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Teoria Ingênua dos Conjuntos

Versão de 05 de maio de 2014

1 O problema da axiomatização

O problema de decidir se uma afirmação matemática é válida ou não é milenar. Alguns resultados da Matemática são muito intuitivos, outros parecem desafiar nossa intuição, enquanto alguns podem parecer deveras vagos para serem passíveis de qualquer julgamento.

Uma saída para esse problema foi idealizada na Grécia Antiga por Euclides. Euclides reduziu a Matemática da época a uma lista de axiomas, que são conceitos elementares, aceitos sem prévias demonstrações. Alguns autores se referem ao sinônimo de axioma: postulado. É importante observar que essas palavras possuem um significado diferente em alguns contextos.

Axiomas são necessários porque nada se demonstra do nada e não é viável nos apoiarmos em cadeias infinitas de argumentações. Como num dicionário, se você procura por macaxeira aparecem como significados aipim e

mandi-oca. Se procurar por aipim, o dicionário explicará que aipim é macaxeira ou mandimandi-oca. Se nenhum dos sinônimos

for aprendido pela vivência, será impossível de se entender o significado. Analogamente, devemos ter um ponto de partida para a Matemática. Uma lista de afirmações da qual a Matemática possa ser construída usando argumentos lógicos. Um sistema de axiomas. Naturalmente espera-se que um sistema de axiomas, tenha um número pequeno de axiomas, que estes sejam intuitivos e, obviamente, que não se contradigam.

Os axiomas de Euclides estruturam a Matemática a partir da Geometria. No decorrer do tempo, imprecisões e problemas de falta de abrangência foram sendo detectados na Axiomática de Euclides. Próximo à virada dos séculos XIX e XX, o russo Georg Cantor, idealizou uma nova estruturação da Matemática, a partir dos conjuntos. O conceito de conjunto sugerido por Cantor, era muito vago, ele descrevia um conjunto como uma simples coleção de coisas que satisfazem a alguma propriedade. O conceito de conjunto dado por Cantor mostrou-se uma linguagem eficiente para descrever a Matemática, tanto que Teoria dos Conjuntos na época foi apelidada de “Paraíso de Cantor”. Porém tal conceito vago de conjunto mostrou-se inconsistente, gerando paradoxos. Um desses paradoxos foi descoberto pelo próprio Cantor, mas é um tanto complexo para descrever neste momento. Descreveremos em seguida o Paradoxo

de Russell, descoberto pelo filósofo Bertrand Russell, que igualmente demonstra a problemática do conceito vago de

conjunto.

1.1 O paradoxo de Russell

“Considere uma cidade na qual o barbeiro faz a barba de todos os homens que não não fazem a própria barba e somente daqueles que não fazem a própria barba. Te pergunto: o barbeiro faz a própria barba?”

Diremos que um conjunto é bonito se ele não possui a si próprio como elemento e diremos que um conjunto é feio em caso contrário. Observe que, com essas definições, todo conjunto é feio ou bonito e que um conjunto não pode ser bonito e feio ao mesmo tempo. Agora considere o conjunto B , cujos elementos são todos os conjuntos bonitos. Se

B é bonito, então, B é elemento de si próprio e, portanto, é feio. Uma contradição. Por outro lado se B é feio, então B

contém a si próprio como elemento, mas os elementos de B são exatamente os conjuntos bonitos, implicando que B é bonito, novamente uma contradição. Então B não poderia ser feio ou bonito, mas teria de ser uma das duas coisas. Este é o paradoxo de Russell.

Esse paradoxo indica que a possibilidade de definirmos o conjunto B é inadequada à axiomatização da Matemá-tica. A fim de consertar a bela estruturação de Cantor, deve-se então adicionar mais restrições para o conceito de conjunto.

1.2 O axioma da especificação e o paradoxo de Richard

Uma saída para os paradoxos de Cantor e Russel, foi uma axiomatização proposta por Zermelo e Frankel (ZF). Os axiomas de ZF admitem a existência de um conjunto, e a possibilidade de, via certas regras, a construção de outros conjuntos a partir deste. Uma dessa regras é o axioma da especificação. Que diz que, se P ( ) é um predicado e X é um conjunto, então é possível definir um conjunto Y , cujos elementos são exatamente os elementos x de X tais que P (x) é verdadeiro. O Paradoxo de Berry, que será descrito a seguir, demonstra a falibilidade desse axioma enunciado dessa forma. Tal paradoxo foi descoberto por G.G. Berry, jovem bibliotecário da Universidade de Oxford, que o comunicou a Russel, que o publicou dando os devidos créditos a Berry.

