Estudo de planícies de inundação através da análise dos parâmetros hidráulicos do canal principal e sua influência na avaliação do risco fuzzy de enchentes

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL CURSO DE DOUTORADO EM ENGENHARIA CIVIL

RECURSOS HÍDRICOS

CARLA FREITAS DE ANDRADE

ESTUDO DE PLANÍCIES DE INUNDAÇÃO ATRAVÉS DA ANÁLISE DOS PARÂMETROS HIDRÁULICOS DO CANAL PRINCIPAL E SUA INFLUÊNCIA NA

AVALIAÇÃO DO RISCO FUZZY DE ENCHENTES

FORTALEZA – CE

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CARLA FREITAS DE ANDRADE

Tese submetida à Coordenação do Curso de Doutorado em Engenharia Civil, com Área de Concentração em Recursos Hídricos, como requisito parcial para a obtenção do grau de Doutor.

Orientador: Prof. Dr. Raimundo Oliveira de Souza

FORTALEZA – CE

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Esta Tese foi apresentada como parte integrante dos requisitos necessários à obtenção do Grau de Doutor em Engenharia Civil, na área de Concentração em Recursos Hídricos, outorgado pela Universidade Federal do Ceará, a qual encontrar-se-á à disposição dos interessados na Biblioteca Central da referida Universidade. A citação de qualquer trecho desta tese é permitida, desde que seja feita em conformidade com as normas da ética científica.

Aprovada em 22 de setembro de 2006.

__________________________________ Carla Freitas de Andrade

________________________________________ Prof. Raimundo Oliveira de Souza, Dr. (Orientador)

Universidade Federal do Ceará

___________________________________________ Prof. Ernesto da Silva Pitombeira, PhD.

___________________________________________ Prof. Vicente de Paulo Pereira Barbosa Vieira, PhD.

___________________________________________ Profa. Conceição de Maria Albuquerque Alves, PhD.

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A Deus e a Nossa Senhora, que me deram todos as condições necessárias ao desenvolvimento deste trabalho;

Aos meus pais José Carneiro e Maria Clara, constantes incentivadores, pelo carinho, estímulo e apoio durante toda uma vida;

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AGRADECIMENTO ESPECIAL

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AGRADECIMENTOS

Meu especial agradecimento,

aos meus irmãos, José Filho e Clarissa, pelo incentivo prestado ao longo deste trabalho;

ao meu noivo, Victor Sampaio, pelo carinho, incentivo e compreensão pelas muitas horas dedicadas a este trabalho;

ao Professor Raimundo Oliveira agradeço a orientação no desenvolvimento de todas as etapas desta tese;

à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Recursos Hídricos, na pessoa do estimado e dedicado Professor Marco Aurélio, pela amizade, cooperação, presteza e apoio constantes;

ao CNPq pelo apoio financeiro prestado em forma de bolsa de estudo no decorrer do Curso;

aos Professores do Curso de Pós-Graduação em Recursos Hídricos, Prof. Marco Aurélio Holanda de Castro, Prof. Walter Martins Ferreira Filho, Prof. José Nilson Campos, Prof. Ernesto da Silva Pitombeira, Prof. Horst Frischkorn, Prof. Vicente de Paulo Pereira Barbosa Vieira e Prof. José Carlos Araújo, pela contribuição acadêmica, amizade e atenção durante todo o curso;

à Biblioteca da Pós-Graduação em Engenharia Civil da UFC, na pessoa da Sra. Umbelina Caldas Neta, pelo apoio e auxílio constantes à execução deste trabalho;

à banca examinadora formada pelos professores Raimundo Oliveira de Souza (Orientador), Prof. Ernesto da Silva Pitombeira, Prof. Vicente de Paulo Vieira, Prof. Conceição de Maria Albuquerque Alves e Prof. Antônio Clécio Fontelles Thomas.

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RESUMO

Com o objetivo de analisar planícies de inundação em canais naturais, sujeitos à propagação de uma onda de cheia, formulou-se um modelo matemático, baseado nas equações da hidrodinâmica, conjuntamente com a teoria fuzzy. O modelo é capaz de avaliar, em função dos parâmetros hidráulicos e hidrológicos da bacia, o comportamento das variáveis de controle pertinentes ao escoamento. O modelo é também capaz de avaliar o risco fuzzy para tais áreas susceptíveis a inundação, durante chuvas intensas.

Para a solução das equações diferenciais parciais contidas no modelo, foi usado o Método das Diferenças Finitas, e, para a solução do sistema de equações algébricas não lineares resultantes, foi usado com o Método Iterativo de Newton–Raphson. Um programa computacional QUARIGUA (Análise Quantitativa do Risco de Enchente em Rios Urbanos), codificado em linguagem FORTRAN 90 e desenvolvido para esta pesquisa, foi usado para efetuar as simulações.

O programa computacional QUARIGUA foi organizado de uma maneira modular, com dois módulos principais, a saber, o módulo determinístico, onde os resultados da profundidade do escoamento e da vazão do canal são calculados como valores discretos, e o módulo fuzzy, baseado na teoria de risco fuzzy, onde os resultados da profundidade do escoamento e da vazão do canal são calculados como funções de pertinência.

Para avaliar o comportamento das variáveis de controle, vários cenários para o canal principal, de uma bacia de inundação fictícia, bem como para as ondas de cheia, foram considerados e diferentes simulações foram realizadas através do programa computacional QUARIGUA. A introdução da lógica fuzzy no modelo hidrodinâmico, para calcular as funções de pertinência vinculadas às variáveis de controle, proporciona um procedimento adequado e prontamente eficaz para a análise dos campos de risco presentes no processo de propagação de onda de cheia e, portanto, também proporciona uma avaliação mais consistente de áreas de risco próximas às margens de canais naturais.

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ABSTRACT

A mathematical model based on the equations of hydrodynamics combined with the fuzzy set theory was formulated, for the analysis of flood plains in natural channels, subjected to a flood wave propagation. The model is able to evaluate the behavior of the control variables pertinent to the flow, in terms of the watershed hydraulic and hydrologic parameters. The model is also able to evaluate the fuzzy risk, for such areas susceptible to flooding during heavy rainfalls.

For the solution of the model governing partial differential equations, the Finite Difference Method was used, and for the solution of the resulting system of nonlinear algebraic equations, the Newton-Raphson Iteration Method was used. A computer program QUARIGUA (Risk Quantitative Analysis of Flood in Urban Rivers), coded in FORTRAN 90 and developed for this research, was used to perform the simulations.

The computer program QUARIGUA was organized in a modular manner, with two main modules, namely, the deterministic module, where the water level and the discharge are calculated as discrete values, and the fuzzy module, based on the fuzzy set theory, where the water level and the discharge are calculated as membership functions.

In order to evaluate the behavior of the control variables, several scenarios for the main channel, of on unreal flood plain, as well as for the flood waves, were considered and different simulations were performed using the computer program QUARIGUA.

Introducing fuzzy logic into the hydrodynamics model, to calculate the membership functions associated with the control variables, provides a suitable and readily efficacious procedure for the analysis of the risk fields in the flood wave routing process and, therefore, it also provides a more consistent evaluation of risk areas along natural river channels.

In addition, some specific simulations were performed for the analysis of the flood risk and safety behavior, in terms of the hydraulic and hydrologic channel characteristics and, therefore, evaluating in which manner certain changes, for example, in the roughness coefficient and in the bed slope may affect the risk function behavior.

