fadding and Subtracting Polynomials Add (-Ox3 +4x2 2x 7)+(7x2 x 4) x 4 3x (-4y2 Subtract (8y2 + 4y3 + 2y) =8y2+4y3+2y+4y2 3y4+ 8y) Add or subtract.

• fAdding and Subtracting Polynomials

Add or subtract.

1. (4ã5—2a3)+(2a3—7a÷3) 2.

14)

(5x6+ 5x3+

3.

19x

18)

(-8x2— i4x— 11) 4. (13x5÷ 12x4— 12x3)

(12x6+ 20x4÷ 16x)

5. (-15x2—5x

10)

(16x2÷ 4x— 11)

(-19x2+ 19x—20) 6. (17x2÷ 18x

4)—(10x2÷ 15x

6)

7. (15x2+ lix

10)— (-14x2+ 7x —4)

8. (-13x6÷ i8x5+ 7x4+ i4x2 —8x)

(-14x7+ i9x2— ii) 9. (4x2+ Sx

8)—(12x2+ 19x

13)

10. Subtract-20x4—6x3+ 17 from 15x7+ 12x5—8x

3.

x—4)

—x—4 Add

. =-6x3+4x2—2x+7+7x2

= -6x +

11x2

3x

3

Subtract

(8y2

4y3

2y)

(-4y2

3y4

=8y2+4y3+2y+4y2—3y4+

= -3y +

4y3

12y2

iCy

—

8y) 8y

7x2)

I;

1::

1;

p.

Properties of Exponents

1

ax

Algebra II Grades 6—8—RBPO83O

(aj” = ax . = a

(ab)X =

= a

(

1

ax

(2x -s

‘3’ ^3-3

33

23x3

27 8x3 Simplify. Write answers with

1.

positive exponents.

(x2)3 2. ^{( X}

‘yI

3. a3• a5 4. w-s

5. (2b)4 6. b3

b5

7. (3d5)2 8. 2 ^-i

9. 1

m14 10. k3’

k5

Multiply or divide.

1. (-6x)(lOx ⁺ 6)

2. 4x2(10x3— 12x2— x ^{+ 8)}

3. (-5x ^— 4)(-3x)

• ‘1

._-. 4 I

j$J.

4. -9x3(-6x2 ⁺ 10)

5. -x(9x2 + 3x ^— 5)

6. (4x1° ÷ 6x6 ÷ 8x3) ÷4x3

7. (-30x’2 ^— 35x9 ⁺ 45x2) ÷ lOx2

8. (8x° ^— 8x7— 48x4) ÷ 16x

9. (-18x12 ⁺ 27x1’ ^— 6x5+ 21x3) ÷ 9x3

10. (33x6—44x5+ 44x4-i- 99x3÷ 34x2) ÷ 11x3

-

©i3P 3r&%

Multiplying and Dividing Monomials

Multiply -3x2(-6x2÷ 2x ^— 11)

= (-3)(-6)x22 ^{+ (-3)(2)x21 +} (-3)(-l 1 )x2

= 18x4 —6x3 ⁺ 33x2

Divide lOx1’ ^— 25x5+ lSx lOx’12 ^{— 25_2 +} 15x12

lOx2 10 10 10

x9 ^— x3 +

2 2

www.summerbridgeactivfties.com

—S -.

—

Multiplying Polynomials

Multiply.

1. (2x+7)(8x—7)

c—I

4. (10x— 12x3+ 4)(4x2 —4x÷2) (-7x2÷ 3x ^— 7)(-8x ÷ 10)

= (7x2)(8x) + (-7x2)V0) + (3x)(-8x) + (3x)(10) + (-7)(-8x) + (-7)(10)

.1

= 56x3 —70x2 ^— 24x2 ÷ 30x +

= 56x3 ^— 94x2 + 86x ^— 70

56x ^— 70

2. (-lOx4 ^— 7x2)(4x —4)

3. (-4x2—3x— 11)(12x—2)

1.;

6. (4x4 + 7x3)(-1 lx ÷ 4)

1’ I

8. (-10x2+ 12x + 9)(-10x2 ^— 5x ^— 10)

Aloebra II Grades 6—8—RBPOS3O

jvidi Polynomials

Divide.