Considere o seguinte predicado P (x), definido como “x é um número natural que pode ser definido na língua portuguesa com uso de, no máximo, 1000 caracteres”. Definimos então X como sendo o subconjunto dos números

naturais x, para os quais P (x) é verdadeiro. Como na língua portuguesa existe um número finito de caracteres, entre letras, números, sinais de pontuação e a acentos, então existe um número finito de sequências de 1000 caracteres e, portanto o conjunto X é finito e não pode conter todos os números naturais. Seja n o menor número natural fora de

X . Podemos então definir n da seguinte forma:

“Seja n o menor número natural que não pode ser definido em língua portuguesa, com no máximo mil caracteres.” A frase acima é simplesmente uma definição de n que utiliza menos que mil caracteres, contrariando o fato de n não poder ser definido dessa forma.

A solução para tal problema foi estabelecer restrições para a formulação de tal predicado P , que deve ser formu-lado em termos de letras com significado apenas simbólico, não idiomático, algarismos, os símbolos ∀,∃,∼,∨,∈,= etc e outros definidos a partir destes. Essa linguagem é demasiada técnica para o dia-a-dia, tanto que existem profissio-nais dedicados a seu estudo, e não será utilizada com tal rigor e riqueza de detalhes aqui.

2 A Teoria dos Conjuntos e seus axiomas

A axiomatização dada aqui é semelhante a de Zermelo e Frankel. Antes de tudo, tenha em mente a ressalva no último parágrafo da seção anterior. Os conceitos de conjunto e elemento são primitivos. Denotamos x ∈ X para dizer que x é um elemento do conjunto X , ou que x pertence a X .

Antes de falar sobre algo, é conveniente assegurar-se que não está falando sobre nada. Enunciamos o primeiro axioma:

Axioma 1. (da existência)Existe um conjunto.

É razoável dizer que duas coleções são iguais se possuem o mesmo itens. O próximo axioma que enunciamos é sobre a caracterização da igualdade de conjuntos.

Axioma 2. (da extensão) Suponha que X e Y sejam conjuntos. Então X e Y são iguais se e só se todo elemento de X

pertence a Y e todo elemento de Y pertence a X . Em símbolos:

X = Y ⇔ (x ∈ X ⇔ x ∈ Y ).

É frequente lidarmos com conjuntos X e Y tais que x ∈ X implica que y ∈ Y . Quando isso ocorre dizemos que X está contido em Y e que X é um subconjunto de Y e denotamos X ⊆ Y . Em símbolos:

X ⊆ Y ⇔ (x ∈ X ⇒ x ∈ Y ).

Se X ⊆ Y , também dizemos que Y contém X . Quando X está contido em Y mas X 6= Y , então dizemos que X está

propriamente contido em Y e denotamos X(Y . Note que, com essas definições, temos que X = Y se e só se X ⊆ Y

e Y ⊆ X .

Dizemos que um conjuntoF é uma família se todos seus elementos são conjuntos. Não é uma regra, mas para facilitar a leitura, geralmente denotamos conjuntos por letras minusculas, seus elementos por letras minúsculas e famílias de conjuntos por letras maiúsculas caligráficas.

Axioma 3. (da especificação) Se X é um conjunto e P ( ) é um predicado formulado de acordo com as ressalvas no último

parágrafo da seção anterior. Então existe um conjunto Y tal que os elementos de Y são exatamente os elementos x de X para os quais P (x) é verdadeiro. Em símbolos:

x ∈ Y ⇔ (x ∈ X ∧ P(x)). Denotamos esse conjunto por {x ∈ X : P(x)}.

Em geral, se num conjunto X existem elementos x1, . . . , xntais que x ∈ X ⇔ (x = x1) ∨ ··· ∨ (x = xn), então denota-mos X := {x1, . . . , xn}.

Se X e Y são dois conjuntos, definimos a interseção de X e Y pelo conjunto X ∩ Y := {x ∈ X : x ∈ Y }. Fica como exercício a demonstração da seguinte proposição:

Proposição 2.1. Se X e Y são conjuntos, então X ∩ Y = Y ∩ X .

Dizemos que um conjunto vazio ; é um conjunto que não possui elementos. Isso é a sentença x ∉ ; é sempre verdadeira, qualquer que seja x. Podemos provar:

Prova: Primeiro mostramos que existe um conjunto vazio. Pelo axioma da existência, existe um conjunto X , pelo

axioma da especificação podemos definir ; := {x ∈ X : x 6= x}. É fácil mostrar que ; é, de fato um conjunto vazio. Se supormos que x ∈ ;, temos que x 6= x o que é uma contradição.

Falta mostrar a unicidade do conjunto vazio. Ou seja que, se X é vazio, então X = ;. De fato, suponha que X seja um conjunto vazio. Como ambas sentenças x ∈ X e x ∈ ; são sempre falsas, então é sempre verdade que x ∈ X ⇔ x ∈ ;.

Pelo axioma da extensão, X = ;. ä

A demonstração da próxima proposição é deixada como exercício.

Proposição 2.3. Se X é um conjunto, então ; ⊆ X .

Assim, como a interseção podemos construir a diferença de dois conjuntos, denotada por X − Y (X \Y por alguns autores) e definida por X − Y := {x ∈ X : x ∉ Y }. Mas não é verdade que X − Y = Y − X . Por exemplo {1,2} − {1,3} = {2}, mas {1, 3} − {1,2} = {3}.

Axioma 4. (da união) Suponha queF seja uma família de conjuntos. Então existe um conjunto, F , o qual chamamos

de união dos elementos de_{F , tal que x ∈ F se e só se existe X ∈ F tal que x ∈ X . Em símbolos:} x ∈ F ⇔ (∃X ∈ F ; x ∈ X ).

Denotamos a união dos elementos de_{F por S}

X ∈F

X .

Podemos, como antes definir, via o axioma da especificação a interseção de uma família não vazia de conjuntos F , da seguinte forma seja Y ∈ F , a interseção da família F é definida por:

\ X ∈F

X := {x ∈ Y : (∀X ∈ F )x ∈ X }.

Fica como exercício, mostrar que essa última definição não depende da escolha do elemento Y , isso é, se escolhermos

Z ∈ F , distinto de Y e trocarmos Y por Z , na definição do conjunto acima, tal conjunto permanece os mesmo.

Note que esse último axioma ainda não é o suficiente para definirmos a união de dois conjuntos X e Y , pois, para isso necessitamos que X e Y sejam os únicos membros de uma família. É isso o que diz o próximo axioma.

Axioma 5. (do par) Se X e Y são conjuntos então existe uma famíliaF cujos únicos elementos são X e Y . Em símbolos:

x ∈ F ⇒ (x = X ∨ x = Y ). Denotamos essa família como {X , Y }.

Agora estamos em condições de definir a união de dois conjuntos X e Y como o conjunto

X ∪ Y := [ Z ∈{X ,Y }

Z .

Note que x ∈ X ∪ Y se e só se x ∈ X ou x ∈ Y e que X ∪ Y = Y ∪ X .

O próximo axioma é o último dessa seção, mas não o último da teoria, ele que, de fato, nos dá ferramentas para a construção de conjuntos não triviais.

Axioma 6. (da potência) Se X é um conjunto, então existe uma famíliaP (X ), denominada o conjunto potência de X

(alguns autores chamam de conjunto das partes) tal que x ∈ P (X ) se e só se x é um subconjunto de X .

Por exemplo, se {a, b} é um conjunto, então_{P ({a,b}) = {;,{a},{b},{a,b}}.}

2.1 Exercícios de fixação

Considere para os exercícios desta seção que:

(i) os elementos a, b, c, d e e são sempre distintos entre si e

(ii) nenhum dos elementos a, b, c, d ou e é um conjunto cuja a interseção com {a, b, c, d , e} é não vazia.