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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 3.1 – Elementos geométricos de uma seção 53

FIGURA 3.2 – Volume de controle elementar para um escoamento em canal 56 FIGURA 3.3 – Termos da equação da continuidade (Fonte: Chow, 1959) 58

FIGURA 3.4 – Volume de controle para a equação da quantidade de movimento 60

FIGURA 3.5 – Canal principal e planície de inundação 66

FIGURA 3.6 – Classificação das áreas inundáveis (Fonte: Tucci, 1993) 75

FIGURA 3.7 – Malha de discretização no plano x- t 78

FIGURA 3.8 – Definição de meia idade em conjuntos convencionais 84

FIGURA 3.9 – Definição fuzzy de meia idade 84

FIGURA 3.10 – Funções de pertinência dos conjuntos de estatura humana segundo a teoria clássica de conjuntos e a teoria fuzzy de conjuntos 90

FIGURA 3.11 – Funções de pertinência para operações entre conjuntos fuzzy 92 FIGURA 3.12 – Número fuzzy convexo 91

FIGURA 3.13 – Segurança absoluta (Fonte: Ganoulis, 1994) 98

FIGURA 3.14 – Falha absoluta (Fonte: Ganoulis, 1994) 98

FIGURA 4.1 – Função triangular para o coeficiente de Manning 119

FIGURA 4.2 – Função triangular para a declividade do canal 119

FIGURA 4.3 – Função triangular para a condição de contorno a montante 121

FIGURA 4.4 – Função triangular para a condição inicial 122

FIGURA 4.5 – Canal trapezoidal 123

FIGURA 4.6 – Fluxograma das etapas para a avaliação do risco de enchente em rios 132

FIGURA 4.7 – Fluxograma da subrotina para a leitura de dados do rio e para a determinação das condições iniciais e de contorno 133

FIGURA 4.8 – Fluxograma da subrotina para calcular a hidrodinâmica do rio 134

FIGURA 4.9 – Fluxograma da subrotina para calcular as funções de pertinência dos parâmetros utilizados para o modelo hidrodinâmico 135

FIGURA 4.10 – Fluxograma para o cálculo do risco de cheia nas margens do rio 136

FIGURA 4.11 –Fluxograma completo do programa computacional 137

FIGURA 4.12 – Fluxograma da subrotina para calcular a hidrodinâmica do rio 138

(10)

FIGURA 4.14 –Fluxograma completo do módulo fuzzy 140

FIGURA 5.1 – Representação gráfica da função senoidal 145

FIGURA 5.2 –Propagação da onda para diferentes tempos. 147

FIGURA 5.3 – Propagação da onda para diferentes seções do canal 148

FIGURA 5.4 – Propagação da onda para diferentes tempos. 149

FIGURA 5.5 – Propagação da onda para diferentes seções do canal. 149

FIGURA 5.6 – Comportamento da área para diferentes tempos. 150

FIGURA 5.7 – Comportamento da área para diferentes seções do canal. 150

FIGURA 5.8 – Comportamento da velocidade para diferentes tempos. 150

FIGURA 5.9 – Comportamento da velocidade para diferentes seções do canal 151

FIGURA 5.10 – Comportamento da profundidade para diferentes tempos. 151

FIGURA 5.11 – Comportamento da profundidade para diferentes seções do canal 151

FIGURA 5.12 – Valores dos picos de vazão ao longo do canal 152

FIGURA 5.13 – Valores dos picos da profundidade ao longo do canal. 152

FIGURA 5.14 – Propagação da onda para diferentes tempos 153

FIGURA 5.15 – Propagação da onda para diferentes seções do canal. 153

FIGURA 5.16 – Comportamento da profundidade para diferentes tempos. 154

FIGURA 5.18 – Propagação da onda para diferentes tempos 155

FIGURA 5.19 – Propagação da onda para diferentes seções do canal 155

FIGURA 5.20 – Comportamento da profundidade para diferentes tempos 155

FIGURA 5.22 – Comparação das profundidades ao longo do canal para t = 297 min 156

FIGURA 5.23 – Comparação das profundidades ao longo do tempo para x = 4.000 m 157

FIGURA 5.24 – Comparação das vazões ao longo do canal para t = 297 min 157

FIGURA 5.25 – Comparação das vazões ao longo do tempo para x = 4.000 m 157

FIGURA 5.26 – Comportamento da profundidade, ao longo do canal, para t = 120 min 158

FIGURA 5.27 – Comportamento da profundidade, ao longo do tempo, para x=10.000 m 159 FIGURA 5.28 – Comportamento da vazão, ao longo do canal, para t = 120 min 160

FIGURA 5.29 – Comportamento da vazão, ao longo do tempo, para x = 10.000 m 160

(11)

FIGURA 5.34 –Comportamento da profundidade, ao longo do canal, para t = 120 min 163

FIGURA 5.35 – Comportamento da profundidade, ao longo do tempo, para x=10.000m 163

FIGURA 5.36 – Comportamento da vazão, ao longo do canal, para t = 120 min 164

FIGURA 5.39 – Comportamento da profundidade, ao longo do tempo, para x = 9.900m 166

FIGURA 5.40 – Comportamento da vazão, ao longo do canal, para t = 240 min 167

FIGURA 5.42 –Função de pertinência da profundidade para o tempo de 1 hora 169

FIGURA 5.43 –Função de pertinência da vazão para o tempo de 1 hora 169

FIGURA 5.44 –Função de pertinência para a margem de segurança para o tempo de 1 h 169

FIGURA 5.45 – Função de pertinência da profundidade,em diferentes seções, tempo de 1h 170 FIGURA 5.46 – Função de pertinência da vazão, em diferentes seções, no tempo de 1 h 170

FIGURA 5.47 – Função de pertinência da margem de segurança, em diferentes seções, no tempo de 1 hora 171

FIGURA 5.48 – Função de pertinência da profundidade, para diferentes tempos, a 5 km da origem 171

FIGURA 5.49 – Função de pertinência da vazão, para diferentes tempos, 5 km da origem 172 FIGURA 5.50 –Função de pertinência da margem de segurança, para diferentes tempos, 5 km da origem 172

FIGURA 5.51 –Função de pertinência da profundidade, para diferentes rugosidades, 5 km da origem, no tempo de 4 horas 173

FIGURA 5.52 – Função de pertinência da vazão, para diferentes rugosidades, a 5 km da origem, no tempo de 4 horas 173

FIGURA 5.53 –Função de pertinência da margem de segurança, para diferentes rugosidades, a 5 km da origem, no tempo de 4 horas 173

FIGURA 5.54 –Função de pertinência da profundidade, para diferentes declividades, a 5 km da origem, no tempo de 4 horas 174

(12)

FIGURA 5.56 –Função de pertinência da margem de segurança, para diferentes declividades, a 5 km da origem, no tempo de 4 horas 175 FIGURA 5.57 – Função de pertinência da margem de segurança para diferentes funções de

resistência, a 21 km da origem, no tempo de 1 hora 175 FIGURA 5.58 – Risco de inundação, para diferentes tempos, com pico de onda 5Q₀, ao longo

do canal 176 FIGURA 5.59 – Garantia contra inundação, para diferentes tempos, pico de onda 5Q₀ 177 FIGURA 5.60 – Garantia e risco de inundação, em um canal natural, a 30 km da origem, ao

longo do tempo 177 FIGURA 5.61 – Risco de inundação, para diferentes picos de onda, no tempo de 2 horas, ao

longo do canal 178 FIGURA 5.62 – Garantia contra inundação, para diferentes picos de onda, no tempo de 2

horas, ao longo do canal 178 FIGURA 5.63 – Risco de inundação, para diferentes picos de onda, a 10 km do início do

canal, ao longo do tempo 179 FIGURA 5.64 – Garantia contra inundação, para diferentes picos de onda, a 10 km do início

do canal, ao longo do tempo 179 FIGURA 5.65 – Risco de inundação, para diferentes picos de onda, a 20 km do início do

canal, ao longo do tempo 180 FIGURA 5.66 – Garantia contra inundação, para diferentes picos de onda, a 20 km do início

do canal, ao longo do tempo 180 FIGURA 5.67 – Risco de inundação, para diferentes rugosidades, no tempo de 1 hora, ao

longo do canal 181 FIGURA 5.68 –Garantia contra inundação, para diferentes rugosidades, no tempo de 1 hora,

ao longo do canal 182 FIGURA 5.69 – Risco de inundação, para diferentes rugosidades, a 30 km da origem, ao

longo do tempo 182

FIGURA 5.70 –Garantia contra inundação, para diferentes rugosidades, a 30 km da origem, ao longo do tempo 183 FIGURA 5.71 – Risco de inundação, para diferentes declividades, a 30 km da origem, ao

(13)

FIGURA 5.72 –Garantia contra inundação, para diferentes declividades, a 30 km da origem, ao longo do tempo 184 FIGURA 5.73 – Risco de inundação, para diferentes funções de resistência, a 30 km da

origem, ao longo do tempo 185 FIGURA 5.74 –Garantia contra inundação, para diferentes funções de resistência, a 30 km da

origem, ao longo do tempo 185 FIGURA 5.75 – Campos de risco para diferentes picos de onda, ao longo do tempo, a 5 km da

origem 186 FIGURA 5.76 – Campos de garantia para diferentes picos de onda, ao longo do tempo, a 5 km

da origem 187 FIGURA 5.77 – Campos de risco para diferentes seções, ao longo do tempo, com n = 0,03 e

0

S = 0,000005 187

FIGURA 5.78 – Campos de garantia para diferentes seções, ao longo do tempo, com n = 0,03

e S₀= 0,000005 188

FIGURA 5.79 – Campos de risco para diferentes seções, ao longo do tempo, com n = 0,01 e 0

S = 0,000005 188

e S₀= 0,000005 189

FIGURA 5.81 – Campos de risco para diferentes seções, ao longo do tempo, com n = 0,03 e 0

S = 0,00001 190

e S₀= 0,00001 190

FIGURA 5.83 – Campos de risco para diferentes declividades do canal, ao longo do tempo, com n = 0,03, a 10 km da origem 191 FIGURA 5.84 – Campos de garantia para diferentes declividades do canal, ao longo do tempo,

com n = 0,03, a 10 km da origem 191 FIGURA 5.85 – Campos de risco para diferentes rugosidades no canal, ao longo do tempo,

comS₀= 0,000005, a 10 km da origem 191 FIGURA 5.86 – Campos de garantia para diferentes rugosidades no canal, ao longo do tempo,

(14)

FIGURA 5.87 – Campos de risco para diferentes funções de pertinência de resistência, ao longo do tempo, a 5 km da origem 192 FIGURA 5.88 – Campos de garantia para diferentes funções de pertinência de resistência, ao

(15)

LISTA DE TABELAS

(16)

LISTA DE SÍMBOLOS

= resistência de atrito – [M/LT2];

V = velocidade média do escoamento na direção longitudinal – [L/T];

f = coeficiente de atrito – [M0L0T0]; = massa específica do fluido – [M/L3];

P = perímetro molhado – [L];

G = grau de pertinência do elemento x– [M0L0T0];

) x (

G = função de pertinência – [M0L0T0];

A = área molhada da seção transversal – [L2]; h

R = raio hidráulico – [L];

y = altura d’água ou profundidade da água no canal – [L];

h = altura de escoamento da seção – [L];

B = largura do canal – [L]; m

H = altura hidráulica ou altura média – [L]; 0

0 S

I = = declividade do fundo do canal – [L/L]; a

a I

S = = declividade da linha d’água – [L/L]; f

f S

I = = declividade da linha de energia – [L/L];

dx_{= diferencial da distância ao longo do eixo dos x – [L];} dy_{= diferencial da distância ao longo do eixo dos y – [L];} Q = vazão – [L3/T];

q = vazão por unidade de largura – [L3/T/L];

x = derivada parcial em relação a x – [L 1_];

t = derivada parcial em relação a t – [T 1_];

x = distância longitudinal ao longo do canal – [L];

t = tempo – [T];

(17)

g

F = força gravitacional – [ML/T2]; a

F = força de atrito – [ML/T2]; e

F = força de contração/expansão – [ML/T2]; w

F = força de cisalhamento do vento – [ML/T2]; p

F = força de pressão – [ML/T2];

g = aceleração da gravidade – [L/T2]; 0

Z = cota de fundo do canal – [L]; = esforço cortante - [M/LT2];

e

S = declividade da perda por redemoinho – [L/L];

e

K = coeficiente adimensional do estreitamento ou alargamento – [M0_L0_T0_];

w = tensão de cisalhamento do vento – [M/LT 2

];

f

W = fator de cisalhamento do vento – [M/LT2]; f

C = coeficiente de tensão de cisalhamento – [M0L0T0]; pl

F = força hidrostática no lado esquerdo do volume de controle – [ML/T2]; pr

F = força hidrostática no lado direito do volume de controle – [ML/T2]; pb

F = força de pressão exercida pelos taludes no volume de controle – [ML/T2];

x y

= derivada de yem relação a x– [L/L];

t u

= derivada da componente de uem relação a t– [L/T];

i

u = valor da variável de controle na seção i;

1 i

u ₊ = valor da variável de controle na seção i+1; j

i

u ₊₁ = valor da variável de controle na seção i+1 na linha de tempo j; j

i

u =valor da variável de controle na seção i na linha de tempo j;

x = incremento no espaço para a solução numérica – [L];

t = incremento no tempo para a solução numérica – [T];

1 1 + + j i

(18)

1 + j i

u =valor da variável de controle na seção i na linha de tempo j+1; = fator de ponderação – [M0L0T0];

x u

= derivada da componente de uem relação a x– [L/L];

u = valor médio de u - [L/T];

CCM = condição de contorno a montante;

CCJ = condição de contorno a jusante; i

C = equação da continuidade para o elemento i; i

M = equação da quantidade de movimento para o elemento i; k

CCM

R = resíduo para a condição de contorno a montante; k

CCJ

R = resíduo para a condição de contorno a jusante; k

i C

R _, = resíduo para a equação da continuidade no elemento i e para a iteração k.; k

i M

R _, = resíduo para a equação da quantidade de movimento no elemento i

e para a iteração k;

) x (

f = sistema de equações para a iteração k; )

(xk+1

f = sistema de equações para a iteração k+1; )

(xk

J = Jacobiano;

M~ = representação fuzzy para a margem de segurança em um sistema hídrico – [L];

R~ = representação fuzzy para a carga – [L];

L~ = resistência ou representação fuzzy para a profundidade – [L]; c

R = índice fuzzy de confiabilidade;

q~ = representação fuzzy para o influxo lateral - [L3/T/L];

A~ = representação fuzzy para a área transversal – [L2];

Q~ = representação fuzzy para a vazão – [L3/T];

y

~ _{= representação}_fuzzy_{para a profundidade – [L];}

0

~

S = representação fuzzy para a declividade do fundo – [L/L]; f

S~ = representação fuzzy para a declividade de energia – [L/L];

(19)

x

d~ = representação do vetor solução fuzzy – [L]; R~

V = representação do vetor residual fuzzy; c

R = índice de confiabilidade fuzzy;

p

t = tempo de pico – [T]; b

t = tempo de base – [T];

a = amplitude da onda;

T = período da onda de entrada – [T]; 0

Q = vazão do estado permanente ou descarga inicial para determinados escoamentos – [L/T];

0

A = seção transversal inicial do canal – [L2];

dy dA

= derivada total de Aem relação a y- [L2/L];

x A

(20)

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS 8

LISTA DE TABELAS 14

LISTA DE SÍMBOLOS 15

1 INTRODUÇÃO 21

1.1 Objetivos da Pesquisa 23

1.2 Justificativa da Pesquisa 24

1.3 Organização do Trabalho 25

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 26

2.1 Planícies de Inundação 27 2.2 Modelagem Matemática para o Estudo das Planícies de Inundação 33 2.3 Teoria de Risco 41 2.4 Avaliação do Risco e Análise de Incerteza 43 2.5 Teoria Fuzzy 46 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 52 3.1 Generalidades 52 3.2 Elementos Característicos dos Canais 53 3.3 Tipos de Escoamento 54 3.4 Equações do Escoamento 55 3.5 Escoamento Unidimensional 55 3.5.1 Equação da Continuidade para Escoamento Unidimensional 57

3.5.2 Equação da Quantidade de Movimento para Escoamento Unidimensional 59 3.6 Análise de Propagação de Cheias Devido a uma Onda Dinâmica 65 3.7 Planícies de Inundação 65 3.7.1 Desenvolvimento de Ações para o Controle de Enchentes 67

