estabulo material das aulas

(1)

12

Cap ⁵

Emparelhamento

ao Resumo

da aula 1 ₍ ppi

^ah

)

estabulo _material _das aulas

2. ^e

3

²⁸

ezolabil

•

exercícios

_com dicas no

fim ^ssolabril

_•

(2)

Introdu¸c˜ao `a Teoria dos Grafos (MAC0320) – IME-USP – Depto CC – 1o. semestre 2020 – Profa. Yoshiko W.

Cap´ıtulo 5 — Emparelhamentos

1 Introdu¸c˜ ao

Todos os grafos tratados neste cap´ıtulo são simples (ou seja, sem la¸cos e sem arestas múltiplas). Um emparelhamento num grafo é um conjunto de arestas duas a duas não-adjacentes. Em outras palavras, um emparelhamento é um conjunto E de arestas tal que todo vértice do grafo é extremo de no máximo um elemento de E.

• Seja G um grafo e X ✓ V(G). Dizemos que um emparelhamento E cobre (ou satura) X se em cada vértice de X incide uma aresta de E. Neste caso, também dizemos que X é coberto (ou saturado) por E. Se X = {v} então dizemos simplesmente que E cobre (ou satura) v.

• Um emparelhamento num grafo G ´e perfeito se cobre V(G).

• Se uma aresta uv pertence a um emparelhamento E então dizemos que u e v são (ou estão) emparelhados por E.

• Se um vértice v não é coberto por um emparelhamento E então dizemos que v é livre em rela¸cão a E, ou simplesmente, v é livre (se E estiver claro pelo contexto).

1

¥

^.

( matriz ^, EÉÍÉÍÀ

_As

^:

-

.

- ^-

§

^-

wan

⇐ ãánog ^Tem EIFÍ ^emo ^Fafá

^.

(3)

PROBLEMAS DE INTERESSE:

1. Encontrar um emparelhamento m´aximo em um grafo. [Existe algoritmo eficiente?]

2. Dado um grafo e um emparelhamento E, que não é máximo, será que existe algum jeito fácil de convencer alguém de que E não é máximo?

3. Dado um grafo (X, Y )-bipartido, é fácil decidir se existe um emparelhamento que cobre X? E se não existe, tem um certificado simples para comprovar isso?

4. É mais fácil encontrar um emparelhamento máximo um grafo bipartido do que num grafo arbitrário?

5. Quando o grafo é bipartido existe algum outro parâmetro do grafo relacionado com a cardinalidade de um emparelhamento máximo?

6. Suponha que um grafo G n˜ao tenha um emparelhamento perfeito. Existe um certificado que nos conven¸ca disso?

7. Existem problemas interessantes cujas solu¸c˜oes (exatas ou aproximadas) dependem de solu¸c˜oes para problemas de emparelhamentos?

Ap´os estudar este cap´ıtulo, esperamos que vocˆe saiba as respostas a essas perguntas.

2

•

r④

-

C

àgua

Tu

^- ^←

- -

SMO

-

④

→

l -0

^←

⑤

Ente

^- _Aulas ^cabla^-

⁾ ^D

-

⑨

Ex : ^• Problohinêsdo carteiro

-

• TSP métrico

(4)

2 Emparelhamentos M´ aximos

Emparelhamento maximal ⇥ Emparelhamento m´aximo

Um emparelhamento E num grafo é maximal se não existe nesse grafo um emparelhamento E⁰ que contém E propriamente. Um emparelhamento E num grafo G é máximo se não existe em G nenhum emparelhamento de cardinalidade maior que |E|. OBS: Note que nem todo emparelhamento maximal é máximo. Claramente, todo emparelhamento máximo é maximal.

Defini¸cão. Seja E um emparelhamento num grafo G. Um caminho E-alternante em G é um caminho cujas arestas estão alternadamente em E e em A(G)\E. Um tal caminho com ambos os extremos livres (em E) é chamado um caminho aumentador (augmenting path).

B Caracteriza¸c˜ao de emparelhamentos m´aximos

Teorema 5.1. (Berge, 1957)

Seja G um grafo e E um emparelhamento em G. Temos que E é um emparelhamento máximo se e só se G não tem nenhum caminho E-alternante com ambos os extremos livres.