Ex. 2.1. Seja X = {a,b,c,d} e Y = {c,d,e}. Encontre os seguintes conjuntos: X ∩ Y , X ∪ Y , X − Y , Y − X , P (Y ) e

P (Y ) ∩ P (X ).

1. {a, b} é um subconjunto de X ? 2. ; é um subconjunto de X ? 3. {a} ∈ X ? 4. a ∈ X ? 5. a é um subconjunto de X ? 6. b ∈ X ? 7. Encontre X ∩ {a,b}. 8. Encontre X ∩ P ({a,b}).

2.2 Exercícios teóricos

Ex. 2.3. Mostre que existem dois conjuntos X e Y diferentes. Mostre que existem 4 conjuntos diferentes entre si. É

possível mostrar isso para 16 conjuntos? (Dica: use a existência do conjunto vazio e os axiomas do par e da potência.)

Ex. 2.4. Mostre que, se X − Y = Y − X , então X = Y .

Ex. 2.5. Considere conjuntos X , Y e Z . Demonstre: Demonstre as seguintes identidades

1. Se X − Y = Y − X , então X = Y . 2. (X ∩ Y ) ∩ Z = (X ∩ Y ) ∩ Z ; 3. (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z ); 4. X ∩ (Y ∪ Z ) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z ); 5. X ∪ (Y ∩ Z ) = (X ∪ Y ) ∩ (Y ∪ Z ); 6. X − (Y ∪ Z ) = (X − Y ) ∩ (X − Z ); 7. X − (Y ∩ Z ) = (X − Y ) ∪ (X − Z ); 8. X ∩ Z ⊆ Y ∩ Z ⇐⇒ Z − Y ⊆ Z − X ;

9. (X ∪Y )−(X ∩Y ) = (X −Y )∪(Y − X ); cada um dos membros da igualdade acima chamado a diferença simétrica de X e Y , denotada por X∆Y . Note que X ∆Y = Y ∆X .

10. (X∆Y )∆Z = X ∆(Y ∆Z ); 11. X ∩ (Y ∆Z ) = (X ∩ Y )∆(X ∩ Z );

Ex. 2.6. Prove que se A, B , X e Y são conjuntos tais que X ⊆ Y , A ⊆ B e {X ,Y } = {A,B}, então X = A e Y = B.

Ex. 2.7. Dizemos que dois conjuntos X e Y são disjuntos se X ∩ Y = ;. Analogamente uma família de conjuntos F é disjunta quando (∀X ∈ F )(∀Y ∈ F )(X 6= Y ⇒ X ∩ Y = ;). Demonstre que, se F é uma família de conjuntos disjunta

e A é um conjunto, então:

• A famíliaA , cujos elementos são os conjuntos da forma A ∩ X , com X ∈ F , pode ser definida com os axiomas da Teoria dos Conjuntos.

• Tal famíliaA é disjunta? Essa resposta depende de quem é F ? Exemplifique as possibilidades, se for o caso.

Ex. 2.8. SejaF uma família de conjuntos e I = T X ∈F

X . Mostre que a famíliaI , cujos conjuntos são exatamente

aqueles da forma X − I , com X ∈ F pode ser definida com os axiomas da Teoria dos Conjuntos. Tal família A é disjunta? Essa resposta depende de quem éF ? Exemplifique as possibilidades, se for o caso.

Ex. 2.9. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para todos conjuntos X e Y ?

1. P (X ∪ Y ) = P (x) ∪ P (Y ); 2. P (X ∩ Y ) = P (x) ∩ P (Y ); 3. _{P (X − Y ) = P (x) − P (Y );}

3 Pares ordenados e produto cartesiano

Nesta subseção temos como desafio definir o conceito de par ordenado. Isso é se X e Y são conjuntos queremos construir entidades matemáticas da forma (x, y) com x ∈ X e y ∈ Y tais que para todos a, x ∈ X e b, y ∈ Y :

(x, y) = (a,b) ⇔ (x = a) ∧ (y = b). (1)

A fim de satisfazer a propriedade (1), através do axioma da especificação emP (X ∪Y ), definimos o par ordenado (x, y) por {{x}, {x, y}}.

Proposição 3.1. A definição de par ordenado satisfaz a propriedade (1).

