Leis de potência e eleições

(1)

JUSLEY TALITA GRIMES DE SOUZA

LEIS DE POT ÊNCIA E ELEIÇ ÕES

DISSERTAC¸ ˜AO

CAMPO MOUR ˜AO 2019

(2)

Dissertaç ão apresentada ao Programa de P ós Graduaç ão em Inovaç ões Tec-nol ógicas, da Universidade TecTec-nol ógica Federal do Paran á, como requisito parcial para a obtenç ão do grau de Mestre. Orientador: Profª. Drª. Magda Cardoso Mantovani.

Coorientador: .

CAMPO MOUR ˜AO 2019

(3)

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

S726l _{Souza, Jusley Talita Grimes de}

Leis de potência e eleições / Jusley Talita Grimes de Souza – 2019.

100f. : il. ; 30 cm.

Texto em português com resumo em inglês Orientadora: Magda Cardoso Mantovani

Dissertação (Mestrado) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Inovações Tecnológicas Campo Mourão, 2019.

Inclui bibliografias.

1. Eleições. 2. Estatística. 3. Inovações Tecnológicas – Dissertações. I. Mantovani, Magda cardoso, orient. II. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Inovações Tecnológicas. III. Título.

CDD: 607

Biblioteca Câmpus Medianeira Fernanda Bem 9/1735

(4)

JUSLEY TALITA GRIMES DE SOUZA

Dissertaç ão apresentada ao Programa de P ós Graduaç ão em Inovaç ões Tec-nol ógicas, da Universidade TecTec-nol ógica Federal do Paran á, como requisito parcial para a obtenç ão do grau de Mestre.

Data de aprovaç ão: 04 de março de 2019.

Profª. Drª. Magda Cardoso Mantovani Universidade Tecnol ´ogica Federal do Paran ´a

Prof. Dr. Haroldo Valentin Ribeiro Universidade Estadual de Maring ´a

Prof. Dr. Wyrllen Everson de Souza Universidade Tecnol ´ogica Federal do Paran ´a

Prof. Dr. Leandro de Santana Costa Universidade Tecnol ´ogica Federal do Paran ´a

(5)

A Deus por permitir a conclus ão desse trabalho me dando sa úde, força e me capacitando.

A minha orientadora Magda Cardoso Mantovani, pelo acolhimento, apoio e orientaç ão com muita paci ência e dedicaç ão.

A minha fam´ılia, pelo amor, incentivo e apoio incondicional.

Aos meus amigos, que sempre me incentivaram, ouviram e aconselheram em muitos momentos durante essa trajet ´oria. Em especial, Adriele, Camila, Danielly, Miriam, Suellen e Fernando.

A Jaiza e Cibele, amigas que fiz no decorrer do mestrado e que me ajudaram muito.

E a todos que diretamente ou indiretamente fizeram parte dessa conquista, o meu muito obrigada.

(6)

(7)

Utilizando conceitos e ferramentas de Estat´ıstica este trabalho apresenta alguns exem-plos de sistemas sociais, nos quais as suas din âmicas s ão modeladas por leis de pot ência ou leis de escala. Inicialmente, foi dado um breve panorama da emerg ência de leis de escala em fen ômenos urbanos de modo geral: caracter´ısticas universais nas din âmicas de crescimento, atividades religiosas, escala urbana e distribuiç ão lei de pot ência e alometrias para indicadores urbanos. Especificamente, fen ômenos eleitorais modelados por relaç ões de escala foram o foco deste trabalho. Neste sentido, foram apresentados resultados em que tais relaç ões emergem de fen ômenos eleitorais. Em seguida, s ão apresentadas as investigaç ões desta dissertaç ão. Essa pesquisa, teve como objetivo investigar resultados de eleiç ões brasileiras para governos dos estados federativos num cen ário de apenas dois partidos pol´ıticos, tomando, assim, dados de segundo turnos no per´ıodo de 1994-2018. Obteve-se um modelo anal´ıtico dependendo de um único par âmetro, o que possibilitou constatar que na maioria das eleiç ões o n úmero de votos do primeiro colocado tende a crescer com o tamanho da cidade numa proporç ão menor que o segundo colocado.

(8)

By using concepts and tools from statistics, this paper presents some exemples of social systems, in which their dynamics are modeled by power laws or scaling laws. Initially, it was given a brief overwiew about the scaling laws emerging from urban phenomena in general: universal characteristics in growth dynamics, religion activities, urban scales, power law distribution, and allometric urban indicators. Specifically, electoral phenomena modeled by scaling relations, which was the focus of this work. In this direction, it was presented results in which such relations emerge from electoral phenomena. Next, the investigations of this dissertation are presented. This research aimed to investigate Brazilian election results for federal state governments in a scenario with only two political parties, disputing thus taking data from the second round of elections in the period 1994-2918. This dataset allowed to verify that in the majority of the elections the number of votes for the first placed candidate tends to grow with the city size in a smaller proportion than those of the second placed candidate.

(9)

1 INTRODUC¸ ˜AO 9

2 LEIS DE POT ˆENCIA E FEN ˆOMENOS SOCIAIS 11

2.1 Leis de Pot ˆencia modelam crescimento de atividades religiosas 11

2.2 Escalas urbanas conectadas com a Lei de Zipf 17

2.3 Uma relaç ão entre a escala urbana e funç ão de produç ão 25 2.4 Fatores que d ão origem as relaç ões de escala dos fatores urbanos

relacionados ao tamanho da populac¸ ˜ao 31

2.5 Conex ão entre distribuiç ão Lei de Pot ência e Alometrias para

indi-cadores urbanos 35

3 LEIS DE POT ÊNCIA EM ELEIÇ ÕES 44

3.1 Distribuic¸ ˜ao de Votos 44

3.2 Simulaç ão de Distribuiç ão de Votos em Rede 48

3.3 Relev ˆancia dos Partidos 54

3.4 Processo de Candidatura 56

3.5 Lei de Pot ência Universal nas Eleiç ões Presidenciais dos Estados

Unidos 61

3.6 A falta de economia em eleic¸ ˜oes proporcionais 64

4 LEI DE ESCALA EM SEGUNDO TURNO DE ELEIC¸ ˜OES BRASILEIRAS 72

4.1 Apresentac¸ ˜ao dos Dados 73

4.2 An ´alise dos Dados 76

4.3 Resultados e Conclus ˜oes 86

REFER ˆENCIAS 89

AP ˆ

ENDICES

93

AP ˆENDICE A LEI DE POT ˆENCIA OU ESCALA 94

(10)

AP ˆENDICE D MODELO DE SZNAJD 98

AP ˆENDICE E REDE DE BARAB ´ASI-ALBERT 99

(11)

1 INTRODUC¸ ˜AO

O n úmero de indiv´ıduos, assim como o n úmeros de cidades, est ão em geral crescendo ininterruptamente e com isso os desafios sociais tamb ém aumentam. Al ém disso, as interaç ões sociais s ão reforçadas devido à alta mobilidade das pessoas e grande facilidade de comunicaç ão. Diante desses fatores, é tamb ém uma necessidade crescente compreender os variados aspectos da sociedade. Nos últimos anos, muitas pesquisas t êm sido realizadas utilizando conceitos e ferramentas de Estat´ıstica na tentativa de entender fen ômenos coletivos emergentes das interaç ões entre pessoas como unidades elementares em estruturas sociais, isto é, com o objetivo de aumentar a compreens ão de sistemas sociais. Nesse contexto, do ponto de vista dos sistemas complexos, muitos sistemas sociais t êm suas din âmicas modeladas por leis de pot ência, ou leis de escala. Segundo Macau (2002), um sistema é considerado “sistema complexo” quando apresenta um comportamento entrelaçado, no qual é dif´ıcil de ser modelado analisando somente suas partes. Como os sistemas complexos aparecem em diversas

´areas, alguns exemplos ser ˜ao apresentados nesse trabalho.

Nesse sentido, no primeiro cap´ıtulo apresentou-se alguns estudos sobre pes-quisas de fen ômenos urbanos modelados por distribuiç ões do tipo lei de pot ência e alometrias. Começando pelo sistema social da religi ão, Picoli e Mendes (2008) desco-briram que a distribuiç ão das taxas logar´ıtmicas de crescimento anuais exibe a mesma forma funcional para escalas de tamanhos distintas e o desvio padr ão das taxas de crescimento escala como uma lei de pot ência. Gomez-Lievano et al. (2012) constru´ıram uma ferramenta estat´ıstica auto-consistente que caracteriza as distribuiç ões de proba-bilidades conjuntas de indicadores urbanos e tamanho de populaç ão da cidade atrav és de um sistema urbano. Lobo et al. (2013) mostraram empiricamente que existe uma depend ência sistem ática da produtividade urbana no tamanho da populaç ão da cidade, resultante do descompasso entre a depend ência do tamanho do sal ário e trabalho, de modo que a produtividade das cidades americanas aumenta cerca de 11% cada vez que dobra a populaç ão. Bettencourt (2013) verificou que medidas de efici ência urbana que capturam o equil´ıbrio entre os resultados socioecon ômicos e os custos de infra-estrutura, mostraram-se independentes do tamanho da cidade. Alves et al. (2014) mostraram que um conjunto de 12 indicadores urbanos das cidades brasileiras, s ão assintoticamente distribu´ıdos como leis de pot ência.

