Capítulo
UNIDADE E
Análise dimensional
21
E
m Mecânica, qualquer grandeza pode ser
expres-sa em função de três grandezas fundamentais:
massa (M), comprimento (L) e tempo (T), elevadas a
determinados expoentes. Além dessas grandezas,
te-mos ainda a temperatura (J), a intensidade de
corren-te elétrica (I), a quantidade de matéria (N) e a incorren-tensi-
intensi-dade luminosa (J). Qualquer grandeza física pode ser
expressa em função das grandezas fundamentais.
Por meio da análise
dimensional verificam-se as
possíveis relações entre as
grandezas envolvidas num
determinado fenômeno.
Além disso, estabelecida
experimentalmente uma
fórmula matemática, que traduz
uma dada lei física, a análise
dimensional permite-nos
constatar a coerência dessa
fórmula: deve existir identidade
entre as equações dimensionais
dos dois membros.
A análise dimensional permite que
se faça a previsão de fórmulas
que sintetizam as relações entre
grandezas que fazem parte de um
fenômeno físico.
21.1
As grandezas
fundamentais da Física
Em Física, além das grandezas
fundamentais da Mecânica —
massa, comprimento e tempo —,
temos outras grandezas fundamentais,
como temperatura, intensidade de
corrente elétrica, quantidade de
matéria e intensidade luminosa. A
partir dessas grandezas, podemos
expressar todas as demais
grandezas físicas.
21.2
Equações físicas.
Teorema de Bridgman
A grandeza física G, que depende
de outras grandezas físicas
independentes (A, B, C ...), pode ser
expressa como sendo o produto de
uma constante adimensional K pelas
potências das grandezas A, B, C...
498
Unidade E • Análise dimensional498
Repr odução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fever
eir o de 1998.
Objetivo
Analisar equações
dimensionais de
grandezas estudadas no
curso de Física.
Termos e conceitos
• grandezas
fundamentais
Seção 21.1
1
Grandezas fundamentais da Mecânica
Em Mecânica, adotamos como
grandezas fundamentais a massa, o
comprimento e o tempo, que são representados, respectivamente, por
M, L e T. Qualquer outra grandeza G da Mecânica pode ser expressa em
função de M, L e T, elevados a expoentes a, d e D convenientes. Desse
modo, obtemos a
equação dimensional de G, que é indicada por [G] e
dada por:
[G] M
aL
dT
DOs expoentes
a, d e D são as dimensões da grandeza G em relação a
M, L e T, respectivamente.
Exemplos de equações dimensionais
•
velocidade
v
___Ss
St
] [v]
[Ss]
_____[St]
L
__T
] [v] M
0LT
21•
aceleração
a
___Sv
St
] [a]
[Sv]
_____[St]
M
0LT
21 _______T
] [a] M
0LT
22•
força
F ma ] [F] [m] 3 [a] M 3 LT
22] [F ] MLT
22•
trabalho (ou energia)
D Fd ] [D] [F] 3 [d] MLT
223 L ] [D] ML
2T
22•
potência
Pot
D
___St
] [Pot]
[
D]
____[St]
ML
2T
22 _______T
] [Pot] ML
2T
23•
impulso
I F 3 St ] [I] [F] 3 [St] MLT
223 T ] [I] MLT
21•
quantidade de movimento
Q mv ] [Q] [m] 3 [v] M 3
__L
T
] [Q] MLT
21•
pressão
p
__F
A
] [p]
[F]
___[A]
MLT
22 ______L
2] [p] ML
21T
22•
densidade
d
__m
v
] [d]
[m]
____[v]
M
___L
3] [d] ML
23T
0As grandezas fundamentais
da Física
ExErcícIos rEsolvIDos
Capítulo 21
• Análise dimensional
Repr
odução pr
oibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fever
eir
o de 1998.
2
Outras grandezas fundamentais
Em Física, além das grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T),
te-mos ainda outras grandezas fundamentais, como a temperatura (J), a intensidade da corrente
elétrica (I), a quantidade de matéria (N) e a intensidade luminosa (J).
