PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

(1)

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA

DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE MATEMÁTICA

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Prof. Francisco Leal Moreira

(2)

SUMÁRIO

1. OSCONJUNTOS 2

ℜ

E 3

ℜ

...1 1.1. OCONJUNTO 2

ℜ

...1 1.2. OCONJUNTO 3

ℜ

...1 2. SISTEMAS LINEARES ...2 2.1. INTRODUÇÃO...2 2.2. EQUAÇÃO LINEAR...2

2.3. SISTEMADEEQUAÇÕESLINEARES ...2

2.4. SISTEMASEQUIVALENTES...3

2.5. SISTEMALINEARESCALONADO. ...3

2.6. RESOLUÇÃODEUMSISTEMALINEARPORTRIANGULAÇÃOOUESCALONAMENTO. ...4

2.7. MÉTODODECASTILHOS...5

2.8. RESPOSTAS ...7

3. ESPAÇOSVETORIAIS...8

3.1. ESPAÇOVETORIALREAL ...8

3.2. REPRESENTAÇÕESDEUMVETOR...11

3.3. VETORNULO...12

3.4. VETORESIGUAIS ...12

3.5. VETORES OPOSTOS ...12

3.6. OPERAÇÕESGEOMÉTRICASEALGÉBRICASCOMVETORES ...12

3.7. COMBINAÇÃOLINEARDEVETORES ...15

3.8. VETORES COLINEARES ...15

3.9. PARALELISMODEDOISVETORES...16

3.10.RESPOSTAS ...17

3.11.PRODUTO ESCALAR ...18

3.12.MÓDULODEUMVETOR ...18

3.13.VETORUNITÁRIO ...19

3.14.DISTÂNCIAENTREDOISPONTOS ...19

3.15.VERSORDEUMVETOR ...19

3.16.ÂNGULODEDOISVETORES...19

3.17.VETORES ORTOGONAIS...20

3.18.PROJEÇÃODEUMVETOR ...20

3.20.PRODUTO VETORIAL...22

3.21.INTERPRETAÇÃOGEOMÉTRICADOMÓDULO DOP.V. ...23

3.23.PRODUTOMISTO...24

3.24.INTERPRETAÇÃOGEOMÉTRICADOMÓDULO DOPRODUTOMISTO ...25

4. ESTUDADARETANOESPAÇO 3

ℜ

...26

4.1. EQUAÇÃOVETORIALDARETA ...26

4.2. EQUAÇÕES PARAMÉTRICASDA RETA ...26

4.3. EQUAÇÕES SIMÉTRICASDARETA ...27

4.4. EQUAÇÕES REDUZIDASDARETA ...27

4.5. RETASPARALELASAOSEIXOSCOORDENADOS ...28

4.6. RETASPARALELASAOSPLANOSCOORDENADOS...28

4.7. ÂNGULODEDUASRETAS ...28

(3)

4.9. RETASORTOGONAIS ...29

4.10.RETAORTOGONALADUASRETAS ...29

4.11.INTERSECÇÃODEDUASRETAS ...30

4.12.RETASCOPLANARES ...31

5. ESTUDODOPLANONOESPAÇO

ℜ

3...33

5.1. EQUAÇÃOGERALDOPLANO ...33

5.2. EQUAÇÃOVETORIALDOPLANO ...33

5.3. EQUAÇÕES PARAMÉTRICASDOPLANO ...34

5.4. PLANOSPARALELOSAOSEIXOSCOORDENADOS...34

5.5. PLANOSPARALELOSAOSPLANOSCOORDENADOS ...35

5.6. ÂNGULODEDOISPLANOS ...35

5.7. INTERSECÇÃODEDOISPLANOS ...36

5.8. ÂNGULODEUMARETACOMUM PLANO ...36

5.9. INTERSECÇÃODERETACOMPLANO ...37

5.10.RESPOSTAS...38

6. DISTÂNCIAS...39

6.1. DISTÂNCIAENTREDOISPONTOS ...39

6.2. DISTÂNCIADEUMPONTOAUMARETA ...39

6.3. DISTÂNCIADEUMPONTOAUMPLANO ...39

6.4. DISTÂNCIAENTREDUASRETASPARALELAS ...40

6.5. DISTÂNCIAENTREUMARETA EUMPLANO ...40

6.6. DISTÂNCIAENTREDOISPLANOS ...40

6.7. RESPOSTAS ...40

7. SUBESPAÇOVETORIAL...41

7.1. INTRODUÇÃO...41

8. SUBESPAÇOVETORIALGERADO ...43

9. DEPENDÊNCIA EINDEPENDÊNCIALINEAR...44

9.1. INTRODUÇÃO...44 9.2. PROPRIEDADES ...44 9.3. RESPOSTAS ...45 10. BASEEDIMENSÃO ...46 10.1. INTRODUÇÃO ...46 10.2. BASE ...46 10.3. PROPRIEDADES ...46

10.4. DIMENSÃODEUMESPAÇOVETORIAL...47

10.5. RESPOSTAS...47

11. ORTOGONALIDADE...48

11.1. VETORESORTOGONAIS ...48

11.2. BASEORTOGONALEBASEORTONORMAL...48

12. TRANSFORMAÇÕESLINEARES ...49

12.1. INTRODUÇÃO ...49

12.2. TRANSFORMAÇÃO LINEA R...49

(4)

12.4. TLDEFINIDAPELASIMAGENSDOSVETORESDABASECANÔNICA ...50

12.5. COMPOSTADEDUASTL ...51

13. TRANSFORMAÇÕESLINEARESPLANAS ...53

13.1. INTRODUÇÃO ...53 13.2. REFLEXÕES ...53 13.3. DILATAÇÕES ECONTRAÇÕES ...55 13.4. CISALHAMENTOS...56 13.5. ROTAÇÕES ...57 13.6. RESPOSTAS...59

14. VETORESPRÓPRIOSEVALORESPRÓPRIOS ...62

14.1. INTRODUÇÃO ...62

14.2. DETERMINAÇÃODOSVALORESEVETORESPRÓPRIOS ...63

14.3. RESPOSTAS...64 15. APÊNDICE ...65 15.1. MATRIZES ...65 15.1.1. PROPRIEDADES ...66 15.1.2. RESPOSTAS...68 15.2. INVERSÃODEMATRIZES ...69 15.2.1. MATRIZINVERSA ...69 15.2.2. PROPRIEDADES ...70

15.2.3. OPERAÇÕESELEMENTARESDEUMAMATRIZ ...70

15.2.4. INVERSÃODEMATRIZPOROPERAÇÕESELEMENTARES...70

15.2.5. RESPOSTAS...71

(5)

1. OS CONJUNTOS

ℜ

2

E

ℜ

3

1.1. O CONJUNTO

ℜ

2 2

ℜ

= ℜxℜ =

{

(

x

,

y

)

/

x

,

y

∈

ℜ

}

y y1 P(x1,y1) O : origem

Ox : eixo das abscissas 0 x1 x Oy : eixo das ordenadas

P(x,y) ∈Ox⇔y = 0 P(x,y) ∈Oy⇔x = 0

E1) Represente graficamente os conjuntos:

1) {(x,y)∈ℜ2_{/ y = x} 2) {(x,y)}∈ℜ2_{/ y}_≠_{x} 3) {(x,y)}∈ℜ2_{/ y < x}}

4) {(x,y)∈ℜ2_{/ y = 3} 5) {(x,y)}∈ℜ2_{/ x = 2} 6) {(x,y)}∈ℜ2_/

2 y

1≤ < }

7) {(x,y)∈ℜ2_{/ 2<x}≤_{4 e}₁≤_y<₂_{} 8) {(x,y)}∈ℜ2_{/ y}≥_x2_{} 9) {(x,y)}∈ℜ2_{/ x}2

+ y2 ≥ 1}

1.2. O CONJUNTO

ℜ

3 3 ℜ = ℜxℜxℜ =

{

(x,y,z)/x,y,z∈ℜ

}

z yOz O : origem

Ox : eixo das abscissas z1

Oy : eixo das ordenadas xOz P (x1,y1,z1

y Oz : eixo das cotas O

x1 xOy : plano que contém os eixos x e y

xOy xOz : plano que contém os eixos x e z

x yOz : plano que contém os eixos y e z

P(x,y,z) ∈Ox⇔y = z = 0 P(x,y,z) ∈Oy⇔x = z = 0 P(x,y,z) ∈Oz⇔x = y = 0 P(x,y,z) ∈xOy⇔ z = 0 P(x,y,z) ∈xOz⇔ y = 0 P(x,y,z) ∈yOz⇔ x = 0 E2) Represente graficamente os pontos:

1) (0,2,0) 2) (-2,0,0) 3) (0,0,3) 4) (2,3,0) 5)(-1,0,2) 6) (0,-4,2) 7) (2,3,4) 8) (3,-2,-1) 9) (-1,-3,2) 10) (3,3,3) 11) (2,4,-3) 12) (-1,-2,-3)

(6)

2. SISTEMAS LINEARES

2.1. INTRODUÇÃO

O estudo de sistemas de equações lineares é de fundamental importância na Álgebra

Linear. Resolvendo sistemas de equações lineares podemos determinar: a dependência ou

independência linear de vetores, o subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, a

matriz que representa uma transformação linear em bases dadas e vetores próprios de um

operador linear. No final dessa secção, apresentaremos o método de Castilhos que pode ser

utilizado na resolução de sistemas de equações lineares.