No segundo cap´ıtulo apresentou-se um hist órico de resultados de leis de pot ência em um tipo de fen ômeno urbano de grande interesse para a populaç ão: as eleiç ões. Inicia-se com Costa Filho et al. (1999;2002), argumentando que o n úmero de candidatos que recebem uma dada fraç ão de votos, em eleiç ões proporcionais

(12)

brasileiras, tem distribuiç ão seguindo uma lei de pot ência com expoente −1, e que esse comportamento pode ser modelado como um processo multiplicativo; em seguida, os mesmos dados foram melhor ajustados por Lira et al. (2003) usando uma generalizaç ão da lei de Zipf. Com o objetivo de simular o comportamento de lei de pot ência encontrado por Costa Filho et al., Bernardes et al. (2002) constru´ıram um modelo que utiliza a generalizaç ão da din âmica de opini ão de Snajd na rede de Barab ási-Albert. Travieso e Costa (2006) constru´ıram uma din âmica de opini ão e a aplicaram a cinco modelos de redes. Analisando as eleiç ões proporcionais e, agora considerando a “força” dos partidos, Fortunato e Castellano (2007) apontam que a distribuiç ão do n úmero de votos recebidos por candidatos para tr ês pa´ıses é ajustada por uma lognormal; em contraste, Arirape e Costa Filho (2009) indicam que os resultados para eleiç ões brasileiras s ão diferentes. Mantovani et al. (2013), analisando dados de eleiç ões para prefeitos e vereadores, encontraram um comportamento m édio lei de pot ência e um aparente crescimento do expoente com o n úmero de posiç ões. Bok ányi et al. (2018) analisaram dados das eleiç ões dos Estados Unidos e do Referendo da Uni ão Europeia e conclu´ıram que as curvas de escala s ão todas universais e dependem de um único par âmetro. Melo et al. (2018) investigaram o crescente custo das campanhas eleitorais, mostrando que os principais candidatos gastam mais dinheiro por voto do que os candidatos menos bem sucedidos, uma superlinearidade que revela uma n ão economia de escala.

Diante desses resultados para fen ômenos urbanos modelados por leis de es-cala, o cap´ıtulo 3 apresenta a pesquisa desenvolvida neste trabalho, que foi direcionada pelos resultados anteriores, em particular, o trabalho que investigou os resultados de eleiç ões para presidentes dos Estados Unidos entre 1948-2016 e do referendo sobre a perman ência do Reino Unido na Uni ão Europeia em 2016, identificando um comportamento de escala universal com um único par âmetro (BOK ÁNYI, 2017). Nesse contexto, essa pesquisa realizou uma investigaç ão similar para os dados do Brasil, optando por investigar eleiç ões para governos dos estados federativos. Al ém disso, usou-se dados de segundo turnos com o objetivo de obter um modelo para um cen ário com apenas dois partidos, obtendo uma lei de escala universal.

(13)

2 LEIS DE POT ˆENCIA E FEN ˆOMENOS SOCIAIS

Com o r ápido crescimento das cidades h á uma crescente preocupaç ão em compreender os fen ômenos urbanos. No entanto, persiste a dificuldade em abord á-los devido a interdepend ência entre eles. Por ém, a exist ência de uma relaç ão com o tama-nho da populaç ão é evidente. Sendo Y = Y0Nβ, onde N é o tamanho da populaç ão, Y o fen ômeno urbano, e neste contexto e, do ponto de vista dos sistemas complexos, foram investigados fen ômenos sociais como em religi ão, economia, propagaç ão de not´ıcias, popularidade, din âmicas de opini ão e pol´ıtica. Neste cap´ıtulo ser ão apre-sentados alguns exemplos de investigaç ões de fen ômenos urbanos, nos quais tais investigaç ões focaram em caracter´ısticas universais nas din âmicas de crescimento, atividades religiosas, escala urbana e distribuiç ões lei de pot ência e alometrias para indicadores urbanos.

2.1 Leis de Pot ˆencia modelam crescimento de atividades religiosas

Grupos religiosos s ão sistemas sociais muito importantes. Nesse sentido, Picoli e Mendes (2008), investigaram a din âmica de crescimento de um grupo religioso crist ão, as Testemunhas de Jeov á, em 140 pa´ıses por um per´ıodo de 47 anos, desde de 1959 a 2005. Esse grupo compreende mais de 6,9 milh ões de membros praticantes em todo o mundo, organizados em cerca de 100.000 congregaç ões em 236 pa´ıses. Todos os membros editores s ão envolvidos em um trabalho de pregaç ão p ública. As medidas de suas atividades religiosas s ão registradas pelo pa´ıs e publicadas nos relat órios anuais do serviço. Os dados analisados foram obtidos a partir desses relat órios anuais de serviços. As investigaç ões focaram em quatro medidas distintas de atividade religiosa: n úmero total de editores; m édia mensal de tempo integral de editores pioneiros; tempo total investido em horas no trabalho de pregaç ão p ública e m édia mensal de cursos realizados em casas.

Considerou-se a taxa anual de crescimento logar´ıtmica definida como R(t) = log10

S(t + 1) S(t)

, (2.1)

onde S(t) e S(t + 1) s ão os n úmeros totais de editores em anos sucessivos t e t + 1, em um dado pa´ıs. É mostrada na Figura 2.1.1 a evoluç ão temporal de R(t) para alguns pa´ıses no per´ıodo de 1959-2005. Nesse per´ıodo as m édias dos n úmeros de editores,

¯

S, para esses pa´ıses s ão: Gr ã-Bretanha ( ¯S = 92, 006) e Ilhas Cayman ( ¯S = 67), Brasil ( ¯S = 226, 682) e Niu ê ( ¯S = 20), Estados Unidos ( ¯S = 655, 607) e Monserrate ( ¯S = 24), It ália ( ¯S = 112, 660) e Ilhas Falkland ( ¯S = 6), Z âmbia ( ¯S = 66, 554) e G âmbia ( ¯S = 42),

(14)

Jap ão ( ¯S = 96, 937) e N évis ( ¯S = 40). Note que as flutuaç ões em R s ão maiores nos pa´ıses com pequeno S.

(anos) (anos) Grã-Bretanha Ilhas Cayman Brasil Niuê Estados Unidos Monserrate Itália Ilhas Falkland Zâmbia Gâmbia Japão Névis

Figura 2.1.1 – Taxas de crescimento. Evoluc¸ ˜ao temporal das taxas de crescimento, dada

pela Equac¸ ˜ao 2.1, para alguns pa´ıses no per´ıodo de 1959-2005. Adaptada de Picoli e Mendes (2008).

S ão mostradas na Figura 2.1.2 (a) a densidade de probabilidade de log10S, para 207 pa´ıses em 2005, em comparaç ão com uma distribuiç ão Gaussiana. S tem distribuiç ão aproximadamente lognormal, que é reforçada pela distribuiç ão cumulativa de log10S na Figura 2.1.2 (b). Resultados semelhantes s ão v álidos para outros anos no per´ıodo de 1959-2005.

(15)

Figura 2.1.2 – Distribuic¸ ˜ao de editores. (a) Densidade de probabilidade do logaritmo do

n úmero de editores para 207 pa´ıses em 2005. A linha s ólida é um ajuste Gaussiano dos dados. (b) Distribuiç ão cumulativa do logaritmo do n úmero de editores para os mesmos dados definidos em (a). A linha s ólida representa a distribuiç ão cumulativa de uma vari ável Gaussiana com m édia e desvio padr ão id ênticos aos dados emp´ıricos. Adaptada de Picoli e Mendes (2008).

Em seguida, foram analisadas distribuiç ão das taxas de crescimento de edi-tores usando dados de 140 pa´ıses de 1949 a 2005. Por ser uma atividade religiosa relativamente recente o n úmero de editores representa uma fraç ão bem pequena da populaç ão dos pa´ıses.

Com o intuito de investigar como a distribuiç ão das taxas de crescimento depende do n úmero de editores, considerou-se grupos de pa´ıses escolhidos de acordo com a m édia dos editores. A Figura 2.1.3 (a) mostra a densidade de probabilidade condicional p(R|S) das taxas de crescimento bem descrita por uma distribuiç ão de Laplace p(R|S) = √ 1 2σ(S)exp − √ 2|R − µ| σ(S) ! , (2.2)

onde µ e σ s ão, respectivamente, a m édia e o desvio padr ão de R calculados sobre um determinado grupo de pa´ıses. Na Figura 2.1.3 (b) é mostrado a distribuiç ão cumulativa do valor absoluto de R em comparaç ão com funç ões exponenciais.

Foi ainda calculada, Figura 2.1.3 (c), a densidade de probabilidade condicional p(R|S)da taxa de crescimento normalizada

r(t) = R(t) − µ

σ . (2.3)

Colapsando em uma ´unica curva,

p(r|S) = √1

2exp(− √

(16)

Nas Figuras 2.1.3 (a) e 2.1.3 (c) pode ser observado um tipo de invari ância de escala, j á que a distribuiç ão das taxas de crescimento exibe a mesma forma funcional da distribuiç ão de Laplace para escalas de tamanhos distintos.

Analisou-se ainda como a largura da distribuiç ão das taxas de crescimento aumenta com o tamanho da escala. Calculou-se σ em funç ão de S, encontrando-se uma relaç ão aproximadamente lei de pot ência

σ(s) ∝ S−β, (2.5)

com β ' 0, 16 como mostra a Figura 2.1.3 (d), indicando que as flutuaç ões nas taxas de crescimento decaem como uma lei de pot ência. As flutuaç ões de R s ão maiores para pa´ıses com pequenos S, o que é consistente com a Figura 2.1.1.

Considerou-se ainda o grupo 76, 638 < ¯S < 655, 607 mas, para maior clareza, mostrou-se dados apenas para os tr ˆes primeiros grupos.

(17)

Figura 2.1.3 – Din ˆamica de crescimento dos editores. Em (a), (b) e (c) os grupos

de pa´ıses selecionados pelo n úmero m édio de editores: 6 < ¯S < 105 (tri ângulos), 105 < ¯S < 425(c´ırculos), e 980 < ¯S < 2, 160(quadrados). (a) Densidade de probabilidade condicional p(R|S) das taxas de crescimento R. As linhas s ólidas s ão dadas pela Equaç ão 2.2 usando µ e σ obtido dire-tamente dos dados. (b) Distribuiç ão cumulativa pc(|R|)do valor absoluto de

R. As linhas s ólidas s ão ajustes lineares dos dados (na escala mono-log), representando o decaimento exponencial. (c) Densidade de probabilidade condicional p(r|S) normalizada das taxas de crescimento r. (d) Desvio padr ão σ das taxas de crescimento R como uma funç ão de S. A linha s ólida é um ajuste linear para os dados (em escala log-log), dando um expoente de escala β ' 0, 16. Adaptada de Picoli e Mendes (2008).

Outras medidas importantes tamb ém foram analisadas como: m édia mensal de editores em tempo integral (N ), o total de tempo gasto em horas no trabalho educativo p úblico (H) e a m édia mensal de cursos realizados nas casas (C). Descobriu-se que a densidade da probabilidade de log10N, log10H e log10C s ão consistente com uma distribuiç ão Gaussiana, implicando que N , H e C s ão distribuiç ões lognormal, o desvio padr ão das taxas de crescimento como uma lei de pot ência, com expoentes β ' 0, 16 para horas, β ' 0, 13 para cursos e β ' 0, 10 para os pioneiros [Figura 2.1.4 (a)], e a densidade de probabilidade condicional das taxas de crescimento normalizada, p(r|N ), p(r|H), e p(r|C) s ão consistentes com a curva universal definida pela Equaç ão 2.4

(18)

[Figura 2.1.4 (b)]. Essas distribuic¸ ˜oes foram obtidas, respectivamente, dos seguintes grupos de pa´ıses: 979 < ¯S < 2157 e 123 < ¯S < 424; 230, 508 < ¯H < 596, 327 e 26, 431 < ¯S < 79, 627; 1, 014 < ¯C < 2, 664 e 122 < ¯C < 390; 113 < ¯N < 328 e 15 < ¯N < 44.

Encerrando as investigaç ões, analisou-se a distribuiç ão das taxas de cresci-mento para as seguintes vari áveis: cursos por editores (C/S), pioneiros por editora (N/S), e horas por editores (H/S). A Figura 2.1.4 (c) mostra a distribuiç ão das taxas de crescimento normalizadas de 140 pa´ıses no per´ıodo de 1959-2005, em comparaç ão com a Equaç ão 2.4.

Figura 2.1.4 – Din ˆamica de crescimento de outras atividades religiosas. (a) Desvio

padr ão σ das taxas de crescimento em funç ão das seguintes medidas de tamanho (X): horas H (quadrados), cursos C (c´ırculos), e pioneiros N (tri ângulos). As linhas s ólidas s ão ajustes lineares aos dados (na escala log − log). (b) Funç ão densidade de probabilidade condicional p(r|S), p(r|H), p(r|C), e p(r|N ). A linha s ólida é dada pela Equaç ão 2.4. (c) Densidade de probabilidade p(r) das taxas de crescimento normalizadas r, calculadas para 140 pa´ıses, nas seguintes vari áveis: C/S (quadrados), N/S (tri ângulos), e H/S(c´ırculos). A linha s ólida é dada pela Equaç ão 2.4. Adaptada de Picoli e Mendes (2008).

Os resultados mostrados na Figura 2.1.4 sugerem que as mesmas leis gerais se aplicam a diferentes medidas de atividade religiosa.

(19)

2.2 Escalas urbanas conectadas com a Lei de Zipf

Com o objetivo de verificar e identificar relaç ões de escala em indicadores urbanos Gomez-Lievano et al. (2012), constru´ıram uma ferramenta estat´ıstica que caracteriza a distribuiç ão de probabilidade conjunta de indicadores urbanos dado o tamanho da populaç ão atrav és de sistemas urbanos. Para isso, utilizaram dados sobre homic´ıdios em tr ês pa´ıses latino-americanos, Brasil (2003-2007), Col ômbia (2004-2009) e M éxico (2004-(2004-2009), nos quais as taxas nacionais variaram substancialmente. Obtiveram, usando a regra de Bayes juntamente com a probabilidade condicional do n úmero de homic´ıdios por ano, dado o tamanho da populaç ão de uma cidade. Em seguida, mostrou-se que as leis de escala emergem como valores de expectativa dessas estat´ısticas condicionais.

A Figura 2.2.1 mostra o total de homic´ıdios versus o tamanho da populaç ão do ano 2007. As vari áveis Y e N , s ão respectivamente, n úmero de homic´ıdios e tamanho da populaç ão. A linha s ólida se encaixa na escala de homic´ıdios apenas para áreas metropolitanas. Colômbia Homicídios População População México População Brasil

Figura 2.2.1 – N úmero anual de homic´ıdios nas cidades da Col ômbia, do M éxico e do Brasil versus o tamanho da populaç ão (2007). Grandes cidades s ão

defi-nidas em termos de área metropolitanas que s ão agregaç ões de munic´ıpios (c´ırculos vermelhos), enquanto munic´ıpios n ão metropolitanos s ão apresen-tados separadamente (quadrados verdes). A linha azul ajusta apenas os dados de homic´ıdio para áreas metropolitanas. Adaptada de Gomez-Lievano et al. (2012).

Grandes variaç ões, especialmente entre as unidades populacionais menores, e o fato de que muitos munic´ıpios tem Y = 0 (n ão mostrado) impedem uma an álise de escala direta. No entanto, é poss´ıvel analisar os dados consistentemente atrav és da estimativa de probabilidades condicionais, supondo que as vari áveis Y e N s ão vari áveis estoc ásticas e que seus valores em cada cidade espec´ıfica e tempo s ão realizaç ões estat´ısticas.

(20)

Bayes em que a funç ão de distribuiç ão da probabilidade condicional de Y , dada uma cidade de populaç ão N , P (Y |N ),

P (Y |N ) = P (N |Y )P (Y )

P (N ) , (2.6)

para calcul á-lo, dado o conhecimento da distribuiç ão de probabilidade P (Y ) de ho-mic´ıdios nas cidades, independentemente de sua populaç ão e da distribuiç ão de probabilidade condicional P (N |Y ) para o tamanho populacional de cidades com um dado n úmero de homic´ıdios. O denominador é uma constante em Y e pode ser ex-presso como o traço do numerador sobre todos os valores de Y . P (N ) é a funç ão densidade de probabilidade de Zipf para tamanhos populacionais.

Para estimar a distribuiç ão dos homic´ıdios totais nas cidades P (Y ) deve levar em conta o fato de que as propriedades urbanas mudam (super) extensivamente com a populaç ão e que h á cidades com tamanhos muito diferentes. Devido a esses fatos gerais, as densidades de probabilidade da lei de pot ência (distribuiç ões Zipf ou Pareto), s ão comuns entre as m étricas urbanas. Mais especificamente, essas distribuiç ões explicam o fato de que um pequeno n úmero de cidades é respons ável pela maioria dos homic´ıdios e que um grande n úmero de cidades exibe apenas alguns. No M éxico, por exemplo, aproximadamente 60% dos homic´ıdios v êm de 2% das cidades. N úmeros semelhantes caracterizam a Col ômbia e o Brasil nos anos estudados.

Para evitar o ru´ıdo da cauda para as grandes cidades adotou-se, na pr ática, um procedimento de analisar a funç ão distribuiç ão acumulada complementar ao inv és da funç ão densidade de probabilidade.

A Figura 2.2.2 mostra as distribuiç ões cumulativas emp´ıricas de homic´ıdios para o ano de 2007 na Col ômbia, M éxico e Brasil, as quais apresentam cauda pesada por v árias d écadas e um corte efetivo menor para valores pequenos de Y . Com isso sup õe-se o modelo

P (Y ) = (Y + κ) −τ

ς(τ, κ) , Y ∈ ℵ, (2.7)

onde τ > 0 é o expoente da lei de pot ência e κ é um n úmero real positivo, que permite P (Y )permanecer anal´ıtico com Y → 0, em que

ς(τ, κ) = Σ∞_{Y =0}(Y + κ)−τ (2.8)

é a funç ão zeta generalizada ou zeta de Hurwitz, que garante a normalizaç ão de P (Y ) como uma vari ável discreta.

As distribuiç ões cumulativas normalizadas de homic´ıdios na Col ômbia, M éxico e Brasil s ão bem descritas por distribuiç ões lei de pot ência, como pode ser observado na Figura 2.2.2. Para atenuar as flutuaç ões da cauda e facilitar a interpretaç ão visual n ão analisou-se a funç ão densidade, mas a distribuiç ão cumulativa complementar. Os

(21)

melhores ajustes da forma P (Y ≥ y) = Cy−τ +1foram estimados usando o procedimento para a funç ão densidade. Enquanto a distribuiç ão de homic´ıdios totais é invariante por escala, este é o resultado de traçar distribuiç ões condicionais mais previs´ıveis para cada cidade sobre uma ampla distribuiç ão de tamanhos de cidades.

Homicídios Colômbia Homicídios México Homicídios Brasil

Figura 2.2.2 – Distribuiç ões normalizadas cumulativas de homic´ıdios na Col ômbia, M éxico e Brasil. A linha vermelha tracejada mostra os ajustes. Os erros

padr ão s ão mostrados entre par ênteses. A linha azul s ólida mostra o valor m´ınimo de Y para o qual um ajuste de lei de pot ência é v álido. Adaptada de Gomez-Lievano et al. (2012).

