Laboratório Nacional de Computação Científica

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Laboratório

Nacional de

Computação

Científica

L K f C - £ - — No 037/89

FORMULAÇÕES MISTAS DE PETROV-OALERKM PARA ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL0

Elson Mag&lhies Toledo Abimael F.D. Lou/a Joio Nisui C. Guerreiro

ISSN 0101 6113 LABORATÓRIO NACIONAL DE COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA - LNCC

RELATÓRIOS DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO

OUTUBRO 1989

LKíC~£- — No 037/89

-FORMULAÇÕES MISTAS DE PETROV-OALBRKIN PARA ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL*

Ebon Magüh&es Toledo Abimucl F.D. Loih Joio Nisut C. Guerreiro

«

. 1

O conteúdo deste relatório é de responsabilidade exclusiva do(s) autor(es) Responsibility for the contents of the paper reais upon the author(s)

E.M.Ibledo, A.F.D. Loula, J. N.Guerreiro RESUMO

Uma nova formulação para o problema da elasticidade bidimensional em tensão e deslocamento (ou para o problema de Poiason em fluxo c potencial) é apresentada . Adicionando-sc consistemcntc & formulação clássica de Galerkin formas residuais das equações constitutiva e de equilíbrio transformamos o prob-lema original de ponto de sela em um probprob-lema de mínimo sem restrição. Propo-mos ainda uma técnica de pós-processamento do campo de tensões, utilizando as equações constitutiva e de equilíbrio . Alguns resultados numéricos são apresen-tados confirmando as taxas de convergências obtidas teoricamente.

ABSTRACT

A new formulation for two-dimensional elasticity in stress and displacements (or for Poisson problem in flux and potential) is presented. Consistently adding to the GaJcrkin classical formulation residuals forms of constitutive and equilib-rium equations we transform the original saddle point problem into a minimizv tion problem whithout any restrictions. We also propose a stress post processing technique using both equilibrium and constitutive equations. Numerical analysis, error estimates and numerical results are presented confirming the predicted rates of convergence.

E.M.Tolctlo, A.F.D. Loula, J. N.Guerreiro

INTRODUÇÃO

Construir aproximações de elementos finitos para o problema da elasticidade compressive], baseadas cm modelos cinemáticos, em geral não apresenta qualquer dificuldade, já que este problema eqüivale a minimizar um funcioual quadrático em um espaço de Gilbert. Neste caso, aproximações de elementos finitos conformes convergem normalmente com taxas ótimas. Entretanto, com estas formulações as tensões são em geral calculadas via gradiente do campo de deslocamentos o que acarreta aproximações menos precisas para aqueles campos.

Tem-se tentado melhorar a precisão para os campos de tensões através de formulações mistas onde as tensões e os deslocamentos são tratados como campos independentes, gerando um problema de ponto de sela Duas formulações alter-nativas podem ser empregadas: a formulação primai com deslocamentos em H1

e tensões em L*, e a formulação dual com deslocamentos em 1? e tensões em U(div). O problema nestas formulações são as limitações na escolha dos espaços de aproximação, que devem satisfazer a condições de compatibilidade requeridas pelos teoremas de Babuáka [1] e Brczzi [2].

Por outro lado, é bem sabido que restrições volumétricas impõem sérias fimitações na construção de aproximações de elementos finitos para a resolução de problemas incompressivcis, freqüentemente encontrados em mecânica dos sólidos (elasticidade incompressível, financia, plasticidade) e mecânica dos fluidos (escoa-mentos de Stokes, escoa(escoa-mentos não Newtonianos, etc.). Formulações penalizadas em deslocamentos apenas, baseadas no método de Galcrkin, são quase sempre instáveis e não convergentes podendo exibir oscilações espúrias dos campos de tensões e trancamento dos campos de deslocamentos. Uma alternativa na res-olução deste tipo de problema é a utilização de modelos mistos onde esta restrição

é incorporada à formulação através da técnica dos multiplicadores de Lagrange.

