diveconq

(1)

Divis ˜ao e Conquista

Talles Brito Viana

*Apresentação baseada na discussão apresentada em “Algoritmos: Teoria e Prática’ de Thomas H. Cormen

(2)

Bolsa de valores

O problema

Suponha que lhe tenha sido oferecida a oportunidade de investir nas ac¸˜oes de uma empresa X.

O preço da ação empresa X é bastante volátil. Existem algumas restrições importantes:

Você só pode comprar uma única unidade de ação somente uma vez e então vendê-la em data posterior.

As operações de compra e venda só podem ser executadas após o fechamento do pregão do dia.

(3)

Bolsa de valores

O problema

Suponha que lhe tenha sido oferecida a oportunidade de investir nas ac¸˜oes de uma empresa X.

O preço da ação empresa X é bastante volátil. Existem algumas restrições importantes:

Você só pode comprar uma única unidade de ação somente uma vez e então vendê-la em data posterior.

As operações de compra e venda só podem ser executadas após o fechamento do pregão do dia.

(4)

Bolsa de valores

O problema

A meta ´e: maximizar o lucro! Mas como maximizar o lucro?

(5)

Bolsa de valores

O problema

A meta ´e: maximizar o lucro! Mas como maximizar o lucro?

(6)

Bolsa de valores

Exemplo

Solução: Comprar após fechamento do pregão do dia 7 e vender no fechamento do pregão do dia 11.

(7)

Bolsa de valores

Uma soluc¸ ˜ao?

Não faz sentido comprar no fechamento do pregão do dia 1 e vender no fechamento do pregão do dia 7.

(8)

Bolsa de valores

Uma soluc¸ ˜ao?

Bastaria obter o máximo e o m´ınimo? Não faz sentido comprar no fechamento do pregão do dia 1 e vender no fechamento do

(9)

Bolsa de valores

Uma segunda soluc¸ ˜ao?

Uma segunda soluc¸˜ao:

Determine a ação de valor máximo e valor m´ınimo.

Do prec¸o mais alto localize o prec¸o mais baixo anterior (esquerda).

Do prec¸o mais baixo localize o prec¸o mais alto posterior (direita).

(10)

Bolsa de valores

Determine a ação de valor máximo e valor m´ınimo. Do preço mais alto localize o preço mais baixo anterior (esquerda).

(11)

Bolsa de valores

(12)

Bolsa de valores

(13)

Bolsa de valores

(14)

Bolsa de valores

(15)

Bolsa de valores

Funciona neste caso?

O lucro máximo nem sempre começa no preço mais baixo ou termina no preço mais alto.

Comprar após o fechamento do pregão do dia 2 e vender após o fechamento do pregão do dia 3 é a solução.

(16)

Bolsa de valores

Funciona neste caso? O lucro máximo nem sempre começa no preço mais baixo ou termina no preço mais alto.

Comprar após o fechamento do pregão do dia 2 e vender após o fechamento do pregão do dia 3 é a solução.

(17)

Bolsa de valores

Uma transformac¸ ˜ao

Uma transformac¸˜ao para o problema:

Queremos determinar uma sequência de dias a qual a mudança l´ıquida desde o primeiro dia até o último é máxima.

Vamos considerar a alteração (mudança) diária nos preços.

A mudança no dia i é a diferença entre os preços após o

fechamento do pregão no dia i − 1 e após o fechamento do pregão do dia i.

Devemos determinar a sequência de dias tal que a soma das diferenças é máxima.

(18)

O problema do subarranjo m ´aximo

Definic¸ ˜ao

O problema do subarranjo m ´aximo

Tomando um arranjo A, determine o subarranjo A0n˜ao vazio cont´ıguo

de A cujos valores tenham a maior soma. Este subarranjo A0 ´e

(19)

O problema do subarranjo m ´aximo

Exemplo

A0[8..11] ´e um subarranjo m´aximo de A com soma 43.

A ação deve ser comprada após o fechamento do pregão do dia 7 e vendida no fechamento do pregão do dia 11.

