Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

REALIMENTA ¸C ˜AO DE ESTADO H2 E H∞ DE SISTEMAS MARKOVIANOS A TEMPO CONT´INUO COM TAXAS DE TRANSI ¸C ˜AO INCERTAS

Caetano B. Cardeliquio^∗, Andr´e R. Fioravanti^†, Alim P. C. Gon¸calves^∗

∗Av. Albert Einstein - 400 FEEC/UNICAMP, Campinas, SP, Brazil

†Av. Mendeleyev - 200

FEM/UNICAMP, Campinas, SP, Brazil

Emails: caetanocardeliquio@gmail.com, fioravanti@fem.unicamp.br, alimped@dsce.fee.unicamp.br

Abstract— This paper addresses theH²and theH∞state-feedback control of Markov Jump Linear Systems (MJLS) in continuous-time through Linear Matrix Inequalities (LMIs). For the case with completely known transition rates, we derive new necessary and sufficient LMI conditions for mean square stability,H2 andH_∞ norm calculation which are affine with respect to these parameters. Then, we treat the case where transition rates are uncertain, but belong to a given convex set. We illustrate the quality of our results through a numerical example.

Keywords— Markov models; Continuous-time systems; State-feedback control; Linear Matrix Inequalities.

Resumo— Este artigo aborda os projetos de controle H2 eH_∞, via realimenta¸c˜ao de estado, de sistemas lineares a tempo cont´ınuo sujeitos a saltos markovianos por meio de desigualdades matriciais lineares (LMIs).

Obtivemos novas condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para estabilidade na m´edia quadr´atica e c´alculo de normas H²eH_∞para o caso com taxas de transi¸c˜ao completamente conhecidas de forma que as LMIs sejam afins com rela¸c˜ao a esses parˆametros. Em seguida, tratamos o caso em que as taxas de transi¸c˜ao s˜ao consideradas incertas, mas pertencem a um determinado conjunto convexo. N´os ilustramos a qualidade dos nossos resultados atrav´es de um exemplo num´erico.

Palavras-chave— Modelos de Markov; Sistemas a tempo cont´ınuo; Controle via realimenta¸c˜ao de estado;

Desigualdades matriciais lineares.

1 Introdu¸c˜ao

Sistemas que tˆem mudan¸cas bruscas de compor- tamento devido a, por exemplo, mudan¸cas ambi- entais, falhas de sensores e atuadores, mudan¸cas no ponto de opera¸c˜ao para o caso n˜ao-linear, en- tre outros, podem n˜ao ser bem representados pe- los modelos lineares e invariantes no tempo. Uma maneira de modelar mudan¸cas bruscas de sistemas dinˆamicos ´e escrevˆe-los como subsistemas com di- ferentes modos de opera¸c˜ao. Cada modo ´e descrito por um conjunto de equa¸c˜oes lineares e efeitos ale- at´orios s˜ao modelados como mudan¸cas, ou saltos, entre os diferentes modos de opera¸c˜ao. Este artigo trata de sistemas - a tempo cont´ınuo - com saltos markovianos em que as taxas de transi¸c˜ao entre os modos ´e incerta. Duas referˆencias importan- tes na ´area s˜ao os livros (Boukas, 2006) e (Costa et al., 2013).

Para a realimenta¸c˜ao de estado em sistemas lineares sujeitos a saltos markovianos (MJLS), te- mos que a an´alise convexa foi considerada em (Costa et al., 1999), onde o problema de con- trole via realimenta¸c˜ao de estado H2 em tempo cont´ınuo para MJLS ´e definido e uma abordagem de programa¸c˜ao convexa ´e usada para estud´a-lo.

