Cálculo ADS Lista 2.1

Material de estudo: Cap. 3 e 4 de [3], Cap. 3 e 4 de [4], Cap. 7 e 9 de [5]. Derivadas

1. Calcular as seguintes taxas de varia¸c˜ao:

(a) Seja a fun¸c˜ao f tal quef(x) = 3x+ 1,_∀x_∈R,x0 = 1, x1 = 4 e emx0 = 2, x1= 5.

(b) Seja a fun¸c˜ao f tal quef(x) =x2+ 5,_∀x_∈Re x0 = 2, x1 = 4.

(c) Seja a fun¸c˜ao f tal quef(x) =x3₋1,_∀x_∈Re x0 = 4, x1 = 0.

(d) Seja a fun¸c˜ao f tal quef(x) =x2,_∀x_∈Rde x0 parax0+h comh >0.

2. seja f(x) = 3x2_{−12x+ 8,∀x∈R.}

(a) Use a defini¸c˜ao para achar df_dx(x) em x. (b) Defina a fun¸c˜ao derivadaf′ _{e seu dominio.}

(c) Escreva a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico def emx= 4. (d) Escreva a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico def emx=₋2.

3. Ache a inclina¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao definida porf(x) =x3₋3x+ 4 no ponto (x1, y1).

4. Determinar as derivadas para as seguintes fun¸c˜oes emx usando a defini¸c˜ao:

a) f(x) =c,_∀x_∈R, c_∈R b)f(x) =x,_∀x_∈R c)f(x) =x3,_∀x_∈R d)f(x) =√x,_∀x_≥0 e)f(x) = _x12,∀x∈R, x6= 0 f)f(x) = _x13,∀x∈R, x6= 0 g) f(x) = 5x2_{+ 6x−1,∀x∈R h)f(x) =} x−2

x+3,∀x∈R, x6=−3 i)f(x) =xn,∀x∈R, n∈N

5. Verifique as seguintes derivadas usando a defini¸c˜ao(formul´ario):

a)d_dx(c) = 0, c_∈R b)d(_dxxn) =nxn−1_{, x∈R, n∈Q c)}d(ex

)

dx =ex, x∈R

d)d(ln_dx(x)) = _x1, x_∈R, x >0 e)d(sen_dx(x)) =cos(x), x_∈R f)d(cos_dx(x)) =₋sen(x), x_∈R g)d(tg_dx(x)) =sec2(x) h)d(cotg_dx(x)) =₋cossec2(x) i)d(sec_dx(x)) =sec(x)tg(x) j)d(cossec_dx(x)) =₋cossec(x)cotg(x) k)d(_dxax) =axln(a), x_∈R l)d(loga(x))

dx =

1

xloga(e), x∈R, x >0 6. Determinar as derivadas para as seguintes fun¸c˜oes emx usando a defini¸c˜ao e formul´ario:

a) f(x) =c,_∀x_∈R, c_∈R b)f(x) =x,_∀x_∈R c)f(x) =x3,_∀x_∈R d)f(x) =√x,_∀x_≥0 e)f(x) = _x12,∀x∈R, x6= 0 f)f(x) = _x13,∀x∈R, x6= 0 g) f(x) = 5x2_{+ 6x−1,∀x∈R h)f(x) =} x−2

x+3,∀x∈R, x6=−3 i)f(x) =xn,∀x∈R, n∈N

j) y=ax, com a >0, a₆= 1 k)y=ex l)y =loga(x)

m) y=ln(x) n)y= sen(x) o) y= cos(x)

7. Use a defini¸c˜ao para achar f′_{(x) e escreva a equa¸c˜ao da tangente ao gr´afico def no ponto P.} a) f(x) =₋5x2+ 8x+ 2;P = (₋1,₋11) b)f(x) = 3x2₋2x₋4;P = (2,4)

8. Determinar as derivadas para as seguintes fun¸c˜oes emx usando a defini¸c˜ao: a) f(x) =c, x_∈R, c_∈R b)f(x) =x, x_∈R c)f(x) =x3, x_∈R d)f(x) =√x, x_≥0 e)f(x) = _x12, x∈R, x6= 0 f)f(x) = _x13, x∈R, x6= 0 9. Determinar as derivadas para as seguintes fun¸c˜oes:

a) f(x) = 3x3₋2x7, x_∈R b)f(x) =ex₋sen(x), x_∈R c)f(x) =ln(x)₋cos(x), x >0 d)f(x) = 3x2₋2tg(x), x_∈R e) f(x) = 7sec(x)_{− x}13, x∈R f)f(x) = 5ln(x)−4cossec(x), x >0 10. Determinar as derivadas para as seguintes fun¸c˜oes:

a) f(x) =x3ex b)f(x) = _x1 c)f(x) = (x₋1)(x+ 1) d)f(x) = (2x+ 1)(3x2+ 6) e)f(x) = (2x3₋1)(x4+x2) f)f(x) = 1₂(x2+ 5)(x6+ 4x) g) f(x) = 2x4−3

x2

−5x+3 h)f(x) = 2

x+4

3x−1 i)f(x) =x34 + _x55 11. Determinar as derivadas para as seguintes fun¸c˜oes:

a) f(x) = 3x3₋2x7, x_∈R b)f(x) =ex₋sen(x), x_∈R c)f(x) =ln(x)₋cos(x), x >0 d)f(x) =x3ex _{e)f(x) =tg(x) f)f(x) =cotg(x)}

g) f(x) =sec(x) h)f(x) =cossec(x) i) f(x) = (x3_{+ 1)(2x}2_{+ 8x−5)}

j) f(x) =x13(x2−3x+ 2) k)f(x) =3x 2

−x+2

4x2₊₅ l) f(x) = _3x2 1 −5x+4

m) f(x) = 2x_{sen(x) n)f(x) =log}

5(x) cos(x) o) f(x) =extg(x)−sec(x)

Derivada da fun¸c˜ao composta (Regra da Cadeia)

1. Determinar as derivadas para as seguintes fun¸c˜oes:

a) f(x) = 1₃e3−x _{b)f(x) =e}√x _{c)f(x) = 2}3x2

+6x

d)f(x) =x3ex2

−5_−sen(x2_{) e)f(x) =sen(2x−5) +ln(x}3_{) f)f(x) = (x}2_{+ 5x+ 2)}7

g) f(x) =√5x₋2 h)f(x) =ln(x2_{−3x+ 2) i)f(x) =e}x_{(5cos(3x)−7sen(3x))} 2. Determinar as derivadas para as seguintes fun¸c˜oes:

a) f(x) =x3ex2−5_−sen(x2_{−5x−7) b)f(x) =sen(2x−5) +ln(x}3_{+ 2x−1)} c)f(x) = 3x2

−1_+log

3(x5−4x) d)f(x) = 3tg(√x) +cotg(3x2−5)

e)f(x) = ₁₊cos_cotg(5x₍₇)_x) f)f(x) =cossec(x_x+1₋₁) Exerc´ıcios de aprofundamento

1. Usando a defini¸c˜ao, determine as trˆes primeiras derivadas da fun¸c˜aof(x) = 6x4. 2. Se f(x) =_|x_|,_∀x_∈R.

• Fa¸ca o esbo¸co do gr´afico def.

• Determine se f ´e diferenci´avel em x= 0. 3. Se f(x) =x13,∀x∈R.

• Fa¸ca o esbo¸co do gr´afico def.

• Prove que f ´e cont´ınua em x= 0

• Determine se f ´e diferenci´avel em x= 0. 4. Se f(x) =_|1₋x2_|,_∀x_∈R.

• Fa¸ca o esbo¸co do gr´afico def.

• Prove que f ´e cont´ınua em x= 1

• Determine se f ´e diferenci´avel em x= 1. 5. Fun¸c˜ao custo, fun¸c˜ao receita, fun¸c˜ao lucro

Considere uma industria que produz um certo produto num dado per´ıodo.

• a fun¸c˜ao custo total associada a essa produ¸c˜ao ´e:

C(x) := custo total para produzirx unidades do produto.

• a fun¸c˜ao receita total associada a essa produ¸c˜ao ´e:

R(x) := receita total gerada pela venda de xunidades do produto.

• a fun¸c˜ao lucro total ´e definida como sendo a diferen¸ca entre a receita total e o custo total: L(x) :=R(x)₋C(x) = lucro ao produzirx unidades do produto.

• o custo m´edio ´e: CM e(x) = C(_xx).

• a receita m´edia ´e: RM e(x) = R(_xx).

• o custo marginal ´e: CM g(x) = dC_dx(x). Assim, o custo marginal associado `a produ¸c˜ao de x unidades ser´a: CM g(x)_≈C(x+ 1)₋C(x)

• a receita marginal ´e: RM g(x) = dR_dx(x).

• o pre¸co unit´ario quando h´a uma procura de x unidades ´e chamado de fun¸c˜ao procura P(x) para o produto. Assim, a receita total ´e dado por R(x) = xP(x) e a procura marginal P M g(x) = dP_dx(x).

(a) A fun¸c˜ao custo associada `a produ¸c˜ao de x unidades de determinado produto ´e dado por C(x) = 10000 + 2x+₁₀1x2 e se a equa¸c˜ao de demanda do produto ´e dada por x = 10₋p, ondex representa a quantidade demandada epo pre¸co do produto. Determine,

C(x), CM e(x), CM g(x), R(x), RM e(x), RM g(x), P M g(x) eL(x)

(b) Um fabricante de toca-fitas tem uma despensa fixa mensal de R$ 10000 um custo de produ¸c˜ao de R$ 12 por unidade, e um pre¸co de R$ 20 por unidade.

i. DetermineC(x), CM e(x), CM g(x), R(x), RM e(x), RM g(x) eL(x). ii. Ache o valor das fun¸c˜oes do item anterior, sex= 1000.

iii. Quantas unidades devem ser fabricadas para manter o equilibrio (L(x) = 0)?

