Resposta em frequência

(1)

Resposta em frequência

Guilherme Luiz Moritz ¹

1

DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná

04 de 2013

(2)

Objetivos

Entender o conceito de resposta em frequência

Saber interpretar alguns tipos de gráficos de resposta em frequência

Saber traçar o Diagrama de Bode

Moritz, G.L. Resposta em frequência

(3)

Introdução

Resposta em frequência

Resposta em regime estacionário de um sistema

submetido a um sinal senoidal. (Nyquist, 1932. Bode,

1945. Evans, 1953)

(4)

Metodologia

Varia-se a frequência de um sinal senoidal de entrada e estuda-se os efeitos resultantes.

O sinal variará em amplitude e fase.

Vantagens:

Análise de estabilidade através do critério de Nyquist Determinação experimental de funções de transferência via análise da resposta em frequência

Projetos de sistemas de controle robusto a presença de ruído

(5)

Resposta em regime permanente

Considere o seguinte sistema:

A função de transferência é:

G(s) = Y (s)

X (s) (1)

(6)

Resposta em regime permanente

Num sistema estável, se a entrada for:

x (t) = Xsen(ωt) (2)

a saída será:

y(t) = Ysen(ωt + φ) (3)

com

Y = X |G(jω)| (4)

(7)

Resposta em regime permanente

Neste caso, o ângulo da função de transferência é:

φ = ∠ G(jω) = arctg

Imag(G(jω)) Real(G(jω))

(5)

(8)

Resumindo

|G(jω)| = |Y (jω)|

|X (jω)| (6)

e

∠ G(jω) = ∠ Y (jω)

X (jω) (7)

Desta maneira, para determinar-se a resposta em frequência, deve-se calcular:

G(jω) = Y (jω)

X (jω) (8)

(fazer s = jω na função de transferência)

(9)

Definições

Atraso de fase: valor negativo de fase

Avanço de fase: valor positivo de fase

(10)

Tipos de gráficos

Podemos traçar um gráfico representando a resposta em frequência. Três diagramas são comumente utilizados:

Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist

Diagrama de resposta logaritmica vs ângulo de fase (Nichols)

(11)

Diagrama de Bode

Apresenta dois gráficos (em função de log(ω)):

Primeiro gráfico: Magnitude (logarítmica) → M _dB (ω) = 20log|G(jω)|

Segundo gráfico: Fase → φ(ω) = ∠ G(jω)

(12)

Exemplo

Determinar as expressões analíticas de magnitude e fase da resposta de frequencia de:

G(S) = 1

(s + 2)(s + 4) (9)

(13)

Exemplo

M(ω) = 1

p (8 − ω ² ) + (6ω) ² (10)

φ =







−arctg

6ω 8−ω

²

se ω < √ 8

− h

π + arctg

6ω 8−ω

²

i

se ω > √

8 (11)

(14)

Exemplo

−80

−60

−40

−20

Magnitude (dB)

10

⁻²

10

⁻¹

10

⁰

10

¹

10

²

−180

−135

−90

−45 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

(15)

Vantagens de utilizar-se a escala logarítmica

O gráfico de magnitude tem uma contribuição para cada pólo e zero, no caso de utilizarmos logaritmos, elas se somam.

G(s) = K (s + z ₁ )(s + z ₂ ) · · · (s + z _k )

s ^m (s + p ₁ )(s + p ₂ ) · · · (s + p _k ) (12)

|G(jω)| = K |(s + z ₁ )| |(s + z ₂ )| · · · |(s + z _k )|

|s ^m | |(s + p ₁ )| |(s + p ₂ )| · · · |(s + p _k )|

_s=jω

(13)

Basta estudar o efeito de cada termo na contribuição total

de magnitude e fase

(16)

Ganho K

Magnitudes maiores que 1 possuem valores positivos em dB

Magnitudes menores que 1 possuem valores negativos em dB

G(jω) = 20log(K )

∠ G(jω) = 0

(17)

Fatores integrativos

20log| _jω ¹ |= −20log(ω) dB;

∠

1 jω

= −90 ^o

Uma oitava é o intervalo de frequência entre ω ₁ e 2ω ₁ , sendo qualquer ω ₁

Uma década é o intervalo de frequência entre ω ₁ e 10ω ₁

A inclinação da reta é −20dB por década com ganho 0 em

ω = 1

(18)

Fatores derivativos

20log|jω|= 20log(ω) dB;

∠ (jω) = 90 ^o

A inclinação da reta é 20dB por década.

E se houver mais de um termo?