(20)

O problema do subarranjo m ´aximo

Uma primeira soluc¸ ˜ao

Podemos testar a soma dos seguintes subconjuntos:

1 -4 3 -4 soma= 1 1 -4 3 -4 soma= −3 1 -4 3 -4 soma= 0 1 -4 3 -4 soma= −4 1 -4 3 -4 soma= −4 1 -4 3 -4 soma= −1 1 -4 3 -4 soma= −5 1 -4 3 -4 soma= 3 1 -4 3 -4 soma= −1 1 -4 3 -4 soma= −4

(21)

O problema do subarranjo m ´aximo

(22)

O problema do subarranjo m ´aximo

(23)

O problema do subarranjo m ´aximo

(24)

O problema do subarranjo m ´aximo

(25)

O problema do subarranjo m ´aximo

(26)

O problema do subarranjo m ´aximo

(27)

O problema do subarranjo m ´aximo

(28)

O problema do subarranjo m ´aximo

(29)

O problema do subarranjo m ´aximo

(30)

O problema do subarranjo m ´aximo

Algoritmo: SUBARRANJO-M ´AXIMO (A, n)

Dados: Um arranjo A de tamanho n

Resultado: O subarranjo m´aximo de A: (esq, dir, soma) de valor

soma, inicia em esq e termina em dir

1 soma–max ←− −∞;

2 para i ←− 1 at ´e n fac¸a

3 soma←− 0;

4 para j ←− i at ´e n fac¸a

5 soma←− soma + A[j];

6 se soma > soma–max ent ˜ao

7 soma–max ←− soma;

8 esq←− i;

9 dir←− j;

(31)

O problema do subarranjo m ´aximo

An álise da primeira soluç ão

Algoritmo: SUBARRANJO-M ´AXIMO (A, n)

Dados: Um arranjo A de tamanho n

Resultado: O subarranjo m´aximo de A: (esq, dir, soma)

1 soma–max ←− −∞;

2 para i ←− 1 at ´e n fac¸a

3 soma←− 0;

4 para j ←− i at ´e n fac¸a

6 sesoma> soma–maxent ˜ao

7 soma–max ←− soma;

8 esq←− i;

(32)

O problema do subarranjo m ´aximo

Para n = 4, o total de comparações é:

1 -4 3 -4 1 -4 3 -4 1 -4 3 -4 1 -4 3 -4 4 comparações. 1 -4 3 -4 1 -4 3 -4 1 -4 3 -4 3 comparações. 1 -4 3 -4 1 -4 3 -4 2 comparações. 1 -4 3 -4 1 comparação. Logo, f (4) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

(33)

O problema do subarranjo m ´aximo

(34)

O problema do subarranjo m ´aximo

(35)

O problema do subarranjo m ´aximo

(36)

O problema do subarranjo m ´aximo

(37)

O problema do subarranjo m ´aximo

Para n qualquer, a quantidade de comparações f (n) é dada por: f(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n − 2) + (n − 1) + n

S ´erie aritm ´etica

O somat´orioPn

k=1k é uma série aritmética e tem o valor:

n X k=1 k= 1 2n(n + 1) Logo, f (n) = 1₂n2+1₂n.

(38)

O problema do subarranjo m ´aximo

Para n qualquer, a quantidade de comparações f (n) é dada por: f(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n − 2) + (n − 1) + n

S ´erie aritm ´etica

O somat´orioPn

k=1k é uma série aritmética e tem o valor:

n X k=1 k= 1 2n(n + 1) Logo, f (n) = 1₂n2+1₂n.

(39)

Crescimento de polin ˆomios

Como determinar o crescimento

Crescimento de polin ˆomios

Dado um inteiro não negativo d, um polinômio em n de grau d é uma

func¸˜ao p(n) da forma p(n) =Pd

i=0ainionde as constantes

a0, a1, ..., ads˜ao os coeficientes do polinˆomio e ad 6= 0. Um

polinˆomio ´e assintoticamente positivo se e somente se ad > 0. No

caso de um polinˆomio assintoticamente positivo p(n) de grau d, temos

que p(n) = θ(nd).

(40)

Divis ˜ao e conquista

Definic¸ ˜ao

De acordo com o paradigma de Divis˜ao e Conquista resolvemos um problema recursivamente aplicando as seguintes trˆes etapas:

Dividir o problema em certo número de subproblemas que são instâncias menores do mesmo problema.

