Atividade recente no site - Prof. Fernando J. O. Souza - Dept. de Matemática, UFPE

UFPE – MA 535 (INTRODU ¸C ˜AO `A MATEM ´ATICA II) – 2011.1 algumas solu¸c˜oes 3 v. 1.0 – prof. fernando j. o. souza

23 – um caminho. Escalonando-se a matriz ampliada do sistema das equa-¸c˜oes gerais dos trˆes planos (o qual descreve a interse¸c˜ao deles):

1 ₋2 2 3 2 1 ₋1 11

L2−2L1 ∼

1 ₋2 2 3 0 5 ₋5 5

L1+1₅L2 1 5L2

∼

1 0 0 5 0 1 ₋1 1

∴

O sistema original equivale ao sistema y₋z = 1 (isto ´e, y= 1 +z) e x= 5. Sendo z vari´avel livre de restri¸c˜oes, h´a uma solu¸c˜ao para cada valor real s, parametrizando-se z =s. Assim1_{: x= 5, y= 1 +s, z=s, onde s∈R.} 23 – outro2 _{caminho: Da equa¸c˜ao de Π}

2, subtraia-se a equa¸c˜ao de Π1 com

ambos os membros3 _{multiplicados por 2:}

x₋2y+ 2z= 3 2x+y₋z = 11 ⇔

x₋2y+ 2z = 3 5y₋5z = 5 ⇔

x= 5

y₋z = 1 , onde a segunda equivalˆencia foi obtida dividindo-se ambos os membros de 5y₋5z = 5 por 5 e, ent˜ao, subtraindo-se, da primeira equa¸c˜ao, o resultado. O restante ´e como no caminho anterior.

24 – uma solu¸c˜ao: Das equa¸c˜oes gerais de Π3 e Π4, tem-se que o vetor

(1,₋2,3) ´e normal a Π3, e que (2,−4,6) ´e normal a Π4. Como

(2,₋4,6) = 2 (1,₋2,3), tais vetores s˜ao paralelos e, portanto, Π3 e Π4 ou

s˜ao coincidentes ou s˜ao paralelos. Mas 2(₋12) = ₋24 ₆= 0 ∴ Π₃ e Π₄ s˜ao

paralelos e sua interse¸c˜ao ´e vazia. Com isto4_{, tem-se que a interse¸c˜ao dos}

trˆes planos dados ´e o conjunto vazio.

24 – outras solu¸c˜oes: Para quem n˜ao notou a aplica¸c˜ao de posi¸c˜ao rela-tiva, pode-se resolver os sistema algebricamente (por manipula¸c˜ao das equa-¸c˜oes ou por escalonamento da matriz ampliada). Se, da equa¸c˜ao geral de Π4,

subtrai-se o dobro da equa¸c˜ao geral de Π3, obt´em-se 24 = 0, o que revela

ser incompat´ıvel (insol´uvel, imposs´ıvel) o sistema de trˆes equa¸c˜oes dado e, portanto, sua solu¸c˜ao ´e o conjunto vazio.

1

A interse¸c˜ao ´e, portanto, a reta que passa por (5,1,0) com vetor diretor (0,1,1).

2

Este “outro” caminho nada mais ´e que a tradu¸c˜ao das matrizes do caminho anterior para sistemas de equa¸c˜oes lineares

3

Por conveniˆencia, passaram-se os coeficientes livres para a direita.

4

25 – um caminho: Escalonando-se a matriz ampliada do sistema:





1 0 ₋1 2 2 ₋2 3 6 1 ₋4 9 6



L2₋2L1

L3−L1 ∼





1 0 ₋1 2 0 ₋2 5 2 0 ₋4 10 4



·(−1/2)

L3−2L2 ∼





1 0 ₋1 2 0 1 ₋5_{2 −}1

0 0 0 0





Donde se lˆe o seguinte sistema equivalente ao original: x₋z = 2 e

y₋ 5

2z =−1. N˜ao havendo restri¸c˜ao sobre z, fa¸ca-se z =t ∈Rparˆametro:

x= 2 +t, y=₋1 + 5

2t, z =t∈R, isto ´e,

(x, y, z) = (2,₋1,0) +t

1,5

2,1

, t_∈R.

