(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator do produto existe, ou seja, (c) O limite do quociente é o quociente dos limit

TÓPICO02: CÁLCULODELIMITES

Neste tópico serão estudadas as técnicas de cálculo de limites de funções algébricas, usando alguns teoremas que serão demonstrados ou sugeridos para demonstração no texto complementar sugerido para leitura no final deste tópico. O tópico é finalizado, tratando do cálculo de limites de funções envolvendo seno e co-seno. O estudo inicial do cálculo de limites, pode ser considerado em três fases, além de uma abordagem para calcular limites de funções envolvendo seno e co-seno, de acordo como segue.

Inicialmente, serão vistos os limites unilaterais e bilaterais finitos (conforme classificação estabelecida no tópico 1 desta aula - clique para abrir), isto é, os limites representados pelo símbolo:

CLASSIFICAÇÃO ESTABELECIDA NO TÓPICO 1 DESTA AULA - CLIQUE PARA ABRIR

onde x c pode ser substituído por x c-ou x c+.

Os teoremas 1 e 2 a seguir, são utilizados no cálculo de limites finitos, suas demonstrações serão feitas no “texto complementar” deste tópico e que está indicado no final do tópico.

T

1

Se a e b são números reais fixos, então

T

2

Se então:

(a) O limite da soma ou diferença é a soma ou diferença dos limites se o limite de cada parcela da soma existe, isto é,

M

I

(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator do produto existe, ou seja,

(c) O limite do quociente é o quociente dos limites se o limite da função do numerador existe e o limite da função do denominador existe e é diferente de zero, isto é,

(d) O limite da raiz n-ésima de uma função está bem definido, o seu valor é a raiz n-ésima do limite da função, desde que exista a raiz n-ésima do limite da função, ou seja,

Do teorema (1), obtém-se:

I) se a = 0 eII) se a = 1 e b = 0.

Em (i) significa que o limite da função constante (É a função cujo domínio é o conjunto dos reais e a imagem de todo valor do domínio é um único número real. (conforme definida no tópico 2 da aula 02)) é igual à própria constante. E (ii) significa que o limite da função identidade (É a função cujo domínio é o conjunto dos reais e a imagem de todo número real é o próprio número, assim definida pela equação y = f(x) = x (conforme definida no tópico 2 da aula 02)) quando x c é igual a c.

Os itens (a) e (b) do teorema 2, podem ser estendidos para um número finito de funções. Mais precisamente, se

então: (iii)

(iv)

Se , decorrente de (iv), tem-se (v)

Nos teoremas 1 e 2, x c pode ser substituído por x c-ou x c+O exemplo seguinte ilustra a aplicação dos teoremas 1 e 2 no cálculo de limites.

EXEMPLORESOLVIDO1: Calcular os limites indicados: a)

b)

SOLUÇÃO

(a) Dos resultados (i) e (ii), tem-se:

Pelo resultado (v), Logo, pelo teorema 2(b),

Portanto, pelo resultado (iii),

EXEMPLOPROPOSTO1:

Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:

Se f é uma função definida por duas ou mais equações, então para determinar o limite bilateral de f, em certos casos, deve-se considerar o critério de existência do limite bilateral (O <img src=imagens/02/02_22.gif align=absmiddle> existe e é igual a L se, e somente se, os <img src=imagens/02/02_23.gif align=absmiddle> e <img src=imagens/02/02_24.gif align=absmiddle> existem e são iguais a L. ) estabelecido no tópico 1 desta aula. O exemplo seguinte ilustra o procedimento.

EXEMPLORESOLVIDO2:

Dada a função, verificar se o limite indicado existe e caso exista, dar o seu valor:

SOLUÇÃO

(a) Para calcular o limite de f(x) quando x tende a 2 pela esquerda, deve-se considerar f(x) = -x2+ 2x + 3, pois quando x 2-tem-se x 2. Assim

Por motivos análogos,

Como os limites unilaterais de f quando x tende a 2, existem e são iguais a 3, obtém-se

(b) Tem-se

Como os limites unilaterais de g quando x tende a -1 têm valores diferentes, o não existe.

