Decaimento do primeiro autovalor do operador de LaplaceBeltrami em superfícies de nível analíticas na esfera

(1)

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

JOS´E ANAST ´ACIO DE OLIVEIRA

DECAIMENTO DO PRIMEIRO AUTOVALOR DO OPERADOR DE LAPLACE-BELTRAMI EM SUPERVÍCIES DE NÍVEL ANALÍTICAS NA

ESFERA

FORTALEZA

(2)

DECAIMENTO DO PRIMEIRO AUTOVALOR DO OPERADOR DE

LAPLACE-BELTRAMI EM SUPERVÍCIES DE NÍVEL ANALÍTICAS NA ESFERA

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática do Departa-mento de Matemática da Universidade Fede-ral do Ceará, como parte dos requisitos ne-cessários para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática. Área de concentra¸cão: Ge-ometria e Topologia.

Orientador: Prof. Dr. Alexandre C´esar Gurgel Fernandes

(3)

Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

O47d Oliveira, José Anastácio de.

Decaimento do Primeiro Autovalor do Operador de Laplace-Beltrami em Superfícies de Nível Analíticas na Esfera / José Anastácio de Oliveira. – 2016.

51 f.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2016.

Orientação: Prof. Dr. Alexandre César Gurgel Fernandes.

1. Primeiro Autovalor. 2. Desigualdade de Lojasiewicz. 3. Superfície de Nível. I. Título.

(4)

(5)

(6)

Primeiramente, agrade¸co aos meus pais Luiz e Lúcia pelo incentivo, apoio, amor e amizade desde sempre. Aos meus irmãos Michelyne e Paulo pelo o incentivo. Aos meus sobrinhos Clara, Paulo e Clarisse pelos bons momentos de diversão.

Aos amigos Nalva (Marinalva), Cida (Aparecida), Clau-clau (Claud´ecio), Wol-vas (Carmos), Robinho (Robson), Samuca (Samuel), Rigo (Rigoberto), Helton, Edivˆania e Selene pelo apoio, principalmente durante esse per´ıodo.

Aos professores acadêmicos da gradua¸cão e pós-gradua¸cão por transmitirem seus conhecimentos que contribuiram bastante para minha forma¸cão. Em especial, ao meu orientador Alexandre pela paciência e aten¸cão. Aos professores (da URCA) Flávio, Ricardo e Valdemiro por incentivarem seus alunos a cursarem pós-gradua¸cão.

Aos professores Pacelli e Vincent por participarem da banca examinadora e pelas dicas.

Aos colegas Janielly, Nino (Eddygledson), Upá, Augusto (Tcham!), Am´ılcar, Wanderley, Robério, Chaves, Neilha, Elano, Helano, João Victor.

Aos funcion´arios da PGMAT. Em especial, a Andrea e Jessica pelo excelente trabalho na secret´aria.

A CAPES e FUNCAP pelo aux´ılio financeiro.

(7)

(8)

Neste texto, ser´a apresentado um resultado proposto por Paulo Cordaro e Jorge Hounie sobre o decaimente do primeiro autovalor do operador de Laplace-Beltrami em uma su-perf´ıcie de n´ıvel conexa em Sn+1_, _n _≥_{1. Esta disserta¸c˜ao baseia-se no artigo ”The First}

Eingenvalue of Analytic Level Surfaces on Spheres”de Sagun Chanillo (Mathematical Re-seach Letters, vol 1 (1994), p. 159-166).

(9)

In the text, will presented one resultad proposed by Paulo Cordaro and Jorge Hounie concerning the possible rate of decay of the first eigenvalue of Laplace-Beltrami operator on a level surface connected inSn+1_,_n _≥₁_. _{This thesis is basead on the paper ”The First}

Eingenvalue of Analytic Level Surfaces on Spheres”of Sagun Chanillo (Mathematical Re-seach Letters, vol. 1 (1994), p. 159-166).

(10)

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 10

2 PRELIMINARES . . . 11

2.1 M´etricas Riemannianas e Conex˜oes . . . 11

2.2 Geod´esicas e Variedades Completas . . . 14

2.3 Curvatura e Imers˜oes Isom´etricas . . . 17

2.4 Campos de Jacobi e Coordenadas Geod´esicas . . . 21

2.5 Conjuntos Mensur´aveis . . . 27

2.6 Desigualdade de Poincar´e . . . 30

2.7 Desigualdade de Lojasiewicz . . . 33

3 TEOREMA PRINCIPAL . . . 36

3.1 Problema de Autovalor . . . 36

3.2 Prova do Teorema Principal . . . 37

4 CONCLUS ˜AO . . . 48

(11)

1 INTRODUC¸ ˜AO

Considere f : Sn+1 _→ R anal´ıtica, com n _≥ 1, e, para s _∈ R, definamos a superf´ıcie de n´ıvel conexa Vs = f−1(s). Denotemos por s0 o valor cr´ıtico de f. Estamos

interessados em analisar o decaimento do primeiro autovalor do operador de Laplace-Beltrami, denotado por ∆, em Vs. Mais precisamente,

Teorema: Existem constantes C >0 e α >0, que idependem de s e s0, tais que λ1(Vs)≥C|s−s0|α, s→s0.

Uma vez que iremos utilizar o operador ∆, levaremos em considera¸c˜ao o pro-blema de autovalor que consiste em determinar os n´umerosλ tais que, para h_∈ C2₍_M_),

seja solu¸cão de ∆h+λh= 0, onde M é compacto e conexo. A teoria espectral garante a existência desses autovalores. Utilizando a defini¸cão do tom fundamental paraM, teremos

λ∗(M) = inf

M−{0} R

M|gradh| 2_dµ

R

M|h|2dµ

onde

M=

h _∈W1,2(M);

Z

M

h dµ= 0

que junto com o Teorema de Rayleigh nos dar´a λ∗₍_M_{) =} _λ

1(M). E, para relacionar o

(12)

2 PRELIMINARES

Nessa primeira parte ser˜ao apresentados resultados essenciais para demons-tra¸c˜ao do resultado proposto.

2.1 M´etricas Riemannianas e Conex˜oes

Nesta se¸cão serão apresentados as defini¸cões de métricas Riemannianas e conexões.

Defini¸cão 2.1 Uma métrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma varie-dade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M um pro-duto interno _h,_ip no espa¸co tangente TpM, que varia diferenciavelmente no sequinte

sentido: se x : U _⊂ Rn _→ M ´e um sistema de coordenadas locais em torno de p, com x(x1, x2, ..., xn) =q ∈x(U) e _∂x∂_i(q) =dx(0, ...,1, ...,0), ent˜ao

*

∂ ∂xi

(q), ∂ ∂xj

(q)

+

q

=gij(x1, ..., xn)

é uma fun¸cão diferenciável.

Exemplo 2.1 (M´etrica Euclidiana). SejaRncom _∂x∂

i identificado comei = (0, ...,1, ...,0). Temos que a m´etrica ´e dada por _hei, eji=δij.

Defini¸c˜ao 2.2 Sejam M e N variedade Riemmanianas. Um difeomorfismo f :M _→N

´e chamado de uma isometria se

hu, v_ip =_hdf(u), df(v)_if_(p) (2.1) para todop_∈M, u, v _∈TpM

Exemplo 2.2 (Variedades Imersas) Seja f : Mn _→ _Nm _{uma imers˜ao com} _m ₌ _n₊_k_,

ou seja, f é diferenciável e dfp : TpM → Tf(p)N é injetiva para todo p ∈ M. Se h, ip é

uma métrica Riemanniana em N, f induz uma métrica Riemanniana em M por (2.1). A métrica de M é dita métrica induzida por f, e f é uma imersão isométrica.

(13)

Defini¸cão 2.3 Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conexão afim_∇em M é dada por

∇:_X(M)_{× X}(M)_{→ X}(M) (X, Y) _{7→ ∇X}Y

que goza das seguintes propriedades: 1. _{∇f X+gY}Z =f_∇XZ+g_∇YZ,

2. _∇X(Y +Z) = _∇XY +_∇XZ,

3. _∇X(f Y) =f∇XY +X(f)Y,

com X, Y, Z _{∈ X}(M) e f, g suaves. Ademais, se _∇ verifica:

4. X_hY, Z_i=_h∇XY, Zi+hY,∇XZi, (compatibilidade com a m´etrica)

5. _∇XY − ∇YX = [X, Y] (simetria)

dizemos que a conex˜ao ´e Riemanniana (ou de Levi-Civita).

Observa¸c˜ao 2.1 SejaM variedade Riemanniana com a conex˜ao afim_∇com dim(M) =

n. Dados(U,x)uma carta local emp_∈M e ∂

∂xi vetor tangente emp`axi 7→x(0, ...,0, xi,0, ...,0). Sendo _∇ sim´etrico, temos

[_∇EiEj,∇EjEi](f) =

∂2_f ∂xi∂xj

− ∂

2_f ∂xj∂xi

= 0

paraf _{∈ D}(M) e Ei = _∂x∂_i.

Teorema 2.1 (Levi-Civita) Seja M variedade Riemanniana, existe uma única conexão afim _∇ em M que é simétrica e compátivel com a métrica Riemanniana de M.

Demonstra¸c˜ao: Ver [3], p´agina 61.

Para fechar essa se¸c˜ao, introduzimos a id´eia de gradiente, divergente e la-placiano.

Defini¸c˜ao 2.4 Seja f : M _→ R suave. O gradiente de f ´e o campo vetorial suave _∇f

em M dado por

h∇f, X_i=df(X) para todoX _{∈ X}(M).

(14)

2. _∇(f h) = h_∇f+f_∇h.

