CADERNO DE EXERCÍCIOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS
Prof. Jesué Graciliano da Silva São José, Agosto de 2018
https://jesuegraciliano.wordpress.com/aulas/mecanica-dos-fluidos/
APRESENTAÇÃO
Nesse caderno de exercícios serão apresentados os conceitos básicos da área de Mecânica dos Fluidos tais como pressão, vazão e perda de carga. Também vamos mostrar diversas aplicações na área de refrigeração e climatização como, por exemplo, instalação de bombas hidráulicas, tubulações de água gelada e dimensionamento de redes de distribuição de ar, conforme ilustrado na Figura 1. Outros exemplos práticos serão explorados durante o curso.
Figura 1 – Dutos de distribuição de ar.
O conteúdo foi preparado para tornar mais fácil o aprendizado da disciplina. Para cada assunto apresentado foram desenvolvidos vídeos de curta duração para estudo complementar. Basta apontar o celular para o QR-Code impresso para abrir os vídeos indicados.
Aproveite e assista aos vídeos em seu tempo livre para compreender melhor a matéria. Todos os vídeos estão disponíveis também no blog https://jesuegraciliano.wordpress.com/aulas/mecanica-dos-fluidos.
Bom estudo !
Prof. Jesué Graciliano da Silva
SUMÁRIO:
1-Introdução 5
2- Propriedades Fundamentais. 7
3-Estática dos Fluidos 15
4- Vazão 20
5-Equação da Continuidade 21
6-Equação de Bernoulli 25
7-Equação de Bernoulli Modificada 27 Anexos
Bancada de Teste de vazão 39
Bancada de Testes Hidráulicos 43 Bancada de Associação de bombas 44
Revisão de Matemática Básica 49
Exercícios Resolvidos 69
Dicas de Estudo 80
Lista de exercícios 81
1- INTRODUÇÃO
Para começar nossa disciplina vamos apresentar um ajudante muito especial: Mr. RAC !
Primeiramente, é preciso entender que um fluido tem como principal característica não apresentar uma forma definida, podendo ocupar o espaço dentro de uma vasilha (líquido) ou todo espaço disponível (gás).
Figura 1- Ilustração da definição de um fluido
No passado cada país seguia seu sistema de medidas. Mas isso causava muitos inconvenientes. Por isso foi criado o Sistema Internacional de Unidades (SI) para organizar um sistema unificado em todo o mundo.
Apesar da unidade SI para temperatura ser o Kelvin (K), o uso da escala Celsius é ainda bastante comum. O zero na escala Celsius (0°C) é equivalente a 273,15 K.
Algumas grandezas típicas da área de Ciências Térmicas são apresentadas na Tabela 1.
Tabela 1- Unidades derivadas do SI Quantidade Nome e
símbolo
Unidade Expressão em unidade de base do SI
Força newton (N) m.kg/s2 m.kg/s2
Pressão pascal (Pa) N/m2 kg/m.s²
Energia joule (J) N.m m².kg/s²
Potência watt (W) J/s m².kg/s³
Eventualmente, poderemos nos deparar com unidades do sistema inglês. Como exemplo, a carga térmica (termo muito utilizado em climatização), muitas vezes, é calculada em Btu/h (12.000 Btu/h correspondem a 3.517 W). Os catálogos dos fabricantes de condicionamento de ar trazem esta unidade na determinação da capacidade de seus equipamentos. Por isso, a Tabela 2 de conversão de fatores é bastante útil.
Tabela 2 - Fatores de conversão úteis
1 lbf = 4,448 N 1 Btu = 1055 J
1 lbf/pol² (ou psi) = 6895 Pa 1 kcal = 4,1868 kJ 1 pol = 0,0254 m 1 kW = 3413 Btu/h 1 HP = 746 W = 2545 Btu/h 1 litro (l) = 0,001 m³
1 m3 = 1000 litros 1 kcal/h = 1,163 W 1 TR = 3517 W (tonelada de
refrigeração)
1 atm = 14,7 lbf/pol2 (ou psi) 12000 Btu/h = 1 TR = 3,517kW Exemplo: Converta 20 cm3 para m3 e para litros.
1m = 100cm logo 1m3 = 100.100.100cm3 Fazendo a regra de 3:
1.000.000 cm3 = 1m3 Então
20cm3 = x m3 Logo: x=0,00002m3
2- PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS:
A Massa específica (ρ) ou densidade de uma substância é definida como a relação entre a MASSA e o VOLUME. Sua Unidade é kg/m3 .
Figura 2- Definição de densidade
Um corpo pode ter grande volume e possuir pouca massa, como é o caso dos isolantes térmicos. Já há substâncias que têm pequeno volume, mas possuem elevada massa. Estas substâncias têm então uma densidade elevada. Como exemplo, lembramos que a relação entre a massa e o volume de um navio é inferior à da água e por isso os navios flutuam como uma rolha de cortiça é capaz de fazê- lo num copo d’água.
Exemplo: Qual a densidade de um corpo que tem 12.000.000kg e um volume de 15.000 m3?
Veja que nesse caso basta dividir a massa pelo volume para obtermos o valor da densidade como sendo de 800 kg/m3.
3
3 800 /
000 . 15
000 . 000 .
12 kg m
m kg
Tabela 3- Massas específicas aproximadas (Temperatura ambiente) Material Massa específica [kg/m3]
Aço 7600
Óleos 800
Alumínio 2700
Mercúrio (Hg) 13600
Água no estado líquido 1000
O ar tem sua densidade variando com a pressão e com a temperatura. A equação para calcular a densidade do ar seco é mostrada a seguir. Para a pressão atmosférica utilizamos pa = 101325 Pascals. Lembre-se que para converter CELSIUS para KELVIN é preciso somar o valor de 273,15. Então, para 20oC, a Temperatura em Kelvin é de 293,15 K.
Exemplo: Qual a densidade de um bloco de gelo de 2m x 2m x 1m e que tem uma massa de 3.600kg?
Nesse caso, o volume do bloco de gelo é: V = 2. 2. 1 = 4 m2 Considerando a massa dada de 3.600 kg temos que a densidade é:
3
3 900 /
4
3600 kg m
m kg
Para saber mais assista aos vídeos indicados posicionando seu celular sobre a imagem:
Faça a Auto Avaliação indicada a seguir para verificar seus conhecimentos
A Pressão: é a relação entre a força aplicada sobre um corpo e a área de atuação da mesma. Por isso a pressão tem unidade
“PASCAL” (N/m2).
