Teoria da Computação

Teoria da Computação

(ENG10395)

Profa. Juliana Pinheiro Campos

E-mail: jupcampos@gmail.com

TEORIA DA COMPUTAÇÃO



Funções recursivas



Os formalismos usados para especificar algoritmos

podem ser classificados nos seguintes tipos:

• Operacional: define-se uma máquina abstrata

baseada em estados, em instruções primitivas e

na especificação de como cada instrução modifica

cada estado. Ex: MT.

• Axiomático: Associam-se regras às componentes

da linguagem. As regras permitem afirmar o que

será verdadeiro após a ocorrência de cada

cláusula, considerando-se o que era verdadeiro

antes da ocorrência. Ex: gramática.

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Funções recursivas

• Denotacional ou funcional: Trata-se de uma

função construída a partir de funções elementares

de forma composicional, no sentido em que o

algoritmo denotado pela função pode ser

determinado em termos de suas funções

componentes. Ex: funções recursivas parciais (de

Stephen C. Kleene) e cálculo lambda (de Alonzo

Church)

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Funções recursivas de Kleene (ou funções

recursivas parciais)

 São funções construídas sobre 3 funções naturais básicas

(funções recursivas primitivas):

• natural zero visto como uma função • sucessor (de um número natural)

• projeção (na realidade, uma família de funções, pois depende do n° de componentes, bem como de qual componente deseja-se projetar)

juntamente com as seguintes operações:

• substituição composicional (generaliza o conceito usual de composição de funções)

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Funções recursivas de Kleene (ou funções

recursivas parciais)

• recursão (definição de uma função em termos

dela mesma)

• minimização (busca, em um tempo finito, o menor

valor para o qual uma certa condição ocorre)

constituindo uma forma compacta e natural para definir

muitas funções e suficientemente poderosa para

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Definição por indução de funções recursivas



Quando você aprendeu a operação de exponenciação

pela primeira vez provavelmente foi da forma:

x

= x . x . … . x (n vezes)

Essa forma é bem simples de entender. Mais tarde você

aprendeu uma definição própria por indução:

x

_{= 1}

x

_{= x}

_{. x}

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Definição por indução de funções recursivas

 Na sua forma mais simples, a definição de uma função f

por indução a partir de uma outra função g é da forma f(0) = m

f(n + 1) = g(f(n))

A partir de agora, consideramos funções que podem ser

obtidas usando a indução e a composição, começando por algumas que são obviamente computáveis.

Para Associe

0 f(0) = m

1 f(1) = g(m)

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Definição das funções recursivas primitivas

 As funções primitivas são incontestavelmente

computáveis. São elas:

• Função constante zero

f_zero: N → N tal que, ∀ x Є N, f_zero(x) = 0 • Sucessor

sucessor: N → N tal que, ∀ x Є N, sucessor(x) = x + 1 • Projeção

proj k_i: Nk → N tal que ∀ (x

1, …, xk) Є Nk, proj ki (x1, …,

x_k) = x_i para 1 <= i <=k (retorna o i-esimo elemento de uma sequencia de k valores)

Ex: proj3₃: N3→ N (projeção da 3ª componente de uma tripla)

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Definição das funções recursivas primitivas



Elas são usadas para definir todas as outras funções

recursivas parciais.



Todas as funções tratadas serão sempre entre

números naturais.



Algumas vezes as projeções são chamadas funções

de seleção.



Proj1

é chamada de função identidade e escrita como

id(x) = x.

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Operações básicas

 Composição (substituição composicional):

Sejam as funções parciais: g: Nk → N e f

1, f2, ..., fk: Nn →N. A

função parcial: h: Nn → N é a substituição composicional de

funções, ou simplesmente substituição de funções, definida a partir de g, f₁, f₂, ... f_k como segue:

h(x₁, x₂, ..., x_n) = g(f₁(x₁, x₂, ..., x_n), f₂(x₁, x₂, ..., x_n), ... f_k(x₁, x₂, ..., x_n))

h é dita definida para (x₁, x₂, ..., x_n) se, e somente se:

 f_i(x₁, x₂, ..., x_n) é definida para todo i Є {1,2,..., k}

 g(f₁(x₁, x₂, ..., x_n), f₂(x₁, x₂, ..., x_n), ... f_k(x₁, x₂, ..., x_n)) é

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Operações básicas

 Composição (substituição composicional):

Exemplos:

f_um: sucessor(f_zero) função constante um

f_dois: sucessor(f_um) função constante dois

f_tres: adição(f_um, f_dois) função constante três

OBS: Para qualquer número natural n a função constante

pode ser definida como a aplicação de n vezes a função sucessor.

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Operações básicas

 Recursão primitiva

Sejam as funções parciais: f: Nn →N e g: Nn+2 → N.