3

maximal maximal

¥7 ¥13 _emáxina

à & Faça-me

⇐

E ^Eia

(5)

3 Emparelhamentos em grafos bipartidos

Todos os resultados abaixo serão provados em aula. Algumas vezes, serão discutidas duas ou mais provas distintas. (Desejável: conhecer pelo menos 2 provas distintas do Teorema de Hall.)

Os dois teoremas desta se¸c˜ao s˜ao centrais na teoria de emparelhamentos em grafos.

Teorema 5.2. (Hall, 1935)

Seja G um grafo (X, Y )-bipartido. Ent˜ao

G tem um emparelhamento que cobre X se e s´o se |Adj(S)| |S| para todo S ✓ X.

Prova 1. Usando caminhos alternantes. (Vista na aula anterior.)

Prova 2. Por indu¸c˜ao em |X|. (Exerc´ıcio para casa (com dica na aula).) Prova 3. Usando o Teorema min-max de K¨onig . (Veremos adiante.)

4

o

\

Condição HO

^a

i

¢

. ^←

vai

←

ço

^.

•

NÉ

^:

^óbvio ^ÂIGI

•

Suficiência ⁽ ^vimos

^e ^veremos

^mais ^provas ⁾

(6)

Corol´ario 5.3.

Seja G um grafo (X, Y )-bipartido. Se |Adj(S)| |S| k para todo S ✓ X e algum inteiro fixo k, ent˜ao G tem um emparelhamento de cardinalidade |X| k.

Prova .

5

amar P

^-

¥ ^não

÷

a ^→

ai

• ①

€

^y ^O

/ ^Adjls

⁾

17µL

_q^, _é

o

grafo

^obtido ^de^G acrescentando^-^se

-

A novos vértices

, todos adjac^. ^ãrvêrt^. ^de^X^.

Ou

seja

^, ⁹^'⁼

⁽

^x^, ^YUY^'

⁾

ônde ÎYY ^=L ê

{ _AGD

⁼

AGÍU _{ _xp

^: ^rex^, ^'

_jet

^'

₎

^.

• q^' ^é (^x,YUY^'

)

^-

bingo

^e

satisfaz ^amá

^c-

Pelo ^Teo^. ^Hall_, §^' ^tem ^um

empor

^.

^E- ^que IX.

Então

Enafaçf

^é ûm êmpor^. êu^G ^de ^cardinali ^. ^Dag

(7)

Corol´ario 5.4.

Todo grafo bipartido k-regular com k 1 tem um emparelhamento perfeito.

Prova .

6

÷§a

^G ^um

^grafo

^Cxid^-

^bipartida

^, ^E-

^regular

^, ¹⁼¹ ^.

*

claramente

,

lx.

^✓

¥} jµ

_Vamos^De

^fato

^,

^IAEDKKHI

⁼

^KIYI

^, ^e

^portanto ^IXHYI

provar

^que ^G

satisfg

^a

^condição ^⑦

^{do Teo} ^. ^Hall ^.

Seja

^SEX ^. ^Considere ^A_, ⁼

_{

^ae ^A-

(a)

^: â încide êm

§ }

^e

- *E#

(

Âz ⁼ ^{ âe ÂG

)

^: â încide êm

Adj )

^.

daape

_,

^AIEAZ

^- ^.

Logo

^,

_IAN

E paz

)

^e

putada

^,

pista FADIGA

E) Adjcssl

^. ^.

-

.

Pelo

^Teo^. ^de ^Hall_, q tem ^um empar^. que ^cobre ^X^. Como

IXKIYI

,

tal _empa

^. ^é

perfeito

^. ^D

(8)

Corol´ario 5.5.

Todo grafo bipartido k-regular com k 2 tem k emparelhamentos perfeitos dois a dois disjuntos.

Prova . (Exerc´ıcio)

Defini¸cão: Seja k um inteiro positivo. Um subgrafo gerador k-regular de um grafo G é chamado k-fator de G. Assim, um 1-fator de G é simplesmente um subgrafo gerado pelas arestas de um emparelhamento perfeito de G; um 2-fator é um subgrafo gerador de G que é uma união de circuitos disjuntos nos vértices.

