O tormento de Cardano- Jaime B. Ripoll, Cydara C. Ripoll, F. Porto da Silveira.

O TORMENTO DE CARDANO.

Instituto de Matem´atica da UFRGS.

1).- O Problema de Cardano

Nos cursos de ´Algebra aprende-se v´arias maneiras de reduzir toda equa¸c˜ao c´ubica e coe-ficientes reais, ax3

+bx2

+cx+d= 0, `a forma canˆonica x3

+px+q = 0 ; uma maneira consiste em trocar x por x₋b/3a. Uma raz˜ao da importˆancia dessa c´ubica canˆonica ´e que ela, e ent˜ao a equa¸c˜ao original, pode ser resolvida a partir da seguinte f´ormula que costuma-se denominar f´ormula de Tartaglia-Cardano:

x= 3 s

−q

2+ r

q2 4 +

p3 27 +

3

s

−q

2 − r

q2 4 +

p3

27. (⋆)

Infelizmente, j´a em 1 545, o pr´oprio Cardano descobriu que essa f´ormula esconde segredos: ela “trava” ao ser usada para calcular a raiz realx= 4 da equa¸c˜ao c´ubicax3

−15x₋4 = 0 , pois exige o c´alculo da raiz quadrada do n´umero negativo ₋121 :

3

q

2 +√₋121 + 3 q

2₋√₋121 = 4 ?

Tamb´em ´e bem conhecido que, em 1 572, R. Bombelli “destravou” esse c´alculo (vide [7]) introduzindo o que hoje denominamosn´umeros complexos:

x= 3 q

2 +√₋121 + 3 q

2₋√₋121 =√3

2 + 11i+√3

2₋11i

=p3

(2 +i)3₊p3

(2₋i)3 _{= (2 +}

i) + (2₋i) = 4.

Cardano, que vinha –h´a mais de 20 anos– procurando achar alternativas de c´alculo que evitassem o uso de ra´ızes quadradas de negativos na resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes c´ubicas, reagiu violentamente contra o que achava solu¸c˜ao artificiosa de Bombelli. No ano seguinte, aos 72 anos de idade, publicou sua indigna¸c˜ao em um panfleto entituladoSermo de plus et minus, contribuindo bastante para propagar a suspei¸c˜ao da legitimidade dos n´umeros complexos, os quais passaram a ser denominadossof´ısticos ouimagin´arios. Cardano morreu em 1 576, atormentado pela busca de resposta negativa para o problema que denominaremos

Tormento de Cardano: ser´a que existem c´ubicas anti-Cardano? Mais precisamente, ser´a que existem equa¸c˜oes c´ubicas inteiras1

tendo somente ra´ızes reais, e para as quais n˜ao h´a nenhum meio de expressar suas ra´ızes por radicais reais?

1

Neste texto, por radical real entenderemos uma f´ormula escrita apenas com opera¸c˜oes aritm´eticas e de radicia¸c˜ao com n´umeros inteiros; ademais, exige-se que a quantidade des-sas opera¸c˜oes seja finita e que nenhuma delas seja uma raiz quadrada, ou qualquer outra radicia¸c˜ao de ordem par, de n´umero negativo. Para maiores detalhes, vide se¸c˜ao 8.2 de [1].

Obviamente, n˜ao podemos calcular ra´ızes imagin´arias2

usando radicais reais; da´ı termos formulado o Tormento de Cardano apenas para equa¸c˜oes que tenham “somente ra´ızes reais”. Com efeito, se n˜ao tiv´essemos feito essa exigˆencia, seria f´acil dar uma resposta positivapara nosso problema: qualquer c´ubica de coeficientes inteiros e ra´ızes imagin´arias, como (x₋1)(x2

+ 1) = 0, serviria como anti-Cardano.

O tipo mais importante de c´ubicas inteiras tendo somente ra´ızes reais ´e o das que tˆem todas as ra´ızes distintas, como ´e o caso dex3

−15x₋4 = 0. Cardano as denominoucasus irreducibilis. Esse nome, hoje cl´assico, foi dado porque, conforme se mostra nos cursos de Teoria das Equa¸c˜oes (vide [4]), nesse tipo de c´ubicas a aplica¸c˜ao da f´ormula de Tartaglia-Cardano sempre envolve raiz quadrada de n´umeros negativos: nunca ´e uma f´ormula radical real. Contudo, observe bem, nem todas as c´ubicas do tipo casus irreducibilis s˜ao anti-Cardano. Com efeito, a citadax3

−15x₋4 = 0 n˜ao ´e anti-Cardano, pois suas ra´ızes podem ser expressas por f´ormulas envolvendo apenas radicaisreais, por exemplo: x=₋2 +√2 , x=₋2₋√2 ex= 4.