Observa¸c˜ao 2.3 SejaU _⊂M vizinhan¸ca coordenada, com campos coordenados _∂x∂₁,_∂x∂₂, . . . , _∂x∂

n. O gradiente de f em U ´e dado por

∇f =

n

X

k,l=1

gkl ∂f ∂xl

∂ ∂xk

.

Defini¸cão 2.5 Seja X _{∈ X}(M). Definimos a divergência de X como sendo a fun¸cão suave div X :M _→R, para p_∈M, por

(divX)(p) = tr_{x_7→(_∇vX)(p)_}

com v _∈TpM.

Observa¸c˜ao 2.4 Sejam X, Y _{∈ X}(M) e f suave em M. Ent˜ao, 1. div (X+Y) = div (X) + div (Y);

2. div (f X) = fdiv (X) +_h∇f, X_i.

Observa¸c˜ao 2.5 Seja U _⊂ M ´e uma vizinhan¸ca coordenada com campos coordenados

∂ ∂x1, . . . ,

∂

∂xn. Se X ∈ X(M) for dado em U por X =

Pn

i=1 ai _∂x∂_i, teremos

divX = p 1

det(gij) n X i=1 ∂ ∂xi ai q

det(gij)

.

Defini¸c˜ao 2.6 Seja f :M _→R suave. O laplaciano de f, ∆f :M _→R, ´e dado por ∆f = div_∇f.

Observa¸c˜ao 2.6 Para f, h suaves em M, segue as propriedades: 1. ∆(f +h) = ∆f+ ∆h

2. ∆(f h) = f∆h+h∆f + 2_h∇f,_∇h_i.

Observa¸cão 2.7 Seja f suave em M e U _⊂ M vizinhan¸ca coordenada com campos coordenados _∂x∂₁, . . . ,_∂x∂_n. Então, o laplaciano de f em U é dado por

∆f = p 1

det(gij) n X i,j=1 ∂ ∂xi

gijq_det₍_g ij)

∂f ∂xj

(15)

2.2 Geod´esicas e Variedades Completas

Nesta se¸cão será introduzida a idéia de geodésicas seguindo da defini¸cão da aplica¸cão exponencial. Da´ı, estamos aptos a definir a idéia de bolas geodésicas. Posteri-ormente, será apresentada uma ”pequena”idéia referente às propriedades globais de uma variedade Riemanniana, a saber, o conceito de completeza dessa variedade. Por fim, um dos principais teoremas dessa teoria vai ser apresentada, isto é, o teorema de Hopf-Rinow cuja demonstra¸cão vai ser ocultada.

Defini¸c˜ao 2.7 Seja M uma variedade Riemanniana. Dizemos que uma curva diferenci´avel

γ :I _→M ´e uma geod´esica se

Dγ′

dt (t) = 0

para todo t_∈I.

Observa¸cão 2.8 Se γ :I _→M é uma geodésica, então _|γ′₍_t₎_{| ≡}_constante_.

Observa¸cão 2.9 Uma geodésica γ :I _→M é normalizada se _|γ′₍_t₎_|_{= 1.}

Observa¸cão 2.10 Note que toda geodésica que não é um ponto (_|γ′₍_t₎_{| 6}_{= 0) pode ser}

nor-malizada atrav´es de uma parametriza¸c˜ao por comprimento de arco, ou seja, seγ :I _→M,

t _∈ I, é uma parametriza¸cão qualquer para uma geodésica, ela pode ser reparametrizada para se tornar uma geodésica normalizada. Basta escolher t0 ∈I e definindo o parêmetro

comprimento de arco

c(t) =

Z

t0

t_|γ′(t)_|dt.

Com efeito, segue pela regra da cadeia,

|γ′(c)_|=_|γ′(t)_||t′(c)_|=_|γ′(t)_| 1

c′₍_t₎ =|γ

′₍_t₎_| 1

|γ′₍_t₎_| = 1.

Exemplo 2.3 (Geodésicas deRn) Lembrando que δij é a métrica canônica de Rn, temos

queΓk

ij = 0. Da´ı, a equa¸cão geodésica é d2_xk

(16)

Logo, as solu¸cões para essa equa¸cão diferencial são

x(t) =tu+x0

com u, x0 ∈Rn. Isso nos mostra que as geod´esicas de Rn s˜ao retas.

Teorema 2.2 (Existência e Unicidade de Geodésicas) Seja M uma variedade Riemanni-ana. Então, para todos p _∈ M e ξ _∈ TpM, e para cada t0 ∈ R, existem um intervalo

abertoI _⊂Rcontendot0 e uma ´unica geod´esicaγ :I →M tais que γ(t0) =peγ′(t0) =ξ.

Defini¸c˜ao 2.8 Sejam p _∈ M e _{U ⊂} T M aberto, onde _U = _{(q, ξ) _∈ T M;q _∈ V, ξ _∈ TqM,|ξ|< ε}, sendo V vizinhan¸ca de p em M. A aplica¸c˜ao exp:U →M dada por

exp(q, ξ) =γ(1, q, ξ) =γ

|ξ_|, q, 1 |ξ_|

, (q, ξ)_{∈ U}

´e chamada aplica¸c˜ao exponencial em _U.

Observa¸c˜ao 2.11 Podemos restringirexpa um aberto do espa¸co tangenteTpM, ou seja,

podemos definir

expp :Bε(0) ⊂TpM →M

por expp(ξ) =exp(p, ξ). Tem-se que exp ´e diferenci´avel e expp(0) =p.

Observa¸c˜ao 2.12 Note que expp(ξ) ´e o ponto de M obtido pecorrendo um comprimento

igual a_|ξ_|, a partir de p, sobre a geod´esica que passa por p com velocidade igual a _|ξ_ξ_|.

Proposi¸c˜ao 2.1 Seja p _∈M. Existe um ε > 0 tal que expp : Bε(0) ⊂TpM → M ´e um

difeomorfismo de Bε(0) sobre um aberto de M.

Demonstra¸c˜ao: Ora,

d(expp)0(ξ) = d

dt(expp(tξ))

t=0

= d

dt(γ(1, p, tξ))

t=0

= d

dt(γ(t, p, ξ))

t=0

=ξ.

ou seja, d(expp)0 :TpM →TpM ´e a identidade e T0(TpM) =TpM. Portanto, segue pelo

Teorema da Fun¸c˜ao Inversa queexpp ´e um difeomorfismo local em uma vizinhan¸ca de 0.

Defini¸c˜ao 2.9 Seja M variedade Riemanniana ep_∈M.Definimos o raio de injetividade em p por

(17)

E, inj(M) =inf_{inj(p);p_∈M_}.

Exemplo 2.4 Segue que inj(Sn_{) =} _π _e _inj_(Rn_{) = +}_∞_.

Prosseguindo, considere c : [a, b] _→ M cont´ınua, e [a, b] _⊂ R, de forma que: existe uma parti¸c˜ao a = t0 < t1 < ... < tk−1 < tk = b de [a, b] tal que c|[ti,ti+1], i ∈

{0, ..., k₋1_}, são diferenciáveis. Curvas com essas caractéristicas são chamadas de curvas diferenciáveis por partes. Dizemos que cliga os pontosc(a) e c(b).

Defini¸cão 2.10 Sejam γ :I _→ M geodésica e [a, b]_⊂ I. Tem-se que γ_|_[a,b] é chamado o segmento de geodésica ligandoγ(a) e γ(b). Seja c apresentado anteriomente e denotemos por l(c) o comprimento da curva c em M ligando p e q. Dizemos que o segmento de geodésica γ : [a, b]_→M é minimizante se l(γ) _≤l(c) para toda curva c ligando γ(a) =p

e γ(b) = q.

Lema 2.1 (Gauss) Sejam p_∈M e ξ_∈TpM tais que expp(ξ) esteja definida. Ent˜ao, h(dexpp)ξ(ξ),(dexpp)ξ(w)i=hξ, wi

paraω _∈TpM.

Seja expp um difeomorfismo em uma vizinha¸ca de V da origem em TpM, exppV = U ´e chamada de vizinhan¸ca normal de p. Se Bε(0) ´e tal que Bε(0) ⊂ V,

chamamosexppBε(0) =Bε(p) a bola geod´esica (ou normal) de centro p e raioε. O Lema

de Gauss nos garante que a fronteira de uma bola normal é uma hipersuperf´ıcie em M ortogonal às geodésicas que partem de p, denotamos ela por Sε(p) que é chamada esfera

geod´esica (ou normal).

Defini¸c˜ao 2.11 Seja M uma variedade Riemanniana conexa. Para p, q _∈M, definimos distˆancia entre p e q por

d(p, q) =inf_{l(c); c e uma curva dif erenci´ ´avel por partes ligando p e q_}.

(18)

Bε(p) coincide com a bola m´etrica dada por

B(p, ε) =_{q_∈M;d(p, q)< ε_}.

Defini¸c˜ao 2.12 Uma variedade Riemanniana M ´e completa se para todo p _∈ M, expp

est´a definido para todo ξ _∈TpM.

Teorema 2.3 (Hopf-Rinow) Seja M uma variedade Riemanniana e p_∈M. S˜ao equiva-lentes:

(a) expp est´a definido em todo TpM;

(b) Os limitados e fechados de M são compactos; (c) M é completa como espa¸co métrico;

(d) M ´e geodesicamente completa;

(e) Existe uma sucess˜ao de compactosKn ⊂M, Kn⊂intKn+1 e ∪nKn=M, tais que se qn ∈/ Kn ent˜ao d(p, qn)→ ∞;

Ademais, as afirma¸c˜oes acima implicam que

(f ) Para todo q _∈M existe uma geodésica γ ligando p e q com l(γ) = d(p, q). Demonstra¸cão: Ver [3], página 162.

