concreto
Analysis of experiments not planned: case study of fiber
reinforcement in concrete structures
1Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP) – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá (FEG)
francosjc@hotmail.com.br; fbranco@feg.unesp.br; civ01044@feg.unesp.br
Bruno Chaves Franco
1Antonio Fernando Branco Costa
1Mariana Ribeiro Cugler
11. INTRODUÇÃO
Segundo Cugler & Sedrez (2005), Ferreira (2005) e Machado (2002), há uma necessidade de se criar novas técnicas de recuperação e reforço estrutural, devido a problemas relacionados ao baixo desempenho dos elementos estruturais, ao aumento imprevisto das cargas e à degradação natural pelo envelhecimento dos materiais que compõem as estruturas. Para isso estão sendo cada vez mais utilizados materiais que até então não faziam parte da lista de materiais utilizados na construção civil, tais como os sistemas compósitos (associações de fibras e polímeros), que proporcionam resistência mecânica à tração. Por ter um baixo peso próprio, o sistema compósito em muitas circunstâncias, se torna mais adequado que o aço, apesar do seu custo individual ser elevado.
Segundo Hull (1995), um compósito que se destaca é a grafite/epóxi, pela sua elevada resistência à tração; que pode superar a do aço, grande durabilidade, facilidade de moldagem e rigidez final. No entanto, seu custo final é elevado, o que o torna mais viável quando o fator acréscimo de peso é de grande importância. Outro compósito de largo emprego comercial, mas que na engenharia civil ainda não é utilizado como elemento de recuperação é o compósito de fibra de vidro/epóxi, que apresenta menor resistência mecânica, mas custa menos de 20%, se comparado com o compósito grafite/epóxi.
O presente artigo apresenta a análise do estudo da viabilidade da substituição do compósito constituído de fibra de carbono pelo compósito constituído pela fibra de vidro. Realizado como trabalho de graduação
RESUMO: Quando a pesquisa requer estudos experimentais, muitas das vezes a etapa de planejamento é menosprezada pelo pesquisador que, em geral, recorre a um especialista apenas na fase de análise dos dados. Neste contexto, apresenta-se um estudo de caso em que se investiga a viabilidade da substituição do compósito constituído de fibra de carbono pelo compósito de fibra de vidro na obtenção de reforços estruturais. As massas dos corpos de prova para a execução dos ensaios vieram de dois lotes. Cada lote foi utilizado para um compósito diferente e para a confecção de alguns corpos de prova sem compósitos. Após coletados os dados constatou-se uma não homogeneidade entre as massas que compunham os lotes, dificultando assim a análise, e comprometendo o estudo.
Palavras-chave: Planejamento de experimentos, Delineamento Split-Plot, Reforço estrutural, Compósitos.
ABSTRACT: When the research requires experimental studies, the person in charge of the research, in general, does not pay the necessary attention to the design of the experiment. It is not rare cases where the set of data does not allow drawing any conclusion just because the initial study associated with the design of the experiment was skipped. This article describes a case study that investigates the viability of changing carbon fiber by glass fiber, which is used to prepare composites for structural reinforcement. Two mixtures were prepared to run the experiment. Each mixture was used to prepare a different composite. After running the experiment, it was found differences between the two mixtures characteristics of the masses that affected the whole study.
da Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá – UNESP. Na fase de análise dos dados, os pesquisadores solicitaram assessoria do primeiro e do segundo autor deste artigo. O não planejamento do experimento comprometeu seriamente o estudo. Este fato não é raro, Batista e Costa (2003) relataram um caso semelhante.
2. METODOLOGIA ADOTADA
Para a realização do experimento moldou-se corpos de provas (CP) em dois lotes. No primeiro lote de 22 corpos de prova moldados, selecionaram-se os 12 melhores para o ensaio, desses, seis reforçados com fibra de carbono e seis sem reforço. No segundo lote de 23 corpos de prova moldados, selecionaram-se os 18 melhores para o ensaio, desses, seis reforçados com uma camada de fibra de vidro, seis com duas camadas de fibra de vidro e seis sem reforço. Com isso, as técnicas 1 e 3 são iguais, mas utilizando lotes diferentes.
Com os corpos de prova moldados, ensaios de compressão foram realizados, obtendo a resistência a compressão das amostras como mostra a Tabela 1, além de uma análise comparativa de médias para avaliar se há aumento da resistência quando da utilização de fibras para reforço, bem como diferenças entre reforço com fibra de carbono e com fibra de vidro.