Exemplos de outras equações dimensionais
•
quantidade de calor
[Q] [
D] ML
2T
22•
capacidade térmica
C
___Q
SJ
] [C]
[Q]
_____[SJ]
ML
2T
22 _______J
] [C] ML
2T
22J
21c
__C
m
] [c]
[C]
____[m]
ML
2T
22J
21 __________M
] [c] M
0L
2T
22J
21•
calor específico
•
constante universal dos gases perfeitos
R
___pV
nT
] [R]
[p] 3 [V]
________[n] 3 [T]
ML
21T
223 L
3 ____________N 3 J
] [R] ML
2T
22N
21J
21•
carga elétrica
Sq i 3 St ] [Sq] [i] 3 [St] l 3 M
0L
0T
] [Sq] M
0L
0Tl
•
tensão elétrica
U
D
__q
] [U]
[
D]
___[q]
ML
2T
22 _______M
0L
0Tl
] [U] ML
2T
23l
21•
resistência elétrica
r
U
__i
] [r]
[U]
___[i]
ML
2T
23l
21 _________l
] [r] ML
2T
23l
22R. 163 Adote como fundamentais as grandezas: massa (M), comprimento (L) e tempo (T). Escreva a
equação di men sio nal da:
a) frequência;
b) constante elástica de uma mola.
b) De Fel. kx (lei de Hooke), temos: k
Fel. ___ x ] [k] [Fel.] ____ [x] ] [k] MLT 22 ______ L ] [k] ML 0T22 Resposta: a) [ f ] M0L0T21; b) [k] ML0T22
ExErcícIos rEsolvIDos
Solução:a) A frequência f é o inverso do período: f 1 __
t ] [ f ] 1 ___ [t] ] [ f ] M
500
Unidade E • Análise dimensional500
Repr odução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fever
eir
o de 1998.
P. 427 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (J).
Determine a equação dimensional:
a) da velocidade angular; b) do momento de uma força;
c) do coeficiente de condutibilidade térmica.
P. 428 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e intensidade de
cor rente (I). Determine a equação dimensional:
a) do campo de indução magnética; b) da permeabilidade magnética do meio; c) do fluxo magnético.
P. 429 Na fórmula Ep(el.) kx 2
____
2 , temos que Ep(el.) representa energia e x, um comprimento. Qual a
equa-ção dimensional de k em relaequa-ção às grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T)?
ExErcícIos propostos
R. 166 Na fórmula E hf, temos que E representa a energia e f a frequência. Qual a equação dimensional
de h em relação às grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T)?
Resposta: [h] ML2T21 Solução: De E hf, temos: h EW ____ f ] [h] [E] ___ [ f ] ] [h] ML 2T22 _______ T21 ] [h] ML 2T21
R. 165 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e intensidade de
corrente (I). Escreva a equação dimensional:
a) do campo elétrico; b) da capacitância. b) De C __ Q U , temos: Resposta: a) [E] MLT23I21; b) [C] M21L22T4I2 Solução:
a) Sendo Fe qE, resulta:
[C] [Q]___ [U] ] [C] __________ ML2TI T23I21 ] [C] M 21L22T4I2 E __ Fe q ] [E] [Fe] ____ [q] ] [E] MLT 22 ______ TI ] [E] MLT 23I21 b) De SL a 3 L0 3 SJ, temos: Resposta: a) [LF] M0L2T22; b) [a] M0L0T0J21 Solução: a) De Q m 3 LF, temos:
R. 164 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (J).
Escreva a equação dimensional do:
a) calor latente de fusão; b) coeficiente de dilatação linear.
a _______ SL L0 3 SJ ] [a] _________ [SL] [L0] 3 [SJ] ] [a] L _____ L 3 J ] [a] M 0L0TJ21 LF Q __ m ] [LF] [Q] ____ [m] ] [LF] ML 2T22 _______ M ] [LF] M0L2T22
Capítulo 21
• Análise dimensional
Repr
odução pr
oibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fever
eir o de 1998.
Objetivos
Compreender a
homogeneidade das
equações físicas.
Utilizar o teorema de
Bridgman para fazer
previsão de fórmulas.
Seção 21.2
1
Homogeneidade das equações físicas
Considere uma equação envolvendo três grandezas físicas, A, B e C,
dada por:
A
B C
Note que a soma de B com C só é possível se B e C tiverem as mesmas
dimensões, e a soma A obtida também. Portanto, os dois membros da
equação A B C devem ter as mesmas dimensões. Trata-se da
homo-geneidade das equações físicas.