Para calcular P (N |Y ), fixou-se o valor de Y e estimou-se a distribuiç ão de probabilidade sobre a populaç ão. A Figura 2.2.3 mostra os histogramas das frequ ências de homic´ıdios para Col ômbia, M éxico e Brasil, para uma faixa de Y . Esses n úmeros d ão uma impress ão do tipo da distribuiç ão de probabilidade que descreve os dados. Observa-se que todas as distribuiç ões, em cada valor de Y , mostram um pico distinto com m édia e vari ância definidas. A hip ótese nula da distribuiç ão de Poisson foi rejeitada com alta confiança por um m étodo de m áxima verossimilhança. Em vez disso, os dados se encaixam bem em termos de uma distribuiç ão lognormal:

P (N |Y ) = 1 Np2πσ2 Y e −(lnN − µY) 2 2σ2 Y _, _(2.9)

(22)

Colômbia México Brasil

Figura 2.2.3 – Histogramas de frequ ência normalizada do logaritmo da populaç ão da cidade para um n úmero vari ável de homic´ıdios observados Y . Uma

distribuiç ão lognormal (note que o eixo x é expresso em termos de ln N ) é mostrada como uma linha vermelha s ólida, com par âmetros obtidos via estimativa m áxima verossimilhança. Adaptada de Gomez-Lievano et al. (2012).

Segue-se que a m édia e a vari ância s ão dadas por: hN iY = eµY+σ 2 Y/2 (2.10) (∆NY)2 = (eσ 2 Y−1)e2µY+σ2Y. (2.11)

Os estimadores de m áxima verossimilhança dos par âmetros lognormal s ão:

c µY = 1 nY Σi∈SY ln Ni (2.12) c σ2 Y = 1 nY Σi∈SY(ln Ni−µcY) 2 _(2.13)

onde SY é o conjunto de cidades com Y homic´ıdios e nY o n úmero de cidades em SY. Se a distribuiç ão normal mant ém em termos as vari áveis logar´ıtmicas da populaç ão, dado diferentes valores de Y , pode-se colapsar os diferentes histogramas da Figura 2.2.3 padronizando as log-vari áveis. Isso é poss´ıvel calculando os estimadores de m áxima verossimilhança da m édia e da vari ância para cada valor de Y e, em

(23)

seguida, construindo no mesmo histograma a distribuiç ão para v ários valores de Y . A Figura 2.2.4 mostra essas distribuiç ões padronizadas. Esse procedimento tem suas limitaç ões devido ao fato de que à medida que aumentamos Y , o n úmero de cidades decresce, at é que haja apenas uma cidade com dado Y e N e a estimativa estat´ıstica se torne imposs´ıvel. Por outro lado, tem a vantagem de que a forma da distribuiç ão P (N |Y )para v ários valores de Y pode ser exibida em uma única figura.

Fr

equênc

ia

Figura 2.2.4 – Colapsos dos histogramas de P (N |Y ) atrav és de valores de Y em 2007. As funç ões densidade de probabilidade lognormal para as tr ês naç ões

s ˜ao mostradas como linhas vermelhas s ´olidas. Adaptada de Gomez-Lievano et al. (2012).

Note que, as distribuiç ões da lei de pot ência que descreve o n úmero total de homic´ıdios nos sistemas urbanos t êm, de fato, estat´ısticas mais previs´ıveis quando condicionadas ao tamanho populacional da cidade.

Agora, pode-se estimar os par âmetros da Equaç ão 2.9 usando as Equaç ões 2.12 e 2.13, e plotando cσ2

Y eµcY inferindo sua depend ˆencia funcional de Y . O comportamento de σ2

Y mostrado na Figura 2.2.5 é est ável e sup ôs-se cons-tante a partir daqui. As curvas mostradas na Figura 2.2.6 sugerem um crescimento logar´ıtmico de µ_cY em funç ão de Y . A funç ão logar´ıtmica mais geral que pode ser ajustada aµ_cY é:

c

µY = f (Y ) = b ln(Y + r) + lnA (2.14)

onde r é uma constante positiva que permite o logaritmo permanecer finito (e positivo) quando Y → 0 e A é um n úmero positivo. Adiante, a constante b ser á identificada com o expoente de escala 1/β. Note que, cada pa´ıs tem uma variaç ão caracter´ıstica de seus indicadores condicionados a outras quantidades urbanas. A esse respeito, é interessante notar as semelhanças entre a Col ômbia e o Brasil.

(24)

Figura 2.2.5 – Estimativas de σ2

Y (via m ´axima verossimilhanc¸a) para diferentes

valo-res de Y ∈ {0, ..., 29}, para a Col ˆombia, M ´exico e Brasil. Uma curva

diferente foi constru´ıda para cada ano da an álise. Os pontos mostrados s ão as m édias ao longo de v ários anos. As barras de erro representam intervalos de um desvio padr ão em torno da m édia (n´ıvel de confiança de 67%). As figuras n ão mostram uma depend ência sistem ática clara de Y em σ_Y2. Adaptada de Gomez-Lievano et al. (2012).

Colômbia: México: Brasil:

Figura 2.2.6 – Estimativas de µY (via m ´axima verossimilhanc¸a) para diferentes

va-lores de Y ∈ {0, ..., 29}, para a Col ˆombia, M ´exico e Brasil. Uma curva

diferente foi constru´ıda para cada ano da an álise, e os pontos traçados s ão as m édias ao longo de v ários anos. As barras de erro representam um intervalo de um desvio padr ão sobre a m édia. Adaptada de Gomez-Lievano et al. (2012).

Os gr áficos mostram uma depend ência logar´ıtmica de Y , da qual uma relaç ão de escala surge em termos de valores esperados. Os melhores ajustes foram obtidos usando um algoritmo de Levenberg-Marquardt, ponderando cada ponto por seu erro.

Usando a Equaç ão 2.6, deriva-se a funç ão de probabilidade condicional P (Y |N ). Se a Equaç ão 2.9 é v álida para todos Y ≥ 0, usando a Equaç ão 2.7, obt ém-se:

P (Y |N ) ∝ (1/ eY )exp − 1 2σ2 Y (lnN − µY)2+ (1 − τ )ln eY , (2.15) onde eY ≡ Y + κ.

(25)

Usando a Equaç ão 2.14 para substituir µY porµcY, obt ém-se P (Y |N ) ∝ (1/ eY )exp − 1 2σ2 Y ((lnN − lnA(Y∗)b)2+ 2σ_Y2(τ − 1)ln eY ) . (2.16)

Expandindo os termos ao quadrado, os logaritmos e agrupando alguns dos termos, essa equac¸ ˜ao se transforma em:

P (Y |N ) ∝ (1/ eY )exp[− 1 2σ2 0 (ln2Y∗− 2ln( (Y ∗₎P e Y σ2 0(τ − 1) ) + P2)], (2.17) onde Y∗ = Y + r, P = 1 bln(N/A)e σ0 = (σY/b).

Lembrando que r em Y∗ = Y + r e κ em eY = Y + κ foram introduzidos para explicar o limite quando Y → 0. Essas constantes geram limites esperados e nos impedem de dividir por zero na distribuiç ão da lei de pot ência e de tomar o lo-garitmo de zero em µ_cY. N ão h á restriç ões que impeçam de consider á-los iguais e pequenos, pois ambos introduzem uma escala caracter´ıstica que se manifesta como uma mudança de regime no comportamento de escala quando as cidades s ão muito pequenas e as realizaç ões de homic´ıdios nulos (ou outras medidas discretas) começam a ocorrer. Portanto, n ão é razo ável supor que eles s ão os mesmos, assim Y∗ ≈ eY. Sob esta suposiç ão, pode-se completar o quadrado e calcular a distribuiç ão poste-rior. Percebendo que P (Y |N ) = P (Y∗|N ) porque ∆Y∗_{/∆Y = 1, e mantendo apenas} termos dependentes de Y (os outros ser ão finalmente absorvidos pela constante de normalizaç ão), chega-se a

P (Y∗_{|N ) ∝ (1/Y}∗)exp[− 1 2σ2 0 (lnY∗− (P − σ2 0(τ − 1))) 2_], _(2.18)

que é uma distribuiç ão lognormal para Y∗ dado N , com par âmetros µN = P − σ20(τ − 1) e σN = σ0. Expressando os par âmetros de distribuiç ão nas vari áveis originais e introduzindo a constante de normalizaç ão adequada, obt ém-se

P (Y∗|N ) = 1 Y∗_p2πσ2 N e −(lnY ∗_{− µN )}2 2σ2 N _, _(2.19) µN = 1 bln( N A) − σ 2 N(τ − 1) (2.20) σ2_N = σ_Y2/b2. (2.21)

As express ões acima relacionam as estat´ısticas lognormal da distribuiç ão condicional P (Y |N ) com a escala e a lei de Zipf para a distribuiç ão do tamanho das cidades. Como mostra abaixo, isso leva a um relacionamento entre o escalonamento e os expoentes de Zipf.

(26)

Com essas distribuiç ões condicionais é poss´ıvel calcular seus momentos, como a m édia e a vari ância. Tomando a Equaç ão 2.14 e a Equaç ão 2.20 para derivar hN iY e hY iN explicitamente em termos de Y e N , isto é:

hY + riN = e(3/2−τ )σ_N2 Aβ ! Nβ (2.22) hN iY = Aeσ 2 Y/2(Y + r)1/β. (2.23)

Da mesma maneira, os desvios padr ˜ao ∆Y_N∗ = ΣNNβ e ∆NY podem ser expressos como

∆Y_N∗ = ΣNNβ (2.24)

∆NY = ΣY(Y + r)1/β, (2.25)

onde ΣN e ΣY s ˜ao coeficientes de proporcionalidade.

Pode-se mostrar como uma distribuiç ão da lei de pot ência emerge ao derivar a distribuiç ão da probabilidade de N . Na Equaç ão 2.6, P (N ) é chamado de “evid ência”, e age na pr ática como uma constante de normalizaç ão. Podendo ser calculado a partir do conhecimento do numerador

P (N ) = Σ∞_Y∗_=rP (N |Y∗)P (Y∗) (2.26)

∝ N−α, (2.27)

que é uma distribuiç ão da lei de pot ência. Segue-se ent ão que os v ários expoentes s ão obrigados a obedecer à relaç ão

β = α − 1

τ − 1. (2.28)

Se a escala superlinear (β > 1) se aplica a algum indicador urbano Y , pode-se prever que os tamanhos populacionais sejam distribu´ıdos pela lei de pot ência com expoente α > τ , e vice-versa, se a escala for sublinear. Se α ≈ 2, significa que a escala superlinear τ < 2 e, portanto, a quantidade Y pode n ão ter m édia e vari ância definidas. Nestes casos, as refer ências as “cidades m édias” n ão t êm significado matem ático. Note, no entanto, que tamb ém é poss´ıvel que α > τ > 2 desde que o expoente de Zipf

é suficientemente maior que 2. Em geral, essas propriedades podem ser usadas para restringir o valor do expoente de Zipf a partir da observaç ão das estat´ısticas de muitos indicadores urbanos diferentes e do conhecimento de suas propriedades m édias de escala.

