Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Estat´ıstica Novas Distribui¸c˜ oes Invers´ıveis Sim´ etricas e Assim´ etricas

(1)

Universidade de Bras´ılia

Instituto de Ciˆ

encias Exatas

Departamento de Estat´ıstica

Novas Distribui¸c˜

oes Invers´ıveis Sim´

etricas e Assim´

etricas

Cl´audia Raquel da Rocha Eirado

Disserta¸c˜ao de Mestrado em Estat´ıstica

(2)

Novas Distribui¸c˜

oes Invers´ıveis Sim´

etricas e Assim´

etricas

Disserta¸cão apresentada ao Departamento de Estat´ıstica do Instituto de Ciências Exatas da Universidade de Bras´ılia como requisito parcial à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Estat´ıstica.

(3)

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

DISTRIBUIC

¸ ˜

OES INVERS´IVEIS SIM´

ETRICAS E

ASSIM´

ETRICAS

CL ´

AUDIA RAQUEL DA ROCHA EIRADO

DISSERTAÇ ÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DA UNI-VERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO REQUISITO PARCIAL À OBTEN-Ç ÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM ESTATÍSTICA.

APROVADA POR:

Profa. Pushpa Narayan Rathie, PhD. (DEST-UnB) (Orientador)

Prof. Gustavo Leonal Gilardoni Avalle, PhD. (DEST-UnB) (Examinador Interno)

Prof. Jos´e Ailton Alencar de Andrade, DSc. (DEMA-UFC) (Examinador Externo)

(4)

FICHA CATALOGR ´AFICA

EIRADO, CL ´AUDIA RAQUEL DA ROCHA

Novas Distribui¸cões Invers´ıveis Simétricas e Assimétricas [Distrito Federal] 2011. xvi, 103p., 210 x 297 mm (DEST/IE/UnB, Mestre, Estat´ıstica, 2011).

Disserta¸c˜ao de Mestrado. Universidade de Bras´ılia. Instituto de Ciˆencias Exatas. Departamento de Estat´ıstica.

1.Fun¸cão H 2.Fun¸cão Hipergeométrica

3.Densidades Simétricas e Assimétricas 4.Estimadores de Máxima Verossimilhan¸ca I. DEST/IE/UnB II. T´ıtulo (série)

REFERˆENCIA BIBLIOGR ´AFICA

EIRADO, C. R. R (2011). Novas Distribui¸cões Invers´ıveis Simétricas e Assimétricas. Disserta¸cão de Mestrado em Estat´ıstica, Departamento de Estat´ıstica, Universidade de Bras´ılia, Bras´ılia, DF, 103p.

CESS ˜AO DE DIREITOS

AUTOR: Cl´audia Raquel da Rocha Eirado.

TÍTULO: Novas Distribui¸cões Invers´ıveis Simétricas e Assimétricas. GRAU: Mestre ANO: 2011

´

E concedida à Universidade de Bras´ılia permissão para reproduzir cópias desta dis-serta¸cão de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e cient´ıficos. O autor reserva outros direitos de publica¸cão e nenhuma parte dessa disserta¸cão de mestrado pode ser reproduzida sem autoriza¸cão por es-crito do autor.

(5)

Ao meu amado esposo Leonardo,

ao meu filho Mateus e

(6)

Agradecimentos

• Agrade¸co ao Soberano autor da vida, meu Deus, por ser meu ref´ugio e fortaleza. Todo o louvor seja dado a Ele.

• Ao meu esposo Leonardo e ao meu filho Mateus, pela compreens˜ao e incentivo em todos os momentos.

• Aos meus pais Nonato e F´atima, por me orientarem ao longo da vida e me ensinarem a vencer desafios.

(7)

Sum´

ario

Sum´ario 3

Lista de Figuras 6

Lista de Tabelas 7

Resumo 8

Abstract 10

1 Introdu¸c˜ao 12

2 Fun¸c˜oes Matem´aticas Especiais 15

2.1 Introdu¸c˜ao . . . 15

2.2 A Fun¸c˜ao H(z) . . . 15

2.2.1 Conceitos e fundamentos - [SPRINGER,1979] (19) . . . 15

2.3 A Fun¸c˜ao Generalizada de Gauss pFq . . . 17

2.3.1 Conceitos e fundamentos - [SLATER,1966] (18) . . . 17

2.3.2 A convergˆencia da Fun¸c˜ao Generalizada de Gauss pFq . . . 18

2.3.3 A Fun¸c˜ao Hipergeom´etrica de Gauss 2F1 . . . 18

2.3.4 Convergˆencia da Fun¸c˜ao de Gauss 2F1 . . . 19

2.3.5 Rela¸c˜oes Funcionais de 2F1[a;b;c;z] . . . 20

2.4 A Fun¸c˜ao G de Meijer . . . 20

2.5 A Fun¸c˜ao Bivariada H[x, y] . . . 22

2.5.1 Conceitos e fundamentos - [MATHAI et al.,2010] (9) . . . 22

(8)

3 Uma Nova Distribui¸c˜ao 25

3.2 Distribui¸c˜ao Acumulada Assim´etrica . . . 25

3.2.1 Propriedades da Distribui¸c˜ao Acumulada . . . 26

3.2.2 Gr´aficos para a Distribui¸c˜ao Acumulada . . . 27

3.2.3 Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade . . . 29

3.2.4 Gr´aficos para a Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade . . . 30

3.2.5 Distribui¸c˜oes de M´ınimo e M´aximo . . . 36

3.2.6 Momentos para X . . . 37

3.2.7 Fun¸c˜ao Caracter´ıstica para X . . . 40

3.2.8 Estimadores para os parˆametros B, C, ρde f(x) . . . 46

4 Versão Simétrica para a Distribui¸cão 48 4.1 Introdu¸cão . . . 48

4.2 Distribui¸c˜ao Acumulada Sim´etrica . . . 48

4.2.1 Propriedades da Distribui¸c˜ao Acumulada Sim´etrica . . . 48

4.2.2 Gráficos para a Distribui¸cão Acumulada Simétrica . . . 49

4.2.3 Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade Sim´etrica . . . 52

4.2.4 Gráficos para a Fun¸cão Densidade de Probabilidade Simétrica 53 4.2.5 Distribui¸cões de M´ınimo e Máximo . . . 57

4.2.6 Momentos para X . . . 58

4.2.7 Fun¸c˜ao Caracter´ıstica para X . . . 60

4.2.8 Estimadores para os parˆametros B, C, ρde g(x) . . . 61

5 Distribui¸cões Assimétricas 63 5.1 Introdu¸cão . . . 63

5.2 Distribui¸c˜ao Assim´etrica h1(x) . . . 64

5.2.1 Constru¸c˜ao de h1(x) . . . 64

5.2.2 Gr´afico para a Densidade Assim´etrica Sas(x) . . . 64

5.3 Distribui¸c˜ao Assim´etrica h2(x) . . . 65

5.3.1 Constru¸c˜ao de h2(x) . . . 65

(9)

6 Aplica¸c˜oes 67

6.2 Precipita¸c˜ao . . . 67

6.2.1 An´alise Descritiva . . . 67

6.2.2 Estima¸c˜ao dos Parˆametros . . . 69

6.2.3 Ajuste da Curva . . . 70

6.3 Retornos Di´arios de Taxa Cˆambio . . . 72

6.4 Consumo de Energia - kg de petr´oleo per capita . . . 79

7 Conclus˜oes 84

(10)

Lista de Figuras

3.1 Formas para a Distribui¸cão Acumulada Assimétrica F(x) . . . 27 3.2 Formas para a Distribui¸cão Acumulada F(x) - varia¸cão de ρ, com

B >0,C fixos . . . 27 3.3 Formas para a Distribui¸c˜ao Acumulada F(x) - varia¸c˜ao de ρ, com

B <0,C fixos . . . 28 3.4 Formas para a Distribui¸c˜ao AcumuladaF(x) - varia¸c˜ao deB, comC, ρ

fixos . . . 28 3.5 Formas para a Distribui¸c˜ao Acumulada F(x) - varia¸c˜ao de C, com

B >0,ρ fixos . . . 28 3.6 Formas para a Distribui¸c˜ao Acumulada F(x) - varia¸c˜ao de C, com

B <0,ρ fixos . . . 29 3.7 Formas para a Densidade de Probabilidade Assim´etrica f(x) . . . 30 3.8 Formas para a Densidade Gama Generalizada . . . 31 3.9 Formas para a Densidade de Probabilidade f(x) - varia¸c˜ao de ρ, com

B >0,C fixos . . . 32 3.10 Formas para a Densidade de Probabilidadef(x) - varia¸c˜ao de ρ, com

B <0,C fixos . . . 32 3.11 Formas para a Densidade de Probabilidade f(x) - varia¸c˜ao de B, com

C, ρ fixos . . . 33 3.12 Formas para a Densidade de Probabilidade f(x) - varia¸c˜ao de C, com

B >0,ρ fixos . . . 33 3.13 Formas para a Densidade de Probabilidade f(x) - varia¸c˜ao de C, com

(11)