3.7.2 Causas das Enchentes 68

3.7.3 Métodos para Combate às Enchentes 69

3.7.4 Medidas para o Controle da Inundação 70

3.7.4.1 Medidas Estruturais 70

(21)

3.7.5 Zoneamento 74 3.7.5.1 Condições Técnicas do Zoneamento 74

3.8 Modelos Hidrológicos 76

3.9 Método Numérico 76

3.9.1 Diferenças Finitas 77 3.9.2 Método Iterativo de Newton–Raphson 80

3.10 Conceitos e Aplicações da Teoria Fuzzy 81

3.10.1 Histórico 82 3.10.2 Conceito 83

3.11 Comparações entre Lógica Fuzzy e Probabilidade 86

3.12 Teoria dos Conjuntos Tradicionais 86

3.13 Teoria dos Conjuntos Fuzzy 89

3.14 Cálculo Algébrico do Número Fuzzy Triangular 94

3.15 Cálculo do Risco Fuzzy 95

3.15.1 Risco Fuzzy e Confiabilidade 96

4 METODOLOGIA 99

4.1 Equações Básicas do Modelo Hidrodinâmico para Escoamento Unidimensional 99 4.1.1 Equação da Continuidade 100 4.1.2 Equação da Quantidade de Movimento 100

4.2 Solução das Equações de Saint–Venant 101

4.3 Aplicação do Método de Discretização nas Equações Governantes 102

4.4 Aspectos Fuzzy 114

4.5 Cálculo do Risco Fuzzy 116

4.6 Composição das Funções de Pertinência 118

4.6.1 Funções de Pertinência para o Modelo Hidrodinâmico 118

4.7 Formulação do Modelo Numérico – Aspectos Computacionais 122

4.8 Aplicação do Modelo para o Rio Cocó 141

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS 143

5.1 Avaliação dos Resultados Determinísticos 143

5.2 Avaliação dos Resultados Fuzzy 168

5.3 Resultado da Aplicação do Modelo para o Rio Cocó 186

6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 194

(22)

1 INTRODUÇÃO

A intensa atividade humana, presente nas proximidades de rios, lagos ou estuários, resultado de grandes zonas urbanas, tem causado consideráveis alterações nos sistemas hídricos e produzindo grandes impactos, do ponto de vista ambiental, tendo em vista a ocorrência do uso indevido dos cursos de água. No Brasil, muitos são os rios que têm suas águas em completo estado de degradação, em conseqüência da falta de uma política de uso e da ocupação desordenada das zonas urbanas.

A ocupação desordenada dos centros urbanos é explicada pelo desenvolvimento histórico da utilização de áreas livres. Devido à grande dificuldade de meios de transporte no passado, utilizava-se o rio como a via principal. Em razão disso, as cidades começavam a se desenvolver às margens dos rios ou em áreas costeiras. Contudo, pela própria experiência dos antigos moradores, a população procurou habitar as zonas mais altas onde o rio dificilmente chegaria. Com o crescimento desordenado e acelerado das cidades, principalmente na segunda metade do século XX, as áreas de considerável risco, como as várzeas inundáveis, foram ocupadas, trazendo, como conseqüências, grandes prejuízos para estas populações.

Outro fator que explica a ocupação destas áreas, é o poder aquisitivo da população. A população de maior poder tende a habitar os locais seguros, ao contrário da população carente, que ocupa as áreas de alto risco de inundação, provocando problemas sociais que se repetem por ocasião de cada cheia na região. Quando a freqüência das inundações é baixa, a população ganha confiança e ignora o risco, aumentando, significativamente, o investimento e a densificação nas áreas inundáveis. Em outras palavras, as áreas inundáveis tornam-se mais populosas, o que pode causar, durante uma enchente, problemas com características catastróficas. Este problema pode ser reduzido através de um planejamento adequado da ocupação das áreas urbanas impróprias e do uso do solo das várzeas de inundação.

(23)

Neste contexto, há necessidade de se estudar formas de planejamento urbano, de modo que estas ocupações sejam estruturadas e, conseqüentemente, sejam reduzidos os riscos de enchentes em áreas utilizadas, principalmente, para habitação.

Para iniciar o estudo das formas de planejamento urbano, nas proximidades de um sistema hídrico qualquer, é necessário conhecer a dinâmica do rio. Em outras palavras, procura-se saber como o rio responde a uma enchente, considerando que a propagação de uma onda de cheia, no espaço e no tempo, é um problema complexo.

Normalmente, os modelos matemáticos, que descrevem o escoamento não permanente em canais abertos, são compostos pelas equações da quantidade de movimento e da continuidade, desenvolvidas por Saint–Venant, que são equações diferenciais parciais, fortemente não lineares, cuja solução pode ser obtida usando o modelo da onda dinâmica.

Já é por demais reconhecido o fato de que, sempre que um determinado problema técnico exige a solução de uma equação diferencial, que não pode ser facilmente expressa analiticamente em uma forma simples e compacta, os engenheiros têm preferido os métodos numéricos aproximados de solução. Neste estudo, o modelo matemático a ser empregado é baseado nas equações de Saint–Venant e resolvido pelo método das diferenças finitas. O sistema de equações lineares resultante é resolvido pelo método iterativo de Newton– Raphson.

Os resultados obtidos através da solução desses modelos matemáticos podem auxiliar os responsáveis pelos programas de planejamento urbano na conscientização do desejo de construir e viver ao longo de rios com um pouco mais de segurança. Destas necessidades, vem o ímpeto de desenvolver modelos complexos de estudo de propagação de escoamento, tais como os modelos de propagação da onda dinâmica.

Entretanto, como parte do estudo é pertinente a uma análise de risco de inundação, há necessidade de uma avaliação mais precisa das incertezas presentes nos processos de escoamento. Tal análise pode ser desenvolvida através do uso da teoria das probabilidades, da teoria fuzzy ou através da combinação destas duas teorias. Como a teoria probabilística exige um banco de dados consistente para a sua análise, dados estes muitas vezes inexistentes, o presente trabalho utilizou-se da teoria fuzzy, cuja principal vantagem é não necessitar de grandes conjuntos de dados para atingir seus principais objetivos.

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representando as variáveis de controle. Desta forma, é possível estabelecer uma metodologia que permita calcular o risco fuzzy com base em uma função margem de segurança.

Após a simulação de um escoamento para vários cenários, os resultados obtidos mostraram que a teoria usada representa uma alternativa segura na avaliação do risco de enchente em áreas propícias à inundação. Esta metodologia mostrou-se capaz de estabelecer campos de risco e, assim, obter ferramentas necessárias para traçar um plano de cheia, mostrando quais as áreas de risco de enchentes, dependendo da altura da onda de cheia que entra no rio, de modo a fornecer subsídios que auxiliem na tomada de decisões, nos mais diversos programas de Gestão de Recursos Hídricos. Com efeito, o entendimento da dinâmica da gestão dos recursos hídricos tem se destacado como um grande desafio para engenheiros e cientistas, na busca de soluções que minimizem os impactos e os transtornos causados pelos mais variados tipos de uso desses recursos naturais.

1.1 Objetivos da Pesquisa

O objetivo geral da presente pesquisa é desenvolver um modelo matemático que permita identificar as áreas de risco de enchente, em rios urbanos, quando sujeitas a chuvas intensas, através de uma metodologia fuzzy. Para isso, será necessário abordar os seguintes objetivos específicos:

Desenvolver uma solução para o modelo matemático de propagação de cheias, com base em um método numérico iterativo, de modo a contornar os problemas da não linearidade de suas equações;

Desenvolver um programa computacional que permita resolver o modelo matemático proposto;

Estudar a influência dos parâmetros hidráulicos no processo de propagação de ondas de cheia, sob o ponto de vista determinístico;

Desenvolver um processo de fuzzyficação nos modelos hidrodinâmicos, que permita transformar, no processo de solução, as variáveis de controle, por funções de pertinência, para estas variáveis;

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1.2 Justificativa da Pesquisa

Em face dos inúmeros problemas sociais que hoje afetam o Brasil e o mundo, fica-se diante da falta de moradia que a população carente enfrenta. Confica-seqüentemente, estas pessoas acabam por procurar habitar as áreas que estão vazias, por pertencerem ao domínio do Estado. Contudo, estas áreas acabam sendo as regiões que, de uma forma ou de outra, trazem risco à vida. Se estas terras forem localizadas próximas a rios, poderão trazer, como risco, as cheias e inundações, além de enormes problemas de saneamento básico.

As inundações são responsáveis por diversos problemas que são relatados em todo o mundo. No Brasil, um país pobre, onde a maior parte dos seus habitantes não tem local seguro para morar, onde as cidades não têm um crescimento organizado, nem um planejamento urbano, as cheias trazem conseqüências danosas, tais como o desabrigo de milhares de pessoas que moram em áreas de risco, problemas de saúde pública, além do caos nos sistemas de transporte.

Estes problemas podem ser observados no Brasil e em lugares do mundo inteiro, como é o caso da China, de Bangladesh, de Veneza, dentre outros, que enfrentam severas cheias durante o ano, deixando as cidades em total estado de calamidade pública.

Contudo, estes problemas só podem ser resolvidos mediante a intervenção de políticas públicas, pois consiste de um problema de natureza social. Por outro lado, o governo, muitas vezes, não dispõe de dados e informações a respeito da questão, fato este que estabelece a necessidade de informações para tomar as devidas providências no controle destas áreas de risco.

A fim de auxiliar as autoridades governamentais, responsáveis pelo planejamento urbano e pelo controle das áreas com risco de cheia, esta pesquisa, que tem como objetivo estudar o comportamento da propagação de cheias, em função das características hidráulicas e hidrológicas da bacia, poderá contribuir com os gestores nas questões pertinentes ao planejamento de ocupação dessas áreas.

Para tal, a pesquisa apresenta uma metodologia em que incorpora a teoria fuzzy

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permitirá que uma nova forma de avaliação de risco, em modelos hidrodinâmicos, possa ser realizada.

Portanto, espera-se que, ao final dessa pesquisa, haja uma contribuição efetiva nas questões do planejamento de zonas urbanas sujeitas à inundação, de modo que permita uma maior ação por parte dos governantes no desenvolvimento de políticas públicas, atuando, assim, no processo de ocupação desordenada dessas áreas.

1.3 Organização do Trabalho

O trabalho foi organizado em sete capítulos. O presente capítulo descreve os objetivos da pesquisa, a justificativa de se realizar tal pesquisa e discorre sobre a maneira como o documento foi organizado.

O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica sobre planícies de inundação, abordando os problemas de inundação nas áreas localizadas à margem dos cursos de água. A segunda parte aborda sobre a modelagem matemática utilizada para realizar tal estudo. Já a terceira e quarta partes fazem um levantamento sobre a teoria de risco, que será empregada no estudo dos campos de risco de inundação, e sobre a avaliação do risco e a análise das incertezas presentes no estudo. A quinta e última parte relata a teoria Fuzzy.

No Capítulo 3 encontra-se a fundamentação teórica, que descreve todas as teorias a serem empregadas no estudo, além de mostrar a dedução e a aplicação de todas as equações necessárias ao desenvolvimento da pesquisa.

No Capítulo 4 encontra-se a metodologia, que mostra o procedimento a ser usado para o estudo da propagação da onda dinâmica e do comportamento da profundidade do escoamento, sob os aspectos determinístico e fuzzy, e explica como foi desenvolvido o programa computacional para gerar tais resultados que serão registrados no Capítulo 5.

O Capítulo 5 registra e discute os resultados obtidos através do programa computacional QUARIGUA e exibe uma visualização gráfica dos resultados gerados para as diversas situações simuladas.

O Capítulo 6 apresenta as conclusões desta pesquisa e faz alguns comentários úteis sobre o estudo realizado.

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2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Após uma extensa pesquisa bibliográfica, percebeu-se a preocupação dos diversos autores com os problemas das enchentes e a delimitação das zonas de risco. Paralelamente, constatou-se a existência de diversos trabalhos enfocando a metodologia do estudo de propagação de ondas de cheia, considerando a influência da onda dinâmica, através das equações que governam o escoamento, formadas pelas equações de Saint–Venant. Encontrou-se, ainda, uma vasta bibliografia sobre os métodos de solução dessas equações, além de uma metodologia de risco para avaliar a probabilidade de uma determinada área está propícia a inundações.

Ciente de que o objetivo principal da presente pesquisa é desenvolver uma metodologia científica que permita identificar as áreas de maior risco de enchentes, quando sujeitas a chuvas intensas nas bacias de rios urbanos, e sob a influência de uma onda dinâmica, procuraram-se trabalhos desenvolvidos nesta linha de pesquisa e relacionados com as ferramentas necessárias ao desenvolvimento do projeto.

Shen e Yen (1984) apresentaram um excelente trabalho em que são registradas algumas importantes contribuições ao estudo da hidráulica de canais e feitas após a publicação do livro de Chow (1959). O livro de Chow (1959) é considerado uma referência clássica por demais conhecida e que precede os livros de Henderson (1966) e French (1986), que são importantes livros textos em hidráulica de canais abertos, apresentando os princípios básicos e suas aplicações práticas, cujo conhecimento é essencial para o desenvolvimento dos recursos hídricos e a preservação de aceitável nível de qualidade da água. Através do referido trabalho, pode-se verificar e acompanhar alguns dos avanços significativos feitos no estudo da hidráulica de canais abertos, ferramenta essencial no estudo de propagação de cheias.

Com relação à dedução fundamental das equações básicas gerais do escoamento em canais abertos, foi mostrado que, apesar da distribuição não uniforme da velocidade e da pressão em canais abertos (CHOW, 1959), tradicionalmente as equações do escoamento em canais abertos são deduzidas usando um procedimento unidimensional, com a exclusão dos efeitos da distribuição não uniforme ou do ajuste dos termos relevantes como os coeficientes de Boussinesq (quantidade de movimento) e os coeficientes de Coriolis (energia).

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fluidos, para obter um melhor entendimento dos fundamentos das equações do escoamento em canais abertos. Neste sentido, Chen e Chow (1971) apresentaram uma formulação matemática para a análise do escoamento não permanente em canais abertos. Strelkoff (1969) também apresentou equações unidimensionais para escoamento em canais abertos. Yen (1973) apresentou uma dedução mais abrangente das equações para escoamento não permanente de fluidos homogêneos em canais abertos, bem como para fluidos não homogêneos. Tanto Strelkoff (1969) como Yen (1973) assinalaram as hipóteses básicas envolvidas nas equações unidimensionais para escoamento não permanente, comumente usadas para canais abertos, e também enfatizaram as diferenças entre as equações da quantidade de movimento e as equações de energia.

A fim de demonstrar que as várias equações comumente usadas para escoamento em canais abertos foram simplificadas, Yen (1975a, 1975b, apud SHEN e YEN, 1984), deduziu as equações apropriadas da continuidade, da quantidade de movimento e de energia, para um número de casos especiais, e mostrou claramente as hipóteses envolvidas em muitas equações comumente usadas.

O artigo de Shen e Yen (1984) também fez uma ampla abordagem sobre os trabalhos desenvolvidos no campo da hidráulica fluvial e no campo dos modelos matemáticos, para escoamento permanente e escoamento não permanente gradualmente variado, mostrando as contribuições mais importantes nestas áreas.

As maiores realizações no estudo do escoamento de canais abertos, após a publicação do clássico livro texto de Chow (1959), têm sido efetivadas através do uso de computadores digitais de alta velocidade e grande capacidade. Muitas soluções gráficas e métodos numéricos que produzem soluções aproximadas, para escoamento gradualmente variado, têm sido descartados em favor de soluções computacionais mais eficientes e versáteis.

2.1 Planícies de Inundação

Como o estudo aqui desenvolvido trata de planícies de inundação, a seguir são apresentados alguns trabalhos relevantes a este importante tema.