Figura 3- Definição de pressão.
Nesse caso, o peso do armário é distribuído de forma diferente sobre o piso. A Área de contato 1 é de 2m2 e a Área de contato 2 é de 0,6m2. O Peso do armário nas duas situações é o mesmo (Peso = m.g).
Quanto menor a área de aplicação da força, maior a pressão. Então a maior pressão sobre o solo ocorre no caso do armário em pé, onde a área de contato é menor.
2 1
1 1000
00 , 2
10 . 200 .
m N A
g
p m e 2
2
2 3333
60 , 0
10 . 200 .
m N A
g
p m
A pressão é uma propriedade importante na área de refrigeração. Ela define, por exemplo, se o fluido refrigerante estará na fase líquida ou de vapor. Quanto menor a pressão, mais fácil o fluido se evapora. Por isso no evaporador a pressão é menor que no condensador. A pressão também aparece nos dutos de climatização. O ventilador de um self-contained ligado a um duto precisa garantir que
A força PESO é calculada pelo produto da massa x aceleração gravitacional
“g”. O valor de “g” é de 9,806 m/s2. Para facilitar os cálculos nessa disciplina usaremos g=10m/s2.
a pressão de saída do fluido seja suficiente para vencer a perda de pressão que ocorre durante o escoamento.
Para se medir pressão foram criados diversos instrumentos como o barômetro, os manômetros e os transdutores de pressão. O barômetro foi criado em 1643 pelo italiano Evangelista Torricelli.
Ele utilizou o mercúrio para estimar que a pressão atmosférica era correspondente à 760mm de Hg. Para os problemas envolvendo mecânica dos fluidos utilizamos a densidade do Hg como sendo 13.600kg/m3.
A Pressão atmosférica – patm é a pressão exercida pela atmosfera terrestre. Ela é o resultado do peso da camada de ar atmosférico sobre a superfície terrestre.
A pressão atmosférica padrão (condições normais de temperatura e pressão) ao nível do mar é aproximadamente 101 kPa.
patm = 101 kPa = 1 atm = 760 mmHg
Os manômetros de Bourdon são muito utilizados para medir a pressão manométrica dos fluidos refrigerantes (Figura 4). Nesse caso, os valores medidos devem ser somados à pressão atmosférica para obtenção da pressão absoluta dentro de um tanque.
A pressão atmosférica varia com a altitude. Ao nível do mar nas CNTP seu valor é de 101325 Pascals.
Para facilitar os cálculos utilizaremos o valor da pressão atmosférica como sendo 101 kPa.
Lembre-se que 1 kPa = 1000 Pa
Suponha que um manômetro indique uma pressão de 76psi.
Nesse caso, para encontrarmos a pressão no Sistema Internacional de Unidades é preciso fazer a conversão com uma regra de três.
kPa x psi
kPa psi
76
101 7
, 14
Logo a pressão manométrica do fluido dentro do cilindro é de aproximadamente 524 kPa. Sua pressão absoluta será então de aproximadamente 625 kPa (pabsoluta =524 kPa + 101 kPa).
A pressão absoluta é utilizada na maioria das análises termodinâmicas, entretanto, a maioria dos manômetros indica a diferença entre a pressão absoluta e a atmosférica, diferença esta chamada de pressão manométrica.
O esquema representado na Figura 5 ilustra a diferença entre a pressão absoluta e a pressão manométrica.
Figura 5- Ilustração de diferentes níveis de pressão.
Na Figura 6 mostramos uma configuração conhecida como TUBO DE VENTURI, que nada mais é que uma contração do escoamento para medição da velocidade do fluido. Nas paredes da
tubulação são instalados manômetros para obtenção da diferença de pressão entre a entrada e o meio do Tubo de Venturi.
Figura 6- Configuração de um Tubo de Venturi.
A equação para obtenção da velocidade do fluido a partir da medida “h” é mostrada a seguir:
A variável “BETA” (β) é a relação entre o diâmetro da garganta do Venturi e seu diâmetro de entrada. A variável “DELTA P” (DP) é a pressão obtida em Pascal a partir da leitura de “h”. A densidade “ρ” é a do fluido escoando.
Como exemplo, suponha que BETA = 0,7 e que a variação de pressão medida seja de 12 mmHg (0,012m). Considere escoamento de água, cuja densidade é de 1.000kg/m3. Nesse caso, o valor de DP será de 1632 Pascals (13.600kg/m3 x 10m/s2 x 0,012m) e a Velocidade 2 será estimada em: 2 m/s.
Observe que precisamos converter a medida lida no manômetro de coluna para a pressão em Pascal. Isso é conseguido multiplicando- se a densidade do Hg (13.600kg/m3) pelo valor da aceleração gravitacional “g” (10m/s2) e pelo valor da altura em metros (0,012m).
A densidade do Mercúrio (Hg) é de 13.600 kg/m3
Outra forma de se medir a velocidade do ar em um determinado ponto do escoamento é com uso de um TUBO DE PITOT.
O PITOT mede a pressão de velocidade, que é a diferença entre a PRESSÃO TOTAL E A PRESSÃO ESTÁTICA (Figura 7).
A pressão estática é a pressão que o fluido exerce nas paredes da tubulação. Um tanque de pressão sempre terá uma pressão estática.
A pressão de velocidade só existe em fluidos em movimento.
Figura 7 – Ilustração da utilização de um Tubo de Pitot.
Como exemplo, suponha que “Dh” seja medido como sendo 5mmHg. Se o escoamento é de ar (ρ=1,2 kg/m3), é possível determinar a velocidade como sendo de 33 m/s por meio da equação:
Para saber mais assista ao vídeo indicado:
Exercícios de Aplicação:
1- Seja um Tubo de Venturi, onde foi instalado um manômetro de coluna para obtenção da pressão de sua entrada e de seu meio. Dentro do tubo tem-se o escoamento de ar. Nesse caso, considerando que a leitura da coluna da entrada do Venturi seja de 60mmca e que a leitura da coluna do meio do Venturi (no estrangulamento do escoamento) seja de 20mmca, qual será a velocidade de ar dentro da tubulação?
2- Um tubo de PITOT é utilizado para medir a velocidade de ar dentro de um duto de climatização. A pressão total foi lida como sendo 500 Pascals. A pressão estática na parede foi lida como sendo 250 Pascals. Nesse caso, qual
é a velocidade estimada para o escoamento? Faça a Auto
Avaliação indicada a seguir para verificar seus conhecimentos.
