(UFPE)ÁlgebraLinear-1ºEE2007.1-cgabarito

GABARITO DO PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR PRIMEIRO SEMESTRE DE 2007

04 DE MARC¸ O DE 2008

1a Quest˜ao. (2,0 pts) Dado o sistema linear      −4x + 3y = 2 5x − 4y = 0 2x − y = k,

(a) determine a matriz ampliada A do sistema e encontre a matriz B linha reduzida `a forma escada e linha equivalente a A.

(b) Determine k ∈ R tal que o sistema admita solu¸c˜oes.

Solu¸c˜ao.

(a) A matriz ampliada do sistema ´e

A =   −4_{5 −4 0}3 2 2 −1 k  

Procuramos a matriz B linha reduzida `a forma escada e linha equiva-lente a A. Usando as opera¸c˜oes elementares, temos

  −4_{5 −4 0}3 2 2 −1 k  L17→L1+L2 −→   1 −1 2_{5 −4 0} 2 −1 k  L27→L2−5L1 −→   1 −1_{0 1 −10}2 2 −1 k  L37→L3−2L1 −→ L37→L3−2L1_−→   1 −1_{0 1 −10}2 0 1 k − 4  L17→L1_−→+L2   1 0_{0 1 −10}−8 0 1 k − 4  L37→L3−L2_−→   1 0_{0 1 −10}−8 0 0 k + 6  

Observamos que se k + 6 = 0, ent˜ao a matriz

B =   1 0_{0 1 −10}−8 0 0 0  

´e linha reduzida `a forma escada e tambem ´e linha equivalente a A.

Suponhamos k + 6 6= 0. Observamos que nesse caso a matriz   1 0_{0 1 −10}−8 0 0 k + 6  

n˜ao ´e linha reduzida `a forma escada. Usando ainda as opera¸c˜oes elementares, temos:   1 0_{0 1 −10}−8 0 0 k + 6  L37→(k+61 )L3 −→   1 0_{0 1 −10}−8 0 0 1  L17→L1_−→+8L3   1 0_{0 1 −10}0 0 0 1  L27→L2_−→+10L3 L27→L2_−→+10L3   1 0 0_{0 1 0} 0 0 1  

(Observe que usamos k + 6 6= 0 na primeira opera¸c˜ao elementar)

Portanto, se k + 6 = 0, temos B =   1 0_{0 1 −10}−8 0 0 0  , e se k + 6 6= 0 temos B =   1 0 0_{0 1 0} 0 0 1  .

(b) Lembramos que o sistema admite solu¸c˜oes se e apenas se o posto da matriz ampliada pAe o posto da matriz dos coeficientes pC s˜ao iguais.

Por defini¸c˜ao, temos pA= numero de linhas n˜ao nulas de B. Isto

´e, pA= 2 se k + 6 = 0 e pA= 3 se k + 6 6= 0.

A matriz dos coeficientes ´e C = 

 −4_{5 −4}3 2 −1



 . Usando as mesams opera¸c˜oes elementares, temos que C ´e linha equivalente `a mariz

  1 0_{0 1}

0 0   .

Logo pC = 2 qualquer seja k.

Portanto o sistema admite solu¸c˜oes se e apenas se pA = 2, ou seja

2a_{Quest˜ao. (2,0 pts) Seja (V, +, ·) o espa¸co vetorial dos polinˆomios de}

grau ≤ 3. Dados os vetores

v₁= x3, v₂ = (1 − x)2, v₃= 1 − x, v₄ = 1 + x, mostre que o conjunto β = {v1, v2, v3, v4} ´e uma base de V .

Solu¸c˜ao. Precisamos mostrar que

(i) {v1, v2, v3, v4} ´e um conjunto linearmente independente,

(ii) [v1, v2, v3, v4] = V .

Por (i) precisamos mostrar que os ´unicos escalares a1, a2, a3, a4∈ R tais que

a1· v1+ a2· v2+ a3· v3+ a4· v4 = 0V

s˜ao a1 = a2 = a3 = a4= 0.

Procuramos ent˜ao escalares a1, a2, a3, a4 ∈ R tais que a1· v1+ a2· v2+

a3· v3+ a4· v4 = 0V. Substituindo os vetores e calculando, temos

a1· x3+ a2· (1 − x)2+ a3· (1 − x) + a4· (1 + x) =

(a2+ a3+ a4) + (−2a2− a3+ a4)x + a2x2+ a1x3.

