EAP 03 – Análise de Dados de uma Amostra v3

Análise Exploratória

dos Dados de uma

Amostra

Professor Fernando Porto

Estatística Aplicada

à Produção

Análise Exploratória dos Dados de

uma Amostra

8.1 Conceitos

• Seja uma amostra de n elementos de uma população de variável X com média e variância desconhecidas.

• A média  da população é estimada de modo não viciado pelo estimador: ̅ = 1

• A variância 2 _{da variável X é estimada, de modo não viciado, por:}

= 1

− 1 − ̅

• O estimador a seguir é viciado, e não deve ser usado:

= 1 − ̅

numeração dos

Exemplo:

• Determinar a média e variância da amostra 10, 20, 30, 40 e 50.

̅ = 1 = 1 − 1 − ̅ − − 10 -20 400 20 -10 100 30 0 0 40 10 100 50 20 400 150 1000 30 250



̅

Exercício de Fixação:

• Determinar a média e variância da amostra 12, 23, 36, 53, 72, 95 e 124.

̅ = 1 = 1 − 1 − ̅ − − 12 23 36 53 72 95 124



̅

Exercício de Fixação:

• Determinar a média e variância da amostra 12, 23, 36, 53, 72, 95 e 124.

̅ = 1 = 1 − 1 − ̅ − − 12 _{-47,2857 2235,939} 23 _{-36,2857 1316,653} 36 _{-23,2857 542,2245} 53 _{-6,28571 39,5102} 72 _{12,71429 161,6531} 95 _{35,71429 1275,51} 124 _{64,71429 4187,939} 415 _9759,429 59,28571429 _1626,571



̅

No exemplo anterior, os dados são dados amostrais isolados, não

agrupados.

• Uma forma mais simples de calcular o valor de S2 _{é empregar uma das}

fórmulas a seguir: = 1 − 1 − 1 ou = 1 − 1 − . ̅

• Considere a amostra apresentada na tabela a seguir. Determinar a média e sua variância, usando para S2 _{a fórmula simplificada.}

= 5 ̅ = 67 5 = 13,4 = 1 − 1 − 1 = 1 4 939 − 1 5 67 = 10,3 = 10,3 = 3,2094 i 1 10 100 2 11 121 3 13 169 4 15 225 5 18 324  67 939

Exemplo de fixação. Similarmente ao exemplo anterior, determinar a média e sua variância, usando para S2 _{a fórmula simplificada.}

= ⋯ ̅ = ∑ = ⋯ = 1 − 1 − 1 = ⋯ = = ⋯ i 1 8 2 14 3 20 4 23 5 25 6 26 

= 6 ̅ = ∑ = 19,333 = 1 − 1 − 1 = 49,66666 = = 7,033254 i 1 8 64 2 14 196 3 20 400 4 23 529 5 25 625 6 26 676  116 2490

Como já mencionado, os dados apresentados nos exemplos anteriores são

dados amostrais isolados, não agrupados.

• Consideremos agora dados sujeitos à repetições, isto é, dados afetados de

frequência. Sejam:

• = frequência absoluta do elemento x_i, sendo i = 1, 2, 3, ..., n. • k = número de classes de frequência ou número de agrupamentos.

• As fórmulas anteriores de média e variância passam a ser escritas como seguem:

Dados isolados Dados afetados de frequência

̅ = 1 ̅ = 1 ( . ) = 1 − 1 − ̅ = 1 − 1 − ̅ . = 1 − 1 − 1 ₌ 1 − 1 . − 1 .

• Exemplo: Considere os dados a seguir. Determine ̅ e S .