Conquistar os subproblemas resolvendo-os recursivamente. Caso os problemas sejam suficiente pequenos basta resolvˆe-los diretamente.

Combinar as soluções dos subproblemas na solução do problema original.

(41)

O problema do subarranjo m ´aximo

Uma soluç ão de divis ão e conquista

Suponha que queremos determinar um subarranjo m´aximo do subarranjo A[baixo..alto].

Por Divisão e Conquista dividimos o subarranjo em dois subarranjos (com tamanhos mais iguais dentro do poss´ıvel). Suponha que meio é o ponto médio do subarranjo A[baixo..alto]. Qualquer subarranjo A[i..j] de A[baixo..alto] encontra-se em:

Inteiramente em A[baixo..meio], tal que baixo ≤ i ≤ j ≤ meio. Inteiramente em A[meio + 1..alto], tal que meio < i ≤ j ≤ alto. Cruzando o ponto m´edio, tal que baixo ≤ i ≤ meio < j ≤ alto.

(42)

O problema do subarranjo m ´aximo

Poss´ıveis localizac¸˜oes de subarranjos A[i..j] dentro de A[baixo..alto].

(43)

O problema do subarranjo m ´aximo

Qualquer subarranjo A[i..j] dentro de A[baixo..alto] que cruze o ponto m´edio compreende dois subarranjos A[i..meio] e

(44)

O problema do subarranjo m ´aximo

Um subarranjo m´aximo deve ter a maior soma dentre todos os subarranjos inteiramente em A[baixo..meio], ou inteiramente em A[meio + 1..alto], ou cruzando o ponto m´edio.

Os subarranjos máximos de A[baixo..meio] e A[meio + 1..alto] podem ser determinados de maneira recursiva: são subproblemas (instâncias menores) de um problemas original.

Apesar disso, resta ainda encontrar um subarranjo máximo que cruze o ponto médio (este problema não é uma instância menor).

(45)

O problema do subarranjo m ´aximo

Subarranjo m ´aximo que cruza o ponto m ´edio

Algoritmo: CRUZAMENTO-M ´AXIMO (A, baixo, meio, alto)

Dados: Um subarranjo A que inicia em baixo, termina em alto e tem

ponto m´edio em meio

Resultado: O subarranjo m´aximo que cruza o ponto m´edio de A:

(esq, dir, soma) de valor soma, inicia na posição esq e termina na posição dir

1 soma–esq ←− −∞;

2 soma←− 0;

3 para i ←− meio at ´e baixo fac¸a //decremento

4 soma←− soma + A[i];

5 se soma > soma–esq ent ˜ao

(46)

O problema do subarranjo m ´aximo

Subarranjo m ´aximo que cruza o ponto m ´edio

Algoritmo: CRUZAMENTO-M ´AXIMO (A, baixo, meio, alto)

Dados: Um subarranjo A que inicia em baixo, termina em alto e tem

ponto m´edio em meio

Resultado: O subarranjo m´aximo que cruza o ponto m´edio de A:

(esq, dir, soma) de valor soma, inicia na posição esq e termina na posição dir

8 soma–dir ←− −∞;

9 soma←− 0;

10 para j ←− meio + 1 at ´e alto fac¸a

12 se soma > soma–dir ent ˜ao

13 soma–dir ←− soma;

14 max–dir ←− j;

(47)

O problema do subarranjo m ´aximo

Exemplo: Subarranjo m ´aximo que cruza o ponto m ´edio

Um exemplo: 1 -4 3 -4 soma–esq = −∞ 1 -4 3 -4 soma–esq = −4 1 -4 3 -4 soma–esq = −3 1 -4 3 -4 soma–dir = −∞ 1 -4 3 -4 soma–dir = 3 1 -4 3 -4 soma–dir = 3

Neste caso, o subarranjo máximo que cruza o ponto médio é A[1..3] com soma 0.

(48)

O problema do subarranjo m ´aximo

(49)

O problema do subarranjo m ´aximo

(50)

O problema do subarranjo m ´aximo

(51)

O problema do subarranjo m ´aximo

(52)

O problema do subarranjo m ´aximo

(53)

O problema do subarranjo m ´aximo

(54)

Subarranjo m ´aximo que cruza o ponto m ´edio

An ´alise

Qual o custo de CRUZAMENTO-M ´AXIMO?