3- ESTÁTICA DOS FLUIDOS
A Estática dos fluidos é a área da física onde são estudados os fenômenos relacionados aos fluidos parados. Ou seja, podemos utilizar o conhecimento da estática dos fluidos para determinar pressões atuando nas paredes de uma piscina, em uma comporta de uma barragem, as forças atuando em um sistema hidráulico ou o empuxo provocado por corpos submersos. Vamos nos concentrar no estudo de três princípios: de Stevin, Pascal e de Arquimedes.
Stevin demonstrou que a pressão que atua em um ponto do fluido situado a uma dada profundidade é calculada pela equação a seguir, somando-se a pressão atmosférica que atua sobre a superfície do fluido. A patm pressão atmosférica (ao nível do mar esse valor é de 101,325 kPa). Na Figura 8, “h” é a profundidade e “ρ” é a densidade do fluido. A pressão no ponto B pode ser calculada pela expressão:
pB = patm + ρ . g. h
Figura 8- Pressão em um ponto dentro do fluido.
Na Figura 9 mostramos que a pressão em uma determinada profundidade do fluido é independente da área ou formato do recipiente.
Figura 9- Pressão no fundo de um recipiente.
Como exemplo, lembramos que em um mergulho tem-se o aumento de 1 atmosfera de pressão a cada 10m de profundidade.
Então, a 10m de profundidade uma pessoa estará a 2 atmosfera (soma da pressão atmosférica + a pressão da coluna de 10m de água).
Stevin também mostrou que para um mesmo fluido, as pressões em um mesmo nível de profundidade são iguais. Como exemplo, observe na Figura 10. A pressão em A deve ser igual à pressão em C.
Figura 10- Aplicação do Princípio de Stevin.
A pressão no ponto C é igual à pressão atmosférica somada com a pressão decorrente da coluna de fluido dentro do manômetro de coluna. A densidade do fluido Hg é de 13.600kg/m3. Se a distância entre os pontos C e B é de 5mmHg (Dh) temos:
pC = 101325 + (13600 . 10 . 0,005) = 101325 + 680 Pascals.
Para saber mais assista aos vídeos indicados posicionando seu celular sobre o QR-Code:
Pascal demonstrou que incrementos de pressões são transmitidos através dos fluidos. As aplicações mais comuns deste princípio são os elevadores para carros, os freios hidráulicos e todos os sistemas hidráulicos e pneumáticos utilizados nas indústrias.
Observe que uma pequena força aplicada em um fluido na área menor provoca um incremento de força muito maior na área maior (Figura 8). Ou seja, a partir dessa informação podemos projetar equipamentos capazes de aplicar forças grandes, com um pequeno esforço. Os elevadores hidráulicos e freios dos automóveis, por exemplo, seguem o Princípio de Pascal. Observe a Figura 11 e aponte seu celular sobre o QR-Code para saber mais sobre o assunto:
Figura 11- Aplicação do Princípio de Pascal
Já Arquimedes foi o matemático grego que descobriu o princípio do EMPUXO, utilizado até hoje para inúmeras aplicações como, por exemplo, o projeto de embarcações.
Um corpo imerso em um fluido desloca uma dada quantidade deste fluido, e isso provoca uma força para cima chamada de EMPUXO (E) conforme mostrado na Figura 12. O empuxo pode ser calculado pela equação:
Empuxo = ρ
fluido. V
imerso. g
Figura 12- Ilustração de um corpo flutuando sobre a água.
Na Figura 10 é possível observar que se o corpo está em equilíbrio a Força Peso para baixo deve ser igual à força de Empuxo para cima. De forma simplificada, considerando que para a água a densidade do fluido é 1000 kg/m3, podemos escrever:
Vcorpo . ρcorpo = 1000 . Vimerso
Exemplo:
Uma viga de madeira de comprimento 3m e secção transversal de 50cm x 50cm flutua sobre a água. Considerando-se que sua densidade é de 800kg/m3 qual é o volume que fica fora da água?
Solução:
Como o corpo está em equilíbrio tem-se que:
Empuxo = Peso
Faça a Auto Avaliação a seguir para testar seus conhecimentos:
Vcorpo . ρcorpo = 1000 . Vimerso
(3m x 0,5m x 0,5m) . 800 kg/m3 = 1000 . Vimerso
Vimerso = 0,75.800/1000 Vimerso = 0,6m3
Nesse caso, o Volume total da madeira é de 0,75m3. Então o Volume fora da água é o Volume total (0,75m3) menos o Volume imerso (0,6m3), que resulta em 0,15m3.
Para saber mais assista aos vídeos indicados posicionando seu celular sobre o QR-Code:
4- VAZÃO
A vazão de um fluido é um dos conceitos mais importantes na área de climatização. Pode ser definida como o volume de fluido deslocado em um determinado tempo, conforme ilustrado na Figura 13. As unidades de vazão mais comuns são litros por minuto, metros cúbicos por segundo e metros cúbicos por hora.
Figura 13 – Conceito de Vazão Exemplo:
Uma piscina de 8m de largura, por 4m de largura e 2m de profundidade precisa ser cheia com uma mangueira em um intervalo de tempo de 8 horas. Qual será a vazão necessária da mangueira?
Solução:
Nesse exemplo temos que calcular primeiro o volume da piscina que é: Volume = 8m.4m.2m=64m3. Considerando que em 1 m3 cabem 1000 litros de água podemos afirmar que nessa piscina cabem 64.000 litros de água. Se a piscina precisa ser cheia em 8 horas, podemos dizer que a vazão necessária na mangueira é de 8000 litros por hora ou ainda 8m3/hora.
Para saber mais assista ao vídeo indicado posicionando seu celular sobre o QR-Code:
Faça a Auto Avaliação indicada a seguir:
5- EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A equação da continuidade é uma forma de expressar a conservação da massa. Em regime permanente ela estabelece que: “a vazão mássica total de um fluido entrando no sistema em análise será igual àquela que está saindo, apesar da área da seção transversal poder ser diferente.”
Na Figura 14 tem-se que
V1 . A1 = V2 . A2
V = Velocidade do ar e A = área da secção do duto.
Figura 14- Ilustração do princípio da continuidade
A Equação da Continuidade é utilizada no dimensionamento de rede de dutos de distribuição de ar (Figura 15).
