CAPITULO IV
PRODUTO ESCALAR
A operação produto escalar será definida para vetores de V3 , em relação a base ortonormal E = (i, j, k).
4. PRODUTO ESCALAR
Sejam os vetores u( , , )u u u1 2 3 e v( , , )v v v1 2 3
. O produto escalar dos vetores
u e v é o número real
u v u v1. 1 u v2. 2 u v3. 3
Notações: u v ; u xv ; < u v , > ; uv ( lê-se: produto escalar de upor v). Exemplificando:
a) Se u(2,1,3) e v(5,3,2), então u v 2.5 1.3 3.2 = 10 + 3 + 6 = 19 b) Se u ( 2,1,4) e v(5, 3, 1) , então u v ( 2).5 1.( 3) 4.1 = 9 c) Se i(1,0,0) e i(1,0,0), então i i 1.1 0.0 0.0 = 1
d) Se j(0,1,0) e j(0,1,0), então j j0.0 1.1 0.0 = 1
e) Se (1,0,0)i e j(0,1,0), então i j1.0 0.1 0.0 = 0 (obs: ij). 4.1. PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR.
Sejam u( , , )u u u1 2 3 , v( , , )v v v1 2 3
e w( ,w w w1 2, )3 vetores de V3 em relação a base ortonormal E = (i, j, k) e .
4.1.1. u v = v u (comutativa)
u v = ( , , ) ( , , )u u u1 2 3 v v v1 2 3 = u v1 1. u v2. 2u v3. 3 = v u1. 1v u2. 2v u3. 3 = v u
4.1.2. (u )v = u ( v) = ( u v )
(u )v = ( ( , , )) ( , , ) u u u1 2 3 v v v1 2 3 = ( u1, u2, u3) ( , , ) v v v1 2 3 = u v1. 1u v2. ,2 u v3. 3 = ( .u v1 1u v2. 2u v3. )3
= ( u v )
u (v) = ( , , ) ( ( , , ))u u u1 2 3 v v v1 2 3 = ( , , ) (u u u1 2 3 v1, v2, v3) = u1.v1u2.v2,u3.v3 = ( .u v1 1u v2. 2u v3. )3
4.1.3. u (vw) u v u w
u (vw) ( , , ) (( , , ) ( ,u u u1 2 3 v v v1 2 3 w w w1 2, ))3 = = ( , , ) (u u u1 2 3 v1w v1, 2w2, v3w3) = = u1 (v1w1)u2 (v2w2)u3 (v3w3)= = u v1 1u w1 1u v2 2u w2 2u v3 3u w3 3
= (u v1 1u v2 2u v3 3) ( u w1 1 u w2 2 u w3 3) = = u v u w .
4.1.4. u u u 2 ou, equivalentemente, u u u a) Sabemos de 3.4 que 2 2 2
1 2 3
u u u u ou u 2 u12u22u32 b) u u ( , , ) ( , , )u u u1 2 3 u u u1 2 3 = u u1. 1u u2. 2u u3. 3 =
2 2 2
1 2 3
u u u Comparando (a) e (b), temos que u u u 2
Nota: Segue de (b) que u u 0. Teremos u u = 0 somente se u1 u2 u30.
4.1.5. u v = u . u . cos, considerando-se u 0, 0v e o ângulo entre ue v
Portanto, se desejarmos obter o valor, em graus, do ângulo , interno ao triângulo OAB em O, basta interpretar o resultado da relação
cos u v u v
, sendo u 0, 0v .
--- EXEMPLO 4.1
1) Dados os pontos O(0,1, 2) , A(4 3 , 3, 2) e B(0, 1, 2). Pede a medida do ângulo interno relativo ao vértice O do triângulo OAB.
B
v
uv O
u
A Fig 4.1
Temos OA u, OB v e BA u v Utilizando a lei dos cossenos no triângulo OAB, temos
u v2 u 2 v 2 2 u v cos (1) Aplicando a propriedade 4.1.4, segue que
2
( ) ( )
u v u v u v u u u v v u v v
2
Solução:
Sejam OA u (4 3, 4, 0) e OB v= (0, 2, 0) .
22 2 2 2 2
(4 3).0 4. 2 0. 0 cos
4 3 4 0 . 0 2 0
= 8
64 . 4 = 8 8 . 2=
1
2. Logo, = 60º.
2) Qual a medida do ângulo entre os vetores u(0, 1, 3) e v(1, 3, 1) ? Solução:
2 2 2 2 2 2
0.1 ( 1). 3 3. 1 cos
0 ( 1) 3 . 1 3 1
=
3 3 10 . 5
= 0
5 2 = 0. Logo, = 90º.
