EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS PARA COMPREENDER
O FENÔMENO CÂNCER
Carla Alves dos Santos Venturin1 Universidade Federal do Tocantins
carlaalvesantos28@gmail.com José Carlos de Oliveira Junior2 Universidade Federal do Tocantins
jc.oliveira@mail.uft.edu.br Resumo:
Neste trabalho traremos a importância das equações diferenciais parciais para resolver problemas dos fenômenos que nos circundam. Para abranger a importância deste conteúdo, inicialmente explicaremos o que venha a ser uma equação diferencial parcial e ordinária, logo em seguida explicaremos como a resolvemos, e por fim, mostraremos algumas aplicações.
Palavras-chave: Modelo para o câncer. Equações Diferenciais Parciais. Aplicação. Matemática salvando vidas
As equações diferenciais parciais nasceram da necessidade de explicar/modelar os fenômenos que nos cercam; por exemplo, para determinarmos a taxa de variação de calor em uma barra unidimensional, com o tempo variando ou não, faz-se necessário a aplicação de derivadas parciais para tal estudo. Essa é uma aplicação que tem conceitos físicos envolvidos pela equação diferencial parcial, e isto se faz a partir de modelagem matemática. A modelagem matemática traz para vida do estudante a significação daquilo que se estuda, ou seja, através de um modelo matemático as ideias que se mostravam abstratas começam a ter forma e sentido. Podemos perceber mais aplicações em que se modela e desenvolve estudos tendo como base as equações diferenciais parciais, na área
1 Acadêmica do curso de licenciatura em matemática pela (UFT) Universidade Federal do Tocantins,
campus de Araguaína.
2 Professor doutor pela (UFT) Universidade Federal do Tocantins, Campus de Araguaína, (Orientador de
de engenharia, biologia, bioquímica, biomedicina, economia, e em inúmeras outras. A matemática se aplica e, assim, torna-se “viva”; e em um caso particular de experiência vivenciada, as equações diferenciais parciais possibilitaram a compreensão da significação que a matemática tem no mundo real.
No currículo do curso de licenciatura em matemática, está inserido o conteúdo de equações diferenciais, porém, estudamos apenas as equações diferenciais ordinárias (EDOs), e, para tal estudo, faz-se necessário ter conceitos prévios de álgebra, limite, derivada, geometria, trigonometria, dentre outros conteúdos matemáticos.
Qual a diferença de equação diferencial ordinária (EDO) e equação diferencial parcial (EDP)?
Equação diferencial é uma equação que envolve no mínimo uma derivada e cuja incógnita é a função em que se aplicam as derivadas. Resolvê-las significa determinar esta função, os valores de uma variável dependente nos termos da variável independente. Assemelhando a equação diferencial a equação algébrica, podemos relacioná-las da seguinte maneira: Quando resolvemos uma equação algébrica, na solução final, obtemos um número real; quando estamos resolvendo uma equação diferencial obtemos uma função. Na equação algébrica, definimos seu grau de acordo com seu polinômio, ou seja, o maior grau é que vai definir qual grau a equação pertence; na equação diferencial, ela é classificada de acordo com a maior ordem de sua derivada.
A equação diferencial ordinária possui apenas derivada de uma variável, excluindo a participação de qualquer derivada parcial na sua formação. Entretanto, a equação diferencial parcial possui em sua formação no mínimo uma derivada parcial. Resumindo, a equação diferencial ordinária é fundamentada em derivada de uma variável, e a equação parcial, em derivadas parciais. Em alguns casos, para resolver equações diferenciais, precisa-se saber conceitos de derivadas e integrais.
Exemplos de equações diferenciais ordinárias:
EDO de primeira ordem: "#"$= 𝑦𝑒$ + 𝑥*
EDO de segunda ordem: ""$+ #+ + 4"#"$+ 𝑦 = 0 EDO de terceira ordem: ""$. #. +"+#
Exemplos de equações diferenciais parciais:
EDP de primeira ordem: 𝑢1 = 𝛼* 𝑢$
EDP de segunda ordem: 𝑢1+ 𝑢$$= 0
EDP de terceira ordem:𝑢1+ 𝑢$$$ + sen(u) = 0 A Matemática no tratamento de câncer
A indagação com relação a minha problemática originou por uma experiência vivenciada, quando no ano de 2017 meu esposo foi diagnosticado com câncer. Ao acompanhá-lo em todas as etapas de tratamento, percebi que desde as dosagens de quimioterapia até os exames que verificavam suas células, havia aplicações matemáticas; era uma percepção inicialmente vaga, porém, procurei informações se minha percepção poderia ser fundamentada, através de leituras, documentários sobre o assunto, dentre outros. Percebi então, que um procedimento estava em função do outro, por exemplo, para uma dosagem de quimioterapia, primeiro o procedimento era verificar como estavam as células do corpo, que eram verificadas pela variação nas células de cada exame feito, e assim entendia como o agente quimioterápico estava agindo no seu corpo. Foi assim, que surgiu o tema para o trabalho de conclusão de curso.
