1 A Integral de Riemann

(1)

Medida e Integra¸c˜ao.

Departamento de F´ısica e Matem´atica. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales

22 de maio de 2007.

As seguintes notas apresentam algumas limita¸cões da integral de Riemann com o propósito de justificar a constru¸cão da integral de Lebesgue estudada ao longo do curso. Estas deverão ser lidas após a culmina¸cão das aulas sobre o Capitulo 4: Fun¸cões Integráveis, em [Bar]1. λ denota a medida de Lebesgue definida sobre a σ-álgebra de R.

1 A Integral de Riemann

Nesta se¸cão apresentamos brevemente a integral de Riemann. Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão limitada definida no intervalo [a, b], para a < b, a, b ∈ R. Seja P = {a0, a1, a2, . . . , an} uma parti¸cão de [a, b], tal que a = a0 < a1 < a2 < . . . < an = b.

Definimos a soma superior Σ e inferior σ de Riemann como Σ(P, f) = n X i=1 Mi∆i, σ(P, f) = n X i=1 mi∆i, onde ∆i = ai− ai−1e Mi = sup ai −16x6ai f (x), mi = inf ai −16x6ai f (x),

para cada i 6 n. Observe que Mi e mi são números reais, já que f é limitada em

qualquer intervalo [ai−1, ai].

Para definirmos a integral de Riemann, primeiro mostramos que para uma parti¸cão P qualquer temos que σ(P, f) 6 Σ(P, f), e então para qualquer parti¸cão mais fina P0 _{⊃ P, temos que σ(P, f) 6 σ(P}0_{, f ) e Σ(P}0_{, f ) 6 Σ(P, f). Finalmente observamos}

que para quaisquer duas parti¸c˜oes P1, P2 temos que P1 ∪ P2 ⊃ P1 e P1 ∪ P2 ⊃ P2,

portanto σ(P, f) 6 Σ(Q, f) para quaisquer duas parti¸cões P, Q. O conjunto©σ(P, f) : P é uma parti¸cão de [a, b]ª esta limitado por cima em R, logo o seu supremo é chamado da integral inferior de f em [a, b], isto é

Z b

a

f = sup

P σ(P, f).

Analogamente para o conjunto ©Σ(P, f) : P ´e uma parti¸c˜ao de [a, b]ª, definimos a inte-gral superior como

Z b

a

f = inf

P Σ(P, f).

Defini¸cão 1. A fun¸cão f é Riemann integrável em [a, b] se sup_P_{σ(P, f) = inf}PΣ(P, f).

Neste caso a integral de Riemann ´e igual a qualquer um destes limites, e ´e denotada por Z b

a

f (x) dx.

1

[Bar] Bartle, R. G. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Classics Library, 1995. Wiley & Sons, New York

(2)

O seguinte resultado fornece um critério útil para verificar a integrabilidade de fun¸cões.

Teorema 1 (Critério de Riemann). A fun¸c˜_{ao f : [a, b] → R é Riemann-integrável se,} e somente se, para qualquer ε > 0 existe uma parti¸c˜_{ao P}εtal que σ(Pε, f )−Σ(Pε, f ) < ε.

Exemplo 1. O seguinte exemplo ilustra como ´e utilizado o crit´erio de integrabilidade de Riemann para calcular

Z 1

0

√ x dx.

O problema imediato neste caso é que resulta dif´ıcil achar ra´ızes quadradas exceto para quadrados perfeitos. Devido a esto consideramos parti¸cões cujas divisórias são quadrados perfeitos, mesmo que isto leve a considerar intervalos de cumprimentos variáveis2. Seja a seguinte seqüência de parti¸cões

Pn= n 0,³1 n ´2 ,³2 n ´2 , . . . ,³i n ´2 , . . . , 1o Dado que f ´e crescente obtemos as seguintes somas de Riemann

Σ(Pn, f ) = n X i=1 ³i n ´n³i n ´2 −³i − 1_n ´2o= 1 n3 n X i=1 (2i2_{− i)} σ(Pn, f ) = n X i=1 ³i − 1 n ´n³i n ´2 −³i − 1_n ´2o= 1 n3 n X i=1 (2i2_{− 3i + 1)} Logo Σ(Pn, f ) − σ(Pn, f ) = 1 n3 n X i=1 (2i − 1) = _n13©n(n + 1) − nª = 1 n.