2.2. EQUAÇÃO LINEAR

a1x1+a2x2+L+anxn =b, com a1,a2,Lan,b∈ℜ Exemplos

a) No

ℜ

2, x = 3 ⇔1x + 0y = 3 b) No ℜ3, x = 3 ⇔1x + 0y + 0z = 3

c) As seguintes equações não são lineares: x2 – 2x = 4 , x +y=2, cos x = 1, ey-3x = 0 e ln x + 4y = 3. Solução de uma equação linear é uma seqüência de números que satisfaz a equação.

Conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções da equção.

Exemplos

a) No

ℜ

2, o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y) / y∈ℜ} e (3,5) é uma solução particular. b) No ℜ3, o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y,z) / y,z∈ℜ} e (3,7,9) é uma solução particular.

2.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Sistema linear de m equações com n incógnitas











=

+

=

+

=

+

m n mn 2 2 m 1 1 m 2 n n 2 2 22 1 21 1 n n 1 2 12 1 11

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

L

M

L

(7)

E1) A terna ( -1,2,-3) é solução do sistema      − = + − − − = + + = − − 6 z y x 6 z 3 y 2 x 0 z y x ?

E2) Resolva, se possível, os sistemas escrevendo os conjuntos soluções em U.

a)    = + = − 0 y x 3 y x 2 , U =

ℜ

2 b)    = − = − 1 y x 2 y 2 x 2 , U =

ℜ

2 c)    = + = + 3 y 2 x 2 3 y x , U =

ℜ

2 d)    = = − + 2 y 0 z y x , U =ℜ3 e)    = + = + + 0 z y 1 z 2 y 2 x , U =ℜ3 f)    = − = + 1 z x 3 z x , U =ℜ3

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO ÀS SOLUÇÕES: determinado (solução única) compatível

Sistema Linear (possui solução) indeterminado (várias soluções)

incompatível (não possui solução)

REPRESENTAÇÃO MATRIC IAL DE UM SISTEMA LINEAR.

A equação AX=B é a representação matricial de qualquer sistema de equações lineares. Se a matriz B é nula, o sistema é chamado de homogêneo.

Um sistema homogêneo é sempre compatível:

- Determinado se tiver apenas a solução trivial ou imprópria que apresenta todas as variáveis assumindo valor zero.

- Indeterminado se tiver a solução trivial e outras denominadas soluções próprias.

E3) Escreva um sistema linear homogêneo de duas equações com duas variáveis que seja: a) compatível e determinado b) compatível e indeterminado c) incompatível

2.4. SISTEMAS EQUIVALENTES.

Dois sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes .

E4) Resolva, se possível, o sistema:

     = = + = − + 4 z 2 1 z y 0 z y x 3

2.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO.

Um sistema linear está na forma escalonada se o número de zeros que precede o primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Todo sistema escalonado pode ser facilmente resolvido como no exercício E4.

(8)

Exemplo: O sistema      = + + = + + = − + 4 z 2 y 0 x 0 1 z y x 0 0 z y x 3

do exercício E4 , cuja matriz ampliada é

          − 4 1 0 2 0 0 1 1 0 1 1 3

E5) Resolva o sistema:

   = − = + − + 2 t z 1 t z y 2 x

2.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU

ESCALONAMENTO.

Um sistema linear pode ser transformado em outro, equivalente e escalonado, com as seguintes operações: a) Permutação de duas equações;

b) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero;

c) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero.

Exemplo:

Resolva o sistema por triangulação:      = + + = + + = + + 1 z 2 y x 0 z y x 0 z y 3 x 2      = + + = + + = + + 1 z 2 y x 0 z y 3 x 2 0 z y x      = + + = − = + + 1 z 2 y x 0 z y 0 z y x      = = − = + + 1 z 0 z y 0 z y x

O sistema resultante está na forma escalonada e é equivalente ao sistema dado. Logo, o sistema dado é determinado e seu conjunto solução é S =

{

(−2,1,1)

}

.

A seguir, resolva o mesmo sistema, a partir da matriz ampliada.

          1 0 0 2 1 1 1 1 1 1 3 2 L₂₁           1 0 0 2 1 1 1 3 2 1 1 1 L₂+(-2)L₁           − 1 0 0 2 1 1 1 1 0 1 1 1 L₃+(-1)L₁           − 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1

E6) Resolva, se possível, os sistemas por escalonamento:

Permutan-do as duas primeiras equações

Substituindo a 2o eq. pela sua soma com a 1o _multipli-

cada por -2

Substituindo a 3 o equação pela sua soma com a 1 o multiplicada por -1

(9)

a)      − = − − − = − + = + 4 z x 1 z y 3 x 2 1 y x b)      = − + − = − + = + − 2 z 2 y 2 x 1 z y x 2 1 z y x

CLASSIFICAÇÃO DE SIS TEMAS LINEARES POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO.

Se ao escalonar o sistema é zerada uma linha da matriz dos coeficientes sem zerar o correspondente termo independente, o sistema é incompatível , exemplo o exercício E12 b. Caso contrário o sistema é compatível:

- determinado , quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas (não totalmente nulas) quantas são as colunas da matri z dos coeficientes.

- Indeterminado , quanto após escalonar obtém-se menos linhas significativas do que o número de colunas da matriz dos coeficientes, exemplo o exercício E12 a.

Todo sistema homogêneo que apresentar mais incógnitas que equações é indeterminado.

E7) Determine o valor de “m” para que o sistema

     = + + = + − = + + 3 z y 2 mx 0 mz y x 2 z y x seja:

a) Determinado; b) Indeterminado; c) incompatível.

E8) Resolva, se possível, o sistema

    = − + = + + = + + 5 z 2 y x 3 1 z y 3 x 2 4 z 3 y x

2.7. MÉTODO DE CASTILHOS.

O método de Castilhos é uma simplificação do método do escalonamento, onde as operações aplicadas sobre as equações são representadas por determinantes de 2º ordem.

A seguir, a ap licação do método de Castilhos na resolução do exercício E8.

1º. Quadro 1 1 3 4 do 3º. quadro: z = 1

2 3 1 1

3 1 -2 5 do 2º. quadro com z = 1 em qualquer equação: y = - 2 2º. Quadro

1 -5 -7

-2 -11 -7 do 1º. quadro com y = -2 e z = 1 em qualquer equação: x = 3

3º. Quadro

-21 -21 S =

{

(3,−2,1)

}

(10)

E9) Resolva, se possível, os sistemas: a)       − = − − = + − − = + + = + + 3 z y 4 x 2 3 z y 2 x 3 z y 4 x 2 4 z y 5 x 3 b)      = + = + = − + 1 y x 2 z y 0 z y x 2 c)      − = − − = + − = + 25 y x 5 y 5 x 3 4 y 2 x d)    = + − = − + 0 z y x 2 0 z y x e)           1 1 1 1 1 2 3 2 1           z y x =           0 0 0 f)             − − − − 0 3 3 1 0 3 3 1 2 3 2 1           z y x =             7 2 5 4

E10) Resolva o sistema para k = -1, k = -2 e k = 3.