25 – “outro” caminho: Da primeira equa¸c˜ao, pode-se fazer a substitui¸c˜ao

x=z+ 2 (ou, alternativamente,z =x₋2) nas duas equa¸c˜oes restantes:

2(z+ 2)₋2y+ 3z₋6 = 0

z+ 2₋4y+ 9z₋6 = 0 ⇔

−2y+ 5z₋2 = 0 −4y+ 10z₋4 = 0

A ´ultima equa¸c˜ao ´e o dobro de₋2y+ 5z₋2 = 0 e, portanto, pode ser dis-pensada. A multiplica¸c˜ao de ambos os termos de ₋2y+ 5z₋2 = 0 por 1/2

leva a um sistema equivalente ao original: x= z+ 2 e y = 5

2z−1, do qual se lˆeem as equa¸c˜oes param´etricas no final da solu¸c˜ao anterior.

26. Um sistema ´e poss´ıvel quando, ap´os todo o seu escalonamento5_{, n˜ao}

houver alguma linha nula na matriz dos coeficientes seguida de um n´umero diferente de 0 na matriz ampliada (tal linha representaria uma inconsistˆen-cia no sistema). Como o n´umero de equa¸c˜oes ´e igual ao n´umero de vari´a-veis (isto ´e, a matriz dos coeficientes ´e quadrada), o sistema ser´a poss´ıvel determinado se e somente se o escalonamento levar a matriz dos coeficien-tes `a matriz-identidade (o que permite ler um ´unico valor para cada uma das vari´aveis). O sistema tamb´em pode ser poss´ıvel indeterminado, a saber, quando houver mais vari´aveis (colunas) do que equa¸c˜oes ap´os o escalona-mento6_{. Escalonando-se a matriz ampliada o suficiente para que se obtenha}

5

Diz-se “at´e se chegar `aforma-escada reduzida”.

6

cor-uma matriz triangular superior a partir da matriz dos coeficientes, permitindo identificar cada situa¸c˜ao:





3 2 1 4 3 1 3 2 6 ₋1 p q



L2−L1

L3₋2L1 ∼





3 2 1 4

0 ₋1 2 ₋2

0 ₋5 (p₋2) (q₋8) 



L3₋5L2 ∼

∼ 



3 2 1 4

0 ₋1 2 ₋2

0 0 (p₋12) (q+ 2) 



Observe-se que n˜ao ´e necess´ario dividir L1 e L2 pelos coeficientes l´ıderes 3 e

−1, respectivamente, porque j´a est´a clara a sua contribui¸c˜ao para a discuss˜ao acima. O que decidir´a entre os trˆes tipos de sistema ser´a a terceira linha:

• (26.a.) Como discutido no in´ıcio, o sistema ser´a poss´ıvel determinado quando a matriz dos coeficientes puder ser escalonada at´e a matriz-identidade. Logo, p₋12₆= 0, isto ´e, p₆= 12, enquanto q ´e irrelevante, ou seja, q_∈R;

• (26.b.) Como discutido no in´ıcio, o sistema ser´a poss´ıvel indetermi-nado quando n˜ao houver inconsistˆencias e houver mais vari´aveis (co-lunas) do que equa¸c˜oes ap´os o escalonamento. Tais equa¸c˜oes corres-pondem `as linhas n˜ao-nulas da matriz dos coeficientes ap´os todo o escalonamento. Como h´a 3 vari´aveis e pelo menos 2 linhas que n˜ao se anular˜ao, deseja-se p₋12 = 0, permitindo que a terceira linha se anule. Para que n˜ao haja inconsistˆencias, precisa-se de q + 2 = 0, donde p= 12 e q=₋2. Neste caso, o n´umero de graus de liberdade ´e igual a 1 (acima, a ´unica vari´avel livre ´ez, atribuindo-se valores de um parˆametro real a ela).

26.c. Como feito para o sistema anterior, escalone-se a matriz ampliada o suficiente para que se obtenha uma matriz triangular superior a partir da

matriz dos coeficientes, permitindo identificar cada situa¸c˜ao:





2 4 3 4

6 ₋2 ₋1 2

4 7 p q



L2₋3L1

L3₋2L1 ∼





2 4 3 4

0 ₋14 ₋10 ₋10 0 ₋1 (p₋6) (q₋8)





L3₋ 1 14L2

∼

∼ 



2 4 3 4

0 ₋14 ₋10 ₋10

0 0 (p₋6 + 5₇) (q₋8 + 5₇) 

= 



2 4 3 4

0 ₋14 ₋10 ₋10 0 0 (p₋ 37₇) (q₋ 51₇ )