EXEMPLOPROPOSTO2:

Dada a função, verificar se o limite indicado existe, caso exista, dar o seu valor:

Se e diz-se que o tem a FORMA INDETERMINADA0/0,onde x c pode ser substituído por x c-ou x c+ Existem ainda outras formas indeterminadas, que serão estudadas na aula 08. O exemplo seguinte, ilustra o procedimento para calcular alguns limites que têm a forma indeterminada 0/0.

EXEMPLORESOLVIDO3: Calcular os limites indicados:

SOLUÇÃO

Uma verificação simples mostra que os quatro limites têm a forma indeterminada do tipo 0/0.

(a) Usando a fatoração a2- b2= (a - b)(a + b) com a = x e b = 2 obtém-se x2 - 4 = x2- 22= (x - 2)(x + 2). De outra forma é como a seguir: como x = 2 é uma raiz da equação x2- 4 = 0, a expressão x2- 4 pode ser fatorada com um fator igual a x - 2, assim a divisão de x2- 4 por x - 2 é exata, isto é,

logo x2- 4 = (x - 2)(x + 2). Portanto, tem-se

onde foi possível a simplificação porque x - 2 0, pois quando x 2 o valor de x está apenas próximo de 2.

(b) Usando a fatoração a3+ b3= (a + b)(a2- ab + b2), com a = x e b = 1, tem-se x3+ 1 = (x + 1)(x2- x + 1). De outra forma é como a seguir: como x = -1 é uma raiz da equação x3+ 1 = 0, a expressão x3+ 1 pode ser fatorada com um fator igual a x - (-1) = x + 1, assim a divisão de x3 + 1 por x + 1 é exata, ou seja,

logo x3+ 1 = (x + 1)(x2- x + 1). Usando um dos procedimentos, tem-se ainda que x2- 1 = (x - 1)(x + 1). Portanto, obtém-se

(c) Inicialmente é necessário racionalizar o numerador do quociente usando a fatoração a2 - b2 = (a - b)(a + b), onde se multiplica o numerador e denominador do quociente por a + b com e b = 2 (isto é, o conjugado de ), ou ainda usando a fórmula com e b = 2 para achar assim (optando pela primeira alternativa)

logo

O limite pode ser efetuado ainda, fazendo o que se chama uma mudança de variável, como a seguir. Seja , então x=z2e x 4 -z 2-, logo

MUDANÇA DE VARIÁVEL

O limite é classificado de acordo com a variação de x ou de y, mais precisamente, em limite:

Assim, pode-se ter, por exemplo:

(d) Inicialmente é necessário racionalizar o numerador do quociente , usando a fatoração a3- b3= (a - b)(a2+ ab + b2), onde se multiplica o numerador e denominador do quociente por a2+ ab + b2 com e ou então se utiliza a fórmula

com assim (optando pela segunda alternativa)

logo

Não é sugestivo usar a última sistemática do ítem anterior (isto é, mudança de variável) para calcular limites com dois ou mais radicais de expressões diferentes.

EXEMPLOPROPOSTO3:

Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:

Considere agora os limites finitos no infinito (conforme classificação estabelecida no tópico 1 desta aula), isto é, os limites representados pelos símbolos

CLASSIFICAÇÃO ESTABELECIDA NO TÓPICO1 DESTA AULA

O limite é classificado de acordo com a variação de x ou de y, mais precisamente, em limite:

e

No teorema 1 com a = 0 (isto é, se a função é constante) e no teorema 2, x c pode ser substituído por ou . O teorema seguinte, mais precisamente o seu corolário, poderá ser útil para calcular limites no infinito, a demonstração do teorema 3(a) será feita no texto complementar deste tópico e que está indicado no final deste tópico.

T

3

Se n é um número inteiro positivo fixo, então:

Combinando os teoremas 1, 2(c) e 3, segue-se o seguinte resultado. COROLÁRIO. Se r um número real e n é um número inteiro positivo fixos, então:

O exemplo seguinte ilustra o cálculo de limites finitos no infinito.

