UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA BACHARELADO EM MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL LEONARDO KIYOSHI KINOSHITA ASSAHIDE

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

BACHARELADO EM MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL

LEONARDO KIYOSHI KINOSHITA ASSAHIDE

Um estudo sobreMarkov Switching Generalized Linear Modelpara dados discretos com distribuição de Poisson

Orientador: Prof^a. Dra. Airlane Pereira Alencar

São Paulo - SP 2018

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Prof. Dr. Vahan Agopyan Reitor da Universidade de São Paulo

Prof. Dr. Junior Barrera

Diretor do Instituto de Matemática e Estatística Prof. Dr. Fábio Armando Tal

Chefe do Departamento de Matemática Aplicada

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LEONARDO KIYOSHI KINOSHITA ASSAHIDE

Um estudo sobreMarkov Switching Generalized Linear Modelpara dados discretos com distribuição de Poisson

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Bachare- lado em Matemática Aplicada e Computacional - Habili- tação: Estatística Econômica do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

ORIENTADORA:PROF^a. DRA. AIRLANE PEREIRA ALENCAR

São Paulo - SP 2018

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AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABA- LHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ES- TUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

FICHA CATALOGRÁFICA

Assahide, Leonardo Kiyoshi Kinoshita.

Um estudo sobre Markov Switching Generalized Linear Model para dados discretos com distribuição de Poisson. São Paulo , 2018.

84 p. : il. ; 30cm

Trabalho de Conclusão de Curso, apresentado ao Instituto de Ma- temática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Orientadora: Alencar, Airlane Pereira.

1. Markov Switching. 2. Generalized Linear Model (GLM). 3.

Poisson.

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FOLHA DE APROVAÇÃO

Nome: ASSAHIDE, Leonardo Kiyoshi Kinoshita

Título: Um estudo sobreMarkov Switching Generalized Linear Modelpara dados discretos com distribuição de Poisson

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Bachare- lado em Matemática Aplicada e Computacional - Habili- tação: Estatística Econômica do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Aprovado em:

BANCA EXAMINADORA

Prof^a. Dra. Airlane Pereira Alencar

Instituição: Departamento de Estatística – IME-USP Assinatura:

Prof^a. Dra. Elisabeti Kira

Instituição: Departamento de Estatística – IME-USP Assinatura:

Prof. Dr. Francisco Marcelo Monteiro da Rocha

Instituição: Universidade Federal de São Paulo - UNIFESP Assinatura:

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RESUMO

ASSAHIDE, L. K. K.Um estudo sobreMarkov Switching Generalized Linear Model para dados discretos com distribuição de Poisson. 2018. Trabalho de Conclusão de Curso - Insti- tuto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2018.

Este trabalho busca estudar as internações hospitalares devido à doenças respiratórias de pessoas com mais de 60 anos na cidade de São Paulo. Foi utilizado um modeloMarkov Switching Generalized Linear Modelcom distribuição de Poisson para verificar a existência de múltiplos regimes. Esta suposição esta baseada no fato do forte fator sazonal na cidade de São Paulo, onde o inverno frio e seco amplia os efeitos maléficos da poluição. Dentre os modelos utilizados, o modelo deMarkov Switchingcom efeitos sazonais apresenta melhores resultados, validando a hipótese de sazonalidade, porém este modelo apresenta instabilidade ao estimar as probabilidades de transição entre os regimes.

Palavras-chave: 1. Markov Switching. 2. Generalized Linear Model(GLM). 3. Poisson.

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ABSTRACT

ASSAHIDE, L. K. K.A study onMarkov Switching Generalized Linear Modelfor discrete data with the Poisson distribution. 2018. Course Completion Work - Institute of Mathematics and Statistics, University of São Paulo, São Paulo, 2018.

This study aims to study hospital admissions due to the respiratory diseases of people over 60 years in the city of São Paulo. A Markov Switching Generalized Linear Model with Poisson distribution was used to verify the existence of multiple regimes. This assumption is based on the strong seasonal factor in the city of São Paulo, where cold and dry winter magnifies the harmful effects of pollution. Among the models used, the Markov Switchingmodel with seasonal effects presents better results, validating the hypothesis of seasonality, but this model presents instability when estimating the transition probabilities between the regimes.

Keywords:1. Markov Switching. 2. Generalized Linear Model(GLM). 3. Poisson.

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LISTA DE FIGURAS

Página

Figura 1 - Distribuição da população, por grupos de idade . . . 13 Figura 2 - Quantidade de internações de pessoas com mais de 60 anos em São Paulo 25 Figura 3 - Quantidade de internações x Série estimada pelo modelo GLM com efeitos

sazonais . . . 29 Figura 4 - Quantidade de internações em relação ao Regime 1 (estimado pelo modelo

Markov Switchingcom efeitos sazonais) . . . 29 Figura 5 - Probabilidades Suavizadas pelo modelo Markov Switching com efeitos

sazonais . . . 30 Figura 6 - Quantidade de internações x Série estimada pelo modelo GLM com AR(1) 31 Figura 7 - Quantidade de internações em relação ao Regime 1 (estimado pelo modelo

Markov Switchingcom AR(1)) . . . 32 Figura 8 - Probabilidades Suavizadas pelo modeloMarkov Switchingcom AR(1) . . 33 Figura 9 - Resíduos do ModeloMarkov Switching-Poissonconsiderando efeitos sa-

zonais . . . 38 Figura 10 - Normal Q-Q Plot do Modelo Markov Switching-Poisson considerando

efeitos sazonais . . . 38 Figura 11- ACF/PACF dos Resíduos e dos Quadrados do Resíduo do ModeloMarkov

Switching-Poissonconsiderando efeitos sazonais . . . 39 Figura 12 - Resíduos do ModeloMarkov Switching-Poissonconsiderando AR(1) . . . 42 Figura 13- Normal Q-Q Plot do ModeloMarkov Switching-Poissonconsiderando AR(1) 42 Figura 14- ACF/PACF dos Resíduos e dos Quadrados do Resíduo do ModeloMarkov

Switching-Poissonconsiderando AR(1) . . . 43

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LISTA DE TABELAS

Página

Tabela 1 - Estatísticas Descritivas das Internações de Pessoas com mais de 60 anos

em São Paulo . . . 25

Tabela 2 - Resultados para Estimativas com Efeitos Sazonais . . . 28

Tabela 3 - Matriz de Probabilidades de Transição no modeloMarkov Switchingcom efeitos sazonais . . . 29

Tabela 4 - Resultados para Estimativas com parâmetro autoregressivo . . . 31

Tabela 5 - Matriz de Probabilidades de Transição no modeloMarkov Switchingcom AR(1) . . . 32