Ao escolher n suficientemente grande, podemos fazer a diferen¸ca entre as duas somas arbitrariamente pequena, i.e menor que um ε > 0 dado, portanto f é integrável. A integral é 2/3, já que ambos σ(Pn, f ) e Σ(Pn, f ) convergem a este valor.

Além do critério do Teorema 1 é poss´ıvel mostrar que toda fun¸cão monótona limitada é Riemann integrável, assim como também qualquer fun¸cão continua (limitada) f : [a, b] → R. Estes resultados são de grande utilidade mas na pratica o calculo da integral geralmente considera em lugar da Defini¸cão 1, o seguinte resultado (essencial nos cursos de cálculo!).

Teorema 2 (Teorema fundamental do Calculo). Se f : [a, b] → R ´e continua e F : [a, b] → R tem por derivada f, ent˜ao

F (b) − F (a) = Z b

a

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Este resultado combina a integral de Riemann com as derivadas sendo que F ´e a fun¸c˜ao primitiva (ou anti-derivada de f ), i.e.

F (x) = Z x

−a

f (x) dx,

justificando as técnicas elementares da integra¸cão que formam parte de qualquer curso de cálculo.

´

E poss´ıvel prescindir do requerimento da continuidade, primeiramente ao supor que f é limitada e não continua em um número finito de pontos dentro de [a, b]. Neste caso f ainda é Riemann integrável. Para ver isto, dividimos o intervalo nas partes nas quais f é continua, sendo f integrável em cada uma destas partes. Por exemplo seja f igual a 0 para todo x ∈ [0, 1] exceto nos pontos a1, . . ., an onde f é igual a 1. Neste caso f é

integr´avel com integral igual a 0 em [0, 1].

Se intentamos generalizar este argumento precisaremos da integral de Lebesgue: f é Riemann integrável se, e somente se, f é continua em quase todos3 os pontos de [a, b]. Este resultado, nada trivial (veja o Teorema 4 no final destas notas), pode ser aplicado a seguinte fun¸cão em [0, 1] introduzida por K. J. Thomae em 18754

f (x) = (

n−1 _{se x = m/n ∈ Q}

0 se x /_{∈ Q} (1)

A fun¸ccão de Thomae é continua em cada irracional mas descont´ınua nos números ra-cionais. Neste caso f é continua λ-q.t.p em [0, 1]: f é descont´ınua em um número enumerável dos n´_{umeros racionais em [0, 1], i.e. em [0, 1] \ Q}c_{, logo λ([0, 1] \ Q}c_{) = 0.}

Do Teorema 4(i) temos então que f é Riemann integrável. A continuidade da fun¸cão em (1) é estudada no apêndice.

2 Deficiˆ

encias da Integral de Riemann

Abrangência. A integral de Riemann não inclui varias fun¸cões que aparecem na pratica como por exemplo as fun¸cões reais continuas definidas sobre dom´ınios não compactos e as fun¸cões não limitadas. Por exemplo

Z ∞ −∞ e−|x|dx, e Z 1 0 1 √ xdx.

A solu¸cão em ambos casos é uma aproxima¸cão por integrais impróprias definidas por uma passagem ao limite,

lim n→∞ Z n −n e−|x|dx, lim ε→0 Z 1 ε √ x dx.

O Teorema de Convergˆencia Mon´otona pode ser utilizado para justificar estas

apro-3

mais precisamente: continua λ-q.t.p

4

Bartle, R. G. and Schebert, D. R. Introduction to real analysis. 3a Edi¸c˜ao, 2000. John Wiley & Sons, NY.

(4)

xima¸cões5_{. Para a primeira fun¸cão temos a partir do Teorema 2 que} Z n 0 e−x_{dx = [−e}−x]n₀ _{= 1 − e}−n, Z 0 −n exdx = [ex]0_−n_{= 1 − e}−n, e então _Z _n −n e−|x|_{dx = 2 − 2e}−n. Utilizando o limite acima, isto sugere o resultado

Z ∞ −∞ e−|x|dx = lim n→∞(2 − 2e −n_{) = 2.} De fato, seja fn(x) = ( e−|x| _{se |x| 6 n,} 0 _{se |x| > n}

uma seqüência de fun¸cões em L tais que fn(x) → e−|x| pontualmente para todo x ∈ R.