Tendo como base a dissertação de mestrado de Rafael Trevisanuto Guiraldello, onde ele analisa um modelo matemático de tratamento de câncer via quimioterapia em ciclos, é que dou prelúdio aos meus estudos, abrangendo a matemática que existe por trás da medicina, em especial, do desenvolvimento do câncer, uma doença que ainda causa pavor ao ser mencionada.
Inicialmente, apresentaremos a equação que demonstra a evolução das células neoplásicas (células que perderam suas características fisiológicas normais, ou seja, células que sofreram mutações e que podem desenvolver um tumor), que é dada por: 3
Logo em seguida, será apresentada a equação que descreve a evolução das células normais, que é dada por:
3 As equações foram retiradas da dissertação de mestrado do Rafael Trevisanuto Guiraldello;
A equação que descreve a evolução das células endoteliais é dada por:
Essas equações três serão apresentadas, embora a equação que teorizará este trabalho é a equação das células neoplásicas.
As três equações envolvem aplicações de equações diferenciais parciais, que é a conteúdo que fundamenta a pesquisa de trabalho de conclusão de curso.
Uma motivação: A equação do calor unidimensional
Para exemplificar como resolvemos uma equação que envolve derivadas parciais, trouxemos para a pesquisa a solução da equação do calor. A solução desta equação nos possibilita vislumbrar uma aplicação de equações diferenciais parciais e, assim, ter como base para explicar algumas soluções das equações que estudam o comportamento das células tumorais.
A equação do calor unidimensional, ou seja, numa barra de comprimento l > 0, dá-se da seguinte forma:
𝑢1 = 𝑘𝑢$$
em que k é uma constante, a primeira derivada é em relação a 𝑡, cuja derivada é de primeira ordem; a segunda derivada é em relação a 𝑥, sendo a mesma de segunda ordem, o que podemos concluir que a nossa equação é de segunda ordem e está em função de duas variáveis, a saber, t e x, que são respectivamente o tempo e a distância, e a função u(x,t) que queremos determinar é a temperatura na barra no tempo t à distância x. Para resolvermos esta equação, inicialmente coloca-se condições iniciais para derivada em função de 𝑡, em que fixamos 𝑡 = 0, para descobrir em cada ponto da barra qual é a temperatura no instante 0. Colocamos também condições iniciais para a temperatura nas extremidades da barra. Vejamos como fundamentação do problema conforme a condição dada:
𝑢1 = 𝑘𝑢$$ 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝑙, 𝑡) = 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙
onde f é uma função específica. A seguir, fazemos um pequeno resumo de como se determina a função u.
Utilizando do método de separação de variáveis, vamos supor que podemos separar a função 𝑢(𝑥, 𝑡) como um produto, resultando na seguinte operação:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡)
Derivando e substituindo dentro da função, em que temos que derivar em função de x duas vezes por ser uma derivada de segunda ordem, e derivamos em função de t uma vez por ser uma derivada de primeira ordem, obtemos o seguinte:
𝑢$$(𝑥, 𝑡) = 𝑋′′(𝑥)𝑇(𝑡) 𝑢1(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡)
Substituindo na equação inicial, temos
𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡) = 𝑘𝑋′′(𝑥)𝑇(𝑡) que implica em 𝑋′′(𝑥) 𝑋(𝑥) = 𝑇′(𝑡) 𝑘𝑇(𝑡).
Note que chegamos a uma expressão que nos diz que uma função que depende apenas de 𝑥 é igual a uma função que depende apenas de 𝑡. Para solucionar esse problema, a única condição que satisfaz a igualdade será quando ambas forem constantes, ou seja, para algum 𝛾 ∈ ℝ, 𝑋′′(𝑥) 𝑋(𝑥) = −𝛾 = 𝑇C(𝑡) 𝑘𝑇(𝑡), isto é, 𝑋′′(𝑥) + 𝛾𝑋(𝑥) = 0 𝑒 𝑇′(𝑡) + 𝛾𝑘𝑇(𝑡) = 0.
Feito isto reduzimos nossa equação parcial para duas equações ordinárias. Para chegarmos na solução do problema, vamos ter que analisar os casos em que 𝛾 é positivo, negativo ou igual a zero para ambas as equações. Apresentamos esta solução completa no trabalho.
Note que, para essa aplicação, foi necessário utilizar os conceitos de equações diferenciais parciais, e este é o papel fundamental deste conteúdo: modelar e encontrar
soluções para diversos fenômenos naturais da realidade. Tais aplicações nos tiram do abstrato e desvendam a beleza por traz da matemática.
Referências
GUIRALDELO, Rafael. Modelo matemático de tratamentos de câncer via quimioterapia em ciclos; dissertação de mestrado. Botucatu, SP. 2015
SIMMONS, George F. Equações diferenciais: teoria, técnica e prática. São Paulo: McGraw-Hill, 2008.