Tabela 6 - Modelo GLM-Poisson considerando efeitos sazonais . . . 36

Tabela 7 - ModeloMarkov Switching-Poissonconsiderando efeitos sazonais . . . 37

Tabela 8 - Modelo GLM-Poisson considerando AR(1) . . . 40

Tabela 9 - ModeloMarkov Switching-Poissonconsiderando AR(1) . . . 41

(11)

SUMÁRIO

Página

RESUMO . . . . 7

ABSTRACT . . . . 8

LISTA DE FIGURAS . . . . 9

LISTA DE TABELAS . . . . 10

1 INTRODUÇÃO . . . . 13

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . 14

2.1 Introdução ao modelo . . . 14

2.2 Modelo com mudança de regime . . . 16

2.2.1 Caso com Independência na troca de regime . . . 17

2.2.2 Caso deMarkov Switching . . . 18

2.3 Série Correlacionada eMarkov Switching . . . 19

2.3.1 Resolvendo o problema do regime não observado . . . 20

2.3.2 Filtering . . . 21

2.4 Questões relacionadas aoMarkov Switching . . . 22

2.4.1 Algoritmo de Suavização de Kim . . . 22

2.4.2 Probabilidades noSteady-Statepara começar o Filtro . . . 23

2.4.3 Expectativa de duração dos Regimes no modeloMarkov Switching . . . 24

3 BASE DE DADOS . . . . 25

4 METODOLOGIA APLICADA . . . . 26

5 RESULTADOS . . . . 27

5.1 Modelo com efeitos sazonais mensais . . . 27

5.2 Modelo com parâmetro autoregressivo . . . 30

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . 34

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A ANEXO . . . . 36 A.1 Resultados Completos dos Modelos considerando efeitos sazonais . . . 36 A.2 Análises dos Resíduos do ModeloMarkov Switching-Poissonconsiderando efei-

tos sazonais . . . 38 A.3 Resultados Completos dos Modelos considerando AR(1) . . . 40 A.4 Análises dos Resíduos do ModeloMarkov Switching-Poissonconsiderando AR(1) 42

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13

1 INTRODUÇÃO

Existe uma grande preocupação com as doenças principalmente em recém nascidos e em idosos, dois dos maiores grupos de riscos. A poluição aliada ao clima seco da cidade de São Paulo tem um forte impacto positivo nos casos de doenças respiratórias, levando a um maior volume de internações nestes grupos.

Hoje, as pessoas com mais de 60 anos representam aproximadamente 11.9% da popu- lação total na cidade de São Paulo, um total de 1.7 milhões de pessoas. O gráfico 1¹apresenta a distribuição da população por faixa etária para a cidade, região metropolitana e Estado de São Paulo:

Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2010 (resultados preliminares); Elaboração: Fundação Seade.

Figura 1: Distribuição da população, por grupos de idade

Assim como no restante do Brasil, o IBGE esta alertando para o envelhecimento po- pulacional, podendo crescer até 18% no próximos 5 anos. É importante ressaltar que na cidade de São Paulo já vivem aproximadamente 1.7 milhões idosos.

Este trabalho busca estudar as internações devido a doenças respiratórias de pessoas com mais de 60 anos no município de São Paulo, e assim, contribuir para o entendimento do comportamento das internações. Será realizado uma análise através do modelo Markov Switchingcom distribuição de Poisson.

1http://produtos.seade.gov.br/produtos/retratosdesp/view/index.php?locId=3550308&indId=3&temaId=1

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14

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Existe uma grande literatura sobre modelos não lineares, i.e., com quebras estruturais dependendo das amostras ou de regimes. Caso estas mudanças de regimes sejam observadas, o modelo pode ser resolvido incluindo variáveis indicadoras dos regimes, além de poderem ser testadas através do Teste-F, proposto por Chow (1960).

Entretanto, existe um outro grupo de estudos focado em inferências sobre os regimes não observados. Neste caso, não há uma data precisa e evidente sobre a alteração de regime e será preciso fazer inferências sobre as datas das quebras estruturais e suas significâncias esta- tísticas.

Inicialmente, os modelos propostos consideravam apenas 1 troca de regime na amostra, como por exemplo em Quandt (1958), Quandt (1960), Farley and Hinich (1970) e Kim and Siegmund (1989). Posteriormente, Quandt (1972), Goldfeld and Quandt (1973), Brown et al. (1975), Ploberger et al. (1989), e Kim and Maddala (1991) consideram modelos com a possibilidade de mais de 1 troca de regime.

Outra questão interessante é a probabilidade de troca de regime; alguns modelos, como por exemplo Quandt (1972), consideram que a probabilidade de troca de regime é independente do regime vigente (e de efeitos passados). Enquanto Goldfeld and Quandt (1973) flexibilizam esta hipótese e permite que as probabilidades sejam condicionais aos regimes ao realizar o modelo deMarkov Switching.

A partir do modelo de Goldfeld and Quandt (1973) , Hamilton (1989) realiza um modelo deMarkov Switchingcom mudanças estruturais observando o comportamento da variável dependente. Nas próximas subseções, será apresentado o desenvolvimento do modelo deMar- kov Switchingcom distribuição de Poisson, este modelo teórico foi baseado em Kim (1999).

2.1 Introdução ao modelo

Nelder and Wedderburn (1972) propuseram osGeneralized Linear Models(GLM) para flexibilizar e generalizar os modelosOrdinary Least Square(OLS). O modelo GLM consente que a variável explicada tenha outras distribuições além da normal; o modelo permite isso atra- vés de uma relação funcional entre a variável resposta e o preditor linear. Neste caso, suporemos que𝑦_𝑡possui distribuição de Poisson, e consequentemente a relação funcional entre a média𝜇_𝑡 de𝑦𝑡e o preditor linear será logarítmica.

(15)

15 OGeneralized Linear Model(GLM) com distribuição de Poisson, ainda sem considerar quebras estruturais pode ser definido como𝑦_𝑡 ∼𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜇_𝑡)com:

ln(𝜇_𝑡) = 𝑥_𝑡𝛽, 𝑡= 1,2, ...𝑇

Por definição da𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛,𝜆=𝐸[𝑥]. Então podemos encontrar𝜆:

𝐸[ln(𝑦_𝑡|𝑥_𝑡)] = 𝑥_𝑡𝛽 𝐸(𝑦_𝑡|𝑥_𝑡) =𝑒^𝑥^𝑡^𝛽

𝜆 =𝑒^𝑥^𝑡^𝛽

Desta forma, a probabilidade será:

𝑃(𝑦|𝑥) = 𝑒^−𝜆𝜆^𝑦

𝑦! = 𝑒^−𝑒^𝑥𝑡𝛽^(︁𝑒^𝑥^𝑡^𝛽^)︁^𝑦 𝑦!