Lembramos que nesse caso 0V = 0 + 0x + 0x2+ 0x3, e que, por defini¸c˜ao,

os polimˆomios

(a2+ a3+ a4) + (−2a2− a3+ a4)x + a2x2+ a1x3

e

0 + 0x + 0x2+ 0x3 s˜ao iguais se e apenas se

         a2+ a3 + a4 = 0 −2a2− a3+ a4 = 0 a2 = 0 a1 = 0

Portanto temos que a1, a2, a3, a4satisfazem a1·v1+a2·v2+a3·v3+a4·v4= 0V

se e apenas se eles satisfazem o sistema linear          a3 + a4 = 0 −a₃+ a₄ = 0 a2 = 0 a1 = 0

que ´e equivalente ao sistema          a3 + a4 = 0 2a4 = 0 a2 = 0 a1 = 0

Logo, a₁ · v₁+ a₂ · v₂+ a₃ · v₃+ a₄ · v₄ = 0_V se e apenas se a₁ = a₂ = a4 = 0 e a3 = 0 − a4 = 0. Isto ´e, o conjunto {v1, v2, v3, v4} ´e linearmente

independente.

Vamos ver agora que [v1, v2, v3, v4] = V . Precisamos mostrar que para

todo v ∈ V existem escalares a1, a2, a3, a4 ∈ R tais que

(1) v = a1· v1+ a2· v2+ a3· v3+ a4· v4.

Seja ent˜ao v = α0+ α1x + α2x2+ α3x3 um vetor qualquer de V .

Substituindo na (1) tem-se

α₀+ α₁x + α₂x2+ α₃x3=

= a1· x3+ a2· (1 − x)2+ a3· (1 − x) + a4· (1 + x) =

= (a2+ a3+ a4) + (−2a2− a3+ a4)x + a2x2+ a1x3.

ou seja, como antes, temos que existem a1, a2, a3, a4 tais que v = a1· v1+

a2· v2+ a3· v3+ a4· v4 se e apenas se a1, a2, a3, a4 satisfazem o sistema

         a2+ a3 + a4 = α0 −2a₂− a₃+ a₄ = α₁ a2 = α2 a1 = α3

isto ´e, se e e apenas se a1, a2, a3, a4 satisfazem o sistema

         a2+ a3 + a4= α0 −a2+ 2a4= α1+ α0 a2= α2 a1= α3. ´

E facil ver que a₁= α₃. a2= α2 a4= 1₂(α0+ α1+ a2) = 1₂(α0+ α1+ α2) a₃= α₀− a₂− a₄ = α₀− α₂−1 2(α0+ α1+ α2) = 1 2(α0− α1− 3α2) satisfazem o sistema.

Isto ´e, dado um vetor qualquer v = α₀+ α₁x + α₂x2_{+ α}

3x3 ∈ V , tem-se

v = a1· v1+ a2· v2+ a3· v3+ a4· v4, onde

a1= α3, a2= α2, a3= 1₂(α0− α1− 3α2) , a4= 1₂(α0+ α1+ α2) .

Portanto [v₁, v₂, v₃, v₄] = V , e podemos concluir que o conjunto β = {v₁, v₂, v₃, v₄} ´e uma base de V .

3a_{Quest˜ao. (2,0 pts) Dado o vetor v = (1, 0, 0) ∈ R}3_{, determine as} coordenadas [v]α=  a_a1₂ a3   e [v]β =  b_b1₂ b3 

 de v em rela¸c˜ao `as bases: (a) α = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0, −1)};

(b) β = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)}.

Solu¸c˜ao. A saber, dados um espa¸co vetorial V e um vetor v ∈ V , `as coordenadas      a1 a2 .. . an    

de v em rela¸c˜ao a uma base {v1, v2, . . . , vn} de V s˜ao os ´

unicos escalares a1, a2, . . . , an tais que

v = a₁· v₁+ a₂· v₂+ · · · + a_n· v_n. (a) Procuramos [v]α=  a_a1₂ a3  .

