Transmissão de Calor. Resumo de formulas e tabelas de Condução

(1)

Transmissão de Calor

Resumo de formulas e tabelas de Condução

(2)

Resistências térmicas de paredes

Geometria Parede plana Casca cilíndrica Casca esférica Convecção em superfície R [K/W] kAL

(

)

kL D D ln _e _i π 2

(

) (

)

k D D_i _e π 2 1 1 − hA 1 R’_[mK/W](1)

(

)

k D D ln _e _i π 2 hπDj 1 (2) R” [m2K/W] k L

(

)

k D D ln Dj e i 2 (2)

[

(

) (

)

]

k D D Di e j 2 1 1 ₋ 2 (2) h 1 Raio crítico [m] h k h k 2

1) por unidade de comprimento de cilindro; 2) Resistência definida em relação à área j. Distribuição de temperatura em sólidos com fontes de calor uniforme q&

Parede plana com temperaturas impostas Ts1 em x=0 e Ts2 em x=L.

( )

2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 , s , s , s , s T T L x T T L x k L q x T _⎟⎟+ − + + ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = &

Caso com superfície adiabática em x=0 ou r=0 e convecção na superfície x=L ou r=R.

Parede plana Cilíndro Esfera

( )

h L q T L x k L q x T & _⎟⎟+ + & ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 2 ∞ 2 2 1 2

( )

h R q T R r k R q r T 2 1 4 2 2 2 & & ₊ ₊ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = _∞

( )

h R q T R r k R q r T 3 1 6 2 2 2 & & + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∞ Rendimento de Alhetas

Configurações de superfícies estendidas consideradas:

- Alhetas planas e pinos (secção circular) com diferentes perfis caracterizados por: 2 t y= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l x 2 t y 2 3 x 2 t y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l 2 x 2 t y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l A B C D l 2 D r= 2 1 x 2 D r ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l x 2 D r 2 x 2 D r ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l x y r

(3)

Alheta y = (t/2)(x/l)n Pino r = (D/2)(x/l)n Config. n Parâmetro u n Parâmetro u

Rendimento função do parâmetro u A 0 _{u l}= 2h kt 0 _{u l}= 4h kD

( )

u u tgh = η B 1 _u ₌₂_l ₂_h _kt 1 2 u=

( )

4 3l 4h kD _u2 _II

( )

_{( )}

u_u 0 1 ∗ ∗ = η C 3 2 u =4l 2h kt 1 u=2l 4h kD

( )

u I * u u I * 4 1 2 = η D 2 _u ₌₂_l ₂_h _kt 2 _u ₌

( )

₂ ₃_l ₄_h _kD 2 u 1 1 2 + + = η

O rendimento definido pelas expressões acima encontra-se representado em função do parâmetro _l h ktpara as alhetas planas e _l h kD para os pinos (secção circular) na tabela A1.

- Alhetas tipo anilha em tubos. Consideram-se alhetas com espessura constante ou de secção triangular conforme os esquemas (ambas com espessura na base t).

t r1 _r 2 r1 r2 dr Ac

O rendimento destas alhetas depende da sua largura _l=R₂ −R₁ e da razão entre o raio exterior da alheta (R2) e do raio interior desta igual ao raio do tubo (R1).

O rendimento da alheta é dado pela expressão seguinte:

(

)

[

]

⎢_⎣⎡

( ) ( )

+

( ) ( )

⎥_⎦⎤ + − = η 1 0 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 I u K u I u K u u K u I u K u I R R 1 u 2 onde

(

R R 1

)

kt / h 2 u 1 2 1= l ₋ ou u1 =R1 2h/kt e u2 =R2 2h/kt ou u2 =u1

(

R2 R1

)

Os valores deste rendimento são apresentados em função do parâmetro _l h kt na tabela A1. Na página da disciplina encontra-se a folha de cálculo onde estas funções foram calculadas (É necessário activar a Analysis Tool Pack)

(4)

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 (a) (b) (c) (d) (e) h_f t x y (x) (a) (b) (c) (d) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 t/2 L h_f x

(5)

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.8 ₂ 4 3 1.6 1.4 ri L ro t 1 = i o r r h_f 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x /xe _{= 1.0} b 2.0 3.0 4.0 h_f xe xLb t x

Gráficos extraídos de Gardner, 1945 – Notar que o argumento inclui o factor 2 omitido no Incropera O ultimo gráfico diz respeito a alhetas de secção variável que é deduzido com perfil hiperbólico.