(c) Uma empresa de eletrˆonica estima que o custo (em unidades monet´arias) da produ¸c˜ao dex pe¸cas utilizadas em brinquedos eletrˆonicos ´e dado por C(x) = 200 + 0,05x+ 0,0001x2_.

i. DetermineC(x), CM e(x), CM g(x) de produ¸c˜ao de 500 unidades, 1000 unidades e 5000 unidades.

ii. Compare o custo marginal da produ¸c˜ao de 1000 unidades com custo da produ¸c˜ao da 1001 unidade.

i. Encontre o custo marginal e a receita marginal.

ii. Use o custo marginal para estimar o custo de produzir a nona unidade (´e a varia¸c˜ao do custo `a medida que x cresce de 8 para 9). Qual ´e o custo real de produzir a nona unidade? (e) Encontre o custo marginal e a receita marginal.

(f) Use o custo marginal para estimar o custo de produzir a nona unidade (´e a varia¸c˜ao do custo `a medida que x cresce de 8 para 9). Qual ´e o custo real de produzir a nona unidade? M´aximos e m´ınimos de fun¸c˜oes

1. Seja f(x) = x3+x2₋5x₋5,_∀x _∈R. Determine os intervalos em que a fun¸c˜ao f ´e crescente e os intervalos ondef ´e decrescente.

2. Seja f(x) =x3₋3x2_{+ 3,∀x ∈R. Determine os intervalos em que a fun¸c˜ao f ´e crescente e os}

intervalos ondef ´e decrescente.

3. Seja f(x) = x3 ₋3x2 + 3,_∀x _∈ R. Determine os valores de m´aximo e m´ınimo local. Em que pontos estes valores s˜ao atingidos.

4. Seja f(x) = 12 + 2x2 _−x4_{,∀x ∈ R. Determine os valores de m´aximo e m´ınimo local. Em que}

pontos estes valores s˜ao atingidos.

5. Determinar os valores de m´aximo e/ou m´ınimo geral de f.

a) f(x) =f(x) =x3₋12x,_∀x_∈[₋3,5] b)f(x) = (x₋1)23 + 2, x∈[0,9] c)f(x) =x3, x_∈R d)f(x) = 5₋6x2₋2x3, x_∈[₋3,1] e)f(x) = 1₋x23, x∈[−1,8] f)f(x) =x4−5x2+ 4, x∈[0,2]

6. Um fabricante de m´oveis estima que o custo semanal da fabrica¸c˜ao dex reprodu¸c˜oes (manuais) de uma mesa colonial ´e dado por C(x) = x3 ₋3x2 _{−80x+ 500. Cada mesa ´e vendida por}

2800 unidades monet´arias. Que produ¸c˜ao semanal maximizar´a o lucro? Qual ´e o m´aximo lucro semanal poss´ıvel?

7. A procura porxunidades de um produto est´a relacionada com um pre¸co de vendaP pela equa¸c˜ao 2x+P(x)2_{−12000 = 0.}

a) Ache a fun¸c˜ao procura, a fun¸c˜ao procura marginal, a fun¸c˜ao receita e a fun¸c˜ao receita mar-ginal.

b) Ache o n´umero de unidades e o pre¸co unit´ario que produzem receita m´axima. c) Ache a receita m´axima.

8. Um campo retangular `a margem de um rio deve ser cercado, com exe¸c˜ao do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de R$ 12 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$ 8 por metro linear nos dois extremos, ache o campo de maior ´area poss´ıvel que possa ser cercado com R$ 3600 de material.

9. A produ¸c˜ao de um funcion´ario, quando relacionada ao n´umero de horas trabalhadas, leva `a fun¸c˜ao P =₋2t2+ 24t+ 128.

a) Esboce o gr´afico ressaltando os principais pontos. b) Encontre, algebricamente, a fun¸c˜ao derivada P′_(t).

d) Utilizando P′_{(t), encontrada no item b), calcule o valor de P}′_{(8) e comente seu significado} num´erico.

e) Comente o sinal deP′_{(8) e sua rela¸c˜ao com o comportamento da fun¸c˜ao P(t).}

[1] Flemming, D. M., Gon¸calves, M. B.: C´alculo A: Fun¸c˜oes, Limite, Deriva¸c˜ao e Integra¸c˜ao. 6a

Edi¸c˜ao Ampliada. Pearson Prentice Hall, 2006.

[2] Hazzan, S; Morettin, P; Bussab, W.: Introdu¸c˜ao ao C´alculo para Administra¸c˜ao, Economia. Saraiva, 2009.

[3] Leithold, L.: O C´alculo com Geometria Anal´ıtica. Volume I e II, Ed. Harbra, 1994.

[4] Swokowski, E. W.: C´alculo com Geometria Anal´ıtica. Volume I e II, Ed. Makron Books, 1995.

[5] Guidorizzi, H. L.: Um Curso de C´alculo. Volume I, Ed. LTC, 2000.

[6] Boulos, P.: C´alculo Diferencial e Integral. Volume I e II, Ed Makron Books 1999.

[7] Silva, E. M.; Silva, E. M.; Silva, S. M.: Matem´atica B´asica para Cursos Superiores. Ed. Atlas 2002.

[8] Stewart, J.: C´alculo. Volume I, Ed Pioneira/Thomson Learning, 2005.