𝑃(𝑦₁, . . . , 𝑦_𝑚 |𝑥₁, . . . , 𝑥_𝑚; 𝛽) =

𝑚

∏︁

𝑖=1

𝑒^𝑦^𝑖^𝑥^𝑖^𝛽𝑒^−𝑒^𝑥𝑖𝛽 𝑦_𝑖! A função de máxima verossimilhança será dada por:

𝐿(𝛽|𝑋, 𝑌) =

𝑚

∏︁

𝑖=1

𝑒^𝑦^𝑖^𝑥^𝑖^𝛽𝑒^−𝑒^𝑥𝑖𝛽 𝑦𝑖! ln𝐿(𝛽 |𝑋, 𝑌) =

𝑚

∑︁

𝑖=1

(︁𝑦_𝑖𝑥_𝑖𝛽−𝑒^𝑥^𝑖^𝛽−ln(𝑦_𝑖!)^)︁

Como o termo ln(𝑦_𝑖!) é em função de 𝛽, ele não afeta a maximização; desta forma podemos ignorar o último termo e simplificar como:

ln𝐿(𝛽 |𝑋, 𝑌) =

𝑚

∑︁

𝑖=1

(︁𝑦_𝑖𝑥_𝑖𝛽−𝑒^𝑥^𝑖^𝛽^)︁

(16)

16

2.2 Modelo com mudança de regime

O modelo deMarkov-Switchingé útil para capturar as trocas de regime em um modelo econométrico. Sendo 𝑆_𝑡 o parâmetro que define o regime, será apresentado o modelo com quebras estruturais com 2 regimes:

ln(𝜇_𝑡) =𝑥_𝑡𝛽_𝑆_𝑡

⎧

⎪⎨

⎪⎩

𝑡= 1,2, ...𝑇 𝑆_𝑡= 0ou1 Então:

𝛽_𝑆_𝑡 =𝛽₀(1−𝑆_𝑡) +𝛽₁𝑆_𝑡

Portanto, sob o regime 0o parâmetro estimado será𝛽₀. Analogamente, sob o regime 1os parâmetros estimado será𝛽₁. Se as quebras estruturais𝑆_𝑡fossem conhecidas, seria apenas um modelo com variáveisdummy. Entretanto, neste caso será preciso estimar𝑆_𝑡, e a função de log-verossimilhança será dada por:

ln𝐿=

𝑇

∑︁

𝑡=1

ln(𝑓(𝑦_𝑡 |𝑆𝑡))

𝑓(𝑦_𝑡 |𝑆_𝑡) = 𝑒^−𝑒^{𝑥𝑡𝛽𝑆𝑡}^(︁𝑒^𝑥^𝑡^𝛽^𝑆𝑡^)︁^𝑦 𝑦!

Como𝑆_𝑡não é observado, podemos encontrar as probabilidades utilizando os seguintes passos:

1. Considerar a densidade conjunta de𝑦_𝑡e da variável não observada𝑆_𝑡, sendo o produto das densidades condicionais e marginais individuais:

𝑓(𝑦_𝑡, 𝑆_𝑡|𝜓𝑡−1) =𝑓(𝑦_𝑡 |𝜓𝑡−1)𝑓(𝑆_𝑡|𝜓𝑡−1)

2. Para obter a densidade marginal de𝑦_𝑡, considere a𝑆_𝑡 fora da densidade conjunta ao somar

(17)

17 os possíveis valores ponderados pelas probabilidade

𝑓(𝑦_𝑡,|𝜓𝑡−1) =

1

∑︁

𝑆𝑡=0

𝑓(𝑦_𝑡, 𝑆_𝑡 |𝜓𝑡−1)

=

1

∑︁

𝑆𝑡=0

𝑓(𝑦_𝑡 |𝜓𝑡−1)𝑓(𝑆_𝑡|𝜓𝑡−1)

=

1

∑︁

𝑆𝑡=0

𝑒^−𝑒^{𝑥𝑡𝛽𝑆𝑡} ^(︁𝑒^𝑥^𝑡^𝛽^𝑆𝑡^)︁^𝑦

𝑦! 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 |𝜓𝑡−1]

= 𝑒^−𝑒^{𝑥𝑡𝛽0}^(︁𝑒^𝑥^𝑡^𝛽⁰^)︁^𝑦

𝑦! 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡= 0|𝜓𝑡−1] + 𝑒^−𝑒^{𝑥𝑡𝛽1} ^(︁𝑒^𝑥^𝑡^𝛽¹^)︁^𝑦

𝑦! 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 1|𝜓𝑡−1]

Então a função de log-verossimilhança:

ln𝐿=

𝑇

∑︁

𝑡=1

ln

⎧

⎨

⎩

1

∑︁

𝑆𝑡=0

𝑓(𝑦_𝑡|𝑆𝑡, 𝜓𝑡−1)𝑃 𝑟[𝑆_𝑡|𝜓𝑡−1)]

⎫

⎬

⎭

Então a função de densidade marginal anterior pode ser interpretada com a média ponderada pelas densidades condicionais dadas por𝑆_𝑡. Será preciso estimar antes as probabilidades 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 0|𝜓𝑡−1]e𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 0|𝜓𝑡−1]antes de calcular a função de log-verossimilhança. Para este cálculo, assume-se que a variável 𝑆_𝑡 apresenta comportamento estocástico. Além disso, pode-se assumir a troca de regimes seja independente ou não do regime anterior.

2.2.1 Caso com Independência na troca de regime

Caso a variável𝑆_𝑡é independente dos regimes anteriores:

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 1] =𝑃 𝑟[𝑆_𝑡= 1|𝜓𝑡−1] 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡= 1] =𝑝= 𝑒^𝑝⁰

1 +𝑒^𝑝⁰ 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 0] = 1−𝑝= 1

1 +𝑒^𝑝⁰

No caso anterior, as probabilidades não possuem restrições, i.e., o comportamento estocástico de 𝑆_𝑡 não é dependente de nenhuma variável exógena. Genericamente temos que 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 =𝑗] =𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝜓𝑡−1].

