4.2 Teorema do Valor Médio. Material online: h-p://

4.2  Teorema  do  Valor  Médio  

Material  online:  h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html                    

Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

a)  f é contínua no intervalo [a,b]

b)  f é diferenciável no intervalo (a,b) c)  f(a) = f(b)

Prova:

caso 1: f(x) = k constante

Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

a)  f é contínua no intervalo [a,b]

b)  f é diferenciável no intervalo (a,b) c)  f(a) = f(b)

Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.

f’(x)=0 para qualquer x em (a,b) caso 2: f(x) > f(a) para algum x em (a,b)

Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge um valor máximo f(x_M) em algum x_M em [a,b].

Como f(a)=f(b)< f(x) para algum x, x_M deve estar no aberto (a,b).

Como f é diferenciável em (a,b) e x_M é ponto de máximo, temos f’(x_M)=0, Dai c=x_M.

Prova:

Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

a)  f é contínua no intervalo [a,b]

b)  f é diferenciável no intervalo (a,b) c)  f(a) = f(b)

Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.

Analogamente, f atinge um valor mínimo f(x_m) em algum x_m em (a,b), onde teremos f’(x_m)=0, Dai c=x_m.

Exemplo:

Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

a)  f é contínua no intervalo [a,b]

b)  f é diferenciável no intervalo (a,b) c)  f(a) = f(b)

Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.

Considere uma bola jogada para cima de uma altura inicial de 2m. Em algum momento, a bola para de subir e desce, até atingir

novamente a altura de 2m.

Logo, se f é uma função que dá a altura da bola em metros no

instante t, o Teorema de Rolle nos garante que em algum momento a velocidade da bola se anula, pois:

f(t₀)=f(t₁)= 2, onde t₀ é o instante de tempo inicial e t₁ o instante de tempo final onde a altura mede 2m.  

Como a função altura é contínua e diferencial, existe c em (t₀, t₁) tal que f’(c)=0.  

2m   f(c)  

Exemplo:

Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

a)  f é contínua no intervalo [a,b]

b)  f é diferenciável no intervalo (a,b) c)  f(a) = f(b)

Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.

Demonstre que a equação x3 _{+ x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.}

Temos que f(0) = -1 < 0 e f(1) = 1 > 0.

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua, existe um número c entre 0 e 1 tal que f(c) = 0. Logo, f tem pelo menos uma raiz real.   Suponha agora que f tem duas raízes reais. Então f(a) = f(b) = 0.  

f é derivável e contínua em todo ponto, pois é polinômio. Logo, pelo Teorema de Rolle, existe c entre a e b tal que f’(c) = 0.  

f

(c) =

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

ou

A = (a, f (a))

B = (b, f (b))

P = (c, f (c))

f

(c) =

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

f

(c) =

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

ou

Prova:

Equação da reta por A e B:  

Considere a funcão h(x) que dá a diferença entre f e a função linear cujo gráfico é a secante que por A e B.

y

_{− f(a) =}

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

(x

− a),

m

=

f (b)

_{− f(a)}

b

_{− a}

y = f (a) +

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

(x

− a),

f

(c) =

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

ou

y = f (a) +

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

(x

− a),

Pelo Teorema de Rolle, existe c em (a,b) tal que h’(c) = 0  

0 = h

(c) = f

(c)

₋

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

� f

_{(c) =}

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

h

(x) = f

(x)

₋

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

.

Exemplo: Se um objeto se move em linha reta com função posição s = f(t), então a

velocidade média entre t = a e t = b é

Pelo Teorema do Valor Médio, em algum instante t = c entre a e b, temos  

v

=

f (b)

_{− f(a)}

b

_{− a}

Mas f’(c) é a velocidade instantânea do objeto quando t = c.  

Logo, o Teorema do Valor Médio nos diz que em algum momento entre a e b a velocidade instantânea é igual a velocidade média.  

f

(c) =

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

= v

Por exemplo, se um carro percorre 180 km em duas horas, sua velocidade média é de 90 km/h. Logo, em algum instante nessas duas horas, o velocímetro marcou 90 km/h.  

Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f

(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte? Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos:  

f

(c) =

f (2)

− f(0)

2

_{− 0}

=

f (2) + 3

2

f (2) + 3

2

≤ 5

f (2) + 3

_{≤ 10}

f (2)

_{≤ 7}

Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f

(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte? Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos:  

f

(c) =

f (2)

− f(0)

2

_{− 0}

=

f (2) + 3

2

f (2) + 3

2

≤ 5

f (2) + 3

_{≤ 10}

f (2)

_{≤ 7}

f’(c) = 0 = f(b) – f(a)   f(b) = f(a)  

Podemos, analogamente, tomar b < a e chegar a mesma conclusão de que f(b) = f(a).   Logo, f(x) = f(a) para todo x, e f é constante.  

Corolário: Se f’(x) = g’(x) para todo x em um intervalo aberto (a,b) então f – g é

constante em (a, b), isto é, f(x) = g(x) + c, onde c é uma constante.

Seja F(x) = f(x) – g(x).   F’(x) = f’(x) – g'(x)  

Como f’(x) = g’(x) em (a,b) , F’(x) = 0  

Pelo corolário anterior, F é constante em (a,b).  

Exemplo: Demonstre que arctg(x) + arccotg(x) = π/2.

Seja F(x) = arctg(x) + arccotg(x).  

F

(x) =

1

1 + x

−

1

1 + x

= 0

Pelo corolário, F é constante. Resta mostrar que essa constante vale π/2. Basta tomar um valor qualquer de x, por exemplo, x=1:  

F(1) = arctg(1) + arccotg(1) = π/4 + π/4 = π/2.   Logo, arctg(x) + arccotg(x) = F(x) = F(1) = π/2.  

Exercício: Mostre que se x > 0.

Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio…  

√

1 + x < 1 +

1

2

x

f (x) =

√

1 + x

f

(x) =

1

2

√

1 + x

f

(x) <

1

2

Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0, podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em (a, b) tal que  

f

(c) =

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

<

1

2

√

1 + b

₋

√

1 + a

b

_{− a}

<

1

2

Exercício: Mostre que se x > 0.

Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio…  

√

1 + x < 1 +

1

2

x

f (x) =

√

1 + x

f

(x) =

1

2

√

1 + x

f

(x) <

1

2

Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0, podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em (a, b) tal que  

f

(c) =

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

<

1

2

√

1 + b

₋

√

1 + a

b

_{− a}

<

1

2

√

1 + b

₋

√

1 + a <

1

2

(b

− a)

Para chegar próximo da expressão desejada, façamos b = x:  

√

1 + x

₋

√

1 + a <

1

2

x

−

1

2

a

√

1 + x <

√

1 + a +

1

2

x

−

1

2

a

√

1 + x < 1 +

1

2

x

Exercício: Encontre o número c que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio na função

f (x) = e

,

f

(x) = e

_·

d

dx

[

−2x] = −2 · e

f (0) = e

= e

= 1

f (3) = e

= e

=

e

− 1

3

_{− 0}

f

(c) =

_{−2 · e}

−2 · e

= f

(c) =

f (b)

− f(a)

b

_{− a}

log

�

e

�

= log

�

1

_{− e}

6

�

c =

₋

1

2

log

�

1

6

(1

− e

₎

�

Exercício: Suponha que para todo x. Mostre que

Solução:  

3

_{≤ f}

(x)

_{≤ 5}

18

_{≤ f(8) − f(2) ≤ 30.}

Vamos aplicar o Teorema do Valor no intervalo (2,8).  

f

(c) =

f (8)

− f(2)

8

_{− 2}

=

f (8)

_{− f(2)}

6

3

_{≤ f}

(c)

_{≤ 5}

3

_≤

f (8)

− f(2)

6

≤ 5

18

_{≤ f(8) − f(2) ≤ 30}