          − − − − k 0 2 0 k 1 0 2 0 k           z y x =           0 0 0 E11) Se A =           −2 1 2 1 2 1 3 2 2 e X =           z y x , resolva:

a) A.X = X b) A.X = 4.X c) ( A – 2.I₃).X = 0 E12) Determine para que valores de a, b e c o sistema é determinado, indeterminado ou impossível:

a)      = − = − = + + c z 4 y 6 b z 2 y 3 a z 5 y 2 x b)      = − = − + = + + + c t z b t z y 2 a t 3 z 2 y x c)      = + − = + − = + − c z 3 y x 2 b z x 3 a z 5 y x 4 d)           − − − 3 2 2 1 1 1       y x =           c b a e)           − − − − − 2 1 1 4 3 2 3 2 1           z y x =           c b a

(11)

2.8. RESPOSTAS

E1) Não E2) a) S={(1,-1)} b) S={(1+y,y)/y∈ℜ} c) S={ } d) S={(z,2,z)/z∈ℜ} e) S={(1,−z,z)/z∈ℜ} f) S={(2,y,1)/y∈ℜ} E4) S={(1,-1,2)} E5) S={(3−2y,y,t+2,t)/y,t∈ℜ} E6) a) S={(4−z,z−3,z)/z∈ℜ} b) S={ } E7) a) m ≠0 e m ≠1 b) m = 1 c) m = 0 E8) S={(3,-2,1)} E9) a) S={ } b) S={(z−1, 2−z,z)/z∈ℜ} c) S={ } d) S={(0,z,z)/z∈ℜ} e) S={(0,0,0)} f) S={ }

E10) k=-1, SCI, S={(0,y,0)/y∈ℜ} ; k=-2, SCI, S={(−z,0,z)/z∈ℜ} ; k=3 , S={(0,0,0)}

E11) a) S={(0,0,0)} b) S={ ,z)/z∈ℜ 2 z 5 , z 4 ( } c) S={ − − ,z)/z∈ℜ 2 z 3 , z ( }

E12) a) SI se c ≠2b e SCI se c=2b b) SCI, ∀a,b,c∈ℜ c) SCD, ∀a,b,c∈ℜ

(12)

3. ESPAÇOS VETORIAIS

3.1. ESPAÇO VETORIAL REAL

Seja um conjunto V

≠

φ

no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que

∀

u,v∈V, u+v∈V e

∀

α∈ℜ,

∀

u ∈V, αu∈V.

O conjunto V com as operações acima é chamado espaço vetorial real se forem verificadas as seguintes propriedades:

Em relação à adição:

A1− u + v = v + u ,

∀

u,v ∈V(a adição deve ser comutatividade )

A2− (u + v) + w = u + (v + w) ,

∀

u,v,w ∈V(a adição deve ser associativa ) A3 −

∃

0∈V ,

∀

u ∈V , u + 0 = u ( deve existir em V o elemento neutro 0 da adição) A4−

∀

u∈V,

∃

(-u) ∈V , u + (-u) = 0 (deve existir em V o simétrico de cada elemento de V) Em relação à multiplicação por escalar:

M1− (α + β)u = αu + βu ,

∀

α,β∈ℜe

∀

u ∈V(a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de escalares)

Μ2 − α(u + v) = αu + αv ,

∀

α

∈

ℜ

e

∀

u,v ∈V(a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição

de vetores)

M3− (αβ)u = α(βu) ,

∀

α,β

∈

ℜ

e

∀

u ∈V(a multiplicação deve ser associativa em relação a multiplicação de escalares)

M4 − 1u = u ,

∀

u ∈V(o 1(um) deve ser o elemento neutro da multiplicação p or escalar) Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza.

Exemplos de espaços vetoriais:

1. O conjuntoℜndas n-uplas de números reais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 2. O conjunto Mmxndas matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

3. O conjuntoP_n={a₀xn+ a₁xn−1+ ... + a_n ; ai∈ℜ} dos polinômios de grau menor ou igual a “n”, incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

4. O conjunto das funções definidas no intervalo [a;b] em relação às operações definidas por (f + g)(x)= f(x)+ g(x) e (αf)(x) = αf(x) ,

∀

α

∈ℜ

.

(13)

Nesta disciplina, estamos interessados somente no estudo dos espaços vetoriais

ℜ

2e

ℜ

3.

Como os elementos do ℜ2e ℜ3são representados, respectivamente, por pares (x,y) e ternas (x,y,z), estes elementos podem ser interpretados como pontos ou vetores do respectivo espaço. Então, (x,y) e (x,y,z) são as as coordenadas de um ponto que marca uma posição no espaço ou de um vetor que define um deslocamento no espaço. Observe, no sistema de coordenadas abaixo, os significados de (5,3)∈ℜ2.

y

3 P(5,3) v

0 5 x

Na figura acima temos: o ponto P de coordenadas (5,3) e o vetor v de coordenadas (5,3). Como v é o deslocamento de O até P, é representado geometricamente pelo segmento orientado OP. Observe que v tem direção, sentido e comprimento definidos, podendo ser aplicado sobre qualquer ponto do plano. Na figura

abaixo, temos a aplicação do vetor v = (1,2) sobre alguns pontos do espaço ℜ2. y 0 x

Neste caso, dizemos que os segmentos orientados são representantes do mesmo vetor, pois expressam o mesmo deslocamento aplicado em pontos distintos.

E1) Na figura acima, encontre as coordenadas de cada ponto onde foi aplicado o vetor (origem do segmento).

E2) Na figura acima, encontre as coordenadas de cada ponto obtido após a aplicação do vetor (extremidade do segmento).

(14)

Indicaremos o vetor aplicado no ponto A co m extremidade em B por ABou B – A ou por qualquer letra latina minúscula.

No ℜ2, se A(x1,y1) e B(x2,y2) então v = AB = B – A= (x2– x1 ,y2–y1 ).

No

ℜ

3, se A(x1,y1,z1) e B(x2,y2 ,z2 ) então v = AB = B – A= (x2– x1 ,y2–y1 , z2–z1).

E4) Sejam os pontos A(-1,2), B(4,5), C(-3,-2), D(1,2,3), E(0,-3,-4) e F(-1,6,-6). Encontre AB , BC , DE e EF .

Observações:

a) No sistema de eixos adotado adotado no ℜ2, temos dois deslocamentos padrão i(1,0) e j(0,1). y 1 j(0,1) 1 0 i(1,0) x

b) No sistema de eixos adotado adotado noℜ3, temos três deslocamentos padrão i(1,0,0), j(0,1,0) e k(0,0,1). z 1 k(0,0,1) 1 0 j(0,1,0) y 1 i(1,0,0) x

c) Os vetores i(1,0) e j(0,1) formam a denominada base canônica do

ℜ

2e os vetores i(1,0,0), j(0,1,0) e k(0,0,1) formam a denominada base canônica do ℜ3. As bases serão objeto de estudo posteriormente.

(15)

Exemplo:

Usando os vetores padrão i(1,0) e j(0,1), queremos encontrar o caminho mais curto para ir do ponto (-1,0) até o ponto (3,3). Solução: y 0 x O deslocamento total: 4 passos para direita mais 3 p assos para cima ou 4i +3j . Note que: (3,3) – (– 1,0) = (4,3).

A resolução do exemplo acima, que não é única, foi feita mediante a decomposição do vetor (4,3) segundo as direções dos vetores i e j, isto é, (4,3) = 4i +3j.

Importante:

a) Todo vetor do ℜ2pode ser decomposto segundo as direções dos vetores i(1,0) e j(0,1). v(a,b)⇔v = ai + bj

b) Todo vetor do _ℜ3_{pode ser decomposto segundo as direções dos vetores i(1,0,0), j(0,1,0) e k(0,0,1).} v(a,b,c)⇔v = ai + bj +ck

3.2. REPRESENTAÇÕES DE UM VETOR

Geométrica Algébrica Matricial

ℜ

2 v = (x,y) v = _      y x ℜ3 v = (x,y,z) v =           z y x

(16)

3.3. VETOR NULO

Vetor nulo é o vetor representado por um segmento nulo. Indica-se o vetor nulo por 0.

No

ℜ

2, 0 = (0,0) e no

ℜ

3, 0 = (0,0,0).

3.4. VETORES IGUAIS

Dois vetores são iguais se tiverem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

No ℜ2, se u = (x1,y1) e v = (x2,y2) então u = v ⇔ x1 = x2 e y1 = y2 .

No

ℜ

3, se u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2 ,z2 ) então u = v ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 . E5) Encontre x e y para que os v etores u e v sejam iguais.

a) u =( x2 , -1) e v = ( 1, y3 )

b) u= ( x –2 , 3, 5) e v= (2x + 1, y +5, 5)

3.5. VETORES OPOSTOS

Dois vetores são opostos se tiverem a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.

Indica-se o vetor oposto de v por -v.

No ℜ2, se v = (x,y) , -v = (-x,-y) e no ℜ3, se v = (x,y,z) , -v = ( -x,-y,-z).

