Um estudo de Caso para o Modelo qgm: Interferômetro de Mach-Zehnder

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Um estudo de Caso para o Modelo qGM:

Interferˆometro de Mach-Zehnder

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Rafael Burlamaqui Amaral†_{, Renata Reiser, Antˆonio Carlos da Rocha Costa} 1_{Universidade Cat´olica de Pelotas (UCPEL)}

Programa de Pós-Graduação em Informática (PPGINF) Mestrado em Ciência da Computação

Rua Felix da Cunha, 412 – Pelotas – RS – Brazil {rafaelbba,reiser,rocha}@ucpel.tche.br

Abstract. This paper discusses an interpretation of Mach-Zehnder interferom-eter based on the qGM model. The ordered structure of the qGM model shown capable of represent the processes construction and quantum states based on the conception of partial objects, considering the inclusion relation as the order of information. For the partial representation of unit transformation and asso-ciated states with systems of one q-bit, was obtained an interpretation to the different ways on the interferometer according with the results expected by the interference phenomenon. However, this interpretation cannot be obtained out of the conceptual scheme of Domain Theory, and it requires an extension of the description of circuit language.

Resumo. Este artigo aborda uma interpreta¸cão do Interferômetro de Mach-Zehnder baseada no modelo qGM. A estrutura ordenada do modelo qGM mostra-se capaz de representar a constru¸cão dos processos e dos estados quânticos baseado na concep¸cão de objetos parciais, considerando a rela¸cão de inclusão como a ordem de informa¸cão. Pela representa¸cão parcial das trans-forma¸cões unitárias e estados associados a sistemas de um q-bit, obteve-se uma interpreta¸cão para os distintos caminhos no interferômetro que está de acordo com os resultados esperados pelo fenômeno da interferência. Entretanto, esta interpreta¸cão não pode ser obtida fora do esquema conceitual da Teoria dos Dom´ınios, exigindo uma extensão da linguagem de descri¸cão de circuitos.

1. Introduc¸˜ao

O modelo de Máquina Geométrica (qGM) [Reiser et al. 2007b, Reiser et al. 2007a] está fundamentado na teoria dos dom´ınios [Abramsky and Duncan 2004]. Na versão quântica desse modelo, os objetos do dom´ınio de estados S∞ e do dom´ınio de processos D∞ são conjuntos coerentes que interpretam os estados e processos quânticos, ambos rotula-dos por pontos de um espaço geométrico, constituindo o espaço coerente de posições de memória Q e caracterizando a base computacional para o espaço de Hilbert. A construção do dom´ınio de estados e de processos é obtida em n´ıveis ou subdom´ınios, modelando as poss´ıveis dimensões do sistema quântico. O processo de completação garante interpretação para estados e processos possivelmente infinitos. Pela aplicação

∗_{Projeto Parcialmente Financiado CNPq}_{/Universal (Processo 476933/20072)} †_{Bolsista CAPES}

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de funções estáveis, obtém-se, em cada n´ıvel, a interpretação para o paralelismo quântico. A computação é concebida como uma transição de estados associada a uma localização espacial, e as transformações unitárias são obtidas a partir da sincronização de processos elementares clássicos, satisfazendo as condições de normalização e ortogonalidade.

Uma das principais contribuições do modelo qGM é a possibilidade de mode-lagem da informação a partir da representação parcial associada aos estados e proces-sos, apresentando uma interpretação semântica uniforme para fenômenos inerentes à computação quântica, como a descrição da interferência quântica. Assim, o objetivo deste trabalho é apresentar a evolução de estados e portas quânticas, referentes à versão quântica do Interferômetro de Mach-Zehnder (IMZ), desde a construção da estrutura or-denada que constrói a informação referente aos estados deste sistema, passando pela construção dos conjuntos coerentes que correspondem à transição dos estados associados. Mostram-se que as interpretações associadas aos objetos parciais são capazes de descr-ever as transformações que ocorrem quando da evolução dos estados em cada um dos caminhos individuais do interferômetro, e de forma independente. Esta descrição aux-ilia a compreensão e aplicação da interferência, e não pode ser obtida fora do esquema conceitual da Teoria dos Dom´ınios, modelando as construções computacionais parciais.