Observação 4.1: A relação u v = u . u . cos , com u 0, 0v , nos permite
concluir que:
a) Se 0º < < 90º , então cos>0 e, daí, u v > 0. b) Se 90º < < 180º , então cos< 0 e, daí, u v < 0.
c) Se = 90º , então cos= 0 e, daí, u v = 0. (1.1.7 – vetores ortogonais). d) Se = 0º , então u e v são paralelos de mesmo sentido, cos= 1 e o produto escalar u v é máximo.
e) Se =180º, então u e v são paralelos de sentidos opostos, cos= 1 e o produto escalar u v é mínimo.
É evidente que sendo u= 0 ou v = 0, segue que u v = 0.
--- 4.2. PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM VETOR u NA DIREÇÃO DE v 0. Consideremos: u AB, vAC e ( , )u v . O ponto H é a projeção ortogonal de B sobre a retaAC.
O vetor AH chama-se projeção ortogonal do vetor u na direção de v.
Notação: AH = proj vu . B u
v
A H C Fig 4.2
B
u
Determinação do vetor proj vu
Temos que proj vu = k v , para algum k real. (1)
Vemos, por construção, que u AH HB , isto é, u proj + HBvu . Então,
k HB
u v . (2)
Multiplicando, escalarmente, os membros de (2) pelo vetor v, teremos:
u v kv v HB v
Sabendo-se que HB v , segue que HB v0. Logo, u v k v v , ou seja, u v k (v v). Assim, k = u v
v v
. (3)
Substituindo (3) em (1), obtemos proj vu = u v v v
v
.
4.3. COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR v 0
Os cossenos diretores de um vetor v 0 são os cossenos que v forma com as respectivas direção dos vetores i, j e k da base ortonormal E = (i, j, k). Considerando , e os respectivos ângulos entre v = (x, y, z) e os vetores unitários i, j e k, tem-se: i j k 1 e
Nota: Verifique que cos2 cos2 cos2 1.
--- k
v
j
i
Fig 4.4
2 2 2 2 2 2
( , , ) (1,0,0)
cos v i x y z x
v i x y z x y z
2 2 2 2 2 2
( , , ) (0,1,0)
cos v j x y z y
v j x y z x y z
2 2 2 2 2 2
( , , ) (0,0,1)
cos v k x y z z
v k x y z x y z
EXEMPLO 4.2
1) Dados u = (9, 5, 15 ) e v = (3, 4, 0) em relação a base ortonormal E = (i, j, k). Pede determinar
a) proj vu proj vu = u v v v
v
= (9,5, 15) (3,4,0) (3,4,0) (3,4,0) (3,4,0)
=
27 20
(3,4,0) 9 16
=
47
(3,4, 0) 25
b) proj uv
proj uv = u v
u u
u
= (3,4,0) (9,5, 15) (9,5, 15) (9,5, 15) (9,5, 15)
=
47
121(9, 5, 15 ) 2) Dados os pontos A(1, 2, 1), B(2, 5, 1) e C(1, 2, 3). Determinar
a) o ângulo interno ˆA do triangulo ABC Solução:
Temos os vetores AB = (3, 3, 0) e AC = (2, 0, 2) e ˆA= (AB,AC) .
AB AC (3,3,0) (2,0,2) 6 1
ˆ cos A =
2
9 9 0 4 0 4 (3 2).(2 2)
AB AC
. Logo, ˆA = 60º.
b) a medida da projeção do lado AC sobre o AB Solução:
AH=proj ACAB AB AC AB (3,3,0) (2,0,2) (3,3,0) 1(3,3,0)
(3,3,0) (3,3,0) 3
AB AB
= (1, 1, 0).
Então, AH = 2 2
AB
proj AC 1 1 0 2 unidades de comprimento. Temos, também, que A 22 02 22 2 2
C
e que AB 3232 02 = 3 2 .
C
Fig 4.5 h
c) altura do triângulo relativa a base AB Solução:
Temos acima que AH = 2 e AC = 2 2 . O triângulo AHC é retângulo. Logo, h2 HC2 AC2 AH2 8 2 6.
Então, h = 6 unidades de comprimento. d) área do triângulo ABC
Solução:
Temos acima que AB 3 2 e h = 6 .
Área = AB h 2
= 3 2 6
2 =
3 12 2 =
3.2 3
2 = 3 3 unidades de área. 3) Sabendo-se que u 4 e v 3 e ( , )u v 60º. Pede o número real u v . Solução:
Temos que u v cos u v
60º e, daí, 1
4. 3 2
u v . Logo,
u v = 6.
