A segunda equação fundamental do escoamento em rios denomina-se equação dinâmica, e representa o princípio da conservação da quantidade de movimento, aplicado ao elemento de controle considerado. Quantidade de movimento é uma das muitas formas de descrição do estado de movimento de um corpo, e este princípio é definido pela Segunda Lei de Newton.
A segunda lei de Newton afirma que a soma das forças, aplicadas a um volume de controle, é igual à taxa de variação da quantidade de movimento, armazenada dentro do volume de controle, mais o efluxo líquido da quantidade de movimento, através da superfície de controle, existindo a influência de forças externas.
Matematicamente, este processo pode ser expresso da seguinte forma, segundo mostra a Figura 3.4.
FIGURA 3.4 – Volume de controle para a equação da quantidade de movimento
A variação da quantidade de movimento no trecho, isto é, o que entra menos o que sai, é dada por
) ( ) ( ] ) ( . [ . 2 2 2 2 2 A Q x A v x dx x A v A v A v + = = , (3.3)
onde é a massa específica (Kg/m3) e v é a velocidade do escoamento (m/s).
As cinco principais forças atuando no volume de controle são
F = F +g F +a F +e F +w F ,p (3.4)
onde F é a força de gravidade, ao longo do canal, devido ao peso da água no volume de g controle; F é a força de atrito ao longo do fundo e dos lados do volume de controle; a F é ae força de contração/expansão (estreitamento/alargamento) produzida por mudanças abruptas na
C . V A 2 g F dx x ) A ( A + 2 2 a F F
seção transversal do canal; Fw é a força de cisalhamento do vento na superfície da água; e
p
F é a força de pressão não balanceada.
A força devido à gravidade é a projeção do peso P do elemento de controle no sentido do escoamento, e é dada pela expressão
dx gAsen
Fg = , (3.5)
onde é a massa específica, g é a aceleração da gravidade e é o ângulo que a força
de gravidade faz com a normal na direção do escoamento. Como tg dx dZ
S0 = 0 = para
ângulos pequenos, onde Z0 é a cota de fundo do canal, a aproximação sen =tg pode ser aceita. A equação da força de gravidade se transforma em
dx gAS
Fg = 0 , (3.6)
A força de atrito, criada pela tensão de cisalhamento ao longo do fundo do canal e dos lados do volume de controle, é dada por
Pdx
Fa = , (3.7)
onde é o esforço cortante, ou tensão de cisalhamento no fundo, e P é o perímetro molhado. O esforço cortante é obtido através de
dx S gR. f
= , (3.8)
sendo R o raio hidráulico e Sf é a declividade da linha de atrito. Substituindo o esforço
cortante na Equação (3.7), e considerando que
P A R = , observa-se que dx gAS Fa = f , (3.9)
onde a declividade de atrito (Sf) é deduzida a partir de equações de resistência, tais como a equação de Manning.
Um estreitamento ou um alargamento abrupto do canal causa perda de energia através de movimento de redemoinho. Tais perdas são semelhantes às pequenas perdas em um sistema de tubulação. As forças de arraste que criam estas perdas por redemoinho são dadas por
e
F = gASedx, (3.10)
sendo S a declividade da perda por redemoinho, que é expressa por e
x A Q g K Se = e 2 ) / ( 2 , (3.11)
na qual Ke é o coeficiente adimensional do estreitamento ou alargamento, sendo negativo
para o alargamento do canal (onde x
A Q/ )2 (
é negativo) e positivo para o estreitamento do
canal.
A força de cisalhamento do vento é causada pela resistência ao atrito do vento contra a superfície livre da água, e é dada por
Bdx
Fw = w , (3.12)
onde w é tensão de cisalhamento do vento.
A força do vento é, baseando-se na equação acima, expressa por
2 Bdx V V C Fw = f r r (3.13) ou dx B W Fw = f (3.14)
onde o fator de cisalhamento do vento, Wf , é igual a 2 r r f V V C , sendo que Cf é o
coeficiente de tensão de cisalhamento e V é a velocidade do fluido relativa à fronteira. r A força de pressão não balanceada é a resultante da força hidrostática no lado esquerdo do volume de controle, Fpl, da força hidrostática no lado direito do volume de controle, Fpr, e da força de pressão exercida pelos taludes no volume de controle, Fpb, isto é, Pb pr pl p F F F F = + (3.15)
Segundo Chow (1959), a expressão final para esta força de pressão é dada por
dx x y gA
FP = (3.16)
A soma das cinco forças na Equação (3.4) pode ser expressa, após a substituição das Equações (3.6), (3.9), (3.10), (3.14) e (3.16), como
dx x y gA dx W B dx gAS dx gAS dx gAS F = 0 f e . f (3.17)
A variação no tempo da quantidade de movimento do volume de controle,
expressa por
t Q
, é igual à soma da variação da quantidade de movimento no trecho, como
mostra a Equação (3.3), e das forças que atuam no volume de controle dadas pelas Equações (3.6), (3.9), (3.10), (3.14) e (3.16). Substituindo os vários termos na equação descrita acima, resulta a seguinte equação diferencial
dx gAS dx x y gA dx W B dx gAS dx gAS dx A Q x dx t Q f e f 0 2 . ) ( + + + + = + (3.18)
Como o fluído foi considerado incompressível nas hipóteses iniciais, divide-se todos os termos da Equação (3.18) por dx, encontrando a equação da quantidade de
movimento para um fluido incompressível, isto é, 0 2 . ) ( gAS x y gA W B gAS gAS A Q x t Q f e f + + + = + + (3.19)
As Equações (3.2) e (3.19) são as equações do escoamento unidimensional não permanente variado para canais abertos, ou Equações de Adhémar Jean Barré de Saint– Venant, matemático e engenheiro francês (1797–1886). Elas foram publicadas em 1870 nos Anais da Academia Francesa de Ciências, e se constituem um conjunto de equações governantes do escoamento em rios e canais, com um sistema de duas equações, com derivadas parciais em relação a x e a t, cuja integração exata é, normalmente, muito complicada e sua solução analítica só é possível em casos especiais. Entretanto, existem diferentes técnicas numéricas para sua resolução.