Prova: Se x = a e y = b segue diretamente que (x, y) = (a,b). Por outro lado, suponha que (x, y) = (a,b). Isso é:

{{x}, {x, y}} = {{a},{a,b}}.

Se x = y, então {x} = {x, y}. Portanto {{a},{a,b}} = {{x},{x, y}} = {{x}}. Então {a,b} = {x} e a = b = x = y.

Se x 6= y, então {a} 6= {x, y} pois um desse conjuntos possui dois elementos distintos e o outro não. Como {a} ∈= {{x}, {x, y}}. Então {a} = {x} e a = x portanto. Como {x, y} ∈ {{a},{a,b}}, então {x, y} = {a,b} portanto, a 6= b. Como x = a

então é necessário que b = y. ä

Tal definição de par ordenado apenas foi feita para demonstrar a viabilidade de uma tal estrutura com a proprie-dade (1). Não voltaremos a mencionar o par (x, y) pela expressão {{x}, {x, y}}.

Definimos o produto cartesiano dos conjuntos X e Y pelo conjunto X × Y formado pelos pares ordenados (x, y) com x ∈ X e Y ∈ Y . Em termos dos nosso axiomas, para ser mais rigoroso:

X × Y := {A ∈ P (X ∪ Y );(∃x ∈ X )(∃y ∈ Y )(A = (x, y))}.

3.1 Exercícios de fixação

Ex. 3.1. Seja X = {a,b}, Y = {b,c} e Z = {a,b,d}. Encontre os seguintes conjuntos:

1. X × ;; 2. (X × Y ); 3. (X × X );

4. ((X × X ) ∪ (Y × Y )) − (Z × Z );

3.2 Exercícios teóricos

Ex. 3.2. Mostre que, se X ⊆ Y e Z ⊆ W , então X × Y ⊆ Z × W .

Ex. 3.3. Sejam A, B,C e D conjuntos. Demonstre as seguintes afirmações:

1. Se A ⊆ B e C ⊆ D, então A ×C ⊆ B × D. 2. (A ∪ B) ×C = (A ×C ) ∪ (B ×C ); 3. C × (A ∪ B) = (C × A) ∪ (C × A); 4. (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A ×C ) ∩ (B × D); 5. (A ×C ) ∩ (B × D) = (A × D) ∩ (B ×C ); 6. (A − B) ×C = (A ×C ) − (B ×C );

Ex. 3.4. Sejam A, B,C e D conjuntos não vazios. Verifique se as seguintes identidades são válidas. Demonstrando-as

em caso afirmativo e exibindo um contra-exemplo em outro caso. 1. (A × B) = (C × D) se e só se A = C e B = D;

2. (A ×C ) = (B ×C ) se e só se A = B; 3. (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A ×C ) ∪ (B × D);

4 Relações de equivalência

Se X e Y são conjuntos, dizemos que R ⊆ X × Y é uma relação de X em Y . Se (x, y) ∈ R denotamos x R y. Quando num contexto em que R é a única relação em questão, podemos dizer que x se relaciona com y se x R y, para tornar a linguagem mais natural.

Dois tipos de relações são de extrema importância na Matemática: as funções, que estão presente em pratica-mente todos os conceitos matemáticos e merecem um estudo mais detalhado, tanto que dedicaremos mais a frente uma seção somente a elas, e as relações de equivalência, que vamos estudar agora.

Dizemos que uma relação R de X em X é uma relação de equivalência em X se, para todos x, y, z ∈ X , vale as seguinte propriedades:

1. Eq1) x R x,

2. Eq2) x R y implica y R x e 3. Eq3) x R y e y R z implica x R z.

Se não há outra relação de equivalência em questão dizemos que x é equivalente a y quando x R y para tornar o discurso mais idiomático.

Se R é uma relação de equivalência em X , e x ∈ X , a classe de equivalência de x segundo R é o conjunto ¯x dos elementos de X equivalentes a x, ou seja, ¯x := {y ∈ X : y R x}. Definimos o conjunto quociente de X por R como a

família X_R das classes de equivalências dos elementos de X segundo R. Isso é:

X

R := X /R := {Y ∈ P (X ) : (∃x ∈ X )(Y = ¯x)}.