• Como discutido no in´ıcio, o sistema ser´a poss´ıvel determinado quando a matriz dos coeficientes puder ser escalonada at´e a matriz-identidade. Logo,p₋37_{7 6}= 0, isto ´e,p=₆ 37₇ , enquantoq´e irrelevante, ou seja,q_∈R;

• O sistema ser´a poss´ıvel indeterminado quando n˜ao houver inconsistˆen-cias e houver mais vari´aveis (colunas) do que equa¸c˜oes ap´os o escalo-namento. De maneira semelhante ao que se concluiu para o sistema anterior, deseja-se p ₋ 37

7 = 0 = q− 51

7 , donde p= 37/7 e q= 51/7.

Neste caso, o n´umero de graus de liberdade ´e igual a 1 (acima, a ´unica vari´avel livre ´e z, atribuindo-se valores de um parˆametro real a ela).

34. Considerando-se a tripla (0,0,0), ´e claro que o vetor nulo ´e C.L. daqueles vetores (e de quaisquer outros). Para se acharem todas as C.L. poss´ıveis para o vetor nulo, bem como para −→w, representam-se todos os vetores envolvidos como matrizes-colunas de modo a se obterem dois sistemas de equa¸c˜oes line-ares. Para o sistema homogˆeneo, poder-se-ia escalonar apenas a matriz dos coeficientes porque a coluna adicional na matriz ampliada ´e nula em todos os passos, mas esta foi escrita para ˆenfase.

     

1 ₋2 0 0 ₋2 −1 0 2 0 4 1 ₋4 2 0 0 −1 ₋1 3 0 5 1 ₋3 1 0 ₋1

     

L2+L1

L3−L1

L4+L1

L5₋L1 ∼      

1 ₋2 0 0 ₋2 0 ₋2 2 0 2 0 ₋2 2 0 2 0 ₋3 3 0 3 0 ₋1 1 0 1

      L5 L2 ∼ ∼      

1 ₋2 0 0 ₋2 0 ₋1 1 0 1 0 ₋2 2 0 2 0 ₋3 3 0 3 0 ₋2 2 0 2

     

L1−2L2 (₋1)

L3₋2L2

L4₋3L2

L5₋2L2 ∼      

1 0 ₋2 0 ₋4 0 1 ₋1 0 ₋1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

(34.a.) x1 ₋2x3 = 0 e x2 ₋x3 = 0. Logo, para cada escolha do parˆa-metro real x3 = s, tem-se que x1 = 2s e x2 = s. Em outras palavras, (x1, x2, x3) ´e qualquer ponto da seguinte reta no R3: _{(2s, s, s)_|s _∈ R}, isto ´e, _{s(2,1,1)_|s_∈R};

(34.b.) x1−2x3 =−4 e x2−x3 =−1. Logo, para cada escolha do

parˆame-tro real x3 = s, tem-se que x1 = 2s₋4 e x2 = s₋1. Em outras palavras, (x1, x2, x3) ´e qualquer ponto da seguinte reta noR3: _{(2s₋4, s₋1, s)_|s_∈R}, isto ´e, _{(₋4,₋1,0) +s(2,1,1)_|s_∈R}.

35. Novamente, recordar que, para um sistema homogˆeneo, pode-se esca-lonar apenas a matriz dos coeficientes porque a coluna adicional na matriz ampliada ´e sempre nula. No Exemplo 2 de 2.4.5 de [Boldrini et al.] (3a _ed.),

pag. 39, obt´em-se que o escalonamento das matrizes de coeficientes dadas

nesta quest˜ao7 _{leva aB ∼}

1 0 14/9 0 1 1/9 0 0 0 0 0 0

eA_∼h1 0 14_{0 1 1/}/₉9i. Em ambos os sistemas,

tem-se que x+ 14

9z = 0, y+ 1

9 e z =t ∈R (isto ´e, z ´e livre), sendo todas as

solu¸c˜oes descritas por (x, y, z) = ₋14₉t,₋1₉t, t

=t ₋14₉,₋1₉,1

, para t_∈R.