2.3 Curvatura e Imers˜oes Isom´etricas

Nesta se¸cão será apresentada a idéia de tensor curvatura e, posteriomente, definiremos curvatura seccional e curvatura de Ricci. Por fim, daremos uma pequena introdu¸cão sobre imersões isómetricas.

Defini¸cão 2.13 Seja M uma variedade Riemanniana. O (3,1)-tensor curvatura R de M é uma aplica¸cão R :_X(M)_{× X}(M)_{× X}(M)_{→ X}(M) dada por

R(X, Y)Z =_∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+∇[X,Y]Z

onde _∇´e a conex˜ao Riemanniana de M.

Observa¸c˜ao 2.14 O tensor curvaturaR de uma variedade Riemanniana verifica as pro-priedades:

(a) R ´e multilinear;

(19)

(b) (Primeira Identidade de Bianchi): Dados X, Y eZ _{∈ X}, tem-se

R(X, Y)Z +R(Y, Z)X+R(Z, X)Y = 0.

Observa¸c˜ao 2.15 Seja_{xi}sistema de coordenadas em torno dep∈M, tem-se[∂i, ∂j] =

0, donde

R(∂i, ∂j)∂k = (∇∂j∇∂i− ∇∂i∇∂j)∂k.

Defini¸c˜ao 2.14 Seja M uma variedade Riemanniana eσ um plano de TpM. A curvatura

seccional (ou Riemanniana) de M associada a σ ´e dada por

K(X, Y) = hR(X, Y)X, Yi

|X_∧Y_|2 =

hR(X, Y)X, Y_i |X_|2_|_Y_|2_{− h}_{X, Y}_i2

onde X, Y _∈TpM e {X, Y}´e uma base para σ.

Defini¸c˜ao 2.15 Sejam M variedade Riemanniana e p _∈ M. O tensor de Ricci, Ric :

TpM ×TpM →R ´e dado por

Ric(X, Y) =tr(Z _→R(X, Y)Z).

Se _{E1, ..., En}´e uma base ortonormal de TpM tem-se

Ric(X, Y) =

n

X

i=1

hR(X, Ei)Y, Eii.

Seja (M , g) uma variedade Riemanniana com dimensãom=k+n, seMé uma variedade diferenciável com dimensãon, teremos uma imersãoi:M _−→M .A métrica de

M induz de maneira natural uma m´etrica Riemanniana em M, ou seja, se ξ1, ξ2 ∈ TpM,

tem-se _hξ1, ξ2i = hdip(ξ1), dip(ξ2)i. Assim, i passa a ser uma imers˜ao isom´etrica de M

em M . Como toda imersão é localmente um mergulho, para cada p _∈ M, existe uma vizinhan¸ca U _⊂ M de tal que i(U) _⊂M é uma subvariedade de M, ou seja, existe uma vizinhan¸ca de U _⊂M de i(p) e um difeomorfismo ϕ : U _→ V, com V _⊂ Rk aberto, tais que ϕ aplica difeomorficamente i(U)_∩ U em um aberto do subespa¸co Rn _⊂ Rk.Nessa situa¸cão, dizemos queM é a variedade ambiente de M.

Agora, considere (M , g) variedade ambiente da variedade Riemanniana (M, g). Para p _∈ M, o produto interno em TpM decomp˜oe este espa¸co como TpM = TpM ⊕

(TpM)⊥ onde (TpM)⊥ ´e o complemento ortogonal de TpM em TpM . Assim, se ξ ∈TpM,

podemos escrever

ξ =ξ⊤₊_ξ⊥_{, ξ}⊤_∈_T

(20)

ondeξ⊤ _∈_T

pM ´e a componente tangencial deξ eξ⊥ ∈(TpM)⊥´e chamada a componente

normal deξ.

Representemos por _∇ a conexão Riemanniana de M. Se X, Y são extensões locais de vetores em M, e X, Y são extensões locais a M, definimos

∇XY = (∇XY)⊥.

Agora, podemos introduzir a defini¸c˜ao de segunda forma fundamental.

Defini¸c˜ao 2.16 Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana e (M , g) sua variedade am-biente. A aplica¸c˜ao II :_X(U)_{× X}(U)_{→ X}(U)⊥ _{definida por}

II(X, Y) = (_∇XY)⊥ =_∇XY _{− ∇}XY,

é a segunda forma fundamental de M, onde X, Y são quaisquer extensões locais de X, Y

a M .

Observa¸cão 2.16 A segunda forma fundamental está bem definida e é bilinear e simétrica.

Proposi¸cão 2.2 (Equa¸cão de Weingarten) Sejam X, Y _∈ T M e N _∈ (T M)⊥_{. Então,}

em M vale

h∇XN , Y_i=_−hN, II(X, Y)_i onde X, Y , N s˜ao quaisquer extens˜oes locais de X, Y, N em M.

Demonstra¸c˜ao: Temos em M, _hY , N_i = 0 e X ´e tangente a M, assim X_hY , N_i = 0.

Ora, em M

X_hY , N_i=_h∇XN , Y_i+_hN ,_∇XY_i

=_h∇XN , Y_i+_hN , II(X, Y) +_∇XY_i

=_h∇XN , Y_i+_hN , II(X, Y)_i+_hN ,_∇XYi

=_h∇XN , Y_i+_hN , II(X, Y)_i

Logo, _h∇XN , Y_i=_−hN, II(X, Y)_i.

Teorema 2.4 (Equa¸c˜ao de Gauss) Sejam p _∈ M e x, y vetores ortonomais de TpM.

Ent˜ao,

(21)

Demonstra¸cão: Sejam,X, Y extensões locais ortogonais de x, y, respectivamente, e tan-gentes a M; indiquemos por X, Y as extensões locais de X, Y a M . Assim, temos em

M

hR(X, Y)X, Y_i=_h∇Y_∇XX_{− ∇X}_∇YX+_∇[X,Y_]X, Y_i

=_h∇Y(_∇XX+II(X, X), Y_{i − ∇X}(_∇YX+II(Y, X), Y_i

+_h(_∇[X,Y]X+II([X, Y], X)), Yi

=_h∇Y_∇XX, Yi+h∇YII(X, X), Yi − h∇X∇YX, Yi − h∇XII(Y, X), Yi

+_h∇[X,Y]X, Yi+hII(X, Y), Yi

=_h∇Y_∇XX, Yi+h∇YII(X, X), Yi − h∇X∇YX, Yi − h∇XII(Y, X), Yi

+_h∇[X,Y]X, Yi

Segue pela equa¸c˜ao de Weingarten

h∇YII(X, X), Y_i=_−hII(X, X), II(Y, Y)_i

h∇XII(Y, X), Y_i=_−hII(Y, X), II(X, Y)_i.

E,

∇Y∇XX = (_∇Y_∇XX)⊤_{+ (}_∇Y_∇X_X₎⊥₌_∇Y_∇X_X_{+ (}_∇Y_∇X_X₎⊥

∇X∇YX = (_∇X_∇YX)⊤_{+ (}_∇X_∇Y_X₎⊥₌_∇X_∇Y_X_{+ (}_∇X_∇Y_X₎⊥

donde,

h∇Y∇XX, Yi=h∇Y∇XX, Yi, h∇X∇YX, Yi=h∇X∇YX, Yi.

Logo,

hR(X, Y)X, Y_i=_h∇Y_∇XX, Yi+h∇YII(X, X), Yi − h∇X∇YX, Yi − h∇XII(Y, X), Yi

+_h∇[X,Y]X, Yi

=_h∇Y∇XX, Yi − h∇X∇YX, Yi+h∇[X,Y]X, Yi

+_hII(Y, X), II(X, Y)_{i − h}II(X, X), II(Y, Y)_i

=_hR(X, Y)X, Y_i+_hII(Y, X), II(X, Y)_{i − h}II(X, X), II(Y, Y)_i Por fim, sendoK(X, Y) = _hR(X, Y)X, Y_i eK(X, Y) =_hR(X, Y)X, Y_i, temos

(22)

2.4 Campos de Jacobi e Coordenadas Geod´esicas

Nesta se¸cão, será introduzido o conceito de campo de Jacobi e coordenadas geodésicas.

Defini¸c˜ao 2.17 Seja γ : I _→ M, I _⊂ R, geod´esica. Um campo J ao longo de γ que satisfaz

D2_J

dt2 +R(γ′(t), J(t))γ′(t) = 0

´e chamado um campo de Jacobi ao longo de γ.

Proposi¸cão 2.3 (Existência e Unicidade de Campos de Jacobi)Sejaγ :I _→M geodésica,

I _⊂R. Dado t0 ∈I e X, Y ∈Tγ(t0)M, existe um ´unico campo de Jacobi ao longo de γ tal que

J(t0) =X, DJ

dt (t0) =Y.

Defini¸c˜ao 2.18 Seja γ : I _→ M geod´esica, I _⊂ R. Dado t1 ∈ I, diremos que γ(t1)

´e ponto conjugado de γ(t0) ao longo de γ se existe um campo de Jacobi J ao longo de γ, J ₆= 0 tal que J(t0) =J(t1) = 0.

Proposi¸cão 2.4 Seja γ : [0, β] _→ M uma geodésica. Então um campo de Jacobi J ao longo deγ com J(0) = 0 é dado por

J(t) = (dexpp)tγ′₍₀₎(tJ′(0)), t ∈[0, β].

