Permutadores de Calor

Permutadores de Calor

1 - Introdução

Os permutadores de calor são equipamentos térmicos que têm como objectivo promover a transferência de calor entre duas ou mais correntes de fluidos.

A classificação de permutadores de calor pode ser efectuada de diversas formas consoante o critério considerado. Como exemplos podemos apresentar as seguintes classificações consoante os critérios:

1) Processo de transferência de calor - Contacto directo

Neste sistema existe contacto entre os fluidos entre os quais se permuta calor. Em alguns casos trata-se da mesma substância sendo o processo uma mistura. Outro exemplo são torres de refrigeração nas quais ar e água se separam, existindo no entanto transferência de massa das gotas de água para o ar húmido.

- Contacto indirecto.

Neste sistema podemos ainda ter a transferência directa ou através de um sistema intermédio de armazenamento/transporte. Na transferência directa os fluídos encontram-se em contacto com uma superfície sólida que os separa. Na transferência de calor com um meio intermédio é usado um fluído ou uma matriz sólida que transporta energia entrando em contacto alternativamente com os fluidos principais quente e frio. São exemplos deste tipo os permutadores utilizados em fornos e caldeiras para aquecer o ar para a combustão à custa dos produtos de combustão e os regeneradores nos ciclos de tubina de gás.

2) Tipo de construção

Os permutadores de contacto directo não são classificados sob este aspecto, sendo a sua constituição a de uma câmara onde se misturam os fluidos que permutam calor. Nos permutadores de contacto indirecto a classificação faz-se em relação à forma da superfície sólida que separa os dois fluídos e através da qual se processa a transferência de calor. As superfícies de transferência são na maioria tubos ou placas sendo os permutadores classificados pela disposição destes elementos.

- Construção tubular: Nestes permutadores um dos fluidos circula no interior de tubos circulando o outro fluido no exterior em tubo concêntrico ou no exterior dos tubos, sendo favorecido o escoamento perpendicular ao tubo por permitir maiores coeficientes de convecção.

- Construção em placas: As placas podem separar os fluidos e serem montadas em paralelo ou em espiral.

- Superfícies alhetadas: Tanto os permutadores baseados em tubos como placas podem possuir superfícies alhetadas.

- Nos permutadores com uma matriz sólida intermédia de transporte de calor a construção pode ser de matriz fixa onde periodicamente se troca o fluido que passa nessa ou rotativa (tambor ou disco) sendo neste caso a matriz sólida transportada.

3) Arranjo (tipo de escoamento)

A classificação quanto ao tipo de escoamento relativo entre os fluidos que trocam calor é importante pois permite formular modelos que descrevem a distribuição de temperatura. Nesta classificação distinguem-se os arranjos com passagens simples e múltiplas:

Passagens Simples: Neste tipo de permutadores cada fluido tem escoamento uniforme apenas numa direcção e sentido podendo serem classificados pela orientação relativa entre as correntes.

- Equicorrente, contra-corrente. Nestes casos ambos os fluidos deslocam-se na mesma direcção, respectivamente no mesmo sentido ou em sentidos opostos. - Correntes cruzadas onde os fluidos têm direcção do escoamento perpendicular. Passagens Múltiplas: Nestes permutadores um dos fluidos tem mais de um sentido de escoamento em relação ao outro ou diversas correntes. São exemplos.

- Configuração 2x1 em que a corrente de um dos fluidos tem duas passagens em sentidos opostos, uma em equicorrente e outra em contracorrente, em relação ao outro fluído que tem apenas uma passagem.

- Em permutadores com correntes cruzadas é usual existirem diversas passagens em série para um dos fluídos (em sentidos alternados) enquanto o outro fluído mantém sempre um escoamento perpendicular.

4) Mecanismo de transferência de calor

Em relação ao mecanismo de transferencia de ca1or os permutadores podem-se distinguir pela importância da convecção em relação à radiação. A convecção pode ainda dar-se com ou sem mudança de fase. O mecanismo de transferencia de ca1or para cada um dos fluidos no permutador pode ser diferente.

5) Grau de compactação

Esta classificação permite distinguir os permutadores quanto a sua área especifica designando-se como compactos os permutadores com valores superiores a 700 m2/m3. Este valor não é rigido mas dá a indicação que se consideram como compactos permutadores em que a dimensão característica é da ordem de mm.

6) Aplicações

As aplicações dos permutadores são muito numerosas podendo no entanto efectuar-se uma classificação tendo em conta o objectivo da sua utilização. São apresentados alguns exemplos:

Grandes instalações: Caldeiras de aquecimento e de geração de vapor Com mudança de fase: Geradores de vapor, Evaporadores, Condensadores. Permuta de calor sem mudança de fase: Aquecedores, arrefecedores

Recuperação de calor: Recuperadores quando o calor aproveitado é para outra aplicação e regeneradores quando o calor é aproveitado no próprio ciclo térmico.

Dissipadores: Radiadores, torres de arrefecimento. Nestes pretende-se apenas efectuar um arrefecimento não sendo utilizada a energia transferida para o outro fluido.

2 - Equações gerais para permutadores de calor

Neste capitulo vamos analisar a distribuição de temperatura nos permutadores de calor e apresentar os métodos principais para a sua análise. Para analisar um permutador de calor é necessário analisar os balanços de energia aos fluídos e as equações de transferência de calor, conforme indicado de seguida.

Equações de balanço de energia

Para a análise de permutadores de calor de uma forma simplificada considera-se que os fluidos são caracterizados por um calor específico constante. Com esta hipótese simplificativa podem-se desenvolver equações para o balanço de energia, diferença média de temperatura e eficiência do permutador de uma forma simples. Neste caso o calor perdido pelo fluído quente e ganho pelo fluído frio podem ser escritos como:

( ) (

p _q qe qs

)

q mc T T Q& = & −

( ) (

p _f fs fe

)

f mc T T Q& = & −

O fluido com mudança de fase pode ser considerado como um caso particular da análise apresentada anteriormente. Para este caso admitindo que a mudança de fase se dá a pressão constante (desprezando as perdas de carga) considera-se que a temperatura não varia e então cp=∞.

Em muitas aplicações pretende-se que o calor seja integralmente transferido do fluído quente para o frio e assim considera-se que o permutador tem um funcionamento adiabático, isto é sem perdas de calor para o exterior. Neste caso verifica-se uma igualdade entre a taxa de transferência de calor e a potência trocada por cada fluído.

No caso de se considerar uma forma mais complexa para a variação da entalpia com a temperatura, obviamente que se podem efectuar cálculos numéricos. No caso do permutador não ser adiabático o calor realmente permutado através da superfície de transferência pode ser calculado da potência trocada por um dos fluídos se este estiver confinado no interior do outro que então terá trocas com o ambiente. Num caso geral ambos podem ter trocas com o ambiente requerendo uma análise específica detalhada.