No exemplo mostrado a seguir, considere que no trecho AB a vazão seja de 7200m3/h. No trecho BC de 3200 m3/h e no trecho BD de 4000m3/h. Considerando a velocidade do ar é fixa em 5m/s em todos os trechos e altura dos dutos como sendo 40 cm, qual é a largura de cada trecho de duto? Assista ao vídeo indicado ao lado da Figura 15.
Figura 15- Ilustração de um duto de distribuição de ar.
Para resolver essa questão construímos uma tabela de cálculos.
É importante converter a vazão para a unidade de metros cúbicos por segundo. Para isso basta dividir m3/h por 3600.
Trecho Vazão (m3/h)
Vazão (m3/s)
V (m/s)
A (m2)
Duto (m x m)
AB 7200 2,00 5 0,40 1,00 x 0,40
BC 3600 1,00 5 0,20 0,50 x 0,40
BD 4000 1,11 5 0,22 0,55 x 0,40
A área da secção transversal dos dutos é dimensionada dividindo-se a vazão pela velocidade. Com a área e a altura (que foi dada no enunciado) é possível se obter a largura do duto.
Exercício indicado 1:
Dimensione a rede de dutos mostrada Na Figura 16 pelo método da velocidade. Considere a Velocidade do ar em todos os trechos como sendo 4m/s. As alturas dos dutos são 0,35m, 0,30m, 0,25m e 0,20m nos trechos AB, BC, CE e CD respectivamente. Se os trechos AB, BC, CE e CD possuem comprimentos de 6m, 10m, 3m e 5m respectivamente, qual é a massa de chapas necessária para
construção dos dutos? A vazão em cada boca de insuflamento é de 1400m3/h. Assista ao vídeo indicado ao lado da Figura 16.
Figura 16- Ilustração de uma rede de dutos de climatização.
Trecho Vazão
(m3/h)
Vazão (m3/s)
Vel (m/s)
Área (m2)
Larg (m)
Alt (m) AB
BC CD CE
Para calcular a massa de chapas de aço, considere a densidade do aço como sendo 7.600 kg/m3 e a espessura da chapa como sendo de 0,79mm.
Exercício indicado 2:
Dimensione a rede de dutos mostrada na Figura 17 pelo método da velocidade. Considere a Velocidade do ar em todos os trechos como sendo 5m/s. As alturas dos dutos são indicadas na tabela. A vazão em cada boca de insuflamento é de 900m3/h.
Figura 17- Ilustração de uma rede de dutos de climatização.
Trecho Vazão
(m3/h)
Vazão (m3/s)
Vel (m/s)
Área (m2)
Largura (m)
Altura (m)
AB 0,40
BC 0,30
CD 0,20
BE 0,30
EF 0,20
3- Exercício indicado 3:
Na instalação de climatização mostrada na Figura tem-se uma ocupação de 5 pessoas. Se o equipamento split system está insuflando 3400 m3/h de ar no ambiente e a taxa de renovação de ar é de 27m3/h por pessoa, então qual é a vazão de ar de retorno?
Figura 18- Ilustração de uma rede de dutos de climatização.
6- EQUAÇÃO DE BERNOULLI
A equação de Bernoulli é fundamental para a análise de escoamento de fluidos em canalizações. Considere o escoamento através de um duto entre os pontos 1 e 2 mostrado na Figura 19.
Figura 19- Ilustração do escoamento de um fluido
Em geral, consideramos que não há variações de densidade do fluido durante o escoamento, nesse caso ele é chamado de escoamento incompressível e pode ser descrito pela equação a seguir.
Onde “p” é a pressão absoluta (Pa), “ρ” é a densidade (kg/m3),
“z” é a elevação do fluido (m) em relação a uma referência e “V” é a velocidade (m/s).
Observe que a unidade (m/s)2 é uma forma diferente de se escrever a unidade de energia Joule. Essa equação foi escrita considerando-se que as soma das energias de pressão, cinética e potencial no ponto 1 é igual a soma das energias no ponto 2.
Podemos aplicar a equação de Bernoulli para uma linha de corrente que liga o ponto 1 e 2 de um escoamento. Uma aplicação simples dessa equação é para descobrirmos qual é a velocidade da
água que escoa através de um furo na lateral inferior de um tanque (Figura 20). Para tanto, a equação é simplificada porque o ponto 1 estão sobre a superfície (p1 = patm), o ponto 2 é na saída (p2=patm). A velocidade no ponto 1 é próxima de zero, o que é uma boa suposição se o tanque for grande.
Figura 20 Aplicação do escoamento de fluido por um orifício
Observamos que nesse caso colocamos nossa referência de cota no nível do ponto 2. Dessa forma z1= h. A pressão de 1 é a da atmosfera. Como em 2 o fluido está escoando na forma de um jato livre, sua pressão também é a da atmosfera. Estes dois termos se anulam na equação de Bernoulli. A cota de 2 é zero, ou seja, z2=0. A velocidade do fluido no ponto 1, que fica na superfície livre do tanque, é praticamente zero. Logo, a equação ficou simplificada e V2 é calculada da seguinte forma:
Conheça um pouco mais sobre a contribuição de Daniel Bernoulli
7- EQUAÇÃO DE BERNOULLI MODIFICADA
Na prática os escoamentos nas tubulações sofrem o efeito do atrito do fluido com as paredes internas. Ou seja, há perda de carga.
Nesse caso a equação de Bernoulli deve ser reescrita da seguinte forma:
Onde De, cuja unidade é m2/s2, representa a perda de energia no escoamento por atrito, um dos nossos maiores problemas a serem resolvidos. Há diversas tabelas que fornecem perdas de carga para diferentes tipos de materiais e de acessórios (válvulas, curvas, tubo reto etc). Há uma forma simples para avaliar a perda de carga nas tubulações. Cada acessório provoca um acréscimo de comprimento equivalente.
Após determinar o comprimento equivalente total, basta utilizar o Diagrama de Moody (Disponível na página 31) para obter o fator de atrito e por consequência a perda de carga total. No diagrama é preciso primeiro calcular o número de Reynolds e conhecer a rugosidade do material. Para dutos de ar pode-se adotar a aproximação de tubo liso.
Para dutos retos podemos calcular a perda de energia entre dois pontos distantes a uma distância L um do outro da seguinte forma:
Nessa equação, “f” – fator de atrito, é determinado em função do número de Reynolds e da rugosidade da tubulação (e/D). Observe que υ = viscosidade cinemática.