(27)

2.3 Uma relaç ão entre a escala urbana e funç ão de produç ão

Essa seç ão apresenta uma investigaç ão de Lobo et al. (2013) na qual a partir de relaç ões de escala urbana de quantidades econ ômicas versus populaç ão derivou-se um modelo de sa´ıda econ ômica na forma de uma funç ão de produç ão do tipo Cobb-Douglas. A principal contribuiç ão deste estudo foi abordar a quest ão de como formas espec´ıficas de funç ões de produç ão, comuns a todas as cidades, surgem como modelos eficazes de produç ão econ ômica como resultado da observaç ão das relaç ões de escala urbana e seus fundamentos te óricos.

Um resultado observado para as cidades é que a maioria de suas propriedades n ão s ão proporcionais ao tamanho da populaç ão. Por exemplo, as cidades maiores ten-dem a exibir maiores produç ões per capita, desde crime a sal ários, e precisam de uma infraestrutura com menos material por pessoa, embora a utilizem mais intensamente. Essas propriedades, e sua detalhada express ão quantitativa observada em termos de relaç ões de escala, podem ser derivadas de uma teoria microsc ópica que descreve as cidades como co-localizadas misturando redes sociais, sujeitas a certas restriç ões gerais de efici ência.

As relaç ões de escala caracterizam-se como uma determinada quantidade de interesse, Y , dependendo de uma medida do tamanho de um sistema, N , de acordo com a relaç ão

Y (N ) = Y0Nβ, (2.29)

onde Y0 é uma constante de normalizaç ão e β o expoente de escala. A relev ância desta relaç ão lei de pot ência torna-se clara quando considera-se uma mudança de escala arbitr ária por um fator λ de N para λN . Isso induz uma mudança em Y de Y (N ) para Y (λN )que pode ser expressa como

Y (λN ) = Z(λ, N )Y (N ). (2.30)

Se o fator de escala Z depende apenas de λ, isto é, Z(λN ) = Z(λ), a Equaç ão 2.30 pode ser resolvida de forma única fornecendo o resultado invariante de escala da Equaç ão 2.29, com Z(λ) = λβ_{. Invari ância de escala implica que a relaç ão Y (λN )/Y (N )} é parametrizada por um único n úmero adimensional, β. A relaç ão Y (λN )/Y (N ) é independente do tamanho do sistema particular N , mas depende da relaç ão entre os tamanhos, λ; tais sistemas s ão frequentemente referidos como autossimilares.

A Equaç ão 2.29 assemelha-se com uma funç ão de produç ão, sendo Y a produç ão econ ômica total e N o tamanho da populaç ão urbana ou grupos de trabalho. Em uma base per capita, essa mesma equaç ão implica y ≡ Y /N = Y0Nβ−1, que pode ser interpretada, por exemplo, como uma equaç ão para a sa´ıda por pessoa, em funç ão do n úmero m áximo de pessoas compartilhando ideias entre si.

(28)

As relaç ões de escala e funç ões de produç ão podem expressar expectativas m édias para sa´ıdas (econ ômicas) em termos de conjuntos de entradas. Por ém, a interpretaç ão estat´ıstica correta das leis de escala s ão valores de expectativa para a quantidade Y , condicionada ao tamanho da populaç ão de uma cidade; essa é a m édia associada à densidade de probabilidade P (Y |N ).

As flutuaç ões estat´ısticas em torno da lei de escala m édia, com os valores dos par âmetros de escala, podem ser determinadas aplicando ln na Equaç ão 2.29.

ln Yi = ln Y0+ β ln Ni+ ξi, (2.31) com áreas urbanas indexadas por i. Aqui, as flutuaç ões est ão representando desvios locais (espec´ıficos de uma cidade) da escala em forma de vari ável. Tendo como exemplo uma m étrica urbana que exibe um comportamento de escala, considere o total de sal ários, definido como a soma total de sal ários e vencimentos auferidos pelos residentes em uma área urbana. A estimativa de m´ınimos quadrados ordin ários da Equaç ão 2.31 - corrigindo para heterocedasticidade, usando dados sobre sal ários totais (T W ) e populaç ão para as 943 áreas urbanas dos Estados Unidos durante o per´ıodo de 2009-2011 fornece o seguinte resultado:

ln(T Wi) = 1, 404 + 1, 146 ln(P opi), R2 = 0, 97, (2.32) com p-valores virtualmente zero. A Figura 2.3.1 mostra o gr áfico de dispers ão dos dados e a linha de regress ão ajustada; o gr áfico da Figura 2.3.2 mostra que eles s ão independentes de escala. Assim, um aumento de 1% na populaç ão est á associado, em m édia, a um aumento de 1,15% na produç ão, independentemente do tamanho da cidade, em geral de acordo com as expectativas te óricas para β ∼ 7/6. Esses retornos de escala semelhantes e crescentes estabelecem quantitativamente as vantagens econ ômicas das grandes cidades.

A Equaç ão 2.32 indica a produtividade m édia de uma cidade com tamanho N. Os desvios m édio desse comportamento det êm as caracter´ısticas de cada área urbana individual n ão esclarecidas pelos efeitos gerais de aglomeraç ão do tamanho da populaç ão. Estes desvios podem ser quantificados escrevendo a equaç ão residual em 2.31 como ξi = ln Yi Y (Ni) = ln Yi Y0Niβ (2.33) onde Yi é o valor observado de sa´ıda para cada área metropolitana e ξ é um indicador metropolitano ajustado à escala (SAMI). Como os SAMIs podem ser constru´ıdos para quaisquer caracter´ısticas vari áveis de captura da vida urbana que est ão sujeitas a efeitos de aglomeraç ão em escala, pode-se escrever qualquer indicador urbano estoc ástico, como

Yi = Y0Niβe ξY

(29)

Agora pode-se derivar a funç ão de produç ão econ ômica das cidades a partir de suas propriedades probabil´ısticas de escala.

Figura 2.3.1 – Gr áfico de dispers ão dos dados e linha de regress ão ajustada. Escala

do total de sal ´arios usando dados para todas as 943 ´areas urbanas dos Estados Unidos (suavizadas no per´ıodo de 2009-2011) mostrando escala superlinear. Adaptada de Lobo et al. (2013).

Figura 2.3.2 – Res´ıduos da regress ão de ln (total de sal ários) em ln (populaç ão). Na

regress ˜ao foi usados dados para todas as 943 ´areas urbanas dos Estados Unidos (suavizadas no per´ıodo de 2009-2011). Adaptada de Lobo et al. (2013).

(30)

Prosseguindo-se com uma relaç ão cont ábil onde em algum momento, t,

Yi(t) = Wi(t) + Ri(t) (2.35)

sendo Y , o valor pecuni ário da sa´ıda total gerada na i- ésima área metropolitana, W a renda total do trabalho e R a renda total de capital. As aç ões do fator de produç ão s ão definidas como: 1 − α = Wi(t) Yi(t) , α = Ri(t) Yi(t) . (2.36)

Em geral, α = αi(t, Ni) é espec´ıfica da cidade e de uma funç ão de tempo e tamanho da populaç ão N . Diferenciando a Equaç ão 2.35 em relaç ão ao tempo (ou em relaç ão a N) e dividindo por sa´ıda, Y , obt ém-se

1 Yi(t) dYi(t) dt = 1 Yi(t) dWi(t) dt + 1 Yi(t) dRi(t) dt = [1 − α(t)] Wi(t) dWi(t) dt + α(t) Ri(t) dRi(t) dt . (2.37) Integrando 2.37, tem-se lnYi(t) = Z (1 − α)dlnWi(t) + Z αdlnRi(t). (2.38)

Integrando por partes, obt ´em-se o seguinte resultado: lnYi(t) = (1 − α)lnWi(t) + αlnRi(t) + Z ln Wi(t) Ri(t) dα. (2.39)

A ´ultima integral pode ser escrita como Z

ln 1 − α α

dα = ln[c(1 − α)α−1α−α], (2.40)

onde c é uma constante de integraç ão, de modo que,

Yi(t) = c(1 − α)α−1α−αWi(t)1−αRi(t)α. (2.41) Note que a Equaç ão 2.41 é uma instanciaç ão de uma relaç ão mais geral, que pode ser derivado algebricamente e que para o fator livre ser independente dos fatores de produç ão α deve ser uma constante. Essa derivaç ão destaca que Y, W e R s ão funç ões do tempo.