36 – um caminho: Considere-se o produto vetorial dos vetores diretores de Π dados, o qual ´e um vetor −→n normal a Π:

−

→_{n = (1,0,−1)×(−1,1,1) = (0·1−1(−1),(−1)}2₋₁2_,12_{−0) = (1,0,1).} s ter dire¸c˜ao paralela a Π, isto ´e, s ser paralela a Π ou estar contida em Π equivale8 _{a seu vetor diretor} −→_{s = (2,1,−2) ser ortogonal a} −→_{n. Mas:}

−

→_{s · −}→_{n = (2,1,−2)·(1,0,1) = 2·1 + 0−2·1 = 0. Para se verificar que s ´e} paralela a Π, mostre-se que ela n˜ao intersecta Π. Como sua dire¸c˜ao ´e paralela a Π, ´e bastante mostrar que um ponto de s (Ex.: Q= (1,2,3)) n˜ao est´a em Π. Isto equivale a qualque vetor representado por um segmento orientado de um ponto de Π a um ponto de s (Ex.: −→OQ) n˜ao ser paralelo a Π, isto ´e, n˜ao ser ortogonal a −→n. Mas: −→OQ_{· −}→n = (1,2,3)_·(1,0,1) = 12_{+ 0 + 1·3 = 46= 0.}

Logo, s´e paralela a Π. Com isto, a distˆancia entre eles ´e igual a distˆancia de qualquer ponto de s (digamos, Q) a Π. ComoO est´a em Π, tal distˆancia

7

Os sistemas s˜ao homogˆeneos na Lista Complementar 3 e, portanto, diferentes daqueles do exemplo do livro: aqui, B eA s˜ao matrizes de coeficientes; no exemplo do livro, elas s˜ao matrizes ampliadas.

8

s ser paralela a Π ou estar contida em Π tamb´em equivale a −→s ser C.L. de vetores

diretores de Π. De fato, tem-se que −→s = (2,1,−2) = 3 (1,0,−1) + (−1,1,1), o que pode

´e a norma da componente de−→OQ normal a Π. Tal componente ´e a proje¸c˜ao ortogonal de −→OQsobre −→n. Portanto:

dist (s,Π) =

−→

OQ_{· −}→n −→n

= p |4|

12_{+ 0}2 _{+ (−1)}2 =

4 √

1 + 1 = 4 √

2 = 2 √

2

36 – outro caminho: Uma vez calculado −→n = (1,0,1) e verificado que a dire¸c˜ao des´e paralela a Π no caminho anterior, pode-se considerar o feixe de planos paralelos a Π, dados por x+z+d= 0 (d_∈ Rfixado para cada plano), um dos quais, Πs cont´ems. Ele corresponde ad=ds, que ´e o n´ıvel da fun¸c˜ao

Ψ(x, y, z) = ₋x₋z em Q = (1,2,3): ds = −1−3 = −4. Como a origem

est´a em Π, este corresponde a dO= 0 6=ds∴Π6= Π_s ∴s ´e paralela a Π ∴

dist (s,Π) = dist (Πs,Π) = |

ds−dO|

−→n

= p | −4−0|

12_{+ 0}2_{+ (−1)}2 =

4 √

2 = √

2.

37.a – um caminho: Para se mostrar que Q /_∈ Π, basta se mostrar que o produto misto envolvido no c´alculo do volume desejado n˜ao ´e nulo (ou seja, que o tetraedro em quest˜ao n˜ao ´e degenerado). Como o pro-duto vetorial de −−→MP e −−→MQ ser´a usado no pr´oximo ´ıtem, o volume V =

1 6

det

h−−→

MN ,−−→MP ,−−→MQi

do tetraedro MNP Q ser´a calculado atrav´es deste. Abaixo, usaram-se combina¸c˜oes afins:

−−→

MN =N₋M = (6,3,₋1)₋(5,0,₋3) = (6₋5,3₋0,₋1₋(₋3)) = (1,3,2); −−→

MP =P₋M = (6,₋1,₋2)₋(5,0,₋3) = (6₋5,₋1₋0,₋2+3) = (1,₋1,1); −−→

MQ=Q₋M = (5,4,₋3)₋(5,0,₋3) = (5₋5,4₋0,₋3₋(₋3)) = (0,4,0)

∴−−→MP ×−−→MQ= (1,−1,1)×(0,4,0) = (0−4,0,4−0) = 4 (−1,0,1)∴

det

h−−→

MN ,−−→MP ,−−→MQi =

−−→

MN _·−−→MP _×−−→MQ

= |(1,3,2)· (−4,0,4)| = | −4 + 0 + 8_|=_|4_|= 4 ∴V = 4

6 = 2

3 6= 0∴ Q /∈Π.