A rugosidade o ferro fundido é aproximadamente 0,5mm, do cobre 0,0015mm, do aço galvanizado 0,15mm. Para escoamentos laminares, isto é para Reynolds menores que 2300, f = 64/Re. Para os demais escoamentos devemos utilizar o diagrama de Moody para obtenção do fator de atrito.
A presença de obstáculos ao escoamento pode ser traduzida em um acréscimo do comprimento equivalente das tubulações. Assim sendo, há tabelas que apresentam o quanto cada acessório (válvulas, curvas etc) acrescentam de comprimento ao trecho reto já existente da tubulação, conforme o diâmetro (Figura 21).
Figura 21- Comprimento equivalente de tubulação.
Para uma tubulação de 32mm, a passagem por uma válvula de retenção é o mesmo que o fluido percorrer 4m de tubulação reta. Se o fluido atravessar uma válvula de globo, a perda de carga é a mesma que percorrer 15m de tubulação reta. E assim por diante.
A viscosidade cinemática da água é de 1 x 10-6 m2/s Esse valor pode ser escrito como 0,000001 m2/s.
Em aplicações envolvendo o uso de uma bomba para deslocamento do fluido, a equação de Bernoulli passa a ser utilizada da seguinte forma:
Todos os termos da equação acima tem como unidade (m/s)2. A grandeza wB multiplicada pelo fluxo de massa, m., origina o termo
WB pois: WB m wB Cujas unidades são:
O fluxo de massa é calculado pelo produto da vazão pela densidade do fluido. A Potência da bomba pode ser determinada da seguinte equação:
Exemplo 1
Considere que a tubulação tenha diâmetro interno de 32mm e que a velocidade da água no seu interior seja de 4m/s. As curvas e válvulas (retenção, globo e de crivo) acrescentam 20m de comprimento equivalente. Na Figura 22, considere C = 6m, B=3m e A=2m. A soma das medidas de tubulação horizontal “Dhor” é de 7m.
Para resolver essa questão identificamos inicialmente os pontos 1 e 2 localizados nas superfícies dos reservatórios. Vamos aplicar a
equação de Bernoulli modificada entre esses dois pontos. Como hipóteses simplificativas consideraremos que V1=V2= ZERO e que p1=p2=pressão atmosférica. Consideraremos também que Z1=zero.
Figura 22- Aplicação da equação de Bernoulli modificada
Então, a equação de Bernoulli modificada pode ser simplificada conforme mostrado a seguir:
Que origina uma equação bem mais simples:
Na equação acima, tem-se que g = 10m/s2, z2 = B+C=9m. O fluxo de massa (“m ponto”) é calculado a partir da vazão. A vazão é encontrada multiplicando-se a velocidade de escoamento pela área da secção transversal interna da tubulação.
s m s m
VAZÃO m 0,0032 /
4 032 , 0 . 14 , . 3
4 2 3
2
Considerando que 1 m3 tem 1000 litros, o fluxo de massa é de
Assista ao vídeo para entender melhor o funcionamento de uma bomba hidráulica:
O número de Reynolds é calculado em aproximadamente 1,3 x 106. 105
3 , 1 1280000 000001
, 0
032 , 0 .
Re 4 x
No Diagrama de Moody (Figura 23) obtemos para TUBOS LISOS o valor de “f” – fator de atrito – como sendo de 0,016.
Figura 23- Obtenção do fator de atrito
Com o valor do fator de atrito “f” =0,016 e com o comprimento total de tubulação (L = comprimento dos tubos retos + comprimento equivalente dos acessórios = 18m + 20m = 38m) encontramos o valor de De (m2/s2).
2
2 2
032 152 , 0 . 2
4 . 38 . 016 , 0
s
e m
Finalmente a potência da bomba em Watts pode ser determinada substituindo-se os valores na equação:
Logo: W 3,2.
10.9152
774W Ou seja, o cálculo teórico resulta em aproximadamente 1CV.Ressaltamos que esse é um cálculo teórico e não considera a eficiência da bomba e de seu motor.
Nos catálogos é comum utilizar a Vazão e a Altura manométrica (Hman) para seleção do equipamento mais adequado.
Como De =152m2/s2, a altura manométrica Hman é de 15,2m, que é igual a De/g, onde “g” é a aceleração gravitacional = 10 m/s2. Diagrama de Moody
Figura 24– Diagrama de Moody
Para um tubo de PVC com 32mm de diâmetro devemos
adicionar um comprimento equivalente de 1,5m para cada joelho,
0,3m para registro de gaveta aberto, 15m para cada registro de
globo aberto, 3,10m para válvula de pé e mais 1,3m para a saída
da canalização.
Exemplo2:
Calcular a potência da bomba para elevação da água até o reservatório superior. Considere a velocidade do fluido no ponto 2 como sendo 5m/s.
BOMBA VG
VG
VP PVC 75mm
AÇO 50mm
ÁGUA
2m
2m V2= 5m/s
1m 1m
1m
2m 10m
3m VR
RESERVATÓRIO SUPERIOR
Figura 25- Esquema do sistema de bombeamento.
Para definirmos as perdas de carga, considere que as curvas e válvulas acrescentam um comprimento equivalente de trecho reto da seguinte forma:
Na sucção, para o diâmetro da tubulação de 75mm tem-se os seguintes acréscimos de comprimento equivalente: Os valores foram determinados em ábacos (anexo).
1- válvula de pé = 20m 2- curva = 1,6m
3- válvula globo = 26m 4- trecho reto = 5m
Total de comprimento equivalente no trecho 1 – sucção = 52,6m.
Para depois da bomba, onde o diâmetro da tubulação é de 50mm tem-se os seguintes acréscimos de comprimento equivalente:
1- 3 curvas = 3,3m
2- Válvula globo = 17,4m 3- Válvula de retenção = 4,2m 4- Saída = 1,5m
5- Trecho reto = 17m
Total de comprimento equivalente no trecho 2 – após a bomba = 43,4m.
O problema deve ser iniciado calculando-se a velocidade da água na sucção. Isso é simples, pois a massa se conserva e desta forma:
ms A
A V V
A V A
V 2,22
4 75 .
4 50 . . 5
. .
. .
. 2
2
1 2 2 1 2 2 2 1 1
1
Com a velocidade V1 calcula-se o número de Reynolds. Com o número de Reynolds e a rugosidade do tubo, obtém-se o fator de atrito f no Diagrama de Moody (anexo).