Porém pode-se considerar que 𝑆_𝑡 não seja independente de seus valores anteriores ou

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18 de um conjunto de variáveis𝑍_𝑡−1. Então as probabilidades serão definidas como:

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡= 1|𝜓𝑡−1] =𝑝_𝑡= 𝑒^𝑝⁰^+𝑍^𝑡−1^′ ^𝛾 1 +𝑒^𝑝⁰^+𝑍^𝑡−1^′ ^𝛾 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 0|𝜓_𝑡−1] = 1−𝑝_𝑡= 1

1 +𝑒^𝑝⁰^+𝑍^𝑡−1^′ ^𝛾 2.2.2 Caso deMarkov Switching

No caso da variável 𝑆_𝑡 ser dependente de 𝑆_𝑡−1, 𝑆_𝑡−2, ..., 𝑆_𝑡−𝑛, então 𝑆_𝑡 é chamado como um processo de n-enésima ordem do processo deMarkov-Switching. Será exemplificado com um processo de 1^aordem:

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡= 1|𝑆𝑡−1 = 1] =𝑝= 𝑒^𝑝⁰ 1 +𝑒^𝑝⁰ 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 0|𝑆_𝑡−1 = 0] =𝑞 = 𝑒^𝑞⁰

1 +𝑒^𝑞⁰ Consequentemente, as probabilidades complementares serão:

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 1|𝑆𝑡−1 = 0] = 1−𝑝= 1 1 +𝑒^𝑝⁰ 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡= 0 |𝑆𝑡−1 = 1] = 1−𝑞= 1

1 +𝑒^𝑞⁰

Para resolver o problema de ter𝑆𝑡não observado, podemos utilizar a mesma estratégia utilizadas anteriormente:

1. Dada𝑃 𝑟[𝑆𝑡 = 𝑖| 𝜓𝑡−1], 𝑖 = 0,1no começo do período 𝑡(ou da iteração), a probabilidade de troca será𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝜓𝑡−1], 𝑗 = 0,1calculada

𝑃 𝑟[𝑆𝑡 =𝑗 |𝜓𝑡−1] =

1

∑︁

𝑖=0

𝑃 𝑟[𝑆𝑡 =𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖|𝜓𝑡−1]

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝜓𝑡−1] =

1

∑︁

𝑖=0

+𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝑆𝑡−1 = 1, 𝜓𝑡−1]𝑃 𝑟[𝑆𝑡−1 = 1|𝜓𝑡−1]

Então 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 𝑗 | 𝑠_𝑡 = 𝑖], 𝑖 = 0,1;𝑗 = 0,1 são as probabilidades de transição de estado.

(19)

19 2. Após observar𝑦_𝑡no fim do período𝑡(ou da iteração), podemos atualizar a probabilidade:

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝜓𝑡−1, 𝑦_𝑡] = 𝑓(𝑆_𝑡 =𝑗, 𝑦𝑡|𝜓𝑡) 𝑓(𝑦_𝑡|𝜓𝑡−1)

= 𝑓(𝑦_𝑡 |𝑆_𝑡 =𝑗, 𝜓_𝑡)𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝑝𝑠𝑖𝑡−1]

∑︀₁

𝑗=0𝑓(𝑦_𝑡|𝑆𝑡=𝑗, 𝜓𝑡−1)𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝜓𝑡−1]

Por iteração, os passos anteriores serão repetidos até encontrar𝑃 𝑟[𝑆𝑡 =𝑗 |𝜓𝑡−1], para 𝑡 = 1,2, ..., 𝑇. Entretanto, para começar o processo anterior, é preciso encontrar os valores iniciais para𝑡 = 1, i.e.,𝑃 𝑟[𝑆₀ |𝜓₀]. Assim, pode-se utilizar as probabilidades de𝑆𝑡:

𝜋₀ =𝑃 𝑟[𝑆₀ = 1|𝜓₀] = 1−𝑝 2−𝑝−𝑞 𝜋₁ =𝑃 𝑟[𝑆₀ = 1|𝜓₀] = 1−𝑞

2−𝑝−𝑞

2.3 Série Correlacionada e Markov Switching

Em geral, um modelo autoregressivo de ordem𝑘com primeira ordem, M-stateMarkov Switchingcom média e variância pode ser escrito como:

𝜑(𝐿)(𝑦_𝑡−𝜇𝑆_𝑡) = 𝑒_𝑡, 𝑒_𝑡 ∼𝑁(0, 𝜎_𝑆²_𝑡) 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝑆𝑡−1 =𝑖] =𝑝_𝑖𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1,2, ..., 𝑀

𝑀

∑︁

𝑗=1

𝑝_𝑖𝑗 = 1

𝜇𝑆_𝑡=𝜇₁𝑆_1𝑡+𝜇₂𝑆_2𝑡+...+𝜇_𝑀𝑆_{𝑀 𝑡} 𝜎_𝑆²_𝑡 =𝜎_𝑆²

1𝑡𝑆_1𝑡+𝜎_𝑆²

2𝑡𝑆_2𝑡+...+𝜎_𝑆²

𝑀𝑆_{𝑀 𝑡}

⎧

⎪⎨

⎪⎩

𝑆_𝑚𝑡 = 1,se𝑆_𝑡=𝑚 𝑆_𝑚𝑡 = 0,caso contrário

O modelo GLM com distribuição de Poisson de parâmetros autoregressivos AR(k), pode ser definido como:

𝐸[ln(𝑦_𝑡)|𝜓_𝑡] =𝑥_𝑡𝛽_𝑆_𝑡 +

𝑝

∑︁

𝑘=1

𝜑_𝑘,𝑆_𝑡{ln𝑦_𝑡−𝑘−𝑥_𝑡−𝑘𝛽}

(20)

20 E a função de probabilidade como:

𝑓(𝑦_𝑡|𝑆_𝑡) = 𝑒^−𝑒^{𝑥𝑡𝛽𝑆𝑡}⁺

∑︀𝑝

𝑘=1𝜑𝑘,𝑆𝑡{ln𝑦𝑡−𝑘−𝑥𝑡−𝑘 𝛽}(︁

𝑒^𝑥^𝑡^𝛽^𝑆𝑡⁺^∑︀^𝑝^𝑘=1^𝜑^{𝑘,𝑆𝑡}^{ln𝑦^𝑡−𝑘^−𝑥^𝑡−𝑘^𝛽}^)︁^𝑦 𝑦!

ln𝐿=

𝑇

∑︁

𝑡=1

ln(𝑓(𝑦𝑡 |𝜓𝑡−1, 𝑆𝑡, 𝑆𝑡−1)

2.3.1 Resolvendo o problema do regime não observado

Para escrever a função de densidade de𝑦𝑡dada a informação passada𝜓𝑡−1, será preciso calcular as variáveis não observadas𝑆_𝑡 e 𝑆𝑡−1. Para resolver este problema, vamos usar uma estratégia semelhante a anterior:

1. Encontrar a função de densidade conjunta de𝑦_𝑡, 𝑠_𝑡e𝑠𝑡−1 em relação a informação passada 𝜓𝑡−1:

𝑓(𝑦_𝑡, 𝑆_𝑡, 𝑆𝑡−1 |𝜓𝑡−1) =𝑓(𝑦_𝑡 |𝑆_𝑡, 𝑆𝑡−1, 𝜓𝑡−1)𝑃 𝑟[𝑆_𝑡, 𝑆𝑡−1 |𝜓𝑡−1]

2. Para encontrar𝑓(𝑦_𝑡)|𝜓𝑡−1, retira-se o𝑆_𝑡e𝑆𝑡−1 da densidade conjunta fazendo a somatória da densidade conjunta passar por todos os valores de𝑆_𝑡e𝑆_𝑡−1:

𝑓(𝑦_𝑡|𝜓𝑡−1) =

𝑀

∑︁

𝑆𝑡=1 𝑀

∑︁

𝑆𝑡−1=1

𝑓(𝑦_𝑡, 𝑆_𝑡, 𝑆𝑡−1 |𝜓𝑡−1)

𝑓(𝑦_𝑡|𝜓_𝑡−1) =

𝑀

∑︁

𝑆𝑡=1 𝑀

∑︁

𝑆𝑡−1=1

𝑓(𝑦_𝑡 |𝑆_𝑡, 𝑆_𝑡−1𝜓_𝑡−1)𝑃 𝑟[𝑆_𝑡, 𝑆_𝑡−1 |𝜓_𝑡−1]

Desta forma a densidade marginal 𝑓(𝑦_𝑡 | 𝜓𝑡−1) é ponderada pela média de 𝑀² das densidades condicionais, com os pesos sendo 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 𝑗, 𝑆_𝑡−1 = 𝑖 | 𝜓_𝑡−1], sendo 𝑖 = 1,2, ..., 𝑀 e𝑗 = 1,2, ..., 𝑀.

Então a função de log-verossimilhança será dada por:

ln𝐿=

𝑇

∑︁

𝑡=1

⎧

⎨

⎩

𝑀

∑︁

𝑆𝑡=1 𝑀

∑︁

𝑆𝑡−1=1

𝑓(𝑦_𝑡 |𝑆_𝑡, 𝑆𝑡−1𝜓𝑡−1)𝑃 𝑟[𝑆_𝑡, 𝑆𝑡−1 |𝜓𝑡−1]

⎫

⎬

⎭

Assim, ainda precisaremos lidar com o problema de calcular 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 = 𝑗, 𝑆_𝑡−1 = 𝑖 | 𝜓𝑡−1].

(21)

21 2.3.2 Filtering

O procedimento a seguir permite calcular𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖|𝜓𝑡−1]:

1. Dado𝑃 𝑟[𝑆_𝑡−1 =𝑖 |𝜓𝑡−1],𝑖 = 1,2, ..., 𝑀, no começo do tempo𝑡ou da iteração t, os pesos 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖|𝜓𝑡−1]com𝑖= 1,2, ..., 𝑀 e𝑗 = 1,2, ..., 𝑀 são calculados como:

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗, 𝑆_𝑡−1 =𝑖|𝜓_𝑡−1] =𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝑆_𝑡−1 =𝑖]𝑃 𝑟[𝑆_𝑡−1 =𝑖|𝜓_𝑡−1]

Onde𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝑆𝑡−1 =𝑖], com𝑖= 1,2, ..., 𝑀 e𝑗 = 1,2, ..., 𝑀, são as probabilidades de transição de regime.

2. Após encontrar𝑦_𝑡no final de𝑡, pode-se atualizar as probabilidades dos termos:

𝑃 𝑟[𝑆𝑡 =𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖|𝜓𝑡−1] =𝑃 𝑟[𝑆𝑡=𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖|𝜓𝑡−1, 𝑦𝑡]

= 𝑓(𝑆_𝑡=𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖, 𝑦_𝑡 |𝜓𝑡−1) 𝑓(𝑦_𝑡|𝜓𝑡−1)

= 𝑓(𝑦_𝑡 |𝑆_𝑡 =𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖, 𝜓𝑡−1)𝑓(𝑆_𝑡 =𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖|𝜓𝑡−1)

∑︀𝑀 𝑆𝑡=1

∑︀𝑀

𝑆𝑡−1=1𝑓(𝑦_𝑡|𝑆_𝑡=𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖, 𝜓𝑡−1)𝑓(𝑆_𝑡=𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖|𝜓𝑡−1) Com:

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝜓𝑡−1] =

𝑀

∑︁

𝑆𝑡−1=1

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗, 𝑆𝑡−1 =𝑖|𝜓𝑡−1

Realizando o procedimento anterior para todos os períodos 𝑡, será possível obter os pesos. No modelo de 1^a ordem deMarkov Switching, utiliza-se probabilidades nosteady-state (𝜋₁)para𝑡= 1:

𝜋1 =𝑃 𝑟[𝑆₀ = 1|𝜓0] = 1−𝑝₂₂ 2−𝑝₁₁−𝑝₂₂ 𝜋₂ =𝑃 𝑟[𝑆₀ = 2|𝜓₀] = 1−𝑝₁₁

2−𝑝₁₁−𝑝₂₂

Assim, o modeloMarkov Switchingconsiste em primeiramente estimar os parâmetros do modelo ao maximizar a funação de máxima verossimilhança; e depois fazer inferências sobre os estados𝑆_𝑡por período𝑡.

(22)

22

2.4 Questões relacionadas ao Markov Switching

2.4.1 Algoritmo de Suavização de Kim

A partir dos parâmetros estimados no modelos, é possível fazer inferências de 𝑆_𝑡uti- lizando as informações da amostra. Assim, calculamos a probabilidade suavizada𝑃 𝑟[𝑆𝑡 =𝑗 | 𝜓_𝑇]ao invés de𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝜓_𝑡], sendo𝑡= 1,2, .., 𝑇. Para exemplificar, a explicação esta apresentada para o modelo AR(1), i.e., uma defasagem. Considerando que a probabilidade conjunta de que𝑆_𝑡=𝑗 e𝑆_𝑡+1 =𝑘 são baseadas em todas as informações:

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡+1 =𝑘 |𝜓_𝑡]

E temos que:

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝜓_𝑇] =

𝑀

∑︁

𝑘=1

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 =𝑗, 𝑆_𝑡+1 =𝑘 |𝜓_𝑇]

A partir de 𝑃 𝑟[𝑆_𝑇 | 𝜓𝑇]da última iteração no filtro realizado, é possível iterar para 𝑡 = 𝑇 −1, 𝑇 −2, ...,1, para calcular as probabilidade suavizadas𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 | 𝜓_𝑇] para𝑡 = 𝑇 − 1, 𝑇 −2, ...,1. Definindo˜ℎ𝑡+1,𝑇 = (𝑦_𝑡+1, 𝑦𝑡+2, ...𝑦𝑇)^′∀𝑇 > 𝑡:

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝑆_𝑡+1 =𝑘, 𝜓_𝑇] =𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 =𝑗 |𝑆_𝑡+1 =𝑘,˜ℎ_𝑡+1,𝑇, 𝜓_𝑇] 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 =𝑗 |𝑆_𝑡+1 =𝑘, 𝜓_𝑇] = 𝑓(𝑆_𝑡=𝑗,˜ℎ_𝑡+1,𝑇 |𝑆_𝑡+1 =𝑘, 𝜓_𝑇)

𝑓(˜ℎ𝑡+1,𝑇 |𝑆𝑡+1 =𝑘, 𝜓𝑡)

𝑃 𝑟[𝑆𝑡 =𝑗 |𝑆𝑡+1 =𝑘, 𝜓𝑇] = 𝑓(𝑆_𝑡=𝑗 |𝑆𝑡+1 =𝑘, 𝜓𝑇)𝑓(˜ℎ𝑡+1,𝑇 |𝑆𝑡 =𝑗, 𝑆𝑡+1 =𝑘, 𝜓𝑇) 𝑓(˜ℎ_𝑡+1,𝑇 |𝑆_𝑡+1 =𝑘, 𝜓_𝑡)

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑗 |𝑆_𝑡+1=𝑘, 𝜓_𝑇] =𝑃 𝑟[𝑆_𝑡 =𝑗 |𝑆_𝑡+1 =𝑘, 𝜓_𝑇]

A equação𝑓(˜ℎ_𝑡+1,𝑇 | 𝑆_𝑡+1 = 𝑘, 𝑆_𝑡 = 𝑗, 𝜓_𝑡) = 𝑓(˜ℎ_𝑡+1,𝑇 | 𝑆_𝑡+1 =𝑘, 𝜓_𝑡)indica que se 𝑆_𝑡+1for conhecido, então𝑦_𝑡+1não terá informações sobre𝑆_𝑡além das contidas em𝑆_𝑡+1e𝜋_𝑡.

Genericamente, podemos escrever o modelo com k defasagens, i.e. um AR(k)com as

(23)

23 probabilidades:

𝑃 𝑟[𝑆𝑡−𝑘+1, ...𝑆_𝑡, 𝑆_𝑡+1 |𝑆_𝑇] = 𝑃 𝑟[𝑆_{𝑡−𝑘+2}, ...𝑆𝑡, 𝑆𝑡+1 |𝑆𝑇]𝑃 𝑟[𝑆_{𝑡−𝑘+1}, ...𝑆𝑡, 𝑆𝑡+1 |𝑆𝑇] 𝑃 𝑟[𝑆𝑡−𝑘+2, ...𝑆_𝑡, 𝑆_𝑡+1 |𝑆_𝑇]

2.4.2 Probabilidades noSteady-Statepara começar o Filtro

M matriz de probabilidades de 1^a Ordem em um processoM-state Markov-Switching pode ser dado por:

𝑃 =

⎡

⎢

⎣

𝑝₁₁ 𝑝₂₁ . . . 𝑝_𝑀1 𝑝₁₂ 𝑝₂₂ . . . 𝑝_𝑀2 ... ... . .. ... 𝑝_1𝑀 𝑝_2𝑀 . . . 𝑝_{𝑀 𝑀}

⎤

⎥

⎦

Com𝑖^′_𝑀𝑃^* =𝑖_𝑀^′ com𝑖_𝑀 = [1 1 . . .1]^′.E𝜋_𝑡um vetor𝑀 𝑥1probabilidades nosteady- state:

𝜋_𝑡=

⎡

⎢

⎣

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡= 1]

𝑃 𝑟[𝑆_𝑡= 2]

... 𝑃 𝑟[𝑆_𝑡=𝑀]

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝜋_1𝑡 𝜋_2𝑡 ... 𝜋_{𝑀 𝑡}

⎤

⎥

⎦

Como:

𝜋_𝑡+1 =𝑃^*𝜋_𝑡 𝜋_𝑡+1 =𝜋_𝑡

⎫

⎪⎬

⎪⎭

(𝐼_𝑀 −𝑃^*)𝜋_𝑡= 0_𝑀

Então:

⎡

⎢

⎣

𝐼_𝑀 −𝑃^* 𝑖^′_𝑀

⎤

⎥

⎦𝜋_𝑡=

⎡

⎢

⎣

0_𝑀 1

⎤

⎥

⎦⇒𝐴𝜋_𝑡=

⎡

⎢

⎣

0_𝑀 1

⎤

⎥

⎦

𝜋_𝑡= (𝐴^′𝐴)⁻¹𝐴^′

⎡

⎢

⎣

0_𝑀 1

⎤

⎥

⎦

(24)

24 2.4.3 Expectativa de duração dos Regimes no modeloMarkov Switching

A partir da diagonal principal da matriz de probabilidade de transições, é possível calcular a duração esperada em cada regime (períodos esperados em que permanecerá em cada regime):

𝐷= 1, 𝑠𝑒 𝑆_𝑡=𝑗 𝑒 𝑆_𝑡+1 ̸=𝑗;𝑃 𝑟[𝐷= 1] = (1−𝑝_𝑗𝑗) 𝐷= 2, 𝑠𝑒 𝑆_𝑡 =𝑆_𝑡+1 =𝑗 𝑒 𝑆_𝑡+2 ̸=𝑗;𝑃 𝑟[𝐷= 2] =𝑝_𝑗𝑗(1−𝑝_𝑗𝑗) 𝐷= 3, 𝑠𝑒 𝑆_𝑡 =𝑆_𝑡+1 =𝑆_𝑡+2 =𝑗 𝑒 𝑆_𝑡+3 ̸=𝑗;𝑃 𝑟[𝐷= 3] =𝑝²_𝑗𝑗(1−𝑝_𝑗𝑗) 𝐷= 4, 𝑠𝑒 𝑆_𝑡 =𝑆_𝑡+1 =𝑆_𝑡+2 =𝑆_𝑡+1 =𝑗 𝑒 𝑆_𝑡+4 ̸=𝑗;𝑃 𝑟[𝐷= 4] =𝑝³_𝑗𝑗(1−𝑝_𝑗𝑗)

...