O emprego da Equação (3.2) com a Equação (3.19), quando são considerados todos os termos envolvendo aceleração e pressão, estabelece os fundamentos do modelo de propagação de uma onda dinâmica de cheia, denominado modelo hidrodinâmico. Esta será a onda a ser estudada no decorrer desta pesquisa, ou seja, será feita uma modelagem considerando as equações de Saint–Venant em seu estado completo.
A equação da quantidade de movimento é formada de termos relacionados aos processos físicos que governam a quantidade de movimento do escoamento. Estes termos são o termo da aceleração local, que descreve a mudança na quantidade de movimento, devido à mudança na velocidade com relação ao tempo, o termo de aceleração advectiva, que descreve a mudança na quantidade de movimento, devido à mudança na velocidade ao longo do canal, o termo da força de pressão, proporcional à mudança na profundidade da água ao longo do canal, o termo da força de gravidade, proporcional à declividade do fundo, e o termo da força de atrito, proporcional à declividade de atrito. Os termos correspondentes à aceleração local e à aceleração advectiva representam o efeito das forças inerciais no escoamento.
Em função dos termos considerados na solução do modelo, o mesmo pode ser representado de diferentes formas. O modelo mais simples é o modelo da onda cinemática, que despreza a aceleração local, a aceleração advectiva e os termos de pressão, na equação da quantidade de movimento, isto é, supõe que S =0 Sf , o que significa que as forças de atrito e de gravidade se equilibram.
de declividade média, e os efeitos de remanso ou de distúrbios a jusante não são desprezíveis, então ambos os termos da força inercial e de pressão, na equação da quantidade de movimento, são necessários. Sob estas circunstâncias, o método de estudo de propagação da onda dinâmica é exigido, pois envolve a solução numérica das equações completas de Saint– Venant. O modelo da onda dinâmica considera todos os termos de aceleração e de pressão na equação da quantidade de movimento.
3.6 Análise de Propagação de Cheias Devido a uma Onda Dinâmica
Embora a equação da onda dinâmica proporcione a mais precisa e compreensiva aproximação para propagação de cheias, os dados e os tempos necessários para serem computados são grandes. Um típico grupo de dados de entrada necessário inclui: (1) seção transversal do rio; (2) valores do coeficiente de rugosidade de Manning (n); (3) um perfil da superfície de água inicial; (4) um hidrograma de entrada; e (5) uma relação entre cota–vazão para a extremidade a jusante do trecho de propagação.
O estudo da propagação dinâmica foi primeiramente usado por Stoker (1953) e por Isaacson, Stocker e Troesch (1954, 1956) nas suas investigações pioneiras de estudo de propagação de enchente para o Rio Ohio. Aqui será descrito o desenvolvimento teórico dos modelos de estudo de propagação da onda dinâmica, usando as aproximações de diferenças finitas implícitas para resolver as equações governantes.
O movimento de uma onda de cheia propagando-se em um canal, que geralmente é aquele de um rio natural, é um dos mais importantes fenômenos de escoamento não permanente que o engenheiro possa tratar. É essencial que o engenheiro possua meios teóricos para determinar o comportamento de uma onda de cheia em um canal, de forma e declividade específica, porque ele deve ser capaz de predizer o efeito da propagação da cheia nas mudanças ocorridas ao longo do canal, a fim de sugerir modificações no rio natural, para o melhoramento do canal e para o controle de cheia.
Uma planície de inundação é, normalmente, uma área de terra seca ao lado de rios, cursos de água, lagos, baías ou oceanos, que é inundada durante eventos de cheias. Os casos mais comuns de enchentes são os transbordamentos dos cursos de águas e rios e, anormalmente, altas marés resultantes de tempestades severas.