Entre as c´ubicas que tˆem somente ra´ızes reais, ´e imediato que s´o existe um outro tipo, al´em dascasus irreducibilis: o das c´ubicas com ao menos duas ra´ızes iguais. Para esse outro tipo, tamb´em mostra-se na Teoria das Equa¸c˜oes (vide [4]) que –a partir da f´ormula de Tartaglia-Cardano– sempre se consegue obter f´ormulas radicais reais para todas as ra´ızes. N˜ao existe anti-Cardano entre elas!

Conclus˜ao preliminar: a decis˜ao do Tormento de Cardano deve ser buscada entre as c´ubicas que tˆem todas as ra´ızes reais e distintas (casus irreducibilis). Faremos esse estudo segundo duas abordagens: uma primeira com m´etodos da ´Algebra Cl´assica, e a segunda com os m´etodos mais modernos e sofisticados da Teoria de Galois.

2).- A abordagem de Ruffini-Wantzel

Em 1 813, Paolo Ruffini anunciou a decis˜ao positiva do Tormento de Cardano, uma vez que afirmava ter demonstrado a existˆencia de c´ubicas anti-Cardano; contudo, sua argu-menta¸c˜ao foi considerada vaga e pouco rigorosa. Em 1 843, P. L. Wantzel (o mesmo que alguns anos antes tinha se imortalizado ao provar a impossibilidade de trisseccionar um ˆ

angulo qualquer e de duplicar um cubo com constru¸c˜oes euclidianas3

) conseguiu corrig´ı-la, vide [1], provando o que denominaremos:

2

Por “ra´ızes imagin´arias” entenderemos “raizes complexas de parte imagin´aria n˜ao nula”. 3

cons-Teorema de Ruffini-Wantzel. Numa equa¸c˜ao polinomial de coeficientes inteiros: a). se n˜ao existirem ra´ızes racionais, ent˜ao nenhuma das ra´ızes ser´a construt´ıvel euclidi-anamente;

b). se todas as ra´ızes forem reais, ent˜ao dizer que uma delas n˜ao ´e construt´ıvel euclidia-namente equivale a dizer que uma delas n˜ao pode ser expressa por radicais reais.

A demonstra¸c˜ao de resultados equivalentes a esse teorema pode ser encontrada em [4] ou [2] (Corol´ario 2). Aqui, vamos nos limitar a mostrar como ele nos permite achar exemplos de c´ubicasanti-Cardano. Uma delas ´ex3

−3x₋1 = 0. Provemos.

• Nenhuma das ra´ızes dessa c´ubica ´e racional; com efeito, como o coeficiente de x3 e o do termo constante s˜ao unit´arios, as poss´ıveis ra´ızes racionais tˆem de estar no conjunto

{1,₋1_}, mas nenhum destes n´umeros ´e raiz, como se verifica diretamente.

• O estudo da intersec¸c˜ao dos gr´aficos cartesianos de y = x3

e y = 3x+ 1 mostra que todas as ra´ızes dessa equa¸c˜ao s˜ao reais (e distintas), uma ´e positiva e as outras duas s˜ao negativas. Confira na figura seguinte.

y=y3x+1

=x3

Figura 1

x

y

3 2

1 0

-1 -2

8

6

4

2

0

-2

-4

Logo, pelo item (a) do Teorema, nenhuma das ra´ızes da c´ubicax3

−3x₋1 = 0 ´e construt´ıvel; consequentemente, como todas as ra´ızes s˜ao reais, o item (b) garante que nenhuma delas pode ser expressa por radical real. Esta c´ubica ´e anti-Cardano!

3).- A abordagem segundo a Teoria de Galois4

L´a por 1 830, ao estudar a resolubilidade alg´ebrica das equa¸c˜oes polinomiais de grau qual-quer, E. Galois aprofundou as id´eias de grupo de simetrias introduzidas por N. Abel e Ruffini, esbo¸cando as linhas mestras do que no s´eculo XX tornaram-se duas das mais importantes teorias matem´aticas: a Teoria dos Grupos e a Teoria de Galois. N˜ao ´e um

tru¸c˜oes geom´etricas realizadas exclusivamente com r´egua e compasso n˜ao graduados, os quais s´o podem ser usados um n´umero finito de vezes. Um estudo sistem´atico desse tema ´e encontrado em [6].

4

exerc´ıcio dif´ıcil, para quem j´a domina esta sofisticada teoria, aplic´a-la para decidir o Tor-mento de Cardano. Aqui, nos limitaremos a dar uma no¸c˜ao bem introdut´oria do que est´a envolvido. Iniciamos com um conceito fundamental da Teoria dos Polinˆomios:

Defini¸c˜ao. Uma equa¸c˜ao polinomial de coeficientes inteiros ´e dita redut´ıvel (sobre os n´umeros racionais) se, e s´o se, o correspondente polinˆomio puder ser fatorado como um produto de dois polinˆomios (n˜ao constantes) de coeficientes racionais; caso n˜ao exista uma tal fatora¸c˜ao, diremos que a equa¸c˜ao ´e irredut´ıvel 5.

´

E trivial dar exemplos de equa¸c˜oes redut´ıveis: (x₋1)(x₋2)(x₋3) = 0, (x₋1)(x2

+1) = 0, etc. Contudo, decidir se uma equa¸c˜ao dada ´e redut´ıvel, ou irredut´ıvel, pode ser dif´ıcil. Apesar disso, o caso das c´ubicas ´e bem f´acil, pois podemos nos valer do grau trˆes.

Teorema. Uma c´ubica inteira ´e redut´ıvel _⇐⇒ tiver uma raiz racional.

Com efeito, devido ao grau trˆes, qualquer fatora¸c˜ao tem de envolver um polinˆomio de grau um e coeficientes racionais, o que d´a origem a uma raiz racional da equa¸c˜ao. Reciproca-mente, sendor uma raiz racional de uma tal equa¸c˜aop(x) = 0, dividindo o correspondente polinˆomiop(X) porX₋r, obtemos um quociente quadr´atico de coeficientes obrigatoria-mente racionais, poisr e os coeficientes de p(X) s˜ao n´umeros racionais.

Exemplificando. A c´ubica de Cardano,x3

−15x₋4 = 0, ´e redut´ıvel, pois tem x= 4 como raiz; tamb´em pode-se verificar diretamente queX3

−15X₋4 = (X₋4)(X2

+ 4X+ 1) . Por outro lado, a j´a conhecida anti-Cardano x3

−3x₋1 = 0 ´e irredut´ıvel; com efeito, j´a vimos que todas suas trˆes ra´ızes s˜ao irracionais.

Consequˆencia. Toda equa¸c˜ao c´ubica inteira que tiver s´o ra´ızes distintas e todas irraci-onais ´e anti-Cardano: suas ra´ızes n˜ao podem ser calculadas por radicais reais.

Com efeito, pelo teorema anterior, uma tal equa¸c˜ao ´e irredut´ıvel; ora, pela Teoria de Galois, toda c´ubica inteira que tem somente ra´ızes reais e ´e irredut´ıvel ´e anti-Cardano. (Vide Corol´ario 1 de [2] para uma demonstra¸c˜ao usando a metodologia atual da Teoria do Galois, ou [3] para uma argumenta¸c˜ao mais acess´ıvel, pois que segue o desenvolvimento hist´orico do problema, explorando casos particulares de equa¸c˜oes.)

Esse teorema nos permite confirmar que x3

−3x₋1 = 0 ´e anti-Cardano; com efeito, j´a vimos que todas as suas ra´ızes s˜ao irracionais e distintas.

4).- Generalizando o Tormento de Cardano

Para cada grau que escolhermos, existemequac¸ ˜oes anti-Cardano? Ou seja, dado um inteiro n> 1, ser´a que existem equa¸c˜oes polinomiais de grau n (e coeficientes inteiros) para as quais ´e imposs´ıvel achar um meio de expressar suas eventuais ra´ızes reais usando apenas radicais reais?

5

´

E imediato que n˜ao existem anti-Cardano no universo das equa¸c˜oes lineares (ou seja: grau n = 1). Assim, passemos ao caso n = 2, o das equa¸c˜oes quadr´aticas. A f´ormula de Bhaskara nos mostra imediatamente que tamb´em n˜ao existem equa¸c˜oes quadr´aticas anti-Cardano; com efeito, essa f´ormula envolver´a radicaisn˜ao reais quando, e s´o quando, a equa¸c˜ao tiver ra´ızes n˜ao reais. Consequentemente, ´e somente a partir das equa¸c˜oes c´ubicas que h´a possibilidade de encontrarmos exemplos anti-Cardano.

Como j´a achamos uma c´ubica anti-Cardano, cabe perguntar se isso ´e uma exclusividade das c´ubicas. A seguinte generaliza¸c˜ao do teorema anterior, a demonstra¸c˜ao do qual pode ser vista em [2] ou [3], mostra que tamb´em existem exemplos de anti-Cardano entre as equa¸c˜oes de grau maior do que trˆes.