Então:

𝐸(𝐷) =

∞

∑︁

𝑗=1

𝑗 𝑃 𝑟[𝐷=𝑗]

𝐸(𝐷) = 1𝑃 𝑟[𝐷= 1] + 2𝑃 𝑟[𝐷= 2] + 3𝑃 𝑟[𝐷= 3] + 4𝑃 𝑟[𝐷= 4] +. . . 𝐸(𝐷) = 1𝑃 𝑟[𝑆𝑡+1 ̸=𝑗 |𝑆𝑡 =𝑗] + 2𝑃 𝑟[𝑆𝑡+1=𝑗, 𝑆𝑡+2 ̸=𝑗,|𝑆𝑡=𝑗]

+3𝑃 𝑟[𝑆𝑡+1 =𝑆𝑡+2 =𝑗, 𝑆𝑡+3 ̸=𝑗 |𝑆𝑡 =𝑗]+

4𝑃 𝑟[𝑆𝑡+1 =𝑆𝑡+2 =𝑆𝑡+3 =𝑗, 𝑠𝑡+4 ̸=𝑗 |𝑆𝑡=𝑗] +. . .

𝐸(𝐷) = 1(1−𝑝𝑗𝑗) + 2𝑝𝑗𝑗)(1−𝑝𝑗𝑗) + 3𝑝²_𝑗𝑗(1−𝑝𝑗𝑗) + 4𝑝³_𝑗𝑗(1−𝑝𝑗𝑗) +. . . 𝐸(𝐷) = 1

1−𝑝_𝑗𝑗

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25

3 BASE DE DADOS

Os dados de internações por doenças respiratórias para pessoas com 60 anos ou mais da cidade de São Paulo utilizados neste trabalho foram extraídos do Portal da Saúde - DataSUS², sítio da Governo Federal com dados para o Município de São Paulo. Por meio dele, acessa- mos os dados mensais de internações de janeiro de 2000 a dezembro 2017. Seguem abaixo as estatísticas descritivas da série.

Tabela 1: Estatísticas Descritivas das Internações de Pessoas com mais de 60 anos em São Paulo

Observações 216

Média 1009.8

Erro padrão 15.8

Mediana 1023.0

Desvio padrão 232.3 Variância da amostra 53983.7

Mínimo 428.0

Máximo 1501.0

Fonte: DataSUS Elaboração Própria

Figura 2: Quantidade de internações de pessoas com mais de 60 anos em São Paulo

Ao analisar a série histórica disponível, observamos que há uma quebra estrutural em 2002, levando a uma alteração no nível da série; além de algum problema de falta de dados no final de 2017. Então decidimos trabalhar com os dados mensais entre janeiro de 2003 a dezembro de 2016.

2http://www2.datasus.gov.br/DATASUS/index.php?area=02

(26)

26

4 METODOLOGIA APLICADA

Com o objetivo de modelar as internações por doenças respiratórias de pessoas com mais de 60 anos no município de São Paulo, este trabalho seguiu a metodologia apresentada na revisão bibliográfica q e estimou um modelo GLM com distribuição de Poisson e posterior aplicação do modelo deMarkov-Switchingpara capturar as trocas de regimes. Primeiramente foi estimado um modelo com 2 regimes e como variáveis explicativas a tendência edummies sazonais de mês sendo que o número de hospitalizaçõesℎ𝑜𝑠𝑝_𝑡segue distribuição Poisson com média𝜇_𝑡:

ln(𝜇_𝑡) = 𝛼_𝑆_𝑡+𝛽_1,𝑆_𝑡𝑡+𝛽_2,𝑆_𝑡𝑓 𝑒𝑣𝑒𝑟𝑒𝑖𝑟𝑜+𝛽_3,𝑆_𝑡𝑚𝑎𝑟𝑐𝑜+𝛽_4,𝑆_𝑡𝑎𝑏𝑟𝑖𝑙 +𝛽_5,𝑆_𝑡𝑚𝑎𝑖𝑜+𝛽_6,𝑆_𝑡𝑗𝑢𝑛ℎ𝑜+𝛽_7,𝑆_𝑡𝑗𝑢𝑙ℎ𝑜+𝛽_8,𝑆_𝑡𝑎𝑔𝑜𝑠𝑡𝑜 +𝛽9,𝑆𝑡𝑠𝑒𝑡𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜+𝛽10,𝑆𝑡𝑜𝑢𝑡𝑢𝑏𝑜+𝛽11,𝑆𝑡𝑛𝑜𝑣𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 +𝛽_12,𝑆_𝑡𝑑𝑒𝑧𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜+𝑒_𝑡

Na segunda especificação, foi estimado um modelo com tendência e a defasagem em um período das internações ("hosp").

ln(𝜇_𝑡) =𝛼_𝑆_𝑡 +𝛽_1,𝑆_𝑡𝑡+𝛽_2,𝑆_𝑡ℎ𝑜𝑠𝑝𝑡−1+𝑒_𝑡

Em ambos os modelos, temos que:

⎧

⎨

⎩

𝑡= 1,2, ...𝑇 𝑆_𝑡= 0ou1 𝛽𝑆1 =𝛽0(1−𝑆0) +𝛽1𝑆0

Portanto, sob o regime0o parâmetro estimado será𝛽₀. Analogamente, sob o regime1 o parâmetro estimado será𝛽1. Se as quebras estruturais𝑆𝑡fossem conhecidas, seria apenas um modelo GLM com variáveisdummes. Entretanto, neste caso será preciso estimar𝑆_𝑡, e a função de log-verossimilhança será dada por:

ln𝐿=

𝑇

∑︁

𝑡=1

ln(𝑓(𝑦_𝑡 |𝑆_𝑡))

𝑓(𝑦_𝑡 |𝑆_𝑡) = 𝑒^−𝑒^{𝑥𝑡𝛽𝑆𝑡}^(︁𝑒^𝑥^𝑡^𝛽^𝑆𝑡^)︁^𝑦 𝑦!

(27)

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5 RESULTADOS

Neste estudo foi estimado um modeloMarkov Switching considerando a variável explicada de internações com distribuição de Poisson. Apresentaremos a seguir os resultados para 2 especificações do modelo, o primeiro com tendência e efeitos sazonais mensais, e o segundo com parâmetro autoregressivo além da tendência.

5.1 Modelo com efeitos sazonais mensais

Nesta primeira subsecção, são apresentados os resultados para os modelos que possuem como varáveis explicativas: a tendência e as 11 dummiesde mês. O modelo tem como base o mês de janeiro, foi retira adummyreferente a este mês para não incorrer em problema de multicoliaridade.

Os resultados resumidos³são apresentados na tabela 2, na primeira coluna estão as estimativas do modelo GLM com distribuição de Poisson; na segunda coluna estão os resultados para o primeiro regime do modelo de Markov Switching; e na terceira coluna os estimadores para o segundo regime. Para cada variável temos o valor do coeficiente em cima, e entre parên- teses o erro padrão. No final da tabela, são apresentados os valores do Critério de Informação de Akaike (AIC).