Mais ainda, sejam as integrais Z

fndλ =

Z n

−n

e−|x|dx,

as quais para qualquer n est˜ao limitadas acima por 2. Temos finalmente que Z lim n fndλ = Z lim n→∞e −|x|₁ [−n,n]dλ = lim n Z fndλ = lim n Z e−|x|1_[−n,n]dλ = lim n Z n −n e−|x|dx = lim n (2 − 2e −n_{) = 2,}

sendo a segunda igualdade, o passo critico, consequência do Teorema de Convergência Monótona. A quarta igualdade segue do Teorema 4(ii) no final destas notas.

Sigamos agora com o segundo exemplo. A integral de 1/√x n˜ao ´e limitada para qualquer intervalo que contem a origem. Neste caso consideramos a integral

Z 1

1/n

1 √

xdx. Pelo Teorema 2 esta integral ´e igual a

[2x12]n

1/n = 2(1 − n−

1 2),

o qual converge a 2. Para verificarmos que Z 1

0

1

(5)

utilizamos o Teorema de Convergência Monótona para a seqüência (fn) definida por

fn(x) =

(

x−12 se 1/n 6 x 6 1,

0 caso contrario.

sendo fn(x) → 1/√x pontualmente para todo x ∈ (0, 1], e neste caso todas as integrais

R fn estam limitadas por acima por 2. Finalmente

Z 1 0 1 √ xdx = limn Z fndλ = 2.

Dominio da integral. A integral de Riemann esta definida quando o dom´ınio de integra¸cão é um subconjunto ‘simples’ de R. Considere, por exemplo, as somas superiores e inferiores de Riemann para a fun¸cão indicadora dos racionais em [0, 1], isto é,

f = 1_Q∩[0,1]. (2)

Para qualquer parti¸cão P de [0, 1] cada sub-intervalo contem pontos racionais e irracio-nais, veja o apêndice, logo σ(P, f) = 0 e Σ(P, f) = 1. Portanto não é poss´ıvel calcular a integral de Riemann de esta fun¸cão, de fato f é descont´ınua em um conjunto não enumerável de pontos de [0, 1]6_{. Mas, diretamente da defini¸cão da integral de Lebesgue}

temos que

Z

1Q∩[0,1]dλ = 1 · λ([0, 1] ∩ Q) + 0 · λ([0, 1] \ Q) = 0

já que Q é um conjunto nulo e portanto o seu ‘cumprimento’ é 0. Veja as notas sobre conjuntos nulos em http://dfm.ffclrp.usp.br/∼rrosales/aulas.

Analogamente a integral de f = 1C, onde C ´e o conjunto de Cantor, ´e 0 pois C

tamb´em ´e um conjunto nulo. Este conjunto e descrito em detalhe nas notas sobre conjuntos nulos.

Limites de fun¸cões. É de se esperar que se fn é uma seqüência de fun¸cões

Rie-mann integr´aveis tais que fn converge em certo sentido a f , ent˜ao dever´ıamos ter que

Rn

a fndx →

Rb

af dx. Apresentamos a continua¸c˜ao alguns exemplos onde (fn) converge

pontualmente a f , i.e. fn(x) → f(x) para todo x ∈ R, mas a integral de Riemann n˜ao

esta definida. Também apresentamos um exemplo onde a convergência é uniforme. 1. Suponhamos que o limite não é Riemann integrável, portanto a questão da con-vergência não faz sentido algum. Seja f = 1Q, fn = 1An onde An = {q1, q2, . . . , qn},

sendo (qn), n > 1, uma enumera¸cão dos números racionais de forma que fné

mon´otona-mente crescente.

2. O limite é Riemann integrável, mas as integrais de Riemann não convergem. Sejam f = 0, [a, b] = [0, 1/2] e escolha

fn(x) =      4n2_x, _{se 0 6 x < 1/(2n)} 4n − 4n2x, se 1/(2n) 6 x < 1/n 0 se 1/n 6 x 6 1.

