Não serão feitos esclarecimentos individuais sobre questões durante a prova. Não se esqueça que tudo é para justificar.

(1)

NÃO SERÃO COTADAS

Cálculo 1 / Exame final 2ª Época

27 Janeiro de 2007

Duração: 2 horas e 30 minutos

Resolva os grupos do exame em folhas separadas.

O uso de máquinas de calcular e telemóveis não é

permitido.

Não serão feitos esclarecimentos individuais sobre questões

durante a prova.

Não se esqueça que tudo é para justificar.

Os cálculos são para simplificar ao máximo.

NOTAS AFIXADAS

31 de Janeiro, às 13.00

CONSULTA PEDAGÓGICA

ÚNICA

(2)

Grupo 1 (2 valores)

Comente num máximo de 5 linhas (SE ESCREVER MAIS RISCAMOS!!) as seguintes proposições:

1 (1 valor) O facto de uma certa função f(x) não ser continua num ponto x=x₀ pode não impedir a sua aproximação por um polinómio de Taylor de ordem n nesse ponto.

De facto na fórmula n n x x x f n x x x f x x x f x f x f ( )( ) ! 1 ... ) )( ( '' ! 2 1 ) )( ( ' ) ( ) ( ≈ ₀ + ₀ − ₀ + ₀ − ₀ 2 + ( ) ₀ − ₀

o valor de f(x0) pode ser concretizado, desde que exista.

2 (1 valor) Uma sucessão divergente oscilante tem de ter todos os seus elementos diferentes. De outra forma não apresenta sublimites.

Considere a sucessão cujo termo geral é:

∫

−

∞ −

=

1

e

dx

U

n nx .

a) (1 valor) Represente graficamente U1 e U2 enquanto integrais e determine os seus valores.

b) (0.75 valores) Mostre que o termo geral da sucessão é dado por: n _n

ne U = 1 _.

c) (0.5 valores) Calcule limUn.

d) (0.75 valores) Resolva a inequação em n:

n U_n < 1.

A AE-FEUNL levou a cabo um estudo que permitiu formular a seguinte relação implícita entre as mesadas M auferidas pelos alunos e o consumo de Tabaco, T, (em certas unidades):

3 3 ln . e M M T =

O comportamento dos alunos está em equilíbrio no ponto M =e. Considere que T = f(M) e )

(T g

M = existem numa vizinhança do ponto de equilíbrio. a) (1 valor) Calcule a expressão genérica de T'= f'(M). b) (1 valor) Calcule a expressão genérica de M'= g'(T).

(3)

Determine as seguintes primitivas: a) (1 valor) 2 1 x x P + b) (2 valores) 2 ln x x x P + Grupo 5 (4.5 valores)

Considere os conjuntos assim definidos

{

∈ :1≤ 2 ≤4

}

= x R x

A B=

{

x∈R:

( )

0.5 2x−4 >2

}

a) (1.5 valor) Determine o conjunto A∩B e represente-o em linguagem de intervalos.

b) (1.5 valor) Seja o conjunto D=

(

A∩Z

)

∪(B∩Q); determine o interior, a fronteira, o exterior, a aderência e o conjunto derivado de D. Diga ainda se D é aberto ou fechado.

c) (1.5 valor) Mostre que a função 1 3 ) ( 2 6 − − = x x x

f tem exactamente dois zeros no conjunto A.

Grupo 6 (1.5 valores)

Considere a função f(x)= x+sinx. Determine os seguintes limites: a) (0.75 valores) lim f(x) x→+∞ . b) (0.75 valores)

(

)

x x f x / 1 ) ( lim +∞ → Grupo 7 (3 valores)

O Ministro das Finanças reuniu os seus conselheiros mais próximos e fez-lhes o seguinte briefing :

• Os valores do PIB português são dados por uma função f(x)em que x é o ano.

• Sobre esta função só temos uma informação muito parcial.

• O valor do PIB português foi em 2006 de 138 mil milhões de EUR.

• Sabemos que f'(2006)=0.12.

• Sabemos ainda que

f

''

(

2006

)

=

0 .

3

. E o Ministro concluiu:

”sei que pelo menos os alunos da FEUNL são capazes de apresentar num abrir e fechar de olhos uma aproximação ao valor para o PIB de 2007 incorporando toda esta informação”.

a) (2 valores) Por favor não nos deixe ficar mal. Calcule num abrir e fechar de olhos o valor aproximado de f(2007).

(4)

Falso. Se uma função não é continua não é diferenciável. Pode eventualmente ter um valor para f(x0) mas o que não tem de certeza serão os valores de f'(x0), f ''(x0), etc.

Falso. Pense na sucessão Un =

( )

−1n que tem duas sub sucessões com limites 1 e –1 e cujos termos são

apenas de dois tipos, 1 e –1.

Oferta: o que a sucessão não tem são pontos de acumulação!

Grupo 2 (3 valores) a) -2 -1 0 1 2 3 -4 -2 2 4 x

[ ]

e e e dx e dx e U x _a a a x a x 1 0 1 lim lim 1 1 1 1 = = = = − = − −∞ → − −∞ → − ∞ −

∫

-2 0 2 4 6 8 -4 -2 2 _x 4

[ ]

2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 0 2 1 lim 2 1 lim e e e dx e dx e U x _a a a x a x ₌ ₌ ₌ ₋ ₌ = − −∞ → − −∞ → − ∞ −

∫

b)

[ ]

n n na n a a nx a a nx a nx n ne n e n e e e n dx e dx e

U lim lim 1 1 lim 1

(5)

d) n Un 1 < ⇔ n nen 1 1 < ⇔ 1_n <1 e ⇔ >1 n

e : esta desigualdade é sempre verificada dado que por definição n≥1.

Ou seja, o valor numérico de U é sempre inferior ao inverso da ordem. _n

a)

Para calcular T'= f'(M)vamos considerar a função T = f(M) definida implicitamente e derivar a expressão dada tendo em linha de conta que T é função de M:

3 3 ln . e M M T =

⇒

₃ 2 3 ' . ln 1 . e M T M M T + =

⇒

M

T

e

M

T

ln

3

3 2 '

−

=

b)

Para calcular

M

'

=

g

'

(

T

)

vamos considerar a função

M

=

g

(T

)

definida implicitamente e derivar a expressão dada tendo em linha de conta que M é função de T:

3 3 ln . e M M T =

⇒

3 2

'

3 '

ln

e

M

T

M

+

=

⇒

M T e M M M − = 3 2 3 ln ' c)

Primeiro há que determinar o ponto de equilíbrio. Se M =e

⇒

T =1. Em (T,M)=(1,e) vem então Pela alínea a) e e f T'= '( )= 2 Pela alínea b) e g M 2 1 ) 1 ( ' '= =

Não, não é uma surpresa. É sabido que teria de ser

(6)

(

x x

)

P x P x x x P x x x x P x x x P ln₂ ₂ ln₂ 1 −2ln 1+ −2ln      =       + =       + = + Como x C x P = +      ln 1

(

)

C x x x x P x x x x P x x x x P =− − +      + − =      ₋ − − = − − − _ln _ln 1 ln 1 ln 1 2 1 1 2 Logo C x x x x x x x P x x x x P x x x P = − − +      ₊ =       ₊ = +ln ln 1 −2_ln _ln ln 1 2 2 2 Grupo 5 (4.5 valores) a) Sobre A 1≤x2 ≤4 ⇔ −2≤ x≤−1 ∨ 1≤x≤2 donde A=

[

−2,−1

] [

∪ 1,2

]

Sobre B

( )

0 .

5

2x−4

>

2

2 4 1 2 2 > ⇔ − x+ 1 4 2 + > − x ⇔ 2 3 < x donde =_−∞ _ 2 3 , B Então ∩ =

[

− −

]

∪_ _ 2 3 , 1 1 , 2 B A

b) Por palavras: D é o conjunto

(7)

Derivado de D: _−∞ _ 2 3 ,

O conjunto D não é aberto (pois não coincide com o seu interior) nem fechado (pois não coincide com a sua aderência).

c) A função 1 3 ) ( 2 6 − − = x x x

f tem o seguinte comportamento no conjunto A Em

[

−2,−1

]

f(−2)>0

f(−1)<0

donde pelo corolário do Teorema de Bolzano, terá pelo menos um zero em

[

−2,−1

]

pois a função é contínua.

Em

[ ]

1,2 f(1)<0 f(2)>0

donde pelo corolário do Teorema de Bolzano, terá pelo menos um zero em

[ ]

1,2 pois a função é contínua. A unicidade das raízes em cada intervalo conclui-se pelo estudo da monotonia da função nos intervalos através da derivada f'(x)=2x5 −2x.

Zeros de 'f : 0 2

2x5 − x= ⇔x=0∨x=−1∨x=1. Vê-se facilmente que f é decrescente até x=−1 e crescente a partir de x=1, donde a impossibilidade de existirem outras raízes além das detectadas pelo referido corolário.

(8)

0 5 10 15 20 -4 -2 2 4 x

A título

mais do que complementar

oferecem-se as famigeradas raízes













+

±

=

2

12

4

5

12

4

5

4

5

4

12

2

2 3 3 3

x

Esta expressão, inatingível para o comum dos mortais, mostra o poder do corolário: não sabemos determinar uma raiz mas sabemos que ela lá está e podemos partir à sua procura por métodos mais sofisticados!!!

Caso no futuro aprofunde estudos onde apareçam equações como 1 0 3 2 6 = − −x x

(9)

a) =

(

+

)

=

(

+

)

=+∞ +∞ → +∞ → +∞ → f x x x x x x x

xlim ( ) lim sin lim sin

b) lim

(

( )

)

1/ = lim

(

+sin

)

1/ =+∞0

+∞ → +∞ → x x x

x f x x x que é uma indeterminação. Segundo o padrão, devemos

calcular o logaritmo do limite.

(

)

(

)

(

)

(

)

x x x x x x x x x x x x x x x x sin ln lim sin ln 1 lim sin ln lim sin lim ln + 1/ = + 1/ = + = + +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → , uma nova

indeterminação a levantar pela regra de Cauchy

(

)

₀ sin cos 1 lim 1 sin cos 1 lim sin ln lim . . = + + = + + = + +∞ → +∞ → +∞ → x x x x x x x x x x x C R