Corol´ario 5.6.

Todo grafo bipartido k-regular, k 1 tem pelo menos ^k₂ 2-fatores distintos.

7

-

É

- ^{_ _}

a

E

-

taxa

O o

Õ

o o o

tt

Ã÷÷* :÷Ê÷÷÷

^emqhé

₁₎

zfatmes

(9)

Material Extra (curiosidade) - s´o esta p´agina

O seguinte resultado, para grafos arbitr´arios, ´e considerado um dos primeiros resultados na teoria dos grafos.

Teorema do 2-fator (Petersen, 1891): Se G ´e grafo 2k-regular, k 1, ent˜ao o conjunto das arestas de G pode ser particionado em k 2-fatores arestas-disjuntos.

(Tamb´em dizemos simplesmente que G admite uma decomposi¸c˜ao em k 2-fatores.)

(Ideia da prova: grafo euleriano + “splitting” de v´ertices.)

8

-

EE aãÜ

| ^-_ A

G

^"

HEI ^:* .si?ciiiiiaii%Ea...e.a ₎

-

⑧

(10)

9

"

sfditting

^"

⁽

^divisão

⁾

^{de cada} ^vértice

✓ ^"

noé

÷

^.

aç ^:

^-

⑤ graçobxaoàç ¥!Â¥ ^Tomei .lu

orientando

^as

^arestas

^a- ^b- ^c- ^d- ^é

no

sentido datilhat ^no ^no ^nó

^no ^no

✓ Fim

^d ^mo

^mo ^mo ^mo

at bt et d+

{

⑨

(11)

9

Seja ^H

^o

^grafo ^obtido

^de

^Ô

^tomando

VCH ^ACH )

⁼⁼

_À { ^xixt _{ _ájs

^: ^:

^xevcã _xye ) ^É }

^e

I.

^.

}

H

^é ^um

grafo bipartida ^G- ^regular

^.

a- b- ^c- ^d- ^é

#

no J no

Pela ^Carol

^. ^5.5_,

*

temerei

a D ^- D D D

P _at _bt _a _da et

Identificando

^-^se ^cada

_par

^de

^vértices

idé

^"

açxt

êm ^H â ûm ^vértice ^x^,

^obtemos

No

↳

§T§

^o

^grafo

^q ^. ^Além ^disso^, ^cada

emparelhado

a Í ^± ^⇐ xse.m.a-x-E-i-I.EE

^.

Portanto

_, q ^{tem la} ^a-

fatores

^arestas^-

disjuntos

^. ^ga

(12)

Emparelhamentos e Coberturas – um resultado min-max

Defini¸cão: Uma cobertura de um grafo G é um conjunto K ✓ V (G) tal que toda aresta de G tem pelo menos um dos extremos em K. (Mais precisamente, K é uma cobertura das arestas de G por vértices.)

Ex:

Rela¸c˜ao entre emparelhamentos e coberturas em um grafo.

10

s o a

⑦

-

•

9901

^.

.

79¥

^. _d

# Ô

q ⁿ ³ ⁵ ⁷⁹ ^" ^×

-00--00

£0 .io#0Efop-oo--

ô ô ô ô ô ô ô

* ÍIÉIÉÍ

^" ^⑧_•^" ^⑧

^É

^, ^t.com

^! ^Ê ^q

⁺ ^%

^{/⑧⑧⑧⑧•} ^MAN

•

1kt #

^¥6

coberturas

são

E :* :* :* _:

^'

: :# $4.8

^a ⁶

.Ü%µÀ

^. ^cobertura ⁼ ^fui

¥ã÷ ^:*

^.

⇐

afirmávamos

ttcobatk _e

tempe

^em^G ^• ^•

_①

(13)

12

-ÜçIçminimµ

Ü _problema _dificil _cnzz.io ₎

enjoa :*

.

ÊI

⑧ tazieff ^! ÷←

Nota reinação

→ ^•

Emp (G)

⁼

cordialidade

^de ^um

empa-r.mx

^. ^em

^Ç

ⁿ

> ^•

cob (G)

⁼ â â ûma

^É

^em

^G

^.