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apresentam variações nas épocas das cheias, e que alagam para uma dada grandeza de vazão. Os autores mostraram, em um estudo de caso, que a complexa variabilidade do relevo está relacionada, em parte, à erosão e ao depósito de sedimento devido à sinuosidade dos rios.

Em um rico trabalho sobre a hidráulica de canais com planície de inundação, Rajaratnam e Ahmadi (1981) apresentaram os resultados de um estudo experimental sobre a interação entre o escoamento em um canal principal de considerável largura e a planície de inundação. Segundo os autores, no caso de rios com planície de inundação, quando a profundidade do escoamento excede a profundidade do canal principal, a planície de inundação recebe uma parte do total da vazão.

Ainda com relação à interação entre o escoamento da planície de inundação e o escoamento do canal principal, pode-se ressaltar o trabalho desenvolvido por Knight e Demetriou (1983) que, devido a sua importância, foi cautelosamente interpretado e resumido, destacando-se todas as passagens e citações pertinentes e importantes ao entendimento desta pesquisa.

Eles apresentaram resultados experimentais relativos às características da vazão, às distribuições das tensões de cisalhamento nos contornos e às distribuições das forças de cisalhamento também nos contornos, em uma seção composta, compreendida por um canal principal retangular e duas planícies de inundação dispostas simetricamente. As equações foram apresentadas, dando a força de cisalhamento nas planícies de inundação como uma percentagem da força de cisalhamento total em termos de dois parâmetros adimensionais. A força de cisalhamento aparente, atuando na interface vertical entre a planície de inundação e o canal principal, foi mostrada aumentar rapidamente para profundidades relativamente pequenas e para grandes larguras da planície de inundação. Os resultados se aplicam somente para casos de canais lisos, com planícies de inundação retangulares e simétricas.

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estão simetricamente dispostos; e (5) As equações apresentadas foram consideradas ser uma razoável tentativa para definir a interação entre regiões rasas e profundas de escoamento do canal aberto.

Muitos canais têm seções transversais que podem ser caracterizadas como seções compostas, isto é, uma seção consistindo de um fundo e leito principal do canal estreito, que transborda pelas planícies de inundação largas e rasas. O escoamento do rio é contido dentro das seções do leito principal do canal a maior parte do tempo. Contudo, durante os eventos de cheia, o rio transborda sobre as planícies de inundação, resultando em um escoamento do canal composto. Tais escoamentos são complicados pela transferência da quantidade de movimento entre a planície de inundação e a parte principal do canal.

O trabalho de Krishnappan e Lau (1986) aplicou um modelo de turbulência tri-dimensional para calcular o escoamento e as distribuições da tensão de cisalhamento em canais com seções transversais compostas, e também apresentou comparações de modelos de simulação com dados experimentais disponíveis, mostrando que a vazão em diferentes canais compostos pode ser simulada muito bem pelo modelo. Este modelo determina, além da taxa de escoamento e da distribuição da tensão de cisalhamento ao redor do perímetro molhado, a distribuição de velocidade.

Plate, Ihringer e Lutz (1988) estudaram a proteção de enchente na República Federal da Alemanha que estava sempre entre as tarefas de engenharia hidráulica de maior urgência. Os autores concluíram que os resultados de tal estudo foram usados para avaliar a eficiência das bacias de retenção individuais, para a proteção de enchentes na foz do rio e em outros pontos críticos.

Dentre outros bons exemplos de artigos publicados na área de cheias e planícies de inundação, podem ser citados os trabalhos de autores como Hromadka e Yen (1989), cujo objetivo foi estudar o controle de cheias e o planejamento ambiental; Suckling e Ryrie (1990) que estudaram as planícies de inundação próximas a estuários; Esogbue, Theologidu e Guo (1992) que trabalharam para otimizar o controle de cheias, planejando uma integração apropriada das medidas estruturais e não estruturais, com o objetivo da otimização na redução dos prejuízos das cheias, em vista de sua periodicidade; e Vieira, Fons e Cecconi (1993) que estudaram o risco de inundação na lagoa de Veneza.

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cheias, em canais naturais, usando tais equações. Isso é necessário para verificar os modelos numéricos e garantir que os resultados calculados possam ser usados com segurança. Tais verificações são, muitas vezes, feitas por comparação entre os resultados calculados, os resultados medidos em campo ou entre os dados obtidos em laboratório. Dados de campo são caros para serem obtidos, e permanentes variações aleatórias da seção transversal do canal e de outros parâmetros fazem a simulação da geometria do canal se tornar difícil.

Estes autores, mencionados logo acima, desenvolveram um modelo numérico para simular o escoamento em um canal com planície de inundação. O modelo resolve as equações de Saint–Venant usando o esquema implícito de Preissmann de quatro pontos. Duas aproximações associadas às seções transversais do canal são investigadas: (1) a velocidade do escoamento sobre a planície de inundação é desprezada, isto é, a planície de inundação serve somente como um armazenamento e não contribui para a transferência da quantidade de movimento; e (2) a seção total do canal é considerada ter velocidade média do escoamento uniforme. Para testar a validade destas aproximações, os resultados calculados foram comparados com os dados experimentais.

Comparada com as incertezas envolvidas nos dados de entrada, para um canal natural, a diferença nos resultados simulados, entre as duas aproximações, não é significativa. Contudo, a aproximação (1) reduz o esforço e o tempo de modelagem, e é recomendada para determinar a máxima profundidade do escoamento da enchente, pelo menos para aquelas situações em que a profundidade do canal principal, a profundidade da planície de inundação e a relação entre as larguras são semelhantes às usadas neste trabalho de Rashid e Chaudhry (1995).

Jacovkis e Tabak (1996) propuseram um modelo geral de onda cinemática para a propagação de cheias, apresentado na forma de uma lei de conservação escalar. O trabalho considerou um canal prismático, com seção transversal constante, e assumiu que o material do fundo é o mesmo para todos os níveis e todas as coordenadas longitudinais x. Para isso, os autores calcularam uma função única Q(A) usando a hipótese de Chézy, onde a resistência de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade média V = Q/A, isto é,

2

PV f

= (2.1)

onde fé o coeficiente de atrito, é a densidade da água, Pé o perímetro molhado, e sendo Q

(33)

Os autores aplicaram a metodologia desenvolvida para uma seção transversal trapezoidal em fatias, ou seja, em seções. A razão para considerar tal seção transversal é que elas são muito fáceis de calcular. Para simplificar a exposição, foram consideradas somente seções transversais simétricas.

O modelo cinemático simplificado, proposto pelos autores, para rios com geometria irregular, produziu surpreendentes prognósticos. Para rios com planícies de inundação, esses prognósticos foram particularmente impressionantes, e sugeriram que as ondas de cheia fossem decompostas em 2 ressaltos hidráulicos, separados por uma região crescente, onde o nível de água é constante, e tenha o valor de inundação crítico.

Vários pesquisadores como Ackers (1988), Moussa e Bocquillon (1996), Singh, Porey e Raju (1997) e Gorman e Nielson (1999) também apresentaram importantes trabalhos e resultados sobre planícies de inundação, suas causas e conseqüências. A extensa quantidade de artigos publicados encontrada, enfocando o tema em estudo, demonstra a importância e a atualidade de tal assunto.

Verifica-se, ademais, que diversos pesquisadores continuam a desenvolver estudos nesta linha de pesquisa, como é o caso, por exemplo, de Braga (1999), que destaca um dos problemas atuais mais relacionados aos problemas de cheia, que é a urbanização.

A urbanização alcança hoje a impressionante taxa mundial de 70%, e, em alguns países desenvolvidos, esta taxa pode, em uma base regional, estar próxima de 90% de sua área urbanizada. Este é, certamente, um sério problema ambiental que o mundo em desenvolvimento enfrenta hoje e enfrentará nos anos futuros. A falta de infra-estrutura, por exemplo, no fornecimento de água e no tratamento de águas residuais urbanas e disposição de resíduos sólidos, dentre outras necessidades, é o resultado de um desequilíbrio entre o crescimento populacional e o escasso recurso de capital.