4) Dados os vetores u = 2 i + j+ 4 k e v = 3 j 4 k. Determine o vetor w unitário, tal que seja ortogonal a u e a v.
Solução:
Suponhamos w = (x, y, z) seja o vetor procurado. Então,
2
1 0 0 w
u w
v w
2 2 2 1 (I)
2 4 0 (II)
3 4 0 (III)
x y z
x y z y z
Partindo de (III), temos que 3 4
z y. Substituindo em (II), 2 4(3 ) 0 4
x y y , segue que 2x4y0 e, daí, x 2y.
Substituindo x e z obtidos em função de y em (I), vem ( 2 )2 2 (3 )2 1 4
y y y
Resolvendo a equação tem-se que 4 89 89 y .
Substituindo y nas equações de x e de z acima, obtemos:
a) p/ 4 89
89
y 8 89 89
x e 3 89
89 z
b) p/ 4 89
89
y 8 89 89
x e 3 89
89 z
Assim, w = 8 89, 4 89, 3 89
89 89 89
ou w
= 8 89, 4 89, 3 89
89 89 89
.
--- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4.1
Fixada a base ortonormal E = (i, j, k), resolva os seguintes exercícios: 1) Calcule o produto escalar dos vetores:
a) u= (1, 2, 1) e v = (3, 6, 1) R. 10 b) u= ( 2 , 3, 3) e v = (2 2 , 1, 3 ) R. 4 2) Determinar a medida do ângulo dado pela direção dos vetores:
a) u = 7 i e v = 5 i + 5 3 j R. 120º b) u = i k e v = 5 k R. 45º 3) Determinar a medida da projeção do vetor u na direção do vetor v :
a) u = 2 i 6 j + 3 k e v = i + 2j 2 k R. 16/3 b) u = i j e v = i + k R. 2 / 2 4) Verificar se os vetores dados são ou não ortogonais:
a) u = 2 i 4 j 5 k e v = 3 i + j R. não b) u = i 6 j + k e v = 2j + 12 k R. sim c) u = j + k e v = i k R. não 5) Determinar a medida da projeção do vetor v = 2i 4j 3 k
a) na direção do eixo x R. 2 b) na direção do eixo y R. 4 c) na direção do eixo z R. 3 6) Dados os pontos A(1, 2, 2) , B(1, 2, 7) e C(4, 6, 3), determinar:
7) Determinar m real de modo que os vetores u = (2, 1, 3) e v = (3, 1, m) sejam
ortogonais. R. 7/ 3 8) Verificar se os vetores f1 , f2
e f3 formam uma base ortonormal, sabendo-se que
1 4 , 3 , 1
26 26 26
f
, 2 3, 4, 0
5 5
f
e 3 4 , 3 , 5
5 26 5 26 26
f
R. formam 9) Os vetores u = 4
21
i
1 21 j
+ 2 21 k
, v = 1 14 i
+ 2 14 j
+ 3 14 k
e
w
2
5 j
+ 1 5 k
formam uma base ortonormal ?. R. não
10) Dados os pontos A(0, 1, 2) , B(4 3 , 3, 2) e C(0, 1, 2), determinar:
a) a medida do ângulo interno do vértice A do triângulo ABC R. 60º b) a medida da projeção do lado AC sobre o lado AB R. 1 c) a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB. R. 3 d) a área do triângulo ABC. R. 4 3 11) Determinar e reais, sabendo-se que o vetor w = (2 , 5, 1) é ortogonal aos vetores u = (1, 1, 1) e v = (2, 1, 2).
R. = 1/6 e = 4/15 12) O triângulo de vértices A(1, 3, 5), B(3, 4, 7) e C(2, 5, 3) é retângulo ?. Caso seja retângulo, quais são os lados perpendiculares? R. sim , AB e AC. 13) Classificar o quadrilátero ABCD de vértices A(1, 5, 2) , B(3, 7, 1) , C(4, 5, 1) e D(2, 3, 0) num dos casos: quadrado, retângulo, losango, trapézio ou trapezóide.
R. quadrado 14) Dados os pontos A(2, 0, 2) , B(1, 3, 1) e C(3, 1, 0). Consideremos os pontos P e Q tais que: Q é ponto médio do segmento BC e B esta a 2/5 de P para A. Determine a medida da projeção do vetor PQ na direção do vetor AB.
R. 7 3 2 15) Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.