A descrição da porta óptica IMZ é considerado na Seção 2. Posteriormente, apresenta-se sua interpretação no modelo qGM, incluindo uma breve análise compara-tiva com o modelo de circuitos. Na conclusão, os resultados alcançados são resumidos.

2. Fenˆomeno da Interferˆencia

O fenômeno de interferência é de fundamental importância na discussão dos conceitos básicos da F´ısica Quântica envolvendo superposição e medidas. Segue-se, por con-seqüência, sua importância como instrumento para compreensão e desenvolvimento de algoritmos quânticos, gerando superposição quando da entrada de dados clássicos e in-duzindo a ocorrência de interferência construtivas nas sa´ıdas (medidas) relevantes.

Este trabalho considera o Interferômetro de Mach-Zehnder (IMZ), por tratar-se de instrumento análogo ao experimento de dupla fenda [Lula. 2004, Imre and Balázs 2005, Nielsen and Chuang 2000], que apresenta uma forma simplificada e atual do fenômeno de interferência, facilitando sua compreensão, incluindo acesso às ferramentas para simulação desse experimento, como o Interferômetro Virtual de Mach-Zehnder [Ricci T. F. 2007]. Os principais conceitos na definição de um interferômetro, e consid-erados quando de sua interpretação na qGM, são a introdução de uma mudança de fase entre diferentes caminhos ópticos e a superposição das ondas assim defasadas.

A versão quântica da porta óptica IMZ está baseada na diminuição da intensidade do feixe, induzindo a emissão intermitente de fótons. Neste caso, tornam-se necessários detectores suficientemente sens´ıveis, localizados ao final doaparato, capazes de detectar a presença de fótons únicos denominados feixes monofotônicos [Junior 2003].A estrutura e o funcionamento da porta óptica pode ser graficamente representado como na Figura 1. Tem-se uma entrada para os poss´ıveis caminhos, representados por |0i e |1i na notação de Dirac [Knill and Laflamme 1998]. Verifica-se que o aparato possui dois espelhos semi-refletores (ES1, ES2) e dois semi-refletores (E1,E2). Um espelho semi-refletor é um dispositivo que reflete metade da onda de luz incidente, transmitindo a outra metade sem ser afe-tada, introduzindo desta forma, diferentes atrasos na propagação ao longo dos caminhos.

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Quando não ocorre reflexão de parte da luz, os espelhos não causam perdas.

Tem-se também a presença de defasadores θ0 e θ1que podem representar, por ex-emplo, uma mudança no tamanho do percurso nos caminhos ópticos do interferômetro, caracterizando uma mudança de fase dos feixes de onda. Na seqüência, os feixes de ondas passam novamente por um espelho semi-prateado, para finalmente alcançarem os dispositivos D0 e D1 (detectores da intensidade da onda nas respectivas sa´ıdas do in-terferômetro). Como cada componente da onda incidente se desloca por um caminho distinto, poder´ıamos esperar que cada detector D0 e D1 medisse 50% do feixe mono-fotônico. Mas o experimento mostra que 100% do feixe original incide no detector D₁ (superposição construtiva de onda em D1) e, portanto, em D0 não ocorre registro (superposição destrutiva de onda em D0 [Lima and Júnior 2007]. Portanto, o uso do in-terferômetro viabiliza a verificação do comportamento ondulatório do feixe de luz.

De relevância para a F´ısica Quântica, salienta-se que esse comportamento da luz no aparato é mantido mesmo quando o feixe de entrada é constitu´ıdo por um único fóton incidente em cada instante, o que marca o estranhamento t´ıpico dos processos quânticos, dado que a interferência só seria poss´ıvel nesse caso se o fóton pudesse percorrer os dois caminhos ao mesmo tempo para, no final, interferir consigo mesmo [Deutsch et al. 2001].

