FUNESGERADORASDEMOMENTOS

(1)

Notas de aula de Inferˆ

encia Estat´ıstica

Centro de Matemática, Computa¸cão e Cogni¸cão Universidade Federal do ABC

Professor Roberto Venegeroles

Aula 2: Fun¸

c˜

oes Geradoras de Momentos

1. Fun¸c˜ao Geradora de Momentos Undimensional

Uma fun¸cão geradora de momentos de uma variável X é definida por meio do seguinte valor esperado

MX(s) = E[esX]. (1)

As fun¸cões geradoras facilitam o cálculo de momentos e têm muitas aplica¸cões em cálculos probabil´ısticos, tal como o Teorema Central do Limite. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1_{: Fun¸c˜ao geradora de momentos de uma vari´avel X ∼ B(n, p)}

MX(s) = E[esX] = n X j=0 esjµn j ¶ pj_{(1 − p)}n−j = n X j=0 µn j ¶ (pes)j_{(1 − p)}n−j = (pes_{+ 1 − p)}n. (2)

Exemplo 2_{: Fun¸c˜ao geradora de momentos de uma vari´avel X ∼ P o(λ)}

MX(s) = E[esX] = ∞ X j=0 esje−λλ j j! = e−λ ∞ X j=0 (λes₎j j! = e −λ_eλes = e−λ(1−es) (3)

Exemplo 3_{: Fun¸c˜ao geradora de momentos de uma vari´avel normal Z ∼ N(0, 1)}

MZ(s) = E[esZ] = Z ∞ −∞ dZ √1 2πe sZ_e−Z2 /2

(2)

= Z ∞ −∞ dZ _√1 2πe −(Z2 −2sZ)/2 = es2 /2_√1 2π Z ∞ −∞ dZ e(Z−s)2 /2 = es2/2 (4)

Uma vari´avel normal X ∼ N(µ, σ2_{) pode ter sua fun¸c˜ao geradora obtida por meio do}

re-sultado (4) considerando-se propriedades da esperan¸ca j´a estudadas. Lembrando que X = σZ + µ, com Z ∼ N(0, 1), temos que

MX(s) = E[esX] = E[es(σZ+µ)]

= eµsE[esσZ] = eµsMZ(sσ)

= eµs+σ2s2/2. (5)

2. C´alculo de Momentos

Teorema: Suponha que a fun¸c˜ao geradora de momentos MX(s) de uma vari´avel X exista

para todo |s| < s0. Ent˜ao E[Xn] existe para todo inteiro n ≥ 1, dado pela f´ormula

E[Xn] = ∂_snMX(s)|s=0. (6)

Demonstra¸c˜ao: O expoente esX _{pode ser escrito numa expans˜ao de Taylor para |s| < s} 0 esX = 1 + sX + (sX) 2 2! + (sX)3 3! + . . . (7)

de modo que a linearidade da esperan¸ca permite-nos escrever MX(s) na forma de s´erie de

valores esperados: MX(s) = 1 + E[X]s + E[X2] s2 2! + E[X 3_]s3 3! + . . . , (8)

da qual os momentos s˜ao obtidos pela equa¸c˜ao (6).

Exemplo 4_{: Podemos calcular os dois primeiros momentos de uma vari´avel X ∼ B(n, p)} por meio das duas primeiras derivadas da fun¸c˜ao geratriz obtida em (2)

∂sMX(s) = np(pes+ 1 − p)n−1es,

∂_s2MX(s) = np(n − 1)(pes+ 1 − p)n−2pe2s+ np(pes+ 1 − p)n−1es. (9)

Temos portanto

E[X] = ∂sMX(s)s=0= np,

(3)

Para a variˆancia temos:

V ar[X] = E[X2_{] − E}2_{[X] = np[p(n − 1) + 1] − (np)}2 _{= np(1 − p).} (11)

3. Fun¸c˜ao Geradora de Momentos Multidimensional

Sejam X1, X2, . . . , Xn vari´aveis aleat´orias definidas num mesmo espa¸co de probabilidade

e s1, s2, . . . , sn n´umeros reais. A fun¸c˜ao geradora de momentos multidimensional associada

a essas vari´aveis ´e definida por

MX1,X2,...,Xn(s1, s2, . . . , sn) = E[e

s1X1+s2X2+...+snXn_], ₍₁₂₎

desde que as esperan¸cas sejam finitas para t′

is tomados numa vizinhan¸ca de zero.