Em (de Farias et al., 2002), um projeto de con- trole via realimenta¸c˜ao de estado ´e proposto para o problemaH∞ usando LMIs. Assume-se, nesses trabalhos, que todas as taxas de transi¸c˜ao para

os modos de Markov s˜ao completamente conhe- cidas. Al´em disso, as restri¸c˜oes obtidas por meio de LMIs, s˜ao n˜ao lineares sobre as taxas de transi-

¸c˜ao. Na pr´atica, no entanto, essas taxas podem ser incertas e, por exemplo, pertencerem a um dado intervalo. O fato de que as restri¸c˜oes obtidas s˜ao n˜ao lineares representa uma dificuldade extra em adotar tal projeto para essa situa¸c˜ao. Em (Zhang and Boukas, 2009b) , (Zhang and Boukas, 2009a) e (Zhang and Lam, 2010), alguns elementos da matriz de taxas de transi¸c˜ao podem ser conside- rados desconhecidos. Tal representa¸c˜ao pode ser muito conservadora. Em (Shen and Yang, 2012), a possibilidade de que uma dada taxa de transi¸c˜ao pertence a um intervalo tamb´em ´e considerada.

Nosso projeto considera o caso em que qualquer li- nha da matriz de taxas de transi¸c˜ao pertence a um conjunto convexo com v´ertices conhecidos. Afir- mamos que esta abordagem inclui a maioria dos demais casos.

A nota¸c˜ao utilizada em todo o texto ´e a pa- dr˜ao. Letras mai´usculas denotam matrizes e le- tras min´usculas denotam vetores. Para escalares, letras gregas min´usculas s˜ao utilizadas. Para ma- trizes reais, ou vetores, (^′) indica transposto. Por simplicidade, na nota¸c˜ao de matrizes sim´etricas particionadas, o s´ımbolo (•) denota genericamente cada um de seus blocos sim´etricos. O conjunto dos n´umeros naturais ´e denotado por N, enquanto o conjunto finito dosN primeiros n´umeros naturais

{1,· · ·, N}´e denotado porK. Definimos tamb´em o conjunto finito deN−1 elementos,Ki=K−{i}. O s´ımbolo E {·} denota esperan¸ca matem´atica de {·}. Para qualquer sinal estoc´asticoξ(t), definido no dom´ınio de tempo cont´ınuot∈R, a quantidade kξk²2:=R∞

0 E {ξ(t)^′ξ(t)}dt´e sua norma quadrada.

O conjunto de sinais ξ(t) ∈ R^r, t ∈ R tais que kξk²2 < ∞ ´e denotado por L2. Para facilitar a apresenta¸c˜ao, as seguintes nota¸c˜oes s˜ao usadas de maneira intercambi´avelA(θ_t) :=A_i, J(θ_t) :=J_i, C_z(θ_t) := C_zi, e assim por diante, sempre que θ_t = i ∈ K. Para matrizes definidas positivas, a inversa da combina¸c˜ao linear das inversas com pesosλ_ij,∀j∈K, j6=i, ´e denotada por

X_λi:=



 X

j∈Kⁱ

λ_ijX⁻¹

j





−1

ainda usamos a seguinte nota¸c˜ao para representar a soma de uma matriz com sua transposta

He(A) :=A+A^′ 2 Defini¸c˜ao do Problema

Um sistema MJLS a tempo cont´ınuo ´e descrito pelo seguinte modelo de espa¸co de estados esto- c´astico

G:

x˙(t) = A(θ_t)x(t) +E(θ_t)w(t) z(t) = C(θ_t)x(t) +F(θ_t)w(t) (1) em quex∈Rⁿ´e a vari´avel de estado, θ_t∈K´e a vari´avel aleat´oria,w∈R^r´e a perturba¸c˜ao externa ez∈R^p´e a sa´ıda a ser controlada. As condi¸c˜oes iniciais s˜aox(0) =x₀eθ₀=θ. O processo{θ_t, t∈ [0,+∞)}´e um processo estoc´astico markoviano no qual

p_ij(∆) = Prob(θ_t+∆=j|θ_t=i)

=

λ_ij∆ +o(∆) i6=j 1 +λ_ii∆ +o(∆) i=j (2) em queλ_ij ≥0 parai6=j,λ_ii ≤0 e

X

j∈K

λ_ij= 0 (3)

Podemos agora definir a matriz de transi¸c˜ao

Λ ={λ_ij} (4)

formada pelas taxas de transi¸c˜ao entre os modos da cadeia de Markov representados por θ_t ∈ K.