Para um bom exemplo de relação de equivalência e conjunto quociente veja os exercícios na próxima subseção. Dizemos que uma famíliaF é uma partição de um conjunto X , se F é uma família disjunta tal que X = S

X ∈F . Fica como exercício a demonstração da seguinte proposição:

Proposição 4.1. Se X é um conjunto e R é uma relação de equivalência em X , então X /R é uma partição de X .

4.1 Exercícios de fixação

Ex. 4.1. Seja X um conjunto. O exemplo mais trivial de relação de equivalência em X é a relação de igualdade

R := {(x, y) ∈ X × X : x = y}. Descreva o conjunto X /R?

Ex. 4.2. Considere o conjunto do números inteirosZ = {...,−2,−1,0,1,2,...}. Apesar de ainda não termos construído

tal conjunto e suas operações de multiplicação, a noção intuitiva que temos dele é suficiente para ilustrar os conceitos. Suponha queZ esteja bem definido com suas operações, como nós conhecemos.

Seja p ∈ Z − {0}. Considere a relação R de Z em Z , definida pela seguinte propriedade:

x R y ⇔ (∃q ∈ Z)(x − y = qp).

1. Mostre que a relação R pode ser construída a partir deZ, suas operações e os axiomas que vimos até agora. 2. Mostre que R é uma relação de equivalência.

3. Para p = 3, quem são as classes de equivalência de Z/R? 4. Mostre que, se a R x e b R y, então (a + b)R (x + y) e ab R x y.

Ex. 4.3. SejaF uma partição de um conjunto X . Mostre que existe uma única relação de equivalência R em X tal que

F = X /R.

5 Funções

Sejam X e Y conjuntos, intuitivamente, introduzimos o conceito de função de X em Y . Uma função é uma regra que a cada elemento de X associa um único elemento de Y . Por exemplo a regra que associa a cada número natural se sucessor é uma função, pois cada número possui um único sucessor. Porém a regra que associa a cada número natural, seus divisores, não é uma função, já que um número pode ter mais de um divisor. Mas como construir um objeto matemático de acordo com os axiomas da teoria de conjuntos que satisfaz tal conceito?

Dados conjuntos X e Y , dizemos que f é uma função de X em Y (notação f : X → Y ) se f é um subconjunto de X ×

Y , tal que para todo x ∈ X , existe um único elemento y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f . Neste caso se (x, y) ∈ f , denotamos f (x) = y e dizemos que y é a imagem de x por f . De acordo com nosso conceito intuitivo se f associa x a y, escrevemos f (x) = y.

Em símbolos, uma função f de X em Y é um subconjunto f ⊆ X × Y , tal que: (F1) (∀x ∈ X )(∃y ∈ Y )((x, y) ∈ f );

(F2) (∀x ∈ X )(∀y, y0∈ Y )( (x, y), (x, y0) ∈ f ⇒ y = y0).

Se : X → Y f é uma função, chamamos o conjunto X de domínio de f e o conjunto Y de contradomínio de f . Por exemplo se considerarmos os conjuntos X = {1,2,3} e Y = {3,4,5} e os seguintes subconjuntos de X × Y :

f1= {(1, 3), (2, 4), (3, 5)}; f2= {(1, 3), (2, 3), (3, 4)};

f3= {(1, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 5)}; f3= {(1, 3), (2, 4)}.

Verifica-se que f1e f2são funções de X em Y . Mas f3e f4não são funções de X em Y , pois f3não respeita a

condição (F2), enquanto f4não respeita a condição (F1).

Observe que uma função pode ser analisada em diferentes contradomínios:

Lema 5.1. Se f é uma função de X em Y e Y ⊆ Z , então f é uma função de X em Z .

Para comparar duas funções, é trabalhoso usar sua definição diretamente, ao invés disso, geralmente usamos o seguinte critério.

Lema 5.2. Duas funções f : X → Y e g : X → Y são iguais se e somente se para todo x ∈ X , f (x) = g (x).