Teorema 2.5 (Rauch) Seja M uma variedade Rimanniana, δ _∈ R constante e γ : [0, β] _→ M geodésica unitária tal que K _≤ δ para toda curvatura seccional ao longo de γ_|[0,β]. Se J ∈ J⊥ então a fun¸cão |J| ao longo de γ satisfaz

(23)

em [0, β). Al´em disso, se ψ for solu¸c˜ao em [0, β] de

ψ′′+δψ= 0, ψ(0) =_|J_|(0), ψ′(0) =_|J_|′(0) com ψ ₆= 0 em (0, β), ent˜ao

|J_| ψ

′

≥0, |J_{| ≥}ψ

em (0, β).

E, a igualdade ocorre em t0 ∈(0, β) se, e somente se K(J(t), γ′(t)) =δ, ∀t ∈[0, t0].

SejaM uma variedade Riemanniana completa e p_∈M. Para cada ξ_∈ TpM,

sejaγ : [0, β]_→M geod´esica tal queγ(0) =p, γ′_{(0) =}_ξ_{. Denotamos por}_c₍_ξ_{) =} _sup_{_{t >}

0;d(p, γ(t)) = t_} o ”cut point”de p ao longo de γ. Assim, [0, c(ξ)] ´e o intervalo maximal ondeγ ´e minimizante. Agora, seja_Dp =_{tξ _∈TpM; 0≤t < c(ξ),|ξ|= 1} ⊂TpM,tem-se

que paraξ _{∈ Dp},γ(t) = expp(tξ) minimiza distˆancia dep aγ(t), ∀t ∈[0, c(ξ)].Definimos

o ”cut locus”de p como sendo Cut(p) = _{expp(ξc(ξ));ξ ∈ TpM,|ξ| = 1}. Notemos que M =expp(Dp)∪Cut(p). Da´ı, somos motivados a defini¸c˜ao,

Defini¸c˜ao 2.19 O difeomorfismo expp : Dp → expp(Dp) ´e chamado de coordenadas

geod´esicas deM ₋Cut(p).

Defini¸cão 2.20 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim _∇. Um campo vetorial X ao longo de uma curva c : I _→ M é dito paralelo quando DX

dt = 0, ∀t _∈ I. Se c é diferenciável em M e X0 ∈ Tc(t0)M, então existe um único campo de vetores paralelo X ao longo de c, tal que X(t0) =X0. Nessas condi¸cões, X(t)é chamado

o transporte paralelo de X(t0) ao longo de c.

Serão apresentados agora a métrica e o elemento volume deM em coordenadas geodésicas. SejamM variedade Riemanniana e p_∈ M. Fixemos ξ _∈TpM com |ξ|= 1 e

definamosξ⊥ ₌_{_η_∈_T

pM;hη, ξi= 0}o complememnto ortogonal de{Rξ}emTpM e seja τ : TpM → Texpp(tξ)M transporte paralelo ao longo de γ : [0, β] → M. Agora, definamos

A(t, ξ) :ξ⊥_→_ξ⊥ _por

A(t, ξ)η=τ−1_J₍_t₎_,

onde J ´e o campo de Jacobi ao longo de ξ com condi¸c˜oes iniciais

(24)

Seja _R : ξ⊥ _→ _ξ⊥ _{dado por} _R_η ₌ _τ−1_R₍_γ′₍_t₎_{, τ η}₎_γ′₍_t_{) onde} _R _{´e o tensor}

curvatura de M. Notemos que _R(t) ´e autoadjunta e _A(t, ξ) satisfaz a equa¸c˜ao de Jacobi

A′′₊_RA_{= 0 com condi¸c˜ao inicial}_A₍₀_{, ξ}_{) = 0,}_A′₍₀_{, ξ}_{) =}_I_{, sendo} _I _{a matriz identidade.}

Calculemos a métrica deM em coordenadas geodésicas. Seja a parametriza¸cão

ψ : (0,+_∞)_× U _→ expp(Dp) dada por ψ(t, u) = expp(tξ(u)). Assim, para _∂t∂ e _∂u∂i coordenadas naturais em (0,+_∞) e U, respectivamente, com i_{∈ {}1, ..., n₋1_},temos

(∂tψ)(t;ξ) = d(expp)t∂ ∂t

∂ ∂tt

=γ′(t);

(∂αψ)(t, ξ) = d(expp)t_∂uα∂

t ∂

∂uα

=Jα(t, ξ) =τA(t, ξ)∂αξ,

com ∂αξ=ξ∗(∂/∂uα),e J(0;ξ) = 0 e J′(0;ξ) =∂αξ.

Da´ı,

h∂tψ, ∂tψi= 1,

como∂αξ⊥ξ

h∂tψ, ∂αψi= 0,

e paraβ _{∈ {}1, ..., n₋1_}

h∂αψ, ∂βψi=hA(t, ξ)∂αξ,A(t, ξ)∂βξi.

Logo,

ds2 =dt2 +_|A(t, ξ)dξ_|2

e o elemento volume deM ser´a

dµ=pg(t, ξ)dtdσ,

onde det_A(t, ξ) =pg(t, ξ).

Teorema 2.6 (Bishop-Günther)SejaM uma variedade Riemanniana completa ep_∈M. Dada γ : [0, β]_→M, geodésica unitária e γ(0) =p. Se as curvaturas seccionais K de M

ao longo de γ satisfazem K(γ′₍_t₎_{, ω}₎_≤_δ, _∀_t _∈_[0_{, β}_{], com} _ω _∈_T

pM, |ω|= 1 e Sδ(t)6= 0

em [0, β]. Ent˜ao,

( p

g(t, ξ)

Sδn−1

)′

≥0 (2.2)

em (0, β), e

p

(25)

em (0, β].

Al´em disso, ocorre a igualdade em (2.2)(respectivamente em (2.3)) em um t0 ∈ (0, β)

(respectivamente em (0, β]) se, e somente se _R=δI e _A =SδI em todo [0, t0], onde

Sδ(t) =

         1 √

δsen(t √

δ) ,se δ >0

t ,se δ= 0

1

√

−δsenh(t √

−δ) ,se δ <0

Demonstra¸c˜ao: Sendo _A:ξ⊥ _→_ξ⊥ _e_det_A₍_{t, ξ}_{) =}p_g₍_{t, ξ}_{), definamos}_B₌_A∗_A_{. Note}

que_B ´e autoadjunta. Ora,det_B=det_A∗_A_{= (}_det_A₎2 _e, _{ln det}_B_{= 2}_ln₍_det_A_{). Assim,}

1 2

(det_B)′

det_B =

(det_A)′

det_A .

Dadoα_∈(0, β) e considere_{e1, ..., en−1}base ortonormal deξ⊥composto por autovetores

de_B(α) e seja _{J1(t), ..., Jn−1(t)} solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Jacobi em ξ⊥: J′′+_R(t)J = 0,

onde

Ji(t) = A(t)ei, i∈ {1, ..., n−1}.

Portanto,

(det_A)′

det_A (α) =

1 2

(det_B)′

det_B (α) =

1 2tr(B

′_B−1₎₍_α₎

= 1 2

n−1

X

i=1

(_hAei,Aeii)′ hAei,Aeii

(α)

=

n−1

X

i=1 hA′_e

i,Aeii hAei,Aeii

(α)

=

n−1

X

i=1

hJi, Ji′i hJi, Jii

(α).

Como estamos nas condi¸c˜oes do Teorema 2.5, temos

hJ′

i, Jii hJi, Jii

(α) = |Ji|

′

|Ji|2

(α)_≥ S

′

δ Sδ

(α)

uma vez que a Sδ é solu¸cão da equa¸cão ψ′′ +δψ = 0 com condi¸cões iniciais Sδ(0) =

0, S′

(26)

Logo,

(det_A)′

det_A (α) = n−1

X

i=1

hJi, Ji′i hJi, Jii

(α)_≥(n₋1)Sδ′

Sδ

(α) ou seja,

( p

g(t, ξ)

Sδn−1

)′

≥0

em (0, β).

E, consequentemente

p

g(t, ξ)_≥Sδn−1

em (0, β].

Teorema 2.7 (Bishop) Seja M uma variedade Riemanniana completa e δ constante tal que

Ric(ξ, ξ) = tr_{R ≥}δ(n₋1)_|ξ_|2, ξ _∈T M.

Se , dado _|ξ_|= 1 e β >0, tal que pg(t, ξ)>0, t_∈(0, β). Ent˜ao,

( p

g(t, ξ)

Sδn−1

)′

≤0 (2.4)

em (0, β), e

p

g(t, ξ)_≤Sδn−1 (2.5)

em (0, β]. Al´em disso, ocorre a igualdade em (2.4)(respectivamente em (2.5)) em um

t0 ∈(0, β)(respectivamente em (0, β]) se, e somente se R=δI e A =SδI em todo [0, t0],

onde

Sδ(t) =

         1 √

δsen(t √

δ) ,se δ >0

t ,se δ= 0

1

√

−δsenh(t √

−δ) ,se δ <0

Demonstra¸c˜ao:Sendopg(t, ξ) = det_A(t, ξ), definamos_B=_A′_A−1 _{em (0}_{, β}_{) e notemos}

que

B∗− B = (_A′_A−1)∗_{− A}′_A−1 = (_A−1)∗(_A′)∗_{− A}′_A−1

= (_A−1)∗(_A′)∗_AA−1₋(_A−1)∗_A∗_A′_A−1 = (_A−1)∗[(_A′)∗_{A − A}∗_A′]_A−1

(27)

ondeW(_A,_A) é o wronskiano eW(_A,_A) = 0.Logo,_Bé autoadjunta e, consequentemente satisfaz a equa¸cão de Riccati

B′+_B2+_R= 0.

Ora,

0 =tr(0) =tr(_B′+_B2+_R) = (tr_B)′ +tr_B2+tr_R ≥(tr_B)′+(trB)

2

n₋1 +δ(n−1) uma vez que

tr_B2 _≥ (trB) 2

n₋1, por Cauchy-Schwarz;

tr_{R ≥} δ(n₋1), por hip´otese.