No entanto, poucas combinações de interpolações para os campos de tensões e deslocamentos são capazes de satisfazer aos critérios de convergência (condições de Babuska-Brezzi) requeridos nos métodos mistos. Em particular mterpolações de iguais ordens com tensões descontínuas e deslocamentos contínuas, que são muito convenientes do ponto de vista computacional, são instáveis e não convergentes ou convergentes com taxas sub-ótimas, Para superar estas limitações temos em-pregado com sucesso a formulação mista de Petrov-Galorkin [3-5], proposta em [6] para o problema da viga de Timoshenko. Com este método podemos recuperar a estabilidade o convergência do uma larga classe de combinações de interpolações, instáveis com o método de Qulerkin.

Neste trabalho apresentamos uma formulação mista para o problema da elasti-cidade bidimensional compressive! ou incompressível, também baseada no princípio de HeUinger-Reissner, sem qualquer restrição na escolha dos espaços do elemen-tos finielemen-tos, além da necessária conformidade. Adicionando consistemente à for-mulação clássica de Galcrkin novas formas residuais das equações constitutiva e de equilíbrio, transformamos o problema original de ponto de sela em um problema de miiwnir.ação nos dois campos, como proposto cm [7] para um problema poten-cial e em [8] para um problema de íluência estacionaria. Desta forma, no modelo aproximado, eliminamos a necessidade de satisfação das condições de Babuska-Brezzi e o único requisito para estabilidade e convergência é a conformidade das aproximações dos dois campos. Assim por exempio, no caso do problema Poisson como no caso do problema da elasticidade, torna-so necessário apenas a construção

E.M.ToIedo, A.F.D. Louis, J. N.Gucrrciro 2

de aproximações conformes para as espaços H(div, íí) (onde calão definidos o fluxo on 88 tens?*») e lío(U) (onde estão definidos o potencial ou os deslocamentos) o que é possível utilizando-se interpolaçõcs contínuos, de quaisquer ordens, para os dois campos.

Apresentamos ainda, análise numérica, estimativas de erros e resultados numéricos de alguns exemplos representativos. Para o caso compressive! propomos uma técnica de pes-processamento do campo de tensões, utilizando as equações constitutiva e de equilíbrio e a aproximação do campo de deslocamentos obtida via modelo dncmáiico.

FORMULAÇÃO CINEMATECA

Seja íl C It7 nm domínio limitado com contorno regular F = dSl. Considere-mos a seguinte classe de problemas: Para um dado campo f achar os campos a e n, satisfazendo a

div<r+f = 0 em íl (1)

Aa = Bn em ft, (2)

com condições de contorno u(x) = 0 em F (condições de contorno mais gerais serão consideradas nas aplicações numéricas), que inclue, como casos particulares, o problema de Poisson c o problema da elasticidade bidimensionais. No caso do problema de Poisson f é um escalar, a é um potencial, temperatura por exemplo,

o é o fluxo derivado do potencial, A c um tensor de segunda ordem, representando

a condutividade, e B — V é o operador gradiente. Enquanto que no caso do problema da elasticidade f é o campo de forças de volume, a = aT é o tensor de tensões de Cauchy, u é o vetor de deslocamentos, A é um tensor de quarta ordem, inverso do tensor de elasticidade,

Bu=±{Vn + VuT) (3)

c o tensor de deformações.

No caso da elasticidade incompresswel o tensor A está sujeito a restrição interna tr.4. = A: I = 0. Neste caso a equação (2) c substituída por

AB = Bu em ft, (4)

onde S representa a componente desviadora do tensor de tensão,

S = <r-ilr<7l = < r - p l , (6) n

sendo p a pressão hidrostática. O campo de deslocamentos deve, portanto, satís-fatjer a condição de incompressibilidade,

dívtt = 0 esa ft, (6) que é, como se sabe, responsável pelas principais dificuldades na construção de

aproximações de elementos finitos para este tipo de problema. Diferentes for-mulações variacionais serão apresentadas para o problema proposto, para tanto definimos adequadamente espaços para os campos u e a.

E.M.lbíedo, A.F.D. Loula, J. N.Guerráro

Seja L7(íl) o espaço de Hilbert contendo funções quadrado integráveis em ft,

com produto interno

(/,*) =//*«&* v/,,

tf(n),

n

o norma awociada ||/||o = (/, Z)1'3- Seja i/m(ft) o espaço de Hilbert de ordem m,

//«(ft) = {/ € /,2(ft); V«,|«| < m, 0*/ € La(ft)},

com o produto intento usual

(/.*)m= £ Jd*fd*gdSl V/

r€J?

(fl),

l«l<n» n

norma ||/||m = (/, /tf* e seminorma |/|m = (0»»/, 0"/)»/». Seja ainda

»ò(n)-{/€^(ft), /=o em r>,

o subespaço de Bl(íl) de funções que se anulam no contorno Y.

Quando A é inversivel, como no caso do problema de Poímon ou da elastici-dade compressivel, uma formulação natural para o problems proposto envolvendo o campo o. apenas, normalmente referida como modelo cjneinático, pode ser fácil-mente obtida eliminando-se o campo a, pela substituição de (2) em (1), resultando

-divfyi-^lOrrf em 0, (7)

com condições de contorno homogêneas, cuja forma variacional 6

Problema Pa: Achar a € V tal que

a(u,v) = /(v) W € V (8)

com V = Hl(íí), no caco do problema de Poiswm, ou V = h$(Q) x H&(Cl), no caso do problema da elasticidade compressivel, e

a(n, v) = / A'*Bn : Bvd(í Vn, v 6 V, (9)

n

Yvdo wev: (io)

/(v) = / -n

Que o Problema Pu tem solução única pode-se facilmente verificar pelo lema de Lax, uma vez que /(•) é continuo e a ( v ) c contínua c V-elíptica, isto é, existem constantes M < oo e 7 > 0 tais que,

«(a,v)<J»/H|v||vj|v V«,v€V, (11)

E.M.To!edo, A.F.D. Loula, J. N.Guerrciro 1 Aproximações <íe elementos finitos para o Problema P a são clàssic&mente obtidas introduzindo-üit o espaço cie elementos fioitoe Vf C V, onde kéo grau do polinômio de iuterpoiação ehéo parâmetro da malha. Temos assim

Problema Pa*: Achar u* € V,* tal que

«(«fc,v„) = /(vfc) W » € V Í . (13) Como V* C V, as propriedades (11) e (12) são ir. ediatamente transferidas para o

Problema Pu*, o que assegura existência e unicidade de solução para Pu*. Pelo lema de Céu, e considerando (11) c (12), resulta

| | t t - uf c| | v < J ~ | | u - v * | | v W » 6 V4, (14)

que combinada com resultados clássicos da teoria de interpolação conduz às seguintes taxas de convergência para n* e V i u

l|tt-ojk||o<^*+ ,N*+i 05)

| | V a - V t u | |0< C 7 » * | u |è + 1. (16)

Além de não ser imediatamente aplicável ao caso incompressivel, esta for-mulacão apresenta o inconveniente de que com ela a aproximação para o campo <r

6 obtida por meio de dorivadas do campo u*, resultando assim

l k - - f * | | o < C A * M »+ 1 (H)

o que significa que neste caso o fluxo, ou as tensões, são sempre m moe precisos do que a variáveis primitivas (potencial ou deslocamentos). Um outro inconve-niente desta formulação é. que cia conduz a uma aproximação <r* que satisfaz a equação de equilíbrio de forma extremamente fraca. Como em muitas aplicações práticas obter urna boa aproximação para a é mais importante do que para n, outros formulações têm sido desenvolvidos com esta finalidade. Como por exem-plo, formulações baleadas em modelos de equilíbrio onde a variável primitiva é

o. O problema com os modelos de equibbrio é que cies exigem a construção de

espaços de aproximação satisíkzendo a priori a equação de equilíbrio, Uma alter-nativa para se evitar os inconvenientes das formulações em um único campo são az formulações mistas envolvendo os campos <r e u.

. FORMULAÇÕES MISTAS CLÁSSICAS Formulação Mista Primai

Sejam U = La(íi) x L3(ft) e V = tf0(íí), para o caso do problema de Poisson,

on

V - {* - M ra = rn € I2( n ) ; ij = 1,2}

« V = HQ(CI) x -^o(ft)» P*** ° c a s o d* problema da elasticidade bidimensional.

A formulação mista primai para o problema proposto, em tensão e deslocamento, consiste cm

E.M.IbIedo, A.F.D. Loala, J. N-Guerroro 5

Problem M : Dado f € V*, espaço dual de V, achar o par («r, a) € U x V tal que (ila,T)=J(T,u) V T € P , (18) onde 6(ir,T)=/(y) W € V ; (19) (AO,T)= J Aairdil Wr,r€tf, (20) n b(T,v)=JT:Brd(l Vr€tf V r € V \ (21) / (v) = / f . T d O W € V , f € V \ (22) n

que é equivalente a achar o ponto de sela do funcional lagrangiano

L(T,r)=i(AT%T) + KT,v) + f{v) VreU V v e V .

Para introduzir um» aproximação de elementos finitoa para o Problema M consideremos Vf CV eU'kC,U espaços de graus kel, respectivamente, com Vf

de classe C° (funções de interpolação contínuas) e U[ de classe C~x (funções de

interpolaçao descontínuas na interface dos elementos). De acordo com a formulação de Galerkin, temos

Problema M*: Achar (<r»,ni) € U* x Vh, tal que

(Aoh,rk) = b(Tk,Uk) Vt^el/Í, (28)

( • a , n ) - / ( n ) V rf c€ ^ . (24)

A análise numérica do Problema M* pode ser realizada usando o teotema de Brezzi [2], que além da continuidade das formas lineares e bilineares envolvidas, requor a satisfação das seguintes hipóteses:

(Sl)h : (K-elípticidade de A). Existe uma constante a* independente de h tal

que

(An>n)**hftn>tf V7*€/r*, (26)

onde

K^ineul Kn»n)-o w*€V

»}. (26)

(B2)k : (LBB Discreta para o campo de deslocamento ). Existe uma constante Pk > 0, independente de h, tal que

EJi.Tbfo!o, A.F.D. Lochs i. N.Guantfro

No caso dos problemas de Poirson ou da elasticidade corppressnrel es ktp6i«x9

(Hl)h e (/f 2)H sáa íácümente veriíicDdfia adotundo-se I > 4, para elementos

auadri-iaterais, eu Í > & — 1, p^ra elementos triangulares. Satisfeitas as hipóteses do toorcraa <\c Breszi temoa

||* - «iltv + (in -«fcflv < tf (||<r - nil* + | | a - vh\\v) Vrfc € flj Wft € l £f

(28) com C independente de h, que combinada com resultados da teoria de interpolação fornece

Ik - ffk\\u +1!» - nk\\v < {Cft'+1k|i+i + Ckk\u\k+X}. (29)

Donde concluímos que estimativas ótimas para ambos os campos são obtidas quando I ~k—l,o que se pode concernir com elementos triangulares. Entretanto,

ê necessário notar que a convergência das tensões é na norma da U que envolve

apenas produtos em L" das componentes de tensão, enquanto que a convergência dos deslocamentos é obtida em uma norma mais rfcoros*», envolvendo produtos em

L7 do gradiente ds deslocamentos. Esta é a razão porque esta formulação mista tende a ee comportar, em termos de taxas de convergência, de modo idêntico a formulcjjíio cinemática.