(x—3) (2x3 + 7x2

2x+ 1)2x -(2x

1x2 2.

1.

3.

+ 7x2—x

+ 1x2)

— x ^— 4) ÷ (2x + 1) 2x + i) 2x3 +

—4

1 x2 ÷ 3x 7x2— x—4

6x2 ^—x

1x2÷3x

+ 1x2) 6x2— x

, -(6x2+3x) -4x—4

—2 2x+1)2x3+ 7x2—x—4

+ 1x2)

2 2x+1

6x2^— x -(6x2 + 3x)

-4x—4

w -(-4x_—_2) -2

1. (-3x3 1 5x2 ÷ 108x) (x 4)

2. (-x3 ^— 8x2 ^— 16x) (x+ 4)

3. (4x3 + 7x2 14x + 6) (4x

4.

1)

(-2x3 42x2 ^— 21 6x) (x+

5.

12)

(-3x3 + 3x2 + 18x + 5)

www.summerbridgeadivities.co.rn

=—;•-

fcreatest Common Factor

1X0J8

5. 4d3—4ad+4a2

-i

9x3y5 ^— 1 5x2y3 ^— 1 2xy4 = 3xy3(3x2y2 ^— 5x ^— 4y)

Check: 3xy3(3x2y2) + 3xy3(-Sx) ÷ 3xy3(-4y) = 9x3y5 ^— 1 5x2y3 ^— 12xy4

I

-t - -----

Factor. Check your answer.

1. 3a2+3a—6

2. 2y4÷14y3

3. 4b3—8b2÷16b /

4. 30e2 ^— 1 2ef + 6e2f2

6. 28w3x + 8w4x

7. 12r6 + 8r7 ^— 32r8 + 36r9

8. 1 Ocde + 2Ocef ^— 3Oceg

I

Pr

Aicebra II Cradec 6—R—RRPORO

jactoriis

Factor. Check your answer.

1. x2—2x—63

2. x2 ^— lOx + 25

3. x2÷2x÷1

4. 2x2—5x—3

5. 8x2—6x—9

6. 3x2÷lOx—8

7. 12x2÷23x+lO

6x2 + 23x + 20

6x2—x— 12

Check:

= (2x ^— 3)(3x + 4)

(2x)(Sx) + (2x)(4) + (-3)(3x) + (-3)(4)

= 6x2 ÷ 8x ^— 9x 12

= 6x2 ^— x ^— 12

4;’

ii

4,.

r

I----

1. x3—5x2—36x

2. 3x2—24x—144

3. -4x3 + 64x2 ^— 256x,

4. 3x3 ^— 6x2 ^— 144x

5. x3—3x2—88x

6. -3x3 + 45x2 ^— 1 50x

7. 6x ^— 54x3 ^— 60x2

8. 2x5 ^— 46x4 + 264x3

15

Algebra II Grades 6—8—RBPOS3O

Factoring Trinomials

a

I

L

I

3x3 + 1 5x2 + 1 8x

= 3x(x2 + 5x ÷ 6)

= 3x(x + 2)(x + 3)

Factor.

8. 64— 125x3

10. 2y4—128y

j

Factoring Binomials

Ii

Difference of Squares

= (A+B)(A—B)

Difference of Cubes A3—B3

4x2—9y4

Sum of Cubes A3-i-B3

= (2x÷3y2)(2x—3y2)

= (A—B)(A2+AB÷B2) ⁼ (A+B)(A2—AB÷B2)

x3—8b6

= (x—2b2)(x2+2ab÷4b4) ⁼ (c3+d2)(c°—c3d2+d4)

Factor.

1. x2—121

3. 81y4—64x2y2

5. b3c6—1

2. 4x2—81

4. a3÷27

6. 27z3+1

7. 1 25c6 ^— 8d9

9.

wwwsumrnitbddgeattivities.com

1

[ jMuItipIying Rational ExPressionkL

3xy2 ^• 2z3 ⁼ 6xy2z3 ⁼

4z

ö22

x2+Sx+15 •4x_3..jx+3)(x÷5)(4xe3)(x+3)(x÷5) 8x2—lOx+3 x+7 (2x1)(4xei)(x+7) (2x—1)(x+7)

Reduce your answer to lowest terms.