Fa¸camos

φ=tr_B=tr(_A′_A−1) = (detA)′

det_A

donde,

φ′ + φ

2

n₋1 +δ(n−1)≤0. Prosseguindo, fa¸camos

ψ(t) = (n₋1)_Lδ com Lδ(t) = S′

δ Sδ

(t),

note que,ψ ´e estritamente decrescente e quando δ _≤0, teremos ψ >(n₋1)√₋δ. Ora,ψ

satisfaz a equa¸c˜ao de Riccati

ψ′ + ψ

2

n₋1 +δ(n−1) = 0, da´ı,

ψ2

n₋1+ (n−1)δ >0, ∀t. Ora, quandot _→0,temos

φ_∼ n−1

t ,

assim, existe umǫ0 >0 tal que φ2

(28)

ou ainda, em (0, t), t_∈(0, β).

Portanto, teremos

−φ′

φ2

n−1 + (n−1)δ ≥1,

donde _Z

t

0

−φ′

φ2

n−1 + (n−1)δ ≥t.

Seja arc_Lδ a inversa de Lδ, segue que,

arc_Lδ

φ(t)

n₋1

≥t,

ou seja,

φ_≥ψ

em (0, β). Logo,

( p

g(t, ξ)

Sδn−1

)′

≤0 em (0, β) e, consequentemente

p

g(t, ξ)_≤Sδn−1 em (0, β].

2.5 Conjuntos Mensur´aveis

A ideia de conjuntos mensuráveis, assim como a ideia de fun¸cões mensuráveis, é essencial para esse trabalho, já que mais a frente iremos utilizar a integra¸cão de Lesbe-gue. Ainda nessa se¸cão será apresentada a medida de Hausdorff.

Defini¸c˜ao 2.21 Seja E _∈Rn, definimos sua medida exterior, m_∗(E), por

m_∗(E) = inf

( _∞

X

j=1

|Qj|;E ⊂

∞ [

j=1 Qj

)

onde Qj s˜ao cubos fechados.

Ademais, se

∀ε >0, _{∃ O ⊃}E, aberto, tal que m_∗(_{O −}E)_≤ε,

dizemos que E ´e mensur´avel a Lesbegue. Denotamos m(E) = m_∗(E).

(29)

1. Se m_∗(E) = 0, então E é mensurável;

2. Se _{Ej}j≥1 são mensuráveis, então S∞_j=1 Ej é mesurável;

3. Todo conjunto F _⊂Rn fechado ´e mensur´avel;

4. Se E é mensurável, então Ec _{é mensurável. Da´ı, segue que} T∞

j=1 Ej ´e mensur´avel,

desde que _{Ej}j≥1 sejam mensur´aveis.

5. Definamos para a _∈ Rn o conjunto E +a = _{x+a; x _∈ E_}. Sendo E mensurável, segue que E+a também é. Ademais, m(E+a) =m(E).

Proposi¸cão 2.5 Um conjunto mensurável verifica as propriedades: 1. Se E1 ⊂E2, então m(E1)≤m(E2)

2. Se E =S∞_j=1Ej, ent˜aom(E)≤P∞_j=1 m(Ej)

3. Se E =E1∪E2com d(E1, E2)>0, ent˜ao m(E) =m(E1) +m(E2).

Demonstra¸c˜ao: Ver [18], p´aginas 16-19.

Defini¸cão 2.22 Seja E _⊂ Rn mensurável, a fun¸cão f : E _→ R_{∪ {−∞},+_∞} é dita mensurável quando f−1_([_−∞_{, a}_{]) =} _{_x_∈_E_; _f₍_x₎_{< a}_}_{é mensurável,} _∀_a_∈_R_.

Observa¸c˜ao 2.18 Temos:

1. Se f :E _→Ré mensurável. Então,dado α _∈R, f +α e αf são mensuráveis.

2. Uma fun¸cão f : E _→ R é mensurável se, e somente se, f−1₍_O₎ _{é mensurável. para}

todo _{O ⊂}R aberto.

3. Se f :E _→Ré anal´ıtica, então f é mensurável.

Lema 2.2 (Zorn) Seja X um conjunto parcialmente ordenado, não vazio, tal que cada cadeia emX é limitada superiomente. EntãoX possui pelo menos um elemento maximal.

Teorema 2.8 (Cobertura de Vitali) Seja _{Bα}α∈I familia de bolas em Rn e denotemos

por rα o raio de Bα com sup rα < ∞, α ∈ I. Ent˜ao, existe um subconjunto I0 ⊂ I tal

que,

1. _{Bα}α∈I0 s˜ao dois a dois disjuntos; 2. S_α_∈_IBα ⊂Sα∈I05Bα.

Demonstra¸c˜ao: Provemos o primeiro item. Denotemos por r = suprα, com α ∈ I e

para cada j _∈ N, definamos o conjunto I(j) = _{α _∈ I;r2−j−1 _{< r}

α ≤ r2−j}. Provemos

por indu¸cão, para j = 0 temos I(0) é parcialmente ordenado e cada cadeia de I(0) é limitado superiomente, logo I(0) possui pelo menos um elemento maximal. Denotemos porL(0) o subconjunto maximal deI(0) de forma que_{Bα}α∈L(0)são dois a dois disjuntos.

Prosseguindo, para j = 1, podemos extrair L(1) _⊂ I(1) maximal tal que _{Bα}α∈L(1) s˜ao

dois a dois disjuntos, e_{Bα}α∈L(0) tamb´em ser´a. Assim, suponhemos que para j =k−1

tenhamos _{Bα}α_∈Sk−1

(30)

maximal tal que _{Bα}α∈L(k) s˜ao dois a dois disjuntos. Da´ı, {Bα}α_∈Sk

m=0L(m) s˜ao dois a dois disjuntos. Fa¸camos

I0 =

[

k∈N L(k)

e temos_{Bα}α∈I0 s˜ao dois a dois disjuntos.

Para o segundo item, fixemos Bα com α ∈ I e provemos que existe β ∈ I0 tal que Bα ⊂5Bβ. De fato, para cada k∈N tal que α∈I(k), temos

r

2k+1 < rα ≤ r

2k.

Ora, se i _∈ L(k), não há o que provar. Suponhemos o contrário. Por constru¸cão, temos

Bα intercepta uma bola Bβ para 0≤l ≤k. Assim,

rβ ≥ r

2l+1 ≥ r

2k+1 ≥

1 2rβ donde

d(xα, xβ)≤rα+rβ.

Ent˜ao,

rα+d(xα, xβ)≤2rα+rα ≤5rβ.

Portanto,

Bα =B(xα, rα)⊂B(xβ, rα+d(xα, xβ))⊂B(xβ,5rβ) = 5Bβ.

Defini¸c˜ao 2.23 Seja E _⊂Rn e

Hsδ(E) = inf

( _∞

X

i=1

(diam(Fi))s;E ⊂

∞ [

i=1

Fi, diam(Fi)≤δ∀i

)

.

Definimos a s-dimensional medida de Hausdorff como sendo,

Hs(E) = lim

δ→0H s δ(E).

Proposi¸cão 2.6 Seja E _∈Rn mensurável e _Hs _{a s-dimensional medida de Hausdorff de} E. Se n =s, então existe uma constante c=c(n) positiva, tal que m(E) = c_Hn₍_E₎_.

(31)

1. Se E1 ⊂E2, ent˜ao Hn(E1)≤ Hn(E2).

2. Definindo, para a _∈ Rn, E +a =_{x+a; x _∈ E_}. Segue que, E +a ´e mensur´avel e

Hn₍_E₊_a_{) =} _Hn₍_E₎_.

3. Definindo, para α _∈ R positivo, αE = _{αx; x _∈ E_}. Teremos αE mensur´avel e

Hn₍_αE_{) =} _αn_Hn₍_E₎_.

2.6 Desigualdade de Poincar´e

Passamos a analisar defini¸cões acerca de espa¸cos de Lebesgue e Sobolev. Da´ı, podemos apresentar um resultado essencial, que é a desigualdade de Poincaré.

Defini¸c˜ao 2.24 Seja Ω_⊂Rn mensur´avel. Definimos

L2(Ω) =

f : Ω_→R mensur´aveis a Lebesgue;

Z

Ω|

f_|2 <+_∞

munido da norma,

kf_kL2_(Ω) =

Z

Ω| f_|2

1 2

Defini¸cão 2.25 Se toda sequência limitada em um espa¸co vetorial normado (E,_{k · k}) possui uma subsequência convergente em(F,_{k · k}), dizemos que há uma imersão compacta de E em F.

Nota¸c˜ao: E _⊂⊂F.

Defini¸c˜ao 2.26 Seja Ω_⊂Rn mensur´avel. Definimos

L1_loc(Ω) =_{f : Ω_→R;f _∈L2(U) para cada U _⊂⊂Ω_}.

Defini¸c˜ao 2.27 Seja Ω_⊂Rn aberto, α um multi-´ındice ef _∈L1

loc(Ω). Dizemos que uma

fun¸cãogα ∈L1loc(Ω) é a α-ésima derivada fraca de f se

Z

Ω

f(Dαφ)dx= (₋1)|α|

Z

Ω

gαφ dx

∀φ_∈C∞

(32)

Defini¸c˜ao 2.28 Seja Ω_⊂Rn aberto. Definimos

W1,2(Ω) =_{f _∈L2(Ω); Dαf _∈L2(Ω), _∀0_{≤ |}α_{| ≤}1_} munido da norma

kf_kW1,2_(Ω) =kfkL2_(Ω)+k∇fkL2_(Ω).

