Equações de Conservação

Equações de Conservação

Propriedades dos Fluidos

 Matéria é formada por moléculas em movimento, colidindo. As propriedades de matérias estão

relacionadas com o comportamento molecular

 Colisão com as paredes  pressão

 Ocupação do espaço  densidade

 Energia cinética  temperatura

 Para entender o comportamento da matéria seria

necessário considerar cada molécula, conhecendo a história de cada uma, velocidade, aceleração e modos de iteração. Isto é inviável sem um tratamento estatístico, devido ao elevado número de moléculas.

 Na maioria das aplicações da engenharia, desejamos estudar uma quantidade de volume de fluido contendo um grande número de moléculas

 hipótese do contínuo: admite-se que os fluidos são meios contínuos, esquecendo-se da sua estrutura

molecular.

 Para demonstrar o conceito do contínuo, considere a propriedade densidade:

 ex: densidade: (x,y,z,t) = lim m/

dd*

m /

d d*

Molecular Continuo

 A hipótese do contínuo falha quando as dimensões

envolvidas forem da ordem do caminho médio livre entre colisões moleculares:

 Exemplo:

 Distância média entre colisões de moléculas do ar nas CNTP:

3 x 10^-9 m

 Caminho médio livre : 6 x 10^-8 m

 Menor comprimento de escala de um escoamento: ℓ = ^{10-4 m}

 Comparação entre escalas:

 número de Knudsen: Kn = ℓ

 O conceito do contínuo é válido para Kn << 1

 Kn > 1 por ex. arraste em satélites. A Teoria cinética dos gases trata desta área.

 Conceito do contínuo está associado com o conceito de campo, i.e., todas as grandezas são definidas no espaço e no tempo: Ex: V(x,y,z,t); P(x,y,z,t); (x,y,z,t); etc.

 Não importa qual a partícula que está no ponto em um determinado instante de tempo, mas sim em que

condições a partícula que passar pelo ponto naquele instante possui.

 O escoamento dos fluidos é determinado a partir do conhecimento da velocidade em cada ponto do

escoamento, isto é, a partir do campo de velocidade

 Descrição de campo de variáveis físicas:

 Método Lagrangiano

 Método Euleriano

Método Lagrangeano

 As equações de conservação são aplicadas a um sistema arbitrário, o qual pode ser infinitesimal ou finito.

 A variável física é descrita para um determinada partícula

 A variável independente é um “rótulo” da partícula, como por exemplo, a coordenada da partícula em um determinado

instante de tempo: é a posição da partícula P em t = 0

 Esta função descreve como a função  da partícula P varia com o tempo

 Ex: policial seguindo carro

rP

) , (r_P t



 

 A velocidade mede como a posição de uma partícula varia com o tempo

particula

x dt

x u d

V  

particula

y dt

y v d

V  

particula

z dt

z w d

V  

k V j

V i

V

V _x  _y  _z 







particula

t d

r V d 



 Aceleração de uma partícula varia com o tempo

k a j

a i

a

a  _x   _y   _z 

particula

t d

V a d

  

Método Euleriano

 As equações de conservação são aplicadas a um volume de controle arbitrário, o qual pode ser

infinitesimal ou finito

 A variável física é descrita em relação a um ponto do espaço

 Para cada instante t, a partícula em é uma partícula diferente

 é a posição da partícula P em t

 Esta função descreve a função  na posição da partícula P em função do tempo

 Ex: controlador de tráfego

r

r

) , (r t



 

Vamos utilizar a formulação Euleriana, juntamente com o conceito de campo, i.e., todas as propriedades são definidas em função de sua localização no espaço e no tempo

 Tipos de Campos:

 Campo escalar:

 massa específica: (r ,t); temperatura: T(r ,t); pressão p(r ,t)

 Campo vetorial:

 velocidade: V(r ,t); aceleração: a(r ,t); força F(r ,t)

 Campo Tensorial:

 tensão: (r ,t); gradiente de velocidade:  V(r ,t);

taxa de deformação D(r ,t)

Fluidos em Movimento

 O escoamento dos fluidos é determinado a partir do conhecimento da velocidade em cada ponto do

escoamento, isto é, a partir do campo das diversas grandezas relevantes.

i i

e x e x

e x e x



 



 



 



 



     

 ^{   }

3 3 2 2

1 1

grad

 Vetor Velocidade:

 Produto escalar entre vetores:

 Operador gradiente:

i i i i i

z y

x v e w e u e u e u e u e u e

e u

V        

 













 _{1 1 2 2 3 3}

i i ij

j i

j i

j i

j j i

i e B e A B e e A B A B

A B

A^  ^  ^  ^  ^  ^   





 B A B cos

A    _

 Operador Divergente:

i ij i

i j j

i i j j

i j

i x

A x

e A x e

A A x e

e A

A 

 



 

 

 

 

 





 ^{    } 

div 

 Teorema de divergência de Gauss

 

  



d A dS

n A

S

) div( 

 











  

  S

dS n

A

A 1  

lim0

div Fluxo líquido por unidade

de volume

Vetor tensão

 A dependência de t_n em n pode ser obtida através de um balanço de forças em um tetraedro com a altura h 0.

 Da 3ª. Lei de Newton

 então

0

0        

 F   t_n dA t_x dA(n e_x ) t_y dA(n e _y ) t_z dA(n e_z )

 O vetor tensão t_n é a força de contato por unidade de área que um material dentro de (t) faz no material fora de (t).

 Hipótese de Cauchy: t_n = t_n (n)

tn



z z

y y

x

x t ; t t ; t t

t_   _   _  

 

e

e_y e_z

 Tensor de tensões:

j i ij e e



 σ







































zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx ^xx

yx

yy y

x z

yz

zz

xz

xy

zx

zy

convenção n



 n

 Derivada Material ou Total de uma grandeza  (pressão, temperatura, velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento (= como  varia com o tempo para uma determinada partícula

) , , ,

(x y z t



 

Descrição Euleriana

  

w v

u

particula d t

z d t z

d dy t y

d dx t x

d dt t t

d d

 

 

 





 _{   }





 





 









)

( .

)

( tempotaxapartículadedevidovariaçãovariaçãoao movcomconvectivaoda fixa

posição

tempode variação com o taxa

z w y v

x u t

t D D

 

 

 

 



 _{   }







 



 

 V

t t

D

D 

i i

V x t

t D D



 



   

ou 







 



 

 V

t t

D

D 

Derivada Material

V V

a t

V t

D V

D   

  ^  ^_ ^  

z v y

v x

v t

v t

v t

D v

y D V v u v w

a   ^_    ^_  _^  _^  _^

z w y

w wx

t w t

w t

D w

z D V w u v w

a   ^_    ^_  _^  ^_  ^_

Aceleração:

aceleração aceleração local temporal convectiva

k a j

a i

a a

k w j

v i

u

V     _x _y  _z 











 ,

Em coordenadas cartesianas:

z u y

u x

u t

u t

u t

D u

x D V u u v w

a   ^_    ^_  _^  _^  _^

































































z w z

v z

u

y w y

v y

u

x w x

v x

u

V



y e_j

e_j e_i

e_i

x

j i i

i

x j u t

u t

D u

i D u

a   ^_  _^

 ^{ }    a  ^{D V}_{D t}  ^_^V_t  V   V

Aceleração:

aceleração aceleração local temporal convectiva

Em coordenadas cilíndricas:

z z r

r

z z r

r

e a e

a e

a a

e u e

u e

u

V   





 



















 ,

a V u u u u u

r D u r

D t

u

t r u

t r u

r

u

r z u

r r r r r zr

  ^_      ^_  ^_  _ ^_{ }  ^_  ^2

a V u u u u u u

r

D u D t

u t

u

t r u

r

u

r z u

z r

 

  





  

 



 

     

          

a_z  ^{D u}_{D t}^z  ^_^u_t^z   V  u_z  ^_^u_t^z  u_r ^_^u_r^z  u_{ r}^_{ }^uz  u_z ^_^u_z^z

y e_r

e_ e_ e_r r

x

centrífuga

coriolis

Conservação de Massa:

Variação da massa Fluxo líquido de massa

com o tempo por por unidade de volume

unidade de volume

 

 

t  div ( V ) 

0

D

D t V



    

0

derivada material, ou total ou substantiva

 



   _  

t V

t D D

variação local variação temporal convectiva

ou

Conservação de Massa:

Variação temporal da massa Fluxo líquido de massa por unidade de volume por unidade de volume

 

 

t  div ( V ) 

0

D

D t V



    

0

derivada material, ou total ou substantiva

 



   _  

t V

t D D

variação local variação temporal convectiva

ou  0



 

j j

x u t

D

D  

 0

 j

j

x u

t 









Notação 

indicial Notação

indicial

 0

 

 div ( V ) t

 

 _{ div ( V )  0}

Dt

D 

 

ou

 Coordenadas cartesianas

 Coordenadas cilíndricas

     _ ^{ 0}



 







 



 



 



 w

v y u y

x

t   



     _ ^{ 0}



 







 



 



 



 r uz

u z u r

r r r

t  

 

 

Casos Particulares

1. Regime Permanente:

2. Incompressível:

 0 ) (

div V



 0 ) (

div V

Equação de Conservação de Massa ou Continuidade

Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear (2a Lei de Newton)

t D

V f D

t f D

V d D

f d a

m

F_{ext ext S c}

 

 

 

           



força de corpo: ^f_C

força volumétrica: ex: força gravitacional f_g g





força de superfície: f_S f_p f





aceleração: ^{   }

 

a  ^{D V}_{D t}  ^_^V_t  V   V

dydz x

p( )

dy

dz

dydz dx

x

p(  ) )

, ,

(x y z

- força de pressão: força normal compressiva

fp

dx









 k

z j p

y i p

x

f_p p   











 f_p    p

dF_p,x= p dy dz - (p dy dz +  p/x dx dy dz) = -  p/x d

 ^f_p,x = -  ^p/^x logo f_p,y = -  ^p/^y e f_p,z = -  ^p/^z

i i

p x

f p



 



Notação indicial

 Força de superfície viscosa resultante na direção x

y x z dz

y x z

x y dy

z x z

y x dx

z y

F _{x xx xx} ^xx _{yx yx} ^yx _{zx zx} ^zx  





 









 



 









 



 





  

 



 



 











 



 



 



 



 , 

z y z x

y

F _x x^{xx yx zx}   

















  









  

, 

convenção n



 n











  

 x y z

f _x ^{xx yx zx}

















, 

dx dz

f

força viscosa^: força definida por um tensor, em cada face possui 3 componentes, dois

tangenciais e um normal







































zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx

xx

yx

yy y

x z

yz

zz

xz

xy

zx

zy

j i ij e e



 τ

 Procedendo de forma análoga para as outras direções







  

 x y z

f _x ^{xx yx zx}

















, 







  

 x y z

f _y ^{xy yy zy}

















, 







  

 x y z

f _z ^{xz yz zz}

















, 

    

f





















 















 







zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx

z y

f x



















  





        

j ji

f _i x



 

 ^Notação

indicial



















zz zy

zx

zy yy

yx

zx yx

xx





















Pode-se demonstrar através da equação de conservação de quantidade de movimento angular que o tensor viscoso é simétrico

ij ji 

 

Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear





  g  p    t

D V

D  

Na forma vetorial

Na forma indicial

j ji i i

j j i

i

x x

g p x

V V t

V



 



 

 















 



 





Equação diferencial de quantidade de movimento













 ρ g p t

D V

ρ D  

z τ y

τ x

τ z

g p ρ w

v u

ρ

z τ y

τ x

τ y

g p ρ w

v u

ρ

z τ y

τ x

τ x

g p ρ w

v u

ρ

yz zz z xz

z w y

w x

w t

w

zy yy

y xy z

v y

v x

v t

v

yx zx x xx

z u y

u x

u t

u

































































































 





   









 





   









 





   

coordenadas cartesianas

Equações Constitutivas

Taxa de deformação Fluidos Newtonianos: tensão é diretamente proporcional a taxa de

deformação

d tan (d ) sin (d ) cos (d )

  

    du dt

dy

F, U

y x

l = d u d t

d  y _d 

d x = u d t

d d t

d u d y

 

y U y

d u d A

F

xy y   

   

Lei da viscosidade de Newton:



Descrevem o comportamento do material  qual a resposta desta material (taxa deformação) para um determinado esforço

Considere o escoamento entre 2 placas

29

Taxa de deformação angular:

yx yx yx t

yx

y D u x

v t

y t du x

t dv

0  2



 



 















 



 







 











lim

tan tan



Taxa de deformação linear:

xx xx xx t

xx

x D u t

x t du

 

 





 



 



 



lim0



=dv t

=(v/x)xt

=du t

=(u/y)yt

v (x) u (y)

u (x) u (y)

=dv t =(v/y)yt

=du t

=(u/x)xt v (y)

Taxa de deformação volumétrica:

z V w y

v x

zz u

yy

xx 





    



 







 



 



 







   

PUC-Rio, Angela Nieckele