Figura 1.Porta ´Optica do IMZ.

Figura 2.Circuito Qu ˆantico do IMZ.

2.1. Interferˆometro em Circuitos

Aplica-se a linguagem de circuitos na descrição do IMZ. Na Figura 3, introduzida em [Imre and Balázs 2005, Lula. 2004], faz-se uso de portas quânticas sobre estados de 1 q-bit, sendo que o estado inicial é indicado por |φ0i. Cada espelho semi-prateado está representado por uma porta Hadamard (H), e os defasadores θ0e θ1são representados pela porta unitária Phase (P). A evolução do sistema pode ser observada pela transformação dos estados a partir de |ϕ0i, resultando em novos estados |ϕ1i, |ϕ2i e |ϕ3i.

Aplicando-se uma abordagem baseada na Álgebra Linear e restringindo-se ao es-tudo do espaço de Hilbert bi-dimensional l2(H 2), considera-se na base computacional {|0i, |1i}, um vetor (α, β), com α, β números complexos satisfazendo a condição de nor-malidade α2+ β2 = 1, representa o q-bit |Ψi = α|0i + β|1i ∈ H2. As portas quânticas básicas são transformações lineares U (no caso H e P) definidas por matrizes unitárias de ordem 2, tais que U†

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U. A evolução temporal no circuito, associado à Figura 3, tem as seguintes etapas de desenvolvimento, aplicando a notação de Dirac e a notação matricial:

|ϕ1i= H|ϕ0i ou ainda       1 √ 2 1 √ 2       = 1 √ 2 1 1 1 −1 ! 1 0 ! (1) |ϕ₂i= P|ϕ₁i√1 2 ou ainda eiθ0 eiθ1 ! = e₀iθ0 _e0iθ1 !       1 √ 2 1 √ 2       (2) |ϕ3i= H|ϕ2i ou ainda 1 2 eiθ0+ eiθ1 eiθ0_{− e}iθ1 ! =        1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 − 1 √ 2                   eiθ0 1 √ 2 eiθ1 1 √ 2            (3)

A fatorac¸˜ao da Eq. (3), resulta em: |ϕ₃i= 1 2e i 2(θ0+θ1) (e i 2(θ0−θ1)_{− e}−i2(θ0−θ1) (e2i(θ0−θ1)+ e −i 2(θ0−θ1)) ! (4)

Substituindo-se as exponenciais pelas funções trigonométricas, reduz-se a Eq. (4) à forma

|ϕ3i= e i 2(θ0+θ1)_(isin(θ0−θ1 2 )|0i+ cos( θ0−θ1 2 )|1i) (5)

Omitindo-se a express˜ao e2i(θ0+θ1)e sendo 4θ

2 = θ0−θ1

2 , a Eq. (5) reduz-se `a express˜ao: |ϕ3i= isin(

4θ

2 )|0i+ cos( 4θ

2 )|1i. (6)

Pela observação da Eq. (6), verifica-se que se P0 = sin2(4θ₂ ), e 4θ= 0 então P0 = 0; caso contrário, se P1 = cos2(4θ₂), e 4θ = 0 então P1 = 1. Ou seja, a aplicação de um feixe monofotônico no interferômetro mostra que este irá interagir consigo mesmo, produzindo interferência construtiva num dos detectores, e interferência destrutiva no outro detector. 2.2. Interferômetro no modelo qGM

Consideram-se agora os resultados obtidos em [Reiser et al. 2007b, Reiser et al. 2007a], para obter a interpretação no modelo qGM dos estados |ϕii0≤i≤3 e portas quânticas U (H, P) relativos ao interferômetro de Mach-Zehder, apresentado na Seção 2. Esta interpretação estende-se ao conjunto de estados e de processos, incluindo uma análise comparativa com o modelo de circuitos quânticos.

2.2.1. Interpretac¸˜ao de estados

Cada estado |ϕii0≤i≤3 descrito na Seção 2 está associado, no modelo qGM, a uma função estável ϕ_i0≤i≤3, definida do dom´ınio de posições Qω para para o dom´ınio de valores de memória C (conjuntos coerentes de números complexos normalizados).