No coco iucompresfavei, devido a restrição interna A : J = 0, o operador A não c elipiíco cm too'o o espaço U. Dessa forma a hipótese (Hl)k c cm gerei muito difícil de í'er satisfeita. Da forma como foi apresentado o Problema M* é sempre instável para. o crx-o mcompreeotvel, uma ves que para / > « a hipótese (/f 2)» é verificada m&s não ( i / l ) * . Enquanto que para l < k podemos verificar (Bl)k mas nCo (II2)k que governa a estabilidade do multiplicador de Lagrange que neste caso ê o campo n. A construção de aproximações estáveis de Galerkin para o caso incoroprcíwvel pode COT feita segre^ndo-se o ctanpo de pressão da componente desviodora do tensor de tensão, e interpolando-se a pressão, as tensões desviftncraa e o campo <<e deslocamentos independentemente de modo a satisfazer as hipóteses (27l)& c (</2)&. Isto, naturalmente, impõe Iimitnçõcs nau aproximações para este tipo de problema com utilização da formulação clássica de Galerkin.

Formulação Mista Dual

Seja W = &(SÍ) x L7(Q), para o caso do problema da elasticidrxlo, on

W — Lz{íl), para o caso do problema de Poisson. Consideremos ainda o seguinte subeepoço de U,

H(div) ^ {a € U, div* € W) (50) com norma

II"li*(div, *= i(°>") + ( * w , dhw))1'». ( s i )

A formuletçáo mista dual para o problema em foco consisto em

Problema M* : Dado f € W, determinar o par (<r,u) e /f(div,0) x V tal que

{Âa%r) = b*(r,u) VTGÜ, (32)

A P (V |v )s/ ( v ) VvgW, (S3)

6*(r,v) ta /*//• r . vdft = - / d i v r • vdíl , (34)

E.M.Toledo, A.F.D. Loula, J. N.Guerreiro 7

que eqüivale a achar o ponto de sela (<r, n) em U x V do lagrangiano

^ • ) = i ( i 4 r , r ) + f(T»^) + /(v) Vr€ff W € W .

Nesta formulação dual a continuidade de o(«, •), &*(•, •) e /(•) são preservadas em J7(div) e W. A LBB para v é também verificada, mas a elipticidade de a(*, •) na norma JT(div) é restrita ao subespaço das tensões auto equilibradas.

Em principio, poder-ae-ia pensar nnma formulação do tipo proposto por

Raviart e Thomas [d] para o problema de Poisam com o fíuxo/tensões em Zf(div) e a temperatura/deslocamentos em £2(íl). Entretanto esta formulação não se

aplica imediatamente ao problema da elasticidade devido c simetria do tensor de tensões. Algumas formulações recentes relaxam a simetria úo tensor de tensão reintroduzindo-a atrivés de multiplicadores de Legrange, permitindo assim a uti-lização das interpelações propostas por Raviart e Thomas [10).

FORMULAÇÕES MISTAS DE PETROV-GALERKIN

Seja Xlh um subespaço conforme de elementos finitos de X = /f(div). Em

particular X'h pode ser um subespaço de (fíx(í2))2, no caso do Problema de Poisson

ou de (//1(íí))8, no caso do problema da elasticidade, isto é, podemos adotar as

interpolaçõcs lagrangianas usuais. Tendo cm vista que para / € W c Q regular, a solução (er, n) do Problema M está em ü?(div) x V e que as aproximações de Galerkiu para este problema em subespaços de Z7(div) x V podem ser instáveis, propomos a seguinte aproximação mista dual de Petrov-Galerldn para o Problema

M nos espaços em XI C # (div) e V* C V :

Problema PGJ: Achar {<rh,nh} €U[x Vft tal que

4({<n,*kh {n,**})+F

({r

v»}) = o v{n.v»} € x

x v{

onde

A\{{ok, o*}, {T*, v*}) = (Airh, T») + (diva*, v») + (divr*, u»)

-f<i(div<rft,divrfc) + S7(Aak - BnkfAn - Bvk)

F,({rklrk}) = /(vfc) + íi(/,divn).

Deve-se notar que o Problema PGJ é equivalente ao seguinte problema de minimizoç&o: Achar (ir, a) ^XkxV^ tal que

m*h,*k) < J f t t n . n » V{rA,n} € X{ x V{,

COD

^({n,V*}) = \AÍ({ThfVk}f{Th,Vk}) + F>{{Th,Vk}).

A análise do Problema PGJ é imediata uma vez que temos:

1. Consistência: A solução exata, {<r,u} 6 J/(div) x V, do Problema M também verifica Problema PGJ, isto é,

E.M.Toledo, A.F.D. Lcala, J. N.Guerreiro

já que o Problema PG$ ê baseado em formas residuais das equações do problema.

2. Cantiauidade de AJ(-, •) : (X x V) x (X x V) - • Jfc Existe uma constante Aí < oo, tal que

AS({a,«}f{r,T}) < MIKa.uJlUxvlKr.vJHxxv V{a,n},{r,v} € * x V

(36) com

ll{r,v}||xxv*||T||H ( d i v ) + H v . (37)

3. XJl x VJ? -Elipticidado de A*t: Erâte uma constante a* > 0, independe _ te

de />, taJ que

A j ( h)Tl}){ T i1T » } ) > «J| { nlvt} | j [xv V { rf c,n} € X { x V Í (38)

Como conseqüência dos Eqs.(35)-(38) tonos o seguinte resultado sobre a ex-istência e unicidade e estimativas de erro para o Problema FGj.

Teoroma: Pera todo X% x Vjj C //(div) x V o Problema PGJ tem EOIUÇSO

única {cfcjUjk} € JÇ{ x V^ tal que

||{<r-.af c,«-uJ k}|Uxv<l/^j|^-r) k,n-vA}|Jx x V V{r*,v&} € Xlh xltf (S9)

Admitindo»ee ir — i, e codfJderando a solução exata, {tf, u}, suficientemente regu-lar, de (39) temos:

l!«-«»||o + ft||V«-Vnft(|o<Cft*+1,

Ik-'fclliKdiv)^0**'

Dessa forma zneuores taxas de convergência cão obtidas para a a» sem comprom-eter &s texts de convergência de u* como ocorre, por exemplo, com a formulação de Ravír-rt-Thomas para o problema potencial [9].

Alternativamente, consideramos a seguinte aproximação mista primai de Petrov-G&lerkin para o Problema M em espaços de elementos ünitoe X'h e

*?•

ProMemn PGc: Achar {o^nn} € X | x V£t iú que

i M { * » . M . { * . n } ) + fl<{*,n})-0 V{rA,yA}€JfixV5k* (40)

com

As({ffh,uk},{Tk,Vk})« M«s,n) - (**, Vvk) - (nk, Vuk)

+Íi(div<r»,div7*) + 63(Aak - Bnh, Aru - Bvk).

PÓS-PROCESSAMENTO DAS TENSÕES

Seja UH C V^* uma aproximação de elementos fínitos para o campo u. Por exemplo, no caso em que o operador constitutivo A é iuvcreivel, n* pode ser a eoluçuo do ProbJeiaa Puu, que como vímoa é tal que

E.M.Toledo, A.F.D. Loula, J. N.Guerr^ro 9

Em lugar de calcular a% via equação constitutiva, como é usual na formulação cinemulica, propomos recuperar <r& através de um pós-processamento em Xlkt

en-volvendo simultaneamente os resíduos das equações constitutivas e de equilíbrio, on seja,

{Ath-Vn,rk) + 6(div<rh+t,divTh) = 0 VrheXlk. (41)

Integrando por partes o termo envolvendo Vn&, resulta o seguinte método para' determinação de <r*

Problema Pa*: Dado n* € V£ achar trh € JfJ tal que

M*k,rh) ~ F.(rh) V T » € X Í (42)

onde

A,{ak,n) = {Aok, Tk) + fi(div<rA, divr*) V^, rk € X[,

KM - -(f,divr*) - (n»,divrfc) Vr» € *J.

