Teste Qui-quadrado. Comparando proporções Verificando a hipótese de associação entre variáveis qualitativas

Teste Qui-quadrado

Comparando proporções

Verificando a hipótese de

Exemplo Inicial: Igualdade de Proporções

A administração de um hospital deseja verificar se luvas de três marcas

(A, B e C) são homogêneas quanto à permeabilidade a vírus.

Para isto, realizou um experimento, no qual 240 luvas da marca A,

240 luvas da marca B e 300 luvas da marca C foram submetidas à

tensão.

Durante os testes, 151 luvas da marca A (62.9%), 134 luvas da marca B

(55.8%) e 177 luvas da marca C (40.0%) deixaram passar vírus quando

submetidas à tensão.

Os dados do experimento apresentam evidências estatísticas suficientes contra a hipótese de que as três marcas possuem a mesma permeabilidade?

H₀: P_A = P_B = P_C = P

Teste de Igualdade de Proporções

(mais de uma população)

Tabela de valores observados

780 318 462 Total 300 123 177 C 240 106 134 B 240 89 151 A Não Sim Total Deixou passar vírus quando

submetida à tensão? Marca da

luva

Construção do Teste

780 318 462 Total 300 123 177 C 240 106 134 B 240 89 151 A Não Sim Total Deixou passar vírus quando submetida

à tensão? Marca da

luva

H₀: P_A = P_B = P_C = P

H_a: ao menos uma das permeabilidades é diferente das outras

462

ˆ

780

Construção do Teste

780 318 462 Total 300 123... 177... C 240 106... 134... B 240 89... 151 ... A Não Sim Total Deixou passar vírus quando submetida à tensão?

Marca da luva

Se H₀ (P_A = P_B = P_C = P) é verdadeira:

quantas luvas que deixam passar o vírus deveríamos esperar dentre as luvas da marca A ?

E dentre as luvas da marca B ?

E da marca C ?

462

ˆ

780

P =

(240x462/780=142.15) (240x462/780=142.15) (300x462/780=177.70) (240-142.15=97.85) (240-142.15=97.85) (300-177.70=122.30)

Construção do Teste

Note que os valores esperados sob H₀ são calculados como uma função simples dos totais de linha, coluna e do total geral

(240x462/780=142.15) (240x462/780=142.15) (300x462/780=177.70) (240x318/780=97.85) (240x318/780=97.85) (300x318/780=122.30)

(total de linha)

(total de coluna)

Valor Esperado da casela

(total geral)

×

=

780 318 462 Total 300 123... 177... C 240 106... 134... B 240 89... 151 ... A Não Sim Total Deixou passar vírus quando submetida à tensão?

Marca da luva

Construção do Teste

780 318 462 Total 300 123 (122.30) 177 (177.70) C 240 106 (97.85) 134 (142.15) B 240 89 (97.85) 151 (142.15) A Não Sim Total Deixou passar vírus quando submetida à

tensão? Marca da

luva

Tabela de Valores Observados (esperados sob H₀ entre parênteses)

Construção do Teste

Tabela de Valores Observados (esperados sob H₀ entre parênteses)

Estatística de Teste = (151-142.15) (89-97.85)

(134-142.15) (106-97.85)

(177-177.70) (123-122.30)

2 2 2 2 2 ₂ 780 318 462 Total 300 123 (122.30) 177 (177.70) C 240 106 (97.85) 134 (142.15) B 240 89 (97.85) 151 (142.15) A Não Sim Total Deixou passar vírus quando submetida à

tensão? Marca da

Construção do Teste

Tabela de Valores Observados (esperados sob H₀ entre parênteses)

2 2 2 2 2 2

(151-142.15)

(89-97.85)

(134-142.15)

Estatística de Teste =

142.15

97.85

142.15

(106-97.85)

(177-177.70)

(123-122.30)

97.85

177.70

122.30

+

+

+

+

+

2

X

=

2.50

780 318 462 Total 300 123 (122.30) 177 (177.70) C 240 106 (97.85) 134 (142.15) B 240 89 (97.85) 151 (142.15) A Não Sim Total Deixou passar vírus quando submetida à

tensão? Marca da

Valores críticos para X

2

O valor de

X

2

é “grande” ou “pequeno” ?

5 g.l.

10 g.l.

0

Valores de Referência para X2 _{ Distribuição de Probabilidade de X}2

Distribuição

Qui-quadrado

2

gl

Graus de Liberdade para o Teste Qui-Quadrado

No caso do teste Qui-quadrado, os

graus de liberdade

da

distribuição de referência equivalem ao

número de caselas livres na tabela

Exemplo: Tabela 2 x 2 480 195 285 Total 240 106 134 B 240 89 151 A Não Sim Total Deixou passar vírus quando

submetida à tensão? Marca da

luva

Voltando ao exemplo inicial ….

