Referências. Matemática financeira.

(1)

Matemática Financeira - Unidades 1 & 2 Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego.fernandes@pitagoras.com.br

http://diegofernandes.weebly.com 1

Matemática financeira

Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva

diego.fernandes@pitagoras.com.br http://diegofernandes.weebly.com

1

Referências

HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5. ed.. São Paulo: Saraiva, 2005.

SANTOS, João Carlos dos. Matemática financeira. Londrina: Editora e Distribuidora S.A., 2016. (livro institucional)

VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed.. São Paulo: Atlas, 2000.

(2)

Dica 1

• Quem quiser e puder, recomenda-se a compra de uma boa calculadora. Duas boas sugestões para alunos de Administração, Contábeis e afins:

– Calculadora financeira HP-17BII+

– Calculadora cientifica Casio FX-991ex Classwiz

• Observação: O curso é de Matemática Financeira e não de como aprender a mexer na calculadora A, B ou C. Para isso, cada aluno deverá verificar o manual da calculado que possui, procurar vídeos tutoriais no Youtube, ou cursos específicos.

3

Dica 2

A chave do sucesso é dada pela equação:

+ + × =

Onde

– Querer: Vontade, persistência – Saber: Adquirir conhecimento

– Acreditar: Confiar que com trabalho duro resultados irão aparecer – Praticar: Treinar e exercitar tudo o que aprendeu

– Realizar: Colocar em prática o resultado adquirido

Obs.: A disciplina / professor irão apresentar uma série de conteúdos, teorias, explicações básicas, além de compartilhar seus conhecimentos... O resultado de cada aluno e como ele irá aproveitar e aplicar o conteúdo depende

inteiramente dele.

(3)

Matemática Financeira - Unidades 1 & 2 Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego.fernandes@pitagoras.com.br http://diegofernandes.weebly.com 3

Unidade 1

Juros e parcelamentos:

Conceitos básicos

5

Seção 1.1

Juros simples e taxa equivalente

(4)

Matemática financeira

• Ramo da matemática que busca entender e analisar

– Evolução e variação do dinheiro ao longo do tempo – Alternativas de investimentos

– De financiamentos – Aplicações

7

Capital

• Valor aplicado em alguma operação financeira

• Conhecido também como

– Principal – Valor atual – Valor presente – Valor aplicado

(5)

Juros

• Remuneração do capital

• Pode se dar segundo dois regimes

– Juros simples – Juros compostos

9

Taxa de juros

• Taxa que indica a remuneração pelo o qual o capital foi

aplicado

• A taxa é expressa em períodos

– 50% a.a. (ao ano) – 30% a.s. (ao semestre) – 20% a.q. (ao quadrimestre) – 15% a.t. (ao trimestre) – 5% a.m. (ao mês) – 0,05% a.d. (ao dia) – Etc.

(6)

Montante

• Resultado futuro de uma operação financeira

• Também conhecido como valor futuro

11

Fatores

• Toda operação financeira depende de uma série de

aspetos. Os principais são:

– Riscos: Probabilidade de operação não se concretizar – Despesas operacionais: Custos contratuais e tributários

para formalizar operação

– Inflação: perda do poder aquisitivo da moeda – Ganho: Lucro que pessoa deseja auferir

(7)

Capitalização simples

Fórmulas: = ∗ ∗ = + = + ∗ ∗ = ∗ 1 + ∗ Legendas = valor do juros

= valor do capital ou principal = taxa de juros

= prazo da operação

13

Revisão básica

• Perceba através do exemplo que:

(8)

Exemplo 1

Qual o valor do juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00 pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? (VIEIRA SOBRINHO, p. 22, 2000).

Dados = 10.000 = 5 meses = 3% a.m. ou 0,03 = ? Resolução = ∗ ∗ = 10.000 ∗ 0,03 ∗ 5 = $ . , 15

Exemplo 2

Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$ 7.875,00. Determinar a taxa correspondente. (VIEIRA SOBRINHO, p. 22, 2000). Dados = 25.000 = 7 meses = 7.875 = ? Resolução = ∗ ∗ 7.875 = 25.000 ∗ ∗ 7 = 7.875 25.000 ∗ 7= 0,045 ou 4,5% a. m. 16

(9)

Exemplo 3

Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. (VIEIRA SOBRINHO, p. 23, 2000).

Dados = 7.500 = 6.000 = 8% a.t. ou 0,08 = ? Resolução = ∗ ∗ 6.000 = 7.500 ∗ 0,08 ∗ = 6.000 7.500 ∗ 0,08= 10 17

Exemplo 4

Um empréstimo de R$ 23.000,00 é liquidado por R$ 29.200,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros. (VIEIRA SOBRINHO, p. 23, 2000).

Dados = 23.000 = 29.200 = 152 dias % a.m. = ? Resolução M= + 29.200 = 23.000 + = 6.200 = ∗ ∗ 6.200 = 23.000 ∗ ∗ 152 = 0,001773 . . Para taxa mensal, multiplicar por 30...

= , ∗

(10)

Taxa equivalente em juros simples

• Dado períodos em unidades distintas (mensal e

anual por exemplo), duas taxas e são ditas

equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital

produzem exatamente o mesmo montante...

• Observação: Juros Comercial ... (Juros Exato)

Ano = 360 dias ... (365 dias e 366 em anos bissextos)

Mês = 30 dias ... (número exato de dias do mês em questão)

19

Taxa equivalente em juros simples

,

... ... ...

0 1 1 ... ... ... 1 1 período

Taxa e taxa são equivalentes, dessa forma temos: = ∗

∗ = ∗ ∗

= ∗

Legendas

: taxa de juros (período maior) : taxa de juros (período menor) : período de

(11)

Tabela para conversão de tempo

(juros comercial – ano com 360 dias)

Dia Mês Bimestre _mestreTri Quadri_mestre Semestre Ano

1 1/30 1/60 1/90 1/120 1/180 1/360 30 1 30/60 30/90 30/120 30/180 30/360 60 2 1 60/90 60/120 60/180 60/360 90 3 90/60 1 90/120 90/180 90/360 120 4 2 120/90 1 120/180 120/360 180 6 3 2 180/120 1 180/360 360 12 6 4 3 2 1 21

Exemplo 5

• Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.? Dados = 15% a.a. = ? % a.t. 1 ano = 4 trimestres Resolução = ∗ 15 = ∗ 4 =15 4 = 3,75% . . 22

(12)

Exemplo 6

• Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% a.t.?

Dados = ?% a.a. = 2% a.t. 1 ano = 4 trimestres Resolução = ∗ = 2 ∗ 4 = 8% . . 23

Exemplo 7

Uma pessoa realiza uma compra de um bem, cujo valor à vista é de R$ 1.500,00. Ela dá uma entrada de R$ 400,00 e financia o restante em 2 meses. Sob uma taxa de juros simples de 24% a.a., pede-se para determinar o montante de juros pago na operação. Dados = − = 1.100,00 = 2 = 24% . . 1 ano = 12 meses =? Resolução = ∗ ∗ = 1100 ∗24% 12 ∗ 2 = $ 44,00 24

(13)

Fórmulas de juros simples

Juros = Período ₌ − 1

Montante ₌= +_{1 +} Taxa ₌ − 1

Capital =

1 + Taxa equivalente = ∗

25

Exercícios (Vieira Sobrinho, 2000, p. 30-31)

1. Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. (R: $ 8.400,00).

2. Um capital de $ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ 11.200,00. Determinar a taxa anual. (R: 60% a.a.).

3. Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 100.000,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? (R: $ 31.271,48).

4. Em quanto tempo um capital de $ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de $ 1.000,00? (R: 250 dias ou 8,333 meses.).

5. Em quantos dias um capital de $ 270.420,00 produzirá juros de $ 62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? (R: 128 dias.).

6. Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de $ 543.840,00. (R: $ 400.00,00) 26

(14)

Resolução exercício 1

Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. (R: $ 8.400,00).

= ∗ ∗ = 60.000 ∗0,24 12 ∗ 7 J = R$ 8.400,00 27

Resolução exercício 2

Um capital de $ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ 11.200,00. Determinar a taxa anual. (R: 60% a.a.).

= ∗ ∗

11.200 = 28.000 ∗

12 ∗ 8 = 0,6 ou 60% a. a.

(15)

Resolução do exercício 3

Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 100.000,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? (R: $ 31.271,48). = − = 1 + = 100.000 − 100.000 1 +0,42_{12 ∗ 13} ≅ $ 31.271,48 29

Resolução exercício 4

Em quanto tempo um capital de $ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de $ 1.000,00? (R: 250 dias ou 8,333 meses.). = (1 + ∗ ) = 1.000 800 − 1 0,001 = 250 30

(16)

Resolução exercício 5

Em quantos dias um capital de $ 270.420,00 produzirá juros de $ 62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? (R: 128 dias.).

= ∗ ∗ = 62.304,77 270.420 ∗0,054₃₀ = 128 31

Resolução exercício 6

Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de $ 543.840,00. (R: $ 400.00,00) = (1 + ) = 543.840 1 +0,062_{30 ∗ 174} = $ 400.000,00 32

(17)

Seção 1.2

Séries de juros simples

33

Por que é importante...

• Compras com ou sem entrada

• Saldo restante liquidado em uma série de parcelas

periódicas iguais

• Quanto será que pagaríamos em cada parcela?

• Esse questionamento será respondido na aula de hoje.

(18)

Fórmula básica

=

1 +

=

−

35

Exemplo 1

Um aluno deseja comprar uma calculadora para as aulas de matemática financeira, cujo preço à vista é R$ 360,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros simples de 2,5% a.m., durante 3 meses. Determine o valor das parcelas. Resolução − = 1 + 360 = 1 + 0,025 ∗ 1+1 + 0,025 ∗ 2+1 + 0,025 ∗ 3 360 = 1 1,025+ 1 1,05+ 1 1,075 ≅ 125,95, , 3 $ 125,95. Dados = 360 = 0,025 . . = 3 =? 36

(19)

Exemplo 2

Um produto foi adquirido com entrada de R$ 100,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros simples de 60% a.a., qual o valor do produto à vista? _Resolução

− = 1 + − 100 = 250 1 + 0,05 ∗ 1+ 250 1 + 0,05 ∗ 2 A = 250 1,05+ 250 1,1 + 100 ≅ $ 565,37. Dados = + =0,6 . . 12 = 0,05 . . = 2 = 250,00 = 100,00 =? 37

Exercícios

1. Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros simples de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,48).

2. Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros simples de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 529,72).

(20)

Exercício 1 - Resolução

Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros simples de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,48) _Resolução

− = 1 + − 150 = 250 1 + 0,02 ∗ 1+ 250 1 + 0,02 ∗ 2 A = 250 1,02+ 250 1,04 + 150 ≅ $ 635,48. Dados = + = 0,02 . . = 2 = 250,00 = 150,00 =? 39

Exercício 2 - Resolução

Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros simples de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 529,72).

Resolução − = 1 + 1500 = 1 + 0,03 ∗ 1+1 + 0,03 ∗ 2+1 + 0,03 ∗ 3 1500 = 1 1,03+ 1 1,06+ 1 1,09 ≅ 529,72, , 3 $ 529,72. Dados = 1.500,00 = 0,03 . . = 3 =? 40

(21)

Seção 1.3

Juros compostos e taxa equivalente

41

Por que é importante

• Regime de capitalização composta ou exponencial é

o mais usado nas operações financeiras...

• Neste regime os juros são incorporados ao principal

em cada período considerado...

• Conhecido como juros sobre juros

(22)

Fórmulas básicas

Fórmulas = − = 1 + = 1 + ⁄ − 1 Legendas = Capital = Valor à vista = Entrada = Montante = Taxa de juros = Período

= Taxa que eu quero = Taxa que eu tenho = Período que eu quero = Período que eu tenho

43

Exemplo 1

Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$ 30.000,00, pelo prazo de 5 meses, à uma taxa de juros de 5% a.m.. 44 Resolução = 1 + = 30000 1 + 0,05 = $ 38.288,45 Dados = 30.000,00 = 0,05 . . = 5 =?

(23)

Exemplo 2

No final de 3 anos, um empréstimo gera um pagamento de R$ 150.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi 2,5% a.m., pergunta-se: Qual foi o valor emprestado?

Resolução = 1 + 150000 = 1 + 0,025 = 150000 1,025 = $ 61.664,06 Dados =? = 0,025 . . = 3 = 36 = 150.000,00 45

Exemplo 3

Uma calculadora, cujo preço à vista é R$ 750,00, foi financiada sem entrada e seu pagamento foi realizado no final do 6 mês em uma única prestação de R$ 875,36. Qual foi a taxa cobrada pela loja?

Resolução = 1 + 875,36 = 750,00 1 + 875,36 750,00= 1 + Dados = 750,00 =? % . . = 6 = 875,36 875,36 750,00 = 1 + 875,36 750,00 = 1 + = 875,36 750,00 − 1 = 0,0261 2,61% . . 46

(24)

Exemplo 4

Um capital C é aplicado a uma taxa de juros composto de 4% a.m.. Qual o prazo necessário para que o investidor dobre o seu capital? Resolução = 1 + 2 = 1 + 0,04 Dados = = 4% . . =? = 2 2 = 1,04 2= 1,04 ln 2 = ln 1,04 = ln 2 ln 1,04 = 17,67 47

Quando não sabemos o valor do

período, resolvemos por logaritmo

• Porque: = ⇔ log =

• E que mudança de base é dado por (maioria das calculadoras fazem logaritmo neperiano e/ou logaritmo de base 10)... • Independente de qual base usar, desde que seja a mesma para

os dois valores, o resultado é o mesmo...

= ln ln

(25)

Exemplo 5

Determinar:

a. Taxa anual equivalente a 3% a.m..

(3% a.m. = 0,03 a.m., a.a. = ?)

b. Taxa diária equivalente a 60% a.a..

(60% a.a. = 0,6 a.a., a.d. = ?)

Resolução (a) = 1 + − 1 = 1 + 0,03 − 1 = 0,4258 42,58% . . Resolução (b) = 1 + − 1 = 1 + 0,6 − 1 = 0,001306 0,1306% . . ₄₉

Exemplo 6

Qual a taxa mensal de juros cobrada num empréstimo de R$ 52.000,00 para ser quitada por R$ 82.000,00 no prazo de 252 dias?

Resolução

Primeira, precisamos descobrir a taxa do período...

=82000 52000− 1

Observação no slide seguinte...

Depois, achar a taxa equivalente = 1 + − 1

= 1 + 82000

52000− 1 − 1 = 0,05572 5,572% . .

(26)

Observação

• A taxa de juros é a razão entre os juros recebidos e o capital inicialmente aplicado. Matematicamente:

=

• Como o = − , também podemos achar a taxa como segue:

= − = − = − 1

51

Exemplo 7

Foi feita uma aplicação de R$ 18.000,00 num título de renda fixa com vencimento em 82 dias, a uma taxa de juros de 68% a.a.. Qual o valor a ser resgatado?

Dados = 68% . . = 0,68 . . = 18.000,00 = 82 =? Resolução = 1 + = 18000 1 + 0,68 = $ 20.257,83 52

(27)

Exercícios

1. Determinar o montante no final de 13 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,82% a.m.. (R: R$ 162.799,60). 2. Uma aplicação de R$ 20.000,00 aplicada a uma taxa de juros de 2,36%

a.m. pode ser resgatada por R$ 34.455,00 depois de quanto tempo? (R: 23,32 meses).

3. Qual o valor, que aplicado a uma taxa de 14% a.t. durante 186 dias produz um montante de R$ 5.400,00? (R: R$ 4.118,99).

4. Uma aplicação rende 0,125% a.d.. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro do que aplicou? (R: 554,86 dias).

53

Exercício 1 - resolução

Determinar o montante no final de 13 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,82% a.m.. (R: R$ 162.799,60).

= 1 +

= 100000 1 + 0,0382 = $ 162.799,60

(28)

Exercício 2 - resolução

Uma aplicação de 0R$ 20.000,00 aplicada a uma taxa de juros de 2,36% a.m. pode ser resgatada por R$ 34.455,00 depois de quanto tempo? (R: 23,32 meses).

= 1 + 34455 = 20000 1 + 0,0236 34455 20000= 1,0236 =ln 34455 20000 ln 1,0236 = 23,32 ₅₅

Exercício 3 - resolução

Qual o valor, que aplicado a uma taxa de 14% a.t. durante 186 dias produz um montante de R$ 5.400,00? (R: R$ 4.118,99).

= 1 + 5400 = 1 + 0,14 5400 1,14 = = $ 4.118,99 56

(29)

Exercício 4 - resolução

Uma aplicação rende 0,125% a.d.. Em que prazo um

investidor poderá receber o dobro do que aplicou? (R: 554,86 dias). 57 = 1 + 2 = 1 + 0,00125 2 = 1,00125 ln 2 = ln 1,00125 = ln 2 ln 1,00125 = 554,86

Seção 1.4

Séries de juros compostos

(30)

Por que é importante...

• Compras com ou sem entrada

• Saldo restante liquidado em uma série de parcelas

periódicas iguais

• Quanto será que pagaríamos em cada parcela?

• Esse questionamento será respondido na aula de hoje.

59

Fórmula básica

=

1 +

=

−

60

(31)

Exemplo 1

Um aluno deseja comprar uma calculadora para as aulas de matemática financeira, cujo preço à vista é R$ 360,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m., durante 3 meses. Determine o valor das parcelas.

Resolução − = 1 + 360 = 1 + 0,025 + 1 + 0,025 + 1 + 0,025 360 = 1 1,025+ 1 1,050625+ 1 1,076890625 ≅ 126,05, , 3 $ 126,05. Dados = 360 = 0,025 . . = 3 =? 61

Exemplo 2

Um produto foi adquirido com entrada de R$ 100,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros compostos de 60% a.a., qual o valor do produto à vista? Dados = + = 1 + 0,6 − 1 = 0,0399 3,99% . . = 2 = 250,00 = 100,00 =? 62 Resolução − = 1 + − 100 = 250 1 + 0,0399 + 250 1 + 0,0399 = 250 1,0399+ 250 1,0814 + 100 ≅ $ 571,59.

(32)

Exemplo 3

Pedro comprou uma impressora de R$ 1.300,00, pagou uma entrada de R$ 300,00 e financiou o restante em duas parcelas mensais nos valores de R$ 650,00 e R$ 450,00, respectivamente. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. Determinar a taxa de juros.

63 Resolução − = 1 + 1.300 − 300 = 650 1 + + 450 1 + 1.000 =650 1 + + 450 1 + 1.000 1 + = 650 + 650i + 450 1.000 1 + 2 + = 1.100 + 650 1.000 + 2.000 + 1.000 − 1.100 − 650 = 0 −100 + 1.350 + 1.000 = 0 Δ = 1.350 − 4 1.000 −100 = 2.222.500 =−1.350 + 2.222.500 2 ∗ 1.000 = 0,0704 7,04% . .

Exercícios

1. Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros composta de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,39).

2. Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 530,30). 3. Pedro comprou um PC de R$ 1.500,00, pagou uma entrada de R$ 500,00

e financiou o restante em duas parcelas mensais e iguais no valor de R$ 650,00. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. Determinar a taxa de juros. (R: 19,43% a.m.)

(33)

Exercício 1 - resolução

Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros composta de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,39). Resolução − = 1 + − 150 = 250 1 + 0,02 + 250 1 + 0,02 = 250 1 + 0,02 + 250 1 + 0,02 + 150 = R$ 635,39 65

Exercício 2 - resolução

Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 530,30).

66 Resolução − = 1 + 1500 = 1 + 0,03 + 1 + 0,03 + 1 + 0,03 1500 = 1 1,03+ 1 1,0609+ 1 1,092727 = ₁ 1500 1,03 +1,0609 +1 1,0927271 = $ 530,30

(34)

Exercício 3 - resolução

Pedro comprou um PC de R$ 1.500,00, pagou uma entrada de R$ 500,00 e financiou o restante em duas parcelas mensais e iguais no valor de R$ 650,00. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. Determinar a taxa de juros. (R: 19,43% a.m.)

67 Resolução − = 1 + 1.500 − 500 = 650 1 + + 650 1 + 1.000 =650 1 + + 650 1 + 1.000 1 + = 650 + 650i + 650 1.000 1 + 2 + = 1.300 + 650 1.000 + 2.000 + 1.000 − 1.300 − 650 = 0 −300 + 1.350 + 1.000 = 0 Δ = 1.350 − 4 1.000 −300 = 3.022.500 =−1.350 + 3.022.500 2 ∗ 1.000 = 0,1943 19,43% . .

Unidade 2

Aplicações dos conceitos básicos

(35)

Seção 2.1

Capital de giro – desconto bancário

69

Contexto

• Em muitas situações, para conseguirem liquidez,

pessoas e empresas podem antecipar recebimento de

ativos financeiros.

• Capital de giro: recurso que garante condições para

uma empresa dar continuidade às suas ações

• Desconto bancário: antecipação de recebimento de

um título

(36)

São considerados títulos

• No caso de empresas (pessoas jurídicas)

– Promissórias – Duplicatas – Boletos – Cheques

– Faturas de cartão de crédito

• No caso de pessoas físicas

– 13º salário – Restituição do IR

71

Desconto simples

Também conhecido como desconto bancário ou comercial

Matematicamente =

= −

= (1 − )

Pelo fato de ser taxa de juros simples, em caso de períodos diferentes usar a fórmula da taxa equivalente de juros simples:

= ∗

72

Legenda:

= Desconto bancário ou comercial = Valor nominal do título a ser descontado = Taxa de desconto

= Prazo

(37)

Taxa do período

73 N-D N 0 n C M 0 n = − 1 = − − 1

Exemplo 1

1. Qual o valor do desconto simples de um título de

R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa

de desconto comercial de 3% ao mês?

2. Qual o valor recebido na operação?

74 Resolução: (1) = = 3000 ∗ 0,03 ∗ 3 = $ 270,00 (2) = − = 3000 − 270 = $ 2.730,00 Dados: =3000 = 0,03 a.m. = 90 dias ou 3 meses = ?

(38)

Exemplo 2

Qual a taxa de desconto comercial utilizada numa

operação de 120 dias, cujo o valor de resgate é de R$

1.500,00 e o valor atual é de R$ 900,00?

75 Resolução: = 1 − 900 = 1500 1 − 4 900 1500= 1 − 4 0,6 − 1 = −4 Dados: =1500 = 900 = 120 dias ou 4 meses = ? Resolução (continuação): −0,4 = −4 ∗ −1 0,4 = 4 =0,4 4 = 0,1 10% . .

Exemplo 3

Um título de R$ 10.000,00 foi descontado num banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m.. Pergunta-se: (a) Qual o valor do desconto? (b) Qual o valor líquido recebido,

sabendo-se que o banco cobra uma taxa de serviço de 0,5% do valor do título, pago no dia que a empresa a descontou?

76 (b) ç = 0,005 ∗ 10000 = 50 = 10000 − 280 − 50 = $ 9.670,00 (a) = = 10000 ∗ 0,02 30 ∗ 42 = $ 280

(39)

Exemplo 4

Uma empresa descontou dois títulos, um com valor de R$ 1.500,00 vencendo em 85 dias e outro com valor de R$ 2.700,00 vencendo em 10 dias. A taxa de desconto comercial é de 13,2% a.m.. Qual o valor resgatado pela empresa?

77

Título vencendo em 85 dias = = 1500 ∗ 0,132 30 ∗ 85 = $ 561,00 = − = 1500 − 561 = $ 939,00

Título vencendo em 10 dias = = 2700 ∗ 0,132 30 ∗ 10 = $ 118,80 = − = 2700 − 118,80 = $ 2.581,20 Valor resgatado é 939 + 2581,20 = R$ 3.520,20.

Relação entre taxa de desconto

e taxa de juros simples

78 = − − 1 − − − = − = 1 − = 1 − = 1 −

Exemplo: Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for 3 meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação? (HAZZAN; POMPEO, 2005, p.22). Resolução: : = 4% e = 3. = 0,04 1 − 0,04 3 = 0,04545455 4,54545455 % . . V P R $ 1 0 0 , 0 0 d 4 , 0 0 % V F R $ 1 1 3 , 6 4 n 3 i 4 , 5 5 % N R $ 1 1 3 , 6 4 V d R $ 1 0 0 , 0 0 V d = N ( 1 - d n ) i = d / ( 1 - d n ) V F = V P ( 1 + i n )

(40)

Exemplo 5

• Uma duplicata com prazo de vencimento de 2 meses foi descontado num banco, proporcionando-lhe uma taxa de juros efetiva de juros igual a 3% a.m.. Qual a taxa de desconto utilizada? (HAZZAN; POMPEO, 2005, p.20). 79 = 1 − 0,03 = 1 − 2 0,03 1 − 2 = 0,03 − 0,06 = − − 0,06 = −0,03 −1,06 = −0,03 =0,03 1,06= 0,283 2,83% . .

Exercícios (HAZZAN; POMPEO, 2005, p.23)

1. Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada num banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% a.m.. Obtenha:

a. O desconto comercial (R: $ 360,00)

b. O valor descontado (ou valor atual comercial) do título (R: $ 8.640,00) c. A taxa de juros no período (R: 4,17%)

d. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 2,08% a.m.)

2. Um fundo de investimento adquiriu por $ 48.000,00 um título

governamental com valor de face de $ 50.000,00. Sabendo-se que o prazo do vencimento do título era de 49 dias, calcule:

a. A taxa de juros efetiva no período (R: 2,46%)

b. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 1,51% a.m.)

(41)

Exercício 1 - resolução

Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada num banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% a.m.. Obtenha:

a. O desconto comercial (R: $ 360,00)

b. O valor descontado (ou valor atual comercial) do título (R: $ 8.640,00) c. A taxa efetiva de juros no período (R: 4,17%)

d. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 2,08% a.m.)

81 (a) = = 9000 ∗ 0,02 ∗ 2 = $ 360,00 (b) = − = 9000 − 360 = $ 8.640,00 (c) = − 1 =9000 8460− 1 = 0,0417 4,17% (d) = ∗ 4,17 = ∗ 2 =4,17 2 = 2,08% . .

Exercício 2 - resolução

Um fundo de investimento adquiriu por $ 48.800,00 um título governamental com valor de face de $ 50.000,00. Sabendo-se que o prazo do vencimento do título era de 49 dias, calcule:

a. A taxa de juros efetiva no período (R: 2,46%)

b. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 1,51% a.m.)

82 Dados: = 50.000 − = 48.800 = 49 = ? % . . = ? % . . Resolução (a): = − − 1 = 50000 48800− 1 = 0,0246 2,46% . . Resolução (b): = ∗ 2,46% = ∗49 30= 1,51% . .

(42)

Seção 2.2

Desconto bancário com IOF

83

Contexto

• Em muitas situações, para conseguirem liquidez, pessoas e empresas podem antecipar recebimento de ativos financeiros. • Capital de giro: recurso que garante condições para uma

empresa dar continuidade às suas ações

• Desconto bancário: antecipação de recebimento de um título • Parecido com seção 2.1, porém agora com a inclusão do IOF

(43)

IOF

• Imposto sobre Operações Financeiras

• É usado pelas instituições financeiras em:

– Operações de câmbio – Crédito – Seguros – Títulos – Valores imobiliários 85

Desconto simples com IOF

Matematicamente = +NIOFn = + = − = − + = 1 − +

Pelo fato de ser taxa de juros simples, em caso de períodos diferentes usar a fórmula da taxa equivalente de juros simples:

= ∗

86

Legenda:

= Desconto bancário ou comercial = Valor nominal do título a ser descontado = Taxa de desconto

= Prazo

= Valor descontado (valor recebido) IOF = Imposto sobre operações financeiras

(44)

Exemplo 1

• Qual o valor do desconto simples de um título de

R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa

de desconto comercial de 3% ao mês e IOF de

0,017% a.d.?

87 Resolução: = + = 3000 0,03 + 0,0051 ∗ 3 = $ 315,90 Dados: =3000 = 0,03 a.m. = 90 dias ou 3 meses = ? = 0,017% . . ou 0,017 ∗ 30 = 0,51% a. m.

Exemplo 2

Qual a taxa de desconto comercial utilizada numa operação de 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.500,00, o IOF é 0,02% a.d. e cujo valor atual é de R$ 900,00?

88 Resolução: = ∗ 1 − + ∗ 900 = 1500 ∗ 1 − + 0,006 ∗ 4 900 1500= 1 − + 0,006 ∗ 4 0,6 − 1 = − + 0,006 ∗ 4 −0,4 4 = − − 0,006 −0,1 + 0,006 = − ∗ −1 = 0,094 9,40% . . Dados: =1.500 = 900 = 120 dias ou 4 meses = 0,02% . . 0,02 * 30 = 0,6% a.m. = ?

(45)

Exercícios

1. (SANTOS, 2016, p. 82) Uma loja de joias raras irá pagar um de seus fornecedores com o valor obtido da antecipação de duas duplicatas nos valores de R$ 23.460,00 e R$ 36.780,00, com vencimentos em 6 e 19 dias respectivamente. O banco que fará a transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal de 22,32% a.a. e IOF de 7,2% a.a. Calcule o valor que o fornecedor receberá. (R: R$ 59.551,55)

2. (SANTOS, 2016, p. 87) A antecipação de uma duplicada de R$ 12.600,00 em 27 dias resultou num resgate de R$ 10.830,96, é sabido que o IOF cobrado foi de 0,08% a.d. Determine a taxa nominal cobrada nessa antecipação. (0,44% a.d.)

89

Exercício 1 - resolução

(SANTOS, 2016, p. 82) Uma loja de joias raras irá pagar um de seus fornecedores com o valor obtido da antecipação de duas duplicatas nos valores de R$ 23.460,00 e R$ 36.780,00, com vencimentos em 6 e 19 dias respectivamente. O banco que fará a transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal de 22,32% a.a. e IOF de 7,2% a.a. Calcule o valor que o fornecedor receberá. (R: R$ 59.551,55)

90 Resolução: = ∗ 1 − + ∗ í 1: = 23460 ∗ 1 − 0,2232 + 0,072 ∗ 6 360 = $ 23.344,58 í 2: = 36780 ∗ 1 − 0,2232 + 0,072 ∗ 19 360 = $ 36.206,97 23.344,58 + 36.206,97 = $ 59.551,55

(46)

Exercício 2 - resolução

(SANTOS, 2016, p. 87) A antecipação de uma duplicada de R$ 12.600,00 em 27 dias resultou num resgate de R$ 10.830,96, é sabido que o IOF cobrado foi de 0,08% a.d. Determine a taxa nominal cobrada nessa antecipação. (0,44% a.d.)

91

Resolução: = ∗ 1 − + ∗

10.830,96 = 12.600,00 ∗ 1 − + 0,0008 ∗ 27 = 0,0044 . . 0,44% . .

Seção 2.3

Taxa efetiva e nominal

(47)

Observação

• Ao fazer leitura da seção 1.3, perceber que a

mesma se encontra com erro...

• Para referência correta, sugere-se:

– HAZZAN; POMPEO (2005) – p. 51-54 – VIERA SOBRINHO (2000) – p. 184-185 – MOTTA; CALÔBA ( 2002) – p. 45-46

93

Taxa nominal versus efetiva

• Taxa nominal e taxa efetiva costumam confundir muitas

pessoas.

• Imagine que você emprestou ou aplicou determinado

capital. Essa contrato, no final de um período, irá

render uma quantia de juros a ser paga ou recebida.

• Agora imagine a seguinte situação. Você vai ao banco

pegar um empréstimo, e taxa informada pelo banco é

de 12% ao ano com capitalização mensal (12% a.a. /

mês). O que será isso? Como entender essa situação?

(48)

TAXA NOMINAL

Taxa nominal versus efetiva - exemplo

95

100

0 1n 2n 3n

10% a.m./m 10% a.m./m 10% a.m./m

110 121 133,10

30% a.t. / mês

33,1% a.t./t

TAXA EFETIVA

Taxa nominal versus efetiva - exemplo

Temos que a taxa nominal é 30% a.t. / m

Achando a taxa equivalente ( = ∗ ) achamos

= %= 10% a.m./mês, o que corresponde a nossa taxa efetiva

Agora, e a taxa efetiva trimestral? Por taxa equivalente em juros compostos ( = 1 + − 1) achamos

= 1 + 0,1 ⁄ − 1 = 0,331 ou 33,10% a.t./t

Sendo assim, você descobre que na realidade você esta pagando 33,10% a.t., o que é maior do que 30% a.t.

(49)

Aplicação

• Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 12% a.a., durante 1 ano, com capitalização mensal. Determinar o valor do montante. = = 12% 12 = 0,01 = 1.000 1 + 0,01 = $ 1.126,83 97

Perceba: Capital de R$ 1.000,00, aplicado à

taxa de 12% a.a., durante 1 ano:

Com

Capitalização

Taxa efetiva Montante

Anual 12% . . = 1000 1,12 = 1.120 Semestral 12% 2 . = 1000 1 +0,12₂ = 1.123,60 Trimestral 12% 4 . . = 1000 1 +0,12₄ = 1.125,51 Bimestral 12% 6 . . = 1000 1 +0,12₆ = 1.126,16 Mensal 12% 12 . . = 1000 1 +0,12₁₂ = 1.127,47 Diária 12% 360 . . = 1000 1 +0,12₃₆₀ = 1.127,47

(50)

Exercício 1

• Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado à uma taxa de

24% a.a., durante 2 anos, com capitalização

trimestral. Determinar o montante da operação.

=

24%

4 = 6% . .

= 1.000 1 + 0,06 = $ 3.187,70

99

Exercício 2

• Um capital de R$ 2.500,00 é aplicado à uma taxa de

24% a.a., com capitalização trimestral. Determinar

o tempo necessário para triplicar o capital investido.

=

24%

4 = 6% . .

7.500 = 2.500 1 + 0,06 = 18,85

(51)

Seção 2.4

NEGOCIAÇÃO COM JUROS SIMPLES

E COMPOSTOS

101

Para simplificar

• Vamos supor duas situações e comparar os:

– capitais da situação A com a situação B, e o

– valor a vista da situação A com a situação B

(52)

Supondo

• Capital de R$ 1.000,00 foi emprestado a uma taxa

de juros de 4% a.m., a ser devolvido (supor)

103

n Juros simples Juros compostos

0 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 5 dias R$ 1.006,67 R$ 1.006,56 15 dias R$ 1.020,00 R$ 1.019,80 1 mês R$ 1.040,00 R$ 1.040,00 5 meses R$ 1.200,00 R$ 1.216,65 12 meses R$ 1.480,00 R$ 1.601,03

Perceba

• Curto prazo – período de até 30 dias

– Valor do juros simples é maior

• Valor igual – 1 mês

– cruzamento entre juros simples e juros compostos

• Longo prazo – período acima de 30 dias

– Valor do juros compostos é maior

– Perceba que pagar em juros simples depois de 30 dias é sempre melhor...

(53)

Negociação – exemplo 1

• Produto tem sua venda anunciada em duas parcelas

mensais e iguais a R$ 600,00, sob o regime de juros

compostos de 1,8% a.m.. Um comprador

interessado no produto propõe pagá-lo nas seguintes

condições: 3 parcelas iguais vencendo em 2, 3 e 5

meses, sob taxa e regime compostos de 2% a.m..

Determinar o valor das parcelas propostas.

105

Resolução – exemplo 1

=

600 1 + 0,018 + 600 1 + 0,018 = 1 + 0,02 + 1 + 0,02 + 1 + 0,02 600 1,018 + 600 1,018 = 1 1,02 + 1 1,02 + 1 1,02

= $ 415,90

106

(54)

Negociação – exemplo 2

• Produto está com sua venda anunciada em uma

parcela de R$ 540,00 com pagamento para 30 dias,

sob regime de juros compostos, a uma taxa nominal

de 18% a.a./m.. Um comprador propõe pagar em

duas parcelas mensais e iguais, sob uma taxa de juros

compostos de 2,2% a.m. e entrada de R$ 200,00.

Determinar o valor da parcela.

107

Resolução – exemplo 2

=18% 12 . . = 1,5% . . = 540 1 + 0,015 = 200 + 1 + 0,022 + 1 + 0,022 540 1,015− 200 = 1 1,022+ 1 1,022 = 171,81 108