1. 6x •]y..

y3z2 3x3

2. 8m5n ^• l5mp 5p2 24m2n4 ^-

3. 48f5 ^• 1 8f6 84f3 48f3

4. w÷3w+2

w2—4 w2—9

5. f2—81 f2—13f+40

f2÷8f—9 -7f4÷56f3

6. -8d3+ 16d ^• 3d2—3d -4d 15d3— 15d2

Algebra II Grades 6—8—RBPOB3O

Dividing Rational Expressions

5x3

6. x6

— 2x6 lOx + 20

20

-3x3 ^— 3x2

+ 2x + 1

4c2d 8cd2 ⁼ 4c2d ^• 15e ^— 6Oc2de ⁼ 3c 5e3 15e 5e3 8cd2 ^— 40cd2e3 2de2

y—2 5y2

y+7 ⁼ 5y2 by ⁼ 5y2 •y—2 ⁼ 5y3—10y2 = y(y—2)

lOy y÷7 y—2 y÷7 lay 10y2÷70y 2(y+7)

Divide. Reduce your answer to lowest terms.

1. Sx y3z2

2. 14m3n 3p2

3. 16y5 36y3

.7m 24p4

4.

‘Ii

4. x2—81

+ 7x —18

5. .4—5

1 Sf + 45 t +8f÷152

35

www.summerbridgeactivities.com

i

.fngandSubtractig

p ^-A

Rational Expressions

* To add or subtract rational expressions, you must find the least common denominator.

Add or subtract. Simplify if possible.

1/

t7a 6a

3 12

2. 8h 3h

8 32

Algebra Ii Grades 6—8—RBPOS3O

I L

..±.7+2e TheLCD=10e3 .A2..i7+2e)

5e3 be 5e3 2 be

8 -7e2—2e3 -2e3—7e2÷8

be be be

3. 4 q

6 h

4. 4d—36d—6

8 24

5. -3d ⁺ 8 ^— 6d

6d ^— 6 1 8d2

6. 7d 5

6d 20

7. 5e÷4 Sf ÷ 5

3e 1 Of ⁺ 10

8. -5c + 2 9c+6

Sc ÷ 7 36c2 + 24c

_SoMng Equations with Rational Expressions

___ ___ ___

3 2y 5

y—2 4y y+2 y—2 -(y—2)(y+2) y+2 3(y÷2) + -2y ⁼ 5(y—2) (y—2)(y÷2) (y—2)(y÷2) (y+2)(y—2) 3(y÷2)—2y=5(y—2)

3y + 6— 2y ⁼ 5y— 10 y + 6 ⁼ 5y— 10

16 ₌ 4.y y=4

Solve. Check your solution(s).

1. x 2÷3 2.

10 5 8 y y

3. a-2 2 4. 144

a—4 ^— a—4 2 9x ^— 9 6x

I

5. x x x+3 6. 5 1 2

= = 2 +

x÷2 x—4 x+2 c÷3 4c —36 c—3

Jc ^I..

www.summerbridgeactivities.com

Simplify.

1. j4g4d3 2.4fT

‘416

3. J49bek 4.

Wi

5. ^-

RJi

7. -1J81m1j

6. ^,j2OOkh1

8 41/625e4

‘41296

10. SJ8(y—2)6

Simplifying Radicals

34f( -64

‘4’ 125

I

J48a3bc

—

_____

— ;j5.5.5 -4

5

= 4J2.2.2.2.3’a3’b4.b.’c

= 2bJ3a3bc

. a/-27f

‘I 8f6

Algebra II Grades 6—8—RBPO83O

_________________________

___________________________

--:--:

E--i

—--— F—-- ------ C--- to

p

I 51 ‘-<I +

.3 V +

to >‘: + to -J + It x

-1, -L 03 —03 -LI

-L ml (A)