(6)

Distribuição de temperatura em alhetas (com condição de fluxo nulo na extremidade) Alhetas de secção constante

( )

(

)

( )

cosh

(

( )

u

)

/ x 1 u cosh m cosh x m cosh x b l l l− ₌ − = θ θ

sendo para alheta plana e pino cilindrico: te

tan cons t

e= = _{u l}= 2h kt e com d=D=constante, _{u l}= 4h kD

Alhetas de secção variável terminando em vértice com área nula. Neste caso o referencial x tem origem na extremidade da alheta. A espessura ou diâmetro variam da seguinte forma:

n x t e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l ou n x D d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l

onde t é a espessura da alheta na base e D é o diâmetro do pino na base da alheta. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l x t e

( )

(

₍

₎

)

(

)

( )

u I / x u I m 2 I x m 2 I x 0 0 0 0 b l l = = θ θ u=2_l 2h kt 2 1 x D d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l

( )

(

)

( )

u I / x u I m 3 4 I mx 3 4 I x 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 b l l = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = θ θ u=

( )

4 3_l 4h kD 2 3 x t e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l

( )

(

)

( ) (

)

14 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 b I u * x/ / x u I m 4 I mx 4 I x x l l l l ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = θ θ kt h 2 4 u= _l ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l x D d

( )

(

)

( )

l_l l l x * u I x u I m 2 I mx 2 I x x 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 b = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = θ θ kD h 4 2 u = _l 2 x t e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l

( )

r b x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = θ θ l onde 2 1 u 1 r= + 2 − u=2_l 2h kt 2 x D d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l

( )

r b x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = θ θ l onde 2 1 u 1 r= + 2 − u=

( )

2 3_l 4h kD

Alheta de espessura constante em anel

( )

( ) ( )

⎥_⎦⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = θ θ 1 0 2 1 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 b K u I u I u K u u K u I u I u K r onde u=r 2h/kt ou _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 R R x 1 u u 1 2 1 l com

₍

₎

1 R R kt / h 2 u 1 2 1 = l ₋ ou u1 =R1 2h/kt e u2 = R2 2h/kt ou u2 =u1

(

R2 R1

)

(7)

Tabela A1 - Rendimento de alhetas.