Tabela 3 x 2  G.l. = (3-1) x (2-1) = 2 x 1 = 2

O valor da estatística

X

2 deve ser comparado aos valores de distribuição Qui-quadrado com 2 graus de liberdade.

Se

α

= 0.05,

RR :

X

2 >

χ

2_{0.05 ; 2}

Percentil que deixa uma área de

α=0.05

acima dele na distribuição Qui-quadrado com 2 graus de liberdade (linha 2 , coluna do 0.05)

2 ;gl

α

χ

Voltando ao exemplo inicial ….

O valor da estatística observado de

X

2 foi 2.50.

Como esse valor não pertence à região de valores críticos do teste qui-quadrado, a distância entre os valores observados e os valores esperados sob H₀ foi considerada pequena.

Assim, o experimento não mostrou evidências estatísticas

suficientes para a rejeição da hipótese de que as permeabilidades das luvas das três marcas sejam iguais, a 5% de significância.

Se rejeitarmos a hipótese da homogeneidade das

permeabilidades usando os dados deste

experimento ….

Valor P = P[ obter um valor de

X

2 ainda “mais extremo” do que o valor observado ] X2 obs Valor P Valor P = P[

χ

2_gl

> X

2 obs]

Voltando ao exemplo inicial ….

Na linha 2 da Tabela Qui-quadrado, não existe o valor 2.50. Valor P = P[

χ

2_gl

> 2.50

]

2.50

Valor P = P[

χ

2_gl

> 2.50

] > 0.10

Conclusão: Os dados do experimento não mostraram evidências

estatísticas suficientes para a rejeição da hipótese de que as

Teste Qui-quadrado para homogeneidade de proporções

H₀: As proporções de sucesso são homogêneas para todas as populações

H_a: Ao menos uma população tem proporção de sucesso diferente das demais

2 2 1

(

)

c N i i obs i _i

O

E

X

E

=

−

=

∑

Onde :

N

_c é o número total de caselas da tabela

O

_i é o valor observado na casela i, i=1,2,…,

N

_c

E

_i é o valor esperado na casela i.

(total de linha)

(total de coluna)

(total geral)

i

E

=

×

Estatística X

2

_{simplificada para o caso da Tabela 2x2}

480

N

195

(b+d)

285

(a+c)

Total 240

(c+d)

106

d

134

c

B 240

(a+b)

89

b

151

a

A Não Sim Total Deixou passar vírus quando submetida

à tensão? Marca da luva

X

N ad

bc

a

b a

c b

d c

d

2 2

=

−

+

+

+

+

(

)

(

)(

)(

)(

)

Resolvendo o exemplo apenas com luvas A e B ….

480

N

195

(b+d)

285

(a+c)

Total 240

(c+d)

106

d

134

c

B 240

(a+b)

89

b

151

a

A Não Sim Total Deixou passar vírus quando submetida

à tensão? Marca da luva 2 2

480(151 106 89 134)

2.49

(240)(285)(195)(240)

X

=

⋅

−

⋅

=

Teste Qui-quadrado de independência

N Total A_n A₃ A₂ A₁ B_m .... B₂ B₁ Total Variável B Variável A

Um número arbitrário N de indivíduos são classificados segundo

duas variáveis qualitativas (variável A e variável B)

Exemplo:

associação entre grupo sanguíneo e

presença de uma característica de interesse

200 144 56 Total 73 64 9 O 21 14 7 AB 27 19 8 B 79 47 32 A Ausente Presente Total Característica Grupo Sangüíneo

Tabela de Classificação Cruzada

H

₀

:

Variável A não está associada à Variável B

(A e B são independentes)

H

_A

:

Variável A está associada à Variável B

(A e B não são independentes)

2 2 1

(

)

c N i i obs i _i

O

E

X

E

=

−

=

∑

Onde :

N

_c é o número total de caselas da tabela

O

_i é o valor observado na casela i, i=1,2,…,

N

_c

E

_i é o valor esperado na casela i.

(total de linha)

(total de coluna)

(total geral)

i

E

=

×

“Associação entre toxoplasmose e acidente de

trânsito em pessoas com sangue Rh negativo”

H

₀

:

acidente automobilístico NÃO está associado à

presença de toxoplasmose em pessoas com Rh negativo

H

_A

:

acidente automobilístico está associado à

presença de toxoplasmose em pessoas com Rh negativo

721 25 696 Total 181 11 170 Sim 540 14 526 Não Sim Não Total Acidente ? Toxoplasma 2 2

721(526 11 14 170)

4.92

(181)(696)(25)(540)

X

=

⋅

−

⋅

=

Valor P = P[

χ

2₁

> 4.92

]

(0.025 < Valor P < 0.05)

4.92

Ao nível de 5% de significância, há evidências estatísticas

suficientes a favor da hipótese de associação entre acidente

automobilístico e presença de toxoplasmose em pessoas com

sangue Rh negativo (0.025 < Valor P < 0.05).

