Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo

Antiderivada e Integral Indefinida

Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo

[ ]

a,b , é uma função F, tal que:

( ) ( )

x f x dx

dF

=

para todo x

∈

[ ]

a,b

Notação de Leibniz:

Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma função f , no intervalo

[ ]

a,b é

∫

, notação de Leibniz.

O símbolo

∫

( esse alongado de soma ), é o sinal da integral.

(

f(x)dx

) ( )

f x dx

d

= ∫

Exemplo:

Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2_{+4 é}

x x

x f Dx x f dx df

2 0 2 ) ( )

(

' = = + =

= ,

então: Uma primitiva de 2x dx df

= é f(x) = x2 + 0 = x2 ;

outra primitiva é f(x) = x2 _{– 2 , outra primitiva é f(x) = x}2

Assim, a função f ( x ) = x2 + C é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C, obtém-se uma infinidade de primitivas.

A integral _∫f '(x)dx =f(x)+C , é chamada integral indefinida e representa uma família de primitivas. No caso, f(x) = x2 _{+ C é uma família de parábolas.}

Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma translação vertical .

Significado geométrico da constante de integração “C “:

Geometricamente: a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo 0y.

x y

y = f (x ) + C1

y = f (x ) + C2

C1

y = f (x ) + C3

y = f ( x ) + C4

C3

C2

Propriedades da integral indefinida:

∫Cf(x)dx=C∫f(x)dx, ondeC∈ℜ ;

[

]

=∫ ±∫

∫ f(x)±g(x)dx f(x)dx g(x)dx

Tabela das integrais indefinidas fundamentais:

Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se:

( ) ( )

f x para x I dx

Gx d

∈ ∀

=

1. C para n 1

1 n

u du u

1 n

n ≠−

∫ = ₊ +

+

2 _∫ − = _∫ =ln u +C u

du du u 1

3 _∫aulnadu=au+C _∫eudu=eu+C 4 _∫cosudu=senu+C

5 _∫senudu=−cosu+C

6 sec2udu=tgu+C ∫

7 _∫cosec2udu=−cotgu+C

8 _∫secu.tgudu=secu+C

9 _∫cossecu.cotgudu=−cossecu+C

10 arcsenu C arccosu C u

1 du

2 =− +

∫ = +

− ou

sen u C cos u C

u 1

du 1 1

2 =− +

∫ = +

−

− −

11 arctgu C arccotgu C u

1 du

2 = + =− +

∫ + ou

tg u C cotg u C

u 1

du 1 1

2 = + =− +

Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x).

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO:

1) Integração por Mudança de Diferencial

As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo _∫ x+1dx.

Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a

mudança de variável fica-se com C 2 3 u u

2 3

2 1

+ =

∫ . Voltando a variável inicial

(

x 1

)

C 3

2 dx 1

x 2

3 + + =

∫ + .

Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator constante k no integrando para se obter uma forma adequada _∫f(u)du. Deve-se multiplicar por

k 1

para manter a igualdade.

Exercício Resolvido:

Calcular _∫ 5x+7 dx

Seja u= 5x + 7 e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a resolver não está na forma _∫f(u)du. Pode-se fazer então

dx 5 . 7 x 5 . 5 1 dx . .5 5 1 7 x 5 dx 7 x

5  _∫ +

     = 

    

∫ +

=

∫ + . Agora tem –se

2 3 u 5 1 du u 5

1 2

3

2 1

=

∫ . Voltando a variável original

(

5x 7

)

C

15 2 dx 7

5x = + 3 +

Exercícios:

_{Calcular as integrais:}

1) _∫ cos4x dx

2) _∫

(

2x3+1

)

7 dx

3)

(

)

dx

1 x 3

1 x

6 3

2 ∫

+ −

− x

4) x .37-6 x2 dx ∫

5) dx

x x cos ∫

6)_∫ cos35x.sen5x dx

7) dx

x 1 x 1

1 ₂

3      

∫ 

   

 + −

8) _∫ sen(1+6x)dx

9) dx

2x cos

4x sen ∫

10) dx

4x sen . 4x tg

1 ∫

2) Integração por Substituição Algébrica

Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc. O problema é resolvido na nova variável.