Alheta tipo anilha com espessura constante Pinos secção circular Alhetas planas

kt h

l r2/r1=1 r2/r1=1.5 r2/r1=2 r2/r1=3 r2/r1=5 r2/r1=10 r=R(x/l) 2

r=R(x/l) r=R(x/l)1/2 r=R y=(t/2)(x/l)2 y=(t/2)(x/l) y=(t/2)(x/l).5 y=t/2

0.0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.1 0.993 0.992 0.991 0.989 0.986 0.981 0.996 0.993 0.991 0.987 0.993 0.990 0.987 0.981 0.2 0.974 0.968 0.964 0.956 0.945 0.928 0.983 0.974 0.966 0.950 0.974 0.962 0.951 0.931 0.3 0.944 0.932 0.922 0.907 0.885 0.852 0.963 0.945 0.928 0.895 0.944 0.920 0.898 0.865 0.4 0.905 0.886 0.871 0.846 0.813 0.765 0.938 0.908 0.880 0.830 0.905 0.868 0.838 0.797 0.5 0.860 0.835 0.813 0.781 0.737 0.677 0.908 0.866 0.828 0.762 0.861 0.812 0.776 0.732 0.6 0.813 0.780 0.754 0.714 0.663 0.594 0.877 0.823 0.775 0.695 0.814 0.756 0.716 0.673 0.7 0.764 0.726 0.696 0.651 0.594 0.521 0.845 0.779 0.723 0.632 0.765 0.701 0.662 0.621 0.8 0.716 0.674 0.640 0.592 0.531 0.457 0.812 0.736 0.674 0.576 0.717 0.651 0.613 0.576 0.9 0.670 0.624 0.589 0.538 0.476 0.402 0.781 0.696 0.628 0.526 0.671 0.605 0.569 0.535 1.0 0.627 0.579 0.542 0.490 0.428 0.356 0.750 0.658 0.586 0.482 0.628 0.563 0.530 0.500 1.1 0.587 0.537 0.499 0.447 0.386 0.316 0.721 0.623 0.549 0.444 0.588 0.526 0.495 0.469 1.2 0.550 0.499 0.461 0.410 0.350 0.283 0.693 0.591 0.515 0.410 0.551 0.492 0.465 0.441 1.3 0.516 0.465 0.428 0.377 0.318 0.254 0.666 0.561 0.484 0.380 0.517 0.462 0.437 0.416 1.4 0.485 0.434 0.397 0.347 0.291 0.230 0.642 0.534 0.457 0.355 0.486 0.435 0.413 0.393 1.5 0.457 0.407 0.370 0.322 0.267 0.209 0.618 0.508 0.432 0.332 0.458 0.411 0.391 0.373 1.6 0.431 0.382 0.346 0.299 0.247 0.191 0.596 0.485 0.409 0.311 0.432 0.389 0.371 0.355 1.7 0.408 0.360 0.325 0.279 0.228 0.175 0.575 0.464 0.389 0.293 0.409 0.370 0.353 0.338 1.8 0.387 0.339 0.306 0.261 0.212 0.162 0.556 0.445 0.370 0.277 0.388 0.352 0.337 0.323 1.9 0.368 0.321 0.288 0.245 0.198 0.150 0.537 0.426 0.353 0.263 0.369 0.335 0.322 0.309 2.0 0.350 0.305 0.273 0.231 0.185 0.139 0.520 0.410 0.338 0.250 0.351 0.321 0.308 0.297 2.1 0.334 0.290 0.258 0.218 0.174 0.130 0.503 0.394 0.323 0.238 0.335 0.307 0.295 0.285 2.2 0.319 0.276 0.246 0.206 0.164 0.122 0.488 0.380 0.310 0.227 0.320 0.294 0.284 0.274 2.3 0.305 0.263 0.234 0.196 0.155 0.114 0.473 0.366 0.298 0.217 0.307 0.283 0.273 0.264 2.4 0.293 0.252 0.223 0.186 0.147 0.107 0.459 0.353 0.287 0.208 0.294 0.272 0.263 0.254 2.5 0.281 0.241 0.213 0.177 0.139 0.101 0.446 0.342 0.276 0.200 0.282 0.262 0.253 0.246 2.6 0.271 0.232 0.204 0.169 0.132 0.096 0.434 0.331 0.267 0.192 0.272 0.253 0.245 0.237 2.7 0.261 0.223 0.196 0.162 0.126 0.091 0.422 0.320 0.258 0.185 0.262 0.244 0.237 0.230 2.8 0.251 0.214 0.188 0.155 0.121 0.086 0.411 0.310 0.249 0.179 0.252 0.236 0.229 0.223 2.9 0.243 0.207 0.181 0.149 0.115 0.082 0.400 0.301 0.241 0.172 0.244 0.228 0.222 0.216 3.0 0.235 0.199 0.175 0.143 0.111 0.079 0.390 0.293 0.234 0.167 0.236 0.221 0.215 0.210

(8)

Condução de calor transiente no interior de corpos de dimensão finita

Distribuição de temperatura em placa de área infinita, cilindro de comprimento infinito e esfera considerando o corpo a uma temperatura inicial Tinicial trocando calor por convecção (com coeficiente h) com um fluido a temperatura não perturbada Too.

Apresentam-se as soluções analíticas obtidas pelo método da separação das variáveis. As soluções são apresentadas em termos adimensionais utilizando θ/ θi =(T-Too)/(Ti-Too), e os números adimensionais de Fourier e de Biot:

k hL

Bi= ₂

L t

Fo= α onde L é uma dimensão característica.

Para baixos números de Fourier (~<0,2) a solução (que é representada por um somatório) pode ser aproximada pelo primeiro termo. Adicionalmente para valores baixos do número de Biot (Bi<0.05) os gradientes internos de temperatura são inferiores a 3% permitindo desprezá-los e calcular a evolução da temperatura por:

[

Bi Fo

]

i * exp− = θ θ ou _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = cV hAt i ρ θ θ exp

onde A é a área de transferência de calor e V o volume do sólido.

Outro parâmetro indicado nas soluções é a energia transferida em relação ao máximo possível ρcVθi definido para este caso por Q/QI=(1-θ)

Placa de área infinita.

Solução analítica para placa de espessura 2L.