3.6. OPERAÇÕES GEOMÉTRICAS E ALGÉBRICAS COM VETORES

1. ADIÇÃO GEOMÉTRICA

u v

Regra do Paralelogramo Regra da Poligonal B D B v C

u u+v u u + v A v C A

(17)

2. ADIÇÃO ALGÉBRICA No ℜ2, se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u + v = ( x1 + x2 ,y1 + y2 ). No ℜ3, se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u + v = ( x1 + x2 ,y1 + y2 , z1 + z2) PROPRIEDADES: a) Comutativa : u + v = v + u b) Associativa : u + ( v + w ) = ( u + v ) + w c) Elemento neutro : u + 0 = u d) Elementos Oposto : u+ (-u) = 0 3. SUBTRAÇÃO GEOMÉTRICA

A diferença dos vetores u e v é a soma do vetor u com o oposto de v, isto é u - v = u + (- v ). 4. SUBTRAÇÃO ALGÉBRICA No ℜ2, se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u – v = ( x1 – x2 ,y1 – y2 ). No ℜ3, se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u – v = ( x1 – x2 ,y1 – y2 , z1 – z2)

E6) Determine o vetor xnas figuras abaixo :

a) b) x u x u v v w E7)Sejam os pontos A (2,1,0) , B (2, -1, 2 ) e C (3, 4 , -2 ). a)Determine as componentes dos vetores AB→ , AC→ e BC→ . b) Determine o vetor v , tal que v = AB→ −BC→ .

(18)

5. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR .

- Se α = 0 ou v= 0, então αv= 0

- Se α

≠

0 e v

≠

0, então αv é tal que

a) αv e v tem a mesma direção

b) αv e v tem o mesmo sentido se α >0 e sentido contrário se α <0

c) o comprimento de α v é igual ao comprimento de v multiplicado pelo módulo de α .| Exemplo:

v 2v -3v

6. MULTIPLICAÇÃO ALGÉBRICA DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR .

No ℜ2, se u(x1,y1) e α∈ℜ então

a

u = (

a

x1 ,

a

y1 ). No ℜ3, se u(x1,y1,z1) e α∈ℜ então

a

u = (

a

x1 ,

a

y1 ,

a

z1). PROPRIEDADES: a)α ( u + v ) = uα + αv b) (α + β ) u = uα +β.u c) 1.v=v d)α( vβ. ) = (αβ)v=β (αv)

E8) Dados os vetores abaixo, obtenha :

u v w

a) u + v + w b) u - v c) u - w + v d) 2 u - 2 w e) 2 v - w - 2 u

E9) Dados os vetores u=(1,-2,3) , v=(4,-1,-5) e w=(0,2,1), calcular:

a) u+ v b) u - v c) 2u+ 3v - w d) t, tal que 3u+ v= 5w- 4t e)x, tal que w- v = u+ 2x

(19)

3.7. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES

Sejam os vetores v₁,v₂,...,v_n de um espaço vetorial V. Um vetor v V é combinação linear (CL) dos ∈ vetores v₁,v₂,...,v_n se existem os reais a₁,a₂,...,a_n, tais que a1v1+a2v2+...+anvn =v.

E10) Verifique se o vetor v=(1,−8,−7) é combinação linear dos vetores v1=(3,−2,1) e v2 =(4,1,5). Em caso afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de

v

₁ e

v

₂.

Importante: A combinação linear a1v1+a2v2+...+anvn =v pode ser representada matricialmente por

MA=V, onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores v₁,v₂,...,v_n, A é a matriz coluna

formada pelos coeficientesa₁,a₂,...,a_ne V é a representação matricial do vetor v. E11) Escreva o vetor v = (-3,2) como combinação linear dos vetores i(1,0) e j(0,1).

E12) Escreva o vetor v = (1,3,-2) como combinação linear dos vetores i(1,0,0), j(0,1,0) e k(0,0,1). E13) Sejam os vetores v1=(2,−1,2) , v2 =(0,3,−2) e v3=(4,2,0).

a) Escreva, se possível, o vetor v=(2,5,−2) como CL dos vetores

v

₁ e

v

₂. b) Escreva, se possível, o vetor

v

₁ como CL dos vetores

v

₂ e

v

₃.

c) Determine o valor de “m” para que o vetor u =(6,0,m) seja CL dos vetores v e ₁ v . 2

3.8. VETORES COLINEARES

Vetores colineares são vetores que possuem representantes numa mesma reta. E14) Quais vetores abaixo são colineares? r

y 0 x Importante:

(20)

3.9. PARALELISMO DE DOIS VETORES

Se dois vetores u e v são paralelos, então existe um número α , tal que u =α v .

No ℜ2, se u = ( x1 , y1 ) e v = ( x2 , y2 ) então ( x1 , y1 ) =α ( x2 , y2 ) e portanto x1 = α x2 e y1 =α y2 . Logo 2 1 2 1 y y x x a= = , isto é u // v⇔ 2 1 2 1 y y x x = No ℜ3, u // v⇔ 2 1 2 1 2 1

z

y

x

₌

Observações:

a) O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor do espaço(convenção).

b) Se uma das componentes de um vetor v é nula, a componente correspondente de qualquer vetor paralelo a v tamb ém é nula.

c) Três pontos são colineares se dois vetores formados por eles são paralelos.

E15) Encontre o valor de x para que os vetores ve u,sejam paralelos :

a) u= ( x - 2 , 1,0 ), v= ( 1, 3,0 ) b) u= ( 0 , 5, 10 ), v= ( x, 2, 4 ) c) u= ( 5 ,0 ), v= ( x, 2 )

E16) Determinar m e n de modo que os vetores u=(1,-2,m) e v=(4,n,-5) sejam paralelos. E17) Calcular a e b de modo que os pontos A(1, -2,0) , B(2,-1,-2) e C(a ,b ,1) sejam colineares. E18) Os pontos (1,2) , (3,4) e (5,6) são colineares ?

(21)

3.10. RESPOSTAS

E1) (-3,-1); (-1,0); (1,-2); (2,1) E2) (-2,1); (0,2); (2,0); (3,3) E3) (1,2) E4) (5,3); (-7,-7); (-1,-5,-7); ( -1,9,-2) E5) a) x = 1 e y = – 1 b) x = – 3 e y = –2 E6) a) x = u – v b) x = w – u – v E7) a) _AB→ = (0,-2,2) ,_AC→ = (1,3,-2) , _BC→ = (1,5,-4) b) (-1,-7,6) c) (2,0,1) E9) a) (5,-3,-2) b) ( -3,-1,8) c) (14, -9,-10) d) ) 4 1 , 4 17 , 4 7 (− e) ) 2 3 , 2 5 , 2 5 (− E10) v = 3v1 - 2v2 E11) v = -3i + 2j E12) v = i + 3j –2k E13) a) v=v1+2v2 b) Impossível c) m=4 E14) TODOS E15) a) x = 3 7 b) x = 0 c) NÃO EXISTE E16) n = -8 e m = 4 5 − E17) a = 2 1 e b = 2 5 − E18) SIM

(22)

3.11. PRODUTO ESCALAR

Chama-se produto escalar(ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado por

u.v ou <u,v> e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.

Se u = (x1, y1)∈ℜ2 e v = ( x2, y2 ) ∈ℜ2 então u.v = x1.x2 + y1.y2 .

Se u = (x1, y1 , z1)∈ℜ3 ev = ( x2, y2 , z2) ∈ℜ3então u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2.

E1) Determinaru.v,sabendo que u=(1,-2) ev=(4,2).

E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular AB→ .BC→

PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR a) u.v=v.u b) u.(v+w) = u.v+u.w c) α(u.v) = (α u).v=u.(α v), comα∈ℜ d) u.u = |u|2

3.12. MÓDULO DE UM VETOR

Chama -se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por v.v.

No ℜ2, se v=(x,y ) então |v|= x2+y2

No ℜ3, se v =(x,y,z ) então _|_v_|₌ _x2₊_y2 ₊_z2 E3) Dados os vetores u =(1,-2,2) e v =(4,3), calcular | u | e | v | .

E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m,-2), calcular m para que | AB | = 7. →

PROPRIEDADES DO MÓDULO:

a) | u | ≥ 0 e | u | = 0 ⇔ u = 0 b) | -u | = | u |

c) | uα | = |α |.| u | d) | u + v | ≤ | u | + | v |

(23)

3.13. VETOR UNITÁRIO

Chama -se vetor unitário qualquer vetor v de comprimento igual a 1(um), isto é | v | =1.