Tabela 1: Valores da resistência à compressão, Yij obtidos no ensaio
i j
1 2 3 4 5 6 Observação
Técnica 1 42,4 40,0 36,5 37,3 38,1 40,6 39,2 39,1 CP S/Reforço de fibra de carbono Técnica 2 42,0 44,5 38,0 45,0 41,0 41,0 41,9 41,5 CP C/1 camada de fibra de carbono Técnica 3 32,0 37,5 35,5 31,5 35,5 33,1 34,2 34,3 CP S/Reforço de fibra de vidro Técnica 4 39,0 32,5 39,0 36,5 38,0 40,5 37,6 38,5 CP C/1 camada de fibra de vidro Técnica 5 36,0 38,5 41,0 47,5 39,0 40,5 40,4 39,8 CP C/2 camadas de fibra de vidro
* Média das amostras ** Mediana das amostras
3. ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS DADOS
Com os dados da Tabela 1, testou-se a hipótese de que a técnica utilizada afeta a resistência à compressão. Hipótese:
(1)
Sendo μi a resistência média a compressão do material submetido a técnica i.
Com base na Tabela 2 da Análise de Variância (ANOVA), realizada através da ferramenta de análise de dados do MS Excel®, julga-se a hipótese H1 verdadeira, isto é, a técnica afeta a resistência média à compressão. Observa-se que o risco de se tomar a decisão errada é de 0,00095, desprezível.
Tabela 2: ANOVA das técnicas.
Fonte da variação SQ gl MQ F valor-P F crítico
Técnica 210,7867 4 52,69667 6,548827 0,00095 2,75871
Erro 201,1683 25 8,046733
Total 411,955 29
Uma vez estabelecido que há diferença entre as técnicas, uma segunda parte da análise consiste em se determinar quais são as técnicas que oferecem as melhores resistências à compressão. Para tanto utiliza-se o método de Tukey (COSTA NETO, 2002).
De acordo com o método de Tukey, sempre que a diferença das médias de duas técnicas forem superiores a Zeta, pode-se afirmar que tais técnicas são diferentes. A expressão de Zeta é:
(2)
Sendo: K é número de técnicas v = K*(n-1)
n é o tamanho da amostra α é nível de significância
Para:
K = 5; n = 6; v = 25; α = 5%;
q = 4,16 (Valor tabelado – Tabela t-studantizada)
Sr2 = 8,046733 (Variância residual obtida da Tabela 2)
Zeta = 4,817564
Assim, sempre que o módulo da diferença das médias de duas técnicas for maior que Zeta, conclui-se que há diferença na resistência à compressão em função da técnica utilizada, vide Tabela 3.
Tabela 3: Comparação entre técnicas pelo método de Tukey
Técnica Diferença Conclusão 1 com 2 2,77 Não há diferença 1 com 3 4,97 Há diferença 1 com 4 1,57 Não há diferença 1 com 5 1,27 Não há diferença 2 com 3 7,73 Há diferença 2 com 4 4,33 Não há diferença 2 com 5 1,50 Não há diferença 3 com 4 3,40 Não há diferença 3 com 5 6,23 Há diferença 4 com 5 2,83 Não há diferença
De acordo com a Tabela 3 há diferença entre as técnicas 1 e 3, porém as mesmas são iguais e aqui serviram apenas para evidenciar a não homogeneidade das massas dos lotes, ou seja, não é possível determinar se o aumento da resistência à compressão para o segundo lote em comparação com o primeiro lote é devido ao reforço, ou ao composto de concreto preparado, comprometendo o estudo. Ainda pelo teste de Tukey conclui-se que não há diferença entre compósitos de fibra de vidro e compósitos de fibra de carbono (Técnicas 1 e 4 e Técnicas 1 e 5). Contudo, esta conclusão está comprometida pela não homogeneidade dos lotes.
Em não sendo homogêneos os lotes, a análise deve ser feita considerando dois experimentos distintos, cada um envolvendo um dos lotes. Assim, com base apenas no lote 1 testa-se a hipótese de que houve aumento da resistência à compressão pela utilização de reforço com uma camada de fibra de carbono, ou seja, compara-se as técnicas 1 e 2. Já esperava-se o resultado segundo a Tabela 4, isto é, há o aumento na resistência à compressão a um nível de significância de 5% (Stat t. > P(T ≤ t) uni-caudal e Stat t. > P(T ≤ t)
n
Sr
q
Zeta
K 2 , ,υα=
bi-caudal). Observa-se que caso a hipótese H1 fosse do tipo diferente, ou seja, também levando em conta a possibilidade do reforço reduzir a resistência à compressão, a conclusão seria outra, ou seja, com os dados disponíveis não é possível afirmar que o reforço com uma camada de fibra de carbono afeta a resistência à compressão.