Restringindo a soluç ão na Equaç ão 2.39 para ser consistente com a Equaç ão original 2.35 determina c = 1. Essa soluç ão é geral na medida em que n ão exige, por exemplo, que o fator compartilhado, α, seja constante no tempo ou no tamanho da populaç ão. Assim, a derivaç ão de uma funç ão de produç ão do tipo Cobb-Douglas segue diretamente das definiç ões 2.35 e 2.36 e n ão possui significado econ ômico mais espec´ıfico al ém do contido nessas relaç ões. De fato, a funç ão de produç ão Cobb-Douglas é basicamente uma identidade trivial que decorre de um simples argumento

(31)

dimensional, j á que Y, W e R devem ter as mesmas dimens ões, e supondo que Y é unicamente por W e R, deve ser express ável como a Equaç ão 2.41, com expoentes somando a unidade. No entanto, esse formalismo assume uma utilidade potencialmente maior quando α é uma constante independente do tempo e do tamanho da populaç ão; isto é, quando

∂α

∂N |t= 0, ∂α

∂N |N= 0. (2.42)

A Equaç ão 2.39, sob a suposiç ão de α constante, pode ser relacionada à funç ão de produç ão Cobb-Douglas, que é um modelo amplamente utilizado para economias nacionais e urbanas. Isto requer a introduç ão dos fatores de convers ão relativos a sal ários, Wi(t), à m ão-de-obra, Li(t), e renda do capital, Ri(t), à entrada do capital, Ki(t): wi(t) = Wi(t) Li(t) , ri(t) = Ri(t) Ki(t) , (2.43)

w é o sal ário m édio e r é o preço m édio de locaç ão do capital. Assim, pode-se escrever, Y como

Yi(t, N ) = C(α)Wi(t, N )1−αRi(t, N )α = Ai(t, N )Li(t, N )1−αKi(t, N )α, (2.44) com C(α) ≡ (1 − α)−(1−α)α−α. O pr é-fator A(t, N ) é frequentemente referido como a produtividade total de fatores (PTF) da área urbana e é medida preferida da pro-dutividade econ ômica. Uma maior ou menor PTF multiplica os mesmos fatores de entrada de m ão-de-obra e capital para produzir maior ou menor produç ão econ ômica, respectivamente. A partir da Equaç ão 2.44, obt ém-se a seguinte express ão para a PTF urbana em funç ão da produtividade do trabalho e capital:

Ai(t, Ni) = C(α) W_i(t, Ni) Li(t, Ni) 1−α_R i(t, Ni) Ki(t, Ni) α = C(α)wi(t, Ni)1−αri(t, Ni)α. (2.45) Em seguida, mostra-se como a exist ência de relaç ões de escala determina a forma de A, resultando em sua parametrizaç ão sistem ática como uma funç ão expl´ıcita do tamanho da populaç ão, Ni, e desvios locais, ξi.

At é aqui, explorou-se as consequ ências de uma relaç ão cont ábil, Equaç ão 2.35, e a definiç ão de aç ões fatoriais, Equaç ão 2.36, juntamente com as leis de conservaç ão expressas na Equaç ão 2.42, para obter uma funç ão do tipo Cobb-Douglas comum para todas as cidades. Mostra-se agora, que a const ância de α é uma consequ ência das relaç ões de escala urbana e a din âmica microsc ópica subjacente, e usa-se essas relaç ões para obter uma nova express ão para Ai(t, Ni). Note que, com

Wi(t, Ni) = W0eξ w i (t)_Nβw i (t), Ri(t, Ni) = R0eξ R i(t)_NBR i (t), (2.46) segue que α = R0(t) Y0(t) eξRi(t)−ξiY(t)_NβR−βY i (t) = 1 − W0(t) Y0(t) eξiW(t)−ξiY(t)_NβW−βY i (t). (2.47)

(32)

Assim, para α independente de N é equivalente a exigir que ambos os sal ários e rendas tenham o mesmo expoente escalar, de modo que βW = βR. Consequentemente, a observaç ão da escala urbana superlinear socioecon ômica universal e seus fundamen-tos te óricos implicam a conservaç ão de α versus N e Cobb-Douglas para a produç ão econ ômica das cidades versus o tamanho da populaç ão.

A const ância de α no tempo requer que os pr é-fatores W0 e R0 compartilhem a mesma depend ência de tempo, e que as diferenças entre os SAMIs para os sal ários totais espec´ıficos e renda total de capital, e o SAMI para a produç ão total tamb ém seja independente do tempo. O primeiro refere-se ao crescimento econ ômico (nacional) do sistema urbano e, como tal, espera-se que variem lentamente no tempo. O último muda lentamente no tempo, mas a an álise de suas estat´ısticas revela que sua vari ância (lembrando que os SAMIs t êm m édia zero) é aproximadamente independente do tempo, como tal, pode-se esperar que a m édia de α sobre os SAMIs tamb ém é aproximadamente independente do tempo.

Assumindo a const ância de α a partir dos argumentos anteriores, agora deriva-se uma express ão expl´ıcita para a PTF das cidades. Em primeiro lugar, nota-deriva-se que tanto o numerador quanto o denominador nas express ões sal ário por trabalhador e renda m édia de capital exibem comportamento de escala para que a produtividade marginal dos dois fatores de produç ão possa ser reformulada usando seus SAMIs associados como: wi(t) = Wi(t, Ni) Li(t, Ni) = W0e ξW i (t)N_i(t)βW L0eξ L i(t)N_i(t)βL = W0 L0 eξiW(t)−ξiL(t)_N i(t)βW−βL, (2.48) ri(t) = Ri(t, Ni) Ki(t, Ni) = R0e ξR i (t)N i(t)βR K0eξ K i (t)N_i(t)βK = R0 K0 eξiR(t)−ξ K i (t)N i(t)βR−βK. (2.49) O termo para PTF assume, ent ão, a forma geral:

Ai(t) = A0(t)eξ A i NβA i (t), (2.50) com A0(t) = C(α) W0(t) L0(t) 1−α_R 0(t) K0(t) α , (2.51) ξ_iA= (1 − α)(ξ_iW − ξ_iL) + α(ξ_iR− ξ_iK), (2.52) βA= (1 − α)(βW − βL) + α(βR− βK). (2.53) As Equaç ões 2.50 e 2.53 explicitam como a PTF urbana depende do tamanho da populaç ão, atrav és dos expoentes de escala, quanto de flutuaç ões locais indepen-dentes da escala por meio das SAMIs. A Equaç ão 2.50 difere de uma formulaç ão

(33)

padr ão da PTF na qual os efeitos de aumento de produtividade da populaç ão s ão explicitamente controlados e os efeitos neutros da populaç ão explicitamente represen-tados pela Equaç ão 2.52. Como consequ ência, qualquer propriedade urbana adicional proposta para explicar uma maior ou menor produtividade de cidades espec´ıficas n ão vinculadas ao seu tamanho deve ser expressa em termos de sua contribuiç ão para os SAMIs para W, L, R e K.

Avaliar A requer conhecimento de como K, o estoque de capital metropolitano, escala com tamanho urbano. Dados os valores observados para os coeficientes de escala para sal ários totais e trabalho, βW ≈ 1.15 e βL≈ 1, e com (1 − α)≈0.7 o primeiro termo à direita do sinal de igualdade na Equaç ão 2.52 tem um valor de 0.11 sobre o valor do termo α(βR− βK). Sob a suposiç ão de que o aluguel de capital, r, é constante, ou quase, em todas as áreas metropolitanas, e dado que R = r × K, ou equivalente, R0NβK = rK0NβK. Para r ser constante, deve-se ter βR = βK. Portanto, βA ≈ 0.11 implica que a produtividade urbana, medida pela PTF, aumenta cerca de 11% em cada duplicaç ão da populaç ão.

2.4 Fatores que d ão origem as relaç ões de escala dos fatores urbanos relacio-nados ao tamanho da populaç ão

Na presente seç ão ser á contemplado resultados obtidos por Bettencourt (2013) em um estudo que busca os fatores que originam as relaç ões de escala dos fen ômenos urbanos sobre o tamanho da populaç ão. Segundo Bettencourt (2013) as grandes dificuldades de uma abordagem cient´ıfica para as cidades s ão resultados de suas v árias caracter´ısticas interdependentes, como social, econ ômico, infraestrutural, e sistemas complexos espaciais que existem em formas semelhantes, no entanto mudando sobre um conjunto de escalas. Nesse sentido essa investigaç ão teve como objetivo mostrar como todas as cidades podem evoluir de acordo com um pequeno conjunto de princ´ıpios b ásicos que operam localmente.

Ao longo de 40 anos, v árias pesquisas emp´ıricas alegam que n ão h á nenhum tamanho especial para as cidades, de modo que a maioria das propriedades urbanas, Y , variam continuamente com o tamanho da populaç ão e s ão descritas matematicamente em termos de relaç ões de escala Y = Y0Nβ, onde Y0 e β s ão constantes em N (populaç ão). As cidades de tamanhos diferentes n ão possuem as mesmas propriedades. Especificamente, observa-se geralmente que as taxas de quantidades sociais (tais como sal ários ou novas invenç ões) aumentam per capita com o tamanho da cidade (escala superlinear, β = 1 + δ > 1, com δ ' 0.15), enquanto o volume ocupado pela infraestrutura urbana per capita (estradas, cabos, etc.) diminui (escala sublinear, β = 1 − δ < 1). Assim, esses dados resumem as expectativas familiares de que cidades

(34)

maiores al ém de ter um custo mais elevado e congestionamentos, s ão tamb ém mais criativas quando comparadas a cidades pequenas.

Os resultados emp´ıricos sugeriram, tamb ém, que, apesar da aparente com-plexidade, as cidades podem ser simples: as propriedades globais m édias podem ser determinadas por apenas alguns par âmetros-chave. No entanto, a origem dessas relaç ões de escala observadas e uma explicaç ão para as interdepend ências entre as facetas espaciais, infra-estruturais e sociais da cidade permaneceram desconhecidas.

Para uma compreens ão te órica de como as cidades operam e como essas interdepend ências surgem, o autor desenvolve uma estrutura unificada e quantitativa. Considerando primeiro o modelo mais simples de uma cidade delimitada pela área A e populaç ão N , escreve-se as interaç ões entre pessoas i, j em termos de uma rede social F_kij, e assume-se que as interaç ões sociais (amizade, emprego, conhecimento, etc.) s ão locais, ocorrendo em uma área de interaç ão a0, e tem força gk, onde k descreve tipos de links sociais. O par âmetro, gk, pode ser positivo (atraente, expressando um benef´ıcio social, por exemplo, relaç ões econ ômicas mutuamente ben éficas) ou negativo (repulsivo, expressando um custo social, por exemplo, crime). Todos estes processos compartilham a mesma din âmica subjacente m édia dos encontros sociais no espaço e tempo, no contexto da cidade e suas redes de infra-estrutura.