Exemplo 5: Considere a fun¸cão de distribui¸cão conjunta multinomial para as variáveis X1, X2, , X3 com parâmetros n, p1, p2, p3: p(X1, X2, X3) = n! X1!X2!X3! pX1 1 pX 2 2 pX 3 3 , (13) tais queP3

i=1Xi = n,P3i=1pi = 1 e X1, X2, X3 são inteiros não negativos. A fun¸cão geradora

de momentos associada ser´a

MX1,X2,X3(s1, s2, s3) = E[e s1X1+s2X2+s3X3 ] = X X1,X2,X3 es1X1+s2X2+s3X3 n! X1!X2!X3! pX1 1 pX 2 2 pX 3 3 = X X1,X2,X3 n! X1!X2!X3! (p1es1)X1(p2es2)X2(p3es3)X3 = (p1es1 + p2es2 + p3es3)n (14)

O resultado (14) é facilmente generalizável para k variáveis. Para se obter a fun¸cão geradora de X1, basta tomarmos s2 = s3 = 0 em (14), o que nos dá

MX1(s1) = (p1e

s1

+ 1 − p1)n, (15)

lembrando que p2 + p3 = 1 − p1. De forma similar podemos determinar a fun¸c˜ao geradora

conjunta MX1,X2(s1, s2) tomando s3 = 0, resultando em

MX1,X2(s1, s2) = (p1e

s1

+ p2es2 + 1 − p1− p2)n. (16)

De (16) podemos calcular a esperan¸ca do produto de vari´aveis X1X2:

(4)

assim como a covariˆancia dessas vari´aveis:

Cov(X1X2) = E[X1X2] − E[X1]E[X2] = −np1p2. (18)

Duas variáveis que possuem mesma fun¸cão de distribui¸cão terão necessariamente as mes-mas fun¸cões geradoras, se estas existirem. É natural nos perguntarmos se duas variáveis com mesmas fun¸cões geradoras possuem a mesmas fun¸cões de distribui¸cão. Um teorema impor-tante garante a unicidade das fun¸cões geradoras:

Teorema: Se duas variáveis aleatórias têm fun¸cões geradoras de momentos que são iguais, então elas têm a mesma fun¸cão de distribuii¸cão.

Demonstra¸c˜ao: Ser´a omitida nesta nota.

Exemplo 6: A fun¸c˜ao geradora de momentos de uma vari´avel X que seja igual a MX(t) = µ 1 3e t₊2 3 ¶4 (19) deve ser, comparada a (2), do tipo X ∼ B(4, 1/3).

Exemplo 7_{: Sendo X ∼ N(0, 1) podemos obter a distribui¸c˜ao da vari´avel Y = X}2 _com

o aux´ılio da fun¸c˜ao geradora de momentos

MY(s) = E[esX 2 ] = Z ∞ −∞ dx esx2√1 2π e −x2 /2 = Z ∞ −∞ dx_√1 2πe −1 2x 2 (1−2s) = (1 − 2s)−1/2 Z ∞ −∞ dz _√1 2πe −z2 /2 = (1 − 2s)−1/2. (20)

Considere agora o modelo Gama, cuja fun¸cão de distribui¸cão é definida por

f (x) = β α Γ(α)x α−1_e−βx_, _{x > 0,} ₍₂₁₎ Γ(α) = Z ∞ 0 dx xα−1e−x, α > 0. (22)

Neste caso, usamos a nota¸cão X ∼ Gama(α, β). A fun¸cão geradora de momentos para o modelo Gamma é (Exerc´ıcio!)

MX(s) = µ β β − s ¶α , s > β, (23)

(5)

donde conclu´ımos que o modelo (20) ´e X ∼ Gama(1/2, 1/2).

Apresentaremos a seguir dois teoremas sobre fun¸cões geradoras que envolvem variáveis aleatórias independentes.

Teorema: Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes com fun¸cões

gerado-ras de momentos dadas respectivamente por MXj(s), j = 1, 2 . . . , n, para s definida em

alguma vizinhan¸ca da origem. Se Y =Pn

j=1Xj, ent˜ao a fun¸c˜ao geradora de momentos dessa

nova vari´avel ser´a

MY(s) = n

Y

j=1

MXj(s). (24)

Demonstra¸c˜ao: Pela defini¸c˜ao temos

MY(s) = E[es(X1+X2+...+Xn)] = E[esX1 esX2 . . . esXn_] = E[esX1 ]E[esX2 ] . . . E[esXn_], ₍₂₅₎

donde segue o resultado (24), devido à independência entre as variáveis.