Coeficiente global de transferência de calor

Nos permutadores de calor de contacto indirecto e transferência directa os fluidos que permutam energia encontram-se separados por uma superfície de transferência de calor. A troca de calor entre cada fluído e a superfície pode ser descrita por um coeficiente de convecção, podendo incluir um rendimento no caso de existirem superfícies alhetadas.

(

Abase Afin f

) (

hTfluido TSupExp

)

Q& = + η −

A transferência de calor pode também ser reduzida devido à existência de resistências localizadas. No caso das superfícies alhetadas podem existir resistências térmicas de contacto e de uma forma geral existem resistências térmicas devido à formação de depósitos nas superfícies e que designaremos por resistências de sujamento. Estas resistências podem ter denominações específicas de acordo com o processo de formação dos depósitos (scaling,

fouling, slagging, ...). No caso de se considerar resistências localizadas a taxa de transferência

de calor pode ser relacionada com as diferenças de temperatura entre a superfície exposta e a superfície sólida do meio que separa os fluídos.

(

TSupExp TSupSol

)

RSuj

A

Através da superfície sólida que separa os fluídos existe uma resistência térmica devido à condução de calor. No caso de um tubo circular pode-se escrever:

(

SupSolExt SupSolInt

)

(

i

)

pT T ln D D

Lk

Q&=2π −

A área sujeita à convecção para cada um fluidos em geral não é igual, especialmente no caso de se utilizarem superfícies alhetadas (ou pinos). A transferência de calor num permutador é caracterizada por um coeficiente global de permuta de calor U [W/m2_{K] que pode ser escrito} de diversas formas dependendo da configuração do permutador. Para cada tipo de permutador selecciona-se uma determinada área de referência. No caso de superfícies compactas alhetadas considera-se a área total incluindo a das alhetas e calcula-se o valor de AU por exemplo na forma:

(

)

(

)

1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 −       + + + + + + = a a b , Suj b , Suj a a b h A A R k A t R A A h AU η η

para o caso de superfícies alhetadas separadas por parede plana. Devido ao aparecimento de diversas áreas, para os permutadores compactos como se irá ver definem-se parâmetros característicos da superfície como a área das alhetas em relação à total, a área de permuta de um lado em relação ao outro e a área de permuta de referência por unidade de volume, facilitando os cálculos. No caso de permutadores de placas considera-se a área projectada e no caso de permutadores tubulares considera-se a área exterior dos tubos, conduzindo a:

(

)

1 1 1 −               + + + + = i i, Suj i P i e , Suj e h R D D k D D ln D R h U

A taxa de transferência de calor pode então ser definida pelo produto da capacidade de transferência de calor (AU) pela diferença média de temperatura entre os fluidos.

(

T T

)

AU T

AU

Q& = _q− _f = ∆

A diferença média de temperatura entre os fluídos depende da configuração do permutador e é analisada de seguida para alguns casos.

Diferença média de temperatura num permutador

Ao longo de um permutador a temperatura do fluído e da superfície variam surgindo assim a necessidade de analisar os perfís de temperatura em configurações típicas e definir a diferença média de temperatura entre os fluídos. A análise para o caso de equi-corrente ou contra-corrente é simples, enquanto para outras configurações o cálculo é mais complexo, sendo apresentados apenas os resultados finais desses casos.

Para o caso de um permutador de correntes paralelas, podem-se considerar dois sentidos para as correntes conduzindo a quatro possibilidades ilustradas na tabela seguinte. Para cada um dos casos o balanço de energia aos fluidos em forma diferencial apresenta uma forma diferente como indicado.

1 Equicorrente 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Distância Axial0.45 0.9 T emp er at u ra 2 Equicorrente 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.55 0.1 Distância Axial Tem p er at u ra 3 Contra-corrente 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Distância Axial0.45 0.9 Tem p er at ur a 4 Contra-corrente 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 Distância Axial0.55 0.1 Tem p er at ur a

( )

p _q q q mc dT Q d& =− &

( )

p _f f f mc dT Q d& = &

( )

p _q q q mc dT Q d & = &

( )

p _f f f mc dT Q d& =− &

( )

p _q q q mc dT Q d & =− &

( )

p _f f f mc dT Q d & =− &

( )

p _q q q mc dT Q d & = &

( )

p _f f f mc dT Q d & = &

Para determinar a distribuição de temperatura usam-se estas equações em conjunto com a equação de transferência de calor indicada a seguir:

(

T T

)

dx PU

Q

d&= q− f

Definindo a variável θ =Tq-Tf pode-se formular uma equação diferencial para essa variável, atendendo à igualdade entre o calor trocado pelos dois fluídos. Para o caso equicorrente podem-se escrever os dois conjuntos de expressões que conduzem às equações indicadas a seguir.

( ) (

)

( ) (

)

       − = − − = f q f p f f q q p q T T c m PU dx dT T T c m PU dx dT & &

( ) (

)

( ) (

)

       − − = − = f q f p f f q q p q T T c m PU dx dT T T c m PU dx dT & &

( ) ( )

θ θ θ EC f p q p B c m c m PU dx d ₌₋         + − = & & 1 1

( ) ( )

θ θ θ EC f p q p B c m c m PU dx d ₌         + = & & 1 1

Sendo a única diferença entre as duas expressões o sinal. Integrando as equações obtidas obtém-se uma evolução exponencial em ambos os casos sendo aplicado em ambos os casos como condição fronteira a diferença de temperatura na extremidade para x=0 do permutador. Substituindo em ambos os casos para x=L podemos verificar que as duas expressões são equivalentes, como seria de esperar.

x BEC e− =θ₀ θ eBECx 0 θ θ = x B fs qs fe qe L e EC T T T T ₋ = − − = 0 θ θ B x fe qe fs qs L e EC T T T T = − − = 0 θ θ

A partir daqui sem perda de generalidade utiliza-se a primeira expressão. O parâmetro BEC é um parâmetro característico das condições de funcionamento do permutador e pode também ser escrito em termos dos valores da temperatura nas extremidades:

( ) ( )

(

) (

Q

)

Q T T T T Q T T Q T T c m c m B qe fe qs fs L f fe fs q qs qe f p q p

EC _{& & & &}

& & θ θ − = − − − = − + − = + = 1 1 0

Podemos então escrever uma equação para as diferenças de temperatura nas extremidades substituindo o parâmetro BEC na expressão de θ(x) para x=L:

(

)

     ₋ − = = − _PUL Q e B L L L EC _& θ θ θ θ θ 0 0 0 exp

A diferença média de temperatura entre os dois fluídos pode ser definida como o valor do calor permutado Q& a dividir pelo valor de AU. Para o permutador considerado a área de

transferência A é igual ao produto do perímetro P pelo comprimento L. Assim:

(

L

)

L AU Q T θ θ θ θ 0 0 ln − = = ∆ &

Esta diferença média de temperatura é denominada de diferença média de temperatura logarítmica. No caso considerado (equicorrente) este valor pode ser escrito como:

(

) (

)

(

) (

)

[

qe fe qs fs

]

fs qs fe qe EC Ln T T T T T T T T T − − − − − = ∆ ln

Para o caso do escoamento em contra-corrente pode-se repetir a análise apresentada para o caso equi-corrente. Neste caso as equações para θ são as seguintes:

( ) ( )

θ θ θ CC f p q p B c m c m PU dx d ₌₋         − − = & & 1 1

( ) ( )

θ θ θ CC f p q p B c m c m PU dx d ₌         − = & & 1 1

que se podem verificar ser equivalentes tal como anteriormente. Integrando obtêm-se:

x BCC e− =θ0 θ eBCCx 0 θ θ = x B fe qs fs qe L e CC T T T T ₌ − − − = 0 θ θ B x fs qe fe qs L e CC T T T T = − − = 0 θ θ

No caso contra-corrente o parâmetro BCC toma o valor:

( ) ( )

(

) (

Q

)

Q T T T T Q T T Q T T c m c m B qe fs qs fe L f fe fs q qs qe f p q p

CC _{& & & &}

& & θ θ − = − − − = − − − = − = 1 1 0

Podemos então verificar que a diferença média de temperatura toma a mesma forma que no caso equi-corrente. As diferenças de temperatura nas extremidades do permutador no entanto não são as mesmas e em termos das temperaturas de entrada e saída dos fluídos pode-se escrever:

(

) (

)

(

) (

)

[

]

Ln fe qs fs qe fe qs fs qe CC Ln CC T T T T T T T T T T T =∆ − − − − − = ∆ = ∆ ln

sendo utilizado o simbolo ∆TLn sem índice pois esta expressão é mais utilizada como se irá ver a seguir. Na aplicação desta equação é indiferente trocar as diferenças de temperatura entre as extremidades, mas deve-se notar que a diferença deve ser sempre entre o valor maior e o menor, caso contrário conduz a valores negativos.

Convém também aqui chamar a atenção para o caso em que os valores das capacidades térmicas m& de ambos os fluídos são iguais, pois neste caso Bcp CC=0 indicando que a diferença

de temperatura entre os dois fluídos é constante.

Para além dos casos de equicorrente e contracorrente existem outros casos de permutadores com correntes paralelas que permitem determinar a distribuição de temperatura a partir de modelos unidimensionais. Uma configuração aproximada que surge em muitas aplicações é o caso do permutador 2x1 que consiste em ter um fluído com uma única passagem trocando calor com o outro fluído que tem duas passagens, uma em equicorrente e outra em contracorrente como indicado na figura. Existem duas alternativas para este tipo de arranjo O sentido das correntes inicialmente tem influência na distribuição de temperatura mas não influi a potência térmica trocada. No caso da capacidade de transferência (AU) ser elevada quando o segundo fluído entra primeiro em contracorrente pode inclusivamente conduzir a um cruzamento de temperatura, isto é a temperatura do fluído frio pode ultrapassar a do quente à saída quando o escoamento é em equicorrente (situação ilustrada a tracejado na figura). 2x1 CC - EC 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Distância Axial0.45 0.9 Te m p e ra tur a 0 0 0.2 0 0.2 2x1 EC - CC 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Distância Axial0.45 0.9 Te m p e ra tur a 0 0 0.2 0 2x1 CC - EC 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Distância Axial0.45 0.9 Te m p e ra tur a 0 0 0.2 0 0.2 2x1 CC - EC 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Distância Axial0.45 0.9 Te m p e ra tur a 0 0 0.2 2x1 CC - EC 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Distância Axial0.45 0.9 Te m p e ra tur a 0 0 0.2 0 0.2 0 0.2 0 0.2 2x1 EC - CC 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Distância Axial0.45 0.9 Te m p e ra tur a 0 0 0.2 0 2x1 EC - CC 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 Distância Axial0.45 0.9 Te m p e ra tur a 0 0 0.2 0 2x1 EC - CC 2x1 CC - EC

A diferença de temperatura entre os fluídos pode ser calculada para o primeiro caso com base em balanços de energia aos fluídos e na equação de transferência de calor.

A diferença de temperatura média entre os fluídos é dada por:

      − + = ∆ 1 2 1 2 1 1 2 Aux Aux Aux Aux ln Aux T x onde

(

) (

)

    − + − = − + − = 2 2 2 1 fe fs qs qe fe qs fs qe T T T T Aux T T T T Aux

Distribuição de temperatura dos fluídos

Para além da diferença média de temperatura entre os dois fluídos, pode-se determinar também o perfil de temperatura para cada uma das correntes. Este resultado é obtido considerando o calor trocado entre a posição x=0 e uma posição x qualquer:

(

Bx

)

x _Bx x _B e UP dx e UP Q − − − =

∫

₀ 0 = 0 1− 0 θ θ &

válido para qualquer das configurações (EC ou CC) desde que se use os parâmetros θ0 B

específico. Para cada caso, tendo em conta o sentido do escoamento pode-se efectuar o balanço de energia aos fluídos quente e frio conduzindo a:

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

    − = − = − − fe f f p x q qe q p x T x T c m Q x T T c m Q & & & & 0 0 1 Equi- corrente

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

    − = − = − − x T T c m Q x T T c m Q f fs f p x q qe q p x & & & & 0 0 3 Contra- corrente

A partir da igualdade entre cada uma destas expressões e o calor trocado, pode-se determinar as distribuições de temperatura conduzindo às expressões:

( )

(

)

q x B fe qe q qe R e T T x T T EC + − = − − − 1 1

( )

(

)

f x B fe qe fe f R e T T T x T EC + − = − − − 1 1 Equicorrente

( )

L B q x B fe qe q qe CC CC e R e T T x T T − − − − = − − 1 1

( )

L B q x B q fe qe f qe CC CC e R e R T T x T T − − − − = − − 1 1 Contracorrente

onde se introduziram as variáveis R_q=

( ) ( )

m&c_{p q} m&c_{p f} e R_f =

( ) ( )

m&c_{p f} m&c_{p q}que representam a relação entre as capacidades térmicas de ambos os fluídos. No caso das capacidades térmicas serem iguais, Rq=1 e para o caso contracorrente o perfil de temperatura é linear,

sendo o perfil dado por:

( )

[

( )

_{( )}

(

)

]

UPL c m UPx T x L UP c m T x T q p fe q p qe q ₊ + − + = & &

_{( )}

[

( )

]

(

)

( )

mc UPL x L UP T UPx c m T x T f p qe f p fe f ₊ − + + = & &

A partir destas equações pode-se facilmente determinar expressões para a temperatura média de cada fluído no permutador mas normalmente para cálculos utiliza-se uma média aritmética para o fluído com maior capacidade térmica (maior m&cp) e estima-se a temperatura do outro

fluído com a diferença média de temperatura.