Calcular a integral I = dx 2 3x

9x ∫ ₋

Fazendo

3 dt dx 3

2 t x t

2 x

3 − = ∴ = + ⇒ =

t 2lnt c

t dt 2 dt t t 3

dt t

3 2 t 9

I _∫ = _∫ + _∫ = + +

      + =

∴

Voltando para a variável x:

I = dx 2 x 3

x 9

∫ ₋ = 3x – 2 + 2 ln (3x – 2 ) + c

1) Método da Integração por Partes

Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que:

∫ =∫ ∫

=

+ =

du v -(u.v) d dv u

du v -u.v) ( d dv u

du v dv u d(u.v)

Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que deve seguir os seguintes critérios.

b) Você deverá obter uma integral _∫vduque seja mais simples ou pelo menos semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você efetivamente calculará. Em geral, a integral _∫vduserá mais simples quando a expressão u é simplificada pela diferenciação.

Exemplos:

1) Calcular a integral _∫x ex dx .

Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve

facilmente. Então:

x x

x

e dx e v dx du

dx e dv x u

= ∫

= =

= =

(

1

)

C

e C x.e

dx e -e x. dx e .

x x x _∫ x = x − x + = x − +

∫ = e x

2) Calcular a integral _∫xsen x dx

Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx

x cos v

dx du

dx x sen dv x u

− = =

= =

C sen x x.cos dx x cos x cos x. -dx x sen .

x _∫ = − +

∫ = x

Use as expressões u= x2 e dv=e3x dx

; neste caso a integral subsequente deverá ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes.

3x 3x 3x 2 e 3 1 dx e v dx 2x du dx e dv x u = ∫ = = = = dx e x 3 2 e 3 1 . x dx 2x e 3 1 e 3 1 . x dx e .

x2 3x 2 3x 3x 2 3x 3x

∫ − = ∫ − = ∫

Reaplica-se o método na integral do último termo x e3xdx

∫ : 3x 3x 3x e 3 1 dx e v dx du dx e dv x u = ∫ = = = = 3x 3x 3x 3x 3x e 9 1 e 3 1 . x dx e 3 1 e 3 1 . x dx e .

x = −_∫ = −

∫ .

A integral inicial fica:

C e 27 2 e x 9 2 e 3 1 . x dx e .

x2 3x ₌ 2 3x ₋ 3x ₊ 3x ₊ ∫

Exercícios:

Calcular as integrais:

1) _∫ x.cos x dx

3) _∫ ln x dx

4) _∫x .sec2x dx

5) _∫ x .e-x dx

6) _∫ x .e-3x dx

7) _∫ ex .sen x dx

2) Método da Integração por Substituições Trigonométricas

Se o integrando contém expressões das formas

(

_{2 2}

) (

n _{2 2}

)

n

(

_{2 2}

)

n

x a ou a x x

a − − + , tente fazer substituições imediatas (do tipo u=a2-x2, u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica:

a) Desenhe um triângulo retângulo.

b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembre-se de que um dos lados do triângulo deverá reprelembre-sentar uma das expressões

(

2 2

) (

2 2

)

(

2 2

)

x a ou a x , x

a − − + que aparecem na sua integral.

c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição correspondente.

(a) Se no integrando aparece a expressão

(

2 2

)

n x

a − , use a substituição: dθ

θ

c a dx ,

θ

sen a

x = = os e

(

a2₋x2

)

₌acosθ

.

Substituição trigonométrica: _x =_asenθ _,dx=_acosθ dθ _e

(

_a2−_x2

)

=_acosθ_.

(b) Se no integrando aparece a expressão

(

x2−a2

)

n , use a substituição dθ

θ

tg

θ

sec a dx ,

θ

sec a

x = = e

(

x2₋a2

)

₌atgθ

.