-

Vimos que empcajaaose-II-%EF.ro#* ^REI

^M^,

_⑨

(14)

Teorema 5.6. (K¨onig, 1931) – Teorema min-max

Seja G um grafo (X, Y )-bipartido. Então a cardinalidade de um emparelhamento máximo em G é igual à cardinalidade de uma cobertura m´ınima.

Prova .

11

*

← tI%

$

^-

Ç%¥ ⇐ ÷üí¥

É imediato

que Emp (9)

^E ^cob

^(G)

^.

^✓

Vamos mostrar que

empoeirado

^•

Seja

^G ^um

grafo

^Cx^,

⁷⁾

^-

bipartida

^e

Prf ^uma cobertura ^mínima ^de ^G ^.

--

•

④

(15)

12

×^"

kk

⁼ ^X^' UY ^' ^, XEX _,

YI

⁷

e- *!

Defina

^os

conjuntos

"

fiffiff

^|

^II ^*

^X^" ⁼ ^XIX

^*

^' ^. ^e

Y

^Y^"

f

^Y^"^⇐⁼ ^Ynk^YIY ^' ^.^e

Seja ^IHA ^G ^[ ^XA

^UY ^"

^] ^subg.de ^G ^induzido ^por ^XÚY

^" ^.

claramente

_,

^H

^é

( ximbica

^.

✓ anoja ^H ^tem

^um

^empar

^.

^que

^cobre ^X^' ^.

Para

isso

, ^"

[email protected]

•

④

(16)

13

-7¥ :\ _µ

^{i .}^÷ ^.

viii. ^÷

.

tao Izlsl ^ir

ÀÉ¥agµ ⇐ ^seja .ie#IuaaiPO

Claramente

,

E

^é ^uma

^coberto

^. ^de^G^.

Como _K ^é ^uma coberto^. ^mínima_,

então

IKIEIÊI

^.

Logo

^,

IKK Idas ⁾ uadj # ^f- ^IKI

^-

^tstttadj ^I

^.

- ^LA

Portanto

,

/ Adjçs ⁾ ^/ ^ZISI

^.

^Pelo

^Teo^. ^de

^Hall

^, ^H

^tem

^um

emparelhamento

^,

^digamos

^E ^,

^que

^cobre ^X^' ^. ^•

^⑤

(17)

13

× ^#

SO seja

-

ÂÂ

⁼

^Glx

^"

| _O /

^.

_aia ^às ^:*

^.^.

que Â

^tem ^um

empaç

Adjçs ⁾ ^digamos ^Esqueci-me

.

Então EUF ^é ^um

empar

^. ^em

G

×^'

tal que

IEUFI -1kt

^.

E

}§É§ } ^} ^{

^F

^Neste

^máximo^caso^,^em^EUF

^G

^.^é ^um

^Portanto ^empar

^, ^.

empjE.IO

(18)

12

. A

hipótese

^G

bipartida

^é

çssçnççl

^.

^!

Quando _G

não

^, ^a

^igualdade Emp ⁽⁹⁾

⁼

^cabes )

pode

^não ^ocorrer^.

Ex

^:

G ^⇐ Cn

,

n

impor ( ^circuito ímpar )

¥ :# ^÷ ^:* ^: I ^:* ^:* _.ie

^.

+

qdan impor

m m m

HAILEY ^ÉIÍÉÉ ^! gçamçãeimneinamax ^pode

^ser

^provada

^usando_•

}

⑦

(19)

12

provas

← ^do ^Teorema ^de ^Hall ⁽ ^via ^Teorema ^de

Kónig ⁾

|

^Vamos

^provar

^que ^se ^G ^é ^Cx^,^Y⁾^-

^bipartida

^e

a

IADJEDIZISI

^{a SEX} ^, ^então ^G ^tem ^um

_empor

^. _que ^cobre ^X.

à

^- ^.

Sejam

^É ^um

empar

^. ^máximo ^em ^G ^e ^*

|

^K^* ^uma ^cobertura ^mínima ^.

_✓

_L ^. ^K ^.

Pelo _Teorema de

Kónig

^,

^¥1

⁼

^IK

^*

^/

^.