Método θ e F-∆T

Ln

Como se viu anteriormente a diferença média de temperatura num permutador pode ser expressa em função das temperaturas de entrada e saída de ambos os fluídos. Adicionalmente a temperatura de saída de ambos os fluídos também pode ser expressa em função das temperaturas de entrada, pelo que a diferença média de temperatura também pode ser expressa em função da diferença entre os valores das temperaturas de entrada. As equações obtidas para a diferença média de temperatura podem ser complexas como se viu para o caso

do permutador 2x1 sendo ainda mais no caso de outras configurações. Torna-se assim interessante definir coeficientes que permitam relacionar a diferença média de temperatura com diferenças fáceis de calcular.

A diferença média de temperatura entre os fluídos é sempre inferior à diferença entre as temperaturas de entrada podendo essa razão ser expressa pelo factor θ.

(

Tqe Tfe

)

T − ∆ = θ

Este factor pode ser calculado de forma fácil para os casos de duas correntes paralelas. Para o caso do permutador contra corrente este factor é definido por:

(

) (

)

(

qe fe

) (

[

qe fs

) (

qs fe

)

]

fe qs fs qe T T T T ln T T T T T T − − − − − − = θ

No argumento do logaritmico pode-se isolar a diferença entre as temperaturas das entradas conduzindo a:

(

)

(

)

(

(

qe qs

) (

) (

qe fe

)

)

fe qe fe fs fe qs fs qe T T / T T T T / T T T T T T − − − − − − = − − 1 1

onde surgem dois factores que representam a variação de temperatura de cada uma das correntes em relação ao máximo que poderiam variar na configuração de contra-corrente. Definindo os parâmetros P como estes valores para as duas correntes:

(

)

(

qe fe

)

fe fs f _{T T} T T P − − = e

(

₍

)

₎

fe qe qs qe q _{T T} T T P − − =

Estes dois factores encontram-se relacionados pela relação entre as capacidades caloríficas que também pode ser definida como já indicado de duas formas:

( )

( )

(

(

)

)

f q fe fs qs qe q p f p f _P P T T T T c m c m R = − − = = & & e

_{( )}

( )

(

₍

)

₎

q f qs qe fe fs f p q p q _P P T T T T c m c m R = − − = = & &

O cociente entre as diferenças de temperatura pode-se também escrever como:

(

) (

)

(

)

= − =

(

1−

) (

= −1

)

− − − − f f q q f q fe qe fe qs fs qe _{P P P R P R} T T T T T T

em função dos parâmetros definidos para um ou outro fluído. Assim o factor θ pode ser expresso em função dos parâmetros de qualquer dos fluídos e pode-se facilmente verificar que o resultado é equivalente, pelo que se pode omitir o índice do fluído.

(

)

(

) (

)

[

]

[

(

(

) (

)

)

]

[

(

P

(

) (

)

PR

)

]

R P R P P R P P R P R P f f f f f q q q q q CC _{− −} − = − − − = − − − = 1 1 ln 1 1 1 ln 1 1 1 ln 1 θ

A função θ pode também ser representada graficamente sendo no entanto necessário calcular (ou assumir) uma temperatura de saída para o cálculo do factor P. Para R=1 a expressão anterior conduz a uma indeterminação que levantada conduz a θCC=1-P.

Para o caso do permutador equicorrente pode-se definir o factor θ a partir da diferença média de temperatura logarítmica para este caso conduzindo a:

(

) (

)

(

qe fe

) (

[

qe fe

) (

qs fs

)

]

fs qs fe qe fe qe EC Ln EC _{T T T T T T} T T T T T T T − − − − − − = − ∆ = ln θ

Substituindo as diferenças de temeratura em função da diferença de temperatura entre as entradas pode-se definir de igual modo o parâmetro θ em função de P e de R:

(

)

(

)

[

1 1

]

ln 1 + − + − = R P R P EC θ

Tal como no caso anterior este parâmetro adimensional é inferior à unidade e pode ser representado gráficamente. Pode-se observar que os valores resultantes desta função são sempre inferiores aos produzidos para o caso contracorrente. A configuração contracorrente para parâmetros fixos P e R indicam uma maior diferença média de temperatura entre os fluídos. Assim o mesmo calor permutado (traduzido pelo valor de P igual) pode-se verificar que a configuração contra-corrente é aquela que apresenta a maior capacidade de transferência (AU). Por outro lado para o mesmo valor da capacidade de transferência a configuração contra-corrente é a que permite maximizar a transferência de calor. Por este facto desenvolveu-se o método F-∆TLn em que se exprime a diferença média de temperatura para um permutador qualquer como o produto do factor F pela diferença média de temperatura logarítmica (definida como no caso da configuração contracorrente). Para o permutador equicorrente pode-se definir o factor F a partir da razão entre os valores de definidos anteriormente:

(

) (

)

[

]

(

)

[

P R

]

PR P R R T T F CC EC Ln EC Ln EC _{− +} − −       − + = = ∆ ∆ = 1 1 ln 1 1 ln 1 1 θ θ

Os parâmetros P e R como se tinha visto anteriormente podem ser definidos escolhendo um dos fluídos mas deve-se manter a coerência entre os valores. Para o caso R=1 a expressão anterior dá uma indeterminação que levantada conduz a:

[

P

]

P FEC 2 1 ln ) 1 /( 2 − − − = (neste caso P<0,5)

Para o permutador 2x1 a partir da expressão para a diferença média de temperatura podem-se também definir os parâmetros θ e F, conduzindo a:

        + + − + + − − + + = 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 R P R R P R ln R P x θ

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

_      + + + − + − + − ⋅ − − = 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 R R P R R P ln R P P ln

F que no caso R=1 resulta em:

₍

(

)

₎

(

)

_    + − − − − = 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 P P ln P P F

Estas funções encontram-se representadas graficamente com um esquema que indica os parâmetros P e R definidos para o fluído que efectua apenas uma passagem:

e s s e e e e s T T T T R T T T T P 2 2 1 1 2 1 2 2 _; − − = − − =

Como se referiu anteriormente podem-se considerar também os valores definidos para o outro fluído, tal como indicado junto da representação gráfica. A diferença média de temperatura e o factor F para este permutador pode ser utilizada sem grande erro para a situação de 4*1 e 8*1.

Para outras configurações de escoamento a obtenção dos factores θ e F de forma explícita é complexa ou mesmo impossível, pelo que nestes casos se dispõe apenas de valores representados em forma gráfica ou em tabelas, existindo no entanto expressões que aproximam aqueles resultados. Para utilizar qualquer dos factores necessários apesar de no caso de θ se multiplicar este valor pela diferença entre as temperaturas de entrada dos dois fluídos é necessário pelo menos um valor da temperatura de saída para calcular o factor P. Para calcular a potência térmica trocada a partir das temperaturas de entrada e dos parâmetros de funcionamento do permutador é necessário considerar a equação de transferência de calor que é utilizada na formulação do método ε - NTU descrito a seguir.