3.15 Formas para a Densidade de Cauchy . . . 36

4.1 Formas para a Distribui¸cão Acumulada Simétrica G(x) . . . 49 4.2 Formas para a Distribui¸cão Simétrica Acumulada G(x) - varia¸cão de

ρ, com B >0,C fixos . . . 50 4.3 Formas para a Distribui¸cão Simétrica Acumulada G(x) - varia¸cão de

ρ, com B <0,C fixos . . . 50 4.4 Formas para a Distribui¸cão Simétrica Acumulada G(x) - varia¸cão de

B, com C, ρ fixos . . . 51 4.5 Formas para a Distribui¸cão Simétrica Acumulada G(x) - varia¸cão de

C, com B >0,ρ fixos . . . 51 4.6 Formas para a Distribui¸cão Simétrica Acumulada G(x) - varia¸cão de

C, com B <0,ρ fixos . . . 52 4.7 Formas para a Densidade Simétrica g(x) . . . 53 4.8 Formas para a Densidade g(x) - varia¸cão de ρ, comB >0, ρ fixos . . 54 4.9 Formas para a Densidade g(x) - varia¸cão de ρ, comB <0, ρ fixos . . 55 4.10 Formas para a Densidadeg(x) - varia¸cão de B, com C, ρfixos . . . . 55 4.11 Formas para a Densidadeg(x) - varia¸cão de C, com B >0, C fixos . . 56 4.12 Formas para a Densidadeg(x) - varia¸cão de C, com B <0, C fixos . . 56 5.1 Formas para a Densidade AssimétricaSas(x) . . . 65 5.2 Formas para a Densidade AssimétricaSbs(x) . . . 66 6.1 Boxplot para os Dados de Precipita¸cão . . . 68 6.2 Distribui¸cão Emp´ırica e Densidade Estimada por Kernel para os Dados

de Precipita¸cão . . . 69 6.3 Análise de Bondade do Ajuste para os Dados de Precipita¸cão . . . 72 6.4 Boxplot para Retornos da Taxa de Câmbio - Real - Brasil . . . 74 6.5 Boxplot para Retornos da Taxa de Câmbio - Dólar Canadense - Canadá 74 6.6 Distribui¸cão Emp´ırica e Densidade Estimada para Retornos da Taxa

de Cˆambio - Real - Brasil . . . 75 6.7 Distribui¸c˜ao Emp´ırica e Densidade Estimada para Retornos da Taxa

(12)

6.8 Análise de Bondade de Ajuste para Retornos Diários da Taxa de Câmbio - Real - Brasil . . . 79 6.9 Análise de Bondade de Ajuste para Retornos Diários da Taxa de Câmbio

- Dólar Canadense - Canadá . . . 79 6.10 Boxplot para os Dados de Log-Consumo de Energia . . . 81 6.11 Distribui¸cão Emp´ırica e Densidade Estimada por Kernel para os Dados

(13)

Lista de Tabelas

6.1 Estat´ısticas Descritivas para os Dados de Precipita¸cão . . . 68 6.2 E.M.V. e I.C. 95% Bootstrap para os Parâmetros B, C, ρ . . . 70 6.3 Medidas de Acurácia de Ajuste para as Distribui¸cão dos Dados de

Precipita¸c˜ao . . . 71 6.4 Estat´ısticas Descritivas para os Dados de Retornos Di´arios das Taxas

de Câmbio do Brasil e Canadá . . . 73 6.5 E.M.V. e I.C. Wald 95% para os Parâmetros B, C . . . 77 6.6 Medidas de Acurácia de Ajuste para as Distribui¸cões dos Retornos das

Taxas Cambiais de Brasil e Canadá . . . 78 6.7 Estat´ısticas Descritivas para os Dados de Log-Consumo de Energia . 80 6.8 E.M.V. para os Parâmetros B, C, γ, µ, σ . . . 82 6.9 Medidas de Acurácia de Ajuste para as Distribui¸cão dos Dados de

(14)

Resumo

O estudo de novas distribui¸cões se faz necessário à medida em que nos deparamos com dados que muitas vezes possuem peculiaridades que não se encaixam em dis-tribui¸cões já conhecidas.

O objetivo deste trabalho é apresentar novas distribui¸cões assimétricas e simétricas, suas propriedades e aplica¸cões com dados reais, nas áreas climática e econômico-financeira.

O nosso trabalho possui três tipos de distribui¸cões: uma distribui¸cão as-simétrica, que engloba dados não negativos, uma versão simétrica para dados em toda a reta real e, versões “skew” geradas a partir da versão simétrica.

As distribui¸cões desse trabalho são em geral, formas racionais de polinômios. Por possu´ırem uma grande quantidade de parâmetros, tem a vantagem de serem bastante maleáveis e versáteis. As distribui¸cões tem como maior caracter´ıstica a cauda pesada, pois possuem caudas com varia¸cão regular de ordem 2, significa que ao

|x_{| → ∞}, _∀ x _∈R _ou_x _{→ ∞}_{, x >}_{0, temos fun¸c˜oes de densidade de probabilidade}

do tipo c x2.

Para definir momentos e fun¸cões caracter´ısticas paras as distribui¸cões, uti-lizaremos fun¸cões matemáticas especiais da fam´ılia Hipergeométrica, revisadas teori-camente em [Mathai et al., 2010] (9), [Springer, 1979] (19), [Hai & Yakubovich, 1992] (8), [Slater,1966] (18) e [Temme, 1996] (20).

Construiremos distribui¸c˜oes assim´etricas (“skew”) geradas a partir de resul-tados de [Azzalini, 1985] (1) e [Fernandez et al., 1998] (7).

(15)

Os dados climáticos se referem a um conjunto que contém a precipita¸cão anual da cidade de Los Angeles, entre 1878 e 1998 obtidos no s´ıtio do National Weather Service (NWS) dos Estados Unidos da América (12).

As aplica¸cões na área econômico-financeira possuem dois conjuntos de dados. O primeiro se refere aos retornos percentuais calculados a partir das taxas cambiais diárias para o Real (Brasil) e Dólar (Canadá) frente ao dólar americano entre 03 de janeiro de 2000 e 20 de maio de 2011 divulgadas pelo Federal Reserve (5). O segundo trata do consumo de energia em kg de petróleo per capita para 136 pa´ıses em 1997 divulgadas pelo Banco Mundial (23).

Palavras-Chave: Fun¸cão H, fun¸cão Hipergeométrica, fun¸cões de distribui¸cão e

(16)

Abstract

The study of new distributions is necessary when we are faced with data that often do not fit to already known distributions.

The aim of this work is to present new skew symmetric and asymmetric distributions, its properties and applications with real data, in economic and financial, and climate areas.

Our work has three types of distributions: an asymmetric distribution, which includes non-negative data, a symmetric version of data across the real line, and “ skew” version generated from the symmetric version.

The distributions presented in this work are generally rational forms of poly-nomials. As it has many parameters, we have the advantage of being very flexi-ble and versatile. The distribution has the greatest feature a heavy tail, because it has tails with regular variation of order 2, it means that _|x_{| → ∞}, _∀ x _∈ R _or

x_{→ ∞}, x >0, we have probability density functions of type c x2.

To define moments and characteristic functions for distributions, we use ma-thematical special functions of Hypergeometric family, with shown theory in [Mathai et al., 2010] (9), [Springer, 1979] (19), [Hai Yakubovich, 1992] (8), [Slater, 1966] (18) and [Temme, 1996] (20).

In particular, we will generate skew distributions from results of [Azza-lini, 1985] (1) and [Fernandez et al., 1998] (7).

(17)

The applications in the economic-financial area have two data sets. The first refers to the percentage returns calculated from daily exchange rates for the Real (Brazil) and Dollar (Canada) against the U.S. dollar between January 3, 2000 and May 20, 2011 released by the Federal Reserve (5). The second deals with the energy consumption in kg of oil per capita to 136 countries in 1997 released by the World Bank (23).

Keywords: H-function, Hypergeometric function, skew and symmetric distributions

(18)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

A Estat´ıstica associada à Probabilidade permite a previsão do comportamento de dados. Ajustar distribui¸cões de probabilidade a dados reais será sempre um desafio, pois encontrar uma fun¸cão matemática que traduza os dados de maneira satisfatória é sempre complexo.

Com certa freqüência nos deparamos com dados que possuem peculiaridades que nem sempre conseguem ser captadas pelas distribui¸cões mais conhecidas. As dis-tribui¸cões apresentadas nesse trabalho são em geral, formas racionais de polinômios. Por possu´ırem uma grande quantidade de parâmetros, tem a vantagem de serem bastante maleáveis e versáteis.

As distribui¸c˜oes tem como maior caracter´ıstica a cauda pesada, pois possuem caudas com varia¸c˜ao regular de ordem 2, significa que ao _|x_{| → ∞}, _∀ x _∈ R _ou

x _{→ ∞}, x > 0, temos fun¸c˜oes de densidade de probabilidade do tipo _xc2 como ser´a

mostrado no Cap´ıtulo 3. Logo, temos distribui¸cões que podem modelar com eficiência dados ecológicos e ambientais, além de dados financeiros.