• Usando as fórmulas abreviadas:

x_i 10 20 30 40 50 60 70 n_i 1 5 22 24 22 5 1 x_i n_i x_i . n_i . 10 1 10 100 20 5 100 2.000 30 22 660 19.800 40 24 960 38.400 50 22 1.100 55.000 60 5 300 18.000 70 1 70 4.900  80 3.200 138.200

x_i n_i x_i . n_i . 10 1 10 100 20 5 100 2.000 30 22 660 19.800 40 24 960 38.400 50 22 1.100 55.000 60 5 300 18.000 70 1 70 4.900  80 3.200 138.200 ̅ = 3200 80 = 40 = 1 − 1 . − 1 . = 1 80 − 1 138200 − 3200 80 = 129,1139 = = 129,1139 = 11,3629

• Exercício de fixação: Considere os dados a seguir. Determine ̅ e S , usando as fórmulas abreviadas:

̅ = 1 ( . ) = 1 − 1 . − 1 . x_i n_i x_i . n_i . 15 6 20 15 25 32 35 8 

• Exercício de fixação: Considere os dados a seguir. Determine ̅ e S2, usando as fórmulas abreviadas:

̅ = 1 ( . ) = 24,09836 = 1 − 1 . − 1 . = 28,7568 = 5,3625 x_i n_i x_i . n_i . 15 6 90 1.350 20 15 300 6.000 25 32 800 20.000 35 8 280 9.800  61 1.470 37.150

Classes de Frequência

• Verifique que visualizar os dados na forma de tabela não ajuda muito para uma análise. 1,40 1,56 1,66 1,80 1,67 1,57 1,67 1,77 1,90 1,65 1,67 1,76 1,67 1,62 1,73 1,75 1,42 1,56 1,67 1,83 1,70 1,55 1,65 1,79 1,95 1,58 1,72 1,82 1,73 1,62 1,73 1,84 1,50 1,55 1,74 1,78 1,70 1,62 1,70 1,79 1,94 1,57 1,65 1,84 1,74 1,60 1,66 1,84 1,48 1,64 1,74 1,83 1,70 1,57 1,69 1,82 1,92 1,56 1,75 1,83 1,66 1,64 1,67 1,81 1,53 1,58 1,71 1,79 1,67 1,57 1,70 1,78 1,95 1,61 1,68 1,84 1,68 1,59 1,74 1,81 1,51 1,63 1,73 1,81 1,72 1,61 1,68 1,82 1,87 1,63 1,70 1,79 1,73 1,62 1,72 1,79 1,47 1,56 1,73 1,83 1,67 1,61 1,72 1,81 1,88 1,59 1,67 1,83 1,69 1,75 1,67 1,77 1,52 1,58 1,68 1,84 1,70 1,61 1,70 1,83 1,86 1,57 1,66 1,83 1,72 1,70 1,71 1,77 1,51 1,61 1,66 1,78 1,70 1,59 1,70 1,81 1,90 1,58 1,68 1,84 1,72 1,71 1,72 1,79 1,46 1,65 1,70 1,77 1,73 1,58 1,69 1,85 1,86 1,55 1,73 1,76 1,68 1,73 1,68 1,84 1,50 1,61 1,70 1,82 1,72 1,63 1,65 1,81 1,91 1,62 1,74 1,78 1,67 1,71 1,66 1,75 1,45 1,64 1,69 1,75 1,69 1,64 1,66 1,81 1,90 1,57 1,72 1,78 1,73 1,67 1,73 1,84 1,49 1,56 1,70 1,84 1,70 1,56 1,69 1,77 1,95 1,57 1,67 1,76 1,75 1,73 1,73 1,75 1,48 1,58 1,66 1,83 1,74 1,64 1,66 1,82 1,88 1,62 1,65 1,81 1,69 1,69 1,74 1,78 1,49 1,63 1,66 1,79 1,73 1,56 1,66 1,82 1,86 1,58 1,67 1,77 1,72 1,70 1,70 1,82 1,50 1,61 1,71 1,85 1,68 1,57 1,69 1,85 1,89 1,63 1,69 1,77 1,70 1,72 1,68 1,81 1,53 1,60 1,71 1,77 1,69 1,61 1,75 1,77 1,92 1,63 1,72 1,80 1,68 1,74 1,66 1,77 1,53 1,58 1,74 1,76 1,71 1,59 1,68 1,84 1,90 1,61 1,70 1,84 1,68 1,69 1,75 1,84 1,51 1,59 1,75 1,81 1,70 1,58 1,74 1,85 1,85 1,62 1,72 1,85 1,69 1,75 1,69 1,79 1,48 1,60 1,67 1,77 1,67 1,57 1,69 1,84 1,87 1,64 1,69 1,79 1,67 1,66 1,74 1,78 1,47 1,62 1,65 1,84 1,66 1,60 1,66 1,79 1,89 1,57 1,75 1,76 1,72 1,65 1,66 1,85 1,47 1,63 1,70 1,77 1,68 1,60 1,73 1,78 1,86 1,61 1,73 1,77 1,70 1,74 1,73 1,78 1,52 1,64 1,66 1,84 1,71 1,57 1,66 1,83 1,90 1,60 1,72 1,84 1,69 1,71 1,74 1,76 1,49 1,59 1,71 1,84 1,66 1,62 1,67 1,81 1,90 1,64 1,68 1,80 1,65 1,72 1,74 1,79 1,49 1,57 1,70 1,83 1,67 1,55 1,68 1,81 1,87 1,62 1,73 1,78 1,69 1,73 1,71 1,83 1,49 1,62 1,71 1,80 1,69 1,59 1,70 1,81 1,93 1,62 1,74 1,77 1,71 1,70 1,73 1,80 1,55 1,56 1,74 1,81 1,73 1,64 1,67 1,76 1,91 1,57 1,75 1,81 1,75 1,71 1,68 1,79 1,50 1,63 1,69 1,84 1,71 1,61 1,72 1,77 1,90 1,59 1,75 1,77 1,67 1,73 1,65 1,84 1,54 1,64 1,70 1,83 1,73 1,58 1,67 1,77 1,90 1,62 1,73 1,77 1,69 1,75 1,67 1,84 1,49 1,59 1,68 1,76 1,73 1,64 1,74 1,83 1,94 1,65 1,68 1,76 1,68 1,66 1,73 1,82 “Tabela Primitiva”