Exemplo:
Considere a equação s s
0 vt. A dimensão de s, assim como a de s
0,
em relação a L, é 1. Logo, a dimensão de vt, em relação a L, também deve
ser 1. De fato:
[vt] [v] 3 [t] LT
213 T ] [vt] L
Assim, s, s
0e vt têm mesma dimensão em relação a L e seus valores
deverão ser expressos numa mesma unidade, como o metro.
Na tabela abaixo, apresentamos as sete unidades fundamentais do
Sistema Internacional.
Unidade
Símbolo
Grandeza
metro m comprimento (L) quilograma kg massa (M) segundo s tempo (T)
ampère A intensidade da corrente elétrica (I) kelvin K temperatura termodinâmica (J) mol mol quantidade de matéria (N) candela cd intensidade luminosa (J)
Considere, por exemplo, a equação dimensional de força: [F] MLT
22.
No Sistema Internacional, a unidade de força é kg 3 m 3 s
22, que recebe
o nome de newton (N).
Equações físicas.
Teorema de Bridgman
Percy Williams Bridgman (1882-1961), físico norte- -americano que recebeu o prêmio Nobel em 1946 por seus estudos em Física de altas pressões.
502
Unidade E • Análise dimensional502
Repr odução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fever
eir
o de 1998.
A determinação dos expoentes a, d, D, ... é feita por meio da análise dimensional. Porém, a
constante K não pode ser determinada por análise dimensional, e sim por meio de experiências
ou de considerações teó ricas.
Exemplo:
Realizando experiências, um aluno descobre que o período de oscilação t de um pêndulo
depende da massa m da esfera pendular, do comprimento c do pêndulo e da aceleração local g
da gravidade. Supondo que t seja dado por t K 3 m
a3 c
d3 g
D, em que K é uma constante
adi-mensional, podemos determinar a, d e D.
Dados: [t] M
0L
0T;
[m] ML
0T
0;
[c] M
0LT
0;
[g] M
0LT
22Substituindo as expressões de [t], [m], [c] e [g] na equação [t] [m]
a3 [c]
d3 [g]
D, temos:
Identificando os expoentes, temos:
a 0, d D 0 e 22D 1
Logo:
a 0, D 2
__1
2
e
d
1
__2
Assim, temos:
A equação mostra que o período não depende da massa da esfera pendular. A constante K
pode ser determinada por meio de considerações teóricas, encontrando-se K
2s. Desse
modo, temos:
t
2s 3
d
ll__
c
g
ExErcícIos rEsolvIDos
G
K 3 A
a3 B
d3 C
D3 ...
2
Previsão de fórmulas. Teorema de Bridgman
Vamos supor que um cientista descobre, realizando experiências, que uma grandeza física G
depende de outras grandezas físicas A, B, C..., independentes entre si.
O
teorema de Bridgman afirma que a grandeza G pode ser expressa como sendo o produto
de uma constante adimensional K pelas potências das grandezas A, B, C...
Nessas condições, temos:
M
0L
0T (ML
0T
0)
a3 (M
0LT
0)
d3 (M
0LT
22)
D]
] M
0L
0T M
aL
d DT
22Dt
K 3 m
a3 c
d3 g
D]
] t K 3 m
03 c
__ 1 23 g
2 __ 21] t K 3
d
ll__
c
g
Capítulo 21
• Análise dimensional
Repr
odução pr
oibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fever
eir
o de 1998.
R. 170 Um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k realiza um movimento
har-mônico simples. O período t do MHS é dado por t C 3 ma 3 kd, em que C 2s é uma constante
adimensional. Determine os expoentes a e d e escreva a fórmula do período.