Método

ε

-NTU

Como acabado de referir este método permite determinar a potência transferida no permutador a partir do conhecimento das temperaturas de entrada e das características de operação do permutador e que são as capacidades térmicas de ambos os fluídos e a capacidade de transferência de calor:

( ) ( )

m&cp _f; &mcp _q;AU

A eficiência do permutador é definida como o valor do calor permutado em relação ao máximo que se pode permutar entre duas correntes de fluídos com temperatura de entrada conhecidas. Como a configuração de contra-corrente é a que permite a maior transferência de calor é com base nesta que se vai considerar a situação idealizada. A variação de temperatura de cada fluído no permutador é inversamente proporcional à sua capacidade térmica devido à igualdade entre as potências. Com base na distribuição de temperatura para o permutador de contra-corrente, pode-se observar que a temperatura de saída do fluído com menor capacidade térmica pode atingir a temperatura de entrada do outro fluído (No caso ilustrado anteriormente o fluído com menor capacidade térmica é o frio). Assim define-se a máxima quantidade de calor transferida como o produto da menor capacidade térmica do fluido pela diferença entre as temperaturas de entrada dos dois fluídos.

( ) (

p qe fe

)

Máx mc T T

Q& = & _min −

Como a definição de eficiência depende do fluído que tem menor capacidade térmica m& c_p

utiliza-se como nomenclatura letras minúsculas para a temperatura deste fluído e maiúsculas para o outro fluído. Assim sem perda de generalidade pode-se escrever:

( )

(

)

( )

_pp

(

s_e e_e

)

(

(

s_e e_e

)

)

Máx T t t t t T c m t t c m Q Q − − = − − = = min min & & & & ε

Pode-se facilmente verificar que esta expressão conduz sempre a valores positivos, apesar de poderem ser ambas os factores negativos. O valor da potência no entanto deverá ser sempre tomada em valor absoluto. A definição da eficiência é sempre coincidente com a definição do factor P para o fluído de menor capacidade térmica. Como vimos anteriormente a razão entre as capacidades térmicas é outro parâmetro com interesse para a análise definindo-se aqui com um r minúsculo a razão entre a capacidade térmica menor e a maior, que pode também ser expressa a partir de diferenças de temperatura.

( )

( )

(

(

e s

)

)

e s Maior p menor p t t T T c m c m r − − = = & &

A partir das definições anteriores pode-se representar a variação da temperatura em cada uma das correntes em função da diferença das temperaturas de entrada dos dois fluidos por:

(

ts−te

) (

=ε Te−te

)

(

Te−Ts

)

=εr

(

Te−te

)

Estas equações são gerais e permitem calcular as temperaturas de saída para qualquer tipo de permutador desde que seja conhecida a sua eficiência. A eficiência permite calcular a potência térmica a partir de:

( )

mcp _min Te te

Q& = & ε −

A potência térmica pode também ser calculada a partir da diferença entre as temperaturas de entrada e do parâmetro θ. e e t T AU Q&= θ −

permitindo observar que se pode definir um grupo adimensional como a razão entre a capacidade de transferência de calor e a capacidade térmica mínima dos fluídos a que se dá o nome de Número de Unidades de Transferência (Number of Transfer Units).

( )

θ ε = = min p c m AU NTU &

Como o parâmetro θ pode ser expresso em termos dos factores P e R e como estes podem ser equivalentes respectivamente a ε e r pode-se então concluir que existe uma relação entre ε, NTU e r que constituí o método ε−NTU. O factor NTU relaciona-se também com a diferença média de temperatura logarítmica e com o factor F por:

(

) (

)

(

) (

)

[

]

_    − − − − −       = ∆ − = = ε ε ε ε ε ε θ ε 1 1 ln 1 1 r r F T F t T NTU Ln e e

Assim para todos os casos em que exista uma equação para θ ou F em função de P e R,

pode-se obter equações entre NTU, ε e r. Os valores de ε e r coincidem com os de P e R no caso do

fluído considerado na definição ser o de menor capacidade térmica, caso contrário verifica-se que ε=PR ou P=εr e r=1/R.

Relações

ε

-NTU para diversas configurações

Para o caso contra-corrente em que F=1 obtem-se os resultados seguintes:

(

)

(

)

(

)

(

NTU r

)

exp * r r NTU exp − − − − − − = 1 1 1 1 ε

(

(

) (

)

)

r r * ln NTU − − − = 1 1 1

ε

ε

Para r=1 a expressão para ε e NTU dá uma indeterminação que eliminada conduz a:

(

NTU

)

NTU +

= 1

ε NTU =ε

(

1−ε

)

Para r=0 as expressões acima reduzem-se a:

)

NTU

exp(

−

−

= 1

ε

NTU =−ln(1−ε)

Estas expressões são válidas para qualquer arranjo de escoamento com r=0 pois o fluido com capacidade térmica menor está sempre em contacto com o outro fluído a temperatura constante.

Para o permutador de equicorrente, pode-se obter o valor de NTU a partir da definição da diferença média logarítmica deste caso ou de θ conduzindo a:

(

)

(

)

r r NTU exp + + − − = 1 1 1 ε

(

(

)

)

r r ln NTU + + − − = 1 1 1 ε Para o permutador 2x1 obtém-se

(

)

(

)

1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 −         + − − + − + + + + ∗ = r NTU exp r NTU exp r r ε 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 r r r r r ln NTU +         + + − + + − − + = ε ε Para além destes casos para os quais se apresentou a diferença média de temperatura e o factor θ, existem outras configurações para as quais se estabeleceu a relação entre a eficiência e o número de unidades de transferência. Foram desenvolvidas expressões para o caso da configuração de correntes cruzadas. Para cada fluído considera-se que não existe mistura transversal (na direcção do escoamento do outro fluído) ou que essa mistura é perfeita. A hipótese de não se considerar mistura transversal é realista no caso do escoamento ocorrer de forma confinada em tubos ou em canais formados por exemplos em superfícies alhetadas. No caso de ambos os fluídos serem separados as distribuições de temperatura são bi-dimensionais e a eficiência é expressa por:

(

)

(

) (

)

NTU r m NTU r NTU r m NTU NTU n n m m n m m ⋅               ⋅ ⋅ − −       − − =

∑

∞

∑

∑

=0 =0 =0 ! exp 1 ! exp 1 ε

Como esta formula é muito complexa e pouco prática para cálculos pode-se utilizar uma expressão aproximada dada por:

[

]

(

)

{

exp r NTU NTU r

}

exp 0.78 ₁ 0.22

1− − ⋅ − ⋅

= ε

No caso de existir mistura transversal do fluído a temperatura na direcção do escoamento do outro fluído tende a ser uniforme, sendo esta hipótese considerada para derivar a distribuição de temperatura que passa assim a ser unidimensional. Se ambos os fluídos se encontram misturados na direcção transversal de cada os resultados conduzem a:

(

) (

)

1 1 1 1 1 −       ₋ − − + − − = NTU ) r * NTU exp( r ) NTU exp( ε

No caso de um dos escoamentos ter mistura transversal e o outro ser separado a solução depende de qual tem a menor capacidade térmica. No caso do fluido com menor capacidade térmica se encontrar misturado a solução é dada por:

(

)

(

)

[

exp NTU*r r

]

exp− − − − =1 1 ε NTU =−

[

ln

{

1+r⋅ln

(

1−ε

)

}

]

r

Enquanto para o caso em que o fluido misturado é o que tem maior capacidade térmica a solução é:

(

)

(

)

[

]

(

)

[

−exp −r* −exp −NTU

]

r

= 1 1

ε NTU =−ln

{

1+

[

ln

(

1−εr

)

]

r

}

Um caso particular deste tipo de configuração ocorre quando um fluído circula em tubos em paralelo e outro fluído escoa-se perpendicularmente aos tubos com mistura transversal. No caso do número de tubos ser muito elevado podem-se usar as expressões anteriores enquanto se o número de tubos for muito pequeno devem-se usar valores representados graficamente calculados para esses casos. No caso do escoamento nos tubos não ocorrer em paralelo mas sim em série a distribuição de temperatura é diferente e existem também resultados representados graficamente. O tratamento dos arranjos com tubos podem ser tratados considerando as configurações como combinações de permutadores constituídos apenas por um tubo imersos numa corrente perpendicular em que o escoamento se verifica em paralelo ou em série enquanto o escoamento do fluído perpendicular aos tubos se verifica sempre em série. Este tipo de tratamento vai ser analisado no capítulo seguinte e é aplicável sempre que se considere que a temperatura do fluído entre permutadores em série se encontra a uma temperatura uniforme, ou seja aplica-se aos casos em que se assume mistura transversal. Em casos em que não existe mistura transversal do fluído e existem ligações em série ou em paralelo entre permutadores, não se pode aplicar a teoria desenvolvida no capítulo seguinte e devem-se usar resultados apresentados na literatura, por exemplo em forma gráfica para a variação da eficiência com NTU e r.

3 – ASSOCIAÇÕES DE PERMUTADORES

Relações entre temperaturas de entrada e saída

No caso de se associarem permutadores pode-se calcular a eficiência do conjunto de permutadores tendo em conta que a temperatura de saída de cada permutador pode-se exprimir em função dos valores de entrada utilizando a eficiência (ε) e a razão de capacidades térmicas (r) como vimos antes. Com efeito podemos exprimir a partir de:

e e e s t T t t − − = ε e e s s e t t T T r − −

= as seguintes equações para a temperatura de saída:

(

)

(

)

   − + = + − = e e s e e s t T t rt T r T ε ε ε ε 1 1

ou sob forma matricial _

     ×       − =       e e s s t T -ε εr r t T 1 1 ε ε

De igual modo invertendo a matriz podemos exprimir também as temperaturas de entrada em função das de saída por:

(

+

)

_ − _×_ _ − =       s s e e t T r r t T ε ε ε ε ε - 1 -r 1 1 1 1

As equações acima podem também ser resolvidas de modo a exprimir a temperatura de entrada de um dos fluidos e a de saída do outro em função das outras temperaturas:

(

)

      ×       − + − =       s e e s t T r t T 1 r 1 1 1 1 ε ε ε ε ou

(

)

_     ×       + − =       e s s e t T r r t T 1 -1 r 1 1 1 ε ε ε ε

Para além destas equações podem ainda exprimir-se as temperaturas de um dos fluídos em função das temperaturas do outro fluído conduzindo às matrizes seguintes:

(

)

( )

(

(

)

)

_×_ _    + − =       e s s e T T r -r t t 1 1 -1 r 1 1 1 ε ε ε ε ou

(

)

(

)

(

)

_×_ _    + − − =       e s s e t t r r T T 1 -1 1 1 1 1 ε ε ε ε

A tabela seguinte apresenta um resumo de todas as equações indicando-se na linha qual a temperatura que é representada em função de outras duas quando não se conhece o valor da temperatura indicada na coluna.

Ts=? ts=? Te=? te=? Ts= ---

(

1

−

ε

r

)

T

e

+

ε

r

t

e

(

)

(

(

)

)

ε ε ε t_s− − +r t_e − r 1 1 1

(

(

)

)

ε ε ε − + − + 1 1 1 rts r Te ts= εTe+

(

1−ε

)

te ---

(

(

)

)

r t T_{s e} ε ε ε − + − + 1 r 1 1

(

)

(

(

)

)

r

T

T

_{s e}

ε

ε

ε

1

1

r

1

−

−

−

+

Te=

(

)

ε ε − − _e s 1 t t

r

1

rt

T

_{s e}

ε

−

ε

−

---

(

)

_{( )}

r 1 1 t r T 1 s s + ε − ε − ε − te= ε − ε − 1 T t_{s e}

(

)

r T r 1 T_{s e} ε ε − −

(

)

( )

1 r 1 T t r 1 s s + ε − ε − ε − --- Estas equações são gerais e podem-se aplicar para qualquer tipo de permutador utilizando a eficiência para a configuração a que dizem respeito e a razão de capacidades térmicas. Estas equações são utilizadas a seguir para o estudo de arranjos de permutadores.

Exemplo de eficiência de associação de permutadores

Consideram-se associações quando existam diversos permutadores que utilizam os mesmos fluídos que podem circular em série ou paralelo. Como vimos acima existem relações entre as temperaturas de entrada e saída de cada unidade pelo que se pode definir também uma relação entre as temperaturas de entrada e saída de conjuntos de permutadores. Pode-se assim igualmente definir a eficiência de conjuntos de permutadores. Apresenta-se de seguida um exemplo ilustrativo com três permutadores que apresentam eficiências conhecidas. Como todas as ligações são em série a razão entre as capacidades térmicas r é igual para todos os permutadores e para o seu conjunto.