(19)

O trabalho trata de novas distribui¸cões simétricas e assimétricas e suas pro-priedades. Por serem distribui¸cões que podem assumir formas com caudas pesadas, podem ser utilizada para séries de dados financeiros e fenômenos naturais como ´ındices pluviométricos e temperaturas em determinadas localidades ao longo do tempo. Será apresentada versão da distribui¸cão apenas com valores positivos e outra versão para toda a reta real. Além de uma distribui¸cão fortemente assimétrica gerada a partir da distribui¸cão simétrica.

Dados ecológicos e ambientais, geralmente de ´ındices pluviométricos, tempe-raturas, incidência de raios solares possuem caudas pesadas e dependendo da loca-lidade podem ocorrer distribui¸cões bimodais. Isso porque em certas localoca-lidades, as temperaturas, por exemplo, podem ter duas modas, por exemplo em pa´ıses de clima temperado, onde ocorrem invernos e verões rigorosos, com valores extremos. Também para ´ındices pluviométricos observamos esse tipo de comportamento, onde temos uma quantidade de precipita¸cão média ao longo do ano, e em uma outra época do ano, se tem grande quantidade de chuva como, por exemplo, no fenômeno das mon¸cões.

Em dados financeiros, temos comportamento de caudas pesadas frequente-mente ao tratarmos de retornos financeiros, pois em geral, possu´ımos um rendimento médio (se forem diários, geralmente estão em torno de 0). Mas também teremos val-ores muito abaixo (perdas) ou acima (ganhos) da média do rendimento, que formarão a cauda pesada da distribui¸cão, com valores extremos.

O objetivo é determinar propriedades da distribui¸cão, encontrar a densidade, momentos, fun¸cão caracter´ıstica e determinar estimadores para os parâmetros a fim de fazer inferência estat´ıstica a partir destas distribui¸cões e modelar com dados reais.As distribui¸cões são denominadas invers´ıveis, pois conseguimos simular X a partir das distribui¸cões apresentadas.

O Cap´ıtulo 2 apresenta as fun¸cões matemáticas especias da fam´ılia Hiper-geométrica que serão utilizadas para cálculo de momentos e fun¸cões caracter´ısticas. As defini¸cões e resultados apresentados para a Fun¸cão H, Fun¸cão G de Meijer e Fun¸cão H Biavariada podem ser encontrados em [Mathai et al., 2010] (9), [Springer, 1979] (19) e [Hai & Yakubovich, 1992] (8). Os resultados para a Fun¸cão Generalizada de Gauss podem ser encontrados em [Slater, 1966] (18) e [Temme, 1996] (20).

(20)

a versão assimétrica, pode-se imaginar, por exemplo, que a distribui¸cão de Pareto também possui caudas pesadas, então porque utilizar a nova distribui¸cão? A van-tagem da nova distribui¸cão é que esta passa pela origem, enquanto que a de Pareto não.

O Cap´ıtulo 4 trata da distribui¸cão simétrica em torno de 0 e suas propriedades. Para a versão simétrica, o que se observa é que essa distribui¸cão possui semelhan¸ca com a distribui¸cão de Cauchy, já que ambas possuem caudas com varia¸cão regular de ordem 2. Mas no caso da nova distribui¸cão temos formas bimodais, o que não ocorre com a distribui¸cão de Cauchy.

O Cap´ıtulo 5 apresenta versão fortemente assimétrica gerada a partir da versão simétrica por meio de resultados encontrados em [Azzalini, 1985] (1) e [Fernandez et al., 1998](7). Essas distribui¸cões possuem formas bimodais e possuem a vantagem de ter uma modelagem mais simples do que a abordagem de mistura de distribui¸cões, frequentemente utilizada para ajuste de dados bimodais.

O Cap´ıtulo 6 trata de aplica¸cões com dados reais onde serão ajustadas as distribui¸cões com estima¸cão de máxima verossimilhan¸ca dos parâmetros por meio do pacote DEoptim, segundo as defini¸cões de [Mullen et al., 2011] (11).

O primeiro conjunto de dados estudado é o de precipita¸cão anual (quantidade de chuva) na cidade de Los Angeles, para anos de 1878 a 1998. O histograma mostra uma densidade assimétrica à direita, em que será aplicada a versão assimétrica do Cap´ıtulo 3, que engloba dados não negativos.

A segunda aplica¸cão se refere aos retornos diários percentuais das taxas de câmbio do Brasil e Canadá, entre 03 de janeiro de 2000 e 20 de maio de 2011. As densidades estimadas porKernel apontam para dados com caudas pesadas, onde será aplicada a versão simétrica do Cap´ıtulo 4.

(21)

Cap´ıtulo 2

Fun¸c˜

oes Matem´

aticas Especiais

2.1 Introdu¸c˜

ao

Serão apresentadas a fun¸cão H(z) e a fun¸cão Hipergeométrica Generalizada (pFq),

pois alguns resultados para momentos e fun¸cões caracter´ısticas das distribui¸cões que serão estudadas adiante utilizam estes tipos de fun¸cões. A vantagem de utilizar estas fun¸cões é que muitos cálculos podem ser realizados por meio de implementa¸cões presentes em softwares matemáticos como o Maple e o Mathematica.

2.2 A Fun¸c˜

ao H(z)

2.2.1 Conceitos e fundamentos - [SPRINGER,1979] (19)

Defini¸cão 2.2.1. A Fun¸cãoH(z)é definida por um tipo de integral de Mellin-Barnes

H(z) =Hm,n p,q



z

(a1, α1), . . . , (ap, αp)

(b1, β1), . . . , (bq, βq)



=

1 2πi

Z

C

Qm

j=1Γ(bj−βjs)

Qn

j=1Γ(1−aj +αjs)

Qq

j=m+1Γ(1−bj +βjs)

Qp

j=n+1Γ(aj −αjs)

zsds, (2.1)

onde

(22)

0_≤n_≤p, m ₆= 0 ou n ₆= 0, αj >0, j = 1,2, . . . , p,

βj >0, j = 1,2, . . . , q,

aj ,com j = 1,2, . . . , p, e bj , com j = 1,2, . . . , q, s˜ao n´umeros complexos tais que

nenhum dos p´olos de Γ(bj −βjs), j = 1, . . . , m, coincidam com algum dos p´olos de

Γ(1₋aj +αjs), j = 1, . . . , n. Tamb´em, C ´e um contorno no plano complexo

percor-rendo ω₋i_∞ a ω+i_∞, i=√₋1, para algum ω real tal que

s = bj+k

βj

,

para j = 1, . . . , m e k = 0,1, . . . para o lado direito do contorno C e os pontos

s= aj −1−k

αj

,

para j = 1, . . . , n e k= 0,1, . . . para o lado esquerdo do contorno C com indenta¸cões, se for necessário para tal separa¸cão.

O contorno C possui as seguintes defini¸c˜oes:

i) Para C = C_−∞ que engloba estritamente os p´olos de Γ(bj −βjs), j = 1, . . . , m, a

integral converge _∀z se µ > 0 e z ₆= 0 ou µ = 0 e 0 < z < η. A integral tamb´em

converge se µ= 0, _|z_|=η e Re(δ)<₋1, onde

η=

( _p

Y

j=1

(αj)−αj

) ( _q

Y

j=1

(βj)βj

)

,

µ=

q

X

j=1

βj − p

X

j=1

αj, e

δ =

q

X

j=1

bj− p

X

j=1

aj +

p₋q

2

ii) Para C =C_∞ que engloba estritamente os p´olos de Γ(1₋aj−αjs), j = 1, . . . , n,

(23)

iii) Para C =Ciω∞ ´e um contorno iniciando no ponto ω−i∞ passando por ω+i∞,

onde ω _∈ R _{= (}_−∞_,₊_∞₎ _{tal que todos os p´olos de} _Γ(_b_j ₋ _β_j_s₎_{, j} _{= 1}_{, . . . , m}

s˜ao separados dos p´olos de Γ(1 ₋ aj − αjs), j = 1, . . . , n, a integral converge se

υ < 0,_|arg(z)_| < 1

2πυ, υ 6= 0. A integral tamb´em converge se υ = 0, ω+Re(δ) <

−1, arg(z) = 0, e z₆= 0, onde

υ =

n

X

j=1

αj − p

X

j=n+1

αj + m

X

j=1

βj − q

X

j=m+1

βj

.

2.3 A Fun¸c˜

ao Generalizada de Gauss

p

F

q

2.3.1 Conceitos e fundamentos - [SLATER,1966] (18)

Defini¸cão 2.3.1. A Fun¸cão Generalizada de Gauss, denotada por pFq, é uma série

de potˆencias da forma

1 + a1a2. . . ap

b1b2. . . bq

z

1! +

a1(a1+ 1)a2(a2+ 1). . . ap(ap+ 1)

b1(b1+ 1)b2(b2+ 1). . . bq(bq+ 1)

z2

2! +. . .