Conforme Braga (1999), à medida que os problemas continuam a crescer, profissionais de recursos hídricos têm encontrado métodos alternativos para enfrentar cheias em meios urbanos. Novos procedimentos em ações não estruturais, tais como o gerenciamento da demanda em fornecimento de água e consumo de energia, sistemas para advertência de cheias, reciclagem de resíduos sólidos e reuso de água, podem ser implementados nos degradados meios urbanos de largas áreas metropolitanas do mundo.

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Catarina. Para mostrar a necessidade urgente deste plano de ação, basta observar a freqüência dos desastres naturais no Estado.

Através do trabalho desenvolvido por Tucci e Villanueva (1999), percebe-se que as cheias causam, também, além de impactos físicos no local, impactos psicológicos na população afetada. Os autores apresentaram as principais causas da cheia em União da Vitória e Porto União, os impactos da represa, e as medidas estruturais e não estruturais estudadas para enfrentar o problema.

Whigham e Young (2001) avaliaram a bacia Murray–Darling no Canadá, que contém um grande número de barragens e diques, o que alterou a profundidade dos canais dos rios e a freqüência e a duração da inundação das planícies de inundação.

Islam (2001) apresentou uma crítica ao procedimento usado para controlar enchentes em Bangladesh e sugeriu um outro procedimento para controlar enchentes. Os principais componentes deste novo procedimento são: reescavação dos leitos dos rios e de outros corpos de água de superfície, minimização de obstáculos nas planícies de inundação, aumentando a elevação de moradias rurais e urbanas, restauração dos cursos de água navegáveis, e consolidação de assentamento rural em volta de proteções permanentes contra inundações. Este novo procedimento é preferível porque preserva os efeitos de nutrição da inundação regular de rios, reduz a inundação, não cria uma situação de risco, não traz novos problemas de drenagem e problemas sanitários, e não leva a desperdícios.

Ainda devem ser citadas, dentro deste enfoque, as contribuições de Andrade, Fragoso e Carneiro (2001) e Yen e Tsai (2001) que também discutiram o estudo de propagação de enchentes.

Contudo, este fenômeno do efeito da propagação de cheia, ocasionando problemas de inundação nas margens dos cursos de água, é regido pelo escoamento não permanente. Ele é o movimento de uma onda de cheia se propagando ao longo de um canal, que geralmente é aquele de um rio natural, e o problema associado é o rastreamento desse movimento e quaisquer mudanças relacionadas na forma e na altura da onda.

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Tendo em vista que os problemas de escoamento não permanente gradualmente variado são governados pelas equações de Saint–Venant, é importante que se proceda a uma avaliação dos trabalhos pertinentes registrados na literatura.

2.2 Modelagem Matemática para o Estudo das Planícies de Inundação

As planícies de inundação são estudadas, normalmente, através da formulação das equações fundamentais que governam os escoamentos em rios e canais. Estas equações são deduzidas a partir da aplicação dos princípios básicos de conservação de três grandezas fundamentais, a saber, energia, massa e quantidade de movimento, e retratam o escoamento através da conservação da massa e da quantidade de movimento do escoamento que envolve a avaliação das forças que atuam no escoamento.

O trabalho desenvolvido por Sivaloganathan (1979), na solução das equações de Saint–Venant, usa uma malha retangular pelo método das características, para estudar problemas de propagação de cheias em canais prismáticos. O autor observa que, às vezes, é desejável usar uma discretização irregular para os intervalos, alguns deles possivelmente pequenos, para suprir particulares geometrias do canal. Em tais casos, a observação da condição de Courant pode resultar no uso de intervalos de tempo relativamente pequenos e, conseqüentemente, grandes tempos de computação.

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Um outro algoritmo foi proposto e vários métodos de propagação da onda cinemática, em comum uso, foram mostrados por Smith (1980). O autor apresentou, resumidamente, a equação de propagação de cheia pela onda cinemática, discutindo e estabelecendo as condições necessárias fundamentais para a sua aplicação com sucesso.

Ainda segundo Smith (1980), a superfície de água pode ser definida em termos da profundidade y, e, neste caso, o conhecimento da onda de remanso do canal é necessário. As características do escoamento podem ser uma vazão Q ou uma velocidade média V, que implica em um escoamento unidimensional.

Outro trabalho que aborda a modelagem, é a pesquisa de Lewin e Hughes (1980) que propôs um modelo qualitativo para planícies de inundação alagadas, aplicado para 2 áreas de estudo, nos rios Teifi e Dyfi, que se localizam nos País de Gales, onde observações sobre as cheias de inundação foram feitas no período de 1973–1977. Os autores mostraram, em uma modelagem complexa, a real série de inundações envolvendo efeitos extremos na relação entre a cota do rio e na extensão da inundação, e os diferentes efeitos que surgiram das modificações humanas nas planícies de inundação e das diferentes taxas de alterações de cotas das planícies de inundação.

Crotogino e Holz (1984) apresentaram um modelo numérico para o fundo móvel do canal, simulando alguns dos efeitos físicos complexos tridimensionais. Foram fornecidos resultados de aplicações práticas que foram, então, comparados tanto com experimentos laboratoriais como com investigações de campo.

O método desenvolvido pelo autor acima citado foi aplicado para outros rios da Nova Zelândia, com resultados similares em alguns casos e resultados menos satisfatórios em outros casos. A análise dos métodos anteriores revela que o método falha se há contribuição de afluentes de uma subcaptação.

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Tal estudo se justificou porque a estação de geração de energia elétrica no rio Vistula, Polônia, quando em operação em ritmo de pico, gera um fluxo não permanente no segmento do rio abaixo da represa. Os registros da etapa observada abaixo da represa apresentam dados excelentes para testar e verificar um modelo matemático para escoamento não permanente em canais abertos.

Uma outra abordagem sobre modelo numérico é feita por Dube, Sinha e Roy (1986). Um modelo numérico hidrodinâmico foi descrito para a simulação de ondas de tempestade em Bangladesh. O modelo aplicado para a região, incluindo o rio Meghna, permitiu levar em conta a vazão de água doce através deste rio. Pelo uso de uma força de distribuição da tensão do vento representativa do ciclone Chittagong, em 1970, uma comparação foi feita entre o modelo de simulação, tanto incluindo o rio ao longo da costa de Bangladesh, como também não incluindo tal rio. Os autores concluíram que a introdução dos efeitos do rio, neste modelo de ondas de tempestade, mostrou que a onda pode penetrar profundamente no interior, conduzindo, desse modo, a um risco de inundação no interior do curso de água de Bangladesh. Também mostraram que a resposta da onda dentro do rio depende, significativamente, da vazão de água doce.

Os cientistas, que trabalham com as equações do escoamento, encontram grandes problemas causados pela aplicação do esquema diferencial a estas equações. A comparação dos resultados, com os dados observados, obviamente, não é suficiente, tendo em vista que os dados medidos estão sujeitos a grandes erros. Mesmo no caso quando os resultados numéricos e medidos são convergentes, não se pode afirmar se este é o resultado de um grande número de simplificações e situações. Nesta situação, é realmente valioso ter certas soluções analíticas, que possibilitam investigar os erros causados pela aproximação das equações diferenciais pelo esquema das diferenças finitas. Ademais, tem-se a possibilidade de estimar os erros que ocorrem como resultado da discretização das equações de Saint–Venant, obviamente sem a análise dos erros que ocorrem no estágio de dedução destas equações.

Em vista da complexidade dessas equações, os métodos numéricos são largamente empregados, e, portanto, para verificar a sua eficiência, é necessária, por exemplo, a comparação dos seus resultados com soluções exatas, obtidas através de soluções analíticas.

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encontrar a solução aproximada. Os autores encontraram condições de estabilidade para este esquema. Neste caso, quando a condição foi satisfeita, o erro de aproximação foi menor do que 1%. O esquema de Preissmann foi usado para o estudo de propagação de cheias do rio Nysa e Klodza.

Dentre outros pesquisadores que desenvolveram trabalhos na área de modelagem numérica estão Ku, Rao e Rao (1987), Madsen e Larsen (1987) e Dejak et al. (1987).