20log|(jω) ⁿ |= n20log(ω) (14)

(19)

Resumo gráfico

(20)

Termos de primeira ordem

20log| _1+jωT ¹ |= −20log( √

1 + ω ² T ² ) dB;

ω << _T ¹ :

−20log( p

1 + ω ² T ² ) = −20log(1) = 0 (15) ω >> _T ¹ :

−20log( p

1 + ω ² T ² ) = −20log(ωT ) = 0 (16) Duas retas:

0dB → 0 < ω < _T ¹

−20dB/dec → _T ¹ < ω < ∞

(21)

Termos de primeira ordem

Magnitude de _1+jωT ¹ 20log| _1+jωT ¹ |= −20log( √

1 + ω ² T ² ) dB;

ω << _T ¹ :

−20log( p

1 + ω ² T ² ) = −20log(1) = 0 (17) ω >> _T ¹ :

−20log( p

1 + ω ² T ² ) = −20log(ωT ) = 0 (18) Duas retas:

0dB → 0 < ω < ¹

(22)

Termos de primeira ordem

Fase de _1+jωT ¹

ω = 0 ^o → φ = 0

ω = _T ¹ → φ = arctan(1) = −45 ^o ω = ∞ → φ = −90 ^o

Três retas:

0 ^o → 0 < ω < _T ¹

−45 ^o /dec → _10T ¹ < ω < 10T

−90 ^o → 10T < ω < ∞

(23)

Resumo gráfico

(24)

Termos de primeira ordem - erros

Fizemos aproximações assintóticas para ω << _T ¹ e _T ¹ << ω.

E quando a aproximação não valer?

O valor máximo do erro é aproximadamente 3dB

(25)

Termos de primeira ordem - zeros

Mesma análise para os pólos, mas com sinal trocado:

(26)

Termos quadráticos

Termo na forma:

1 1 + 2ζ(j _ω ^ω

n

) + (j _ω ^ω

n

) ² (19)

Cuja resposta em frequência é:

−20log

1 1 + 2ζ(j

_ω^ω

n

) + (j

_ω^ω

n

)

²

= −20log s

1 − ω

²

ω

_n²

2

+

2ζ ω ω

_n

2

(20) ω << ω

_n

:

−20log(1) = 0 (21) A assíntota de baixa frequência é uma reta em 0dB

(27)

Termos quadráticos

Resposta em frequência (novamente):

−20log

1 1 + 2ζ(j

_ω^ω

n

) + (j

_ω^ω

n

)

²

= −20log s

1 − ω

²

ω

_n²

2

+

2ζ ω ω

_n

2

(22) ω >> ω

_n

:

−20log( ω

²

ω

_n²

) = −40log( ω

ω

_n

) (23)

A assíntota de alta frequência é uma reta com inclinação

de 40dB/decada

(28)

Termos quadráticos

A fase é:

φ = ∠ 1

1 + 2ζ(j _ω ^ω

n

) + (j _ω ^ω

n

) ² = −arctg







2ζ _ω ^ω

n

1 −

ω ω

n

2 



 (24)

(29)

Resposta de termos quadráticos

(30)

Termos quadráticos - Erro

Observa-se que o erro assintótico torna-se elevado quando o coeficiente de amortecimento é baixo.

Soluções:

Utilizar tabelas de correção

Utilizar computador para traçar o diagrama

(31)

Sumário das assíntotas

(32)

Exemplo 1

Esboce o diagrama de bode para a seguinte função de transferência:

G(s) = 100 (s + 1)

(s + 10) = 10 s + 1

( ₁₀ ^s + 1) (25)

(33)

Exemplo

(34)

Exemplo

20 25 30 35 40

Magnitude (dB)

10

⁻²

10

⁻¹

10

⁰

10

¹

10

²

10

³

0 30 60

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

(35)

Exemplo 2

Esboce o diagrama de bode para a seguinte função de transferência:

G(s) = 200 (s + 1)

(s + 10) ² (26)

(36)

Exemplo 2

(37)

Exemplo 2

−10 0 10 20

Magnitude (dB)

−45 0 45

Phase (deg)

Bode Diagram

(38)

Análise de estabilidade

K G(S)

+-

U(S) Y(S)

H(S)

A análise de estabilidade deve avaliar o ganho quando a fase é −180 ^o (inversão de fase)

Ganhos maiores que 1 indicam instabilidade!

(39)

Margens do sistema

Margem de Ganho:

Quanto de ganho que pode ser adicionado ao sistema para que ele continue estável.

Margem de Fase:

Quanto de fase falta

para levar um ganho

positivo a 180 ^o

(40)

Exemplo 3

Determine as margens de fase e ganho para o sistema

G(s) = 1000k

(s + 1)(s + 10)(s + 100) (27)

(41)

Exemplo 3

−150

−100

−50 0

Magnitude (dB)

−225

−180

−135

−90

−45 0

Phase (deg)

Bode Diagram

(42)

Margens do sistema

Margem de Ganho:

Quanto de ganho que pode ser adicionado ao sistema para que ele continue estável.