≡

∞

X

n=0

(a1)n(a2)n. . .(ap)n

(b1)n(b2)n. . .(bq)n

zn

n!, (2.2)

onde (ai)n e (bi)n s˜ao o s´ımbolo de Pochhammer dado por:

(a)k =

Γ(a+k)

Γ(a) =a(a+ 1)...(a+k−1)

Entãoa1, a2, . . . , aqsão parâmetros do numerador eb1, b2, . . . , bqsão parâmetros

do denominador que não podem ser inteiros negativos, pois a série não é definida para

estes valores, z ´e a vari´avel e a e z podem assumir valores reais ou complexos.

Em particular, a fun¸cão generalizada de Gauss é um caso especial da fun¸cão H:

pFq

"

a1, . . . , ap

b1, . . . , bq

(24)

H1,p p,q+1



₋x

(1₋a1,1), . . . , (1−ap,1),

(0,1), (1₋b1,1), . . . , (1−bq,1)



 (2.3)

2.3.2 A convergˆ

encia da Fun¸c˜

ao Generalizada de Gauss

p

F

q

A s´erie pFq converge para todos os valores de z real ou complexo quando p ≤q,

se unzn é o n-ésimo termo de série

un+1 un ≤ |

a1+n||a2+n|. . .|ap+n||z|

|b1 +n||b2+n|. . .|bq+n|(1 +n)

≤ |z|n

p−q−1_{(1 +}_|_a

1|/n)(1 +|a2|/n). . .(1 +|ap|/n)

(1 + 1/n)(1 +_|b1|/n)(1 +|b2|/n). . .(1 +|bq|/n

, (2.4)

e (2.4) tende a zero, quando n _{→ ∞}, para p _≤ q. Também, se p = q+ 1, a série converge desde que _|z_| < 1. Também converge quando z = 1, se Re(Pq_j=1bj −

Pp

j=1aj)>0, ez =−1, se Re(

Pq

j=1bj−

Pp

j=1aj)>−1.Se p > q+ 1, a s´erie nunca

converge, exceto para z = 0, e a fun¸cão é definida apenas quando a série termina, isto é, quando um ou mais dos a parâmetros é zero ou um inteiro negativo.

2.3.3 A Fun¸c˜

ao Hipergeom´

etrica de Gauss

2

F

1

Um caso em especial da fun¸cão hipergeométrica, será do interesse de nossos estudos, 2F1, também conhecida como série de Gauss.

Defini¸c˜ao 2.3.2. A s´erie

1 + ab

c z

1!+

a(a+ 1)b(b+ 1)

c(c+ 1)

z2

2! +

a(a+ 1)(a+ 2)b(b+ 1)(b+ 2)

c(c+ 1)(c+ 2)

z3

3! +. . . (2.5)

é simbolizada por 2F1[a;b;c;z], onde a, b e c são parâmetros e z a variável. Se a ou b

for um inteiro negativo, a s´erie tem um n´umero finito de termos, e torna-se, de fato,

(25)

2.3.4 Convergˆ

encia da Fun¸c˜

ao de Gauss

2

F

1

A s´erie de Gauss,2F1, pode ser denotada por

2F1[a;b;c;z] =

∞

X

n=1

(a)n(b)n

(c)nn!

, onde (2.6)

(a)n=a(a+ 1)(a+ 2)(a+ 3). . .(a+n−1). (2.7)

Por exemplo, (2)5 = 2.3.4.5.6 = 720. Em particular, (a)0 ≡ 1 e (1)n = n!.

Logo,

(a)n=

Γ(a+n)

Γ(a) e (2.8)

lim

n→∞(a)n =

1

Γ(a). (2.9)

Sea ´e um inteiro negativo ₋m, ent˜ao

(a)n = (−m)n, if m≥n

e

(a)n= 0, if m < n

.

Por exemplo, (₋2)2 = (−2).(−1) = 2, entretanto, (−2)5 = 0.

Ent˜ao em 2F1[a;b;c;z], se a ou b for um inteiro negativo, a s´erie tem um

número finito de termos, e torna-se, de fato, um polinômio, mas se c é um inteiro negativo, a fun¸cão não é definida, uma vez que apenas um número finito de termos da série torna-se infinito. Temos que

d

dz(2F1[a;b;c;z]) = ab

(26)

2.3.5 Rela¸c˜

oes Funcionais de

2

F

1[

a

;

b

;

c

;

z

]

Segundo [Temme, 1996] (20), a fun¸cão hipergeométrica satisfaz às seguintes rela¸cões:

2F1[a;b;c;z] = 2F1[b;a;c;z] (2.11)

2F1[a;b;c;z] = (1−z)−a 2F1

a;c₋b;c; z

z₋1

(2.12)

2F1[a;b;c;z] = (1−z)−b 2F1

c₋a;b;c; z

z₋1

(2.13)

2F1[a;b;c;z] = (1−z)c−a−b 2F1[c−a;c−b;c;z] (2.14)

Seja a forma abaixo a Integral de Contorno de 2F1[a;b;c;z]. Temos que

2F1[a;b;c;z] =

Γ(c) Γ(a)Γ(b)

1 2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s)Γ(a+s)Γ(b+s) Γ(c+s) (−z)

s_ds _(2.15)

ou

2F1[a;b;c;z] =

Γ(c) Γ(a)Γ(b)

1 2πi

Z ₋γ+i∞

−γ−i∞

Γ(s)Γ(a₋s)Γ(b₋s) Γ(c₋s) (−z)

−s_ds _(2.16)

2.4 A Fun¸c˜

ao G de Meijer

Defini¸cão 2.4.1. A Fun¸cão G de Meijer é definida pela integral

G(z) = Gm,n p,q



z

a1, . . . , ap

b1, . . . , bq



(27)

1 2πi

Z

C

Qm

j=1Γ(bj −s)

Qn

j=1Γ(1−aj +s)

Qq

j=m+1Γ(1−bj +s)

Qp

j=n+1Γ(aj −s)

zsds, (2.17)

onde

0_≤m_≤q,

0_≤n_≤p, m ₆= 0 ou n ₆= 0,

aj ,com j = 1,2, . . . , p, e bj , com j = 1,2, . . . , q, s˜ao n´umeros complexos tais que

nenhum dos p´olos de Γ(bj −s), j = 1, . . . , m, coincidam com algum dos p´olos de

Γ(1₋aj+s), j = 1, . . . , n. Tamb´em, C ´e um contorno no plano complexo percorrendo

ω₋i_∞ a ω+i_∞ pra algum ω real tal que

s=bj+k,

para j = 1, . . . , m e k = 0,1, . . . para o lado direito do contorno C e os pontos

s=aj −1−k,

para j = 1, . . . , n e k= 0,1, . . . para o lado esquerdo do contorno C com indenta¸cões, se for necessário para tal separa¸cão. A integral (2.17) é chamada Mellin-Barnes e

pode ser vista como uma Transforma¸c˜ao Inversa de Mellin.

A fun¸cão G de Meijer é computável e está implementada emsoftwares matemá-ticos como o Maple e o Mathematica.

Em particular, a fun¸cão G de Meijer é um caso especial da fun¸cão H:

Gm,n p,q

"

a1, . . . , ap

b1, . . . , bq

z

#

=

Hm,n p,q



z

(a1,1), . . . , (ap,1),

(b1,1), . . . , (bq,1)



(28)

Se os parâmetrosαj, j = 1, . . . , p e βj, j = 1, . . . , q da fun¸cão Hipergeométrica

Generalizada são racionais, a fun¸cão H pode ser escrita como fun¸cão G.

2.5 A Fun¸c˜

ao Bivariada

H

[

x, y

]

2.5.1 Conceitos e fundamentos - [MATHAI et al.,2010] (9)

Defini¸cão 2.5.1. A Fun¸cão Hipergeométrica Generalizada BivariadaH[x, y]é definida pela integral complexa

H



 x

y



=H0,n1:m2,n2;m3,n3

p1,q1:p2,q2;p3,q3   x y

(ai, αi, Ai)1,p1 : (ci, γi)1,p2; (ei, Ei)1,p3

(bj, βj, Bj)1,q1 : (dj, δj)1,q2; (fj, Fj)1,q3 

= (2.19)

− 1

4π2

Z

C1 Z

C2

φ(s, t)φ1(s)φ2(t)xsytdsdt, (2.20)

onde x e y são variáveis não-nulas. A nota¸cão (ai, αi, Ai)1,p1 é a abrevia¸cão da

sequˆencia de parˆametros (a1, α1, A1), . . . ,(ap1, αp1, Ap1). De forma similar, deve ser

feito com as outras sequˆencias de parˆametros.Onde

φ(s, t) =

Qn1

i=1Γ(1−ai +αis+Ait)

Qp1

i=n1+1Γ(ai−αis−Ait)

Qq1

j=1Γ(1−bj+βjs+Bjt)

, (2.21)

φ1(s) =

Qm2

j=1Γ(dj −δjs)Qi=1n2 Γ(1−ci +γis)

Qq2

j=m2+1Γ(1−dj+δjs)

Qp2

i=n2+1Γ(ci−γis)

, (2.22)

φ2(t) =

Qm3

j=1Γ(fj −Fjt)Qi=1n3 Γ(1−ei+Eit)

Qq3

j=m3+1Γ(1−fj +Fjt)

Qp3

i=n3+1Γ(ei−Eit)

(29)

Assume-se queai, bj, ci, dj, ei, fj s˜ao n´umeros complexos e seus respectivos

coe-ficientesαi, Ai, βj, Bj, γi, δj, Ei, Fj s˜ao n´umeros reais e positivos, tais que os contornos

C1, C2 existem se

ρ1 = p1 X

i=1

αi+ p2 X

i=1

γi− q1 X

j=1

βj− q2 X

j=1

δj ≤0,

ρ2 = p1 X

i=1

Ai+ p2 X

i=1

Ei − q1 X

j=1

Bj− q2 X

j=1

Fj ≤0,

Ω1 =− p1 X

i=n1+1

αi− q1 X

j=1

βj + m2 X

j=1

δj − p2 X

j=m2+1

δj+ n2 X

i=1

γi− p2 X

i=n2+1

γi >0,

Ω2 =− p1 X

i=n1+1

Ai− q1 X

j=1

Bj+ m3 X

j=1

Fj − p3 X

j=m3+1

Fj + n3 X

i=1

Ei− p3 X

i=n3+1

Ei >0.