C’) + -L .L1

& 01 to 63 -osi + (A) —‘(4) 0I

u:

I

++i.a_ _toM + IGD oil

rJ + —ii 01 0)

—0)

V.’ C C I-f - 0) n ^I-f 0)

2:

CD x>< + GD x

+ . to x —‘4L

—-—

________________ [1 91-J -L + Cr’

‘1, 3 0 -I, IIIIII +o

al NJ

-r’jI ‘<ICDI —ilcal ‘<I + N)’ —I

z I

‘<

o

0) -L 0 •< Ga 9,

II

0)

a n

x I

+

II N)

x

a)

x

aN) +CA) -)N) -L

N)

ii ii

CD, C . N) E•.

- :v-T’tt:TT’.::r’” 13C a (D

a

D a U, B 0 -h

I

4 41

VI I’) C,)

0)

F’) 0 C?) IL H-i -L C.) C.)

Solving Equations with Radicals

Solve. Check your solution.

I

I

I

1.

3. g2x—3=4

5.

7. J3x÷1=-q2x+6

2.

4. -?J7=-2

6. J2y÷1+5=O

8. 3+-Jy—6=

©

U1W

3 5

2

()3

Check:

(2)

3

2x

+3qi

8

5 3

x=4

+ 2

3 +2=5w’

I

Algebra II Grades 6—8—R8P0830

rational exponents.

Jationafponents

RJ=

V?

/4 2r

= (2a)3 ^{)5f2 = (7S)5/2} 2r

N

= a’12

=

b1”4

— a116

Simplify. Rewrite with positive,

1. 2. ^qxy2z3

3. (3a ^-3f5

‘4b’ 4.

/

5. ^{21/4 • 22’5} 6. ^{xl” x3/7}

7 ^{. p5/4} 8.

9. c415 d5’9

cThO d1”6 10.

Sj bJxy

www4summerbridgeactMties.com

Jnser Pages

Page 10 1. -60x2—36x 2. 40x3 ^—48x4 ^— 4x3 3. 15x2 ÷ 12x 4. 54x5^— 90x3

3 2

5.-9x —3x ÷5x

6. ^{+ +} 2

10 7 7 9

7.-Sx —--x _+- 8. x9^{— —} 3x3 9. -2x9 + 3x° — +

+

3 2 34

10.3x —4x +4x÷9+—

lix Page 11

1. 16x2+ 42x—49

5 4 3 2

2.-40x +40x —28x ÷28x 3. -48x3— 28x2— 126x ⁺ 22 4. 40x6— 88x5⁺ 68x4^—24x3+

5. -24x+72 6.

7.

8.

Page 12

1. -3x2—27x 2. -x2—4x

3.x2÷2x—3÷ 3 4x — 1 4. -2x —i8x2

3. 4b(b2— 2b ⁺ 4) 4. 6e(5e ^— 2f + e12) 5. 4(d3— ad ^{+ 22)} 6. 4w3x(7 ⁺ 2w) 7.4r6(3 ⁺ 2r—8r2+

1. x(x—9)(x ⁺ 4) 3. -4x(x ^— 8)(x ^— 8) 5. x(x ⁺ 8)(x — ii) 7. 6x2(x ^— lO)(x ⁺ 1) Page 16

1. (x— ii)(x ⁺ 11) 2. (2x ^—9)(2x + 9)

2 2

3. (9y ^{— 8xy)(9y + Sxy)} 4. (a ⁺ 3)(a2— 3a + 9) 5. (bc2— i)(b2c’ ⁺ bc2 ⁺ 1) 6. (Sz ⁺ 1 )(9z2 ^—3z + 1) 7. (5c2 ^— 2d3)(25c4 + 1 0c2d3 8. (4— 5x)(l 6 ⁺ 20x + 25x2) 9.(4--m)(4-÷m)

10. 2y(y—4)(y2÷4y+ 16) Page 17

22 2.m’4

xyz np

3. 3f5 14

1•

5. -3x2— 6x ÷

______

x—3 Page 8

1.4a5—7a+3

6 5 3 2

2.5x —4x +5x —6x —14 3.-l9x2÷5x+7

4. 1 2x6+ 1 3x5⁺ 32x4— 1 2x3+ 1 6x 5.-18x2+i8x—2i

6.7x ÷3x—22

7. 29x2 ⁺ 4x ⁺ 14 8. 14x7— 13x6+ i8x5

Page 13

1.3(a ÷a—2)2

2. 2y3(y ⁺ 7)

9.-Ax2 —14x —5

10. 15x7+ 12x5÷ 20x4 ⁺ 6x3— 8x— 14 Page 9

1. x6

6. 1

3. aa 2. -r

y 7.