5
6 1,655 10
10 006 , 1
075 , 0 22 , 2
Re .
D V
TUBO 1 – PVC liso – f~0,016 no Diagrama de Moody.
A perda de energia na sucção é determinada da forma:
2 2 2
2
7 , 075 27
, 0 . 2
22 , 2 . 6 , 52 . 016 , 0
2 s
m D
V L e f
s
sucção
Para o recalque com a velocidade de 5m/s, calcula-se o número de Reynolds e com a rugosidade do material – aço cujo e/D=0,003 obtém-se o novo fator de atrito f = 0,026 no Diagrama de Moody.
5
6 2,485 10
10 006 , 1
05 , 0 5
Re .
D V
Dessa forma, a perda de energia no recalque é dada por:
2 2 2
2
1 , 05 282
, 0 . 2
5 . 4 , 43 . 026 , 0
2 m s
D V L e f
r
recalque
A perda de energia total é a soma da perda de carga na sucção e no recalque:
2 2/ 310m s Δe =
Δe +
Δetotal= sucção recalque
O fluxo de massa de água é obtido pela equação:
s D kg
V
m 9,8
1000 4
2 1
1
A equação para o cálculo da potência da bomba é simplificada da seguinte forma:
CV
= kW
= W
= +
Δe = + gh V + m
=
WB 2 total .9,8.14 310 4508 4,5 6
2 9,8. 5 2
2 2
A seguir, mostramos como fazer a seleção de uma bomba hidráulica a partir de um catálogo. O que se busca é um ponto ótimo entre a curva da bomba e da tubulação, conforme ilustrado na Figura 26.
Figura 26- Ponto de operação de um sistema de bombeamento Para seleção em catálogo é importante entrar com a vazão de escoamento e com a ALTURA MANOMÉTRICA (Hman) das bombas hidráulicas. A Hman é a soma da altura geométrica com Hf referente às perdas de pressão durante o escoamento. Lembre-se que Hf é obtido pela divisão de “De” (m2/s2) pela aceleração gravitacional “g” (m/s2).
Figura 27– Definição da altura manométrica
Com a vazão de bombeamento em metros cúbicos por hora e a altura manométrica é possível encontrar a família de bomba mais adequada para a rotação de interesse. Como exemplo, suponha que um sistema de
Nesse caso, encontramos no catálogo de um determinado fabricante que a família mais adequada para esse escoamento é a “32 – 200”. Ou seja, diâmetro do recalque (após a bomba) de 32 mm e diâmetro do rotor de aproximadamente 200mm.
Figura 28- Determinação do tipo de bomba hidráulica.
Com essas informações, para a família 32-200 obtemos a eficiência da bomba como sendo de aproximadamente 52% nas isocurvas de eficiência.
Figura 29- Determinação da potência de bombeamento em CV.
Com o diâmetro do rotor (186mm) é possível estimar a potência da bomba em 10CV.
Na literatura especializada há uma expressão matemática aproximada para o cálculo da potência da bomba em CV:
. 75
) ( . / .
) 1000 (
3 s H m
m Vazão CV
Potência man
Se o rendimento (h) da bomba calculada no exemplo 2 fosse de 60%, a potência da bomba hidráulica em CV seria:
CV s m
m CV
Potência 6,7
50 , 0 . 75
) ( 31 . 0098 , 0 . 1000 )
(
3
No exemplo 2, De era de 310m2/s2. Por isso a Altura manométrica utilizada na equação acima foi de 31m, que é o resultado da divisão de 310 pela aceleração gravitacional “g = 10m/s2”.
Para saber mais, assista aos vídeos explicativos sobre dimensionamento de bombas hidráulicas.
ANEXOS:
ANEXO 1 - BANCADA DE TESTE DE VAZÃO
1- Descrever a bancada
2- Determinar a vazão de escoamento
3- Construir a curva do ventilador e da tubulação 4- Avaliar os possíveis erros de medição
Figura 30 – Foto da Bancada de Testes de Vazão de Ar Aponte seu celular para o QR-Code para assistir ao vídeo explicativo:
Ou digite no Youtube: Bancada de vazão https://youtu.be/BAoXJV0mih0
DESCRIÇÃO DO FUNCIONAMENTO DA BANCADA:
1- TUBO DE VENTURI
O tubo de Venturi é muito utilizado para obtenção da velocidade de escoamentos. Sua configuração é mostrada na Figura, onde se tem uma contração de secção seguida de uma expansão suave que provoca uma diferença de pressão proporcional à velocidade do fluido.
Modelo teórico:
As medidas obtidas nos manômetros do ventilador e do Venturi estão na unidade mmca (milímetros de coluna de água). Para obter o valor em Pascal, deve-se multiplicar por 10.
Para a bancada em questão tem-se: para T = 29oC, β = 0,70, D da garganta = 0,049m e Diâmetro da Tubulação = 0,070m. A massa específica do ar é de 1,16kg/m3. Nesse caso, também é possível se determinar a vazão por uma equação simplificada:
Onde K = 0,00281 se a unidade desejada da vazão for na unidade metros cúbicos por segundo e K=10,12 se a unidade desejada da vazão for em metros cúbicos por hora.
Exemplo: Para variação de pressão de 128mmca tem-se uma variação de pressão em Pascal = 128 x 10 = 1280 Pascals.
Logo: Vazão = 362 m3/h.
∆ Pressão mmca
∆ Pressão em Pascal
Vazão calculada m3/h
128 1280 362
67 670 262
37 370 195
7 70 85
Com as vazões encontradas é possível traçar a curva do ventilador.
Para tanto é preciso medir o diferencial de pressão do ventilador e o diferencial de pressão do Tubo de Venturi.
Diferencial de
pressão no ventilador Diferencial de pressão no VENTURI
Vazão calculada em m3/h.
930 Pascals 1280 362
1190 Pascals 670 262
1300 Pascals 370 195
1360 Pascals 70 85
Variando-se a rotação do ventilador é possível traçar as curvas indicadas na Figura.
2- TUBO DE PITOT
Para obtermos o perfil de velocidades do ar dentro da tubulação é possível regular a posição da medição do Tubo de PITOT.
P total – P estática = Pressão dinâmica
A vazão é determinada pela multiplicação da velocidade de escoamento pela área da secção de passagem do ar.