Sob as condi¸c˜oes supracitadas, a integral dupla de Mellin-Barnes (2.20)

con-verge e define uma fun¸c˜ao anal´ıtica de duas vari´aveis x e y dentro do setor dado por:

|arg(x)_|< 1

2πΩ1

|arg(y)_|< 1

2πΩ2

(30)

2.6 Caso Especial da Fun¸c˜

ao Bivariada

H

[

x, y

]

2.6.1 Conceitos e fundamentos - [HAI & YAKUBOVICH,

1992] (8)

Defini¸cão 2.6.1. Um caso especial da Fun¸cão Hipergeométrica Generalizada

Bivari-ada H[x, y] ´e definida pela integral complexa a seguir

H



 x

y



=H0,n1:m2,n2;m3,n3

p1,q1:p2,q2;p3,q3   x y

(α(1)p1, a

(1) p1) : (α

(2) p2 , a

(2) p2); (α

(3) p3 , a

(3) p3 )

(βq(1)1 , b

(1) q1 ) : (β

(2) q2 , b

(2) q2 ); (β

(3) q3 , b

(3) q3 )



= (2.24)

−₄1_π2

Z

C1 Z

C2

φ1(s+t)φ2(s)φ3(t)x−sy−tdsdt, (2.25)

onde x e y são variáveis não-nulas.Onde

φ1(s+t) =

Qn1

j=1Γ(1−α (1) j −a

(1)

j (s+t))

Qp1

j=n1+1Γ(α

(1) j +a

(1)

j (s+t))

Qq1

j=1Γ(1−β (1) j −b

(1)

j (s+t))

, (2.26)

φ2(s) =

Qm2

j=1Γ(β (2) j −b

(2) j s)

Qn2

j=1Γ(1−α (2) j −a

(2) j s)

Qp2

j=m2+1Γ(α

(2) j +a

(2) j s)

Qq2

j=n2+1Γ(1−β

(2) j −b

(2) j s)

, (2.27)

φ3(t) =

Qm3

j=1Γ(β (3) j −b

(3) j t)

Qn3

j=1Γ(1−α (3) j −a

(3) j t)

Qp3

j=m3+1Γ(α

(3) j +a

(3) j t)

Qq3

j=n3+1Γ(1−β

(3) j −b

(3) j t)

, (2.28)

Assume-se que ai, bj são números reais e positivos. Mais informa¸cões sobre

(31)

Cap´ıtulo 3

Uma Nova Distribui¸c˜

ao

3.1 Introdu¸c˜

ao

A distribui¸cão que será apresentada a seguir tem como caracter´ıstica assimetria à direita acentuada. Como possui diversos parâmetros, a distribui¸cão pode assumir várias formas, o que facilita o uso em diversos dados onde se queira modelar v.a’s positivas.

3.2 Distribui¸c˜

ao Acumulada Assim´

etrica

Defini¸c˜ao 3.2.1. Seja a forma

F(x) = a

ρ_x2ρ

(ax2_{+ 2}_bx₊_c₎ρ (3.1)

a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada de uma v.a. X onde x >0, a >0, c >0, eρ >0.

A distribui¸cão acumulada acima possui quatro parâmetros e pode ser reescrita como uma fun¸cão de três parâmetros se o fator aρ _{no denominador (3.1) for colocado}

em evidência, então assumiremos que a fun¸cão de distribui¸cão acumulada assimétrica de interesse de nossos estudos é da forma abaixo.

F(x) = x

2ρ

(32)

a fun¸cão de distribui¸cão acumulada assimétrica de uma v.a. X onde B = b_a e C = _ac,

x >0, C > 0, e ρ >0.

3.2.1 Propriedades da Distribui¸c˜

ao Acumulada

Dado que F(x) é distribui¸cão, então ela satisfaz às seguintes propriedades:

i) limx→0F(x) = 0

ii) limx→∞F(x) = 1

iii)F(x)_≤F(y),_∀x < y;x, y _∈R

iv) 0 _≤FX(x)≤1,∀x∈(0,∞);

Demonstra¸c˜ao:

i) limx→0F(x) = limx→0 x

2ρ

(x2_+2Bx+C)ρ = 0

ii) limx→+∞F(x) = limx→+∞ x

2ρ

(x2_+2Bx+C)ρ = limx→+∞(

1 1+2B x +

C x2

)ρ_{= 1}

iii) Como f(x) > 0,_∀x _∈ (0,_∞), então F(x) é fun¸cão não-decrescente, _∀x _∈

(0,_∞).

iv) De fato, pelas propriedades i)₋iii) conclui-se queiv) tamb´em vale.

Para os valores fornecidos deF(x),xpode ser obtido pela seguinte express˜ao:

x= BF

1/ρ_{+ [}_B2_F2/ρ₊_CF1/ρ₍₁₋_F1/ρ_)]1/2

(1₋F1/ρ₎

(33)

3.2.2 Gr´

aficos para a Distribui¸c˜

ao Acumulada

Como provamos que F(x) é distribui¸cão, então apresentaremos algumas formas da distribui¸cão, para diversos valores dos parâmetros B, C, ρ.

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

B=25,C=35,Ρ=1.5 B=-4,C=30,Ρ=0.7 B=0.4,C=8,Ρ=2 B=0.5,C=3,Ρ=1 B=0.8,C=1,Ρ=0.1 B=0.4,C=0.2,Ρ=0.5

Figura 3.1: Formas para a Distribui¸c˜ao Acumulada Assim´etrica F(x)

Para verificar o efeito de cada um dos parâmetros na curva, produzimos gráficos onde se fixa dois parâmetros enquanto um terceiro varia.

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

B=0.4,C=0.4,Ρ=10 B=0.4,C=0.4,Ρ=7 B=0.4,C=0.4,Ρ=4 B=0.4,C=0.4,Ρ=2 B=0.4,C=0.4,Ρ=1 B=0.4,C=0.4,Ρ=0.5

Figura 3.2: Formas para a Distribui¸c˜ao AcumuladaF(x) - varia¸c˜ao deρ, com B >0,

(34)

0 2 4 6 8 10 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

B=-0.4,C=30,Ρ=10 B=-0.4,C=30,Ρ=7 B=-0.4,C=30,Ρ=4 B=-0.4,C=30,Ρ=2 B=-0.4,C=30,Ρ=1 B=-0.4,C=30,Ρ=0.5

Figura 3.3: Formas para a Distribui¸c˜ao AcumuladaF(x) - varia¸c˜ao deρ, com B <0,

C fixos

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

B=5,C=1.5,Ρ=1 B=2,C=1.5,Ρ=1 B=0.4,C=1.5,Ρ=1 B=0.2,C=1.5,Ρ=1 B=-0.2,C=30,Ρ=1 B=-1,C=30,Ρ=1

Figura 3.4: Formas para a Distribui¸c˜ao Acumulada F(x) - varia¸c˜ao de B, com C, ρ

fixos

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

B=0.4,C=20,Ρ=1 B=0.4,C=6.2,Ρ=1 B=0.4,C=4.6,Ρ=1 B=0.4,C=3,Ρ=1 B=0.4,C=0.8,Ρ=1 B=0.4,C=0.2,Ρ=1

Figura 3.5: Formas para a Distribui¸c˜ao AcumuladaF(x) - varia¸c˜ao deC, comB >0,

(35)

0 2 4 6 8 10 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

B=-0.4,C=86,Ρ=1 B=-0.4,C=70,Ρ=1 B=-0.4,C=55,Ρ=1 B=-0.4,C=21,Ρ=1 B=-0.4,C=13,Ρ=1 B=-0.4,C=10,Ρ=1

Figura 3.6: Formas para a Distribui¸c˜ao AcumuladaF(x) - varia¸c˜ao deC, comB <0,

ρ fixos

3.2.3 Fun¸c˜

ao Densidade de Probabilidade

Uma vez que F(x) existe, ent˜ao encontraremos f(x) = dF_dx(x) a seguir:

f(x) = d

dx(

x2ρ

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ)

= (2ρx

2ρ−1₎₍_x2 _{+ 2}_Bx₊_C₎ρ₋₍₍_x2ρ_ρ₎₍_x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ−1₍₂_x_{+ 2}_B₎₎

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎2ρ

= 2ρx

2ρ+1_{+ 4}_B2ρ_{+ 2}_Cρx2ρ−1 ₋₂_ρx2ρ+1₋₂_Bρx2ρ

(x2 _{+ 2}_Bx₊_c₎ρ+1

= 2Bρx

2ρ_{+ 2}_Cρx2ρ−1

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1

= 2ρx

2ρ−1₍_Bx₊_C₎

(36)

f(x) = 2ρx

2ρ−1₍_Bx₊_C₎

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1 (3.3)

a fun¸c˜ao densidade de probabilidade de uma v.a. X onde x >0, C > 0, e ρ >0.