Tabela 4: Teste t-student para teste de aumento da resistência a compressão quanto da utilização de uma camada de fibra de carbono
Técnica 1 Técnica 2
Média 39,15 41,92
Variância 4,987 6,64
Hipótese da diferença de média 0
Gl 10 Stat t 1,99 P(T<=t) uni-caudal 0,04 t crítico uni-caudal 1,81 P(T<=t) bi-caudal 0,08 t crítico bi-caudal 2,23
Com os dados advindos do lote 2 realiza-se uma ANOVA, testando a hipótese de que a técnica utilizada afeta a resistência à compressão.
Hipótese
(3)
Sendo μi a resistência média a compressão do material submetido à técnica i.
Com base na Tabela 5, julga-se a hipótese H1 verdadeira, isto é, que a utilização do compósito de fibra de
vidro afeta a resistência média à compressão. Pode-se observar também que o risco de se tomar a decisão
errada é de 0,011335, isto é, ao nível de significância de 5% rejeita-se a hipótese H0, mas não ao nível de
1%.
Tabela 5: ANOVA das técnicas para o lote 2.
Fonte da variação SQ gl MQ F valor-P F crítico
Técnica 116,8844 2 58,44222 6,129231 0,011335 3,68232
Erro 143,025 15 9,535
Total 259,9094 17
Uma vez determinado que há diferença entre as técnicas, um Teste de Tukey é realizado ao nível de significância de 5% (COSTA NETO, 2002).
Na Tabela 6, observa-se que não há diferença significativa entre uma ou duas camadas de fibra de vidro (Técnicas 4 e 5). Contudo também não há diferença entre as técnicas 3 e 4, ou seja sem reforço estrutural e com uma camada de vibra de vidro. Assim sendo, a única conclusão certa seria a de que, obtido reforço com duas camadas de fibra de vidro e que seria necessário um experimento posterior, para se obter um resultado definitivo.
Quando se utiliza a ANOVA, é importante checar a homogeneidade das variâncias e a normalidade dos resíduos (MONTGOMERY, 2001).
(4)
Tabela 6: Comparação entre as técnicas pelo método de Tukey
Técnica Diferença Conclusão 3 com 4 3,40 Não há diferença 3 com 5 6,23 Há diferença 4 com 5 2,83 Não há diferença
Sendo, o resíduo que incorpora a imprecisão dos instrumentos de medidas, a variabilidade
advinda dos fatores incontroláveis, a falta de uma perfeita homogeneidade entre unidades experimentais, etc. (vide Tabela 7).
(5)
em que :
(6)
Tabela 7: Valores dos Resíduos
Resíduos (Toneladas) Técnica 1 3,3 0,9 -2,7 -1,9 -1,1 1,5 Técnica 2 0,1 2,6 -3,9 3,1 -0,9 -0,9 Técnica 3 -2,2 3,3 1,3 -2,7 1,3 -1,1 Técnica 4 1,4 -5,1 1,4 -1,1 0,4 2,9 Técnica 5 -4,4 -1,9 0,6 7,1 -1,4 0,1
O teste de normalidade é feito por um procedimento gráfico em que cruzam-se os 30 valores dos resíduos,
dispostos em ordem crescente com os valores de correspondendo a divisão da curva normal
em pequenas áreas de um trinta avos de probabilidade, vide Tabela 8.
As áreas das caudas são de um sessenta avos de probabilidade. Para uma área caudal a esquerda de ,
vide Figura 1, o valor de é –2,126 (vide Figura 1). Assim, o menor valor esperado do resíduo
deve corresponder a –2,126. Para uma área a esquerda de de probabilidade o valor de
é -1,644. Assim, o segundo menor valor esperado do resíduo deve corresponder a –1,644, e assim por diante.
Tabela 8: Resíduos em ordem crescente
Ordem Crescente Área de probabilidade Z Resíduos
1 0,017 -2,126 -5,1 2 0,050 -1,644 -4,4 3 0,083 -1,383 -3,9 4 0,117 -1,191 -2,7 5 0,150 -1,036 -2,7 6 0,183 -0,902 -2,2 7 0,217 -0,783 -1,9 8 0,250 -0,674 -1,9 9 0,283 -0,573 -1,4 10 0,317 -0,477 -1,1 11 0,350 -0,385 -1,1 12 0,383 -0,297 -1,1 13 0,417 -0,210 -0,9 14 0,450 -0,125 -0,9 15 0,483 -0,042 0,1 16 0,517 0,042 0,1 17 0,550 0,126 0,4 18 0,583 0,211 0,6 19 0,617 0,297 0,9 20 0,650 0,386 1,3 21 0,683 0,477 1,3 22 0,717 0,573 1,4 23 0,750 0,675 1,4 24 0,783 0,784 1,5 25 0,817 0,903 2,6 26 0,850 1,037 2,9 27 0,883 1,192 3,1 28 0,917 1,383 3,3 29 0,950 1,646 3,3 30 0,983 2,130 7,1
Na Figura 2 os pontos estão bastante próximos de uma reta, pode-se assim conjecturar que os resíduos são normalmente distribuídos.