“Associação entre toxoplasmose e acidente de

trânsito em pessoas com sangue Rh positivo”

“Increased incidence of traffic accidents in Toxoplasma-infected military drivers and protective effect RhD molecule revealed by a large-scale prospective cohort study”

H

₀

:

acidente automobilístico NÃO está associado à

presença de toxoplasmose em pessoas com Rh positivo

H

_A

:

acidente automobilístico está associado à

presença de toxoplasmose em pessoas com Rh positivo

3169 86 3083 Total 709 17 692 Sim 2460 69 2391 Não Sim Não Total Acidente ? Toxoplasma 2 2

3169(2391 17 69 692)

0.21

(2460)(709)(3083)(86)

X

=

⋅

−

⋅

=

Valor P = P[

χ

2₁

> 0.21]

(0.10 < Valor P < 0.90)

0.21

Para pessoas com sangue Rh positivo, os dados amostrais não

fornecem evidências estatísticas suficientes contra a hipótese

de independência entre acidente automobilístico e presença de

toxoplasmose (Valor P > 0.10).

Associação entre variáveis qualitativas

Amostras Dependentes

Exemplo inicial

Em um estudo sobre tipos sanguíneos de casais, gostaria-se

de verificar se existe associação entre o fator Rh do sangue

das esposas e dos esposos.

Para isto, 100 casais foram classificados quanto ao fator Rh

dos esposos e das esposas.

100

r+b

a+s

Total

s+b

b

s

Rh-a+r

r

a

Rh+ Rh -Rh+ Total Esposo Esposa

Teste Qui-quadrado de McNemar

(

)

2 2

|

| 1

(

)

McNemar

r

s

X

r

s

−

−

=

+

100 r+b a+s Total s+b b s Rh-a+r r a Rh+ Rh -Rh+ Total Esposo Esposa

Número de pares discordantes: r e s

Número de pares concordantes: a e b

H₀: não há associação entre o fator Rh dos membros do casal H_a: não há associação entre o fator Rh dos membros do casal

tem distribuição 2

1

100 40 60 Total 40 40 0 Rh-60 0 60 Rh+ Rh -Rh+ Total Esposo Esposa

Associação Positiva Perfeita

(

)

2 2

| 0

0 | 1

1

(0

0)

0

McNemar

X

=

−

−

=

 

=

→ ∞

+

Valor P = P[

χ

₁2

>

_∞

]

= 0

Conclusão: rejeitar a hipótese de independência entre o

fator Rh dos casais

Valor P = P[

χ

₁2

>

0.0208

]

> 0.95

100 40 60 Total 40 16 24 Rh-60 24 36 Rh+ Rh -Rh+ Total Esposo Esposa

Não Associação Perfeita

(

)

2 2

| 24

24 | 1

1

0.0208

(24

24)

48

McNemar

X

=

−

−

=

=

+

Conclusão: não rejeitar a hipótese de independência entre o

fator Rh dos casais

Amostras Dependentes

144 119 25 Total 98 82 16 Não-Diabético 46 37 9 Diabético Nao-Diabético Diabético Total Com Infarto Sem infarto

Um estudo investiga a associação entre infarto do miocárdio e a

presença de diabetes entre os índios navajos americanos

(Coulehan et al, 1986)

Índios com episódios de infarto do miocárdio foram

emparelhados com índios sem a doença (144 pares). Cada

elemento do par foi investigado quanto à presença de diabetes.

[Coulehan et al,1986]

2

7.55 (valor-p < 0.01)

McNemar

Próxima aula

Como medir a associação entre duas

variáveis qualitativas

Exercícios da

Seção 12

Referências Bibliográficas

Coulehan et al (1986) “Acute Myocardial Infarction Among Navajo

Indians”, 1976-1983, American Journal of Public Health, pp 412-214

Flegr et al. (2009) “Increased incidence of traffic accidents in

Toxoplasma-infected military drivers and protective effect RhD molecule revealed by a large-scale prospective cohort study”, BMC Infectious Diseases, vol. 9, n. 72.

Reis, E. A.; Reis, I.A. (2000) “Exercícios Resolvidos em Introdução

à Bioestatística”, Relatório Técnico do Departamento de