3.2.4 Gr´

aficos para a Fun¸c˜

ao Densidade de Probabilidade

A seguir apresentaremos algumas formas da f.d.p., para diversos valores dos parˆametros B, C, ρ:

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

B=0.4,C=0.6,Ρ=1.5 B=4,C=20,Ρ=0.3 B=-0.15,C=20,Ρ=0.2 B=0.5,C=3,Ρ=1 B=0.8,C=1,Ρ=0.1 B=-0.5,C=11,Ρ=0.5

Figura 3.7: Formas para a Densidade de Probabilidade Assim´etrica f(x)

Observando a figura (3.7), podemos ver certa semelhan¸ca com a distribui¸cão Gama Generalizada. A fun¸cão densidade de probabilidade da uma v.a. X com dis-tribui¸cão Gama Generalizada é da forma

h(x) = αβ α γ Γ(α_γ)x

α−1_e−βxγ

(37)

onde x > 0, β > 0 é parâmetro de escala, α, γ > 0 são parâmetros de forma. O gráfico da f.d.p com a v.a. X _∼Γ(α, β, γ) pode ser observado abaixo:

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

a=25,b=35,c=1.5 a=6,b=3,c=1.2 a=4,b=3,c=0.8 a=5,b=2,c=1 a=2,C=2,Ρ=1

Figura 3.8: Formas para a Densidade Gama Generalizada

Os gr´aficos das densidades presentes nas figuras (3.7) e (3.8) possuem diferen¸cas nas caudas. No caso da nova densidade, ela pode assumir formas com caudas mais pesadas.

(38)

0 2 4 6 8 10 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

Figura 3.9: Formas para a Densidade de Probabilidade f(x) - varia¸c˜ao de ρ, com

B >0, C fixos

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Figura 3.10: Formas para a Densidade de Probabilidade f(x) - varia¸c˜ao de ρ, com

(39)

0 2 4 6 8 10 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

B=5,C=1.5,Ρ=1 B=2,C=1.5,Ρ=1 B=0.4,C=1.5,Ρ=1 B=0.2,C=1.5,Ρ=1 B=-0.2,C=1.5,Ρ=1 B=-0.4,C=1.5,Ρ=1

Figura 3.11: Formas para a Densidade de Probabilidade f(x) - varia¸c˜ao de B, com

C, ρ fixos

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Figura 3.12: Formas para a Densidade de Probabilidade f(x) - varia¸c˜ao de C, com

(40)

0 2 4 6 8 10 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

B=-0.4,C=20,Ρ=1 B=-0.4,C=6.2,Ρ=1 B=-0.4,C=4.6,Ρ=1 B=-0.4,C=3,Ρ=1 B=-0.4,C=0.8,Ρ=1 B=-0.4,C=0.2,Ρ=1

Figura 3.13: Formas para a Densidade de Probabilidade f(x) - varia¸c˜ao de C, com

B <0, ρ fixos

Pela figura (3.9) observamos que o parâmetro ρ controla a queda inicial da cauda da densidade, isto é, o meio da fun¸cão. Quando nos referimos ao meio da curva, estamos nos atendo ao segmento da curva entre o pico e o final da cauda, onde normalmente se encontra a curvatura da f.d.p., para B >0.

Pela figura (3.10) conclu´ımos que o parˆametro ρ controla a queda inicial da cauda da densidade. Mas com B < 0 associado a ρ, a curva fica mais achatada do que no caso em que B >0.

Pela figura (3.11) verificamos que o parâmetroB determina o comportamento relacionado à assimetria. Quanto maior B, mais larga é a curva.

Pela figura (3.12) observamos que o parˆametroC determina o comportamento relacionado ao pico da fun¸c˜ao. Quanto maior C, menor o pico da curva, para B >0.

(41)

relacionado ao pico da fun¸cão. Mas não existe a rela¸cão inversamente proporcional que encontramos quando B >0.

Ao observarmos o comportamento da f.d.p. (3.3), quando x_{→ ∞}, temos lim

x→∞f(x)≈c

x2ρ

x2ρ+2 ≈

c x2,

onde c é uma constante, e possui gráfico com cauda assintótica:

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

a=5 a=4 a=3 a=2 a=1 a=0.5

Figura 3.14: Comportamento da Densidade de Probabilidade f(x) quandox_{→ ∞}

Logo, o que se observa é que o comportamento da cauda tem varia¸cão regular de ordem 2. Observe que o comportamento da cauda de f(x) quando x _{→ ∞} pode ser comparada com a cauda da distribui¸cão Cauchy. A distribui¸cão de Cauchy pode ser definida como:

k(x) = θ

π

1

θ2_{+ (}_x₋_µ₎2

(42)

onde_−∞< x <_∞,µé parâmetro de loca¸cão,θ >0 é parâmetro de escala. O gráfico da f.d.p com a v.a. X_∼C(µ, θ) pode ser observado abaixo:

-10 -5 0 5 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Μ=3,Θ=5

Μ=3,Θ=2

Μ=2,Θ=2

Μ=-1,Θ=1

Μ=0,Θ=1

Figura 3.15: Formas para a Densidade de Cauchy

A nova distribui¸cão tem cauda pesada como as distribui¸cões de Levy e Pareto, por exemplo. No caso da Levy, a nossa distribui¸cão tem a vantagem de deter forma expl´ıcita sempre. E ao compararmos com a de Pareto, observamos que a nova densi-dade (3.3) passa pela origem, o que não ocorre com Pareto.

3.2.5 Distribui¸c˜

oes de M´ınimo e M´

aximo

A distribui¸c˜ao e a densidade do M´ınimo X(1) =min(X1, . . . , Xn) s˜ao dadas por:

P(X(1) ≤z) = 1−P(X(1) > z) = 1−P(min(X1, . . . , Xn)> z) = 1− n

Y

i=1

[1₋FX(1)(z)]

F(z) = 1₋

1₋ z

2ρ

(z2_{+ 2}_Bz₊_C₎ρ

(43)

f(z) = 2nρ z

2ρ−1₍_Bz ₊_C₎

(z2_{+ 2}_Bz₊_C₎ρ+1

1₋ z

2ρ

(z2_{+ 2}_Bz₊_C₎ρ

n−1

A distribui¸cão e a densidade do Máximo X(n) =max(X1, . . . , Xn) são dadas

por:

P(X(n)≤w) = P(max(X1, . . . , Xn)≥w) = n

Y

i=1

FX(1)(w)

F(w) = 1₋

w2ρ

(w2_{+ 2}_Bw₊_C₎ρ

n

f(w) = 2nρ w

2ρ−1₍_Bw₊_C₎

(w2_{+ 2}_Bw₊_C₎ρ+1

w2ρ

(w2_{+ 2}_Bw₊_C₎ρ

n−1

3.2.6 Momentos para X

Calcularemos o k-´esimo momentoµ′

k para a densidade definida em (3.3):

µ′k =EXk=

Z ∞

0

xkdF(x) =

Z ∞

0

xk 2ρx

2ρ−1₍_Bx₊_C₎

(44)

Z ∞

0

2ρxk+2ρ−1₍_Bx₊_C₎

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dx=

Z ∞

0

2ρBxk+2ρ

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dx+

Z ∞

0

2ρCxk+2ρ−1

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dx

Temos o seguinte resultado, encontrado em [PRUDNIKOV et al, 1986] (14):

Z ∞

0

xp−1

(ax2_{+ 2}_bx₊_c₎qdx=a

−p/2_cp/2−q_B₍_p,₂_q

−p)2F1

p

2;q−

p

2;q+ 1 2; 1−

b2

ac

,

(3.6)

onde B(a, b) = Γ(a)Γ(b)_Γ(a+b) para a > 0, c > 0, b2 _{< ac,} ₀ _{< p <} ₂_q_{. Utilizando (2.13),}

obtivemos a seguinte express˜ao alternativa:

Z ∞

0

xp−1

(ax2_{+ 2}_bx₊_c₎qdx=a

q−p_bp−2q_B₍_p,₂_q

−p)2F1

q₋ p

2+ 1 2;q−

p

2;q+ 1 2; 1−

ac b2

,

(3.7)

onde B(a, b) = Γ(a)Γ(b)_Γ(a+b) para a >0, b >0, b2 > ac, 0< p <2q.