Prova: Suponha que f = g . Então, dado x ∈ X , seja y = f (x), isso é (x, y) ∈ f = g . O que implica que g (x) = y =

f (x). Por outro lado suponha que g (x) = f (x), então, se (x, y) ∈ f , segue que f (x) = y = g (x), logo (x, y) ∈ g . Isso

mostra que f ⊆ g . Analogamente se mostra que g ⊆ f . Portanto f = g . ä

Observação: É comum em textos matemáticos a definição de funções via fórmulas. Por exemplo, “seja f (x) = 1/x”.

Mas o que isso quer dizer? De acordo com nossa definição, para definir uma função f : X → Y , precisamos saber quem são os conjuntos X e Y . Como fazemos isso? Geralmente tais definições são dependentes do contexto. Por exemplo, considere um texto que trata de funções reais, isso é, funções com domínio e contradomínio contidos no conjunto_{R, dos} números reais. Neste caso “seja f (x) = 1/x”, traz implicitamente a informação que o domínio de f é o subconjunto de

R cujos elementos são os números reais x para os quais a expressão 1/x faça sentido. Isso é, o conjunto R∗_{:= R − {0}.}

O contradomínio de f éR por padrão nesse contexto, se nada é especificado. Além disso, para todo x ∈ R∗_{, f (x) = 1/x.}

Resumindo, em tal contexto, “seja f (x) = 1/x” na verdade quer dizer “seja f : R∗_{→ R a função tal que f (x) = 1/x para}

todo x ∈ R∗_{”, ou, em linguagem de símbolos,“ f := {(x, y) ∈ R}∗_{× R : y = 1/x}”.}

Se f : X → Y e X0⊆ X , definimos a imagem de X0por f como o conjunto dos elementos de Y que são imagens de elementos de X , isso é:

f (X0) := {y ∈ Y : (∃x ∈ X0)( f (x) = y)}. Também dizemos que a imagem de f é o conjunto Im( f ) := f (X ).

Uma função é sobrejetiva (ou sobrejetora) se sua imagem é igual a seu contradomínio. Em outras palavras,

f : X → Y é sobrejetiva quando f (X ) = Y . No exemplo anterior, f1é sobrejetiva, mas f2não. Observe que a

so-brejetividade de uma função depende do contradomínio sobre o qual ela é analisada.

Uma função f : X → Y é dita injetiva(ou injetora) se elementos distintos de X têm sempre imagens distintas por

f . Isso é (∀x1, x2∈ X )(x16= x2⇒ f (x1) 6= f (x2)). Muitas vezes é conveniente pensar na forma contrapositiva dessa

definição: (∀x1, x2∈ X )( f (x1) = f (x2) ⇒ x1= x2). No nosso exemplo, f1é injetiva, mas f2não, pois f2(1) = f2(2) = 3.

5.1 Exercícios

Ex. 5.1. Quais dos seguintes conjuntos são funções deZ em Z:

1. {(t , 2t ); t ∈ Z}; 2. {(2t , t ); t ∈ Z}; 3. {(1, 3), (2, 4), (3, 5)};

5. n³t ,_t21₊₁

´ : t ∈ Zo.

Ex. 5.2. Seja f : X → Y . Suponha que Z ⊆ X . Mostre que f |Z := {(x, y) ∈ f ; x ∈ Z } é uma função de Z em Y . Essa função é chamada de restrição de f a Z e denotada por f |Z. Mostre que se f é injetiva, então f |Z também é injetiva. Ex. 5.3. Considere o conjuntoZ = {...,−2,−1,0,1,2,...} dos números inteiros. Para as seguintes funções de Z em Z

descritas abaixo, identifique seus conjuntos imagem e diga quais são sobrejetivas e quais são injetivas. (a) f1tal que f1(x) = −x para todo x ∈ Z.

(b) f2tal que f2(x) = |x| para todo x ∈ Z.

(c) f3tal que f3(x) = x + 2 para todo x ∈ Z.

(d) f4tal que f4(x) = x + 1 se x é um inteiro ímpar e f4(x) = x − 1, se x é um inteiro par.

(e) f5, tal que f5(x) = 2x para todo x ∈ Z.