Substituição trigonométrica: _x =_asec θ _,dx=_asec θ_tgθdθ _e

(

_x2−_a2

)

=_atgθ

(c) Se no integrando aparece a expressão

(

a2+x2

)

n , use a substituição dθ

θ

sec a dx ,

θ

tg a

x = = 2 e

(

_a2+_x2

)

=_asec θ_.

Substituição trigonométrica: _{x =atg}θ _,dx=asec2θ dθ

Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura.

Resolvidos

1) Calcular a integral

(

)

dx

x 16 x 1 2 2 ∫ −

Faz-se a substituição _x =_4senθ _{,com dx} =_4cosθ_dθ _{e 16-x}2 =₄ cosθ

(

)

(

)

θ cotg 16 1 -θ cossec 16 1 dθ θ sen 1 16 1 dθ θ cos 4 . θ cos 4 . θ sen 16. 1 dx x 16 x 1 2 2 2 2 2 = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ −

Voltando a variável original

(

)

(

)

C

x x 16 16 1 -dx x 16 x 1 2 2 2 + − = ∫ −

2) Calcular a integral dx x 4 1 2 ∫ +

Faz- se a substituição _x =_2tgθ _{,com dx} =_2sec2θ _dθ _{e 4}+_x2 =_{2 sec} θ_.

C tgθ secθ ln dθ θ sec dθ θ sec 2 θ sec 2 1 dx x 4 1 2

2 =∫ = ∫ = + +

∫

+ .

Voltando a variável original C

2 x 2 x 4 ln dx x 4 1 2

2 + +

+ =

∫ +

3) Calcular a integral dx x

9 x2

∫ −

(

)

θ

3 tgθ

3

dθ

3 dθ

θ

sec 3 dθ

1

θ

sec 3 dθ

θ

tg 3 dθ

tgθ

secθ

3

θ

sec 3

θ

tg 3 dx x

9

x 2 2 2

2

− =

=

∫ − ∫

=

∫ −

= ∫

= ∫

=

∫ −

Voltando a variável original C

3 x arcsen 3

9 x dx x

9

x 2

2

+ −

− =

∫ −

Exercícios:

Calcular as integrais:

1) _∫

2 x -16

dx

2) _∫

−25 x

dx 2

3)

(

)

∫

− 2

3 2 x 6

dx

4) dx

81 1

2 ∫ ₊

x

5) dx

36 1 2 ∫

− x

6) _∫

+ 2 x 1 x

4) Método de Integração: Decomposição em Frações Parciais

Apresenta-se uma seqüência de passos que se usam para calcular integrais de funções racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q são polinômios em x e o grau de p é estritamente menor do que o grau de q (funções racionais próprias). A técnica de integração de funções racionais por fatoração em frações parciais é dividida em dois casos: linear e quadrático.

Caso linear

Trata-se do caso em que o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares (repetidos ou não).

Consideremos a integral dx

x 8 x 2 -x 16 x 68 x 6 x 5 2 3 2 3 ∫ .

1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Por exemplo, a função racional

x 8 x 2 -x 16 x 68 x 6 x 5 2 3 2 3

é imprópria, pois o grau do numerador é igual ao grau do denominador. Fazemos então a divisão e obtemos

x 8 x 2 -x 16 x 28 x 4 5 x 8 x 2 -x 16 x 68 x 6 x 5 2 3 2 2 3 2 3 +

= . A integral transforma-se em

dx x 8 x 2 -x 16 x 68 x 6 x 5 2 3 2 3 = ∫ dx x 8 x 2 -x 16 x 28 x 4

5 _{3 2}

2     +

∫ , cuja primeira parcela é trivial.

Concentramo-nos agora na fração própria, que está preparada para ser fatorada em frações parciais.

2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3

-2x2 -8x=x(x-4)(x+2).

3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas através de frações parciais. No caso da função racional

x 8 x 2 -x 16 x 28 x 4 2 3 2 basta escrever 2 x C 4 -x B x A x 8 x 2 -x 16 x 28 x 4 2 3 2 + + +

= . Usando algum método para resolver

resolvendo o sistema de equações lineares que se obtém igualando termos de mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3.