Isto significa que, para as duas situa¸c˜oes, tanto b2 < ac quanto b2 > ac temos solu¸c˜oes em termos de 2F1 diferentes. Usando o resultado (3.6) para resolver EXk,

temos:

EXk =

Z ∞

0

2ρBxk+2ρ

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dx

| {z }

I

+

Z ∞

0

2ρCxk+2ρ−1

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dx

| {z }

II

=

i) Comparando (I) e a express˜ao (3.6), temos:

  

p = k + 2ρ + 1

(45)

Logo,

I = 2ρBhCk−21Γ(k+2ρ+1)Γ(1−k)

Γ(2ρ+2)

i

2F1

h

k+2ρ+1 2 ;

1−k 2 ;ρ+

3 2; 1−

B2

C

i

ii) Comparando (II) e a express˜ao (3.6), temos:

  

p = k + 2ρ q = ρ + 1

Logo,

II = 2ρChCk2−1 Γ(k+2ρ)Γ(2−k)

Γ(2ρ+2)

i

2F1

h

ρ+k 2; 1−

k 2;ρ+

3 2; 1−

B2

C

i

Ent˜ao,

µ′_k =EXk = (I) + (II)

=BhCk−21Γ(k+ 2ρ+ 1)Γ(1−k) i

2F1

k+ 2ρ+ 1 2 ;

1₋k

2 ;ρ+ 3 2; 1−

B2

C

+

ChCk2−1Γ(k+ 2ρ)Γ(2−k) i

2F1

h

ρ+ k 2; 1−

k 2;ρ+

3 2; 1−

B2 C i h 2ρ Γ(2ρ+2) i , (3.8)

onde B2 _{< C}_{, 0} _{< k <} _{1. Pode ser obtido resultado similar para} _B2 _{> C}_{, pois}

existe a forma (3.7), que gera 2F1 diferente para este caso. Observamos ent˜ao que o

(46)

3.2.7 Fun¸c˜

ao Caracter´ıstica para X

Calcularemos a fun¸c˜ao caracter´ısticaϕX(t) para a densidade definida em (3.3):

ϕX(t) =EeitX =

Z ∞

0

eitxdF(x) =

Z ∞

0

eitx 2ρx

2ρ−1₍_Bx₊_C₎

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dx=

Z ∞

0

eitx 2ρBx

2ρ

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dx+

Z ∞

0

eitx 2ρCx

2ρ−1

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dx=

Z ∞

0

(cos(tx)+isen(tx)) 2ρBx

2ρ

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dx+

Z ∞

0

(cos(tx)+isen(tx)) 2ρCx

2ρ−1

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dx=

Z ∞

0

cos(tx)

2ρBx2ρ

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1 +

2ρCx2ρ−1

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1

dx

| {z }

I

+

i

Z ∞

0

sen(tx)

2ρBx2ρ

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1 +

2ρCx2ρ−1

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1

dx

| {z }

II

Transformando cos(x) e sen(x) em integrais de contorno, temos:

cos(tx) =

√

π

2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(1₂ +s)

tx

2

2s

ds; 0< γ < 1

2, x >0 (3.9) e

sen(tx) =

√

π

2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(3₂ +s)

tx

2

2s−1

(47)

Usando o resultado (3.9) para resolver a express˜ao (I), temos:

I =

√

π

2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(1

2 +s)

t2

4

sZ _∞

0

2ρBx2ρ+2s

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dxds+

√

π

2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(1₂ +s)

t2

4

sZ _∞

0

2ρCx2ρ+2s−1

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dxds

i) Comparando (I) e a express˜ao (3.6), temos:

I = 2ρB

√

π

Γ(2ρ+ 2)√C

1 2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(1₂ +s)

t2_C

4

s

×

Γ(2ρ+ 1 + 2s)Γ(1₋2s)2F1

ρ+1 2 +s;

1

2 −s;ρ+ 3 2; 1−

B2

C

ds+

2ρ√π

Γ(2ρ+ 2) 1 2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(1

2 +s)

t2_C

4

s

×

Γ(2ρ+ 2s)Γ(2₋2s)2F1

ρ+s; 1₋s;ρ+3 2; 1−

B2

C

ds

ii) Usando as rela¸c˜oes (2.13) e (2.11), temos que:

I = 2ρ

√

π

Γ(2ρ+ 2) 1 2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(1₂ +s)

4

t2_B2

−s

(48)

Γ(2ρ+ 1 + 2s)Γ(1₋2s)2F1

1

2 −s; 1−s;ρ+ 3 2; 1−

C B2

ds+

2ρ√πC

Γ(2ρ+ 2)B2

1 2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(1₂ +s)

4

t2_B2

−s

×

Γ(2ρ+ 2s)Γ(2₋2s)2F1

1₋s;3

2−s;ρ+ 3 2; 1−

C B2

ds

iii)Usando a defini¸c˜ao (2.16) da Integral de Contorno de 2F1[a;b;c: z] e a express˜ao

(I), temos:

I = 2ρ

√_π_Γ(_ρ_{+ 3}_/₂₎

Γ(2ρ+ 2)

−1

4π2

Z γ+i∞

γ−i∞

Z δ+i∞

δ−i∞

Γ(₋s)Γ(1₋2s)Γ(2ρ+ 1 + 2s) Γ(1

2 +s)Γ(1−s)Γ( 1 2 −s)

×

Γ(s1)Γ(1₂ −s−s1)Γ(1−s−s1)

Γ(ρ+ 3 2 −s1)

C B2 −1

−s1 ₄

t2_B2

−s

ds1ds+

2ρ√πΓ(ρ+ 3/2)C

Γ(2ρ+ 2)B2

−1

4π2

Z γ+i∞

γ−i∞

Z δ+i∞

δ−i∞

Γ(₋s)Γ(2₋2s)Γ(2ρ+ 2s) Γ(1

2 +s)Γ( 3

2 −s)Γ(1−s)

×

Γ(s1)Γ(3₂ −s−s1)Γ(1−s−s1)

Γ(ρ+3₂ ₋s1)

C B2 −1

−s1

4

t2_B2

−s

(49)

iv) Usando a defini¸c˜ao (2.24) deH



 x

y



, temos que:

I =c1H0,2:1,2;1,00,0:1,3;0,2

 

4 t2_B2

C B2 −1

0,1) 1 2,1

: (1,1) (0,2) 1 2,1

;₋₋

−−: (0,1) (2ρ+ 1,2) 1₂,1: (0,1) ₋1₂ ₋ρ,1



+

c2H0,2:2,1;1,00,0:2,4;0,2

 

4 t2_B2

C B2 −1

0,1) ₋1₂,1: (1,1) (₋1,2) 1₂,1;₋₋

−−: (0,1) (2ρ,2) ₋1 2,1

: (0,1) ₋1 2 −ρ,1

 

em que c1 =

2ρ√πΓ(ρ+3₂)

Γ(2ρ+2) e c2 =

2ρC√πΓ(ρ+3₂) B2_Γ(2ρ+2) .

Usando o resultado (3.10) para resolver a express˜ao (II), temos:

II =

√_π

2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(3

2 +s)

t

2

2s−1Z _∞

0

2ρBx2ρ+2s−1

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dxds+

√

π

2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(3₂ +s)

t

2

2s−1Z _∞

0

2ρCx2ρ+2s−2

(x2_{+ 2}_Bx₊_C₎ρ+1dxds

i) Comparando (II) e a express˜ao (3.6), temos:

II = 4ρB

√

πi

Γ(2ρ+ 2)Ct

1 2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(3₂ +s)

t2_C

4

s

×

Γ(2ρ+ 2s)Γ(2₋2s)2F1

ρ+s; 1₋s;ρ+3 2; 1−

B2

C

ds+

4ρ√πi

Γ(2ρ+ 2)√Ct

1 2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(3

2 +s)

t2_C

4

s

(50)

Γ(2ρ₋1 + 2s)Γ(3₋2s)2F1

ρ₋1

2 +s; 3

2 −s;ρ+ 3 2; 1−

B2

C

ds

ii) Usando as rela¸c˜oes (2.13) e (2.11), temos que:

II = 4ρ

√_πi

tBΓ(2ρ+ 2) 1 2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(3

2 +s)

4

t2_B2

−s

×

Γ(2ρ+ 2s)Γ(2₋2s)2F1

1₋s;3

2 −s;ρ+ 3 2; 1−

C B2

ds+

4ρ√πC

Γ(2ρ+ 2)tB3

1 2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

Γ(₋s) Γ(3₂ +s)

4

t2_B2

−s

×

Γ(2ρ+ 1 + 2s)Γ(3₋2s)2F1

3

2 −s; 2−s;ρ+ 3 2; 1−

C B2

ds

iii)Usando a defini¸c˜ao (2.16) da Integral de Contorno de 2F1[a;b;c: z] e a express˜ao

(II), temos:

II = 4ρ

√

πΓ(ρ+ 3/2)i

Γ(2ρ+ 2)tB

−1

4π2

Z γ+i∞

γ−i∞

Z δ+i∞

δ−i∞

Γ(₋s)Γ(2₋2s)Γ(2ρ+ 2s) Γ(3₂ +s)Γ(3₂ ₋s)Γ(1₋s)×

Γ(s1)Γ(3₂ −s−s1)Γ(1−s−s1)

Γ(ρ+ 3₂ ₋s1)

C B2 −1

−s1

4

t2_B2

−s

(51)

4ρC√πΓ(ρ+ 3/2)i

Γ(2ρ+ 2)tB3

−1

4π2

Z γ+i∞

γ−i∞

Z δ+i∞

δ−i∞

Γ(₋s)Γ(3₋2s)Γ(2ρ+ 1 + 2s) Γ(3₂ +s)Γ(2₋s)Γ(3₂ ₋s) ×

Γ(s1)Γ(2−s−s1)Γ(3₂ −s−s1)

Γ(ρ+3₂ ₋s1)

C B2 −1

−s1

4

t2_B2

−s

ds1ds

iv) Usando a defini¸c˜ao (2.24) deH



 x

y



 (2.19), temos que:

II =c3H0,2:1,2;1,00,0:1,3;0,2

 

4 t2_B2

C B2 −1

0,1) ₋1 2,1

: (1,1) (₋1,2) 3 2,1

;₋₋

−−: (0,1) (2ρ,2) ₋1₂,1: (0,1) ₋1₂ ₋ρ,1



+

c4H0,2:2,1;1,00,0:2,4;0,2

 

4 t2_B2

C B2 −1

(₋1,1) ₋1₂,1: (1,1) (₋2,2) 3₂,1;₋₋

−−: (0,1) (2,2) 1₂,1(1₋ρ,1) ; (0,1) ₋1₂ ₋ρ,1

 

em que c3 =

4ρ√πΓ(ρ+3 2)i

tB3_Γ(2ρ+2) e c4 =

4ρC√πΓ(ρ+3 2)i

tB3_Γ(2ρ+2) .

Mas,ϕX(t) = (I) + (II), ent˜ao

ϕX(t) = c1H0,2:1,2;1,00,0:1,3;0,2

 

4 t2_B2

C B2 −1

0,1) 1 2,1

: (1,1) (0,2) 1 2,1

;₋₋

−−: (0,1) (2ρ+ 1,2) 1₂,1: (0,1) ₋1₂ ₋ρ,1



+

c2H0,2:2,1;1,00,0:2,4;0,2

 

4 t2_B2

C B2 −1

0,1) ₋1₂,1: (1,1) (₋1,2) 1₂,1;₋₋

−−: (0,1) (2ρ,2) ₋1₂,1: (0,1) ₋1₂ ₋ρ,1



+

c3H0,2:1,2;1,00,0:1,3;0,2

 

4 t2_B2

C B2 −1

0,1) ₋1₂,1: (1,1) (₋1,2) 3₂,1;₋₋

−−: (0,1) (2ρ,2) ₋1 2,1

: (0,1) ₋1 2 −ρ,1



(52)

c4H0,2:2,1;1,00,0:2,4;0,2

 

4 t2_B2

C B2 −1

(₋1,1) ₋1₂,1: (1,1) (₋2,2) 3₂,1;₋₋

−−: (0,1) (2,2) 1 2,1

(1₋ρ,1) ; (0,1) ₋1 2 −ρ,1



,

onde c1 =

2ρ√πΓ(ρ+3₂) Γ(2ρ+2) ,c2 =

2ρ√πΓ(ρ+3₂C) Γ(2ρ+2)B2 , c3 =

4ρπΓ(ρ+3₂)i

tBΓ(2ρ+2) ec4 =

4ρ√πΓ(ρ+3₂)Ci tB3_Γ(2ρ+2) .

3.2.8 Estimadores para os parˆ

ametros

B, C, ρ

de

f

(

x

)

O método utilizado é o de Máxima Verossimilhan¸ca. Os estimadores do Método dos Momentos não serão calculados, pois existem apenas os momentos fracionários entre 0 e 1, que podem não fornecer boas estimativas. Desta forma, calcularemos o E.M.V., onde θ= (B, C, ρ), θ_∈Θ =C > 0, B _∈R_{, ρ >} _{0 como a seguir:}

L(θ;x) =

n

Y

i=1

f(xi|θ) = n

Y

i=1

2ρx2ρ_i −1(Bxi+C)

(x2

i + 2Bxi+C)ρ+1

=

L(θ;x) = (2ρ)n

n

Y

i=1

Bx2ρ_i +Cx2ρ_i −1

(x2

i + 2Bxi +C)ρ+1

(3.11)

e

l(θ;x) = logL(θ;x) =nlog 2 +nlogρ+

n

X

i=1

log

Bx2ρ_i +Cx2ρ_i −1

(x2

i + 2Bxi+C)ρ+1

=

nlog 2 +nlogρ+

n

X

i=1

log((Bxi+C)x2ρi −1)− n

X

i=1

log(x2_i + 2Bxi+C)ρ+1 =

nlog 2 +nlogρ+

n

X

i=1

log(Bxi+C) + (2ρ−1) n

X

i=1

logxi−(ρ+ 1) n

X

i=1

log(x2_i+ 2Bxi+C)

(53)

Para estimar valores θ = (B, C, ρ), resolveremos a l′₍_θ_;_x_{) =} ∂l(θ;x) ∂θ = 0:

I)

∂l(θ;x)

∂ ρ = 0⇒ n ρ + 2

n

X

i=1

logxi− n

X

i=1

log(x2_i + 2Bxi+C) = 0

II)

∂l(θ;x)

∂B = 0⇒

n

X

i=1

xi

Bxi+C −

(ρ+ 1)

n

X

i=1

2xi

(x2

i + 2Bxi+C)

= 0

III)

∂l(θ;x)

∂C = 0⇒

n

X

i=1

1

Bxi+C −

(ρ+ 1)

n

X

i=1

1 (x2

i + 2Bxi+C)

= 0

(54)

Cap´ıtulo 4

Vers˜

ao Sim´

etrica para a

Distribui¸c˜

ao

4.1 Introdu¸c˜

ao

Apresentaremos a seguir distribui¸cão simétrica correspondente àquela apresentada no Cap´ıtulo 3. Como possui diversos parâmetros, a distribui¸cão pode assumir várias formas, o que facilita o uso em diversos dados onde se queira modelar v.a’s em toda a reta real.

4.2 Distribui¸c˜

ao Acumulada Sim´

etrica

G(x) = 1 2+

1 2

x_|x_|2ρ−1

(x2_{+ 2}_B_|_x_|₊_C₎ρ (4.1)

a fun¸cão de distribui¸cão simétrica em torno de 0 de uma v.a. X onde _−∞ < x <

∞, C > 0, e ρ > 0.

4.2.1 Propriedades da Distribui¸c˜

ao Acumulada Sim´

etrica

(55)

i) limx→−∞G(x) = 0

ii) limx→∞G(x) = 1

iii)G(x)_≤G(y),_∀x < y;x, y _∈R

iv)0_≤GX(x)≤1,∀x;

Demonstra¸c˜ao:

i) limx→−∞G(x) = limx→−∞12+ 1 2

x|x|2ρ−1

(x2_+2B_|_x_|_+C)ρ = limx→−∞

1

2+sinal[x] 1 2(

1 1+2B

|x|+

C

|x|2)

ρ₌ 1

2 − 1 2 = 0 ,

onde sinal[x] = _|x_x_| = |x_x|.

ii) limx→+∞G(x) = limx→+∞12+ 1 2

x|x|2ρ−1

(x2_+2B_|_x_|_+C)ρ = limx→+∞12+sinal[x] 1 2(

1 1+2_|_xB_|+_|_xC_|2)

ρ₌ 1

2 + 1 2 = 1

iii) Como G(x) é fun¸cão não-decrescente,_∀x_∈R_{, logo atende à propriedade}_iv_).

iv) De fato, pelas propriedades i)₋iii) conclui-se queiv) tamb´em vale.

4.2.2 Gr´

aficos para a Distribui¸c˜

ao Acumulada Sim´

etrica

Como provamos que G(x) é distribui¸cão, então apresentaremos algumas formas da distribui¸cão, para diversos valores dos parâmetros B, C, ρ:

-10 -5 0 5 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(56)

Para verificar o efeito de cada um dos parâmetros na curva, produzimos gráficos onde se fixa dois parâmetros enquanto um terceiro varia.

-10 -5 0 5 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Figura 4.2: Formas para a Distribui¸cão Simétrica Acumulada G(x) - varia¸cão de ρ, com B >0, C fixos

-10 -5 0 5 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(57)

-10 -5 0 5 10 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

B=5,C=1.5,Ρ=1 B=2,C=1.5,Ρ=1 B=0.4,C=1.5,Ρ=1 B=0.2,C=1.5,Ρ=1 B=-0.2,C=30,Ρ=1 B=-1,C=30,Ρ=1

Figura 4.4: Formas para a Distribui¸cão Simétrica Acumulada G(x) - varia¸cão de B, com C, ρ fixos

-10 -5 0 5 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0