Teorema 2.9 (Rellich-Kondrakhov) Seja Ω _⊂ Rn aberto, limitado e ∂Ω_∈ C1_. _Suponhe

1_≤p < n. Ent˜ao

W1,p(Ω)_⊂⊂Lq(Ω) para cada 1_≤q < p∗_.

Obs: p* = _n₋np_kp

Seja Ω_⊂Rn com volume finito, definimos a m´edia de f em Ω por

f = 1

|Ω_|

Z

Ω f dx

Teorema 2.10 (Desigualdade de Poincar´e)SejaΩ_⊂Rnlimitado, conexo, aberto e∂Ω_∈

C1_{. Ent˜ao, existe uma constante} _C ₌_C₍_n₎ _em _Ω _{tal que} kf₋f_kL2_(Ω) ≤Ck∇fkL2_(Ω)

para cada u_∈W1,2_(Ω)_.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que exista uma sequˆencia (fm) em W1,2(Ω) tal que kfm−fmkL2_(Ω)> mk∇f_mkL2_(Ω)

Seja

gm =

fm−fm kfm−fmkL2_(Ω) Ent˜ao,

g_m = 0, _kgmkL2_(Ω)= 1 e

k∇fmkL2_(Ω) < 1

(33)

Em particular, (gm) ´e limitada em W1,2(Ω). ComoW1,2(Ω) ´e reflexivo e pelo Teorema de

Rellich-Kondrakhov, teremos

gm ⇀ g em W1,2(Ω) e gm →g em L2(Ω)

Dai,g = 0 e _kg_kL2_(Ω)= 1. Ademais,g_m ⇀ g em W1,2(Ω) implica

kg_kW1,2_(Ω)≤lim infkgmkW1,2_(Ω) = 1 + lim infk∇fmkL2_(Ω) = 1

Como_kg_kW1,2_(Ω)=kgk_L2_(Ω)+k∇gk_L2_(Ω)= 1 +k∇gk_L2_(Ω) teremos∇g = 0 q.t.p. Ora, Ω ´e conexo, assimg ´e constante.O fato deg = 0 implica queg = 0 em Ω, donde,_kg_kL2_(Ω) = 0, contrariando_kg_kL2_(Ω) = 1.

Denotemos a m´edia de f em B(x, r) por

(f)x,r =

1

|B(x, r)_|

Z

B(x,r) f dy.

Assim,

Corolário 2.1 (Desigualdade de Poincaré para Bolas)SeB(x, r)_⊂Rn, então existe uma constante C=C(n)>0 tal que

kf ₋(f)x,rkL2_(B(x,r)) ≤Crk∇fk_L2_(B(x,r)) (2.6) para cada f _∈W1,2₍_B0₍_{x, r}₎₎_.

Demonstra¸c˜ao: De in´ıcio, notemos que para Ω = B0₍₀_,_{1) tem-se (2.6), ou seja, dado} g _∈W1,2₍_B0₍₀_,_{1)), temos}

kg₋(g)0,1kL2_(B(0,1)) ≤Ck∇gk_L2_(B(0,1)). Assim, dado f _∈W1,2₍_B0₍_{x, r}_{)) e seja}

g(y) =f(x+ry), y_∈B(0,1).

Logo,

kf ₋(f)x,rkL2_(B(x,r)) =rkg−(g)0,1kL2_(B(0,1))

(34)

Concluindo o resultado.

2.7 Desigualdade de Lojasiewicz

Nesta se¸cão, serão apresentadas defini¸cões acerca de conjuntos anal´ıticos, semi-analitcos e subanal´ıticos. Posteriormente, será apresentada a desigualdade de Lojasiewicz, um resultado muito importante para esse trabalho.

Defini¸cão 2.29 Um conjunto X _⊂Rn é dito anal´ıtico, se para todo x _∈ X, existe uma vizihan¸ca U de x em Rn e uma fun¸cão anal´ıtica f :U _→R tal que X_∩U =f−1₍₀₎_.

Exemplo 2.5 Seja Sn = _{x_∈ Rn+1;Pn+1_i=1 x2

i = 1}. Fazendo f(x) =

Pn+1

i=1 x2i −1 = 0,

temos f anal´ıtica. Logo, Sn =f−1_{(0), donde} _Sn _{´e anal´ıtico.}

Exemplo 2.6 Seja f : R2 _→ R dada por f(x, y) = sen x2 ₊_y3_{. Assim, o conjunto} X = _{(x, y) _∈ R2_; _f₍_{x, y}_{) = 0}_} _{´e um conjunto anal´ıtico. Em geral, se} _f _: _Rn _→ _R

anal´ıtica, teremosX =_{x_∈Rn;f(x) = 0_} ´e anal´ıtico.

Defini¸cão 2.30 Um conjunto X _⊂ Rn é dito semi-anal´ıtico, se para todo x _∈X, existe uma vizinhan¸ca U de x em Rn tal que, para p, q1, ..., qk fun¸cões anal´ıticas em U, tem-se

queU_∩X ´e a uni˜ao finita de cojuntos da forma _{x_∈U;p(x) = 0, qi(x)>0, i= 1, ..., k}.

Observa¸c˜ao 2.20 Note que todo conjunto anal´ıtico ´e semi-anal´ıtico.

Observa¸cão 2.21 SejaX _⊂Rn_{. Dizemos que}_F _:_X _→_R_{é semi-anal´ıtica se seu gráfico} graf(F) = _{(x, F(x));x_∈X_{} ⊂}Rn+1 é um conjunto semi-anal´ıtico.

Defini¸cão 2.31 Seja X _⊂Rn e para um m dado definamos π :Rn_×Rm_→Rn proje¸cão ortogonal. Dizemos que X é um conjunto subanal´ıtico se para todo x _∈ X, existe uma vizinhan¸caU dex em Rn e um subcojunto semi-anal´ıtico e limitado S _⊂Rn_×Rm tal que

U_∩X =π(S).

Observa¸cão 2.22 Seja X _⊂ Rn, dizemos que uma fun¸cão F : X _→ R é subanal´ıtica se seu gráfio graf(F) =_{(x, F(x));x_∈X_{} ⊂}Rn+1 _{é subanal´ıtico.}

(35)

2. SeA _⊂Rn é um conjunto subanal´ıtico então Ac _{é subanal´ıtico;}

3. Por 1 e 2, segue que a interseçcão e a diferen¸ca de conjuntos subanal´ıticos é um conjunto subanal´ıtico;

4. Seja F : X _⊂ Rm _→ Rn aplica¸cão subanal´ıtica, então X e F(X) são conjuntos subanal´ıticos.

5. Composta de fun¸cões subanal´ıticas ainda é uma fun¸cão subanal´ıtica;

6. SeX _⊂Ré um conjunto subanal´ıtico entãoX, intX e∂X são conjuntos subanal´ıticos.

Lema 2.3 (Sele¸c˜ao de Curva)Seja X _⊂Rn conjunto subanal´ıtico e0_∈X.Ent˜ao, existe

γ : (0, ε)_→X anal´ıtica tal que γ(t)_→x0 ∈X quando t→0.

Teorema 2.11 (Desigualdade de Lojasiewicz) Seja f uma fun¸c˜ao anal´ıtica numa vizi-nhan¸ca de 0_∈Rn tal que f(0) = 0. Ent˜ao, para C > 0, temos

C_|f(x)_|α _{≤ |∇}f(x)_| (2.7) com 0< α <1, na vizinhan¸ca de 0.

Demonstra¸cão: Considere _∇f(0) = 0 e definamos g : B _→ R2 dado por g(x) = (_|f(x)_|,_|∇f(x)_|), ondeB é uma bola compacta centrado em 0. SejaE =g(B) =_{(u, v)_∈ R2;u = _|f(x)_|, v = _|∇f(x)_|,_∀x _∈ B_{} ⊂} [0,+_∞)_×[0,+_∞). Note que E é compacto e subanal´ıtico.

Afirma¸c˜ao: Seja , paraL >0,F =E_{∩ {}0_≤v < Lu_}. Ent˜ao 0_∈/ F .

De fato, suponhe que para L > 0 tenhamos 0 _∈ F, assim, g−1₍_F₎_∩_g−1₍₀₎ ₆₌ _{∅. Seja} b_∈g−1₍_F₎_∩_g−1_{(0), segue pelo Lema de sele¸c˜ao de curva, que existe}_λ_{: (0}_{, ε}₎_→_F _{tal que} λ(t)_→b quando t_→0. Logo, g(λ((0, ε)))_{⊂ {}0_≤ v < u_}, donde, parah(t) = (f _◦λ)(t), teremos

|h′(t)_|=_|(f _◦λ)′(t)_|=_|λ′(t)_∇f(λ(t))_| =_|λ′(t)_{| |∇}f(λ(t))_|

≤M_|∇f(λ(t))_|

≤M L_|h(t)_| (2.8)

sendoM > 0 constante.

Ora, h(0) = 0 e para h n˜ao identicamente nulo, temos

h(t) = a1t+...+aktk+...

para ak6= 0 e k ≥1. E,

(36)

donde, quandot_→0 temos tk−1 _{> t}k _implicando_h′₍_t₎_{> h}₍_t_{), contrariando (2.8).}

Prosseguindo, sejaφ(u) = infEu, ondeEu =E∩ {reta vertical que passa por (u,0)}para u >0 pequeno. Note que φ ´e limitado e subanal´ıtico. Da´ı,

φ(u) = a+a1uα1 +a2uα2 +...

com αi ∈Q.Pela afirma¸c˜ao 0< α1 <1. Logo, paraC >0 com C < a1 , temos Cuα1 _{< φ}₍_u₎_≤_v

ou seja, C_|f(x)_|α1 _{≤ |∇}_f₍_x₎_| _{para 0}_{< α}

(37)

3 TEOREMA PRINCIPAL

3.1 Problema de Autovalor

SejamM uma variedade Riemanniana compacta, conexa eh_∈C2₍_M₎_._O

pro-blema do autovalor para o Laplaciano consiste em determinar os valores λ _∈ R tais que

−∆h=λh em M admita solu¸c˜oes n˜ao triviais.