4. 1

-3w

+ 7x4— 5x2— Ax ⁺ 11

9 r3) 8. 1 Oce(d ⁺ 2f —3g) Page 14

5.16b 1.(x—9)(x+7)

2 3.(x+1)(x+1) 9. m 10. k 5. (4x ⁺ 3)(2x —3)

7. (3x ⁺ 2)(4x + 5) Page 15

8. ^X 2

2. (x—5)(x—5) 4. (2x ⁺ 1)(x —3) 6. (3x ^— 2)(x + 4) 8. (2x ÷ 5)(3x ⁺ 4)

+ 32x2

2. 3(x ^— 12)(x + 4) 4. 3x(x ^— 8)(x + 6) 6. -3x(x—5)(x—iO) 8. 2x2(x^— 11 )(x ^— 12)

+ 4d6)

16x2—16x + 8

5 4 3

-44x —61x +28x 44x3+ 49x2—17x ⁺ 56

100x4—70x3—50x2— 165x—90

5. (f—5)(f—9)

—7t3(t— 1)

4. 1

(w-2)(w-3) 6. 2(d2—2)

Sd

73

Algebra II Grades 6—8—RBPO83O

F J

Answer Pages

Page 18

1. 42

2y z

2.

3.

16m np22

16 81 y

4.

Page 23 1. 4ce1d

2 7 Sr—

3.xy Xy

5.

(x—9)(x+ 1)

.3X.a(X _— 2)

-7 3(f ^{+ 3)2}

2.

4.

6.

5. 3(y ⁺ 2)10

7. 7 ⁺ 7J;

Page 19

7b’J2bc

3 2 2

x’q75x y 8x2+ 6x-q3+ 3 6.

2 (x3— 2)(x ⁺ 2)

1. ha

8. 61 Page 24

1.

6

24E 5

3. 4h—6g qh

2. f2

3.

2

5. -3d2+6d+2 6d

2. 29h 32 4. 2d—1

B 6. lid 10

8. -20c2+5c—7 12c(3c + 2)

5. 25+5M 14

4*45 3

6. -12—34ã 13

7. 7e÷8 10(f+ 1)

7. 7 + 44

Page 20

31

I. 4

8. X—X’1+X’J

3. no solution

x —62

2.2 4. 5

85 12

2. 5 4.-B 6. -63 8. 7

Page 21 1. 2gd’)d 3. 7b3ek2q

3.2 4flT

7.-3mj ‘qmj

9. -3f 2 Page 22

5. i0fkd2c3Jiã2

2.-i 6. 1 10.0

3.-i 7. 1

2

V

4. 1 2 8.21

4.2

6.

_______

3 8. 5e

6

10. (y—2)j8(y—2)

Page 25 1.9

3 19

5.78 7. 5 Page 26

1.1 5. I 9. 1 Page 27

1. 2413 ^— 4i4 3. 88 ^— 7l-’

5. 3 ⁺ 7.25 9. 43 + 61 Page 28

1. x2/3

4b 315

3. ()

2’’°

7 ²³¹² 9.

-

C

2. 8^— I 4.42 6. -12 + 41 8. 3’j ⁺ 61 10. 6—8/

2. 0

3.4 ⁺ 5411

4.2 ^— 5.

6. 30 + 54

3 12t

7.÷y4 8. 4x ÷ (-2x ^—

115 2J5 3/5 2 3 115

2.x y z or(xyz)

4 33/28

6. x6,7

8. x y56

116 1/6 1/6

10.(xy) orx y

www.summerbridgeactivities.com