Considerando que a forma bilinear Ar(v) e continua e eliptica em /f(div),

isto é, para o > 0, existam constantes a > 0 e M < oo, tais que

A.(T, T) > C||rjjH ( d i v ) Vr € X = J?(div)

^ ( a , T) < ^IklJa^ivjHrJl^^j V«r, T € #(div), podemos facilmente demonstrar a seguinte estimativa para a*,

II* " '»H«(div) * í1 + f-)lk - ^ll/,(div) + jM« " «*Ho Vr € JV(. (43)

Usando resultados clássicos da teoria de interpolaçao obtemos

II" " ^llif(div) * ™ H + i + O»*

W*+i. (44)

Donde concluímos que, com este pós-processamento, estimativas ótimas para o campo ffk podem ecr obtidas com / - k + 1 , o que acarreta uma grande melt ora na precisão desta aproximação.

RESULTADOS NUMÉRICOS E CONCLUSÕES

Apresentamos a seguir alguns resultados de experimentos numéricos realiza-dos com um problema simples unidimençional de solução exata conhecida, con-sistindo em um cilindro infinito com pressão interna unitária, raio interno 1.0 o raio externo 2.0, constituído de material elástico isotrópico com módulo de elasti-cidade E = 1.0 e coeficiente de Poison v » 0.3 (comprei;vel). O objetivo destes experimentos é a confirmação dan taxas do convergência previstas na análise, para a formulação mista clássica com interpolaçao descontínua para o campo da tensões e continua para o campo de deslocamentos (Problema Ivl*) e para a formulação cineniútica (Problema Pu*) com póVprocceft<unento de Petrov-Gaicrkin para as

UiixbiKü (Problci&ü Pa*). Na Ir.i,",ara 1 comparamos resultados de convergência

dos dois métodos, para o elemento de 2 nós (interpolaçao linear), apresentados em um grúTico log(//)x ícg(crro), sai que N c o núiaato da uúí da mailsu menos 1.

10

Deslocamsntos - Elemento 2x2

Tensões - Elemento 2x2

Jf-M

FIGURA 1

n

Deslocamentos -Elemento 3x3

Tensão - Elemento 3x3

+..,

"**"+-...

FIGURA 2

E.M.lbledo, A.F.P. Loula, J. N.Querreiro 12

Neste estudo foram adotadas malhas uniformas com N igual a 2, 4, 8,16, 32 e 64. Estes resultados confirmam as taxas de convergência previstas na análise, on sejam,

|Ju—Ufcjjo = 0(fca) e ||Vu - VujkJJo = C{h), para ambos os método3 (M* e Pu*),

e |í«p— cr*||o = Õ(fc), para o modelo misto clássico (M\), e \\<r — a^ \iHifoy\ = 0(h)t para o modelo com pós-processamento ( P * A ) . É importante notar que neste caso

o campo de tensões obtido com o modelo misto clássico não converge em H(div), o que não acontece com o campo de tensões obtido pelo pós-processamento que aproxima melhor & equação de equilíbrio.

Na Figura 2 apresentamos os resultados de convergência obtidos para o ele-mento de 3 nós (interpelação quadrática), confirmando mais uma vez as taxas de convergência previstas na análise, isto é, ||o - u*j|o = C?(ft8) e ||Vu — Vu&||o =

0(h2), para ambas as formulações e ||<r — <TA|)O = C(A3)» P**» o modelo misto

clássico (MA), e ||<r — <r» Hmdjv) = 0(^2)» P*1» ° modelo com pós-processamento

(Pffjk). Notar que neste caso o campo de tensões é obtido com o modelo minto clássico é também convergente em H(div), porém com uma taxa de ordem h ape-nas frente a uma taxa de ordem h? do modelo com pós-processamento.

REFERÊNCIAS

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fecun-didade no Brasil. 54 p. (RP&D 36/89)

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