Margem de Fase:

Quanto de fase falta para levar um ganho positivo a 180 ^o

(43)

Resposta em frequência

Resposta em frequência

Guilherme Luiz Moritz 1

DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná

04 de 2013

Objetivos

Entender o conceito de resposta em frequência

Saber interpretar alguns tipos de gráficos de resposta em frequência

Saber traçar o Diagrama de Bode

Introdução

Resposta em frequência

Resposta em regime estacionário de um sistema

submetido a um sinal senoidal. (Nyquist, 1932. Bode,

1945. Evans, 1953)

Metodologia

Varia-se a frequência de um sinal senoidal de entrada e estuda-se os efeitos resultantes.

O sinal variará em amplitude e fase.

Vantagens:

Análise de estabilidade através do critério de Nyquist Determinação experimental de funções de transferência via análise da resposta em frequência

Projetos de sistemas de controle robusto a presença de ruído

Resposta em regime permanente

Considere o seguinte sistema:

A função de transferência é:

G(s) = Y (s)

X (s) (1)

Resposta em regime permanente

Num sistema estável, se a entrada for:

x (t) = Xsen(ωt) (2)

a saída será:

y(t) = Ysen(ωt + φ) (3)

com

Y = X |G(jω)| (4)

Resposta em regime permanente

Neste caso, o ângulo da função de transferência é:

φ = ∠ G(jω) = arctg

Imag(G(jω)) Real(G(jω))

(5)

Resumindo

|G(jω)| = |Y (jω)|

|X (jω)| (6)

e

∠ G(jω) = ∠ Y (jω)

X (jω) (7)

Desta maneira, para determinar-se a resposta em frequência, deve-se calcular:

G(jω) = Y (jω)

X (jω) (8)

(fazer s = jω na função de transferência)

Definições

Atraso de fase: valor negativo de fase

Avanço de fase: valor positivo de fase

Tipos de gráficos

Podemos traçar um gráfico representando a resposta em frequência. Três diagramas são comumente utilizados:

Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist

Diagrama de resposta logaritmica vs ângulo de fase (Nichols)

Diagrama de Bode

Apresenta dois gráficos (em função de log(ω)):

Primeiro gráfico: Magnitude (logarítmica) → M dB (ω) = 20log|G(jω)|

Segundo gráfico: Fase → φ(ω) = ∠ G(jω)

Exemplo

Determinar as expressões analíticas de magnitude e fase da resposta de frequencia de:

G(S) = 1

(s + 2)(s + 4) (9)

Exemplo

M(ω) = 1

p (8 − ω 2 ) + (6ω) 2 (10)

φ =







−arctg

6ω 8−ω

se ω < √ 8

− h

π + arctg

6ω 8−ω

i

se ω > √

8 (11)

Exemplo

−80

Guilherme Luiz Moritz ¹

Primeiro gráfico: Magnitude (logarítmica) → M _dB (ω) = 20log|G(jω)|

p (8 − ω ² ) + (6ω) ² (10)

G(s) = K (s + z ₁ )(s + z ₂ ) · · · (s + z _k )

s ^m (s + p ₁ )(s + p ₂ ) · · · (s + p _k ) (12)

|G(jω)| = K |(s + z ₁ )| |(s + z ₂ )| · · · |(s + z _k )|

|s ^m | |(s + p ₁ )| |(s + p ₂ )| · · · |(s + p _k )|

_s=jω

20log| _jω ¹ |= −20log(ω) dB;

= −90 ^o

Uma oitava é o intervalo de frequência entre ω ₁ e 2ω ₁ , sendo qualquer ω ₁

Uma década é o intervalo de frequência entre ω ₁ e 10ω ₁

∠ (jω) = 90 ^o

20log|(jω) ⁿ |= n20log(ω) (14)

20log| _1+jωT ¹ |= −20log( √

1 + ω ² T ² ) dB;

ω << _T ¹ :

1 + ω ² T ² ) = −20log(1) = 0 (15) ω >> _T ¹ :

1 + ω ² T ² ) = −20log(ωT ) = 0 (16) Duas retas:

0dB → 0 < ω < _T ¹

−20dB/dec → _T ¹ < ω < ∞

Magnitude de _1+jωT ¹ 20log| _1+jωT ¹ |= −20log( √

1 + ω ² T ² ) dB;

ω << _T ¹ :

1 + ω ² T ² ) = −20log(1) = 0 (17) ω >> _T ¹ :

1 + ω ² T ² ) = −20log(ωT ) = 0 (18) Duas retas:

0dB → 0 < ω < ¹

Fase de _1+jωT ¹

ω = 0 ^o → φ = 0

ω = _T ¹ → φ = arctan(1) = −45 ^o ω = ∞ → φ = −90 ^o