Para o caso apresentado podem-se escrever as equações seguintes relacionando as temperaturas de saída de cada permutador com as respectivas temperaturas de entrada:

1)

(

₍

)

₎

   − + = + − = 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 t T t rt T r T ε ε ε ε ; 2)

(

₍

)

₎

   − + = + − = 1 2 2 2 2 1 2 2 2 3 1 1 t T t rt T r T ε ε ε ε ; 3)

(

₍

)

₎

   − + = + − = 2 3 1 3 3 2 3 1 3 2 1 1 t T t rt T r T ε ε ε ε

Para agrupar os permutadores 2 e 3 que se encontram em contra-corrente temos de eliminar as temperaturas intermédias T2 e t2 que se podem exprimir como:

(

)

(

)

r t r T r T 3 2 1 2 3 1 3 2 ₁ 1 1 ε ε ε ε ε − − + − = e

(

) (

)

r t T r t 3 2 1 2 1 3 2 2 ₁ 1 1 ε ε ε ε ε − − + − =

Substituindo estes valores podemos exprimir as temperaturas de saída T3 e t3 em função das temperaturas de entrada T1 e t1 como:

(

)(

)

(

(

)

)

r rt r T r r T 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 3 ₁ 1 1 1 ε ε ε ε ε ε ε ε − + − + + − − =

(

)

(

) (

)(

)

r t T r t 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 3 1 1 1 1 ε ε ε ε ε ε ε ε − − − + + − + =

Estas equações podem ser comparadas com as que se obtêm considerando a associação dos permutadores 2 e 3 (indicado a tracejado) que tomam a forma:

(

)

(

)

   − + = + − = 1 23 1 23 2 1 23 1 23 3 1 1 t T t rt T r T ε ε ε ε

A partir de qualquer dos factores pode-se verificar que a eficiência da associação de dois permutadores em contra-corrente ε23 é expresso em função dos valores para cada ε2 e ε3 por:

(

)

r r 3 2 3 2 3 2 23 ₁ 1 ε ε ε ε ε ε ε − + − + =

Depois de identificar o permutador equivalente 23 podemos considerar a associação deste em equicorrente com o permutador 1 e expressar as temperaturas intermédias T1 e t1 em função das de entrada T0 e t0 permitindo escrever as temperaturas de saída em função destas:

(

)

(

)

(

1 23 1 23

)

0

(

1 23 1 23

(

)

)

0 3 1 r 1 r T r 1 r t T = − ε +ε −εε + + ε +ε −εε +

(

)

(

1 23 1 23

)

0

(

(

1 23 1 23

(

)

)

)

0 3 1 r T 1 1 r t t = ε +ε −εε + + − ε +ε −εε + t0 ε1 ε2 t1 t2 T0 T2 t3 ε3 T1 T3

Comparando estas equações com as que se obtêm definindo o conjunto dos três permutadores como um único:

(

)

(

)

   − + = + − = 0 123 0 123 2 0 123 0 123 3 1 1 t T t rt T r T ε ε ε ε

pode-se definir a eficiência da associação de dois permutadores em equicorrente ε123 em função dos valores para cada ε1 e ε23 por:

(

+r

)

− + = 1 23 1 231 123 ε ε εε ε

O resultado final desta análise é a obtenção da eficiência da associação dos permutadores em função da eficiência de cada. Note-se que não se introduz nenhuma restrição ao tipo de permutador considerado que pode ser qualquer. Convém no entanto chamar a atenção que este procedimento só é válido quando se definem as temperaturas de saída de todos os permutadores com um único valor, ou seja que esse fluído se encontra misturado.

No caso de se considerar um fluído num permutador sem mistura que conduza a um valor da temperatura de saída não uniforme, só se pode utilizar a aproximação acima se o fluído for então misturado. No caso das saídas separadas serem ligadas a entradas de outro permutador também separadas (e com valores diferentes) a análise apresentada não é válida.

De seguida apresenta-se uma análise generalizada para as situações mais frequentes e que são associações de permutadores em série (equicorrente ou contracorrente) e em paralelo ou série/paralelo.

Arranjo de permutadores em série

Para a associação de permutadores em série é conveniente exprimir a relação entre a diferença de temperatura nas extremidades dos permutadores. Para o caso de permutadores em equicorrente interessa relacionar a diferença entre as temperaturas de saída com a diferença entre as temperaturas de entrada. Subtraindo as expressões para as temperaturas de entrada apresentadas anteriormente obtemos então:

(

)

(

) (

e e

)

s

s t r * T t

T − = 1−ε 1+ −

No caso do permutador em contracorrente interessa relacionar a diferença entre uma temperatura de entrada de um fluido com a temperatura de saída do outro fluido. Podemos então considerar uma das equações seguintes:

(

) (

)

(

) (

e s

)

e

s t r * T t

T − = 1−ε 1−ε − _ouT_e−t_s =

(

(

1−ε

) (

1−εr

)

) (

* T_s−t_e

)

Convém relembrar que as equações apresentadas são válidas para qualquer tipo de permutador, sendo apresentadas nas duas formas para se caracterizar o caso de associações de permutadores completamente em equicorrente ou em contracorrente.

Para o caso equicorrente esquematizado acima podemos relacionar sucessivamente a diferença de temperatura na saída de uma unidade com a correspondente diferença na entrada permitindo obter sucessivamente:

(

)

(

r

) (

* T t

)

(

(

r

)

) (

* Te te

)

t T1− 1= 1−ε11+ 0− 0 = 1−ε11+ −

(

)

(

r

) (

* T t

)

(

(

r

)

)

*

(

(

r

)

) (

* Te te

)

t T₂− ₂ = 1−ε₂ 1+ ₁− ₁ = 1−ε₂1+ 1−ε₁1+ − te=t0 Te=T0 T1 T2 T3 = Tn-1 Tn=Ts tn=ts t1 t2 t3 = tn-1

…

(

)

(

) (

)

(

(

)

) (

e e

)

n i i n n n n n s s t T t r * T t r * T t T − = − = − + − =

∏

− + − = − − 1 1 1 1 1 1 1 ε ε

Comparando a última expressão com a expressão correspondente para um permutador equivalente ao conjunto dos permutadores pode-se concluir que a eficiência global é dada por:

(

)

(

)

(

1 r

)

r 1 1 1 n 1 i i G ₊ + ε − − = ε

∏

=

sendo no caso de permutadores iguais

(

₍

(

₎

)

)

r 1 r 1 1 1 ₁ n G = − −ε₊ +

ε onde ε1 é a eficiência de cada permutador.

Para a associação de permutadores globalmente em contra-corrente a eficiência global (εG) pode ser obtida seguindo um procedimento semelhante com base na figura.

(

) (

)

(

r

) (

T t

) (

(

r

) (

)

) (

Te ts

)

t T1− 1= 1−ε1 1−ε1 * 0− 0 = 1−ε1 1−ε1 * −

(

) (

)

(

r

) (

T t

) (

(

r

) (

)

) (

(

r

) (

)

) (

Te ts

)

t T2− 2= 1−ε2 1−ε2 * 1− 1 = 1−ε2 1−ε2 * 1−ε1 1−ε1 * − …

(

) (

)

(

) (

)

(

(

) (

)

) (

e s

)

n i i i n n n n n n e s t T t r T t r T t T − = − = − − − =

∏

− − − = − − 1 1 * * 1 1 1 1 1 ε ε ε ε

Comparando esta expressão com a expressão equivalente considerando o conjunto de permutadores como um único pode-se concluir que a eficiência da associação é dada por:

            ε − ε − −             ε − ε − − = ε

∏

∏

= = n 1 i i i n 1 i i i G 1 1₁ r r 1₁ r ou               ε − ε − −               ε − ε − − = ε n 1 1 n 1 1 G ₁ r 1 r 1 r 1