Teorema: Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias com fun¸cão geradora de momentos

conjunta MX1,X2,...,Xn(s1, s2, . . . , sn) tal que os sj ′

s sejam definidos em alguma vizinhan¸ca da origem. Essas variáveis serão independentes se, e somente se, a fun¸cão geradora conjunta puder ser fatorada como o produto das fun¸cões geradoras de suas variáveis individuais Xj

para j = 1, 2, . . . , n, ou seja MX1,X2,...,Xn(s1, s2, . . . , sn) = n Y j=1 MXj(sj). (26)

Demonstra¸c˜ao: Vamos supor inicialmente a independˆencia de X1, X2, . . . , Xn e concluir

a propriedade de fatora¸c˜ao. Temos

MX1,X2,...,Xn(s1, s2, . . . , sn) = E[e s1X1+s2X2+...+snXn)_] = E[es1X1 es2X2 . . . esnXn_] = E[es1X1 ]E[es2X2 ] . . . E[esnXn_] = n Y j=1 MXj(sj).

Admitiremos agora que a fatora¸cão seja válida com o aux´ılio (sempre poss´ıvel) de variáveis aleatórias independentes Y1, Y2, . . . , Yn cujas distribui¸cões marginais são idênticas às das

(6)

vari´aveis X1, X2, . . . , Xn, respectivamente: MY1,Y2,...,Yn(s1, s2, . . . , sn) = n Y j=1 MYj(sj) (independˆencia) = E[es1Y1 ]E[es2Y2 ] . . . E[esnYn_] = E[es1X1 ]E[es2X2

] . . . E[esnXn_{] (igualdade das marginais)}

= E " exp Ã _n X j=1 sjXj !# (validade da fatora¸c˜ao) = MX1,X2,...,Xn(s1, s2, . . . , sn)

O Teorema de Unicidade das fun¸c˜oes geradoras garante, pois, que as vari´aveis Xj e Yj, para

j = 1, 2, . . . , n, possuem a mesma fun¸cão de distribui¸cão conjunta. Portanto, o produto de distribui¸cões marginais de Yj

′

s é extendido às variáveis Xj

′

s, de forma que estas tamb´em s˜ao independentes.

Exemplo 8: A soma de n variáveis de Bernoulli independentes tem distribui¸cão binomial. Para verificar este resultado, basta calcular a fun¸cão geradora de momentos de uma variável Xj ∼ Ber(p), j = 1, 2, . . . , n MXj(s) = E[e sX_{] =} 1 X x=0 esX_px_{(1 − p)}1−x = pes_{+ 1 − p.} Temos portanto MX1+X2+...+Xn(s) = n Y j=1 MXj(s) = (pe s + 1 − p)n, (27)

que corresponde exatamente à fun¸cão geradora de uma variável X ∼ B(n, p), conforme equa¸cão (2).

Exemplo 9: Sejam X e Y vari´aveis independentes com a mesma densidade N (0, 1). Vamos obter a geradora conjunta de U = X +Y e V = X −Y e verificar se s˜ao independentes.

MU,V(s1, s2) = E[es1U +s2V] = E[es1(X+Y )+s2(X−Y )]

= E[eX(s1+s2)+Y (s1−s2) ] = MX(s1+ s2)MY(s1− s2) = e(s1+s2)2/2 e(s1−s2)2/2 = es21+s 2 2 = e2s21e2s 2 2, (28)

(7)

Bibliografia: Probabilidade e Variáveis Aleatórias, Marcos Nascimento Magalhães, 2 ed., Edusp, São Paulo (2006).

Lista de Exerc´ıcios

1. Obtenha as fun¸c˜oes geradoras dos seguintes modelos: a) X ∼ Geo(p),

b) X ∼ Gama(α, β).

2. Considere que X1, X2, . . . , Xn são variáveis aleatórias e independentes. Determine a

fun¸c˜ao geradora de momentos da vari´avel Y =Pn

j=1Xj nos seguintes casos:

a) Xj ∼ P o(λj), j = 1, 2, . . . , n

b) Xj ∼ B(nj, p), j = 1, 2, . . . , n

c) Xj ∼ Geo(p), j = 1, 2, . . . , n

d) Xj ∼ N(µj, σ2j), j = 1, 2, . . . , n

e) Xj ∼ Gamma(αj, β), j = 1, 2, . . . , n

3.Considere o modelo cont´ınuo de Laplace para o qual fX(x) = λ₂ e−λ|x−µ|sobre o dom´ınio

−∞ < x < ∞, com λ > 0 e −∞ < µ < ∞. Determine a fun¸c˜ao geradora deste modelo, assim como E[X] e V AR[X].

4. Sendo X1, X2 ∼ N(0, 1) e independentes, defina as vari´aveis Y1 = X1 + X2 e Y2 =

X2

1 + X22.

a) Mostre que a fun¸c˜ao geradora conjunta ´e dada por: MY1,Y2(s1, s2) = 1 1 − 2s2 exp · s2 1 1 − 2s2 ¸ , _{−∞ < s}1 < ∞, −∞ < s2 < 1/2. (29) b) Calcule Cov(Y1, Y2).