Cada elemento do subarranjo A é somado, após isso, o valor de soma máxima é comparado com a soma atual.

Para n elementos de A são executadas n comparações de soma máxima.

(55)

Subarranjo m ´aximo que cruza o ponto m ´edio

An ´alise

(56)

Subarranjo m ´aximo que cruza o ponto m ´edio

An ´alise

(57)

O problema do subarranjo m ´aximo

Uma soluc¸ ˜ao eficiente

Algoritmo: SUBARRANJO-M ´AXIMO (A, baixo, alto)

Dados: Um subarranjo A que inicia em baixo e termina em alto

Resultado: O subarranjo m´aximo de A: (esq, dir, soma) de valor soma, inicia em esq e

termina em dir

1 se alto == baixo ent ˜ao

2 retorna (baixo, alto, A[baixo]); 3 sen ˜ao

4 meio←− b(baixo + alto)/2c;

5 (baixo–esq, alto–esq, soma–esq) ←− SUBARRANJO-M ´AXIMO (A, baixo, meio);

6 (baixo–dir, alto–dir, soma–dir) ←− SUBARRANJO-M ´AXIMO (A, meio + 1, alto);

7 (baixo–crz, alto–crz, soma–crz) ←− CRUZAMENTO-M ´AXIMO (A, baixo, meio, alto);

8 se soma–esq ≥ soma–dir e soma–esq ≥ soma–crz ent ˜ao

9 retorna (baixo–esq, alto–esq, soma–esq);

10 sen ˜ao se soma–dir ≥ soma–esq e soma–dir ≥ soma–crz ent ˜ao 11 retorna (baixo–dir, alto–dir, soma–dir);

(58)

O problema do subarranjo m ´aximo

Exemplo: soluç ão de divis ão e conquista

Um exemplo: A[1..1] : soma–esq = 1 A[2..2] : soma–dir = −4 A[1..2] : soma–crz = −3 1 -4 3 -4 1 -4 3 -4 1 -4 3 -4 A[1..1] : soma–esq = 1 A[3..3] : soma–dir = 3 A[1..3] : soma–crz = 0 A[3..3] : soma–esq = 3 A[4..4] : soma–dir = −4 A[3..4] : soma–crz = −1

(59)

Soluç ão de divis ão e conquista

An ´alise

Qual o custo de SUBARRANJO-M ´AXIMO?

Denotamos T(n) como o tempo de execuc¸˜ao de

SUBARRANJO-M ´AXIMO para um subarranjo de n elementos.

Para simplificação de análise: o tamanho original do problema é uma potência de 2.

(60)

Soluç ão de divis ão e conquista

An ´alise

Qual o custo de SUBARRANJO-M ´AXIMO?

Denotamos T(n) como o tempo de execuc¸˜ao de

SUBARRANJO-M ´AXIMO para um subarranjo de n elementos.

Para simplificação de análise: o tamanho original do problema é uma potência de 2.

(61)

Soluç ão de divis ão e conquista

An ´alise

Caso recursivo: quando n > 1 temos o tempo de:

Teste do caso: θ(1).

Custo da resolução de cada subproblema: T(n/2). Custo de CRUZAMENTO-M ÁXIMO: θ(n).

Custo das comparações finais (para combinação): θ(1).

No caso recursivo:

(62)

Soluç ão de divis ão e conquista

An ´alise

Tempo de execuç ão T(n) para SUBARRANJO-M ÁXIMO

T(n) = (

θ(1), se n = 1

2T(n/2) + θ(n), se n > 1

Podemos reescrever a equação da seguinte forma (c é uma constante):

Equaç ão de recorr ência T(n) para SUBARRANJO-M ÁXIMO

T(n) = (

c, se n = 1

(63)

O problema do subarranjo m ´aximo

´

Arvore de recurs ˜ao

´

Arvore de recursão: lg n + 1 n´ıveis, cada um com custo cn. Solução: T(n) = (lg n + 1)(cn) = cn lg n + cn = θ(n lg n).

(64)