1 no caso de n permutadores com eficiência ε1 Para o caso de r=1 as expressões anteriores conduzem a uma indeterminação que após ser eliminada conduz respectivamente a:

      − +       − =

∑

∑

= = n i i i n i i i G 1 1 1 1 1 ε ε ε ε ε

(

)

1 1 1 1 ε ε ε − + = n n G

No caso de se considerar um número elevado de unidades (n>5) em série as eficiências globais tendem para os valores de um permutador global em equicorrente ou contracorrente, independentemente do tipo de permutador individual.

ts=t0

Te=T0 T1 T 2 T 3 = T n-1 Tn=Ts

tn=te

Associação de permutadores em paralelo

Enquanto nos casos anteriores em série a razão de capacidades caloríficas r mantinha-se constante para as unidades individuais e para o conjunto, no caso de se considerar permutadores em paralelo é necessário contabilizar a divisão de caudais pelas diversas unidades e assim determinar a razão de capacidades caloríficas r para cada uma das unidades. A temperatura média de saída tem de ser calculada como a média ponderada com as capacidades caloríficas de cada unidade.

No caso de ambos os escoamentos se dividirem em paralelo e uniformemente a razão de capacidades caloríficas em cada unidade ri mantém-se constante e igual ao valor global r. O mesmo se passa em relação ao número de unidades de transferência no caso de se tratar de permutadores iguais, pois tanto a área como os caudais se dividem igualmente. Neste caso a eficiência do conjunto de permutadores é igual à eficiência dos permutadores individuais. Uma situação semelhante à associação em paralelo ocorre nos permutadores de placas que são constituidos por Nt placas de transferência de calor passando os fluidos que transferem calor nos Nt+1 canais. Não se trata propriamente de uma associação de permutadores pois nos (Nt-1) canais interiores cada fluído troca calor com dois canais vizinhos enquanto na associação de permutadores se consideram os permutadores separados. Nos dois canais formados entre as últimas placas de transferência de calor e as placas exteriores consideradas adiabáticas a área de transferência é reduzida para metade. O efeito das diferenças nos canais junto às extremidades afecta a distribuição de temperatura o que se traduz numa diminuição da capacidade de transferência de calor como ilustrado na figura seguinte a partir do factor F.

Nt=1 Nt =2 Nt =3 Nt =4

No caso de se considerar apenas uma placa térmica obtêm-se o caso de um permutador contra-corrente. No caso de existirem duas placas térmicas, o fluído exterior divide-se e pode-se idealizar que o fluído no canal interior também está dividido, pelo que este caso corresponde apenas a duplicar a área de permuta para o mesmo caudal total ou dividir as correntes de forma uniforme por dois permutadores com comportamento idêntico. Cada metade funciona com metade da capacidade térmica e metade da área de permuta mantendo no entanto os parâmetros NTU e r. As extremidades não introduzem alterações na distribuição de temperatura pois dividindo o fluído interior obtemos uma situação simétrica.

No caso do número de placas térmicas aumentar (Nt>3), considerando o caudal dos fluídos dividido de forma uniforme, o fluido que passa nos canais exteriores troca calor apenas numa das faces pelo que sofre uma variação de temperatura menor que afecta a distribuição de temperatura em todos os canais. Como se pode verificar pela figura este efeito é maior para um número impar de placas térmicas onde a assimetria na distribuição de temperatura é maior afectando ambas as correntes. Os efeitos dos extremos só desaparecem para um número elevado de placas térmicas. Para além do factor F, existem valores da eficiência de permutadores de placas calculados para diversos valores de placas térmicas.

Associação de permutadores mistos (série-paralelo)

No caso de se considerar um arranjo misto com o escoamento de um dos fluidos em série e o do outro fluido em paralelo pode-se relacionar a eficiência do conjunto de permutadores com a eficiência e a razão de capacidades caloríficas de cada unidade. A derivação das equações correspondentes é efectuada com base no esquema representado abaixo, no qual a temperatura dos dois fluidos é identificada com índices representando a corrente paralela e em série, sem identificar qual tem a menor capacidade térmica.

A temperatura do fluido que passa em paralelo é obtida como uma média ponderada da temperatura de saída de cada unidade. A temperatura de saída do fluido circulando em série (TSs) pode ser determinada em função da eficiência de cada permutador individual (εi), da razão de capacidades caloríficas (ri) e das temperaturas de entrada dos dois fluidos (TSe, TPe), dependendo de qual o fluído que tem a menor capacidade térmica, como indicado a seguir: Caso A) Em cada permutador o fluido em série tem maior capacidade térmica.

(

)

P 0 1 1 S 0 1 1 S 1 1 r T rT T = −ε +ε

(

)

(

)(

)

[

(

)

]

P 0 2 2 1 1 2 2 S 0 1 1 2 2 P 0 2 2 S 1 2 2 S 2 1 r T r T 1 r 1 r T 1 r r r T T = −ε +ε = −ε −ε + −ε ε +ε • • •

(

)

n 1 P 1 i 1 n 1 i j j j i i n n S 0 n 1 i i i S n S s T 1 r T r r (1 r ) T₀ T _       ∑ ε ∏ −ε + ε + ∏ −ε = = − = − + = =

Caso B) Em cada permutador o fluido em série tem menor capacidade térmica.

(

)

P 0 1 S 0 1 S 1 1 T T T = −ε +ε

(

)

(

)(

)

[

(

)

]

P 0 2 1 2 S 0 1 2 P 0 2 S 1 2 S 2 1 T T 1 1 T 1 T T = −ε +ε = −ε −ε + −ε ε +ε

(

)

(

)(

)

[

(

)

]

P 0 2 1 2 S 0 1 2 P 0 2 S 1 2 S 2 1 T T 1 1 T 1 T T = −ε +ε = −ε −ε + −ε ε +ε • • •

(

)

n 1 P 1 i 1 n 1 i j j i n S 0 n 1 i i S n S s T 1 T (1 ) T₀ T _       ∑ ε ∏ −ε + ε + ∏ −ε = = − = − + = =

Para a associação de permutadores pode-se também definir a temperatura de saída do fluido em série dependendo deste ser o de menor ou maior capacidade térmica.

Caso 1) Na associação de permutadores o fluido em série tem maior capacidade térmica

(

)

P G G S G G S s 1 r T₀ r T₀ T = −ε +ε

Caso 2) Na associação de permutadores o fluido em série tem menor capacidade térmica

(

)

P G S G S s 1 T₀ T₀ T = −ε +ε

No caso 1 em que o fluido em série tem a maior capacidade térmica garante-se que em cada permutador continua também a ser o fluído em série com a maior capacidade térmica,

TS1

∑

= = n i P i i P s C C T T 1 * / & & TS e=TS0 TP3 TPn TP2 TS2 TP1 TS 3= TSn-1 T S n=TSs TPe=TP0 ε1 ε2 ε3 εn