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∑

∞ = L x Fo C _n _n n n i ζ ζ θ θ cos exp 2 1 onde:

( )

n n n n C ζ ζ ζ 2 sin 2 sin 4 +

= e ζn é uma solução de ζn tan

( )

ζn =Bi

A energia transferida em relação ao máximo possível ρc2Lθi é obtida de:

( )

(

)

( )

n n n n n n n n n i i sen Fo sen Q Q ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ θ θ 2 1 exp 2 sin 2 sin 4 1 1 − + − = − =

∑

∞ =

Em ambas as equações ζn são as raízes da equação ζ_ntg

( )

ζ_n = Bi e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot.

Para Fo < 0,24 erro inferior a 1% para aproximação pelo primeiro termo:

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ L x Bi Fo Bi L x Fo Bi i i , * , , , 0 0 θ θ θ θ θ θ

onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro da placa (x/L=0). A figura P1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura P2 a parcela θ/θ0

A figura P3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série. A figura P4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo.

(9)

Cilindro de comprimento infinito.

Dimensão característica raio do cilindro R Distribuição de temperatura

( )

(

) (

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + =

∑

∞ = R r J Fo J J J n n n n n n n i ζ ζ ζ ζ ζ ζ θ θ 0 2 1 02 12 1 _exp 2

Fracção de energia transferida

( )

(

) (

)

( )

n n n n n n n n n n i J Fo J J J J Q Q ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ θ θ 2 1 1 12 2 0 1 1 0 2 exp 2 1 2 1 − + − = − =

∑

∞ =

Em ambas as equações ζn são as raízes da equação ζ_nJ₁

( ) ( )

ζ_n /J₀ ζ_n =Bi e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot.

Para Fo < 0,21 o primeiro termo permite um erro inferior a 1%:

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ R r Bi Fo Bi R r Fo Bi i i , * , , , 0 0 θ θ θ θ θ θ

onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro do cilindro (r=0). A figura C1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura C2 a parcela θ/θ0

A figura C3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série. A figura C4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo.

Esfera

( )

[

]

( )

(

)

R r R r sen Fo sen n n n n n n n n n i ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ θ θ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − =

∑

∞ = 2 1 exp 2 sin 2 cos 4 Distribuição de temperatura

( )

[

]

( )

[

]

(

Fo

)

sen n n n n n n n n i 2 1 2 exp 2 sin 2 cos 4 * 3 . 1 ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ θ θ − − ∗ − − =

∑

∞ =

Fracção de energia transferida Em ambas as equações ζn são as raízes da equação 1.−ζ_ncotg

( )

ζ_n = Bi e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot.

Para Fo < 0,18 o primeiro termo permite um erro inferior a 1%:

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ θ θ θ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ θ R r , Bi * Fo , Bi R r , Fo , Bi 0 i 0 i

onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro da esfera (r=0). A figura C1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura C2 a parcela θ/θ0

A figura C3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série. A figura C4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo.

(10)

Tabela A2 –Primeira raíz da equação característica e primeiro coeficiente da série.

Placa plana Cilindro Esfera

Bi 0.01 0.0998 1.0017 0.1412 1.0025 0.1730 1.0030 0.02 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.0060 0.03 0.1732 1.0049 0.2439 1.0075 0.2989 1.0090 0.04 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.0120 0.05 0.2217 1.0082 0.3142 1.0124 0.3852 1.0149 0.06 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.0179 0.07 0.2615 1.0114 0.3708 1.0173 0.4550 1.0209 0.08 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.0239 0.09 0.2956 1.0145 0.4195 1.0222 0.5150 1.0268 0.1 0.3111 1.0160 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298 0.15 0.3779 1.0237 0.5376 1.0365 0.6608 1.0445 0.2 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592 0.25 0.4801 1.0382 0.6856 1.0598 0.8448 1.0737 0.3 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.0880 0.4 0.5932 1.0580 0.8516 1.0932 1.0528 1.1164 0.5 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.1656 1.1441 0.6 0.7051 1.0814 1.0185 1.1346 1.2644 1.1713 0.7 0.7506 1.0919 1.0873 1.1539 1.3525 1.1978 0.8 0.7910 1.1016 1.1490 1.1725 1.4320 1.2236 0.9 0.8274 1.1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488 1 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.2732 2 1.0769 1.1795 1.5995 1.3384 2.0288 1.4793 3 1.1925 1.2102 1.7887 1.4191 2.2889 1.6227 4 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 2.4556 1.7201 5 1.3138 1.2402 1.9898 1.5029 2.5704 1.7870 6 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.8338 7 1.3766 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.8674 8 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.8921 9 1.4149 1.2598 2.1566 1.5611 2.8044 1.9106 10 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.9249 20 1.4961 1.2699 2.2881 1.5919 2.9857 1.9781 30 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.9898 40 1.5325 1.2723 2.3455 1.5993 3.0632 1.9942 50 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962 100 1.5552 1.2731 2.3809 1.6015 3.1102 1.9990 1.5708 1.2733 2.4048 1.6018 3.1416 2.0000