EXEMPLORESOLVIDO4: Calcular os limites indicados:

SOLUÇÃO

(a) Dividindo por x o numerador e o denominador do quociente , tem-se

Pelo corolário,

Pelo teorema 2(a),

Logo, pelo teorema 2(c),

(b) Dividindo o numerador e o denominador do quociente por x4tem-se

(c) Dividindo o numerador e o denominador do quociente por x e no numerador pondo (pois os valores que x está assumindo são positivos, veja propriedade (a) do valor absoluto , tem-se

PROPRIEDADE(A) DO VALOR ABSOLUTO

Dado um número real a, o valor absoluto de a é indicado por e definido por

Por exemplo:

(d) Dividindo o numerador e o denominador do quociente por x e no numerador pondo (pois os valores que x está assumindo são negativos), obtém-se

EXEMPLOPROPOSTO4:

Calcular os limites indicados para concluir os valores dados:

Finalmente, sejam os limites infinitos (conforme classificação estabelecida no tópico 1 desta aula), ou seja, os limites representados pelos símbolos

CLASSIFICAÇÃO ESTABELECIDA NO TÓPICO1 DESTA AULA

e

onde x c pode ser substituído por x c-, x c+, x - ou x + . Observe que nesta etapa estão incluídos os limites infinitos no infinito, ou seja, os limites representados pelos símbolos .

Os teoremas 1 e 2 não podem ser usados para calcular limites infinitos, pois os limites infinitos não existem. O seguinte teorema poderá ser útil para calcular limites infinitos, a demonstração da parte (a) será feita no texto complementar deste tópico e que está indicado no final deste tópico.

T

4

Sejam e , então:

O

O teorema continua válido se x c for substituído por x c-, x c+, x - ou x + .

O teorema 4 não se aplica quando , neste caso tem-se a forma indeterminada 0/0 para que já foi abordada. O limite bilateral infinito só pode ser determinado a partir dos limites unilaterais, devido a utilização do símbolo , conforme foi definido no tópico 1 desta aula item (b5) da alternativa do esquema (Tal item define que: se para x tendendo a c de um lado, y = f(x) <img src=02_seta.gif align=absmiddle> -<img src=02_99a.gif align=absmiddle> (ou y <img src=02_seta_0000.gif align=absmiddle> +<img src=02_99a_0000.gif align=absmiddle>) e do outro lado y <img src=02_seta_0001.gif align=absmiddle> +<img src=02_99a_0001.gif align=absmiddle> (ou y <img src=02_seta_0002.gif align=absmiddle> -<img src=02_99a_0002.gif align=absmiddle>), diz-se que x <img src=02_seta_0003.gif align=middle> c implica que y = f(x) <img src=02_seta_0004.gif align=middle> <img src=02_99a_0003.gif align=middle> (infinito sem os símbolos - ou +), isto é x <img src=02_seta_0005.gif align=middle> c <img src=02_seta2.gif align=middle> y = f(x) <img src=02_seta_0006.gif><img src=02_99a_0004.gif align=middle>, ou ainda, <img src=02_ff.gif align=absmiddle) .

O exemplo seguinte ilustra o cálculo de limites infinitos. EXEMPLORESOLVIDO5:

Calcular os limites indicados:

SOLUÇÃO

então de acordo com o teorema 4, o é infinito e conforme foi mencionado é necessário calcular os limites unilaterais.

Se x < 2 então x - 2 < 0 e x - 3 < 0, daí x2- 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) > 0 se x < 2. Assim, se x 2-então x2- 5x + 6 0+. A conclusão que x2 -5x + 6 0+pode ser obtida também da seguinte forma, embora com ausência de rigor: como x2- 5x + 6 = 0 se x = 2 ou x = 3, então em outros valores x2- 5x + 6 é < 0 ou > 0 daí nos intervalos (- , 2), (2 , 3) e (3 , + ), a expressão x2- 5x + 6 assume somente valores negativos ou positivos, assim atribuindo um valor a x em cada intervalo se obtém o sinal desta expressão no intervalo, de acordo com a figura a seguir.