A função parcial: h: Nn+1 → N _{é definida por recursão primitiva}

a partir de f e g como segue:

h(x₁, x₂, ..., x_n, 0 ) = f (x₁, x₂, ..., x_n)

h(x₁, x₂, ..., x_n, y + 1) = g(x₁, x₂, ..., x_n, y, h(x₁, x₂, ..., x_n, y)

A função parcial h é dita definida para (x₁, x₂, ..., x_n, ) se, e somente se:

 f (x₁, x₂, ..., x_n) é definida

 g(x₁, x₂, ..., x_n, i, h(x₁, x₂, ..., x_n, i) é definida para todo i Є

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Operações básicas

 Recursão primitiva

Exemplo: A adição é definida usando recursão primitiva: adição(x, 0) = id(x)

adição(x, y+1) = proj3₃(x, y, sucessor(adição(x, y)))

adição(3,2) = proj3₃(3, 1, sucessor(adição(3, 1))) = sucessor(adição(3, 1)) = sucessor(proj3₃(3, 0, sucessor(adição(3, 0)))) = sucessor(sucessor(adição(3, 0))) = sucessor(sucessor(3)) = sucessor(4) = 5

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Operações básicas

 Minimização

Seja f:Nn+1→N _{uma função parcial. A função parcial: h:} Nn→N _{é fita definida por minimização de f e é tal que, ∀(x}

1, x₂, ..., x_n, y) Є Nn+1:

h(x₁, x₂, ..., x_n) = min{y | f(x₁, x₂, ..., x_n, y) = 0 e, ∀z tal que z < y, f(x₁, x₂, ..., x_n, z) é definida}

A função h, para o valor (x₁, x₂, ..., x_n) é definida como o menor natural y tal que f(x₁, x₂, ..., x_n, y) = 0. Adicionalmente, a condição “∀z tal que z < y, f(x₁, x₂, ..., x_n, z) é definida” garante que é

possível determinar, em um tempo finito, se, para qualquer valor z menor do que y, f(x₁, x₂, ..., x_n, z) é diferente de zero

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Operações básicas

 Minimização

Exemplo: função número zero. Suponha a função constante f_zero. Seja const_Zero o nº 0 nos naturais (não confundir com a função constante zero):

const_Zero: 1 → N (função número zero const_Zero(*)= 0)

Podemos representar também como const_Zero: → N

Podemos definí-la por minimização da seguinte forma: const_Zero = min{y | f_zero(y) = 0}.

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Funções recursivas

 Função recursiva total

Como o próprio nome indica, função recursiva total nada

mais é que uma função recursiva parcial que é total, ou seja, definida para todos os elementos do domínio.

Como podemos ver, as seguintes classes de funções são equivalentes:

 funções recursivas parciais e funções turing-computáveis;

 funções recursivas totais e funções turing-computáveis totais.

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Funções recursivas

 Operações limitadas

Uma vez que estamos limitados aos números naturais, não podemos ter algumas operações convencionais como as operações de subtração e divisão.

A subtração realizada em sala de aula é a subtração limitada m – n = máx{m – n, 0}

A função divisão div(m, n):divisão inteira de m por n pode ser realizada convencionando que o resultado é nulo

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Funções recursivas



Predicado recursivo primitivo: é uma função

recursiva parcial que assume somente os valores 0 e

1.

Exemplo: função e

: retorna 1 para o argumento 0 e

0, caso contrário.

e_zero(0) = f

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Funções recursivas



Predicado recursivo primitivo:

Ex: função maior_ou_igual: maior_ou_igual(m,n) = 1 quando m >= n; e 0 caso contrário.

maior_ou_igual (m, n) = e_zero(sub(n, m)

Ex: E a função menor_que(m,n) como seria?

menor_que(m, n) = f_um – maior_ou_igual(m, n)

OBS: A negação de qualquer predicado recursivo também é um predicado recursivo.

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Funções recursivas



Predicado recursivo primitivo:

Resumindo, se f e g são funções recursivas e p é um

predicado recursivo, todos os três com o mesmo

número de argumentos k, então a função definida por

casos

f(n₁, …, n_k) = g(n₁, …, n_k), se p(n₁, …, n_k); f(n₁, …, n_k) = h(n₁, …, n_k), caso contrário;

também é recursiva primitiva, uma vez que pode ser

reescrita como:

f(n₁, …, n_k) = p(n₁, …, n_k) x g(n₁, …, n_k) + (1 - p(n₁, …, n_k)) x h(n₁, …, n_k) ;

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Referências



Diverio, T. A.; Menezes, P. B.. Teoria da Computação:

Máquinas Universais e Computabilidade. Porto

Alegre: Sagra Luzzato, 2000.

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Carnielli, W. A.; Epstein, R. L.; Computabilidade,

funções computáveis, lógica e os fundamentos da

matemática. 2.ed. São Paulo: Editora UNESP, 2009.