37.b: Sendo a ´area de um paralelogramo igual ao produto da altura pela base, considere-se o paralelogramo de lados n˜ao-paralelos MP (base) e MQ, donde a altura h correspondente ´e a distˆancia desejada. Assim:

h=

−−→

MP _×−−→MQ

−−→

MP

= ||4 (−1,0,1)|| ||(1,₋1,1)_|| =

|4_|p(₋1)2_{+ 0}2_{+ 1}2

p

12_{+ (−1)}2_{+ 1}2 = 4

Obs. Outro caminho para se verificar que Q /_∈ Π ´e considerar a fun¸c˜ao de n´ıvel Ψ dada por um vetor normal a Π. Ex.:

−−→

MN_×−−→MP = (1,3,2)_×(1,₋1,1) = (3_·1₋2(₋1),2_·1₋12,1(₋1)₋3_·1) = (5,1,₋4),

do qual vem Ψ((x, y, z)) = (5,1,₋4)_·(x, y, z) = 5x+y₋4z. O plano Π ´e a superf´ıcie de n´ıvel Ψ(M) = 52 _{+ 0−4(−3) = 25 + 12 = 37, enquanto}

Ψ(Q) = Ψ(M) + 4 = 41. Logo, Q /_∈Π.

Obs. Com os c´alculos feitos acima, tem-se mais uma prova de queQ /_∈Π: O vetor −−→MN_×−−→MP = (5,1,₋4) ´e normal a Π, determinado porM,N eP. Se

Q pertencesse a Π, ent˜ao Π tamb´em seria determinado pelos pontosM, P e

Q e, portanto, tamb´em admitiria o vetor normal −−→MP _×−−→MQ = 4 (₋1,0,1). No entanto, os dois vetores normais acima n˜ao s˜ao m´ultiplos um do outro e, portanto, n˜ao s˜ao paralelos (contradi¸c˜ao).

38.a – um caminho: Pode-se calcular a distˆancia entreQe Π ao se conside-rar a distˆancia entre planos do feixe determinado por qualquer vetor normal a Π. A distˆancia desejada ´e aquela entre Π e o plano paralelo a Π e que passa porQ. Um vetor normal a Π ´e dado por−−→MN_×−−→MP. Por combina¸c˜oes afins: −−→

MN =N ₋M = (13,₋3,₋4)₋(5,₋3,2) = (8,0,₋6); e −−→

MP =P ₋M = (5,₋2,2)₋(5,₋3,2) = (0,1,0) =−→j ∴

−−→

MN _×−−→MP = (0₋1(₋6),0₋0,8_·1₋0) = (6,0,8) = 2 (3,0,4). Utilizando-se −→n = (3,0,4), tem-se a fun¸c˜ao de n´ıvel Ψ((x, y, z)) = 3x₋ 4z, donde Π ´e a superf´ıcie de n´ıvel igual a Ψ(M) = 3 _· 5 + 4 _· 2 = 23, enquanto Ψ(Q) = 3(₋3) + 4_·3 = 3. Da f´ormula9 _{para a distˆancia entre planos do}

feixe associado a Ψ:

dist(Q,Π) = |Ψ(Q)−Ψ(M)|

−→n

= | −√20| 25 =

20

5 = 4 ∴ dist(Q,Π) = 4.

38.a – outro caminho: Considere-se o paralelogramo de lados n˜ao-paralelos

MN, MP e MQ incidentes a M. A distˆancia entreQ e Π ´e o comprimento da altura de tal paralelep´ıpedo com rela¸c˜ao `a base dada pelo paralelogramo

9

O leitor pode evitar a aplica¸c˜ao direta desta f´ormula, facilmente reproduzindo sua obten¸c˜ao: Usando-seQe−→n, parametriza-se uma reta perpendicular a Π e, ent˜ao,

de lados MN e MP. O volume daquele paralelep´ıpedo ´e, por um lado, o valor absoluto do produto misto de −−→MQ, −−→MN e −−→MP e, por outro lado, o produto do comprimento daquela altura pela ´area daquela base (isto ´e, a norma do produto vetorial de −−→MN e −−→MP). Mas:

−−→

MQ=Q₋M = (₋3,₋3,3)₋(5,₋3,2) = (₋8,0,1) e, do caminho anterior, −−→

MN _×−−→MP

=||2 (3,0,4)||=|2| √

32_{+ 0}2_{+ 4}2 _{= 2}√_{25 = 10. Assim:}

dist(Q,Π) = det

h−−→

MQ,−−→MN ,−−→MPi −−→

MN _×−−→MP = −−→

MQ_·−−→MN _×−−→MP −−→

MN_×−−→MP

=

= |(−8,0,1)·(6,0,8)|

10 =

|6(₋8) + 0 + 8_|

10 =

| −40_|

10 = 4∴dist(Q,Π) = 4.