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Seja SI o subespaço coerente de estados quânticos associado a porta IMZ. Para cada conjunto coerente x ∈ SI, tem-se o correspondente traço = tr(x) ∈ SI, ou seja, x pode ser descrito pelo conjunto de pares ordenados αn ≡ (ρ, θ)n ∈ x. Assim, tr(x) possui no máximo duas posições (0.0 e 1.0) associadas a valores de memória normalizados não-nulos1, ou ainda, tr(ϕ) ≡ {α0.0, β0.1}_{|α|2_+|β|2_≤1}.

Nesta interpretação, os subconjuntos coerentes maximais para a condição de normalização são objetos totais em SI, dados pela expressão tr(ϕi)0≤i≤3 = {α0.0

i , β 0.1

i }{|αi|2+|βi|2=1}. Os estados |ϕii indicados na Figura 3 s˜ao modelados em SI pelos conjuntos coerentes:

• tr(ϕ0)= {(1, 0)0.0, (0, 0)1.0}; • tr(ϕ1)= {(√1₂, 0)0.0, (√1₂, 0)1.0};

• tr(ϕ2)= {(√1₂eiθ0, 0)0.0, (√1₂eiθ1, 0)1.0}; • tr(ϕ3)= {(sin(4θ₂), π₂)0.0, (cos(4θ₂), 0)1.0}. Salienta-se que os subconjuntos coerentes n˜ao-vazios {(√1

2, 0)

0.0_{} e {(}_√1 2, 0)

1.0_{} em S} I inter-pretam estados parciais (aproximações não maximais para a condição de normalização) do estado tr(ϕ1)= {(√1₂, 0)0.0, (√1₂, 0)1.0}. Tem-se que:

• {(√1 2, 0)

0.0_{} corresponde ao traço da função que ainda está indefinida na posição} 1.0, ou seja, tem-se que primeira componente da superposição |ϕ1i recebe o valor (√1

2, 0) e todas as demais posições tem valor (0, 0), exceto a posição |1i que está indefinida (recebe ⊥, indicando o conjunto vazio). Logo o conjunto coerente {(√1

2, 0)

0.0_{} interpreta o estado parcial} _√1

2|0i+⊥|1i (veja representac¸˜ao na Figura 3.) • {(√1 2, 0) 1.0_{} ⊆ {(}_√1 2, 0) 0.0, (_√1 2, 0)

1.0_{} corresponde ao traço da função que ainda está} indefinida na posição 0.0. Neste caso, o conjunto coerente {(√1

2, 0)

1.0_{} interpreta o} estado parcial ⊥|1i+ √1

2|1i.

De forma análoga, obtém-se os demais os estados parciais apresentados nos distintos caminhos do interferômetro da Figura 3:

• {(√1 2e

iθ0, 0)0.0_{} para} _√1

2e

iθ0_|0i+ ⊥|1i; _{• {(}_√1

2e

iθ1, 0)1.0_{} para ⊥|0i}+ _√1

2e iθ0_|1i; • {(sin(4θ₂),π₂)0.0_{} para i(sin(}4θ

2)|0i+⊥|1i; • {(cos( 4θ

2), 0)

1.0_{} para ⊥|0i}_+(cos(4θ 2)|1i. Esta análise estende-se aos demais conjuntos coerentes que interpretam os estados |ϕii0≤i≤3, de tal forma a se obter uma interpretação para os distintos caminhos no inter-ferômetro, de forma independente.

2.2.2. Interpretac¸˜ao de Processos

Define-se, nesta seção o procedimento de construção dos espaços coerentes relaciona-dos com as portas unitárias Hadamard e Phase, bem como sua correspondência com o modelo de circuitos[Knill and Nielsen 2002, Lula. 2004, Junior 2003]. O conceito mais fundamental, na interpretação proposta em [Reiser et al. 2007a, ?], é o de um processo elementar, o qual pode ser descrito como uma transição entre estados clássicos executada em uma unidade de tempo computacional (1utc). Uma transformação unitária é definida pela sincronização de processos elementares clássicos.