Identificando os expoentes, temos: a d 0 22d 1 Logo: d 2 1 __
2 e a 1 __ 2
A fórmula do período será: t C 3 ma 3 kd ] t 2s 3 m 1 __
2 3 k 2 1 __ 2 ] t 2s 3
d
lll m __ k Resposta: a 1 __ 2 ; d 2 1 __ 2 e t 2s 3d
lll m __ kR. 167 Verifique a homogeneidade das equações abaixo, isto é, prove que o primeiro membro e o
se-gundo têm as mesmas dimensões para cada equação.
a) s at___ 2
2 , em que s: espaço; a: aceleração e t: tempo
b) Pot U 3 i, em que Pot: potência; U: tensão elétrica e i: intensidade da corrente elétrica
ExErcícIos rEsolvIDos
Solução:
a) [s] M0LT0
[at2] [a] 3 [t2] [a] 3 [t] 3 [t] M0LT22 3 T 3 T M0LT22 3 T2 M0LT0
b) [Pot] ML2T23
[Ui] [U ] 3 [i] ML2T23I21 3 I ML2T23
R. 168 Num movimento oscilatório, a abscissa x da partícula varia com o tempo t de acordo com a fórmula
x a b 3 cos (ct). Quais são as unidades, no Sistema Internacional, de x, t e dos parâmetros a, b e c?
Solução:
A unidade de x é o metro (m). Logo, as unidades de a e b são também o metro. Observe que o cosseno é adimensional.
O produto ct é também adimensional. Logo, a unidade de c é o inverso da unidade de t, que é o segundo (s). Assim, a unidade de c é o inverso do segundo: s21.
Resposta: x, a e b: metro (m); t: segundo (s); c: inverso do segundo (s21)
Solução:
De t C 3 ma 3 kd, temos:
[t] [m]a 3 [k]d 3 M0L0T Ma 3 (MT22)d ] M0L0T Ma dL0T22d
R. 169 A velocidade v de propagação de um certo fenômeno ondulatório é dada por v da 3 pd, em que d
é uma densidade e p uma pressão. Determine os expoentes a e d.
Identificando os expoentes, temos:
a d 0 23a 2 d 1 22d 21 Resolvendo o sistema, obtemos: d 1 __
2 e a 2 1 __ 2 Resposta: a 2 1 __ 2 e d 1 __ 2 Solução: De v da 3 pd, temos: [v] [d]a 3 [p]d ] M0LT21 (ML23)a 3 (ML21T22)d ] M0LT21 Ma d L23a 2 d T22d
504
Unidade E • Análise dimensional504
Repr odução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fever
eir
o de 1998.
tEstEs propostos
P. 437 (Inatel-MG) Leia com atenção o seguinte trecho extraído do livro Pensando a Física, do prof. Mário
Schenberg:
“Há na Física uma coisa muito misteriosa que é o chamado comprimento de Planck. É muito curioso saber que quando Planck descobriu a constante h, percebeu que, com a constante h, com a constante gravitacional (G) e com a velocidade da luz (c), podia-se formar um comprimento. Esse comprimento é extremamente pequeno, na ordem de 10233 cm. Hoje se compreende que esse
comprimento deve ser importante para a compreensão da origem do universo. Esse número deve estar ligado ao que há de mais fundamental na Física.”
Responda agora à seguinte questão:
Qual é a possível combinação das constantes h, G e c que forma o comprimento de Planck, de acordo com o texto acima?
São dados os seguintes valores no Sistema Internacional (SI):
h 6,63 3 10234 J 3 s G 6,67 3 10211 N 3 m_______ 2
kg2 c 3 3 10 8 m/s
P. 434 (EEM-SP) As equações dimensionais das grandezas em Mecânica são do tipo:
[G] [M]a 3 [L]d 3 [T]D
onde G é uma grandeza qualquer e M, L e T são as grandezas fundamentais.
a) Quais são as grandezas M, L e T, e quais são suas unidades no SI?
b) Como se chamam os expoentes a, d e D, e que valores têm quando G é uma potência
me-cânica?
P. 435 (Vunesp) Num determinado processo físico, a quantidade de calor Q transferida por convecção
é dada por:
Q h 3 A 3 ST 3 St
onde h é uma constante, Q é expresso em joules (J), A em metros quadrados (m2), ST em kelvins (K)
e St em segundos (s), que são unidades do Sistema Internacional (SI).
a) Expresse a unidade da grandeza h em termos das unidades do SI que aparecem no enunciado. b) Expresse a unidade de h usando apenas as unidades kg, s e K, que pertencem ao conjunto
das unidades de base do SI.