4) Se o denominador de uma função racional básica é da forma (ax+b), use a substituição u=(ax+b). Neste exemplo, temos

dx 2 x 3 14 4 -x 3 8 x 2 dx 5 dx x 8 x 2 -x 16 x 28 x 4

5 _{3 2}

2 ∫ ∫       + + − + =     +

∫ e esta última integral se

resolve facilmente usando as substituições indicadas para cada parcela.

5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k

, use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral

(

x 1

)

dx

x 2 x 4 x 3 2 2 ∫ + + +

usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma

(

)

(

)

2

2 1 2 2 1 x B 1 x B x A 1 x x 2 x 4 x 3 + + + + = + + +

. Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=1,

B2=-1. Portanto, temos

(

x 1

)

dx

x 2 x 4 x 3 2 2 = ∫ + + +

(

x 1

)

dx

1 1 x 1 x 2 2    + − + +

∫ e esta última

integral se resolve facilmente através de substituições indicadas (u=ax+b) para cada parcela.

Caso quadrático

Trata-se do caso em que o denominador não é fatorável apenas em fatores lineares; o denominador apresentará, portanto, termos quadráticos (repetidos ou não).

Consideremos a integral

.

2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como

x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 é irredutível (isto é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau 1 com

coeficientes reais).

3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas. Devemos escrever a função racional dada na forma

1 x C 4 x B A x 4 x 4 x 20 x 3 x 8 2 2 3 2 + + + + = + + + + +

x . Resolvendo esta equação, encontramos A=3, B=0

e C=5. Dessa forma

1 x 5 4 x 3x 4 x 4 x 20 x 3 x 8 2 2 3 2 + + + = + + + + + x

4) Finalmente podemos calcular a integral dx

1 x 5 4 x 3x dx 4 x 4 x 20 x 3 x 8 2 2 3 2 ∫       + + + = ∫ ₊ + ₊ + ₊ x

fazendo substituições imediatas.

5) Se o denominador possui fatores quadráticos repetidos da forma (ax2

+bx+c)k, use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral

dx 1) (x x 2 x x 2 2 3

∫ + ₊+ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma

(

₂

)

2 2 2 2 1 1 2 2 3 1 x C x B 1 x C x B x A 1) (x x 2 x x + + + + + + = + + +

. Resolvendo esta equação, obtemos A=2,

B1=-2, C1=1, B2=-2 e C2=0. Portanto, temos dx

1) (x x 2 x x 2 2 3 ∫ + ₊+ =

(

)

dx

1 x 2x 1 x 2x -1 x 2 2 2 2 ∫ _       + − +

+ . Observe que a primeira e terceira parcelas podem

ser feitas por substituições óbvias; porém a segunda parcela parece diferente.

Reescrevendo tudo desta forma:

(

)

dx

1 x 2x 1 x 1 1 x 2x x 2 2 2 2 2 ∫ _       + − + + +

− +, o

problema se resolve facilmente.

Calcular as integrais:

1) dx 1 x

2 2 ∫ ₋

2) dx

3x 2x x

9 13x 4x

2 3

2

∫ ₊+ ₋−

3)

(

x 1

)(

x 2

)

dx

4 x 29 x 18 x 3

3 2 3

∫

− +

+

4) dx

4 8 x x 2

21 -x -x

2 3

2

∫ _{+ −}

x

5) dx

4x x

16 3x x 6 x

3 2 3

∫ + ₊+ +

A Integral Definida

Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que f(x)≥0 para todo

[ ]

a,b

Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x variando em [ a, b].

Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a,b], constituída pelo conjunto de pontos P=

{

a=x₀,x_1,x₂,...,x_n =b

}

.

Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma

[

xi-1,xi

]

, sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, 1≤i≤n. No caso de tomarmos

as n divisões de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub-intervalos terá comprimento ∆x =xi −xi-1, para 1≤i≤n.

Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos

[

xi-1,xi

]

, obtendo um valor aproximado para a área da região, que é dado por:

Qualquer uma das somas i n

1 i

* i). x (x

f ∆

∑

= é denominada soma de Riemann para a função

f, relativa à partição P e aos números xi, para -

Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é, fazemos n→∞, obtemos:

i n

1 i

* i n

x ). (x f

lim∑ ∆

= ∞

Definição: a integral definida da função f, sendo f(x)≥0 no intervalo [a,b], é igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses

retângulos tende a infinito.

Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a,b].

A integral definida verifica algumas propriedades:

Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função g

f± é integrável em [a,b] e:

[

]

=∫ ± ∫

∫ ± b b

a a

b

a

dx (x) g dx (x) f dx (x) g (x)

f .

Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a função k.f é integrável em [a,b] e :

.

Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e f(x)≥0 em [a,b]

então .

Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a,b], então :

Teorema Fundamental do Cálculo Integral

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana

Teorema : Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por ∫

=x a

dt (t) f (x)

F , é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua derivada é dada por F'(x)=f (x).

O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a partir dele, podemos mostrar que:

Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então _∫b = a

(a) G -(b) G dt t) (

f , onde G é

uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f.

Resolvidos

Calcular as integrais definidas:

1) _∫ 2

0 2

dx x

3 8 3 0 3 2 3 x dx x

3 3 2 0 3 2

0

2 _{= = − =}

∫

2) π_∫ 0

dx x sen

2 (-1) --(-1) ) 0 cos ( -cos x cos dx

x

sen ₀

0

= =

= −

=

∫ π π

3)

(

x 1

)

dx 2 1 0 2 ∫ +

(

)

(

)

15 28 1 3 2 5 1 x 3 x 2 5 x dx 1 x 2 x dx 1

x 1₀

3 5 1 0 2 4 2 1 0

2 _{= + + =}

    _{+ +} = ∫ + + = ∫ +

4) dx

x 32 x 2 x 5 4 1 3 ∫       ₊ 6 259 2 -x 32 2 3 x 2 2 5x dx x 2 3 x 2 x 5 dx x 32 x 2 x

5 ₁4

2 -2 3 2 4 1 3 -2 1 4 1 3 =             + − = ∫ _ + _ = ∫       ₊ Exercícios:

Calcular as integrais definidas:

1)

(

x -4 x 3

)

dx 4

1 2

∫ +

2)

(

8z 3z-1

)

dz 3

2 3

∫ +

3) _∫ 12

7 dz

4) dt

t 3 -t 9 4∫

5)

(

s 2

)

ds 8

0

3 2

∫ +

6)

(

2 x 3

)

dx 2 1

0∫ +

−

7) dx

9 x

x 4

a b y = f (x)

f (x)

g (x)

8) dx

2 x sen 3 3

0∫

     

π

9) _{∫ +}4

(

)

0

3

dx 2x cos . 2x sen 1

π

10) dx

x 7

x 1

0 3 5

4 ∫

+

Aplicações da Integral Definida Cálculo de Áreas

Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a,b], então a área limitada por f (x), o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por:

∫ =b a

dx (x) f

A

Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a,b] com f(x) ≥ g(x) , ∀ x∈

[ ]

a,b , então a área limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por:

(

)

∫ =b a

dx (x) g -(x) f

A

a b f (x)

g (x)

c

No caso de no intervalo [a,b] a função f (x) nem sempre for maior que g(x), então:

(

)

+∫

(

)

∫

= b

c c

a

dx (x) f -(x) g dx (x) g -(x) f A

Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f (y) e x = g (y). Se (y)

g (y)

f ≥ no intervalo [ c,d ], então a área entre os gráficos de f (y), g (y) e as retas y = c e y = d será:

[

]

∫

=d c

dy (y) g -(y) f A

Resolvidos

1) Obter a área limitada pelas curvas y=x2 e y= x.

a) esboçar a região, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g (x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de intersecção das regiões. Nessa caso a=0 e b=1.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 x

b) esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a largura. 1) Expressar a área do retângulo como [ f (x)- g (x)]. dx . Nesse caso a área vale

(

x −x2

)

.dx

2) Obter o valor da área através do cálculo da integral:

(

)