Figura 2: Análise gráfica dos resíduos
Para se investigar a homogeneidade das variâncias Levene (1960) propôs o teste da ANOVA para as dispersões de cada observação em relação a sua mediana, vide Tabela 9.
Hipótese:
(7)
Sendo o desvio padrão da distribuição das resistências à compressão dos compósitos submetidos à
técnica i.
Tabela 9: Dispersão de cada observação em relação à mediana das amostras
Dispersão Técnica 1 3,4 1,0 -2,6 -1,8 -0,9 1,6 Técnica 2 0,5 3,0 -3,5 3,5 -0,5 -0,5 Técnica 3 -2,3 3,2 1,2 -2,8 1,2 -1,2 Técnica 4 0,5 -6,0 0,5 -2,0 -0,5 2,0 Técnica 5 -3,8 -1,3 1,3 7,8 -0,8 0,8
De acordo com a ANOVA da Tabela 10 a hipótese da expressão (6) é a hipótese verdadeira.
Tabela 10: ANOVA da dispersão das observações em relações à mediana das amostras
Fonte da variação SQ gl MQ F valor-P F crítico
Técnica 8,86466667 4 2,21616667 0,27541197 0,89105355 2,75871047
Erro 201,168333 25 8,04673333
Total 259,9094 17
4. PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO
Um experimento corretamente planejado requer o preparo de uma massa específica para a confecção de cada corpo de prova e um sorteio totalmente aleatório para se definir com qual técnica cada corpo de prova deverá ser feito. Porém, esse experimento despenderia dos pesquisadores um maior tempo e custo para a preparação individual da massa para modelagem de cada corpo de prova.
Então uma solução interessante para este caso é utilizar o experimento Split-Plot (MONTGOMERY, 2001), o qual é utilizado quando não se pode realizar a completa aleatorização do experimento. Assim, pode-se planejar o experimento da seguinte maneira: permanece a metodologia aplicada pelos pesquisadores preparando de uma só vez as massas de cada lote, porém a ordem da experimentação deve ser completamente aleatória dentro do lote e envolvendo todas as técnicas, ou seja, deve-se selecionar aleatoriamente um tratamento (técnica), conforme ilustrado no Quadro 1.
A técnica 4 seria a primeira a ser aplicada, e considerando a massa preparada para o lote 1 (pois O1 está
no cruzamento da técnica 4 com o lote 1), a técnica 2 seria então a segunda, e considerando a massa preparada para o lote 2.
Quadro 1: Delineamento Split-Plot Lotes 1 2 Técnicas 1 2 3 4 1 2 3 4 Observações O5 O18 O21 O1 O31 O22 O12 O19 O23 O15 O24 O28 O29 O7 O10 O27 O13 O6 O11 O3 O17 O2 O25 O16 O20 O4 O26 O9 O14 O8 O30 O32
De cinco, as técnicas passariam para apenas quatro, ver Quadro 2.
Quadro 2: Descrição das técnicas
Técnica Descrição
1 Sem reforço estrutural
2 Uma camada de fibra de carbono 3 Uma camada de fibra de vidro 4 Duas camadas de fibra de vidro
A Tabela 11 apresenta uma ilustração da aplicação do experimento Split-Plot, utilizando os resultados obtidos no experimento. Vale lembrar que não foi realizado outro experimento. Cada lote é dividido em quatro partes chamadas de Whole plot, que são as técnicas. Cada whole plot é dividido em quatro partes chamadas de sub-plot, que são as observações.
Tabela 11: Delineamento Split-Plot: exemplo prático
Lote 1 Lote 2 Técnicas 1 2 3 4 1 2 3 4 Observação 1 32,0 42,0 32,5 36,0 142,5 37,5 44,5 39,0 38,5 159,5 302,0 Observação 2 35,5 38,0 36,5 41,0 151,0 31,5 45,0 39,0 47,5 163,0 314,0 Observação 3 35,5 41,0 40,5 39,0 156,0 33,1 41,0 38,0 40,5 152,6 308,6 Observação 4 34,3 40,3 36,5 38,7 149,8 34,0 43,5 38,7 42,2 158,4 308,2 137,3 161,3 146,0 154,7 136,1 174,0 154,7 168,7 1232,8 599,3 633,5
A Tabela 12 apresenta a ANOVA. Vale esclarecer que o whole plot não é totalmente aleatório pois é escolhido o lote e a técnica que será aplicada no corpo de prova. Já o sub-plot é totalmente aleatório. O erro experimental é estimado pela soma dos quadrados de todas as observações subtraída pela soma dos quadrados dos lotes, das técnicas, das observações e das interações.