A pr´oxima defini¸c˜ao (Costa et al., 2013) aborda a estabilidade de um sistema de Markov a tempo cont´ınuo.

Defini¸c˜ao 1 Dizemos que G, com w≡0, ´e est´a- vel na m´edia quadr´atica (MSS) se

E {|x(t)|²} →0

enquantot → ∞, para quaisquer condi¸c˜oes inici- ais x₀ eθ .

Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para es- tabilidade MSS do sistema G (Ji and Chizeck, 1990) ´e a existˆencia deP_i >0 tal que

He(A^′_iP_i) +X

j∈K

λ_ijP_j<0 (5) para todoi∈K.

O conjunto de LMIs (5) n˜ao ´e adequado para o projeto via realimenta¸c˜ao de estado devido ao produto entre a vari´avel de LyapunovP_ie a trans- posta da matriz do sistemaA^′

i. Assim como ficar´a claro nas pr´oximas se¸c˜oes, ´e melhor lidarmos com X_i=P⁻¹

i . Ap´os aplicar o complemento de Schur nas LMIs (5) e multiplicar as desigualdades obti- das pela direita e pela esquerda pela matriz n˜ao singular diag(X_i, I),i∈K, obtemos

He(A_iX_i) +λ_iiX_i • X_i −X_λi

<0 (6) As desigualdades (6) s˜ao n˜ao lineares devido ao termoX_λi. Uma estrat´egia comum para evitar essa n˜ao linearidade e expressar essas desigualda- des como um conjunto de LMIs ´e trabalhar com matrizes aumentadas como diag(X₁,· · · , X_N), veja (de Farias et al., 2000), por exemplo. N´os propomos uma abordagem de lineariza¸c˜ao dife- rente, em que as LMIs resultantes s˜ao afins com respeito as taxas de transi¸c˜aoλ_ij. Isso ser´a parti- cularmente ´util quando as incertezas nesses parˆa- metros forem introduzidas. Considere as vari´aveis Z_ij >0 eH_i tais que

Z_ij > H_i^′X⁻¹

j H_i. (7)

Para qualquer conjunto de n´umeros reais¹ λ_ij ≥ 0, i ∈ K, j ∈ Ki, as desigualdades (7) implicam que

X

j∈Kⁱ

λ_ijZ_ij> H_i^′



 X

j∈Kⁱ

λ_ijX_j⁻¹



H_i (8) Para facilitar a nota¸c˜ao nos pr´oximos passos, usa- remos os seguintes operadores:

Ψi:= He(H_i)− X

j∈Kⁱ

λ_ijZ_ij (9) Ξi:= (H_i−X_λi)^′(X_λi)⁻¹(H_i−X_λi) (10) Pela (8) e (9) temos que

Ψi<He(H_i)−H^′

i(X_λi)⁻¹H_i (11) portanto

Ψi< X_λi−Ξi≤X_λi (12) Considere as seguintes LMIs

He(A_iX_i) +λ_iiX_i •

X_i −Ψi

<0 (13)

1Assumimos queλij6= 0 para pelo menos umj∈Ki, do contr´ario o complemento de Schur n˜ao pode ser aplicado.

e Z_ij •

H_i X_j

>0 (14)

para todo i, j ∈ K, nas quais as LMIs (14) s˜ao obtidas pelo complemento de Schur em (7). Se as LMIs (13) e (14) s˜ao v´alidas, as desigualdades (6) tamb´em o s˜ao e o sistema (1) ´e MSS est´avel.

Reciprocamente, se as desigualdades (6) s˜ao vali- das, ent˜ao podemos escolher valores apropriados paraZ_ij eH_i tais que (13) e (14) s˜ao v´alidas, veja (Geromel et al., 2009) ou (Gon¸calves et al., 2012) para mais detalhes. Em outras palavras, o sis- tema (1) ´e MSS est´avel, se e somente se, (13) e (14) forem fact´ıveis.