O espa¸co vetorial das solu¸cões do problema para um autovalor λ dado, é de-nominado seu autoespa¸co. E, os elementos de cada autoespa¸co são dede-nominados de au-tofun¸cões.

Teorema 3.1 Sejam M variedade Riemannina satisfazendo as hipóteses acima e h _∈ C2₍_M_{). Então, o conjunto dos autovalores consiste de uma sequência}

0< λ1 < λ2 < . . .↑+∞

e cada autoespa¸co associado tem dimens˜ao finita.

Defini¸c˜ao 3.1 Seja M uma variedade Riemanniana. Definimos o tom fundamental

λ∗₍_M₎ _{como sendo}

λ∗(M) = inf

M−{0} R

M|gradh| 2_dµ

R

M|h|2dµ

onde

M=

h _∈W1,2(M);

Z

M

h dµ= 0

Teorema 3.2 (Rayleigh)SejamM variedade Riemanniana definido acima eh_∈C2₍_M₎

satisfazendo o problema de autovalor. Ent˜ao,

λ1(M)≤

R

M |∇h| 2_dµ

R

M |h|2dµ

. (3.1)

E a igualdade ocorre se, e somente se, h é autofun¸cão de λ1. Se {φ1, φ2, . . .} é base

ortonormal completa de L2₍_M₎ _{tal que} _φ

(38)

que_hh, φ1i=hh, φ2i=. . .=hh, φk−1i= 0 teremos

λk≤

R

M |∇h|2dµ

R

M |h|2dµ

(3.2)

com a igualdade acontencendo se, e somente se, h ´e uma autofun¸c˜ao de λk.

Demonstra¸c˜ao:

Observa¸c˜ao 3.1 Segue pelo Teroema de Rayleigh que λ∗₍_M_{) =}_λ

1(M).

3.2 Prova do Teorema Principal

Passemos a analisar o teorema principal. Para tal, definamos f : Sn+1 _→ R anal´ıtica real, onde Sn+1 ´e uma esfera de raio R e n _≥ 1. Dado s _∈ R, definamos a superf´ıcie de n´ıvelVs =f−1(s). Notemos que Vs ´e fechado, consequentemente compacto

e completo. Sendos_∈R valor regular de f, segue que Vs ⊂Sn+1 ´e uma subvariedade de

Sn+1 de dimensãon, assim podemos dar a Vs a métrica induzida pela inclusão. Portanto, Vs é uma variedade Riemanniana.

Afirma¸c˜ao 1 Denotemos por K a curvatura seccional de Vs. Ent˜ao, existem β < 0 e C >0 tais que

sup

x∈Vs

|K(x)_{| ≤}C_|s₋s0|β. (3.3)

Demonstra¸cão: De fato, seja_{e1, ..., en}uma base ortonormal deTxVs e denotemos por K(x)(ei, ej) as curvaturas seccionais deVs nas dire¸cõeseieej, sendo assim, será necessário

ter _|K(x)_| = supi,j|K(x)(ei, ej)|. Sendo Vs uma subvariedade imersa em Sn+1, teremos

que Sn+1 _{ser´a sua variedade ambiente e podemos definir a segunda forma fundamental}

em Vs por II : X(Vs)× X(Vs) → X(Vs)⊥. Da´ı, para K a curvatura seccional de Sn+1,

teremos pela Equa¸c˜ao de Gauss,

K(ei, ej)−K(ei, ej) = hII(ei, ei), II(ej, ej)i − |II(ei, ej)|2,

onde ei, ej s˜ao ortonormais em TxVs.

Sendo Vs uma superf´ıcie de n´ıvel, teremos que o ∇f(x) ´e normal a Vs. Ademais, II ´e

(39)

de zero, tal queII(ei, ei) = a1η, II(ej, ej) =a2η eII(ei, ej) = a3η. Portanto,

K(ei, ej) =

1

R2 +ha1η, a2ηi − ha3η, a3ηi

= 1

R2hη, ηi+a1a2hη, ηi −a 2 3hη, η_i

= 1

|∇f(x)_|2

n ₁

R2h∇f(x),∇f(x)i

+a1a2h∇f(x),∇f(x)i −a23h∇f(x),∇f(x)i

o

Ora, _h∇f(x),_∇f(x)_i = df(X) com X = _∇f(x) e, sendo f anal´ıtica em um compacto temos_|df(X)_{| ≤}m para m >0. Logo,

|K(x)_|= sup

i,j |

K(x)(ei, ej)|

= sup i,j 1

|∇f(x)_|2

n ₁

R2 df(X) +a1a2df(X)−a 2

3df(X)

o ≤sup i,j 1

|∇f(x)_|2 a|df(X)|

≤sup

i,j

1

|∇f(x)_|2 a m

= 1

|∇f(x)_|2 a m

≤ a m C

|s₋s0|2α1

=C_|s₋s0|−2α1

onde, na ´ultima desigualdade foi utilizado a desiguadade de Lojasiewicz. Por fim,

sup

x∈Vs

|K(x)_{| ≤}C_|s₋s0|β

com β =₋2α1.

Afirma¸c˜ao 2 Denotemos por inj(Vs) o raio de injetividade de Vs. Ent˜ao, para γ > 0 e C >0, temos

inj(Vs)≥C|s−s0|γ. (3.4)

(40)

considere xn+1 na dire¸c˜ao normal a Vt em z0. Teremos pela desigualdade de Lojasiewicz ∂f ∂xn+1

(z0)

=|∇f(z0)| ≥C|t−t0|

α_.

Afirma¸c˜ao: Existe uma vizinhan¸ca dez0 de raioC|t−t0|αtal que∀z ∈Vtnesta vizinhan¸ca

tenhamos ∂f ∂xn+1

(z)

≥C|t−t0|

α_.

De fato, lembrando quef _∈C2 _temos

C_|t₋t0|α ≤

∂f ∂xn+1

(z0)

≤ ∂f ∂xn+1

(z0)− ∂f ∂xn+1

(z)

+ ∂f ∂xn+1

(z)

≤C_|z₋z0|+

∂f ∂xn+1

(z)

.

Donde, para _|z₋z0| ≤ C₂|t−t0|α teremos

C_|t₋t0|α ≤

∂f ∂xn+1

(z)

.

Assim, segue pelo Teorema da Fun¸cão Implic´ıta, queVté dado por um gráfico na vizinha¸ca

dez0 com raio C|t−t0|α.

Prosseguindo, dadoηvetor normal aVsemz com|η|= 1 e considereen+1 no eixo positivo

dexn+1. Assim,

hη, en+1i=

∂f ∂xn+1

≥C|s−s0|

α

Logo, por uma proje¸c˜ao no plano tangente de Vt em z0, termos inj(p) ≥ C|t−t0|2α. E,

por fim

inj(Vs) = inf p∈Vs

inj(p)_≥C_|s₋s0|2α.

Prosseguindo, definamos

r0 =

C_|s₋s0|2α1

100 ≤min

(

inj(Vs)

100 , C|s−s0|

−β/2

)

e definamos a bola geod´esicaB(x, ε) comε_≤10r0.Nessas condi¸c˜oes, podemos introduzir

(41)

que seu elemento volume ser´a dado por

dµ=pg(r, ξ)drdσ.

Lema 3.1 Para r _≤10r0 existe uma constanteC1 =C1(n)>0 tal que C1rn−1 ≤

p

g(r, ξ)_≤C₁−1rn−1. (3.5)

Demonstra¸c˜ao: Sendo r _≤ 10r0, segue que r ≤ C|s−s0|−

β

2 e, ainda r2 ≤ C|s−s0|−β. Da´ı, temos pela Afirma¸c˜ao 1 (3.3)

1

r2 ≥C|s−s0| β

≥ sup

x∈Vs

|K(x)_|.

Ora, dada γ : [0,10r0) → Vs, geod´esica normalizada, com γ(0) = x, teremos que as

curvaturas seccionais ao longo deγ s˜ao_≤ 1

r2,∀r∈(0,10r0).Portanto, segue pelo Teorema 2.6 (especificamente a desigualdade 2.3) que

p

g(r, ξ)_≥Sn1−1 r2

(r)

=



_q1

1 r2

sen

r

1

r2 r

!



n−1

= [sen1]n−1rn−1.

FazendoC1 = [sen1]n−1, teremos

p

g(r, ξ)_≥C1rn−1.

Para outra desigualdade, seja _{e1, ..., en−1, en} base ortonormal de TxVs e fa¸camos η = |η_|en, para η∈TxVs, temos

Ric(η, η) =

n

X

i=1

hR(η, ei)η, e1i

=

n−1

X

i=1

hR(_|η_|en, ei)|η|en, eii+hR(|η|en, en)|η|en, eni

=

n−1

X

i=1

|η_|2_hR(en, ei)en, eii+|η|2hR(en, en)en, eni

=_|η_|2 n−1

X

i=1

(42)

Ora, _|K(ei, en)| ≤C|s−s0|β, donde

Ric(η, η) =_|η_|2 n−1

X

i=1

K(ei, en)

≥ |η_|2 n−1

X

i=1

−C_|s₋s0|β

=₋C_|s₋s0|β(n−1)|η|2 ≥ −_r12(n−1)|η|

2_.

