Física de Semicondutores

Física de Semicondutores

Aula 14

Transporte elétrico IV

Magneto-transporte

Referência:

Transporte elétrico em semicondutores na presença de campo magnético

Aplicação de campos magnéticos é ferramenta importante para investigação de estruturas e materiais semicondutores.

Tratamento clássico

Suposições: banda isotrópica, material não-magnético, aproximação de

tempo de relaxação

Equação de movimento para um elétron:

 





2 2

*

*

d r

m dr

v

m

e

F

B

dt



dt







 

_

 

_





_

_



No estado estacionário 2 2

0

d r

dt





e obtemos

m

*

_v

_d

 

_e

_F



_v

_d

_B





 





















Temos então um sistema de três equações ligando as componentes da velocidade e dos campos elétrico e magnético. Colocando o campo

 

, ,

*

v

_{d x x}

v

_{d y z}

m

e

F

B



 











 

, ,

*

v

_{d y y}

v

_{d x z}

m

e

F

B



 











 

 

,

*

v

_{d z z}

m

e F



 

Multiplicando as equações pela carga e a densidade de elétrons,

transformamos as eqs para velocidade em eqs para os componentes da

densidade de corrente elétrica

j



n

 



e

v :

d



_

2 * * z x x y ne eB j F j m m  _   _{ }  _{ } _{ }     2 * * z y y x ne eB j F j m m  _   _{ }  _{ } _{ }     2 * z z ne j F m        

A condutividade elétrica com campo

magnético zero é ₂ 0

*

ne

m







A frequência de ciclotron é definida por

*

z c

e B

m





As equações para as componentes da densidade de corrente são então:

 

0 x x c y j  F    j

 

0 y y c x j  F    j 0 z z j  F Ou seja,

j





F





_

A condutividade agora é um tensor de segunda ordem, o tensor

magneto-condutividade:

 

 

0 2 2

1

0

1

0

1

0

0

1

c c c c

 





 

 

 



_









_

_



_

_

_

_









As soluções desse sistema de equações são:

 

2 0





1 1 x x c y c j  F  F     

 

2 0





1 1 y c x y c j   F F      0 z z j  F

 

 

 

 

0 0 2 2 0 0 2 2 0

0

1

1

0

1

1

0

0

c c c c c c





_{ }

 

 







 

 

 





_





_

_











 





























Efeitos do campo magnético

2. Efeito Hall: o campo magnético gera corrente elétrica perpendicular ao

campo elétrico aplicado (componentes fora da diagonal do tensor magnetocondutividade).

1. Magneto-resistência: a condutividade nas direções x e y são diminuídas

pelo fator 1/[1+(



_c



)2_{], ou seja, a resistência elétrica perpendicular ao campo}

Efeito Hall

• Força de Lorentz: elétrons (carga negativa) que vão de 4 para 3, sofrem

força magnética dirigida de 1 para 2.

• Se o circuito está aberto na direção x, a acumulação de elétrons torna o

lado 2 negativo em relação ao lado 1: tensão Hall.

• Em termos do desenvolvimento anterior, a corrente elétrica na direção x,

na presença do campo magnético orientado ao longo de z, gera corrente elétrica na direção y.

• Se os portadores de carga forem positivos (buracos), o lado 2 ficará

positivo em relação ao lado 1: sinal da voltagem Hall permite verificar se condução é por elétrons ou por buracos.

 

0 x x c y j  F    j

 

0 y y c x j  F    j 0 z z j  F

Voltando nas equações para a corrente elétrica,

e fazendo j_y = 0 e j_z = 0 (circuito aberto nessas direções), temos:

0 x x j  F

 

0 c x y j F      F_z  0 A voltagem Hall é

 

0 2 * / * 1 c x y x x j F e B j m n e m B j n e             

O coeficiente Hall é definido por

 

1 y H x F R j B n e   

Medida da voltagem Hall permite determinar o sinal dos portadores de carga

(elétrons ou buracos) e a concentração destes,

n

.

Em amostras com condução mista, elétrons e buracos, pode-se mostrar (Yu

e Cardona) que: ₂ 2 n p n p H n p n p n n R e n n









   _ _         _ _  _{ }  

A expressão acima pode ser facilmente alterada para quaisquer dois

portadores de carga de mobilidades diferentes, por exemplo elétrons nos

vales L e



do GaAs.