Logo, se x < 2 então x2- 5x + 6 > 0 e daí x2- 5x + 6 0+se x 2-. Assim, e x2- 5x + 6 0+se x 2-, pelo teorema 4(a),

Se x > 2 então x - 2 > 0 e se x < 3 então x - 3 < 0, daí x2- 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) < 0 se 2 < x < 3. Assim, se x 2+então x2- 5x + 6 0-. Também, observando a figura anterior, tem-se x2- 5x + 6 < 0 se 2 < x < 3, então x2- 5x + 6 0-se x 2+. Logo e se x2 -5x + 6 0-se x 2+, pelo teorema 4(b),

Portanto, por (I) e (II),

(b) Dividindo o numerador e o denominador do quociente por x2tem-se

Como e se x - implica que pois se x < -3, pelo teorema 4(b),

EXEMPLOPROPOSTO5:

Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:

O restante deste tópico será dedicado aos limites do grupo de funções envolvendo as funções seno e co-seno que têm a forma indeterminada 0/0. É sugestivo que o aluno leia novamente o texto “AngMedTrigonometria.doc”ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) indicado no final do tópico 2 da aula 02. Tais limites não podem ser calculados através do uso dos métodos já abordados, o limite seguinte, conhecido como limite fundamental, pode ser útil no cálculo de tais limites:

Para mostrar este último limite é necessário o seguinte teorema, sua demonstração será feita no texto complementar indicado no final deste tópico.

T

5

Sejam f, g e h funções definidas num intervalo aberto I contendo c, exceto talvez em c, onde f(x) g(x) h(x) para todo x em I com x c. Se

e , então .

O teorema continua válido se x c for substituído por x c-, x c+, x - ou x + .

DEMONSTRAÇÃO DO LIMITE FUNDAMENTAL

Para mostrar que , será usado o critério de existência do limite bileteral estabelecido no tópico 1 desta aula, isto é, será provado que

Comparando as áreas do triângulo OBP, do setor circular OBP e do triângulo OBQ, tem-se

(área do OBP) < (área do setor circular OBP) < (área do OBQ),>

ou seja,

mas , logo fazendo as

substituições nas desigualdades, obtém-se

como é positivo (pois ), multiplicando por cada membro da última desigualdade, encontra-se

, ou seja,

Como , desta última desigualdade e do teorema 5, tem-se

Seja agora , então . Logo, do resultado obtido, tem-se

mas sen(-t) = - sen t e t 0-quando -t 0+, assim

O exemplo seguinte ilustra a aplicação do limite demonstrado.

EXEMPLORESOLVIDO6: Mostrar que:

SOLUÇÃO

mas e logo (pelo teorema 2(b) deste tópico)

Portanto,

(b) Para mostrar esse limite, será usada a identidade . Do teorema 2(b) deste tópico e item (a) deste exemplo, tem-se , assim (ainda pelo teorema 2(b))

assim (pelo teorema 2(a) deste tópico)

fazendo x = 2t, tem-se t 0 x 0, logo

EXEMPLOPROPOSTO6: Provar que:

EXEMPLORESOLVIDO7: Calcular os limites indicados:

SOLUÇÃO

(a) Observe que o limite dado tem a forma indeterminada 0/0. Como

tem-se

(b) O limite dado tem a forma indeterminada 0/0. Como se t = 2x e x 0 equivale a t 0,

tem-se

EXEMPLOPROPOSTO7:

Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:

Outros resultados importantes sobre limites que serão tratados no texto complementar indicado no final deste tópico são os seguintes: (clique aqui para abrir).

EXEMPLORESOLVIDO8:

É possível mostrar que não existe (veja o exercício 66(a) do exercitando deste tópico), entretanto mostrar que

SOLUÇÃO

Tem-se e para qualquer valor de x 0 (isto é, é limitada para todo x 0), portanto do resultado (ii), segue-se que

Mostrar que . Sugestão: fazer

L

C

O texto “Limites com e ” trata da segund a etapa do estudo dos limites, fazendo uma abordagem rigorosa do tema. Não exigiremos nenhum conhecimento deste assunto neste módulo, mas alguns resultados além de já terem sido usados neste tópico, continuarão sendo indispensáveis e serão aplicados. É recomendável, pelo menos uma leitura atenciosa.

Para isso, vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo "LimitesComEpsilonEDelta.doc" ou clique aqui (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.).

A

P

Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo exercitando(aula03_top2).doc ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. A quinta questão do trabalho será indicada no tópico seguinte desta aula. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc ou docx) ou manuscrito e escaneado.

F

I