38.b: Considere-se Q′<sub>, o p´e da reta perpendicular `a reta</sub> ←−→<sub>MN que passa</sub> por Q. A distˆancia entre Q e ←−→MN ´e igual `a distˆancia entre Q e Q′_{, que} ´e o comprimento do segmento QQ′_{. Para calcul´a-la, pode-se considerar o} paralelogramo de lados n˜ao-paralelos MN e MQ incidentes a M. Sua ´area ´e, por um lado, a norma do produto vetorial de−−→MN e−−→MQe, por outro lado, o produto dos comprimentos da alturaQQ′ _{e da base MN (este, a norma de} −−→

MN). Mas, do ´ıtem anterior, −−→MQ= (₋8,0,1) e −−→MN = (8,0,₋6), donde: −−→ MN = p

82_{+ 0}2_{+ (−6)}2 ₌√_{64 + 36 =}√_{100 = 10, enquanto}

−−→

MN _×−−→MQ= (0₋0,₋8(₋6)₋8_·1,0₋0) = (0,40,0) = 40−→j ∴

−−→

MN _×−−→MQ

=|40| − →_j

= 40·1 = 40∴

distQ,←−→MN= dist(Q, Q′_{) =} −−→

MN _×−−→MQ −−→ MN = 40

10 = 4∴dist

Q,←−→MN= 4

38.c: A reta ←→QR admite o vetor diretor −→

QR = R₋Q= (₋3,₋2,3)₋(₋3,₋3,3) = (0,1,0) = −−→MP, que ´e um vetor diretor do plano Π. ComoQpertence a←→QR mas n˜ao a Π (devido `a distˆancia obtida no ´Item 38.a), a reta ←→QR ´e paralela ao plano Π, o qual cont´em a reta ←−→MN. Assim, s´o h´a duas possibilidades para a posi¸c˜ao relativa daquelas retas, a saber, paralelas ou reversas. Uma vez que os vetores diretores −→QR

e −−→MN n˜ao s˜ao m´ultiplos n˜ao-nulos um do outro, elas s˜ao reversas e, por-tanto, a distˆancia entre elas ´e aquela entre Q e Π, calculada no ´Item 38.a: dist←→QR,←−→MN= 4.

39 – um caminho: Denotem-se os dados por P1 = (1,2,3), P2 = (5,4,3) (pontos), −→v1 = (1,1,2) ev2→− = (1,0,1) (vetores diretores). Tem-se quer1 er2

serem reversas equivale aos vetores−−→P1P2,−→v1 e−→v2serem L.I., o que equivale ao produto misto deth−−→P1P2,−→v1,−→v2i=−−→P1P2_{· −}→v1_{× −}→v2

ser diferente de 0. Mas: −−→

P1P2 =−−→OP2₋−−→OP1 = (5,4,3)₋(1,2,3) = (4,2,0); −

→

v1_{× −}→v2 = (1,1,2)_×(1,0,1) = (12_{−0,2·1−1}2_,0−12_{) = (1,1,−1)∴}

deth−−→P1P2,−→v1,−→v2i = (4,2,0)_·(1,1,₋1) = 4 + 2₋0 = 6 ₆= 0 ∴ r1 e r2 s˜ao

reversas. A distˆancia entre elas ´e dada pela seguinte f´ormula10_:

dist (r1, r2) = det

h−−→

P1P2,−→v1,−→v2i

−→v1× −→v2

= p |6|

12_{+ 1}2_{+ (−1)}2 =

6 √

3 = 2 √

3.

39 – outro caminho: Como −→v1 e −→v2 n˜ao s˜ao m´ultiplos um do outro, eles n˜ao s˜ao paralelos e, portanto, r1 e r2 ou s˜ao concorrentes ou s˜ao reversas.