As desigualdades (13) e (14) s˜ao adequadas para o projeto de realimenta¸c˜ao de estado, como veremos na Se¸c˜ao 4. A implementa¸c˜ao da t´ecnica de lineariza¸c˜ao adotada ou daquela presente em (de Farias et al., 2002) e (de Farias et al., 2000)

´e uma escolha do programador. Ao contr´ario das restri¸c˜oes obtidas nessas LMIs, as nossas s˜ao afins com rela¸c˜ao `as taxas de transi¸c˜aoλ_ij, permitindo um tratamento direto quando essas taxas s˜ao in- certas.

Agora assumimos que Λ ={λ_ij} n˜ao ´e com- pletamente conhecida mas cada linha Λi, i ∈ K, pertence a um conjunto convexo de v´ertices co- nhecidos, i.e.,

Λi=

Np

X

ℓ=1

α_ℓΛ^(ℓ)_i (15) em que P^Np

ℓ=1α_ℓ = 1, α_ℓ ≥ 0. Por exemplo, se tivermos a seguinte matriz de transi¸c˜ao

Λ =





−2 [0,1] [1,2]

2 −4 2

0 1 −1



 (16) em que [a, b] representa o intervalo com a taxa incertaλ_ij tal que a ≤λ_ij ≤b, a primeira linha pode ser escrita como

Λ1=α₁Λ⁽¹⁾₁ +α₂Λ⁽²⁾₁ (17) em que

Λ^(ℓ)₁ =h

Λ^(ℓ)₁₁ Λ^(ℓ)₁₂ Λ^(ℓ)₁₃i

(18) E f´acil perceber que a combina¸c˜ao convexa´ que gera a primeira linha dessa matriz de tran- si¸c˜ao em particular ´e

Λ1=α₁

−2 0 2 +α₂

−2 1 1

(19) Em (Zhang and Boukas, 2009a) e (Zhang and Lam, 2010), uma abordagem diferente para repre- sentar as incertezas nas taxas de transi¸c˜ao ´e ado- tada. Nesses artigos, um determinado elemento λ_ij da matriz de taxas de transi¸c˜ao ´e dito ser co- nhecido ou desconhecido, casos que s˜ao represen- tados por ˆλ_ij ou “ ?”, respectivamente. Essa incer- teza pode ser sempre representada por uma com- bina¸c˜ao convexa do tipo (15), exceto para o caso

em que, pelo menos, duas taxas s˜ao desconheci- das e uma delas pertence `a diagonal principal da matriz de transi¸c˜ao Λ. Se uma taxa pertence `a diagonal principal, um limitante inferior ´e estabe- lecido em (Zhang and Lam, 2010). Essa estrat´egia faz sentido na pr´atica, poisλ_ii → −∞representa um modo cujo tempo de permanˆenciaτ →0, veja a rela¸c˜ao entre taxas de transi¸c˜ao e distribui¸c˜ao de probabilidade para tempo de permanˆencia em (Leon-Garcia, 2007).

Lema 1 O sistema (1) com taxas incertas perten- cendo a um politopo de v´ertices conhecidos repre- sentado pelas LMIs (6) ´e est´avel se existirX_i>0, Z_ij >0 eH_i tais que

"

He(A_iX_i) +λ^(ℓ)

ii X_i •

X_i −Ψ^(ℓ)_i

#

<0 (20)

e

Z_ij • H_i X_j

>0 (21)

em queΨ^(ℓ)_i := He(H_i)−P

j∈Kⁱλ^(ℓ)

ij Z_ij para todo i, j∈Keℓ∈ {1,2,· · ·, N_p}.

Prova: E imediato de (13) e (14) aplicadas aos´ v´ertices do politopo de incertezas e pelo fato que tais LMIs serem afins com respeito a esses parˆa-

metros. ✷

3 NormasH² e H∞

Nesta se¸c˜ao, mostramos como a mesma estrat´egia de lineariza¸c˜ao pode ser usada para as normasH2

eH∞.