E5) Determinar o valor de n para que o vetor ) 5 4 , n ( w= seja unitário.

3.14. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

A distância d entre dois pontos A e B é o comprimento do vetor AB . →

Noℜ2, se A(x1, y1 ) e B( x2, y2 ) então → AB =(x2 -x1 , y2 -y1 ) e dAB = 2 1 2 2 1 2 x ) (y y ) x ( − + − . No_ℜ3_{, se A(x} 1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) então → AB =(x2 -x1 , y2 -y1 , z2 - z1) e dA B = 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x ) (y y ) (z z ) x ( − + − + − .

E6) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1, -3,7) e B(5,7,-5). E7) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-1,-2) , (1,0) e (3, -2).

3.15. VERSOR DE UM VETOR

Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v .

versor dev= | v |

v

E8) Determinar os versores dos vetores u= (0,-3,4) e v = (-1,1).

3.16. ÂNGULO DE DOIS VETORES

Se u ≠0,v≠0e θé o ângulo dos vetores u e v , com 0°≤θ≤180°.

V v – u Da lei dos co-senos: |u – v |2 = |u|2 + |v|2 – 2|u|.|v| cosθ (1) θ

u Mas |u – v|2 = (u – v).(u – v) = u.u – 2u.v + v.v = |u|2 – 2 u.v + |v|2 (2)

Comparando (1) e (2): u.v =|u|.|v| cosθ ou cos θ = | v | . | u | v . u .

E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se 0°<θ<90°. E10) O que se pode afirmar sobre u.v, se 90°<θ<180°.

(24)

E11) O que se pode afirmar sobre u.v, se θ=90°. E12) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ=0°. E13) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ=180°. E14) Calcular os ângulos entre os vetores u e v , sendo:

a) u =(1,2) e v =(-1,2) b) u =(2,-1) e v =(1,2) c) u =(0,2) e v =(0,1) d) u =(1,1,4) e v =(-1,2,2) e) u =(2,-1,2) e v =(-1,2,2) f) u =(0,2,4) e v =(0,1,2)

E15) Sabendo que o ângulo entre os vetores u=(2,1, -1) e v=(1,-1,m+2) é 3

π _{, calcular m.}

3.17. VETORES ORTOGONAIS

Seu é ortogonal a v , o ângulo θ entre os vetores u e v é 90o e portanto, u .v = 0. u ⊥ v ⇔ u . v = 0

E16) Dados os vetores u =(1,-2,2) e v =(4,m,-5), calcular m para que u e v sejam ortogonais. E17) O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C( -3,-2,1) é retângulo ?

E18) Determinar um vetor ortogonal ao vetorw=(−3,1,2). E19) Dados os pontos A(5,-1,2), B(6,2,4) e C(7,1,3), determinar:

a) as componentes de → → → + −2BC 5CA AB 3 b) o módulo de → BC c) o versor de → CA E20) Dados os vetores u =3i+3j,v=2i+j−2kew=3i+4j−5k, determinar:

a) u.w b) u.(v+w) c)o ângulo entre u e v d) o versor de u

e) o valor de m para que o vetor p=mi+5j+4k seja ortogonal a u - v

3.18. PROJEÇÃO DE UM VETOR

w é a projeção de u sobre v . Como ( u - w ). v = 0 (1) e w =α . v (2), u u-w

substituindo a (2) em (1) e isolando α,vem: α= v . v v . u v w

Substituindo o α encontrado em (2), conclui-se que w = .v v . v v . u u projv       =

E21) Encontre a projeção do vetor u sobre o vetor v, sendo:

(25)

3.19. RESPOSTAS

E1) 0 E2) -1 E3) 3 e 5 E4) m = -3 ou m = 9 E5) n = 5 3 ± E6) (0,2,0) E7) (1,-2) E8) ) 5 4 , 5 3 , 0 ( − ; ) 2 1 , 2 1 (− E9) u.v > 0 E10) u.v < 0 E11) u.v = 0

E12) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido. E13) Paralelos de mesma direção e sentid os contrários.

E14) a) θ= arc cos (3/5) b) 90o c) 0o d) 45o e) 90o f) 0o E15) m = -4

E16) m = -3 E17) SIM

E18) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a – 2c

E19) a) (-9,1,3) b) 3 c) ) 3 1 , 3 2 , 3 2 (− − − E20) a) 21 b) 30 c) 45o d) ,0) 2 2 , 2 2 ( e) m = -18 E21) a) (1,0) b) (1,1,0)

(26)

3.20. PRODUTO VETORIAL

Dados os vetores u= (x1, y1 , z1) ev = ( x2, y2 , z2), chama-se produto vetorial de uporv, nesta ordem, ao vetor representado por uxve calculado por:

u x v = 2 2 2 1 1 1 z y x z y x k j i

O produto vetorial não está definido no _ℜ2_.

E1) Determinaru x v ,sabendo que u =(1, -2,4) e v =(4,2,-5).

E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular AB→ xBC→ PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL

a) u x u = 0 b) u x v = - v x u c ) u x( v + w ) = u x v + u x w d) α ( u x v ) = ( α u )x v = u x( α v ), comα∈ℜ

e) u x v = 0se e somente se, um dos vetores é nulo ou os dois são colineares.

f) u x v é simultaneamente ortogonal aos vetores u e v e o sentido de u x v é dado pela “regra da mão direita” ou pela “regra do saca rolhas”.

g) |u x v | = | u |.| v |.senθ uxv v π θ u Importante: Da propriedade e, u // v ⇔ u x v = 0

E3)Dados os vetores u=3i+4j+2k ev=2i+j+k, determinar:

a) uxv b) vxu c) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u-v e v+u d) o valor de m para que o vetor w=(9+m)i+2j+(m−5)k seja paralelo a uxv

(27)

3.21. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO P. V.

O módulo do produto vetorial de dois vetores u e v é igual a área do paralelogramo cujos lados são determinado pelos vetores u e v .

C D AABCD = | u |. h = | u |. | v |. sen θ v da propriedade g, | u |. | v |. sen θ= | u x v | θ h A B Logo AABCD = | u x v | u Importante: AABC = 2 | v x u |

E4) Dados os pontos A(2,1,3), B(6,4,1) e C(-6,-2,6), determinar: a) a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB→ e AC→ ;

b) a altura do paralelogramo determinado pelos vetores AB→ e AC→ relativa ao lado AB→ ; c) a área do triângulo de vértices A, B e C.

3.22. RESPOSTAS

E1) (2,21,10) E2) (9,-7,1) E3) a) (2,1,-5) b) (-2,-1,5) c) ) 6 30 , 30 30 , 15 30 (± ± ± d) m = -5 E4) a) 13 b) 29 29 13 c) 2 13

(28)

3.23. PRODUTO MISTO

Dados os vetores u = (x1, y1 , z1), v = ( x2, y2 , z2) e w =(x3, y3 ,z3) , chama -se produto misto dos vetores u , v e w , nesta ordem, ao número real representado por ( u , v , w ) e calculado por u .( v x w ) ou

(u,v,w)= 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x

O produto misto não está definido no _ℜ2_.

E1) Dados os vetores u =(-2,1,2) , v =(1,-1,1) e w = (1,1,1) , calcular: a) ( u,v,w) b) (v,u,w) c) (v,w,u)

PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO

a) (u,v,w) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineare s, ou se os três são coplanares.

b) Na permutação de dois dos três vetores , o produto misto ( u,v,w) muda de sinal.

c)α(u,v,w) = (αu,v,w) = (u,αv,w) = (u,v,αw),comα∈ℜ.

Importante: Vetores coplanares são vetores que possuem representantes num mesmo plano. a) Dois vetores são sempre coplanares.

b) Três vetores u, v e w do ℜ3são coplanares se (u,v,w) = 0.

c) Três vetores u, v e w do ℜ3são coplanares se u = av + bw.

d) Quatro pontos do ℜ3são coplanares se três vetores formados por eles são coplanares.

E2)Verificar se são coplanares os vetores:

a) u =(1,-1,0) , v =(2,1,3) e w = (3,2,1) b) u =(1,-1,-2) , v =(3,-2,5) e w = (5,-4,1)

E3)Qual deve ser o valor de n para que os vetores u =(3,n,2) , v =(4,0,1) e w = (2,-1,-2) para que os vetores sejam coplanares ?