Os escalares a1, a2, a3satisfazem v = a1·v1+a2·v2+a3·v3. Substituindo

tem-se (1, 0, 0) = a₁· (1, 1, 1) + a₂· (−1, 1, 0) + a₃· (1, 0, −1) = = (a1− a2+ a3, a1+ a2, a1− a3), ou seja _     a1− a2+ a3= 1 a₁+ a₂= 0 a1− a3= 0. Logo _     a2 = − a1 a3 = a1 a1− a2+ a3 = a1+ a1+ a1 = 1. Portanto a1 = 1₃, a2 = −₃1, a3 = 1₃ e [v]α=       1 3 −1 3 1 3      . (b) Determinamos agora e [v]β =  b_b1₂ b3 

 . Por isso ´e sufficiente observar que

v = (1, 0, 0) = 0 · (0, 0, 1) + 0 · (0, 1, 0) + 1 · (1, 0, 0). Logo [v]β =  0₀ 1   .

4a _{Quest˜ao. (2,0 pts)}

(a) Dˆe a defini¸c˜ao de conjunto linearmente independente de vetores. (b) Sejam (V, +, ·) o espa¸co vetorial das matrizes reais 2 por 2 e k um

n´umero real. Dados os seguintes vetores de V , v1 = · 1 2 0 1 ¸ , v2= · 1 0 0 1 ¸ , v3 = · −1 k 0 −1 ¸ ,

determine (todos) os k ∈ R tais que o conjunto {v1, v2, v3} seja

linearmente independente. Solu¸c˜ao.

(a) Dado um espa¸co vetorial (V, +, ·) e dado um conjunto de vetores β = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V , dizemos que β ´e linearmente independente

se os ´unicos escalares a1, a2, . . . , an∈ R tais que

a₁· v₁+ a₂· v₂+ · · · + a_n· v = 0_V s˜ao a1 = a2 = · · · = an= 0.

(b) Por defini¸c˜ao, {v1, v2, v3} ´e linearmente independente se os ´unicos

escalares a1, a2, a3 ∈ R tais que

a1· · 1 2 0 1 ¸ + a2· · 1 0 0 1 ¸ + a3· · −1 k 0 −1 ¸ = 0_V = · 0 0 0 0 ¸ s˜ao a1 = a2 = a3 = 0. Calculando, tem-se · a1+ a2− a3 2a1+ a3k 0 a1+ a2− a3 ¸ = · 0 0 0 0 ¸ . Tomando por exemplo

a3= − 1,

a1= 1₂k,

a₂= − 1 − 1 2k,

temos a₁· v₁+ a₂· v₂+ a₃· v₃ = 0_V, qualquer seja k ∈ R. Como a3 = −1 6= 0, os trˆes vetores n˜ao s˜ao linearmente independentes,

para qualquer k ∈ R.

Ou seja, n˜ao existe k ∈ R tal que o conjunto {v1, v2, v3} seja

5a_{Quest˜ao. (2,0 pts) Seja (V, +, ·) um espa¸co vetorial. Dados trˆes}

ve-tores w, v1, v2 ∈ V , seja W ⊂ V o subconjunto definido por

W = {w + a1· v1+ a2· v2 | a1, a2 ∈ R}.

(a) Mostre que se 0_V (o vetor nulo de V ) pertence a W , ent˜ao w ∈ [v1, v2].

(b) Suponha que w = 0V. Mostre que W ´e subespa¸co vetorial de V .

Solu¸c˜ao.

(a) Como 0V ∈ W , existem a1, a2 ∈ R tais que w + a1· v1+ a2· v2 = 0V.

Logo w = −a1· v1− a2· v2∈ [v1, v2].

(b) Nesse caso temos W = {a1· v1 + a2· v2 | a1, a2 ∈ R}. Precisamos

mostrar que (i) W 6= ∅;

(ii) para todos u1, u2∈ W , tem-se u1+ u2∈ W ;

(iii) para todo α ∈ R e todo u ∈ W , tem-se α · u ∈ W . (i) Como v1 = 1 · v1+ 0 · v2∈ W , temos W 6= ∅.

(ii) Sejam u1 = a1· v1+ a2· v2 e u2= b1· v1+ b2· v2 ∈ W dois vetores

quaisquer. Logo

u₁+ u₂= (a₁· v₁+ a₂· v₂) + (b₁· v₁+ b₂· v₂) = = (a1+ b1) · v1+ (a2+ b2) · v2 ∈ W.

(iii) Sejam α ∈ R e u = a₁· v₁+ a₂· v₂∈ W quaisquer. Logo α · u2 = α · (a1· v1+ a2· v2) =