1_{Pares com valores de memória nulos serão omitidos na representação, quando não relevantes no}

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Figura 3.Circuitos ´opticos parciais do interfer ˆometro.

Seja pri. j a notação para função projeção na posição de memória i. j ∈ Qω. Para interpretação das portas H e P no interferômetro, considera-se a Prop. 1 apresentada em [?], referente às seguintes operações clássicas:

•h(0.0)_(s)(k) ₌ ( _{s(1.0) :}= pr(1.0)_(s)_{= s(1.0),} s(0.0) := {√1 2s(0.0)+ 1 √ 2s(1.0)}, •h(1.0)_(s)(k) ₌ ( _{s(0.0) :}= pr(0.0)_(s)_{= s(0.0),} s(1.0) := {√1 2s(0.0) − 1 √ 2s(1.0)}. •p(0.0)_(s)(k) ₌ ( s(1.0) := pr(1.0)(s)= s(1.0), s(0.0) := eiθ0_s(0.0), •p (1.0)_(s)(k) ₌ ( s(0.0) := pr(0.0)(s)= s(0.0), s(1.0) := eiθ1_s(0.0).

Aplicando-se a Def. 4.2 em [?], tem-se que H0 = {h(0.0), h(1.0)_{} ∈ D}1 é o subconjunto coerente interpretando a porta Hadamard, quando aplicada na posição 0 (q-bit 0) no modelo qGM. Os correspondentes objetos parciais são:

• {h(0.0)_{} ∈ D} 1 interpretando 1 √ 2 1 √ 2 ⊥ ⊥ ! • {h(1.0)_{} ∈ D} 1interpretando ⊥ ⊥ 1 √ 2 1 √ 2 ! • {p(0.0)_{} ∈ D} 1 interpretando eiθ0 ₀ ⊥ ⊥ ! • {p(1.0)_{} ∈ D} 1interpretando ⊥ ⊥ 0 eiθ1 !

Além disso, tem-se uma interpretação para a evolução (em etapas) dos estados, mostrando-se separadamente o que ocorre em cada um dos caminhos do interferômetro. No caso do percurso |0i, observam-se os seguintes resultados parciais:

• Primeira etapa do percurso |0i: _√1

2|0i+ ⊥|1i ⇒       1 √ 2 ⊥       =       1 √ 2 1 √ 2 ⊥ ⊥       1 0 !

• Segunda etapa do percurso |0i: _√1 2e

iθ0_|0i+ ⊥|1i ⇒

       eiθ0 √ 2 ⊥       = eiθ0 ₀ ⊥ ⊥ !       1 √ 2 ⊥      

A evolução dos estados pelo outro caminho, |1i pode ser constru´ıda de forma análoga: • Primeira etapa do percurso |1i:⊥|0i+ √1

2|1i ⇒       ⊥ 1 √ 2       =       ⊥ ⊥ 1 √ 2 −1_√ 2       1 0 !

• Segunda etapa do percurso |1i:⊥|0i+ √1 2e iθ1_{|1i ⇒}        ⊥ eiθ1 √ 2       = ⊥ ⊥ 0 eiθ1 !       ⊥ 1 √ 2      

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Por fim, tem-se que, pela a união das aproximações parciais referentes a segunda etapa, nos diferentes caminhos do IMZ, {(√1

2e

iθ0, 0)0.0_{} ∪ {(}√1 2e

iθ1, 0)1.0_{} obtém-se o estado de} superposiçãoeiθ0

√ 2|0i+

eiθ1

√

2|1i. Aplicando-se as portas parciais da transformac¸˜ao H, tem-se: • Estado parcial incidindo no detector D0:isen4θ₂|0i+ ⊥|1i ⇒