(29)

3.24. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO M ISTO

O módulo do produto misto (u,v,w) é igual ao volume do paralelepípedo cujas arestas são determinadas

pelos vetores u, v e w. V = Sb.h , Sb = |vxw| e h = |u|.|cos θ | v xw V = |v xw |. |u|.|cos θ | V = | |v xw |. |u|.cos θ | u h θ V = | u.(v xw)|| w V = | (u,v,w) | v E5) Dados os pontos A(1,1,-1), B(2,2,-1) , C(3,1,-1) e D(2,3,1), determinar:

a) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB→ , AC→ e AD→ .

b) a altura do paralelepípedo determinado pelos vetores _AB→ ,_AC→ e _AD→ relativa a face determinada por AB→ e AC→ .

c) o volume do tetraedro cujos vértices são: A, B, C e D(o volume do tetraedro de vértices A, B e C é a sexta parte do volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB→ , AC→ e AD→ ).

E6) Dados os vetores u=(x,5,0) , v=(3,-2,1) e w= (1,1,-1), calcular o valor de x para que o volume do

paralelepípedo determinado por u , v e w seja 24 u.v. E7) Determinar o valor de α para que:

a) (α ,3,-7)x(11,1,10) =(37,-87,-32) b)(10, α ,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36 E8) Dados os vetores u=3i+4j+2k ev=2i+j+k, determinar (uxv ).( u-v).

E9) Dados os pontos A(1,0,-1), B(0,2,-1) , C(1,1,-1) e D(0,0,1), determinar: a) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores _AB→ ,_AC→ e _AD→ . b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB→ e AC→ . E10)Determine o valor de p e q para que:

a)(p,5,q).(2,4,6) = 30 b)(p,q,-7)x(11,1,10) = (37,-87,-32) c)(10,q,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36

3.25. RESPOSTAS

E1) a) 8 b) –8 c) 8 E2) a) NÃO b) SIM E3) n = 2 1 E4) SIM E5) a) 4 b) 2 c) 3 2 E6) x = 4 ou x = -44 E7) a) α = 1 b) α = 16

(30)

4. ESTUDA DA RETA NO ESPAÇO

ℜ

3

4.1. EQUA ÇÃO VETORIAL DA RETA

Seja A um ponto de uma reta r que tem a direção de um vetor v≠0. Se um ponto P pertence a r

então os vetores AP e v são colineares, isto é, existe um real t , tal que →

→ AP = t v ou P = A + tv. z P(x,y,z) r ° (x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(a,b,c ) A(x1,y1,z1) °

v =(a,b,c) v: vetor diretor da reta

0 y t: parâmetro

x

E1)Determine a equação vetorial da reta que passa:

a) pelo ponto A(2,3,5) e tem a direção do vetor v = (1,-1,2) b) pelos pontos A(1,2,3) e B(-1,-1,4)

4.2. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

Da equação vetorial da reta r, vem:      + = + = + = ct z z bt y y at x x 1 1 1

E2)Determine as equações paramétricas da reta:

a) que passa pelo ponto A(4,-3,2) e tem a direção do vetor v = (2,-1,-3) b) que passa pelos pont os A(1,0,3) e B(-1,-1,4)

c)cuja equação vetorial é (x,y,z) = (1,4,5) + t(2,0,1)

E3)Dadas as retas r: (x,y,z) = (1,0,2) + t(4,2,-1) e s:

     = − = = 3 z t 1 y t 2 x determine:

a)um vetor diretor de r b)um vetor diretor de s c)dois pontos da reta r

(31)

4.3. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA

Admitindo-se a, b e c não nulos nas equações paramétricas e isolando o parâmetro t, vem:

c z z b y y a x x− 1 ₌ − 1 ₌ − 1

E4)Determine as equações simétricas da reta:

a)que passa pelo ponto A(5,-3,-2) e tem a direção do vetor v = (4,-1,3) b)que passa pelos pontos A(1,0,3) e B(3,-1,6)

c)cuja equação vetorial é (x,y,z) = (1,0,0) + t(2,7,1)

d)cujas equações paramétricas são

     + = − = − = t 5 3 z t y t 2 1 x E5)Dada a reta r: 4 z 1 y 3 2 x − = − = + _{, determine:}

a)um vetor diretor de r b)dois pontos da reta r c)a equação vetorial da reta r d)as equações paramétricas da reta r

4.4. EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA

Nas equações simétricas, escrevendo -se y como função de x e z como função de x, vem:

   + = + = q px z n mx y

E6)Determine as equações reduzidas da reta:

a)que passa pelo ponto A(0,-1,-2) e tem a direção do vetor v = (2,-3,7) b)que passa pelos pontos A(-1,0,4) e B(2,-1,6)

c)cuja equação vetorial é (x,y,z) = (1,2,0) + t(-2,3,1)

d)cujas equações paramétricas são

     − = − = + = t 4 3 z t 2 y t 3 1 x

e)cujas equações simétricas são

4 z 1 y 3 2 x − = − = + E7)Dada a reta r:    − = − = x 1 z 2 x 6 y , determine:

a)um vetor diretor de r b)dois pontos da reta r c)a equação vetorial da reta r d)as equações paramétricas da reta r e)as equações simétricas da reta r

(32)

4.5. RETAS PARALELAS AOS EIXOS COORDENADOS

   = = ⇔ ⇔ 1 1 z z y y : r i // v Ox // r    = = ⇔ ⇔ 1 1 z z x x : r j // v Oy // r    = = ⇔ ⇔ 1 1 y y x x : r k // v Oz // r

E8) Determine as equações da reta que passa pelo ponto A(2,4,3) e é paralela ao eixo: a)Ox b)Oy c)Oz E9) Represente graficamente as retas do E8.

Importante: Se duas componentes do vetor diretor forem nulas, a reta é paralela ao eixo correspondente a componente não nula.

4.6. RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS

r // xOy⇔v⊥k⇔v= (a,b,0)      = + = + = ⇔ 1 1 1 z z bt y y at x x : r r // xOz⇔v⊥ j⇔v= (a,0,c)      + = = + = ⇔ ct z z y y at x x : r 1 1 1 r // yOz⇔v⊥i ⇔v= (0,b,c)      + = + = = ⇔ ct z z bt y y x x : r 1 1 1

E10) Determine as equações da reta que passa pelo ponto A(1,3,5) e tem a direção do vetor: a) v= (2,1,0) b) v = (0,4,3) c) v = (-1,0,-2) E11) Represente graficamente as retas do E10.

Importante: Se uma das componentes do vetor diretor é nula, a reta é paralela ao plano correspondente as componentes não nulas.

4.7. ÂNGULO DE DUAS RETAS

O ângulo entre duas retas é o menor ângulo formado por dois vetores diretores das retas. r2 v₂ θ r1 2 0 , | v | . | v | | v . v | cos 2 1 2 1 _≤_θ_≤π = θ v ₁

(33)

E12)Calcule o ângulo entre as retas r1 e r2: a) r1:      − − = = + = t 2 1 z t y t 3 x e r2: 1 z 1 3 y 2 2 x ₌ − ₌ − + b) r1:    = + − = x 4 z 1 x 2 y e r2:      = + = − = t z t 4 y t 2 3 x c) r1: (x,y,z) = (0,0,1) + t(0,-3,3) e r2:      − = = = t 1 z t y 5 x

4.8. RETAS PARALELAS

r1 // r2 ⇔v1//v₂

4.9. RETAS ORTOGONAIS

r1 ⊥ r2 ⇔v₁ ⊥ v ₂

4.10. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS

Seja r é uma reta ortogonal à duas retas nâo paralelas r1 e r2 com vetores diretores v1 e v2. r r2 v =v1x v2 v2 v1 r1

Vetor diretor de r é qualquer vetor com a direção dev=v₁xv₂.

E13)Encontre as equações da reta r que passa pelo ponto A(-2,1,3) e é simultaneamente ortogonal às retas: r1: ey 2 1 z 3 1 x− ₌ ₌ e r2:      − = + = − = t 3 z t 2 1 y t 2 x

(34)

4.11. INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS

Sejam r1 e r2 duas retas concorrentes.

r1 r2

I(x1,y1,z1) I é a solução do sistema formado pelas equações das retas r1 e r2 .