Expressões para o coeficiente Hall no caso de massas efetivas anisotrópicas

e/ou tempos de relaxação anisotrópicos também podem ser encontradas1_.

Até agora, cálculo para um único elétron (de massa m* e tempo de relaxação



.

Efeito Hall considerando a distribuição em energia dos portadores de carga

Como os portadores de carga não tem todos a mesma energia, é

necessário levar em conta essa distribuição em energia, calculando a densidade de corrente média:

onde a média é feita considerando a função distribuição em energia dos portadores:

   

 

0 0 f E j E dE j f E dE   





 

2 0





1 1 x x c y c j  F  F     

 

2 0





1 1 y c x y c j   F F      0 z z j   F

 

 

2 3 2 2 2 2 * ₁ * ₁ x x z y c c ne ne j F B F m m           2 0 * z z z ne j F F m    

 

 

3 2 2 2 2 2 * ₁ * ₁ y z x y c c ne ne j B F F m m          

As equações ficam então como:

Para campos magnéticos baixos, tais que (



_c



)2 _{<< 1, podemos aproximar}

1+(



_c



)2  _{1 e} 2 3 2 2 * * x x z y ne ne j F B F m  m    3 2 2 2 * * y z x y ne ne j B F F m  m    De onde obtemos 2 2 2 2 2 ₂ 1 1 y z x c F B j ne











          

Lembrando que estamos na aproximação de campos magnéticos baixos: 2 2 1 y z x F B j ne





  Ou seja, 2 2 1 y H z x F R B j ne





   O fator 2 2 H r





 é chamado de fator Hall.

Assim: H H r R ne  

com o fator Hall sendo determinado pelos mecanismos de espalhamento presentes na amostra.

Lembrando da dependência em energia dos tempos de relaxação para os diversos mecanismos de espalhamento determinados anteriormente,

podemos calcular o fator Hall.

Para espalhamento por fônons acústicos, via deformação de potencial:

2 2 1,18. H r





 

Para espalhamento por impurezas ionizadas:

2 2 1, 93. H r





  Em resumo:

₁

_{~ 2}

H

r





Pode-se mostrar (Yu e Cardona) que no limite de campos magnéticos intensos, (



_c



)2 _{>> 1, tem-se r}

Portanto, a medida da voltagem Hall permite a determinação do sinal dos portadores de carga mas o valor exato da concentração destes fica

dependente do conhecimento do fator Hall.

Medidas na mesma amostra do coeficiente Hall, R_H , e da condutividade

elétrica em campo zero,



₀ , permitem determinar a mobilidade Hall:

H H r R ne   2 0

*

ne

n e

m











0 H RH







A mobilidade Hall difere da mobilidade definida por

v

_d





F





pelo fator Hall:

H rH

Todo o desenvolvimento feito até agora para o efeito Hall supõe uma

geometria ideal, ou seja, uma amostra em forma de barra retangular onde se pode medir sem ambiguidades os valores de corrente e tensão em

direções perpendiculares.

Problema: nem sempre se tem, ou se pode obter, amostras com essa geometria ideal.

Método de van der Pauw

• amostra de formato arbitrário

• quatro contatos pequenos (em

relação à distância entre eles) colocados na amostra.

• L. J. van der Pauw (Philips

Tech. Rev. 20, 220, 1958)

A resistividade



da amostra (o inverso da condutividade) também pode ser medida pelo método de van der Pauw.

É necessário medir duas resistências:

41 41,23 23

V

R

I



e 24,13 24 13

V

R

I



A resistividade elétrica é dada pela expressão

onde f é um fator de correção que depende da razão entre as duas

resistências medidas, caindo de 1 quando a razão é 1 até 0,7 quando a razão entre as resistências é 10 e para 0,40 quando essa razão é 100 (ver artigo do van der Pauw citado acima).

Fator de correção para a expressão da resistividade van der Pauw

Minimizando o efeito dos contatos elétricos na medida do efeito Hall e resistividade pelo método de van der Pauw:

“Contribuição geométrica” para a magnetoresistência

O cálculo da magnetoresistência que fizemos supõe uma barra retangular de seção reta pequena, com a corrente fluindo uniformemente.

Se a amostra tem geometria diferente, a não-uniformidade das linhas de corrente leva à modificações na forma em que a resistência muda com o campo magnético. Esta é a chamada “contribuição geométrica”.

Esta contribuição pode ser muito grande:

O efeito é máximo para amostras do tipo Corbino.