18 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1,4 _1,42 _1,44 _1,46 _1,48 1,5 _1,52 _1,54 _1,56 _1,58 1,6 _1,62 _1,64 _1,66 _1,68 1,7 _1,72 _1,74 _1,76 _1,78 1,8 _1,82 _1,84 _1,86 _1,88 1,9 _1,92 _1,94 _1,96 _1,98 2 _2,02 _2,04 Série1

• Montar um gráfico onde são mostradas a freqüência de cada medida melhora a visualização, mas ainda não permite uma análise detalhada.

Algumas medidas são mais freqüentes do que

outras, mas o que deduzir disso?

19

• O problema é saber qual será o número de classes que fornecerá uma melhor visualização.

• As regras mais difundidas para a determinação inicial do número de classes são a regra de Sturges e a regra da raiz. Sendo n o número de dados a serem analisados, e i o

número de classes, temos:

• Regra de Sturges: i = 1 + 3,3 x log n

• Regra da Raiz: i = n0,5

• É importante ressaltar que estas regras servem somente para uma estimativa inicial do número de classes. Este assunto é detalhado mais a frente.

Não é recomendado para nosso uso!

20

• Usando a regra de Sturges (neste caso, 10 classes), a visualização

melhorou bastante, mas a amplitude das classes deixou o gráfico um pouco “desajeitado”. Como determinar o número de classes mais adequado?

0 50 100 150 200 250 1,400 1,458 1,516 1,575 1,633 1,691 1,749 1,807 1,865 1,924 1,982 Série1

Amplitude das classes:

h = (maior valor – menor valor)/i h = 0,064

i = 1 + 3,3 x log n i = 1 + 3,3 x log 996 i = 10,89

Dados agrupados em classes de frequência:

• Seja uma amostra do QI de 50 alunos de um curso (portanto n = 50):

• Amplitude total: = − = 141 − 91 = 50 • Número de classes: = 1 + 3,22 × = 6,47068 110 120 129 141 101 107 107 121 119 115 115 94 101 141 93 103 121 118 122 128 107 105 103 133 121 91 126 127 135 123 109 110 131 111 114 132 104 119 113 116 119 111 124 106 118 102 119 101 101 118

Fórmula de Sturges Arredondamento é sempre para um valor inteiro, imediatamente maior ou menor, julgado como mais adequado.

k = 6 ou 7

Existem outras formas de determinar o número de classes. Esta é considerada

como a mais prática. _{Atenção: este número de classes pode mudar!}

• Atenção: a escolha do número de classes deve levar em consideração a regra de que não se deve trabalhar com classes vazias.