Teorema. Para grau n= 3,5,6,7,9,10,11. . . (ou seja: n´ımpar ₆= 1 ou npar que n˜ao ´e uma potˆencia de2), toda equa¸c˜ao polinomial (de coeficientes inteiros), que tiver somente ra´ızes reais e for irredut´ıvel, ´e anti-Cardano: suas ra´ızes n˜ao podem ser calculadas por radicais reais.

´

E oportuno se observar que existem procedimentos sistem´aticos para decidir a irredutibilidade de equa¸c˜oes polinˆomiais de coeficientes inteiros (vide Se¸c˜ao 5.6 de [5]), mas sua implementa¸c˜ao ´e trabalhosa. Os modernos sistemas de computa¸c˜ao simb´olica – como o Mathematica, o Maple e o Sage– automatizam a decis˜ao usando poderosos comandos. Mais conhecidas dos cursos de ´Algebra s˜ao as solu¸c˜oesparciaispara esse problema, como o Crit´erio de Eisenstein, que d´a condi¸c˜oes apenas suficientes para garantir a irredutibilidade para alguns tipos de equa¸c˜oes polinomiais (vide [4]) .

Limitamo-nos a mostrar como usar esse teorema para achar um exemplo de qu´ıntica anti-Cardano. As hip´oteses cruciais, todas as ra´ızes reais e equa¸c˜ao irredut´ıvel, agora s˜ao bem mais dif´ıceis de verificar e juntas fazem com que n˜ao seja imediato achar tal exemplo. A intersec¸c˜ao dos gr´aficos cartesianos dey =x5

e y=ax2

+bx+c mostra que esse exemplo n˜ao est´a entre as qu´ınticas da formax5

+ax2

+bx+c= 0, pois elas tˆem no m´aximo trˆes ra´ızes reais (vide figura a seguir, onde a par´abola tem equa¸c˜ao y= 3x2

−1).

y=3yx2−1

=x5

Figura 2

x

y

1.5 1

0.5 0

-0.5 -1

-1.5 5

4

3

2

1

0

-1

Contudo, se incluirmos um adequado termo emx3

conseguimos nosso objetivo. Com efeito, o estudo dos gr´aficos cartesianosy= 30x3

+ 60x2

−30x₋70 = 30(x+ 2)(x+ 1)(x₋1)₋10 e y = x5

, vide Figura 3, mostra que a qu´ıntica x5

−30x3

−60x2

+ 30x+ 70 = 0 tem todas suas ra´ızes reais (usando-se t´ecnicas de C´alculo Num´erico, mostra-se que elas valem, aproximadamente: -3.39, -2.74, -1.15, 1.06, 6.21):

y=30x3+60x2−30yx=−70x

5

Figura 3

x

y

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1000

500

0

-500

-1000

-1500

Al´em disso, com o comando IrreduciblePolynomialQ[x^5-30x^3-60x^2+30x+70] do

Mathematica, ou explorando a fatora¸c˜ao em primos de 30, 60 e 70 e usando resultados elementares de polinˆomios, verifica-se que ela tamb´em ´e irredut´ıvel. Logo, ela ´e uma qu´ıntica anti-Cardano!

Bibliografia

[1] F. Cajori, “Pierre Laurent Wantzel” , Amer. Math. Soc. Bulletin 24(1917/18), pp.

339-347, especialmente pp. 345-346, ou

www.ams.org/bull/1918-24-07/S0002-9904-1918-03088-7/S0002-9904-1918-03088-7.pdf.

[2]C. G. de Ara´ujo Moreira, “Um teorema sobre solubilidade de equa¸c˜oes polinomiais

por radicais reais” . Mat. Universit´aria n. 12 (1990), pp. 87-93.

[3]J. Bewersdorff,Galois Theory for Beginners, A Historical Perspective, Amer. Math.

Soc., Student Mathematical Library, 2006.

[4]G. Birkhoff, S. Mac Lane,Algebra Moderna B´´ asica, 4a

ed., Guanabara, RJ, 1986.

[5]B. van der Waerden,Algebra, Vol. 1, Springer-Verlag, NY, 2003.

[6] E. Wagner,Constru¸c˜oes Geom´etricas, 2a

ed., Col. Professor de Matem´atica, SBM, Rio de Janeiro, 1998.

[7] J. B. Ripoll, C. C. Ripoll, F. Porto da Silveira,N´umeros Racionais, Reais e

Complexos, 2a