FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

Faculdades Integradas Einstein de Limeira – Eng. Civil – Teoria das Estruturas I - 2011 1

FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

Curso de Graduação em Engenharia Civil

Teoria das Estruturas I - 2011

Prof. José Antonio Schiavon, MSc.

NOTAS DE AULA – Aula 7: Linha de Influência em Estruturas Isostáticas

estruturas isostáticas. 2. Introdução

As cargas que agem sobre uma estrutura podem ser classificadas em dois grandes grupos: cargas permanentes e cargas acidentais.

As cargas permanentes são aquelas que atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo. São devidas ao peso próprio da estrutura, aos revestimentos e materiais de enchimento que ela suporta. O estudo dos esforços provocados por elas não apresenta maiores dificuldades, pois tratam-se de cargas cuja intensidade e posição são conhecidas e invariáveis.

As cargas acidentais são aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por ventos, empuxos de terra ou água, impactos laterais, forças centrífugas, frenagens ou aceleração de veículos, cargas de utilização (sobrecargas), peso de materiais que vão preencher a estrutura (caso de reservatórios de água, silos, etc.), efeitos de terremoto, peso de neve acumulada e cargas móveis.

Para fins de análise estática, com exceção das móveis, as cargas acidentais têm posição e valor conhecidos na estrutura.

O mesmo não acontece para as cargas móveis, pois quando ocorrem, as posições que ocupam na estrutura variam à medida que os veículos por elas representados percorrem a estrutura. Para evitar que precisemos calcular infinitas posições de carregamentos, procuraremos outra maneira de resolver o problema. 3. Linha de influência

Suponha que a carga unitária (1 kN) seja móvel e se movimente de A para B. No início, quando a carga estiver aplicada no ponto A, a somatória dos momentos em B nos fornece o valor da reação RA = 1 kN.

Movemos agora a carga unitária para uma segunda posição, localizada a uma distância L/4 à direita do apoio A. Novamente, somando os momentos sobre B calculamos RA = 3/4 kN.

Em seguida, movemos a carga para o meio do vão e calculamos RA = 1/2 kN. Para o cálculo final,

posicionamos a carga de 1 kN diretamente sobre o apoio B e calculamos RA = 0.

Se traçarmos um gráfico que apresente os valores de RA em cada posição que a carga estaria, teremos:

Da mesma maneira, podemos apresentar os valores calculados de RB:

Com esses dois gráficos podemos determinar qual será a posição da carga unitária que fornecerá o maior valor da reação de um apoio.

São chamados de linhas de influência esses diagramas que são plotados em função da distância ao longo do vão e fornecem o valor de uma reação, força interna ou deslocamento em um ponto específico da estrutura.

4. Determinação da linha de influência – princípio de Müller-Breslau

O princípio de Müller-Breslau fornece um procedimento simples para estabelecer o formato das linhas de influência para reações ou esforços solicitantes em vigas.

Para exemplificar a determinação da linha de influência de reações, vamos calcular a linha de influência de RA na viga a seguir.

1 kN B L RA = 1 RB = 0 A 1 kN B L RA = 3/4 RB = 1/4 A L/4 1 kN B L RA = 1/2 RB = 1/2 A L/2 1 kN B L RA = 0 RB = 1 A A B 1 3/4 1/2 A B 1 3/4 1/2 RA (kN) RB (kN)

Faculdades Integradas Einstein de Limeira – Eng. Civil – Teoria das Estruturas I - 2011 2 Para determinar a linha de influência de uma reação,

devemos retirar da estrutura o vínculo em questão.

Em seguida, no ponto A, aplica-se uma força RA que

induza um deslocamento unitário no ponto de aplicação da força. A viga deverá girar sobre o ponto B. Sua forma defletida, que é a linha de influência, é um triângulo que varia de 0 em B até 1,0 em A’. Esse resultado confirma o aspecto da linha de influência que desenhamos no item 3.

Para construir a linha de influência do cortante, vamos remover a capacidade da seção transversal em transmitir o esforço cortante. Isso pode ser imaginado pelo dispositivo apresentado a seguir.

Para ilustrar o método, construiremos a linha de influência para o cortante no ponto C da viga a seguir. Inserimos o dispositivo de placa e rolo na seção C para liberar a capacidade de cortante da seção transversal.

Em seguida, deslocamos os segmentos de viga para a esquerda e para a direita da seção C por ∆1 e ∆2

, de

modo que um deslocamento unitário relativo seja

introduzido (∆

corrediço inserido em C ainda mantém a capacidade de momento, nenhuma rotação relativa é permitida. Isto é,

os segmentos AC e CD devem permanecer paralelos, e a rotação (θ) desses dois segmentos é idêntica.

Como os ângulos de giro nas estruturas são de ordem de grandeza muito pequena, a tangente do ângulo (tgθ) pode ser tomada igual ao próprio ângulo (θ). A partir da geometria na figura anterior,

θ 5 1= ∆ , ∆2 =15θ e 1 20 15 5 2 1+∆ = + = = ∆ θ θ θ

Portanto, θ = 1/20, ∆1 = 1/4 (para baixo) e ∆2 = 3/4

(para cima).

Para desenhar uma linha de influência para o momento em uma seção arbitrária, introduzimos uma rótula na seção para produzir a estrutura liberada. Por exemplo, para estabelecer o aspecto da linha de influência para o momento em meio vão da viga com apoios simples da figura abaixo.