      1 √ 2 1 √ 2 ⊥ ⊥              1 √ 2e iθ0 1 √ 2e iθ1       

• Estado parcial incidindo no detector D1:⊥|0i+cos4θ₂|1i ⇒       ⊥ ⊥ 1 √ 2 − 1 √ 2              1 √ 2e iθ0 1 √ 2e iθ1       

Portanto, o estado final |ϕ3i = isen4θ₂|0i + cos4θ₂|1i ´e obtido pela uni˜ao dos subcon-juntos coerentes {(sin(4θ₂),π₂)0.0_{} e {(cos(}4θ

2), 0)

1.0_{} correspondendo aos estados parciais} isen4θ₂|0i+ ⊥|1i e ⊥|0i + cos4θ₂ |1i, respectivamente.

3. Resultados Alcanc¸ados

O modelo qGM introduz uma nova interpretação baseada na parcialidade dos objetos que constroem o dom´ınio de interpretações para computação quântica. As abstrações do modelo qGM podem ser aplicadas na interpretação dos algoritmos descritos na linguagem universal de circuitos, com uma adicional abordagem, capaz de mostrar que a evolução de sistemas quânticos, referente às construções s´ıncronas como estados e processos, também pode ser interpretada a partir da análise dos objetos parciais. Esta construção indutiva e uniforme da informação generaliza as interpretações já obtidas em sistemas clássicos.

A Tabela 1 apresenta um resumo, restrito à compreensão obtida neste trabalho, das correspondências entre os modelos para computação quântica estudados. No caso, a noção de aproximação entre objetos parciais é definida pela relação de inclusão e mod-ela as computações na qGM, as quais interpretam a evolução dos estados de sistemas quânticos graficamente representados por circuitos. Os conjuntos coerentes de operações ortogonais (ou valores de memória) indexados por pontos de um espaço geométrico mod-elam os processos (ou estados) quânticos que correspondem a matrizes unitárias (ou ve-tores) do espaço de Hilbert que fundamenta a mecânica quântica.

O estudo de caso apresenta as interpretações obtidas para o IMZ, detalhando que a composição das portas quânticas, como Hadamard e Phase, pode ser definida pelas cor-respondentes representações parciais, e tal parcialidade permite descrição explicitamente de todas as partes cr´ıticas para compreensão do fenômeno da interferência quântica. Ou seja, a computação que ocorre em cada caminho independente, pode ser sincronizada, modelando a computação que ocorre quando da superposição dos caminhos no IMZ.

Tabela 1.Comparativo entre Modelos Computacionais

Teoria dos Dom´ınios Modelo Semˆantico Modelo F´ısico

Dom´ınios Qualitativos Modelo qGM Circuitos Quˆanticos

relação de inclusão ⇔ computações ⇔ noção de evolução (noção de aproximação) (objetos parciais) (construção temporal)

conjuntos coerentes ⇔ estado de mem´oria ⇔ vetores de Hilbert

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4. Considerac¸˜oes Finais

Na computação quântica, o processamento da informação pode ser modelado pelo uso do q-bit como abstração para codificação da informação. Intuitivamente, pelo fenômeno da interferência, verifica-se que o q-bit pode existir nos estados clássicos ou em superposição, neste caso acrescido do coeficiente numérico indicando a probabilidade de estar em cada um dos estados clássicos. Este comportamento, ora corpuscular ora ondu-latório, gera propriedades especiais (superposição) dos q-bits. O uso destas propriedade pode ser analisado quando de sua evolução no Interferômetro de Mach-Zehnder, e faz com que a computação quântica introduza novas fronteiras com relação à velocidade e complexidade de computações, se comparadas ao caso clássico. O trabalho apresenta um estudo de caso para a construção da estrutura ordenada que interpreta o IMZ no modelo qGM, incluindo uma comparação com o modelo de circuitos quânticos. Através de obje-tos parciais, obteve-se uma interpretação para os distinobje-tos caminhos no interferômetro que está de acordo com os resultados esperados pelo fenômeno da interferência. Os trabalhos futuros investigam a interpretação na qGM do algoritmo de Deutsch e de Grover.

Referˆencias

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