν

α

γ

(

)

u x, y, z

R

x y n z

x

2

= − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +

ν

α

β

(

)

u x, y, z

1

R

x z m x n y p

3

= + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

Neste caso, R é o raio de curvatura da viga, ν o coeficiente de Poisson e m, n, p, α,

β e γ são constantes a serem determinadas. Assim, para este problema pede-se: a) obtenha o tensor gradiente de u;

b) obtenha o divergente de u;

c) obtenha a parcela simétrica do tensor gradiente de u; d) obtenha a parcela anti-simétrica do tensor gradiente de u;

• Exercício 6.

Encontre a forma final das equações a seguir: a) ε ε_{ijk k ji} b) ε δ_{ijk ij} x y M M z x M P₁ P₂ P3