E14)Verifique se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determine o ponto de intersecção:

a) r1:      − = + = + = t 2 z t 2 1 y t 3 x e r2:      + = − − = + = t 6 z t 2 7 y t 3 3 x b) r1:    − = − = x z 3 x 2 y e r2:      + = − = − = t 2 2 z t 4 y t x c) r1:    − = + − = 5 x 2 z 2 x 3 y e r2: 4 z 6 1 y 2 2 x ₌ − − = +

E15)Sejam os pontos A(-1,1,4) e B(1,-1,3).

a) Encontre as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas da reta r que passa por A e B.

b) Escreva as equações de uma reta paralela à reta r. c) Escreva as equações de uma reta ortogonal à reta r.

d) Determine o ângulo entre a reta r e a reta s:

     = = = 2 z 4 y t x

e) A reta r e a reta r1: x = y + 2 = z – 2 são concorrentes ? Em caso afirmativo determine o ponto de intersecção das retas r e r1 .

(35)

4.12. RETAS COPLANARES

Duas retas são coplanares se são paralelas ou concorrentes. π

r1 ( v1 , v2 , u ) = 0 v1 r2

A2 v2

u Observação: Duas retas não-coplanares são chamadas reversas A1 r3 E16) As retas r1: 4 5 z 3 y 2 2 x− ₌ ₌ − e r2:      − = − = + = t 2 7 z t 2 y t 5 x são coplanares ?

E17) Determine o valor de m para que as retas r1:

   − = + = 1 x 3 z 2 mx y e r2:      − = + = = t 2 z t 2 1 y t x sejam coplanares.

E18)Determine m para que as retas r : (x,y,z) =(1,0,2) + t(2,1,3) e s :

     + − = + = = t 2 1 z mt 1 y t x sejam coplanares, e

nesse caso estude sua posição relativa(paralelas, ortogonais ou concorrentes).

(36)

4.13. RESPOSTAS

E1) a) (x,y,z) = (2,3,5) + t(1,-1,2) b) (x,y,z) = (1,2,3) + t(-2,-3,1)

E2) a)      − = − − = + = 3t 2 z t 3 y 2t 4 x b)      + = − = − = t 3 z t y 2t 1 x c)      + = = + = t 5 z 4 y 2t 1 x E3) e) (x,y,z) = (0,1,3) + t(2,-1,0) b)      − = = + = t 2 z t 2 y 4t 1 x E4) a) 3 2 z 1 3 y 4 5 x ₌ + − + = − _b) 3 3 z 1 y 2 1 x ₌ − − = − _c) z 7 y 2 1 x− ₌ ₌ d) 5 3 z 1 y 2 1 x ₌ − − = − − E5) c) (x,y,z) = (-2,1,0) + t(3,1,-4) d)      − = + = + − = t 4 z t 1 y t 3 2 x E6) a)       − = − − = 2 x 2 7 z 1 x 2 3 y b)       + = − − = 3 14 x 3 2 z 3 1 3 x y c)       + − = + − = 2 1 2 x z 2 7 x 2 3 y d)       + − = + − = 3 13 x 3 4 z 3 2 x 3 2 y e)       − − = + = 3 8 x 3 4 z 3 5 3 x y E7) c) (x,y,z) = (0,-2,1) + t(1,6,-1) d)      − = + − = = t 1 z t 6 2 y t x e) 1 -1 -z 6 2 y x= + = E8) a)







= = 3 z 4 y b)







= = 3 z 2 x c)







= = 4 y 2 x E10) a)     = − = − 5 z 3 y 2 1 x b)     = − = − 1 x 3 5 z 4 3 y c)     = − − = − − 3 y 2 5 z 1 1 x E12) a) 60o b) 90o c) 0o E13) 6 3 z 8 1 -y 2 -2 x − = = +

E14) a) I(0,-5,5) b) NÃO c) NÃO

E15) a) (x,y,z) = ( -1,1,4) + t(2,-2,-1) ,      − = − = + − = t 4 z t 2 1 y 2t 1 x , 1 -4 z 2 -1 -y 2 1 x+ ₌ ₌ − ,     + − = − = 2 7 2 x z x y d) arc cos       3 2

(37)

5. ESTUDO DO PLANO NO ESPAÇO

ℜ

3

5.1. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

Seja A um ponto de um plano π e n um vetor não nulo ortogonal a π . Um ponto P pertence a π se

os vetores n e AP são ortogonais, isto é, →

→ AP . n = 0 n= (a,b,c) π π : ax + by + cz + d = 0 A(x1,y1,z1) P(x,y,z)

n: vetor normal ao plano. E1) Determine a equação geral do plano π que :

a)passa pelo ponto A(2,3,5), sendo n= (1,-1,2) um vetor normal a π

b) passa pelo ponto A(1,-2,3) e é paralelo aos vetoresv = (1,1,1) e ₁ v = (1,-1,2) ₂ c) passa pelos pontos A(2,1,0) , B(1,0,2) e C(0,0,1)

d) passa pelos pontos A(2,1,0) , B(1,0,2) e é paralelo ao vetor v = (2,-1,-3)

e)contém as retas r1:    + = − = 1 x z 1 x 2 y e r2: z 3 1 y 2 1 x− ₌ + ₌ f)contém as retas r1:      − = = − = t 3 z t y t 1 x e r2: x – 2 = – y = z

g) passa pelo ponto A(1,0,1) e é perpendicular à reta

     = − = = t 3 z t 1 y 2 x

5.2. EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO

Sejam A um ponto de um plano πe, u e v são dois vetores não colineares paralelos a π . Se o ponto P

pertence ao plano π então existem dois números reais h e t, tais que AP = h.u + t.v ou P = A + h.u + t.v. → tv π

v

A P (x,y,z) = (x1,y1,z1) + h(a1,b1,c1) + t(a2,b2,c2) u

(38)

E2) Determine a equação vetoria l do plano π que :

a) passa pelo ponto A(1,2,-1) e é paralelo aos vetoresv = (2,0,1) e ₁ v = (-1,1,0) 2 b) passa pelos pontos A(1, -1,0) , B(0,1,-1) e C(1,0,1)

5.3. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO

Da equacão vetorial do plano, vem:

     + + = + + = + + = t c h c z z t b h b y y t a h a x x 2 1 1 2 1 1 2 1 1

E3) Determine as equações paramétricas dos planos do exercício anterior.

5.4. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS COORDENADOS

a) Se um plano π é paralelo ao eixo Ox, o seu vetor normal n é ortogonal ao vetor i, e portanto, n= (0,b,c). Neste caso, a equação de π tem a forma by + cz + d = 0.

b) Se um plano πé paralelo ao eixo Oy, o seu vetor normal n é ortogonal ao vetor j, e portanto, n= (a,0,c). Neste caso, a equação de π tem a forma ax + cz + d = 0.

c) Se um plano πé paralelo ao eixo Oz, o seu vetor normal n é ortogonal ao vetor k, e portanto, n= (a,b,0). Neste caso, a equação de π tem a forma ax + by + d = 0.

Importante: Se uma das componentes do vetor normal é nula, o plano é paralelo ao eixo correspondente a

componente nula(a variável ausente na equação, indica o eixo ao qual o plano é paralelo).

E4) Determine a equação do plano que passa pelos pontos A e B e é paralelo ao eixo: a) Ox, sendo A(0,2,0) e B(0,0,3)

b) Oy, sendo A(2,0,0) e B(0,0,3) c) Oz, sendo A(0,5,0) e B(-4,0,0) E5) Represente graficamente os planos de E4.

(39)

5.5. PLANOS PARALELOS AOS PLANOS COORDENADOS

a) Se um plano π é paralelo ao plano xOy, qualquer vetor normal n tem a direção do vetor k, e portanto, n= (0,0,c). Neste caso, a equação de π tem a forma cz + d = 0.

b) Se um plano π é paralelo ao plano xOz, qualquer vetor normal n tem a direção do vetor j, e portanto, n= (0,b,0). Neste caso, a equação de π tem a forma by + d = 0.

a) Se um plano π é paralelo ao plano yOz, qualquer vetor normal n tem a direção do vetor i, e portanto, n= (a,0,0). Neste caso, a equação de π tem a forma ax + d = 0.

Importante: Se duas componentes do vetor normal forem nulas, o plano é paralelo ao plano correspondente as componentes nulas(as variáveis ausentes na equação, indicam o plano coordenado ao qual o plano é paralelo).