Considere-se o feixe de planos paralelos dados por x+y₋z+d = 0 (d_∈R

fixado para cada plano), que admite o vetor normal −→v1_{× −}→v2 = (1,1,₋1) (cf. caminho anterior). Sendo tal vetor ortogonal aos vetores diretores de r1 er2,

tem-se estas retas s˜ao paralelas ao feixe de planos e, portanto, cada uma est´a contida num deles. Calcula-se d para o plano Π′ (no feixe) que cont´em a

retar calculando-sed=−(x+y−z) no ponto P∴d1 =−(1 + 2−3) = 0 e

10

Tal f´ormula pode ser interpretada como a altura obtida ao se dividir o volume do paralelep´ıpedo de lados n˜ao-paralelos representando (a menos de sentido) os vetores−−−→P1P2,

−→

v1e−v→2pela ´area da base dada por um paralelogramo cujos lados n˜ao-paralelos representam

(a menos de sentido)−v→1e−v→2. Aquela f´ormula tamb´em pode ser interpretada como a norma

d2 =₋(5 + 4₋3) =₋6₆=d1 ∴Π′₁ e Π′₂ s˜ao paralelos∴ r1 e r2 s˜ao reversas.

dist (r1, r2) = dist (Π′

1,Π′2) = |

d1₋d2_|

−→v1× −→v2

= p |0−6|

12_{+ 1}2_{+ (−1)}2 =

6 √

3 = 2 √

3.

42.c: Qualquer reta contida em Π e que n˜ao pertence a_F pode ser utilizada porque, n˜ao tendo a mesma dire¸c˜ao que os elementos de _F (os quais s˜ao as retas em Π com dire¸c˜ao do vetor (1,1,1)), s´o lhe resta ser concorrente a tais retas como posi¸c˜ao relativa. Da parametriza¸c˜ao dada para Π, facilmente se reconhece uma reta apropriada p: (x(s), y(s), z(s)) = (0,1,2) +s(₋1,2,3), onde s_∈R. Logo: x(s) =₋s, y(s) = 1 + 2s, e z(s) = 2 + 3s, ondes _∈R.

43.a: Analogamente ao que foi feito no ´Item 42.c, Qualquer reta contida em Π e que n˜ao pertence a _F (isto ´e, que n˜ao ´e paralela ao vetor −→v = (1,1,1)) pode ser utilizada. Precisa-se de um ponto de Π e de um vetor diretor −

→_{w dele que n˜ao ´e m´ultiplo de} −→_{v (este tamb´em ´e um vetor diretor de Π).} De sua equa¸c˜ao geral, Π admite o vetor normal −→n = (4,₋1,₋3). Pode-se tomar, por exemplo, −→w = −→n _{× −}→v, o qual ´e diretor de Π (por ser orto-gonal a −→n) mas n˜ao ´e m´ultiplo de −→v (por ser n˜ao-nulo ortogonal a −→v): −

→_{w = (4,−1,−3)×(1,1,1) = (−1−(−3),−3−4,4−(−1)) = (2,−7,5).} Para se achar um ponto P0 de Π, pode-se, por exemplo, dar valor 0 a duas vari´aveis convenientes (ex.: x e z), resolvendo-se a equa¸c˜ao geral de Π para a vari´avel restante (aqui, y): 1 = 4x ₋y₋3z = 0 ₋y+ 0 ∴ y = −1 ∴

(0,₋1,0)_∈Π. No entanto, para simplificar a resolu¸c˜ao dos ´ıtens 43.d e 43.e, o ponto a ser utilizado ser´a o ponto H = (9,₋1,12) do ´Item 43.b: Com isto,

p: (x(s), y(s), z(s)) =H+s→−w = (9,₋1,12) +s(2,₋7,5), ondes _∈R. Logo:

x(s) = 9 + 2s, y(s) = ₋1₋7s, e z(s) = 12 + 5s, ondes_∈R.

43.b: Como na primeira solu¸c˜ao para o ´Item 38.a, −→n define a fun¸c˜ao de n´ıvel Ψ((x, y, z)) = 4x₋y₋3z com valor 1 em Π, e com valor em P dado por ψ(P) = Ψ((1,1,18)) = 4₋1₋3_·18 =₋51. Mas

−→n

=||(4,−1,−3)||= √

42_{+ 1}2_{+ 3}2 ₌√_{16 + 1 + 9 =}√_26∴

dist(P,Π) = |Ψ(P)−1|

−→n

= | −√51−1|

26 =

52 √

26 ∴ dist(P,Π) = 2 √

26.

ponto P. Tal reta admite a equa¸c˜ao vetorial: (x(t), y(t), z(t)) = P +t−→n, onde t_∈ R. Substituindo-se na equa¸c˜ao de Π:

1 = 4x(t)₋y(t)₋3z(t) = Ψ(P) +−→n _· t−→n

=₋51 +t −→n

2

=₋51 + 26t∴

t = 52/26 = 2∴H =P+2−→n = (1,1,18)+2 (4,−1,−3) = (1+8,1−2,18−6) ∴H = (9,−1,12).