Defini¸c˜ao 2 ((de Farias et al., 2000)) A norma H2 de um sistema, MSS, G ´e definida como

kGk²2=

r

X

s=1

X

i∈K

µ_ikz_s,ik²2 (22) em que µ_i := Prob(θ₀ = i) e z_s,i representa a sa´ıda {z_t; t≥0} quando:

a) a entrada ´e dada por w(t) = e_sδ(t), em que δ(t) ´e o impulso unit´ario e e_s ´e a s-´esima coluna da matriz identidade r×r;

b) x₀= 0 eθ₀=i∈K

Para que se tenha normaH2 limitada, o sis- tema (1) deve terF_i = 0 para todo i ∈K. Com as taxas de transi¸c˜aoλ_ij conhecidas, pode ser cal- culada como (de Farias et al., 2000)

kGk²2= min

Pi>0

X

i∈K

µ_iTr(E_i^′P_iE_i) (23) sujeito a

He(A^′_iP_i) +C_i^′C_i+X

j∈K

λ_ijP_j<0 (24)

De maneira similar `aquela usada para obter as LMIs (13) e (14) podemos dizer que (23) e (24) s˜ao equivalentes a

kGk²2= minX

i∈K

µ_iTr(W_i) (25) sujeitas a

W_i • E_i X_i

>0 (26)





He(A_iX_i) +λ_iiX_i • •

X_i −Ψi •

C_iX_i 0 −I



<0 (27) e (21), para todoi, j∈K.

Para o caso de incertezas polit´opicas, um li- mitante superior da normaH2 pode ser calculado usando (25)–(27) e (21) simplesmente trocando-se λ_ii porλ^(ℓ)_ii e Ψipor Ψ^(ℓ)_i nas LMIs (27) para todo ℓ ∈ {1,· · ·, N_p}. Isso ´e poss´ıvel pois essas LMIs s˜ao afins com rela¸c˜ao as taxas de transi¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 3 ((de Farias et al., 2000)) O quadrado da normaH∞ de um sistema, MSS, G, kGk²∞, ´e o menorγ >0, tal que

kzk²2< γkwk²2

Como a entrada w ´e arbitr´aria e de norma L2 finita, o mesmo ocorre com a norma L2 da sa´ıda, pois o sistema ´e estocasticamente est´avel.

Portanto, segue a identidade γ= sup

θ0∈K,w∈L² w6=0

kzk2

kwk2

(28)

Logo, podemos concluir que a normaH∞ do sis- tema ´e oganhoL2 de pior caso.

A norma H∞ pode ser obtida por meio do seguinte programa de otimiza¸c˜ao convexa (Costa et al., 2013)

kGk²∞= min

γ>0,Pi>0

γ (29)

sujeito a









He(A^′_iP_i) +X

j∈K

λ_ijP_j • •

E_i^′P_i −γ I •

C_i F_i −I









<0 (30)

Utilizando a mesma mudan¸ca de vari´aveis pode-se expressar (29) e (30) como

kGk²∞= min

γ>0,Xi>0

γ (31)

sujeita a









He(A_iX_i) +λ_iiX_i • • •

E_i^′ −γ I • •

X_i 0 −Ψi •

C_iX_i F_i 0 −I









<0 (32)

e (21) para todoi, j ∈ K. Como foi dito para o casoH², um limitante superior da normaH∞com taxas incertas pode ser calculado usando (31)–(32) e (21) simplesmente trocandoλ_iiporλ^(ℓ)

ii e Ψipor Ψ^(ℓ)_i nas LMIs (32) para todoℓ∈ {1,· · · , N_p}.

4 Realimenta¸c˜ao de Estado

Apesar do objetivo principal do controle ser esta- bilizar o sistema, objetivos adicionais podem ser impostos, seja para adicionar robustez ou para au- mentar o desempenho. Esta se¸c˜ao destina-se a es- tabelecer um controlador que n˜ao s´o estabiliza o sistema de malha fechada, mas tamb´em minimiza sua normaH² ou H∞. O sistema em malha fe- chada pode ser descrito como

G^c:







˙

x(t) = A_ix(t) +B_iu(t) +E_iw(t) z(t) = C_ix(t) +D_iu(t) +F_iw(t) u(t) = K_ix(t)

(33) na qualu∈R^m´e a entrada de controle. Nas pr´o- ximas se¸c˜oes, consideramos que as taxas de tran- si¸c˜ao s˜ao incertas mas pertencem a um intervalo convexo de v´ertices conhecidos.