₃1

3 x 2 3 x dx x x dx x x

A 1₀

3 2 3 1 0 2 2 1 1 0 2 ₌             − = ∫         − = ∫ − =

2) Achar a área limitada pelas curvas y + x2 =6 e y +2 x -3=0

-1 1 2 3

x -2 2 4 6 y

pontos de intersecção

   = = − = = − = + 3 b x 1 a x x 2 3 6 x -2 1 2

(

)

(

)

[

]

(

)

32₃

x 3 x 3 x dx 3 x 2 x -dx 3 x 2 6 x

-A 2 3₁

3 3 1 -2 3 1 -2 ₌         + + − = ∫ + + = ∫ + − − + = ₋

3) Obter a área limitada pelas curvas 2 y x 4 e y2 x

2 _{= + =}

.

pontos de intersecção

-4 -2 2 4 x

-2 -1 1 2 y

.

(

)

[

]

[

]

[

]

3 32 y

4 3 y -dy 4 y dy

4 y 2 y dy 4 y 2 y

A 2₂

3 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2

2 ₌

  

 + =

+ − = +

− =

− −

= ₋

− −

−

∫

∫

∫

Exercícios:

1) Calcular a área limitada pelos gráficos das funções y = x2+1 e x-y =2e as retas x=-2 e x=2.

2) Calcular a área limitada pelo gráfico das funções f(x)₌₋2x2 e g(x )₌2x2-4 x .

3) Encontre a área da região limitada pela curva y = x3−2 x2−5 x +6 , o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.

Cálculo de Volumes de Rotação

Uma área ao girar em torno de um eixo gera um sólido de revolução de volume V.

a) Giro em torno do eixo x

[ ]

f(x) dx V

b

a

2

∫

= π

b) Giro em torno do eixo y

Seja f (y) contínua em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y é dado por

V

[ ]

f(y) dy d

c

2

∫

= π

c) Giro em torno do eixo x, com a área não apoiada no eixo x.

Seja uma região limitada pelos gráficos de x=a, x=b e pelos gráficos de duas

funções contínuas f e g , com f(x)≥g(x)≥0 para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa área girar em torno do eixo x, obtém-se um sólido cujo volume é dado por:

[ ]

f(x) dx -

[ ]

g(x) dx V

b

a

2 b

a

2

∫

∫

= π π =

{

[ ] [ ]

f(x) - g(x)2

}

dx

b

a

2

∫

π

d) Giro em torno do eixo y, com a área não apoiada no eixo y.

Seja uma região limitada pelos gráficos de y=c, y=d e pelos gráficos de duas

funções contínuas f e g , com f(y)≥g(y)≥0 para todo y em [ c,d ]. Fazendo-se essa área girar em torno do eixo y, obtém-se um sólido cujo volume é dado por:

[ ]

f(y) dy -

[ ]

g(y) dy V

d

c

2 d

c

2

∫

∫

= π π =

{

[ ] [ ]

f(y) - g(y)2

}

dy d

c

2

∫

π

Exemplos:

1) A área limitada pelo gráfico de y ₌ x2₊1

(

)

(

)

15 56 x

3 x 2 5 x dx 1 x 2 x dx

1 x

V 1

1 3

5 1

1

-2 4 1

1

-2

2 _{π π} π

π _ =

  

 

+ + =

+ + =

+

=

_∫

_∫

₋

2) A região limitada pelo eixo y e os gráficos de 3 x

y = , y = 1 e y = 8 gira em torno do eixo y. determine o volume do sólido resultante.

( )

93₅

3 5 y dy dy

y

V 8₁

3 5 8

1 3 2 1

1

2

3 2 _{π π} π

π =

   

 

   

  = =

=

_∫

_∫

y

Exercícios:

1) A área limitada pelos gráficos de x 1 2 1 y , 2 x

y= 2+ = + , x = 0 e x = 1 gira em torno do eixo x. Determinar o volume do sólido resultante.

2) A área do exercício anterior gira em torno da reta y = 3. Determine o volume gerado.

3) Esboce a região R e determine o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado para:

a) y ₌ x2₋4x