*±

•

Suponha ^que

^# ^não ^cobre ^X ^.

^¥

seja FaIa

^e ^#

Ü ^"

- ←

Logo

^,

^IADJGJIEIK

^*

^NYI

⁼ ^I ^-

^llánxl

^←

-a-

q

⁼

FÉI

^- _I ^#

_nxl

|

= f-^*

1-4×1

^- ^ISI

₎

^É

= IÉI ^- _1×1+151

LISI

^.

F-

^ae

Neste ^caso

, S viola ^a

hipótese

^, ^o ^que ^é ^uma

contradição

^. ^Portanto_,

C-^* cobre X ^. MEG

•

⑧

(20)

12

Prooakdoteo.de#aHCviaTeomin-maxdeKonig?%fes/

→

^?

Seja ^á

^. ^e

K*ü¥£

Pelo Teorema ^de

Kónig

,

IÉLIKI

^. ^. ^×

_Y"*** ÉÊ*É

Então ^cada

vértice

de K é extremo de

exata

^uma na_yn_#

aresta

^de ^É ^. ^Em

particular

^, ^cada

^vértice

^de

^Ktnx

é

extremo

_{de uma}

aresta

^de ^É

, ie

,

É

_cobre

KTIX

(^e ^# ^cobre ^YNK

)

^. ^mmm

• Queremos

provar que

^E-^*^cobre ^X^. ^Para ^isso^,

rççtç provar

^que

^É

^cobre

HÁ

- ^- ^- ^- ^- ^- ^- ^- ^- ^- ^- ^-

-

• *,

páre

1×11421 {

ÂEÉ^: â încide êm ^Yn

^# /

⁼

^IYNKY

^?

ftdjcxkfzfxuál

^.

mm

soo mm

*µ

Logo

^,

^IXI ^KM

⁼

^Mae

^# ^: â încide êm ^Ynkt

^} ⁽

⁼

^k$1

^.

←É*

_Como _toda _aresta _de

_et

que

încide êm ^YRK^* ^tem ô ôutro

extremo em Xlkt

, C-^* cohe YRK^' ^e

px.lk/tl--lYnK*t

,

JAH segue _que ^C-^* ^cobre ^aki ^. ^D ^.

(21)

12

TEOREMADEHALLG935jcversacooriginadef.se/a ^7- ^{

^se^, ^. ^. ^.^, ^Sn

⁾

^uma

família

^de

subconjuntos

(^não necessario distintos

)

^de ^um

conjunto finito

^S ^.

Um

conjunto

^de ⁿ ^elementos

^{

^ss ^, ^esa^, ^. ^. ^.^> ^sn

^}

^é

chamado um

siSTEMADER-EPRESENAMESD.SN

^OS

LEI D)

ou uma TRANSVERSAL- de

7

^se sie

Si pl

ⁱ^=p^.^-^-^M,

meu

e

sitsj ^quando itj

^.

mm-

S=

fqb

^, ^çd , ^e ^, f) _g

, h

}

Sr ⁼

{

qb^,

c)

⇐

!

^{se {} ^eie ^,

^tá }

⇐

b

^:

→

④

(22)

12

a. b. C Ççf, g ^b^, dah _g.^E

④ ④ ④ ④

A ## )

② ④ ② ④ @ ⑦ ⑥ ②

Teorema H (^{teorema de} ^Hall ^na ^sua ^versão original

)

^-

-

não necessario

Uma família ^{ ^Sr^, ^sa^, ^.^- ^→ ^Sn⁾ ^de subconjuntos ^finitos ^de

distintos

tem um SAID ^se ^e ^só ^se

um JE ^S ^.

Ijezsjl ^ZIJI ^v-JEH.am ⁾

^.

•

Exercício

^: ^Prove ^que ^o ^Teorema ^H ^é

equivalente

ao

T.EE#fE?CFormutaqaoprooadaporKomgeEgero-ar ⁾

•

(23)

•12

(24)

Algoritmo para encontrar um emparelhamento m´aximo num grafo bipartido

14

DE Paroquiais

S

%^. ^z Ok

-

iiha

|

§

'

. ^.

a. ^.