4.1 NormaH2

O objetivo deste problema ´e encontrar um con- trolador via realimenta¸c˜ao de estado de tal forma que as excurs˜oes de x(t) e u(t) sejam ambas li- mitadas. Dessa forma, o estado permanece perto do ponto de equil´ıbrio e, ao mesmo tempo, um enorme esfor¸co de controle pode ser evitado. A defini¸c˜ao de matrizes C_i e D_i indica, para cada modo, o peso que ´e dado em cada um destes dois objetos conflitantes. Lembramos que para o caso H2 precisamos terF_i = 0 para todoi∈K.

Teorema 1 Existe um conjunto de ganhos de re- alimenta¸c˜ao de estado K_i, parai∈K, tais que

kG^ck²2≤minX

i∈K

µ_iTr(W_i) (34) se existirem matrizes sim´etricasW_i,X_i,Z_ije ma- trizesY_i,H_ide dimens˜oes compat´ıveis tais que as LMIs







Θ^(ℓ)_i • •

X_i −Ψ^(ℓ)_i • C_iX_i+D_iY_i 0 −I





<0 (35) com

Θ^(ℓ)_i := He(A_iX_i+B_iY_i) +λ^(ℓ)

ii X_i

e (21) e (26) forem v´alidas para todoi, j∈Keℓ∈ {1,· · · , N_p}. Nesse caso, os ganhos de controle s˜ao dados por

K_i=Y_iX⁻¹

i (36)

x

θ M

(m, ℓ)

→^f(t)

Figura 1: Exemplo - Guindaste Industrial

Prova: Segue de (21), (26) e (27), calculadas nos v´ertices do politopo de incerteza para as matrizes em malha fechada A_i +B_iK_i, C_i +D_iK_i e da introdu¸c˜ao das novas vari´aveisY_i=K_iX_i. ✷

4.2 NormaH∞

Estamos agora interessados em encontrar um con- trolador robusto na presen¸ca do ru´ıdow∈L2. Teorema 2 Existem os ganhos K_i para i ∈ K tais que

kG^ck²∞≤minγ (37) se existir γ ∈ R, matrizes sim´etricas X_i, Z_ij e matrizesY_i,H_i de dimens˜oes compat´ıveis tais que









Θ^(ℓ)_i • • •

E^′

i −γ I • •

X_i 0 −Ψ^(ℓ)_i • C_iX_i+D_iY_i F_i 0 −I









<0 (38)

e (21) forem v´alidas para todo i, j ∈ K e ℓ ∈ {1,· · ·, N_p}. Nesse caso, os ganhos de controle s˜ao dados por (36).

Prova: Segue os mesmos passos do Teorema 1.

✷

5 Exemplo

Consideramos o modelo de um guindaste indus- trial como ilustrado na Figura 1. Trata-se de um carro de massaM, movendo-se no plano horizon- tal sob a a¸c˜ao de uma for¸ca externa f(t) e uma for¸ca com coeficiente de arrasto b. Ao longo do seu centro de massa, um pˆendulo homogˆeneo de massa m e comprimento ℓ est´a montado. Este pˆendulo tamb´em ´e afetado por uma for¸ca com co- eficiente de arrastoB.

O vetor de estado ´ev(t) = [x(t)θ(t) ˙x(t) ˙θ(t)]^′ e linearizamos o modelo em torno da origem.

As equa¸c˜oes diferenciais podem ser postas sob a

formaEv˙(t) =Av(t) +Bf(t), em que

E=









1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 M+m mℓ/2

0 0 mℓ/2 J_cm+m(ℓ/2)²









A=









0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 −(b+B ℓ) −B ℓ²/2 0 −mgℓ/2 −B ℓ²/2 −B ℓ³/3









B=

0 0 1 0′

O nosso objetivo ´e conduzir o sistema a par- tir da condi¸c˜ao inicial v(0) = [10 0 0 0]^′ para a origem v(t) = 0 controlando a posi¸c˜ao angular do pˆenduloθ(t) por meio de um controle via reali- menta¸c˜ao de estadof(t) =K_iv(t). Este problema de condi¸c˜ao inicial pode ser tratado no ˆambitoH2

considerandoE_i =v(0) em (33).