• Amplitude das classes:

ℎ = • Neste exemplo:

ℎ = = 50

7 = 7,142857 = 7

Número inteiro se possível para facilitar o trabalho, mas não necessariamente!

Classes Tabulação n_i 91 | 98 /// 3 98 | 105 //////// 8 105 | 112 ////////// 10 112 | 119 //////// 8 119 | 126 /////////// 11 126 | 133 ////// 6 133 | 140 // 2 140 | 147 // 2 Atenção: o número de classes mudou!

• Existe a sugestão, por parte de estatísticos, que a seguinte tabela seja seguida:

• Com base nesta tabela, foi desenvolvida a sugestão apresentada abaixo, mais completa: n 5 10 25 50 100 200 500 1000 k 2 4 6 8 10 12 15 15 n 5 7 10 15 25 34 50 71 k 2 3 4 5 6 7 8 9 n 100 140 200 266 367 500 1000 2000 k 10 11 12 13 14 15 15 15

• Sejam:

• = ponto médio da classe i;

• = frequência relativa da classe i;

• = frequência absoluta acumulada da classe i; • = frequência relativa acumulada da classe i.

• Formamos então a tabela de dados agrupados em classes de frequências.

Lim.Aparente Lim. Real

91 | 98 90,5 | 97,5 94 3 3 0,06 0,06 98 | 105 97,5 | 104,5 101 8 11 0,16 0,22 105 | 112 104,5 | 111,5 108 10 21 0,20 0,42 112 | 119 111,5 | 118,5 115 8 29 0,16 0,58 119 | 126 118,5 | 125,5 122 11 40 0,22 0,80 126 | 133 125,5 | 132,5 129 6 46 0,12 0,92 133 | 140 132,5 | 139,5 136 2 48 0,04 0,96 140 | 147 139,5 | 146,5 143 2 50 0,04 1,00 soma 50 soma 1,00

• Descrição gráfica • Histograma 0 2 4 6 8 10 12 94 101 108 115 122 129 136 143 n_i x_i A altura de cada barra é proporcional à frequência de classe

0 2 4 6 8 10 12 80 90 100 110 120 130 140 150 160 • Descrição gráfica • Polígono de frequências

Pontos médios das classes

n_i

x_i Ponto médio da última classe Ponto médio da 1ª classe

0 10 20 30 40 50 60 80 90 100 110 120 130 140 150 160 Descrição gráfica

• Polígono de frequências acumuladas

N_i

x_i Lim. real inf. da 1ª classe

Média: ̅ = 1 ( . )

= 115,28

• Moda é o valor mais frequente de uma distribuição de frequências. = 119

Mediana:

• Valor que ocupa a posição central de uma distribuição. Se tivermos uma amostra tal como 1, 4, 6, 9 e 11, a mediana é o 6. Para uma amostra 1, 5, 7, 8, 10 e 11, a mediana é a média dos dois termos centrais, 7,5.

• Quartis são separatrizes que dividem a área de uma distribuição de frequências em regiões de áreas iguais e múltiplas de ¼ da área total.

• Primeiro quartil, Q₁, é o valor que divide a distribuição em duas partes, tal que 25% dos valores sejam menores que ele e que 75% dos valores sejam maiores.

• Segundo quartil, Q₂, é o valor que divide a distribuição em duas partes, tal que 50% dos valores sejam menores que ele e que 50% dos valores sejam maiores.

• Terceiro quartil, Q₃, é o valor que divide a distribuição em duas partes, tal que 75% dos valores sejam menores que ele e que 25% dos valores sejam maiores. 91 101 104 107 111 116 119 121 126 132 93 101 105 109 113 118 119 121 127 133 94 102 106 110 114 118 119 122 128 135 101 103 107 110 115 118 120 123 129 141 101 103 107 111 115 119 121 124 131 141

• Parece evidente que Q₂ = 115,5, mas como estimar Q₁ e Q₃ ?

• Define-se:

• = limite real inferior da classe da separatriz;

• = frequência acumulada da classe anterior à separatriz; • ℎ = amplitude da classe da medida;

• = frequência absoluta da classe da medida;

• Centis são valores que dividem uma distribuição de frequência em áreas

iguais a múltiplos inteiros de um centésimo dessa área. Portanto P₂₅ = Q₁,

P₅₀ = Q₂ e P₇₅ = Q₃. = + 1 . 100 − . ℎ 91 101 104 107 111 116 119 121 126 132 93 101 105 109 113 118 119 121 127 133 94 102 106 110 114 118 119 122 128 135 101 103 107 110 115 118 120 123 129 141 101 103 107 111 115 119 121 124 131 141

1º quartil 2º quartil 3º quartil 4º quartil

• Seja estimar Q₁, ou seja, P₂₅: .

100 = 25 ×

50

100 = 12,5

• Comparando com os valores da coluna de N_i, vê-se que 12,5 < 21, portanto este elemento estaria na terceira classe.

• = = 104,5 , que é o limite real inferior da 3ª classe;

• = 11 , que é a frequência acumulada até a classe anterior (2ª classe); • ℎ = 7 ; amplitude da classe da medida;

• = 10 ; frequência absoluta da 3ª classe;

= + 1 . 100 − . ℎ = = 104,5 + 1 10 12,5 − 11 . 7 = 105,55 91 101 104 107 111 116 119 121 126 132 93 101 105 109 113 118 119 121 127 133 94 102 106 110 114 118 119 122 128 135 101 103 107 110 115 118 120 123 129 141 101 103 107 111 115 119 121 124 131 141

• Comentários finais: • P₂₅ = Q₁,

• P₅₀ = Q₂ = Md (mediana) • P₇₅ = Q₃.

Exercício de Fixação

• Sejam os dados apresentados na tabela abaixo:

32 33 33 34 34 37 37 37 38 38 33 35 35 35 44 39 40 40 40 39 35 38 38 37 38 42 41 42 42 42 38 39 40 39 40 43 43 44 44 43 40 42 42 41 41 39 39 37 40 40 42 43 43 44 43 41 41 40 40 39 43 45 43 43 43 44 43 44 37 40 46 37 37 38 37 38 38 37 40 40 48 39 40 40 40 39 40 40 42 39 50 41 42 41 42 42 42 42 44 39 1. Amplitude total 2. Número de classes 3. Amplitude de classes 4. Distribuição em classes de frequência.

• Amplitude total: = − = 50 − 32 = 18

• Número de classes: = 1 + 3,22 × = 7,44

• Amplitude das classes:

ℎ = 18

7,44 = 2,4194 → ℎ = 2

• Número de classes (estimativa final):

=

ℎ =

18

2 = 9 → = 10

Estimativa inicial

Foi selecionado k = 10 ao invés de

k = 9, de modo a atender a tabela recomendada por estatísticos.

Lim. Ap. inf. Lim. Ap. sup. Lim. real inf. Lim. real sup. xi ni Ni fi Fi 32 34 31,5 33,5 32,5 4 4 0,04 0,04 34 36 33,5 35,5 34,5 6 10 0,06 0,1 36 38 35,5 37,5 36,5 10 20 0,10 0,2 38 40 37,5 39,5 38,5 20 40 0,20 0,4 40 42 39,5 41,5 40,5 25 65 0,25 0,65 42 44 41,5 43,5 42,5 24 89 0,24 0,89 44 46 43,5 45,5 44,5 8 97 0,08 0,97 46 48 45,5 47,5 46,5 1 98 0,01 0,98 48 50 47,5 49,5 48,5 1 99 0,01 0,99 50 52 49,5 51,5 50,5 1 100 0,01 1 n = 100

Elaborar (2ª Parte): • Histograma;

• Polígono de frequências;

• Polígono de frequências acumuladas. Calcular: • Média; • Variância; • Desvio padrão; • Moda; • Q₁; • P₆₅.

Histograma 0 5 10 15 20 25 30 32,5 34,5 36,5 38,5 40,5 42,5 44,5 46,5 48,5 50,5

0 5 10 15 20 25 30 30,5 32,5 34,5 36,5 38,5 40,5 42,5 44,5 46,5 48,5 50,5 52,5 • Polígono de frequências:

0 20 40 60 80 100 120 31,5 33,5 35,5 37,5 39,5 41,5 43,5 45,5 47,5 49,5 51,5 53,5

• Média ̅ = 40,03 • Variância; = 11,2792 • Desvio padrão; = 3,3585 • Moda; = 40 • Q₁; = 38 • P₆₅ = 41,35

Seja estimar Q₁, ou seja, P₂₅: .

100 = 25 ×

100

100 = 25

• Comparando com os valores da coluna de N_i, vê-se que 25 < 40, portanto este elemento estaria na quarta classe.

• = = 37,5 , que é o limite real inferior da 4ª classe;

• = 20 , que é a frequência acumulada até a classe anterior (3ª classe); • ℎ = 2 ; amplitude da classe da medida;

• = 20 ; frequência absoluta da 4ª classe;

= + 1 .

100 − . ℎ

= = 37,5 + 1

Sabemos que:

Moda é o valor mais frequente de uma distribuição de frequências.

Mediana: Valor que ocupa a posição central de uma distribuição. Se tivermos uma amostra tal como 1, 4, 6, 9 e 11, a mediana é o 6. Para uma amostra 1, 5, 7, 8, 10 e 11, a mediana é a média dos dois termos centrais, 7,5.

• Estas definições estão corretas, mas como determinar a moda e a mediana se temos em mãos a tabela de dados agrupados em classes de frequência mas não temos os dados originais da amostra?

• Para tal, é disponível o método de King para determinar a moda, assim como existem também fórmulas para estimar a mediana.

Define-se:

• = limite real inferior da classe da separatriz;

• = frequência acumulada da classe anterior à separatriz; • ℎ = amplitude da classe da medida;

• = frequência absoluta da classe da medida;

• = frequência relativa da classe anterior à da separatriz; • = frequência posterior à classe da separatriz.

• Moda (fórmula de King)

= + ℎ ×

+

• Mediana

= + ℎ

• Seja a tabela de dados acima. Estime a moda e a mediana.

• Moda:

= + ℎ ×

+

• Maior frequência: 23; classe correspondente: 5 → i = 5

• = = 39,95; ℎ = ℎ = 3; = = 0,2267; = = 0,12.

= 39,95 + 3 × 0,12

0,2267 + 0,12 = 40,988

lim apar lim apar lim real lim real

inf sup inf sup xi ni Ni fi Fi

1 28 31 27,95 30,95 29,45 2 2 0,0267 0,0267 2 31 34 30,95 33,95 32,45 7 9 0,0933 0,1200 3 34 37 33,95 36,95 35,45 13 22 0,1733 0,2933 4 37 40 36,95 39,95 38,45 17 39 0,2267 0,5200 5 40 43 39,95 42,95 41,45 23 62 0,3067 0,8267 6 43 46 42,95 45,95 44,45 9 71 0,1200 0,9467 7 46 49 45,95 48,95 47,45 3 74 0,0400 0,9867 8 49 52 48,95 51,95 50,45 1 75 0,0133 1,0000 75

• Mediana:

= + ℎ

2 −

• = = 37,5. Classe correspondente na coluna N_i: 4 → i = 4

• = = 36,95; ℎ = ℎ = 3; = = 22; = = 17.

= 36,95 + 3 17

75

2 − 22 = 39,685

inf sup inf sup xi ni Ni fi Fi

1 28 31 27,95 30,95 29,45 2 2 0,0267 0,0267 2 31 34 30,95 33,95 32,45 7 9 0,0933 0,1200 3 34 37 33,95 36,95 35,45 13 22 0,1733 0,2933 4 37 40 36,95 39,95 38,45 17 39 0,2267 0,5200 5 40 43 39,95 42,95 41,45 23 62 0,3067 0,8267 6 43 46 42,95 45,95 44,45 9 71 0,1200 0,9467 7 46 49 45,95 48,95 47,45 3 74 0,0400 0,9867 8 49 52 48,95 51,95 50,45 1 75 0,0133 1,0000 75

• Estatística Básica