↳

O

^- _cons ^nantes

comparar

÷ _.

^←

iiiiií

^.

(25)

12

expeça

empor^.

inicial

¹

-

Aplicar

^o

algoritmo

§

^neste

grafo

^G

www.ummum q

matei

^.^-

•

(26)

12

(27)

12

weather.xistenciadeumempar.perf.at

TEOREMÇEIIO

* ^A

µ

#

amj.EE

Seja

^G ^um

grafo ^@

^nexo

⁾

^.

G tem um

empar

^.

perfeito ^# ^cicas ⁾

^e

^ISI

^tt ^SEVCG

⁾

⇐

Em

*

William Tutte

. . . ^.

.

compor

- ÷

as

^ i.IO#Ei.E7:::i ^:*

^*

^raio

:*

^da

^disciplina :*

^. ^.

iii. _iii.

^- ^- ^- ^- ^_

co É]ã6

^z. ^r

ÉÍÉÉÍ

^.

^É _±÷÷÷÷÷

(^neste _{exemplo )}

(28)

12

reemita

Dicassobrahista6-mmm.ae _Exercícios

^÷

_Corrigir

^o ^enunciado

acrescentando

_as

hipóteses ^tem

^vermelho

⁾

^:

Sejam

^e ^EF

emparelhamento disjuntos ^€1

|

^tais

^que ^IEI

^>

^IF ^!

^- ^- ^- ^- ^- ^←←

ao

exercício

^:

⁽

^Dica ^:

inspirar

^- ^se ^na

^prova

^do

aol.ms?4 )

Qual ?

•

Exercícios

^:

⁽

^resolver ^via

empar

^. ^num

grotfo

^, ^o

^pior

^.

₎

de

aumentar apenas

^uma

^linha

^.

(29)

12

(

^Petersen , 1851

)

\ l / / _/

| ^Prove ^que

^se

^a ^é ^azar

^, _/

sempon-te.si

_/ _/ _l

entao

_a

tem

um

emparelhamento

^-

^perfeito

^.

3-

regular

⁼ ^cúbico

)

_Dica _: _usar

o

Teorema

de

Tulte

e #

^- ^-

⇐ i

O

^÷ _:* _.

3-

regular comportes

(^não tem _empar^.

perfeito ⁾

(30)

12

G

- _Seja

^a ^um

_grafo _bipartida

^.

t.ro

Provar

_que

existe

^em

_G

_um

emparelhamento ^que

^cobre ^~

} ^torço .ve#Es.EaEE-mIxiIe

^.

animais

Dia

^i.

^Dado çíncoàisinúr

^um

_grafo _bipartida Â%

tal que

^ao

⁹

^'

^ZG ^← grafismo

•

sei ) ^> ^sla ₎

^e

_aceito _G)

.

e-

Usar

essa

construção ^m ^chegar

^num

^grafo

Gt

^a-

regular

^que

^contém ^G

^.

(31)

12

estabulo material das aulas

Cap 5

Emparelhamento

da aula 1 ( ppi

)

estabulo material das aulas

3

ezolabil

exercícios

fim ssolabril

Cap´ıtulo 5 — Emparelhamentos

1 Introdu¸c˜ ao

¥

( matriz , EÉÍÉÍÀ

:

§

⇐ ãánog Tem EIFÍ emo Fafá

r④

C

àgua

Tu

SMO

④

l -0

⑤

Ente

) D

⑨

2 Emparelhamentos M´ aximos

¥7 ¥13 emáxina

à & Faça-me

E Eia

3 Emparelhamentos em grafos bipartidos

o

Condição HO

i

¢

ço

NÉ

óbvio ÂIGI

Suficiência ( vimos

mais provas )

amar P

÷

ai

• ①

€

/ Adjls

17µL

grafo

seja

(

)

{ AGD

AGÍU { xp

jet

)

)

bingo

satisfaz amá

empor

E- que IX.

Enafaçf

÷§a

grafo

bipartida

regular

lx.

¥} jµ

fato

IAEDKKHI

KIYI

portanto IXHYI

provar

satisfg

condição ⑦

Seja

{

(a)

§ }

Cap ⁵

da aula 1 ₍ ppi

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