Então, movemos a rótula em C para baixo, por uma quantidade ∆, de modo que seja obtida uma rotação unitária relativa de θ = 1 entre os segmentos AC e CB. A partir da geometria da figura abaixo, temos que θA = ½ e ∆ é calculado como (1/2)x(10) = 5, que é a

ordenada da linha de influência em C.

A B A B RA A’ ∆ = 1 1 RA (kN) A B 15 m D C 5 m 5 m V V A B 10 m 10 m A rótula B C C A B ∆ C θ θA = 1/2 A B D ∆1 ∆2 - 1/4 3/4 θ θ 1 1 5 MC (kNm)

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Exemplo – Traçar as linhas de influências dos diversos esforços na estrutura abaixo.

- reações de apoio: l z l Rv_A= − l z Rv_B = - esforços simples:

(

)

5. Obtenção dos efeitos de um carregamento

Ao se projetar um viaduto, quais cargas móveis colocaremos sobre ele? Quais as intensidades dessas cargas?

Vemos, então, que infinitas combinações de veículos podem ocorrer. Portanto, qual será a combinação dentre todas as possíveis que se pode adotar como representativa das diversas situações reais de cargas móveis que podem ocorrer durante toda a vida da estrutura?

A esta pergunta, diversos pesquisadores responderam com a criação de veículos ideais denominados trens-tipo. As normas de projeto de cada

Faculdades Integradas Einstein de Limeira – Eng. Civil – Teoria das Estruturas I - 2011 Traçar as linhas de influências dos diversos

Obtenção dos efeitos de um carregamento

Ao se projetar um viaduto, quais cargas móveis colocaremos sobre ele? Quais as intensidades dessas que infinitas combinações de veículos podem ocorrer. Portanto, qual será a combinação dentre todas as possíveis que se pode adotar como representativa das diversas situações reais de cargas móveis que podem ocorrer durante toda a vida da pergunta, diversos pesquisadores responderam com a criação de veículos ideais tipo. As normas de projeto de cada

país definem como serão estes veículos, que variam dependendo da natureza e da forma de utilização da estrutura.

Um exemplo representativo de trem

configuração abaixo. Note que essas cargas são grandezas conhecidas e de valor constante.

Seja um trem-tipo constituído pelas cargas concentradas P1, ..., Pn e seja a linha de influência da

figura abaixo.

A partir da definição de linha de influência, o valor do efeito produzido por uma das cargas concentradas (Pi) será Piηi. Pelo princípio de superposição de feitos,

quando atuarem todas as cargas, teremos E Seja agora o caso de um trem

uma carga uniformemente distribuída q. Teremos:

sendo Ω a área, na linha de influência, sob a região ocupada pela carga (a esta área chamamos área de influência).

O caso geral será uma superposição dos dois casos anteriores. Podemos escrever, em

da superposição:

Exemplo 2 – Para a estrutura abaixo, obter as envoltórias de momento fletor e esforço cortante, contando-as nas seções indicadas. São dados:

a) carga permanente: g = 2 tf/m; b) carga móvel:

3 país definem como serão estes veículos, que variam dependendo da natureza e da forma de utilização da epresentativo de trem-tipo é dado pela configuração abaixo. Note que essas cargas são grandezas conhecidas e de valor constante.

tipo constituído pelas cargas e seja a linha de influência da

partir da definição de linha de influência, o valor do efeito produzido por uma das cargas concentradas . Pelo princípio de superposição de feitos, quando atuarem todas as cargas, teremos Es = Σ Piηi.

Seja agora o caso de um trem-tipo composto por uma carga uniformemente distribuída q. Teremos:

área, na linha de influência, sob a região ocupada pela carga (a esta área chamamos área de

O caso geral será uma superposição dos dois casos anteriores. Podemos escrever, empregando o princípio

Para a estrutura abaixo, obter as envoltórias de momento fletor e esforço cortante,

as nas seções indicadas. São dados: a) carga permanente: g = 2 tf/m;

Faculdades Integradas Einstein de Limeira c) estrutura:

* observação inicial: entende-se por envoltória o lugar geométrico dos esforços máximos, de ambos os sinais, atuantes em cada seção da estrutura.

Resolução:

a) a carga permanente atuante provoca os diagramas solicitantes:

b) os efeitos máximos da carga mó indicadas são:

- Seção A

Sendo a seção A o apoio de uma viga biapoiada, temos MA = 0.

- Seção 1

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geométrico dos esforços máximos, de ambos os sinais,

a) a carga permanente atuante provoca os diagramas

b) os efeitos máximos da carga móvel nas seções

Sendo a seção A o apoio de uma viga biapoiada, temos

- Seção 2

Como as áreas positiva e negativa da linha de influência são iguais nesta seção, temos para esforços cortantes:

Para os momentos fletores temos,

Para seções simétricas em relação à seção 2, podemos verificar facilmente que as linhas de influência de momentos fletores são simétricas e as de esforço cortante são anti-simétricas. Desse modo, podemos escrever:

4 Como as áreas positiva e negativa da linha de influência são iguais nesta seção, temos para esforços

Para os momentos fletores temos,

Para seções simétricas em relação à seção 2, podemos verificar facilmente que as linhas de influência de momentos fletores são simétricas e as de esforço simétricas. Desse modo, podemos

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Para os momentos fletores temos, a partir do quadro de valores a seguinte envoltória:

Para os esforços cortantes, teremos a envoltória:

Faculdades Integradas Einstein de Limeira – Eng. Civil – Teoria das Estruturas I - 2011 ara os momentos fletores temos, a partir do quadro de

Para os esforços cortantes, teremos a envoltória: