MOQ-13/PO-210: Probabilidade e Estatística

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Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica

MOQ-13/PO-210:

Probabilidade e Estatística

Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/∼denise

denise@ita.br

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SEMANA 02: Roteiro

Introdução à Teoria de Probabilidades:

I Definições iniciais

I Interpretações de probabilidade I Definição axiomática

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Probabilidade× Estatística

Probabilidade (Processo Dedutivo)

Conclusões a respeito de características de uma amostra da população são alcançadas com base em atributos conhecidos da população.

Estatística (Processo Indutivo)

Conclusões a respeito de características da população são alcançadas com base em atributos observados em uma amostra da população.

POPULAÇÃO

AMOSTRA

Probabilidade

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Objetivos do Estudo de Teoria de Probabilidades

Um modelo probabilístico consiste em uma descrição matemática de uma situação de incerteza.

Queremos:

I investigar e descobrir padrões regularesem eventos aleatórios I descrever incerteza em termos de modelos probabilísticos

Para isso, precisamos...

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Queremos:

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Queremos:

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Definições Iniciais Principais “ingredientes” Experimento Aleatório (E) Espaço Amostral (Ω) Evento A Evento B ProbabilidadeLei de Eventos P (A) P (B) A B

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Definições Iniciais

Experimento Aleatório (E )

I Processo que pode (pelo menos conceitualmente) ser repetido indefinidamente sob

condições idênticas.

I Sempre é possível obter um resultado que pertence a um conjunto fixo e conhecido

de possibilidades.

I É chamado “aleatório” pois o resultado a ser obtido é desconhecido e imprevisível.

Espaço Amostral (Ω)

I É o conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento aleatório.

Por causa da definição de espaço amostral em termos de conjuntos, será necessário revisar álgebra de conjuntos (para casa).

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Exemplos (1)

Exemplo 1:

Experimento Aleatório: E1 = lançar um dado

Possíveis resultados: 1, 2, ..., 6 Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemplo 2:

Experimento Aleatório: E2 = são observadas as pessoas que chegam a um banco no

período de 1h. O tempo de espera de cada cliente até o atendimento é registrado. Possíveis resultados: um possível resultado é uma sequência de números que representam os minutos de espera de cada indivíduo.

Espaço amostral: <+

Este experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. Por exemplo, pode ser realizado todos os dias de uma mesma semana, mês, num determinado horário estabelecido.

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Exemplos (1)

Exemplo 1:

Experimento Aleatório: E1 = lançar um dado

Possíveis resultados: 1, 2, ..., 6 Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemplo 2:

Experimento Aleatório: E2 = são observadas as pessoas que chegam a um banco no

período de 1h. O tempo de espera de cada cliente até o atendimento é registrado. Possíveis resultados: um possível resultado é uma sequência de números que representam os minutos de espera de cada indivíduo.

Espaço amostral: <+

Este experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. Por exemplo, pode ser realizado todos os dias de uma mesma semana, mês, num determinado horário estabelecido.

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Evento (A⊆ Ω)

I É qualquer subconjunto (conjunto de resultados) do Espaço Amostral.

Um evento (A) é especificado por um conjunto de resultados de um experimento aleatório (E ) que satisfaz determinadas condições.

– evento impossível – evento complementar

– evento união – eventos mutuamente exclusivos – evento interseção – partição do espaço amostral

Lei de probabilidade (P[A])

I Atribui a um determinado evento A um número não negativo que codifica nossa

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Definições Iniciais Exemplos (2) Exemplo 1 (cont.): E1 = lançar o dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A1 = resultado é par = {2, 4, 6} A2 = resultado> 4 = {5, 6} Exemplo 2 (cont.):

E2 = são observadas as pessoas que chegam a um banco no período de 1h. O tempo

de espera de cada cliente até o atendimento é registrado. Eventos:

B1 = tempo de espera< 10 min

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Definições Iniciais Exemplos (2) Exemplo 1 (cont.): E1 = lançar o dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A1 = resultado é par = {2, 4, 6} A2 = resultado> 4 = {5, 6} Exemplo 2 (cont.):

E2 = são observadas as pessoas que chegam a um banco no período de 1h. O tempo

de espera de cada cliente até o atendimento é registrado. Eventos:

B1 = tempo de espera< 10 min

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Terminologia

A formulação da Teoria de Probabilidades moderna baseia-se em conceitos fundamentais de Teoria de Conjuntos:

Teoria de Conjuntos Teoria de Probabilidades Exemplo

Experimento Aleatório E = Lançar um dado e observar resultado Conjunto universo Espaço amostral (Ω) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Elemento Resultado; observação {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

Subconjunto Evento (A) A = {2, 4, 6} , B = {2, 3, 5}

Conjunto vazio _{Evento nulo (∅)} resultado maior que 6 Conjuntos disjuntos Eventos mutuamente exclusivos {1}, {2}

União (A ∪ B) “OU” A∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}

Interseção (A ∩ B) “E” A∩ B = {2}

Complemento (A0, AC₎ _{Evento complementar} _AC _{= {1, 3, 5}}

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Teoria de Probabilidades

Origens

França: 1654

Troca de correspondências entre Blaise Pascal e Pierre Fermat:

– Necessidade de determinar a

probabilidade de certos resultados em jogos de azar.

(enumeração combinatorial das possibilidades) Problema/Erro do Cavaleiro de Méré (Antoine Gombaud, 1607 – 1684): “A probabilidade de obter pelo menos um ‘6’ em 4 lançamentos seguidos de um dado é a mesma de obter pelo menos um ‘6 duplo’ em 24 lançamentos de um par de dados.”

Blaise Pascal (1623–1662) Pierre de Fermat (1601–1665)

Fonte: Encyclopaedia Britannica

“Monsieur le Chevalier de Méré is very bright, but he is not a mathematician, and that, as you know, is a very serious defect.” (Pascal a Fermat)

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Probabilidade

medida de

incerteza

Precisamosdefinir a medida de incertezaque será utilizada para a análise de um determinado experimento aleatório. É importante uma escolha cuidadosa, pois tudo que a teoria matemática de probabilidades faz é calcular valores com base na medida definida.

Várias interpretações do conceito de probabilidade tomam por base uma medida de probabilidade; veremos alguma a seguir.

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Interpretações de Probabilidade

Definição Clássica (a Priori) – Laplace, 1812

PN(A) =

nA

N ,

onde:

nA : número de resultados favoráveis

N : número de resultados possíveis – igualmente prováveis

– mutuamente exclusivos e – coletivamente exaustivos

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Premissas:

I Número N finito de resultados possíveis I Hipótese de equiprobabilidade de resultados I “Princípio da indiferença”

– N possibilidades não distinguíveis a não ser por seus nomes

Deficiências:

I Não faz sentido para N infinito

I Conceito de equiprobabilidade de resultados baseado no conceito de probabilidade

que queremos definir

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Premissas:

I Número N finito de resultados possíveis I Hipótese de equiprobabilidade de resultados I “Princípio da indiferença”

– N possibilidades não distinguíveis a não ser por seus nomes

Deficiências:

I Não faz sentido para N infinito

I Conceito de equiprobabilidade de resultados baseado no conceito de probabilidade

que queremos definir

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Definição Empírica ou de Frequência Relativa (a Posteriori) – Richard V. Mises, 1936

PN(A) = lim N→∞

n(A) N nA: número de ocorrências do evento A

N : número de repetições do experimento aleatório

Premissas:

I Número “suficientemente” grande de repetições do experimento aleatório I Condições uniformes para realização do experimento

I Princípio da “Regularidade Estatística”

Deficiências:

I Definição de um número “suficientemente” grande

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Conceito Subjetivo

Premissas:

I Não necessita da hipótese de repetição do experimento

I Probabilidade assinalada a um determinado é baseada nas experiências pessoais e

informação individual sobre o processo

I Não há aferição do resultado

I Pode ser matematicamente formalizado sob determinadas condições de consistência

Deficiências:

I Humanos são seres inconsistentes e contraditórios I Não permite chegar a resultados únicos

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Definição Axiomática

Função Probabilidade

Álgebra de Eventos (A):

Uma coleção de eventos éA quando são satisfeitas as seguintes condições:

1. Ω ∈ A

2. Se A ∈ A =⇒ AC _{∈ A}

3. Se A ∈ A e B ∈ A =⇒ A ∪ B ∈ A

Função Probabilidade: (Kolmogorov, 1933)

P : A −→ <

1. Se A ∈ A =⇒ P[A] ≥ 0

2. P[Ω] = 1

3. A1, A2, . . . , eventos tais que Ai∩i 6=j Aj = ∅

=⇒ P [∪∞_{i =1}Ai] = ∞

X P[Ai]

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Definição Axiomática

Função Probabilidade

I Definição matemática

I Estabelece conjunto de funções de probabilidade

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Propriedades da Função Probabilidade

(Consequências da definição axiomática)

1. _{P[∅] = 0} 2. P [∪n_{i =1}Ai] =

Pn

i =1P[Ai] (se A1, A2, . . . , An forem mutuamente exclusivos) 3. P[A] + P[AC_{] = 1}

4. 0≤ P[A] ≤ 1

5. P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] (Regra da Adição)

I outras propriedades

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Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré

Cavaleiro de Méré

(Antoine Gombaud, 1607–1684)

Foi um escritor conhecido e figura importante na corte do rei Luis XIV, além de um aficcionado por jogos de azar.

Em 1654, o Cavaleiro de Méré escreveu uma carta ao famoso matemático francês Blaise Pascal, pedindo ajuda na solução de problemas que tinha encontrado em sua experiência com jogos de azar.

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Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 1)

O Cavaleiro costumava apostar que obteria pelo menos um ’6’ em quatro lançamentos seguidos de um dado.

Utilizando esta estratégia, ganhava a aposta consistentemente e, a fim de incluir mais jogadores, modificou o jogo, passando a apostar que em 24 lançamentos de um par de dados, obteria pelo menos um ’duplo 6’. A nova estratégia não funcionava na prática e o Cavaleiro passou a ter enormes prejuízos!

Jogo de cartas em Versailles, 1694

Fonte: Wikimedia Commons, “Court Cards 1694”

Ele tinha a impressão que 25 (não 24) lançamentos seriam necessários para que o novo jogo lhe fosse favorável, mas não conseguia identificar o erro em sua solução

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Solução (errada) do problema proposta pelo Cavaleiro de Méré:

“Ao lançar um dado, temos 1/6 de chance de obter um ’6’.

Como 3× 1/6 = 50% e 4 × 1/6 = 67%, preciso jogar o dado 4 vezes para tornar o jogo favorável.

Quando jogamos um par de dados, temos 36 possibilidades, ou seja, 6 vezes mais possibilidades, comparado ao jogo anterior. Portanto, é necessário jogar o par de dados 6× 4 = 24 vezes para ter chance maior que 50% de obter pelo menos um ’duplo 6’.”

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Solução pela Definição Clássica

EXPERIMENTO 1

Jogue um dado honesto 4 vezes. Qual a probabilidade de obter pelo menos um ’6’ ? Determinação do espaço amostral: Ω1= {A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6}

em que:

A0 = conjunto dos resultados em que nenhum ’6’ ocorre:

={(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 3, 1, 1), ..., (5, 5, 5, 5)} A1 = conjunto dos resultados em que ocorre um unico ’6’:

={(6, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 1), (1, 1, 6, 1), (1, 1, 1, 6), (6, 2, 1, 1), ..., (5, 5, 5, 6)} A2 = conjunto dos resultados em que ocorrem dois ’6’

A3 = conjunto dos resultados em que ocorrem três ’6’ A4 = conjunto dos resultados em que ocorrem quatro ’6’

={(6, 6, 6, 6)}

Note que os eventos A0, A1, A2, A3, A4 que compõem o espaço amostral não são equiprováveis. Precisamos definir um espaço amostral com resultados equiprováveis a

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Portanto,

Ω0₁ = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 3, 1, 1), ..., (5, 5, 5, 5), (6, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 1), (1, 1, 6, 1), (1, 1, 1, 6), (6, 2, 1, 1), ..., (5, 5, 5, 6), (6, 6, 1, 1), (6, 1, 6, 1), (6, 1, 1, 6), (1, 6, 6, 1), (1, 6, 1, 6), ..., (5, 5, 6, 6), (1, 6, 6, 6), (6, 1, 6, 6), (6, 6, 1, 6), (6, 6, 6, 1), ..., (6, 6, 6, 5), (6, 6, 6, 6)} Pela definição clássica de probabilidades:

PC.1 = n.favoráveis/n.possíveis

O número de resultados possíveis é dado por (tamanho do espaço amostral): n.possíveis = N[Ω0₁]= 6 x 6 x 6 x 6 = 64

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Os resultados favoráveis são obtidos pela união dos eventos A1, A2, A3, A4: Af.1 = A1 U A2 U A3 U A4

O número de resultados favoráveis é dado, então, pelo tamanho de Af.1, que pode ser mais facilmente calculado utilizando-se a definição de evento complementar:

n.favoraveis = N[Af.1] = N[Ω0₁] - N[A0] = 64 - (5 x 5 x 5 X 5) = 64− 54

Portanto:

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EXPERIMENTO 2

Jogue dois dados honestos 24 vezes.

Qual a probabilidade de obter pelo menos um ’duplo 6’ ?

Determinação do espaço amostral: Ω2= {B0, B1, B2, B3, B4, B5, B6, . . . , B24}

em que:

Bi = conjunto dos resultados em que i ’duplos 6’ ocorrem

Pela definição clássica de probabilidades:

PC.2 = n.favoráveis/n.possíveis

O número de resultados possíveis é dado por (tamanho do espaço amostral): n.possíveis = N[Ω2]= (6 × 6)24= 3624

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O número de resultados favoráveis pode ser facilmente calculado utilizando-se a definição de evento complementar:

n.favoraveis = N[Ω2] - N[B0]

Em cada lançamento do par de dados, são possíveis 36 resultados, em que apenas um resultado corresponde a um ’duplo 6’.

O evento B0, em que nenhum ’duplo 6’ é obtido em 24 lançamentos pode ser observado de N[B0] maneiras: N[B0] = [(6x6) − 1]24= 3524 Então: n.favoráveis = 3624_{− 35}24 Portanto: PC.2 = 1 - (35/36)24_{= 0.491}

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Solução pela Definição Empírica (Frequência Relativa)

A princípio, precisaríamos repetir cada um dos experimentos um grande número de vezes e observar a frequência em que se observam os resultados favoráveis...

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Solução pela Definição Empírica (Frequência Relativa)

A princípio, precisaríamos repetir cada um dos experimentos um grande número de vezes e observar a frequência em que se observam os resultados favoráveis...

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KEEP

CALM

AND

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OBRIGADA

Denise B. Ferrari denise@ita.br