Logo, estamos nas hip´oteses do Teorema 2.7. Usando a rela¸c˜ao 2.5 obtemos

p

g(r, ξ)_≤Sn−−11 r2

(r)

=



_q 1

−(−1) r2

senh

r

−(₋1)

r2 r

!



n−1

=rn−1[senh1]n−1

≤rn−1C₁−1.

Portanto, para r_≤10r0 eC1 >0 temos C1rn−1 ≤

p

g(r, ξ)_≤C₁−1rn−1.

No pr´oximo resultado, iremos denotar por _|B(x, ε)_| o volume de B(x, ε), e, para z _∈ B(x, ε) comz =exp(rξ) sejah(z) =h(r, ξ), com h_∈C2₍_V

s). Assim,

Lema 3.2 Para 0_≤ε_≤10r0 e C1 =C1(n)>0, teremos

Z

B(x,ε)|

h₋hB|2 dµ≤C1ε2

Z

B(x,ε) |∇

h_|2 dµ (3.6)

onde hB = _|_B(x,ε)1 _|

R

B(x,ε) h(r, ξ)r

n−1 _drdσ.

(43)

Assim,

Z

B(x,ε) |

h₋hB|2 dµ=

Z

B(x,ε) |

h₋hB|2

p

g(r, ξ) drdσ ≤

Z

B(x,ε) |

h₋hB|2 C1−1rn−1 drdσ

≤C′ε2

Z

B(x,ε) |∇

h_|2 C₁−1rn−1 drdσ

=C′C₁−2ε2

Z

B(x,ε) |∇

h_|2 C1rn−1 drdσ

≤C1ε2

Z

B(x,ε) |∇

h_|2 pg(r, ξ) drdσ

=C1ε2

Z

B(x,ε) |∇

h_|2 dµ.

Lembrando que, se expx ´e um difeomorfismo em uma vizinha¸ca V da

ori-gem em TxVs, expx(V) = U é chamada vizinha¸ca normal de x. Se B(0, ε) é tal que B(0, ε) _⊂ V, chamamos deexpxB(0, ε) =B(x, ε) a bola normal (ou geodésica) de centro xe raio ε.

Lema 3.3 Seja _{B(xi, r0)}ki=1 famil´ıa de bolas geod´esicas em Vs. Ent˜ao,

1. Vs pode ser escrito como

Vs= k

[

i=1

B(xi, r0);

2. Para i₆=j, B(xi,r₂0)∩B(xj,r₂0) tem medida nula;

3. k _≤Cr0−n, onde C=C(f) constante que independe de s e s0.

Demonstra¸c˜ao: Provemos cada item. 1. Sendo Vs compacto, segue que

Vs= k

[

i=1

B(xi, r0).

2. O Teorema 2.8 garante que parai₆=j, B(xi,r₂0)∩B(xj,r₂0) =∅. Assim, Hn₍_B₍_x

i,r₂0)∩B(xj,r₂0)) = Hn(∅) = 0.

3. Para provar esse item, iremos usar o resultado

(44)

com C =C(f) constante que idepende de s e s0. A demonstra¸c˜ao desse resultado pode

ser encontrada em [19].

Prosseguindo, o item anterior garante que

Hn k

[

i=1

Bxi, r0 2 ! = k X i=1

HnBxi, r0 2 (3.7) = k X i=1 C′

2n r n

0 (3.8)

=k C′

2n r n

0. (3.9)

FazendoC1 = C

′

2n, teremos

Hn k

[

i=1

Bxi, r0

2

!

=k C1rn0.

Portanto, notando que Sk_i=1B(xi,r₂0)⊂Vs, temos

k C1rn0 =Hn k

[

i=1

Bxi, r0

2

!

≤ Hn(Vs)≤C

ou seja,

k _≤Cr−₀n.

Finalizando a demonstra¸c˜ao.

Teorema 3.3 Seja s0 um valor cr´ıtico de f e Vs = f−1(s) com s ∈ R definido acima.

Existem constantes C >0 e α >0, que n˜ao dependem de s e s0, tais que

λ1(Vs)≥C|s−s0|α quando s→s0.

Observa¸c˜ao 3.2 Para demonstra¸c˜ao do resultado, denotemos porB(xi, r0) =Bi. Assim,

hBi = 1

|B(xi, r0)|

Z

B(xi,r0)

h(r, ξ)rn−1drdσ.

Demonstra¸c˜ao: De in´ıcio, provemos que para h_∈C2₍_V

s), temos

Z

Vs

|h₋ch|2dµ6C|s−s0|−α

Z

Vs

(45)

onde,

ch =

1

|B1|

Z

B1

h(r, ξ)rn−1_drdσ.

Com efeito, temos pelo item 1 do Lema 3

Z

Vs

|h₋ch|2dµ=

Z

Sk i=1Bi

|h₋ch|2dµ

≤ k X i=1 Z Bi

|h₋c_h|2dµ

= k X i=1 Z Bi

|h₋hBi +hBi −ch|

2_dµ ≤ k X i=1 Z Bi

(_|h₋hBi|+|hBi −ch|)

2 dµ = k X i=1 Z Bi

|h₋hBi|

2_dµ₊

Z

Bi

|hBi−ch|

2_dµ₊

Z

Bi

2_|h₋hBi| |hBi−ch|dµ

≤ k X i=1 Z Bi

|h₋hBi|

2_dµ₊

Z

Bi

|hBi−ch|

2_dµ₊

Z

Bi

|h₋hBi|

2₊_|_h

Bi−ch|

2 _dµ

= 2 k X i=1 Z Bi

|h₋hBi|

2_dµ

| {z }

(I)

+ 2

k

X

i=1

|hBi −ch|

2_µ₍_B i)

| {z }

(II)

(3.10)

onde,µ(Bi) =

R

Bi dµ.

Analisemos (I). Ora, utilizando o Lema 2, temos

2 k X i=1 Z Bi

|h₋hBi|

2_dµ

≤2C1r02 k

X

i=1

Z

Bi

|∇h_|2dµ

≤2C1r02 k

X

i=1

Z

Vt

|∇h_|2dµ

= 2C1r02k

Z

Vt

|∇h_|2dµ. (3.11)

(46)

Bi,m, ..., Bi,m0+1 =Bi. Ora,Bi,m ⊂

Sk

i=1Bi. Tendo em mente que ch =hBi,m, temos

|hBi−ch|=|hBi,m₀₊₁ −hBi,1|

=_|hBi,m₀₊₁ −hBi,m₀ −...+hBi,2 −hBi,1|

≤ |hBi,m₀₊₁ −hBi,m₀|+...+|hBi,2−hBi,1| =

m0

X

m=1

|hBi,m −hBi,m+1| (3.12)

Agora, note que Bi,m e Bi,m+1 s˜ao adjacentes, com raio igual a r0. Assim, seja Bm = B(x,5r0), temos:

(a) Bm ⊃Bi,m e Bm ⊃Bi,m.

(b) _|Bm| ≤C1|Bi,m| e|Bm| ≤C1|Bi,m+1|.

Portanto,

|hBi,m −hBm|=

1

|Bi,m|

Z

Bi,m

h rn−1_drdσ₋ 1 |Bi,m|

Z

Bi,m

hBmr

n−1_drdσ

= 1

|Bi,m|

Z

Bi,m

(h₋hBm)rn−1drdσ

≤ 1

|B_i,m|

Z

Bi,m

|h₋hBm|r

n−1_drdσ

≤ 1

|Bi,m|

Z

Bm

|h₋hBm|r

n−1_drdσ

≤ 1

|Bi,m|

Z

Bm

|h₋hBm|

2_rn−1_drdσ

1

2 Z

Bm

rn−1drdσ

1 2

= 1

|Bi,m|

Z

Bm

|h₋hBm|

2_rn−1_drdσ

1 2

|B_m|12.

Por (a) e (b) teremos_|Bi,m| ≈ |Bm|, donde

|hBi,m −hBm| ≤

1

|Bm|

Z

Bm

|h₋hm|2rn−1drdσ

1 2

.

E, pelo Lema 1

|hBi,m −hBm| ≤

1

|B_m|

Z

Bm

|h₋hm|2dµ

(47)

Como 5r0 ≤inj(Vt), podemos aplicar Lema 2, donde

|hBi,m−hBm| ≤C1r0

2

1

|Bm|

Z

Bm

|∇h_|2dµ

1 2

. (3.14)

De forma an´aloga, temos

|hBi,m+1−hBm| ≤C1r0

2

1

|Bm|

Z

Bm

|∇h_|2dµ

1 2

(3.15)

Substituindo (3.14) e (3.15) em (3.13), segue que

|hBi,m+1−hBi,m| ≤C1r0

2

1

|Bm|

Z

Bm

|∇h_|2dµ

1 2

+C1r02

1

|Bm|

Z

Bm

|∇h_|2dµ

1 2

=C1r0|Bm|

−1 2

Z

Bm

|∇h_|2dµ

1 2

.

Lembrando que_|Bm| ≈C1r0n, podemos substituir a express˜ao anterior em (3.12), obtendo

|hBi−ch| ≤

m0

X

i=1

|hBi,m −hBi,m+1|

≤ m0

X

i=1

C1r0|Bm|−

1 2

Z

Bm

|∇h_|2dµ

1 2 = m0 X i=1

C1r0r0−

n 2

Z

Bm

|∇h_|2dµ

1 2

=C1r0−

(n−2) 2 m0 X i=1 Z Bm

|∇h_|2dµ

1 2

≤C1r0−

(n−2) 2 m₀

Z

Vs

|∇h_|2dµ

1 2

.

Da´ı, teremos

|hBi −ch|

2

≤C1r0−(n−2)m02

Z

Vs