ANEXO 2 – BANCADA DE PERDA DE CARGA
A bancada de perda de carga permite comparar a perda de energia teórica e experimental entre 2 pontos do escoamento.
Primeiramente, os estudantes devem descrever e medir os componentes da bancada. Depois devem ler a vazão no rotâmetro, aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 e avaliar a perda de energia.
Figura – Ilustração esquemática da bancada de hidráulica.
Digite no youtube: Aula prática - Bancada de Hidráulica - Mecânica dos Fluidos – RAC. Após assistir ao vídeo, responda:
a) Qual é a área de passagem da água (m2)?
b) Qual é a velocidade de escoamento da água (m/s)?
c) Qual o fator de atrito do escoamento (Re = Veloc . D / 1 x 10-6)?
d) Qual é a pressão absoluta da água na sucção da bomba (Pa)?
e) Qual é a perda de energia real entre os pontos 1 e 2?
f) Qual é o comprimento equivalente entre os pontos 1 e 2?
g) Qual é a perda teórica de energia do escoamento?
ANEXO 3 – ASSOCIAÇÃO DE BOMBAS
A bancada de duas bombas hidráulicas permite a avaliação do ponto de operação quando as mesmas estão funcionando em série e em paralelo.
Figura – Ilustração esquemática bancada de duas bombas.
1- Descreva o funcionamento da bancada.
2- Analise o circuito hidráulico para operação em série e em paralelo.
3- Construa a curva de uma bomba hidráulica em 3 diferentes vazões 4- Construa a curva de duas bombas ligadas em série
5- Construa a curva de duas bombas ligadas em paralelo 6- Construa a curva de operação do sistema.
ANOTAÇÕES:
ANOTAÇÕES:
ANOTAÇÕES:
ANOTAÇÕES:
Em uma
equação tem-se uma letra que representa a variável (valor desconhecido) e um sinal de igualdade. O lado esquerdo da equação chama-se primeiro membro e o direito segundo membro.
ANEXO 2- MATEMÁTICA BÁSICA
Nesse anexo vamos mostrar um resumo de alguns conceitos de matemática básica como regra de três, cálculo de áreas, equações simples, volumes e uso de triângulos.
1- NOÇÕES DE ÁLGEBRA
Pense no seguinte problema: Se a idade do meu pai somada com a minha é de 100 anos e a diferença entre nossas idades é de 40 anos, qual é a minha idade?
Antes de responder a esta pergunta, vamos observar uma balança em equilíbrio onde temos 2 bolas de alumínio de mesma massa e um peso de 8kg no prato da esquerda e dois pesos no prato da direita, o primeiro com 8kg e o segundo com 3kg. Qual será a massa de cada bola de alumínio?
8 8 3
A álgebra é muito útil para resolver situações deste tipo. A solução para este problema pode ser bastante facilitada através do uso de um número desconhecido representado por uma letra. A letra “x” é bastante utilizada como variável desconhecida. Uma análise do problema acima sugere que há equilíbrio entre os dois lados da balança, ou seja, a massa de um lado é igual à massa do outro. Se escrevermos a massa desconhecida como sendo “x”
temos a seguinte relação:
2. x +8= 8+3 + x
2. x− x=8 + 3−8 ⇒ 1. x =3
Ou seja, a partir de uma equação algébrica ficou fácil obter o valor da massa da esfera de alumínio como sendo 3kg.
Outro exemplo pode ser observado a seguir: Imagine que a soma de dois números consecutivos seja 13. Quais são esses números?
Observe que podemos calcular mentalmente estes dois números como sendo 6 e 7, mas isto só é possível porque os números são pequenos e inteiros. Mas quando o problema envolver outros números é comum o uso de equações algébricas como forma de facilitar os cálculos. Veja a solução. Considere que o primeiro número seja x. O segundo, sendo consecutivo só pode ser x+1. Observe ainda que foi dito no enunciado que a soma destes números é igual a 13. Logo temos:
6 12
2 1 13 .
2
13 1 . 2
13 ) 1 (
x x
x x
x x
O primeiro número é 6 e o segundo é 7 conforme já
havíamos calculado mentalmente. O que acabamos de fazer
chama-se equacionamento. Por definição sabemos que uma
EQUAÇÃO é uma igualdade entre duas expressões matemáticas
que só é satisfeita por alguns valores. No exemplo anterior, o
número 6 era quem satisfazia o problema proposto.
4 8
. 2
2 10 .
2
10 2 .
2
x x
x x
Graficamente podemos representar o problema da seguinte forma:
Observe que podíamos trocar o peso de 10 por um de oito e outro de 2kg. Como temos dois quilogramas de cada lado, podemos tirar estes dois pesos sem mudar o equilíbrio. A massa de oito do lado direito poderia ser substituída por outras duas massas de 4kg cada. Como temos agora duas esferas de mesma massa fica claro que a massa da esfera é de 4kg.
Para finalizar a equação é preciso verificar se a resposta satisfaz: Para tanto, coloque o valor “4” na posição de “x” da equação. Observe que o resultado fica 10 = 10.
2.x+ 2 = 10
Agora que você já aprendeu tudo isso, pense na pergunta inicial. Lembre-se que eu disse que a idade de meu pai somada com a minha dá 100 anos.
A diferença entre nossas idades é de 40 anos. Para resolver o problema, basta considerar que “x” é a idade do filho e “y” é a idade do pai, logo:
40 100
x y
y x
Podemos isolar o valor de y na segunda equação e substituir na primeira como segue:
2 30 60 60
. 2
40 100 .
2 100 40
100 )
40 (
40
x x
x
x x
x
x x
x y
Logo a idade de meu filho é de 30 anos.
2- REGRAS DE OPERAÇÕES
Agora que você está craque em equações é bom relembrar
algumas regras de operações com números e expressões
numéricas. Nesta aula vamos falar um pouco sobre propriedades
das operações como
comutativa, distributiva e associativa. Elassão muito importantes para uma correta análise das equações
aprendidas na aula anterior.
Supondo que um pai vá fazer uma compra de material escolar, cujos cadernos custam R$ 18,00, os livros R$40,00 e as canetas R$32,00. Como ele deve somar todos estes valores mentalmente e de forma rápida? Isso pode ser feito sem problemas usando algumas regras matemáticas. Veja de que forma!