Tabela 12: Delineamento Split-Plot: Exemplo prático
Fonte da variação SQ gl MQ F F crítico
Lote (A) 36,55 1 36,55 Técnica (B) 279,09 3 93,03 15,7224 9,2766 AB (Whole plot) 17,75 3 5,92 Observação (C) 9,03 3 3,01 0,3195 9,2766 AC 28,26 3 9,42 BC 60,83 9 6,76 1,6210 3,1789
Erro (Sub-plot ABC) 37,52 9 4,17
Com isso pode-se realizar uma análise estatística mais confiável, pois mesmo não havendo homogeneidade entre os lotes, o efeito seria minimizado graças à aleatorização.
Para se saber se o tamanho da amostra foi suficiente para a realização do experimento, calcula-se o risco β (aceitar a hipótese H0, em sendo H0 falso) que é função de φ2.
Sendo:
a: número de técnicas n: tamanho da amostra σ²: variância
D: diferença mínima de resistência que permite concluir que há diferença nas técnicas
Como o desvio padrão é desconhecido, para uma primeira tentativa podemos utilizar a variância residual
obtida na Tabela 2 (σ2 = 8,046733) como a melhor estimativa disponível (Curvas características de
operação para efeito fixo no modelo de análise de variância, Montgomery, 2001). Se o pesquisador estiver interessado em descobrir diferenças em técnicas que tem resistências médias à compressão que diferem entre si de pelo menos 8 toneladas, deve calcular:
Para φ = 2,44, o risco β (aceitar a hipótese H0, em sendo H0 falso) está em torno de 2% (Curvas
características de operação para efeito fixo no modelo de análise de variância (MONTGOMERY, 2001)). Portanto, pode-se reduzir o tamanho das amostras sem comprometer os resultados, pois para n = 4 tem-se um risco β de 5%.
5. CONCLUSÕES
O objetivo do estudo analisado foi investigar a viabilidade da substituição da fibra de carbono pela fibra de vidro. Os resultados ficaram comprometidos pela forma como o experimento foi realizado. As técnicas 1 e 3 (que correspondem aos corpos de prova sem reforço estrutural) aplicadas nos lotes 1 e 2 respectivamente foram julgadas estaticamente diferentes evidenciando a falta de homogeneidade entre as massas dos lotes, empobrecendo assim a análise estatística.
Porém, ainda foi possível observar o ganho de resistência com a utilização do compósito de fibra de carbono ou compósito de fibra de vidro. Um fato interessante é que não há necessidade de duas camadas de fibra de vidro.
O procedimento proposto, Split-Plot, mostra a possibilidade de uma análise estatística mais confiável, pois mesmo não havendo homogeneidade entre os lotes, o efeito seria minimizado graças a aleatorização, além da possibilidade de redução do tamanho da amostra. A importância da utilização do planejamento do experimental vem da necessidade de se poder realizar uma melhor análise, bem como uma redução significativa dos custos e tempo dos experimentos.
REFERÊNCIAS
BATISTA Jr., E. D.; COSTA, A. F. B. Análise de Experimentos Não Planejados: Um estudo de caso sobre motivação no combate a formação de placa dental. XXXV SBPO, 2003).
COSTA NETO, P. L. O. Estatística. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 2002.
2 2 2
2
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σ
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a
nD
CUGLER, M. R.; SEDREZ Jr., A. C. S. Reforço estrutural com utilização de compósitos: viabilidade da substituição do compósito constituído de fibra de carbono pela fibra de vidro. Projeto Integrado – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, 2005.
FERREIRA, J. B. Patologia e recuperação de estruturas de concreto armado. Guaratinguetá, SP. DEC/FEG/UNESP, 2005.
HULL, D. An introduction to composite materials. Cambridge University. Saint – Gobain Verotex (2000) – Catálogo, 1995.
LEVENE, H. Robust test for equality of variance. In Contribution to Probability and Statistics. Z. Olkin, ed. Stanford University Press, Palo Alto, CA, 278-292, 1960.
MACHADO, A. de P. Reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono. São Paulo: Ed.PINI Ltda, 2002.