O n úmero m édio de interaç ões locais por pessoa é dado pelo produto do alcançado por seu movimento, a0l, multiplicado pela densidade populacional n = N/A, onde l é o comprimento t´ıpico percorrido por pessoas, bens e informaç ões. A produç ão social m édia total de uma cidade pode ser obtida multiplicando-se o n úmero total de interaç ões pelo resultado m édio por interaç ão, ¯g, levando a Y = GN

2

A , com par âmetro G ≡ ¯ga0lmedindo o produto da m édia da área de tempos de sa´ıda social, ambos per capita (Figura 2.4.1). Cada sa´ıda sociecon ômica, Y , tem unidades f´ısicas definidas por gk, por ém é útil pensar em todas as quantidades expressas em termos de energia por unidade de tempo (pot ência).

Al ém disso, outra propriedade fundamental das cidades é que elas est ão mistu-rando populaç ões, ou seja, mesmo que as pessoas na cidade exploram locais diferentes em momentos diferenciados, qualquer pessoa pode, em princ´ıpio, ser alcançada por outra pessoa. Este conceito, é a base das definiç ões de cidades funcionais como áreas metropolitanas. Na pr ática, isso significa que o custo por pessoa de uma populaç ão mista é proporcional à dimens ão transversal (di âmetro), L, da cidade L ∼ A1/2_{. Assim,} a pot ência de gastos em processos de transporte para manter a cidade misturada

é dada por, T = εLN = εA1/2_N_{, onde ε é uma força por unidade de tempo. Este} custo deve ser coberto pelo orçamento de cada indiv´ıduo, y = Y /N , requerendo y ' T /N, o que implica A(N ) = aNα _{com α = 2/3 e α = (G/ε)}α_{. A área da linha de}

(35)

base, a, aumenta com interaç ões mais produtivas, por exemplo, devido ao crescimento econ ômico, os custos no transporte é diminu´ıdo, como pode-se observar nos padr ões mundiais de expans ão urbana ao longo do tempo. Assim, obt ém-se Y = Y0Nβ, em que β = 2 − α = 1 + 1/3 > 1 e Y0 = G1−αεα. Este modelo simples leva a área, A, variando sublinearmente com N (α = 2/3 < 1), e os resultados socioecon ômicos, Y , variando superlinearmente (β = 4/3 > 1). No entanto, isso superestima β porque, à medida que as cidades crescem, o espaço é ocupado e o transporte de pessoas, bens e informaç ões é canalizado para as redes. O espaço criado por essas redes fornece a medida correta das interaç ões sociais que podem ocorrer nas cidades.

No entanto, o autor prop ˆos um modelo mais realista generalizando essas ideias em quatro premissas:

1) Juntar populaç ão. A cidade se desenvolve para que os cidad ãos possam explor á-la com recursos à sua disposiç ão. Formaliza-se este princ´ıpio como uma condiç ão de entrada, exigindo que os recursos m´ınimos acess´ıveis a cada indiv´ıduo, Ymin/N ∼ GN/A, correspondam ao custo de chegar a qualquer ponto da cidade. Como as trajet órias de viagem n ão precisam ser lineares, generaliza-se a geometria atrav és de uma dimens ão fractal, H, de modo que a dist ância percorrida ∝ AH/D_. Combinando densidade de interaç ão aos custos, obt ém-se uma relaç ão de escala de

´area generalizada, A(N ) = aNα_{, com a como antes e α =} 2

2 + H [α = D

D + H em dimens ˜oes D]. H = 1 permite que os indiv´ıduos explorem totalmente a cidade dentro da menor dist ˆancia percorrida, o que implica a escala N como um volume f´ısico.

2) Crescimento incremental de rede. Esta suposiç ão exige que as redes de infra-estrutura se desenvolvam gradualmente para conectar as pessoas à medida que elas se unem, levando a redes descentralizadas. Especificamente, a escala da Figura 13 2.4.1 (A) é obtida quando a dist ância m édia entre os indiv´ıduos d = n−1/2= (A/N )1/2 é igual ao comprimento m édio da rede de infra-estrutura per capita, de modo que a área total da rede, An(N ) ∼ N d = A1/2N1/2. Juntamente com primeira premissa, isso implica que An∼ a1/2N1−δ com δ = 1/6 [An ∼ A1/2N(D−1)/D = a1/DN1−δ, com δ =

H D(D + H) em D dimens ˜oes].

3) O esforço humano é limitado, o que requer que G seja, em m édia, indepen-dente de N , isto é, dG/dN = 0 (Figura 2.4.1 (B), inserç ão). As cidades em crescimento exigem de seus habitantes um esforço maior tanto mental como f´ısico e, isso tem sido uma preocupaç ão generalizada para os cientistas sociais. Assim, essa premissa é necess ária para levantar uma importante objeç ão a qualquer conceituaç ão de cidades como sistemas invariantes de escala.

4) Os resultados socioecon ômicos s ão proporcionais às interaç ões sociais locais, de modo que Y = GN2_/A

(36)

apenas concentraç ões de pessoas mas de interaç ões sociais. Este ponto foi enfatizado por Jacobs (1969) mas, tem sido dif´ıcil quantificar. A previs ão de que a escala de interaç ões sociais com β = 1 + δ ' 7/6, foi observada recentemente em redes de telecomunicaç ões urbanas por Schl äpfer (2013). Juntos, esses pressupostos preveem expoentes de escala para uma ampla variedade de indicadores urbanos, desde de padr ões de comportamento humano e propriedades da infraestrutura at é o valor da terra.

A Figura 2.4.1 (A) mostra milhas de pista total (volume) de estradas nas áreas metropolitanas dos Estados Unidos em 2006. Os dados para as 415 áreas urbanas foram obtidos do Escrit ório de Informaç ões sobre Pol´ıticas Rodovi árias da Administraç ão Federal de Rodovias. O melhor ajuste para uma relaç ão de escala Y (N ) = Y0Nβ, obteve β = 0, 849 ± 0, 038 (intervalo de confiança de 95%, R2 = 0, 65); a previs ão te órica, β = 5/6 e a escala linear β = 1. Na Figura 2.4.1 (B) é mostrado o produto metropolitano das áreas metropolitanas dos Estados Unidos em 2006. Os dados para as 363 áreas metropolitanas foram obtidos pelo Departamento de An álise Econ ômica. O melhor ajuste aos dados obteve, β = 1, 126±0, 023 (intervalo de confiança de 95%, R2 _{= 0, 96); a previs ão te órica, β = 7/6 e escala proporcional, β = 1.}

Log população Log população

Log população Log P roduto Int er no Bru to [Esa tdos Unidos -Dolár es]

Log milhas tota

is de estr adas das ár eas metr opolitanas dos E stados Unidos

Figura 2.4.1 – Escala da infra-estrutura urbana e produç ão socioecon ômica - (A) Os

pontos azuis representam milhas de pista total (volume) de estradas nas áreas metropolitanas dos Estados Unidos. As linhas mostram o melhor ajuste para uma relaç ão de escala (vermelho); a previs ão te órica (amarelo); e a escala linear (preto). (B) Os pontos verdes representam o produto metro-politano das áreas metropolitanas dos Estados Unidos. As linhas descrevem o melhor ajuste (vermelho) aos dados; a previs ão te órica (amarelo); e escala proporcional, (preto). Adaptada de Bettencourt (2013).

Os dois par âmetros de melhor ajuste em cada relaç ão de escala foram estima-dos por meio da minimizaç ão de m´ınimos quadraestima-dos ordin ários para a relaç ão linear entre as vari áveis transformadas logaritmicamente. A inserç ão mostra a estimativa de G para as 313 áreas metropolitanas dos Estados Unidos e a lei de conservaç ão

(37)

d ln G

d ln N = 0 (R

2 _{= 0, 003). G ´e medido como o produto do produto interno bruto e do} volume da estrada, ambos per capita. Como previsto, os valores observados de G para diferentes cidades se agrupam em torno de seu valor mais prov ´avel, que fornece uma

´otima estimativa para G∗ e s ˜ao limitados pelo Gmax' 8G∗.

2.5 Conex ão entre distribuiç ão Lei de Pot ência e Alometrias para indicadores urbanos

Essa seç ão apresenta a exist ência de conex ões entre distribuiç ões leis de pot ência e alometrias encontradas nas investigaç ões de Alves et al. (2014). Sistemas urbanos possuem v árias propriedades, entre as quais duas s ão not áveis e onipre-sentes: o surgimento de distribuiç ões assint óticas da lei de pot ência e de alometrias para uma ampla gama de vari áveis que de alguma forma caracterizam os sistemas urbanos (indicadores urbanos ou m étricas). Por um lado a populaç ão [MARSILI et al. (1998); BATTY (2008)], tamanhos de edif´ıcios [BATTY (2008)], fortunas pessoais [NEWMAN (2005)], tamanhos de empresa [AXTELL (2001)], e outros indicadores fo-ram encontrados para seguir sinteticamente as distribuiç ões da lei de pot ência. Por outro lado, as alometrias com o tamanho da populaç ão foram relatadas para o crime [BETTENCOURT et al. (2010); ALVES et al. (2013)], suic´ıdio [MELO et al. (2014)], v árias m étricas urbanas, incluindo patentes, postos de gasolina, produto interno bruto [BETTENCOURT et al. (2007); ARBESMAN (2009); BETTENCOURT (2010)], entre ou-tros. Estas alometrias foram modeladas por Bettencourt (2013) atrav és de um pequeno conjunto de princ´ıpios simples e baseados localmente, como visto na seç ão 2.4. No entanto, a conex ão entre essas duas caracter´ısticas foi elucidada por Gomez-Lievano et al. (2012). Neste trabalho descrito na seç ão 2.2, os autores mostraram, para a relaç ão entre homic´ıdios e populaç ão, que quando ambos os indicadores urbanos s ão assin-toticamente distribu´ıdos como leis de pot ências, tamb ém podem exibir uma relaç ão alom étrica espec´ıfica. Particularmente, o expoente da alometria pode ser totalmente determinado a partir dos expoentes das distribuiç ões da lei de pot ência. Diante disto, Alves et al. (2014) estenderam empiricamente os resultados atrav és de uma ampla caracterizaç ão de todas as poss´ıveis relaç ões entre pares a partir de 12 indicadores urbanos de cidades brasileiras.