E6)Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A(3,1,-2) e é paralelo ao plano: a)xOz b)xOy c)yOz

E7) Represente graficamente os planos de E6. E8)Determine a equação geral do plano:

a)xOz b)xOy c)yOz d) que passa pelo ponto A(1,-1,1) e é paralelo aos vetores v1=i−j e v2 =i+j

5.6. ÂNGULO DE DOIS PLANOS

O ângulo entre dois planos π e ₁ π é a medida do ângulo entre duas retas r₂ 1 e r2, respectivamente,

perpendiculares a π e ₁ π . ₂ r1 π₂ n1 r2 n2 2 0 , | n | . | n | | n . n | cos 2 1 2 1 _≤_θ_≤π = θ π ₁ Importante: π //₁ π₂⇔ n //₁ n e 2 π1 ⊥π2 ⇔ n1⊥/n 2 θ θ

(40)

E9) Determine a medida do ângulo entre os planos π₁: y – z + 2 = 0 e π₂: x + y – 3 = 0

E10) Determine o valor de p de modo que os planos π₁: x + 2y + pz - 3 = 0 e π₂: x + py + 2z = 0 sejam: a)paralelos b)perpendiculares

5.7. INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS

r

π A intersecção dos planos ₁ π e ₁ π é a reta r cujas equações são ₂

obtidas resolvendo -se o sistema formado pelas equações de π₁e π₂    = + + + = + + + 0 d z c y b x a : 0 d z c y b x a : 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 π π (1) π ₂ Observação: Sejam







+ = + = q px z n mx y

as equações reduzidas da reta r, intersecção dos planos π e ₁ π . ₂

Cada equação de r pode ser obtida através da eliminação no sistema (1) da variável ausente na equação.

E11)Determine as equações da reta intersecção dos planos:

a)π : 2x – 3y + z – 2 = 0 e₁ π :x + 2y – 2z = 0 b)₂ π : 3x – y + z – 3 = 0 e ₁ π :x + 3y + 2z + 4 = 0 ₂

5.8. ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO

O ângulo φ (fi), da reta r com o plano é o complementar do ângulo entre a reta r e uma reta s

perpendicular a π , com 2 p 0≤φ ≤ . s n r π | n | . | v | | v.n | cosθ = e φ= 90o -

θ

θ v φ

(41)

E12) Determine o ângulo da reta r com o plano π : a) r :      = − = = 5 z t 2 y t x e π : x – 2 = 0 b) r: ,z 3 1 2 y 2 1 x = − + = − e π : x + 2y – 3z + 12 = 0 c) r:    − = − = x 1 z 2 x y e π : 2x + 2y – 2z + 5 = 0

5.9. INTERSECÇÃO DE RETA COM PLANO

r I é a solução do sistema formado pelas equações da reta r e do plano π . π

I(x1,y1,z1)

E13)Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano π :

a) r:      = = − = 5 z t 2 y t 1 x e π: 2x + 3y – z + 2 = 0 b) r:    + = − = 2 x z 1 x 2 y e π: 3x – 2y + 2z – 3 = 0

E14)Represente graficamente os planos:

a) 2x – y + 3z – 6 = 0 b) x + 2y – 1 = 0 c) x + y + z – 2 = 0 d) x – 1 = 0

E15) Sejam o plano π: x –3y + 2z + 2 = 0 e a reta r: ,z 3 1 4 y 2 1 x = − − = − − .

a)Determine o ponto do plano π que tem abscissa zero e ordenada igual ao triplo da cota b)A reta r está contida no plano ? Justifique.

c)Escreva as equações de uma reta que é perpendicular ao plano π

d)Encontre a intersecção do plano de equação 2x + y – 3z + 3 = 0 com o plano π e)Encontrar o ângulo entre o plano de equação 2x + y – 3z + 3 = 0 e o plano π

f)Achar a intersecção da reta s :

    − = − = 2 1 x z x 2 y com o plano π

g)Achar a medida do ângulo da reta x = y = z com o plano π

h)Quais as posições dos planos π : y – 4 = 0 e ₁ π : 2x + 3z –1 = 0 em relação aos eixos coordenados ? ₂ E16)Calcule o ponto de intersecção da reta que passa pelos pontos A(0,0,1) e B(2,8, -1) com o plano π : x + 4y – z + 7 = 0.

(42)

5.10.RESPOSTAS

E1) a) x – y + 2z – 9 = 0 b) 3x – y – 2z + 1 = 0 c) x – 3y – z + 1 = 0 d) 5x + y + 3z – 11 = 0 e) – x + y – z + 2 = 0 f) 3x + 4y + z – 6 = 0 g) y – 3z + 3 = 0 E4) a) 3y + 2z – 6 = 0 b) 3x + 2z – 6 = 0 c) 5x – 4y + 20 = 0 E6) a) y – 1 = 0 b) z + 2 = 0 c) x – 3 = 0 E8) a) y = 0 b) z = 0 c) x = 0 d) z – 1 = 0 E9) 60o E10) a) p = 2 b) 4 1 p=− E11) a)       − = − = 1 4 x 7 z 1 4 x 5 y b)    + − = − = 1 x 2 z 2 x y E12) a) 45o b) 0o c) 90o E13) a)       5 , 2 1 , 4 3 I b) I(-3,-7,-1) E15) a)       7 2 , 7 6 , 0 b) NÃO d)       + = + = 7 11 x z 7 12 x y e) 60o f) (1,1,0) g) 0o h) π₁⊥Oy e π // Oy ₂ E16)      ₋ ₋ 3 4 , 3 4 , 3 1

(43)

6. DISTÂNCIAS

6.1. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

A distância entre dois pontos A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) é

d(A,B) = (x₂−x₁)2 +(y₂−y₁)2+(z₂−z₁)2

E1) Determine no eixo das cotas um ponto eqüidistante dos pontos A(1,-3,2) e B(2,4,-3).

6.2. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA

A distância de um ponto P a uma reta r é d(P,r) = | v | | AP x v | P d A v r

E2) Determine a distância do ponto P(1, -3,2) à reta r:

   + − = − = 3 x 2 z 1 x 2 y

6.3. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO

P n d(P, π ) = |AP | e → → AP é a projeção de → BP sobre n. d π B A d(P, π ) = n n . BP n n . n . BP n . n . n n . BP ₂ → → → = =     r

Para P(xo,yo,zo) , n=(a,b.c) e B(x,y,z) : d(P,π ) =

2 2 2 o o o c b a | d cz by ax | + + + + +

(44)

6.4. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS

A distância entre duas retas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma das retas à outra.

E4) Determine a distância entre as retas r:

   + − = − = 3 x 2 z 1 x 2 y e s: 2 2 z 2 3 y x − − = − =

6.5. DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM PLANO

Dada uma reta r paralela a um plano π, a distância entre uma reta r e o plano π é a distância de qualquer ponto da reta r ao plano π .

E5) Determine a distância entre a reta r:

   + − = − = 3 x 2 z 1 x 2 y e o plano π : 4x + y + 3z – 1 = 0

6.6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS

Dados dois planos paralelos, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto de um dos planos ao outro.

E6)Determine a distância entre os planos π : 2x – y + 3z – 1 = 0 e ₁ π : 2x – y + 3z + 3 = 0 ₂

6.7. RESPOSTAS

E1) (0,0, 2 3 − ) E2) 3 53 E3) 3 E4) 3 53 E5) 26 26 7 E6) 7 14 2

(45)

7. SUBESPAÇO VETORIAL

7.1. INTRODUÇÃO

Às vezes, é importante identificar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que

sejam também, espaços vetoriais.

1. SUBESPAÇO VETORIAL

Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V se S é também espaço vetorial com as mesmas operações definidas em V.

Como S⊂V, os axiomas A1 , A2 , M1 , M2 , M3 e M4 , da definição, são verificados pois todos os vetores de S são também de V. Portanto, para que S seja um subespaço vetorial de V, basta que os axiomas A3 e A4 também se verifiquem. Todas estas condições estão reunidas na definição abaixo.

2. SUBESPAÇO VETORIAL

Seja S um subconjunto não -vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V sse: i) ∀u,v∈S , u+v∈S

ii)∀α∈ℜ , ∀u∈S , αu∈S

E1) Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V.

a) S =

{

(x,y)∈ℜ2/y=2x

}

; V =

ℜ

2 b) S=

{

(x,x+1)/x∈ℜ

}

; V=

ℜ

2 c) S =

{

(x,y,z)∈ℜ3/y=x e z=−x

}

; V =

ℜ

3 d) S =

{

(

x

,

y

,

z

)

∈

ℜ

3

/

2 x

+

y

−

z

+

1 =

0

}

_{; V =}

ℜ

3 e) S =

{

(x,y,z)∈ℜ3/x+y−z=0

}

; V =

ℜ

3 Importante:

a) O conjunto formado apenas pelo vetor nulo de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V. O subespaço {0} é chamado de subespaço nulo.

b) Qualquer reta do ℜ2 que passa pela origem é um subespaço vetorial doℜ2e qualquer reta do