Esta fun¸cão é continua e tem integral igual a 1 para qualquer n ∈ N. Mas, a seqüência fn(x) converge pontualmente a f = 0 dado que para todo x ∈ [0, 1/2], fn(x) = 0 se n é

o suficientemente grande.

6

(6)

0 2 4 6 8 10 00 00 0 15 14 13 12 f2 f3 f4 f5

Figura 1: exemplo de convergência não uniforme. Outros exemplos deste mesmo tipo são os seguintes. Seja fn(x) = n1(0,1

n)(x) definida

em (0, 1). Temos ent˜ao que para qualquer x, fn(x) → 0 (pontualmente), i.e., fn→ f = 0.

Por´em para todo n ∈ N

Z 1 0 fn(x) dx = n ³1 n − 0 ´ = 1.

A convergˆencia uniforme de (fn) a f tampouco permite afirmar a convergˆencia das

integrais de Riemann, como ´e mostrado no seguinte exemplo. Seja fn= _n11[0,n]. Segue-se

imediatamente da defini¸c˜ao que fn⇒ f, i.e. a convergˆencia ocorre uniformemente (fa¸ca

um desenho!), e tamb´em que f = 0. Entretanto, para todo n ∈ N Z

fn(x) dx =

1

n(n − 0) = 1.

Os dois ´ultimos exemplos mostram que tampouco ´e suficiente que fn % f (i.e. que

fn seja mon´otonamente crescente e com limite f ), ou que fn& f. Respectivamente:

(i). Seja fn = −_n11R. Neste caso fn % f onde f = 0, mas ∀n ∈ N a integral de

Riemann de fn´e −∞.

(ii). Seja fn = 1[n,∞), ent˜ao fn & f e f = 0. Por´em para todo n ∈ N a integral de

Riemann de fn´e +∞.

3 Integrais de Lebesgue e Riemann

A integral de Lebesgue é introduzida com o propósito de desenvolver uma no¸cão gene-ralizada da integral. Como uma consequência do Teorema de Convergência Monótona, esta integral apresenta propriedades de limite superiores a integral de Riemann. Porém, igualmente a integral de Riemann, o cálculo especifico das integrais pode ser laborioso. Para relacionar a teoria com algumas técnicas convenientes do cálculo elementar que permitem resolver integrais, nesta se¸cão provaremos uma versão do Teorema 2, assim como também a coincidência da integral de Lebesgue e de Riemann no caso que esta ultima exista (Teorema 4(ii)). Neste processo encontraremos condi¸cões necessárias e suficientes para a existência da integral de Riemann (Teorema 4(i)).

(7)

Teorema 3. Se f : [a, b] → R é continua então f é integrável e a fun¸cão F dada por F (x) =

Z x

a

f dλ ´e diferenci´avel em (a, b), e tem derivada F0_{= f .}

Demonstra¸c˜_{ao. As fun¸cões continuas são mensuráveis logo f ∈ L[a, b]}7. Fixemos a < x < x + h < b, então

F (x + h) − F (x) = Z x+h

x

f dλ,

o qual segue das propriedades da integral desde que f 1_(x,x+h] = f 1_[a,x+h]_{− f1}_[a,x]. Pela propriedade do valor m´edio, o valor da integral esta contido no intervalo [Ah, Bh], onde A = inf{f(t) : t ∈ [x, x + h]} e B = sup{f(t) : t ∈ [x, x + h]}. Os dois n´umeros existem, sendo f continua. Neste caso podemos achar t1, t2 tais que A = f (t1) e B = f (t2) em

[x, x + h]. Logo f (t1) 6 1 h Z x+h x f dλ 6 f (t2).

O Teorema do valor m´edio fornece um θ ∈ [0, 1] tal que f (x + θh) = 1 h Z x+h x f dλ = F (x + h) − F (x) h ,

e ent˜ao no limite h → 0, a continuidade de f garante que F0(x) = f (x).

O próximo Teorema mostra como a integral de Lebesgue é uma generaliza¸cão da integral de Riemann.

Teorema 4. Seja f : [a, b] → R. uma fun¸c˜ao limitada.