43.c: Como 3 < 2√26 = dist(P,Π), n˜ao ´e poss´ıvel para uma reta con-tida em Π distar 3 do ponto P.

43.e: H ´e o ´unico ponto de Π que realiza a distˆancia 2√26 entre P e Π e, sendo as retas de _F contidas em Π, apenas aquela que cont´em H dista 2√26 de P. Como H pertence `a reta p,H identifica a reta desejada11_.

43.d: Primeiro, observe-se que, devido `as constru¸c˜oes de −→w e p, o ponto mais pr´oximo de P em cada reta r de _F ´e, precisamente, o ponto P(s0) em que r a reta p (Da´ı, este ponto realiza a distˆancia entre r e P). De fato,

r : R(t) = (x(t), y(t), z(t)) = P(s0) +t−→v = (H+s0−→w) +t−→v, onde P(s0) corresponde ao valors=s0(fixado) na equa¸c˜ao vetorial dep. J´a o parˆametro

t _∈R, gerandor a partir deP(s0) pela a¸c˜ao dos m´ultiplos de −→v. Assim:

dist (P, R(t)) =

−−−−→

P R(t) = −−→

P H +s0−→w +t−→v

Como −−→P H, −→w e −→v s˜ao ortogonais, o quadrado da distˆancia acima ´e dada pela express˜ao abaixo (aplicando-se o teorema de Pit´agoras duas vezes):

(dist (P, R(t)))2 = −−→ P H 2 + s0−→w

2 + t−→v

2 = −−→ P H 2

+s2₀ −→w

2

+t2 −→v

2

Esta express˜ao se minimiza quando t = 0, mostrando que o ponto P(s0)

realiza a distˆancia dist (P, r). Continuando-se o c´alculo acima (o(a) leitor(a) pode calcular as normas `a parte):

262 = (dist (P, r))2 = (dist (P, P(s0)))2 = −−→ P H 2

+s2₀ −→w

2

= 4_·26+s2_0·78

∴78s2₀ = 26(26−4) = 26·22∴3s2₀ = 22∴s0 =±

r 22

3

11

Portanto, os dois pontos de p que identificam as retas desejadas s˜ao dados, em termos de a¸c˜ao, por: H_±q22₃ −→w.

44.b: Pode-se decompor o quadril´atero irregular MNP R nos triˆangulos

MP N eMP R, os quais compartilham a diagonalMP (ou, alternativamente, nos triˆangulos NRM e NRP atrav´es da diagonal NR). Tem-se que a ´area dele ´e igual `a soma das ´areas dos dois triˆangulos12_{. Cada uma destas ´areas}

´e metade da ´area de um paralelogramo com dois lados n˜ao-paralelos no tri-ˆangulo em quest˜ao, a qual ´e, por sua vez, igual `a norma do produto vetorial de vetores representados por aqueles lados (orientando-se estes):

−−→

MN =N ₋M = (1,3,2)₋(₋1,0,1) = (1 + 1,3,2₋1) = (2,3,1), −−→

MP =P ₋M = (0,1,2)₋(₋1,0,1) = (0 + 1,1,2₋1) = (1,1,1) e −−→

MR =R₋M = (₋7,₋10,₋1)₋(₋1,0,1) = (₋6,₋10,₋2)∴

−−→

MP_×−−→MN = (1,1,1)_×(2,3,1) = (1₋3,2₋1,3₋2) = (₋2,1,1),

−−→

MP_×−−→MR= (1,1,1)_×(₋6,₋10,₋2) =

= (₋2₋(₋10),₋6₋(₋2),₋10₋(₋6)) = (8,₋4,₋4) = ₋4−−→MP _×−−→MN

Portanto, a ´area A desejada ´e igual a:

1 2

−−→

MP _×−−→MN +

1 2

−4 −−→MP _×−−→MN =

1 +_{| −}4_| 2

−−→

MP _×−−→MN =

= 5 2

p

(₋2)2_{+ 1}2_{+ 1}2 ₌ 5

2 √

4 + 1 + 1 = 5 2

√

6∴A = 5

2 √

6.

12