90 50 40 )
32 18 ( 40
32 18 40 32 40 18
Observe que usamos a propriedade comutativa (trocando o 40 e o 18 de posição) e a propriedade associativa (juntando o 18 e o 32). O importante aqui é lembrar sempre que numa adição a ordem dos fatores não altera o resultado. Podemos comutar e associar termos sem problema, o que facilita a realização dos cálculos.
Na multiplicação estas regras também são válidas. Por
exemplo, considere um terreno de 20 metros de comprimento e
15 metros de largura em que precisamos fazer o muro em todo
seu contorno. Quantos metros quadrados de alvenaria são
necessários se a altura do muro fosse de 1,5m?
A soma das medidas laterais do terreno em metros (PERÍMETRO) é de 20m+15m+20m+15m, ou seja, 70m. A área lateral do muro será 70m de comprimento vezes 1,5m de altura, ou também 1,5m vezes 70m, o que resulta em 105m
2de alvenaria. Observe que a ordem dos fatores também não afeta o resultado na multiplicação. Se para cada metro quadrado de construção do muro são necessários 25 tijolos, então precisamos comprar 2625 tijolos.
Observe ainda que a ordem de realização das operações.
Primeiro devem ser realizadas as multiplicações e as divisões para somente depois realizarmos as adições e subtrações. A seguir ilustramos uma aplicação do que acabamos de dizer:
74 12 62
12 36 98
3 36 3 . 12 98
= +
= +
=
÷ +
Para cálculos mais difíceis é importante conhecer regras na aplicação das propriedades. Para tanto utilizamos representações como ( ), [ ] e { } que são os parênteses, colchetes e chaves.
Esses sinais indicam a preferência da realização dos
cálculos. Observe o exemplo: Primeiramente realizamos as
operações que estão entre parênteses, depois entre chaves para
finalmente realizar aquelas que estão entre colchetes.
8 7
8 15 8 23 8 4 28 88 4 12 16 8
8 4 3 36 4
. 4 8
= +
= + +
= +
÷ +
= +
÷ + +
= +
÷ )
÷ ( + ) (
+
3- REGRA DE TRÊS
Você já ouviu falar de regra de três? Talvez não, mas tenho certeza que você utiliza este conceito no dia a dia. Por exemplo, quando o jornalista fala na televisão que um dólar está valendo R$ 3,00. Quanto você teria em reais se tivesse guardado U$20,00? É simples, se um dólar vale 3 reais, então 20 dólares valem 60 reais.
Outro exemplo é o caso de um carro que percorre uma rodovia a 80km/h. Em doze horas, quantos quilômetros ele percorrerá? Você pode resolver o problema através de um raciocínio mental ou através de uma tabela de proporcionalidade como segue:
Tempo (horas) Espaço (km)
1 80
12 x
O tempo e o espaço são proporcionais, ou seja, à medida que o tempo passa o espaço percorrido também aumenta. Assim sendo temos uma relação de proporcionalidade direta e podemos montar uma proporção conforme a tabela acima.
km x
x
1 .
x12 . 80 960 80
12
1
Observe que o nome regra de três vem dessa tabela. Ou seja, conhecemos 3 elementos e desejamos encontrar o quarto.
Esse tipo de regra é muito importante nas conversões de unidades.
Outro exemplo: Para aquecer 2 litros de água em 50
oC é preciso 100 kcal (k é igual a 1000). Logo, para aquecer 6 litros de água serão necessárias 300 kcal. Isto é feito diretamente porque as grandezas são proporcionais.
Agora que aprendemos um pouco mais sobre regra de três fica claro o que fazer quando um catálogo diz que a capacidade do aparelho é de 24.000Btu/h e desejamos saber quanto esse valor vale em Watts, que é a unidade do Sistema Internacional.
Das tabelas de conversões sabemos que 12.000Btu/h é igual a 3.517W, isto quer dizer que 24.000Btu/h vale “x”, ou seja, x é igual a 7014 W. Observe o quadro:
Potência (Btu/h) Potência (W)
12000 3517
24000 x
Mas nem toda regra de três é tão direta assim. Existem aquelas em que a relação de proporção é inversa. Veja o interessante caso. Um exemplo: Se 2 pintores gastam 18h para pintar uma casa. Quanto tempo levarão 4 pintores para realizar o mesmo serviço?
Número de pintores Tempo (h)
2 18
4 x
Observe agora que se o número de pintores aumenta é claro que o tempo do serviço cairá. Logo a relação de proporção é inversa. Se número de pintores dobra o tempo cai pela metade.
h x x x
9 .
4 18 . 18 2 4
2
Como estamos trabalhando com grandezas inversamente proporcionais temos que inverter a posição do “x”.
Além da regra de três simples existe a regra de três composta, mas não entraremos em detalhes sobre o seu uso aqui.
Outra aplicação importante da regra de três é no cálculo de porcentagem. Por exemplo, suponha que você aplique R$600,00 na poupança e ao final do mês a correção foi de R$21,00.
Pergunto-lhe qual foi a taxa de rendimento?
Observe que R$ 600,00 é o valor principal (capital) e R$21,00 é o rendimento. A taxa de rendimento (i) é dada da seguinte forma:
Capital (R$) Rendimento (%)
600,00 100
21,00 X
35 , 100 0
5 ,
% 3 5 , 00 3
, 600
% 100 . 00 ,
21
x
Observe que escrevemos 3,5% na forma fracionária
(3,5/100) que é o mesmo que dizer 0,35. Cuidado com isso
porque em algumas situações o valor deve ser introduzido na
equação a ser trabalhada de maneira decimal.
4- CÁLCULO DE ÁREAS
Para se escolher o melhor aparelho de ar condicionado para um dado ambiente o técnico necessita calcular uma série de áreas como das janelas, paredes e coberturas. Outro exemplo onde este cálculo é fundamental é na confecção dos dutos. Dessa forma é possível especificar a quantidade de chapas de aço são necessárias para a execução da obra.
Não existe um equipamento para medir área, como o termômetro que serve para medir temperatura ou como a trena que serve para medir o comprimento. O que se faz é comparar a nossa superfície de interesse, uma janela, por exemplo, com um quadrado de 1 metro de lado.
Olhe este exemplo: Quantos vidros de 1m por 1m cabem em uma área de janela de 3 metros de largura por 1 metro de altura? A área da janela pode ser calculada multiplicando o seu comprimento vezes sua largura. Já a área do quadrado obtida através da multiplicação de seus lados. Cada quadrado tem 1 m
2, logo na janela temos 3 pedaços de 1 m
2de vidro.
1m
1m2 1m