(i) f é Riemann integrável se, e somente se f é continua em λ-quase todas partes em [a, b].

(ii) As fun¸cões Riemann integráveis em [a, b] são Lebesgue integráveis em [a, b]. Ambas integrais são iguais.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja P uma parti¸c˜ao de [a, b] e ∆}i = ai− ai−1, i = 1, 2, . . . , n, com Mi

e mi o sup e o inf de f respectivamente em I = [ai−1, ai]. Sejam Σ(P, f) e σ(P, f) as

somas de Riemann superiores e inferiores associadas a P. Observe que estas somas s˜ao as integrais de Lebesgue das fun¸c˜oes simples

uP = n X i=1 Mi1Ii, lP = n X i=1 mi1Ii.

Escolhamos agora uma seq¨_{uˆencia (P}n) tal que Pn+10 ⊃ Pn e o cumprimento do maior

subintervalo em Pn se aproxime de 0. Escrevendo un para uPn e ln para lPn temos que

ln6 f 6 un para todo n. Consideremos agora o espa¸co mensur´avel ([a, b], A[a,b], λ[a,b])

7

(8)

para λ_[a,b]= λ a medida de Lebesgue no intervalo [a, b]. Temos que as fun¸c˜oes u = inf un

e l = sup ln são mensuráveis e monótonas desde que,

l1 6l2 6· · · 6 f 6 u2 6u1. (a)

Neste caso lim un= u e lim ln= l pontualmente, e todas as fun¸c˜oes em (a) s˜ao limitadas

em [a, b] por M = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}, o qual é integrável em [a, b]. Agora, pelo Teorema de Convergência Dominada conclu´ımos que

lim Σ(Pn, f ) = lim Z b a undλ = Z b a u dλ, lim σ(Pn, f ) = lim Z b a lndλ = Z b a l dλ, e a fun¸cões limite u e l são Lebesgue integráveis.

Suponhamos agora que x não é um ponto do limite de qualquer um dos intervalos das parti¸cões (Pn), o qual exclui unicamente um conjunto enumerável dos pontos de

[a, b]. Segue-se imediatamente disto que

f ´e continua em x ⇔ u(x) = f(x) = l(x).

Esta afirma¸cão segue da defini¸cão de continuidade, dado que o cumprimento de cada subintervalo se aproxima de 0 e portanto a varia¸cão de f sobre os intervalos que contem a x se aproximam de 0 se, e somente se f é continua em x.

A integral de Riemann de f ´e definida como o valor comum do limite lim Σ(Pn, f ) e

lim σ(Pn, f ), sempre e quando os limites sejam iguais.

Para demonstrar (i), suponha primeiro que f ´e Riemann integr´avel, portanto Z b a u dλ = Z b a l dλ. Mas l 6 f 6 u, logo Rb

a(u − l)dλ = 0, o qual implica que u = l = f λ-em quase todas

partes pelo Teorema 4.78_{. Desta forma f ´e continua em λ-q.t.p. pela caracteriza¸c˜ao da}

continuidade de f em x introduzida nesta demonstra¸c˜ao, a qual unicamente exclui um conjunto nulo9 dos pontos da parti¸c˜ao.

No sentido contrario, para mostrar a equivalência, se f é λ-em q.t.p. continua, então u = f = l, λ-q.t.p., portanto u e l são Lebesgue mensuráveis e então também f . Além disto, se por hipótese f também é limitada, então f é Lebesgue integrável em [a, b], uma vez que as integrais são iguais λ-q.t.p, então as integrais (de Lebesgue) de l, f e u coincidem, Z a l dλ = Z a f dλ = Z a u dλ. (b)

Dado que as integrais de l e u são iguais, isto mostra que por defini¸cão, f é Riemann integrável.

Finalmente, para provarmos (ii), observamos que se f é Riemann integrável então (i) mostra que f é λ-q.t.p. continua, portanto mensurável e então de (b) a sua integral de Lebesgue coincide com as integrais de l e u, e portanto também com a integral de Riemann.

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1 A Integral de Riemann

1

A Integral de Riemann

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Deficiˆ

encias da Integral de Riemann

3

Integrais de Lebesgue e Riemann

4

Apˆ

endice