LISTA DE EXERCÍCIOS 2 - TEORIA DAS DISTRIBUIÇÕES E ANÁLISE DE FOURIER (MAP 5722-4)
PROF: PEDRO T. P. LOPES WWW.IME.USP.BR/∼PPLOPES/DISTRIBUICOES
Os exercícios a seguir foram selecionados do livro do Duistermaat e Kolk (denotado por D.K.).
Exercício 1. (D.K. ex. 5.1) Seja (fj)j∈N uma sequência de funções não negativas em L1(Rn)(ou seja, tais que
´
Rn|fj(x)|dx <∞). Suponha que as funções satisfaçam as seguintes propriedades:
a) Para todoj∈N, temos ´
Rnfj(x)dx= 1. b) Para todor >0, temos quelimj→∞´
kxk≥rff(x)dx= 0. Prove quelimj→∞fj=δ0 emD0(Rn).
Exercício 2. (D.K. ex. 5.2) Sejaf ∈L1(Rn). Denamosf(x) = 1nf x
. Prove que lim
→0+f=cδ emD0(R), em que c= ˆ
Rn
f(x)dx∈C.
(Dica: Uma maneira simples de se provar isto é fazendo a mudança de variávely= x ao calcularf(φ).) Exercício 3. (D.K. ex. 5.3) Mostre que:
1) x+i01 = lim→0+ 1
x+i =P V x1
−iπδ0 e que x−i01 = lim→0+ 1
x−i =P V x1
+iπδ0. (Dica: O primeiro limite foi provado em sala de aula. O segundo segue do mesmo argumento, só mudando a região da integração complexa).
2) Usando o resultado anterior, mostre que lim
→0+
x
x2+2 =P V 1
x
e lim
→0+
x2+2 =πδ0 emD0(R). Exercício 4. (D.K. ex. 3.1) Prove que P V x1
, x+i01 e x−i01 são todas distribuições de ordem 1. (Observação:
A prova para P V(x1)foi feita em aula. Para as demais, basta usar os mesmos argumentos ou usar o fato de que P V(x1)tem ordem1 junto com os resultados do item 1) do exercício anterior).
Exercício 5. (D.K. ex. 5.4) Seja {ej}j=1,...,n a base canônica deRn (e1= (1,0,0, ...),e2 = (0,1,0, ...), ...) e seja a∈Rn. Mostre que:
t→0lim 1
t δa−tej −δa
=∂xjδa em D0(Rn). Exercício 6. (D.K. ex. 5.5) Considere parat >0a seguinte função em Rn:
ut(x) = 1
(4πt)n2e−kxk
2 4t .
Verique que a equação acima satisfaz a seguinte equação (chamada equação do calor ou da difusão) d
dtut= ∆u.
Calcule os seguintes limites emD0(Rn): a)limt→0+ut.
b)limt→0+ d dtut.
Exercício 7. (D.K. ex. 6.2) Seja ut como no exercício anterior, ou seja,ut(x) = 1
(4πt)n2 e−kxk
2
4t . Mostre que para todok∈N0, temos
lim
t→0+
1 tk
ut−
k−1
X
j=0
tj j!∆jδ
= 1
k!∆kδ em D0(Rn). Por que a notaçãout=et∆δé adequada parat >0?
(Dica: Use Série de Taylor emt para provar o limite e os resultados do exercício anterior)
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LISTA DE EXERCÍCIOS 2 - TEORIA DAS DISTRIBUIÇÕES E ANÁLISE DE FOURIER (MAP 5722-4) 2
Exercício 8. (D.K. ex. 5.11) Seja(aj)j∈
N⊂Rn uma sequência tal quelimj→∞kajk=∞. Seja(cj)j∈
N⊂Cuma sequência arbitrária. Denamos as distribuiçõesuk,k∈Npor
uk :=
k
X
j=1
cjδaj.
Mostre que existe uma distribuiçãou∈ D0(Rn)tal quelimk→∞uk=uemD0(Rn).
Exercício 9. (D.K. ex. 5.12) Sejaf uma função contínua emRe denamos as distribuiçõesuk,k∈N, por
uk:= 1 k
k2
X
j=−k2
f j
k
δj k.
Existeu∈ D0(R)tal que limk→∞uk=u? Se existir, qual é este limite? (Dica: Pense na integral de Riemann) Exercício 10. (D.K. ex. 5.14) Seja(uj)j∈
Numa sequência de medidas de Radon emΩcom a propriedade de que para todoφ∈Cc∞(Ω), temoslimj→∞uj(φ) =u(φ). Mostre que para todo compactoK⊂Ωexiste uma constante c >0 tal que
|uj(φ)| ≤c(supx∈Ω|φ(x)|),∀j∈Ne∀φ∈Cc∞(K). Prove queué é uma medida de Radon positiva.
Por m, mostre que, para todaf ∈Cc(Ω), não necessariamente diferenciável, temoslimj→∞uj(f) =u(f). Dica: Use o seguinte resultado visto em sala de aula. Seja K ⊂ Ω um compacto. Logo para toda função χ∈Cc∞(Ω),0≤χ≤1, que seja igual a 1numa vizinhança deK, temos
|u(φ)| ≤u(χ)kφkC0,∀φ∈Cc∞(K), em quekφkC0 := supx∈Ω|φ(x)|.