3Os resultados completos da estimação estão presentes no Anexo.

(28)

28 Tabela 2: Resultados para Estimativas com Efeitos Sazonais

GLM Markov Switching

Regime 1 Regime 2 Intercept 6,640*** 6,620*** 6,895***

(0,011) (0,012) (0,031)

trend 0,002*** 0,002*** 0,002***

(0,000) (0,000) (0,000)

fevereiro -0,064*** 0,034. -0,409.

(0,013) (0,018) (0,033)

março 0,103*** 0,079*** 0,086*

(0,012) (0,013) (0,034)

abril 0,131*** 0,258*** -0,177***

(0,012) (0,017) (0,030)

maio 0,240*** 0,318*** -0,079*

(0,012) (0,015) (0,031)

junho 0,256*** 0,324*** -0,079*

(0,012) (0,014) (0,032)

julho 0,253*** 0,218*** 0,067*

(0,012) (0,015) (0,031)

agosto 0,225*** 0,221*** 0,067*

(0,012) (0,013) (0,033)

setembro 0,133*** 0,198*** -0,174***

(0,012) (0,018) (0,032)

outubro 0,104*** 0,098*** -0,082*

(0,012) (0,015) (0,037)

novembro 0,018 0,137*** -0,301***

(0,012) (0,017) (0,030)

dezembro 0,003 -0,003 -0,131**

(0,012) (0,015) (0,043)

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 GLM Markov Switching

AIC 2697 2082

É interessante notar na tabela 2 que os coeficientes das dummies para os meses de novembro e dezembro não apresentam significância estatística no modelo GLM, entretanto se tornam significantes no modelo deMarkov Switching. Assim como o esperado, o modeloMar- kov Switchingapresenta um valor para a estatística AIC menor que o modelo GLM.

Na figura 3, é possível comparar os dados da série original de internações com a série estimada pelo modelo GLM com distribuição de Poisson. Podemos observar que o modelo, conforme o esperado, capta os movimentos de tendência e sazonalidade propostos pela especi- ficação.

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Figura 3: Quantidade de internações x Série estimada pelo modelo GLM com efeitos sazonais

Enquanto na figura 4 apresentamos a série de internações em contraste com o regime 1 na região escura; sendo assim, a região clara corresponde ao regime 2.

Figura 4: Quantidade de internações em relação ao Regime 1 (estimado pelo modeloMarkov Switching com efeitos sazonais)

A tabela 3 apresenta a matriz de transição entre regimes: na coluna observa-se o regime inicial, e as linhas indicam as probabilidades de manter o mesmo regime ou trocar para outro.

Ou seja, o quando a série esta no primeiro regime, ela tem chance 0.55 de permanecer neste regime, contra 0.45 de trocar de regime.

Tabela 3: Matriz de Probabilidades de Transição no modeloMarkov Switchingcom efeitos sazonais Transition probabilities:

Regime 1 Regime 2

Regime 1 0.55 0.74

Regime 2 0.45 0.26

(30)

30 Já a figura 5 apresenta os gráficos de probabilidade suavizada para cada um dos regimes. Neste caso, como são apenas 2 regimes, as probabilidades são complementares.

Figura 5: Probabilidades Suavizadas pelo modeloMarkov Switchingcom efeitos sazonais

Tanto a tabela 3 quanto a figura 5 indicam que os regimes não são tão bem identi- ficados, pois as probabilidades de permanecer no mesmo regime são baixas e há frequentes alterações de regimes.

5.2 Modelo com parâmetro autoregressivo

Este subsecção terá como foco os modelos que possuem como varáveis explicativas: a tendência e o parâmetro autoregressivo. Assim como nos na subsecção anterior, serão apresentados os resultados resumidos⁴na tabela 4. Na primeira coluna estão as estimativas do modelo GLM com distribuição de Poisson; na segunda coluna estão os resultados para o primeiro regime do modelo de Markov Switching; e na terceira coluna os estimadores para o segundo regime. Para cada variável temos o valor do coeficiente em cima, e entre parênteses o erro padrão. No final da tabela, são apresentados os valores do Critério de Informação de Akaike (AIC).

Analisando a tabela 4, é interessante notar que as variáveis de tendência e a defasagem das internações possuem coeficientes bem próximos tanto no GLM como noMarkov Switching.

E conforme o esperado, o modeloMarkov Switchingapresenta um valor para a estatística AIC menor que o modelo GLM.

4Os resultados completos da estimação estão presentes no Anexo.

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31 Tabela 4: Resultados para Estimativas com parâmetro autoregressivo

GLM Markov Switching

Regime 1 Regime 2 Intercept 6,270*** 6,212*** 6,555***

(0,015) (0,021) (0,029)

trend 0,001*** 0,001*** 0,001***

(0,000) (0,000) (0,000)

hosp(-1) 0,001*** 0,001*** 0,000

(0,000) (0,000) (0,000)

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 GLM Markov Switching

AIC 3393 2370

A figura 6 apresenta os dados da série original de internações com a série estimada pelo modelo GLM com distribuição de Poisson.

Figura 6: Quantidade de internações x Série estimada pelo modelo GLM com AR(1)

Enquanto na figura 7 apresentamos a série de internações em contraste com o regime 1 na região escura; sendo assim, a região clara corresponde ao regime 2. Em comparação com o modeloMarkov Switchingcom efeitos sazonais, este modelo apresenta menos transições entre os regimes, indicando uma maior estabilidade e uma melhor identificação.

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Figura 7: Quantidade de internações em relação ao Regime 1 (estimado pelo modeloMarkov Switching com AR(1))

A tabela 5 apresenta a matriz de probabilidades de transição entre regimes: conforme o esperado, o regime 1 apresenta uma maior estabilidade, pois possui 0.73 de chance de permanecer neste regime; justificando a figura 7.

Tabela 5: Matriz de Probabilidades de Transição no modeloMarkov Switchingcom AR(1) Transition probabilities:

Regime 1 Regime 2

Regime 1 0.73 0.53

Regime 2 0.27 0.47

A figura 8 apresenta os gráficos de probabilidade suavizada para cada um dos regimes.

É interessante notar que há um predomínio do regime 1, que é explicado pelas probabilidades de transição da tabela 5. Na tabela vemos que independente do regime a série possui uma maior probabilidade de permanecer/ou mudar para o regime 1 Neste caso, como são apenas 2 regimes, as probabilidades são complementares.

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Figura 8: Probabilidades Suavizadas pelo modeloMarkov Switchingcom AR(1)