P. 436 (IME-RJ) Suponha que o módulo da velocidade v de propagação de uma onda sonora dependa
somen te da pressão p e da massa específica do meio j, de acordo com a fórmula v px 3 jy.
Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale 1.
ExErcícIos propostos DE rEcApItUlAção
P. 430 Verifique a homogeneidade das equações abaixo, isto é, prove que as dimensões do primeiro
membro são iguais às do segundo em cada equação.
a) v2 2aSs, em que v: velocidade; a: aceleração e Ss: variação de espaço
b) U Ed, em que U: tensão elétrica; E: campo elétrico e d: distância
P. 431 Considere a equação x a bt ct2 dt3, em que x e t são, respectivamente, comprimento e
tempo. Expresse os parâmetros a, b, c e d em função de M, L e T.
P. 432 A aceleração a de um móvel é dada por a va 3 hd, em que v é a velocidade linear e h a velocidade
angular. Determine os expoentes a e d.
P. 433 A velocidade v de um satélite rasante à Terra é dada por v ga 3 Rd, em que g é a aceleração da
gravidade nas vizinhanças da Terra e R é o raio da Terra. Determine os valores de a e d, e escreva a fórmula da velocidade v do satélite.
Capítulo 21
• Análise dimensional
Repr
odução pr
oibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fever
eir
o de 1998.
T. 488 (PUC-PR) Representando o comprimento por L,
a massa por M e o tempo por T, as dimensionais LMT22, L2MT23 e L21MT22 representam,
respectiva-mente:
a) o trabalho, a força e a massa específica. b) a potência, a aceleração e a pressão. c) a força, a potência e a pressão.
d) o peso específico, a aceleração e a potência. e) a tensão, a potência e a energia.
T. 490 (Fuvest-SP) No Sistema Internacional de Unidades (SI),
as sete unidades de base são o metro (m), o quilo-grama (kg), o segundo (s), o kelvin (K), o ampère (A), a candela (cd) e o mol (mol). A lei de Coulomb da eletrostática pode ser expressa pela fórmula:
F 1 _____
4s0
3 Q _____ 1Q 2
r2
onde 0 é uma constante fundamental da Física e
sua unidade, em função das unidades de base do SI, é:
a) m22 3 s2 3 A2 d) m 3 kg 3 s22
b) m23 3 kg21 3 A2 e) adimensional
c) m23 3 kg21 3 s4 3 A2
T. 491 Considere a equação dimensionalmente
homogê-nea x at2 2 bt3, em que x e t são, respectivamente,
comprimento e tempo. Então, as expressões de a e b em função de M, L e T são, respectivamente:
a) M0 L T e M0 L T21
b) M0 L2 T3 e M0 L22 T23
c) M0 L T22 e M0 L T23
d) M0 L22 T e M0 L0 T23
e) M0 L2 T3 e M0 L T23
T. 492 (UFRGS-RS) Ao resolver um problema de Física,
um estudante encontra sua resposta expressa nas seguintes unidades: kg 3 m2/s3. Essas unidades
representam: a) força b) energia c) potência d) pressão e) quantidade de movimento
T. 494 (Fuvest-SP) Um estudante está prestando vestibular
e não se lembra da fórmula correta que relacio na a velocidade v de propagação do som com a pres-são p e a massa específica G (kg/m3) num gás. No
entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo
va Cp d
____
G , onde C é uma constante adimensional. Analisando as dimensões (unidades) das diferen-tes grandezas físicas, ele concluiu que os valores corretos dos expoentes a e d são:
a) a 1 e d 2 b) a 1 e d 1 c) a 2 e d 1 d) a 2 e d 2 e) a 3 e d 2
T. 489 (ITA-SP) A força de gravitação entre dois corpos é
dada por F G m______ 1m2
r2 . A expressão da constante de
gravitação G em função de M, L e T é, então:
a) L3M21T22 d) L2M21T21
b) L3MT22 e) nenhuma
c) LM21T2
T. 493 (ITA-SP) A velocidade de uma onda transversal em
uma corda depende da tensão F a que está sujeita a corda, da massa m e do comprimento d da corda. Fazendo uma análise dimensional, concluímos que a velocidade poderia ser dada por:
a) F ____ md b)