Para essa an álise foram usados dados de cidades brasileiras, dispon´ıveis no s´ıtio do Sistema Único de Sa úde - DATASUS no ano de 2000, selecionando 2862 cidades (cerca de 51% das cidades) para as quais todos os valores dos indicadores urbanos estavam dispon´ıveis. A base de dados é composta por doze indicadores urbanos Yi ao n´ıvel da cidade. S ão eles: populaç ão total (i = 0), n úmero de casos de trabalho infantil (i = 1), populaç ão com mais de 60 anos (i = 2), populaç ão feminina

(38)

(i = 3), produto interno bruto - PIB (i = 4), PIB per capita (i = 5), n úmero de homic´ıdios (i = 6), n úmero de analfabetos com mais de 15 anos (i = 7), renda familiar m édia (i = 8), populaç ão masculina (i = 9), n úmero de instalaç ões sanit árias (i = 10) e n úmero de desempregados com mais de 16 anos (i = 11). Considerando que cidades s ão as menores unidades administrativas com um governo local.

Iniciou-se as investigaç ões por construir os gr áficos das distribuiç ões acumu-ladas para os 12 indicadores urbanos, como por ser visto na Figura 2.5.1. Pode-se observar um comportamento aproximadamente linear da dispers ão dos dados em log-log o que permite supor que as formas das distribuiç ões podem ser aproximadas por leis de pot ências assint ótica [Pi(Yi) ∝ Yi−αi], das distribuiç ões para grandes valores de indicadores urbanos. Com o objetivo de tornar esse resultado mais robusto, empregou-se o procedimento estat´ıstico proposto por Clauempregou-set et al. (2009), que é uma maneira sistem ática de testar estatisticamente as distribuiç ões emp´ıricas lei de pot ência. Devido à natureza discreta da maioria desses indicadores urbanos, considerou-se a vers ão discreta do procedimento, aplicando-se o ajuste de m áxima verossimilhança

Pi(Yi) =

Y−αi

i ζ(αi, Yi,min)

, (2.54)

onde ζ(αi, Yi,min) = Σ∞n=0(Yi,min+ n)−αi é a funç ão zeta de Hurwitz, para normalizando Pi(Yi)quando Yi é discreto. Yi,min é um par âmetro que representa o in´ıcio do regime de lei de pot ência, e αi é o expoente da lei de pot ência. Depois de encontrar os par âmetros de melhor ajuste, avaliou-se a adequaç ão do ajuste por meio do teste de Cr ámer-von Mises.

Os valores de αi e Yi,min, bem como o p-valor do teste de Cr ámer-von Mises, tamb ém s ão mostrados na Figura 2.5.1. N ão se pode rejeitar a hip ótese da lei de pot ência em um n´ıvel de confiança de 99% para quase todos indicadores, exceto o n úmero de homic´ıdios, para os quais p-valor é 0,002.

(39)

População p-valor=0.45 Trabalho Infantil p-valor=0.69 População Idosa p-valor=0.17 População Feminina p-valor=0.48 PIB p-valor=0.24

PIB Per Capita

p-valor=0.06 Homicídios p-valor=0.002 Analfabetismo p-valor=0.45 Renda p-valor=0.03 População Masculina p-valor=0.46 Saneamento p-valor=0.39 Desemprego p-valor=0.10 Distribuição Cum ulativa Métrica Urbana

Figura 2.5.1 – Distribuic¸ ˜oes cumulativas de 12 indicadores urbanos das cidades bra-sileiras no ano 2000. Adaptada de Alves et al. (2014).

As distribuiç ões exibem decaimentos da lei de pot ência assint ótica que s ão bem descritas pela funç ão lei de pot ência Pi(Yi) ∼ Y

−αi

i para Yi ≥ Yi,min.

Os autores tamb ém verificaram se as distribuiç ões da lei de pot ência para indicadores urbanos implicam em relaç ões alom étricas entre pares de indicadores. Os seguintes desenvolvimentos anal´ıticos s ão apenas uma revis ão dos resultados presentes no artigo de Gomez-Lievano et al. (2012). Eles propuseram que, se a forma da alometria estiver bem estabelecida, pode-se escrever

Pi(Yi) = Σ∞Yj=Yj∗Pi,j(Yi|Yj)Pj(Yj), (2.55)

onde Pi(Yi) é a distribuiç ão de probabilidade do indicador urbano Yi e Pi,j(Yi|Yj) é a probabilidade condicional representando as flutuaç ões em torno da alometria en-tre os indicadores Yi e Yj. J á se sabe que Pi(Yi) tem a forma da lei de pot ência da Equaç ão 2.54 e ap ós os resultados emp´ıricos, assume-se que a probabilidade

(40)

condicional é uma distribuiç ão lognormal Pi,j(Yi|Yj) = 1 Yi q 2πσ2 i,j(Yj) exp −[ln Yi− µi,j(Yj)] 2 2σ2 i,j(Yj) , (2.56)

em que µi,j(Yj)e σi,j2 (Yj)representam poss´ıveis depend ências dos par âmetros lognor-mal no indicador Yj. Em particular, porque tamb ém est á se assumindo que existe uma alometria entre Yi e Yj (isto é, Yi ∝ Y

βi,j

j ), a forma funcional de µi,j(Yj) ´e µi,j(Yj) = ln[Ai,jY

βi,j

j ], (2.57)

se considerar o desvio padr ão n ão dependente de Yj (isto é, σ2i,j(Yj) = σi,j2 ).

Com essas consideraç ões e substituindo o somat ório na Equaç ão 2.55 por uma integral e considerando Y_j∗ suficientemente pequeno. Ap ós alguns c álculos obt ém-se

Pi(Yi) ∝ Y

−(αj− 1) βi,j

−1

i . (2.58)

Lembrando que Pi(Yi) ∼ Yi−αi, obt ém a relaç ão entre o expoente alom étrico (Bi,j)e os expoentes da lei de pot ência (αi e αj) como

βi,j =

αj− 1 αi − 1

. (2.59)

Nas investigaç ões de Gomez-Lievano et al. (2012) indicadores urbanos apre-sentam distribuiç ões lei de pot ência e podem exibir relaç ões alom étricas com expoentes espec´ıficos. Para testar empiricamente este resultado, investigou-se todas as poss´ıveis alometrias entre pares de indicadores urbanos da base de dados, considerando o logaritmo dos indicadores urbanos e ajustando (via m étodo dos m´ınimos quadrados ordin ários) a funç ão linear

log10Yi = Ai,j + β (f )

i,j log10Yj (2.60)

para todos os indicadores. Aqui, Ai,j = log10Ai,j é uma constante emp´ırica e β (f ) i,j é o valor emp´ırico do expoente alom étrico (obtido ap ós o ajuste da alometria). O procedi-mento é mostrado na Figura 2.5.2 para homic´ıdio versus populaç ão, trabalho infantil versus populaç ão e homic´ıdio versus trabalho infantil. Para encontrar os valores de β_i,j(f ), aplicou-se um ponto de corte no eixo das abscissas considerando apenas os valores de Yj que s ão maiores que Yj,min (o in´ıcio da lei de pot ência na distribuiç ão de Yj). Os pontos azuis na Figura 2.5.2 s ão os pontos que obedecem a essa condiç ão e as linhas tracejadas representam as funç ões lineares ajustadas aos dados. Repete-se este procedimento para todas as poss´ıveis alometrias e a Figura 2.5.3 mostra um gr áfico da matriz com todos os valores de β_i,j(f ). Caracterizou-se, ainda, a qualidade dessas

(41)

alometrias calculando o coeficiente de correlaç ão de Pearson ρi,j, para as relaç ões alom étricas linearizadas (isto é, log10Yi versus log10Yj), que é mostrado na Figura 2.5.3 atrav és do c ódigo de cores. Observe que a maioria das relaç ões apresentam valores ρi,j maiores que 0.5 (≈ 70%). No entanto, tamb ém observa-se duas exceç ões sis-tem áticas: alometrias com indicadores urbanos PIB per capita e renda. O motivo desse comportamento desviante est á relacionado ao fato de que esses dois indicadores s ão definidos per capita e por fam´ılia. Este resultado tamb ém sugere que a principal fonte de correlaç ão entre os dois indicadores Yi e Yj (i 6= j 6= 0) vem de suas relaç ões com o tamanho da populaç ão Y0.

População Homicídios População Trabalho in fantil Trabalho infantil Homicídios

Figura 2.5.2 – Exemplos de alometrias entre indicadores urbanos: (a) homic´ıdios

ver-sus populaç ão, (b) trabalho infantil verver-sus populaç ão e (c) homic´ıdios verver-sus trabalho infantil. Os marcadores s ão logaritmos de base 10 dos valores dos indicadores urbanos Yi versus Yj para cada cidade. Os pontos azuis

representam aquelas cidades que possuem Yj ≥ Yj,mine quadrados cinza

s ˜ao aquelas para as quais Yj < Yj,min. As linhas tracejadas s ˜ao ajustes

lineares ordin ários para os pontos que obedecem à condiç ão Yj ≥ Yj,mine

a inclinaç ão de cada reta é igual ao expoente alom étrico β(f )_i,j . Adaptada de Alves et al. (2014).