∞

1

ζ

1

ζ

C1 C1

ζ

1 C1

(11)

Gráficos de solução para placa plana

P1 – Variação de temperatura no centro de placa em função de Bi e Fo (Fo>0,24)

P2 – Diferença de temperatura numa posição na placa em relação à diferença no centro. Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)

Erro de 1% para Fo < 0,24. P1

θo θi

(12)

P3 – Variação da temperatura no centro de placa para baixo nº Fourier.

P4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo).

Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004) P3

θo θi

(13)

Gráficos de solução para cilindro

C1 – Variação de temperatura no centro de cilindro em função de Bi e Fo (Fo>0,21)

C2 – Diferença de temperatura numa posição do cilindro em relação à diferença no centro.

Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004) Erro de 1% para Fo < 0,21. Fo=αt/R2 C1 θo θi C2 θo θi

(14)

C3 – Variação da temperatura no centro do cilindro para baixo nº Fourier.

C4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode acumular em função do tempo (expresso por Bi2_Fo).

Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004) C3

θo θi

(15)

Gráficos de solução para esfera

E1 – Variação de temperatura no centro de esfera em função de Bi e Fo (Fo>0,18)

E2 – Diferença de temperatura numa posição da esfera em relação à diferença no centro. Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)

Erro de 1% para Fo < 0,18. Fo=αt/R2 E1 θo θi E2 θo θi

(16)

E3 – Variação da temperatura no centro da esfera para baixo nº Fourier.

E4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo).

Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004) C3

θo θi

(17)

Distribuição de temperatura e fluxo de calor na superfície em sólidos semi-infinitos. A distribuição de temperatura em sólidos semi-infinitos inicialmente com valor uniforme Ti é definida com base na equação fronteira imposta na superfície.

Temperatura imposta Ts

Convecção com coeficiente h com fluído a T∞

T _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − t x erf T T T T s i s α 2 ⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − ∞ ∞ k t h t x erfc k t h t x exp t x erf T T T T i 2 2 2 2 2 _α α α α α q"

(

)

t T T k q s i πα − = ′′

₍

₎

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ′′ _∞ k t h erfc k t h exp T T h q i 2 2_α _α

• erf – Função Erro e erfc=1-erf Complementar

A solução do caso com convecção é apresentada sob forma gráfica na figura seguinte: (Notar que se usa uma definição diferente da do Incropera que considera (T-Ti)/(T∞-Ti))

No caso de fluxo imposto a distribuição de temperatura ao longo do tempo é dada por:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′′ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ′′ = − t x erfc k x q t x exp k t q T T i 2 4 2 2 α α π α

Tabela 3 - Função erro (utilizada em soluções de transientes)

0.02 0.022565 0.52 0.537899 1.00 0.842701 2.25 0.998537 0.06 0.067622 0.56 0.571616 1.10 0.880205 2.35 0.999111 0.10 0.112463 0.60 0.603856 1.20 0.910314 2.45 0.999469 0.14 0.156947 0.64 0.634586 1.30 0.934008 2.55 0.999689 0.18 0.200936 0.68 0.663782 1.40 0.952285 2.65 0.999822 0.22 0.244296 0.72 0.691433 1.50 0.966105 2.75 0.999899 0.26 0.286900 0.76 0.717537 1.60 0.976348 2.85 0.999944 0.30 0.328627 0.80 0.742101 1.70 0.983790 2.95 0.999970 0.34 0.369365 0.84 0.765143 1.80 0.989091 3.05 0.999984 0.38 0.409009 0.88 0.786687 1.90 0.992790 3.15 0.999992 0.42 0.447468 0.92 0.806768 2.00 0.995322 3.25 0.999996 0.46 0.484655 0.96 0.825424 2.10 0.997021 3.35 0.999998 0.50 0.520500 1.00 0.842701 2.20 0.998137 3.45 0.999999

(

)

(

₀_.₇₁₈₂ _y ₀_.₇₈₅₆ 2

)

exp 5577 . 1 . 1 ) y (