Consideramos tamb´em uma pequena penali- dade para o esfor¸co de controle. Portanto, a sa´ıda a ser controlada ´e

z(t) =





1 0 0 0

0 10 0 0

0 0 0 0



v(t) +



 0 0 0,01



f(t) Assumimos que o sistema est´a propenso a ter mal funcionamento no atuador. Consequen- temente, temos dois modos de opera¸c˜ao. O modo nominal, i = 1, e o modo quando ocorre a fa- lha, i = 2. Para o primeiro caso temos que B₁ = E⁻¹B, enquanto que para o segundo caso B₂= 0.

Para fins de simula¸c˜ao num´erica, considera- mos queM = 1000 kg, m = 200 kg, b = 2 Ns/m, B = 5 Ns/m², ℓ = 1 m e g = 9.8 m/s². Ainda, J_cm=mℓ²/12 ´e o momento de in´ercia do pˆendulo com respeito ao seu centro de massa. As taxas de transi¸c˜ao para a ocorrˆencia de falha s˜ao incertas, mas pertencem a um conjunto convexo de v´ertices conhecidos dado por

Λ =

−0,5 0,5 [1,0, 1,5] [−1,5, −0,5]

Consideramos que o sistema parte do modo 1, i.e., µ₁ = 1 e µ₂ = 0. Como, em nosso exemplo, B₂ = 0, a matriz de ganhos quando h´a falha no atuador pode ser escolhida, sem perda de gene- ralidade, como K₂ = 0. Aplicando o Teorema 1 obtemos como custo garantidokG^ck²2 ≤23,887 e o seguinte valor para o ganho de realimenta¸c˜ao de estado:

K₁=

−125,57 193,98 −719,08 220,86 (39) Projetamos tamb´em, um controlador LQR para a planta nominal, ou seja, sem levar em considera-

¸c˜ao a possibilidade de falhas. Calculamos a norma

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 23.1

23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 24

λ21

kH2k

Figura 2: NormaH² para os controladores: Mar- kov (pontilhada) x LQR (cont´ınua)

H² em malha fechada para todos os valores no in- tervalo de incerteza. A Figura 2 ilustra a com- para¸c˜ao entre as normasH² para esses dois con- troladores. Em linha pontilhada, apresentamos os resultados para o controlador robusto proposto e em linha cont´ınua, o controlador LQR, ambos submetidos as mesmas taxas de transi¸c˜ao entre os modos com falha e com comportamento nominal.

Nota-se a maior robustez do nosso projeto com rela¸c˜ao ao controlador LQR. O controlador proposto apresenta um desempenho superior para todoλ₂₁ considerado.

6 Conclus˜ao

Lidamos com o projeto de controle via realimen- ta¸c˜ao de estadoH²eH∞usando novas condi¸c˜oes nas LMIs. A principal caracter´ıstica dessas LMIs ´e a de serem afins com rela¸c˜ao `as taxas de transi¸c˜ao.

Desta forma, tornou-se bastante simples incorpo- rar o caso em que existem incertezas polit´opicas sobre esses parˆametros. O projeto foi ilustrado atrav´es de um exemplo num´erico, comparando o desempenho do projeto de controle via realimen- ta¸c˜ao de estado proposto com o cl´assico LQR.

Vamos continuar a estudar este problema, a fim de fornecer um projeto de realimenta¸c˜ao de sa´ıda H2 e H∞ para o caso em que as taxas de transi¸c˜ao s˜ao incertas. Outra quest˜ao interes- sante, e ainda n˜ao muito explorada, ´e a disponi- bilidade para o controlador do modo de Markov para MJLS a tempo cont´ınuo.

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