A planície de inundação pode incluir a largura total de vales estreitos, ou amplas áreas ao longo de cursos de água, em vales largos e planos. Como mostrado na Figura 3.5, o canal e a planície de inundação são, ambos, as partes integrais do transporte natural de uma correnteza. A planície de inundação transporta o escoamento em excesso da capacidade do canal, e quanto maior a vazão, maior é a extensão do escoamento sobre a planície de inundação.
FIGURA 3.5 – Canal principal e planície de inundação
O primeiro passo, para qualquer análise de planície de inundação, é coletar dados, incluindo mapas topográficos, dados de descarga de cheia, se uma estação de medição de vazão está próxima, dados de precipitação pluviométrica, se os dados de descarga de cheia não estão disponíveis, levantamento topográfico da seção transversal, e estimativa da rugosidade do canal para um número de pontos ao longo do curso de água. É também solicitada uma determinação da vazão de cheia, para um desejado período de retorno.
Uma vez que a vazão do escoamento, para um desejado período de retorno, tenha sido determinada, o próximo passo é determinar o perfil da elevação da superfície da água ao longo do canal. Esta análise pode ser desenvolvida admitindo escoamento não permanente,
gradualmente variado e não uniforme, e usando um modelo unidimensional baseado, por exemplo, no método das diferenças finitas.
Uma análise de escoamento não permanente é realizada para identificar a elevação máxima da superfície da água, nas várias seções transversais, durante a propagação de uma onda de cheia, através de um curso de água.
Após as elevações da superfície da água terem sido determinadas, a área coberta pela planície de inundação é delineada. A extensão lateral da planície de inundação é determinada pelo aparecimento de pontos no terreno, em ambos os lados do curso de água, que corresponde às elevações no perfil de inundação (elevação da superfície de água).
As elevações do solo, nas planícies de inundação, podem ser determinadas por mapas topográficos, mapas de ruas, ou fotos aéreas. Mapas topográficos são os mais convenientes, sendo as elevações dadas por curvas de nível. Os limites das planícies de inundação são determinados pela linha de contorno seguinte, que corresponde à elevação no perfil de cheia para uma área particular. É claro que a delineação da planície de inundação é tão precisa quanto os mapas topográficos usados. Após os níveis de cheia terem sido determinados para um trecho particular do curso de água, a localização atual dos limites das planícies de inundação será checada pelos estudos de campo.
A invasão na planície de inundação, a exemplo do que ocorre por material de enchimento artificial, reduz a capacidade de carregamento da inundação, aumenta a altura de água das cheias dos cursos de água e aumenta os riscos nas áreas além da invasão.
Novas construções na planície de inundação, obstruções diversas, ou outras mudanças no uso da terra, podem afetar as vazões dos cursos de água, a elevação das superfícies de água e as velocidades de escoamento, mudando, portanto, o perfil de elevação que define a planície de inundação.
3.7.1 Desenvolvimento de Ações para o Controle de Enchentes
As condições meteorológicas e hidrológicas propiciam a ocorrência de inundações. O conhecimento do comportamento meteorológico de longo prazo é muito limitado, devido ao grande número de fatores envolvidos nos fenômenos meteorológicos, e à interdependência dos processes físicos a que a atmosfera terrestre está sujeita. As condições hidrológicas que produzem a inundação podem ser naturais ou artificiais. As condições
naturais são aquelas cuja ocorrência é propiciada pela bacia em seu estado natural. Algumas dessas condições são: relevo, tipo de precipitação, cobertura vegetal e capacidade de drenagem.
Os rios normalmente drenam nas suas cabeceiras áreas com grande declividade, produzindo escoamento de alta velocidade. A variação de nível durante a enchente pode ser de vários metros em poucas horas. Quando o relevo é acidentado, as áreas mais propícias à ocupação são as planas e mais baixas, justamente aquelas que apresentam alto risco de inundação. A várzea de inundação de um rio cresce significativamente nos seus cursos médio e baixo, onde a declividade se reduz e aumenta a incidência de áreas planas.
A cobertura vegetal tem como efeito a interceptação de parte da precipitação, que pode gerar escoamento, e a proteção do solo contra a erosão. A perda desta cobertura para uso agrícola tem produzido, como conseqüência, o aumento da freqüência de inundações devido à falta de interceptação da precipitação, e o assoreamento dos rios.
As condições hidrológicas artificiais da bacia são aquelas provocadas pela ação do homem. Alguns exemplos são: obras hidráulicas, urbanização, desmatamento, reflorestamento e uso agrícola. A bacia rural possui maior interceptação vegetal, maiores áreas permeáveis, menor escoamento na superfície do solo e drenagem mais lenta. A bacia urbana possui superfícies impermeáveis, tais como telhados, ruas e pisos, e produz aceleração no escoamento, através da canalização e da drenagem superficial.
Os resultados da urbanização sobre o escoamento são: aumento da vazão máxima e do escoamento superficial, e redução do tempo de pico. A urbanização e o desmatamento produzem um aumento da freqüência da inundação nas cheias pequenas e médias. Nas grandes cheias, o seu efeito é menor, pois a capacidade de saturação do solo e o armazenamento são logo atingidos e o efeito final pouco difere.