Foi desenvolvido por Hromadka (1987) um modelo de hidrograma unitário para tempestade, e os valores dos parâmetros do modelo foram calibrados, com relação às tendências da freqüência de escoamento superficial, sendo um quarto parâmetro do modelo do hidrograma unitário calibrado para Los Angeles, para os dados de precipitação e escoamento superficial. O modelo foi verificado usando uma rigorosa tempestade que ocorreu em 1º de março de 1983 na bacia de Los Angeles.

Segundo o autor, a calibração e a verificação dos resultados indicaram que a falta de conhecimento para a precisão da distribuição de precipitação é um fator dominante no sucesso de qualquer modelo hidrológico. Um aumento na complexidade da modelagem, causado pela introdução adicional de parâmetros do solo ou hidrológicos, não serve como um substituto para os dados de precipitação pluviométrica.

Em vários ramos da matemática, a estratégia seguida é de propor modelos simplificados, e comparar suas predições com dados de campo confiáveis e com predições numéricas cuidadosamente controladas, para uma larga faixa de casos representativos. O objetivo de tal estratégia é duplo: produzir modelos de predição confiáveis e convenientes; e auxiliar na compreensão dos fenômenos básicos. O ponto inicial mais comum em tal estratégia é a linearização de um conjunto de equações ditas não lineares para estimular adequadamente os fenômenos físicos em estudo.

A primeira aplicação direta da linearização das equações de Saint–Venant foi feita no final da década de trinta. A linearização destas equações tem sido empregada em problemas diversos, tais como no estudo de propagação de cheias em rios, na comparação sistemática de métodos de estudo de propagações hidrológicas, em modelos multilineares para o estudo de propagação de enchente, na análise do efeito das condições de contorno a jusante e na análise harmônica do movimento de enchentes em rios.

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diversos, tais como a avaliação do erro de aproximação de modelos hidrológicos lineares para qualquer ordem do polinômio de entrada; o comportamento assintótico da resposta linear do canal para as condições limites do número de Froude igual a zero e igual a um; a sensibilidade da solução linear para valores dos parâmetros e condições de contorno, e assim obter uma primeira estimativa dos erros de linearização; e o planejamento de experimentos numéricos significativos na faixa de aplicabilidade de modelos não lineares simplificados.

A variedade de maneiras para se trabalhar com as equações de Saint–Venant é enorme, cada autor desenvolvendo uma metodologia diferente para melhor aplicá-la, e ter resultados mais favoráveis.

Outros autores como Hromadka (1989), Hearne e Wake (1989), Hromadka e Yen (1989), Suckling e Ryrie (1990) e Maa (1990) publicaram ricos trabalhos na área de modelagem matemática, desenvolvendo modelos que auxiliam nesta linha de pesquisa.

Segundo Tabuenca, Cardona e Samartin (1992), é importante observar que vários parâmetros tais como o termo de atrito e o coeficiente do vento são de vital importância na estabilidade e na precisão de um modelo. É necessário incluir termos dissipativos não lineares, tendo em vista que sua eliminação pode produzir soluções instáveis.

Outrossim, os autores Falconer e Liu (1995), Broekhuizen et al. (1995) e Riznyk e Mason (1979) devem, também, ser citados como contribuidores no desenvolvimento da modelagem matemática de escoamento de canais.

Complementando o estudo sobre a modelagem de escoamento, Singh e Aravamuthan (1996) deduziram, sob certas condições simplificadas da equação do movimento, os erros de aproximação da onda cinemática e da onda de difusão como uma função do espaço. Dentre as conclusões mencionadas pelos autores estão: (1) ao contrário da solução numérica, a magnitude dos erros de aproximação da solução analítica aumenta com um incremento no valor do número de Froude, e isto leva à conclusão de que a aproximação da solução analítica pode não ser adequada para grandes valores do número de Froude; e (2) achou-se, geralmente, que na fronteira a montante, o erro sempre aumenta para ambas as aproximações da onda cinemática e da onda de difusão.

(40)

No emprego da solução numérica, surgem questionamentos quanto à construção dos sistemas de diferenças finitas e dos tipos de métodos para resolvê-los, em relação à sua estabilidade e à sua precisão. A escolha de um algoritmo e do intervalo de tempo e de espaço a serem utilizados, depende de muitos fatores, incluindo a forma do hidrográfico de cheia a montante, as propriedades hidráulicas dos trechos dos rios, e o intervalo de tempo registrado.

Li e Zhang (1996) desenvolveram um modelo hidrodinâmico tridimensional semi-implícito em diferenças finitas, levando em conta os efeitos de interação onda–curso de água, através da linha de contorno do fundo e da influência do escoamento, que depende da viscosidade turbulenta e da topografia do fundo. Cálculos mostraram, claramente, que a intensidade da interação entre a onda e a correnteza depende criticamente da profundidade da água.

As contribuições de Esogbue (1996), Dodd (1996), e Mau, Boulos e Bowcock (1996) podem ser citadas como ferramentas disponíveis para a modelagem do planejamento dos prejuízos causados por desastres naturais e ocasionados pelo homem, na busca de soluções racionais para evitar conseqüências indesejáveis. Yu (1996) e Yu e Togashi (1996) estudaram numericamente as oscilações naturais produzidas por ondas.

Segundo Singh, Porey e Raju (1997), as técnicas de estudo de propagação de cheias são necessárias para a estimativa de hidrográficos de cheias usados, por exemplo, para zonear planícies de inundação. Além disso, com o possível mapeamento de áreas a serem inundadas, é possível emitir advertências para a tomada de medidas a fim de proteger vidas e propriedades durante as cheias.

Keskin e Agiralioglu (1997) apresentaram um modelo aproximado, para a análise da propagação de ondas de cheia em canais de seção retangular, usando um esquema explicito de diferenças finitas. No modelo aproximado, o termo correspondente à derivada parcial da declividade de energia com relação à distância ao longo da corrente, foi desprezado, simplificando, portanto, a equação da quantidade de movimento usada na formulação do modelo.

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descrever a topografia das planícies de inundação e da rugosidade da superfície, ambas as quais variam no espaço e no tempo.

Du (2000) introduziu o método sem malha para a simulação do escoamento de águas rasas em rios em duas dimensões. Neste método, somente os dados dos nós, que podem ser os mesmos que aqueles usados no método dos elementos finitos, e uma descrição do domínio da geometria limite, são necessários. Nenhum elemento, ou conectividade da malha, é necessário. Isto faz o método ser, particularmente, atrativo para a modelagem de escoamentos de águas rasas em rios, para a qual a geração da malha é, geralmente, muito difícil, em razão da grande irregularidade topográfica e da forte variação da rugosidade do fundo do canal.

Concluindo a pesquisa bibliográfica com relação às equações de Saint-Venant e suas simplificações, incluindo as respectivas ondas de cheia e os métodos de solução destas equações não lineares, pode-se ainda fazer referência aos trabalhos de Wang (2001), Whigham e Young (2001), Henocque (2001), Yen e Tsai (2001), El–Zoheiry (2002), Nielson e Apelt (2003), Fracos et al. (2003), Rao (2004), Tang et al.(2004), e Sorensen, Schaffer e Sorensen (2004). Todos estes autores publicaram trabalhos relacionados com o tema da pesquisa em questão.

Em razão da importância, já relatada aqui, do estudo sobre as planícies de inundação e áreas de risco de cheias próximas aos rios, vários trabalhos foram desenvolvidos nesta linha de pesquisa e em outras linhas, que de uma maneira ou de outra, influenciam no estudo do risco de cheias, por pesquisadores do mundo inteiro, como pode ser claramente constatado. Os vários autores procuraram desenvolver modelos para realizar tal estudo de maneira mais precisa. Esses modelos são, normalmente, resolvidos com o auxílio de métodos numéricos, os quais se utilizam de uma malha discretizada, em substituição ao domínio contínuo usado nas soluções analíticas.

Tendo em vista a não linearidade das equações de Saint–Venant, um tratamento iterativo se faz necessário, com o objetivo de reduzir os erros de aproximação. O método iterativo mais aplicado e que tem apresentado ótimos resultados é o método de Newton– Raphson.