5.2 Funções compostas e inversas.

Se, para conjuntos X , Y e Z , temos funções f : X → Y e g : Y → Z , definimos a função composta de g com f como a função g ◦ f : X → Z tal que, para todo x ∈ X g ◦ f (x) = g (f (x)). Definimos a função identidade de um conjunto X , IdX como a função de X em X tal que I dX(x) = x para todo x ∈ X .

Se f : X → Y e g : Y → X são funções tais que g ◦ f = IdX e f ◦ g = IdY, então dizemos que g é uma inversa de f . Isso é g é uma inversa de f se g ( f (x) = x e f (g (y)) = y para todos x ∈ X e y ∈ Y . Note que essa definição implica que:

Lema 5.3. Se f : X → Y e g : Y → X são funções, então f é uma inversa de g se e só se g é uma inversa de f .

Por exemplo, a função f1da seção anterior possui como inversa {(3, 1), (4, 2)(5, 3)}.

Proposição 5.4. Uma função não pode ter duas inversas distintas.

Prova: Seja f : X → Y . Suponha que g e h seja inversas de f . Seja y ∈ Y e seja x := h(y). Como h é uma inversa de

f , então y = f (x). Mas g é uma inversa de f . Aplicando g em ambos os lados da equação anterior, g (y) = g (f (x)) = x.

Portanto g (y) = h(y) para todo y ∈ Y . Então h = g . ä

Dizemos que uma função é inversível se ela possui uma inversa, que neste caso, pela proposição anterior deve ser única. Denotamos a inversa de f por f−1_{. Dizemos que uma função é bijetiva se for injetiva e sobrejetiva ao mesmo}

tempo.

Teorema 5.5. Uma função é inversível se e só se é bijetiva.

Prova: Suponha que f seja uma função inversível. Para todo y ∈ Y temos que y = f ( f−1(y)), e portanto y ∈ Im( f ). Logo Y ⊆ Im( f ) e f é sobrejetiva. Se x1, x2∈ X e f (x1) = f (x2). Então x1= f−1( f (x1)) = f−1( f (x2)) = x2. Então f é

injetiva, e, portanto, bijetiva.

Por outro lado, suponha que f é bijetiva. Seja g = {(y, x) ∈ Y × X : (x, y) ∈ f }.

Primeiro vamos mostrar que g é uma função. Seja y ∈ Y . Como f é sobrejetiva, existe x ∈ X tal que (x, y) ∈ f e, portanto, (y, x) ∈ g . Além disso se (y, x),(y, z) ∈ g , então (x, y),(z, y) ∈ f . Como f é injetiva, então x = z. Portanto, para cada y ∈ Y existe um único elemento x ∈ X tal que (y, x) ∈ g e g é uma função.

Agora verifiquemos que g é uma inversa de f . Se x ∈ X , então (x, f (x)) ∈ f e ( f (x), x) ∈ g . Portanto g (f (x)) = x para todo x ∈ X . Se y ∈ Y , então (y, g (y)) ∈ g e (g (y), y) ∈ f . Portanto f (g (y)) = y para todo y ∈ Y . ä

5.3 Exercícios

Ex. 5.4. Indique quais funções do Exercício 5.3 são inversíveis e encontre suas inversas. Ex. 5.5. Considere f : X → Y e g : Y → Z . Mostre:

1. Se f e g são injetivas, então g ◦ f é injetiva. 2. Se g ◦ f é injetiva então f é injetiva.

3. Se f e g são sobrejetivas, então g ◦ f é sobrejetiva. 4. Se g ◦ f é sobrejetiva, então g é sobrejetiva.

5. Se g e f são inversíveis, então g ◦ f é inversível e (g ◦ f )−1= f−1◦ g−1.

Ex. 5.6. Dê exemplo de conjuntos X , Y e Z e funções f : X → Y e g : Y → Z tais que:

1. g ◦ f é injetiva mas g não é injetiva. 2. g ◦ f é sobrejetiva mas f não é sobrejetiva. 3. g ◦ f é inversível, mas f e g não são inversíveis.

Ex. 5.7. Seja f : X → Y uma função. Se g : Y → X é tal que, para todo x ∈ X , g ( f (x)) = x. dizemos que g é chamada de

uma inversa à esquerda de f .

1. Mostre que, se X 6= ; então f é injetiva se e só se possui uma inversa à esquerda. O que acontece se X = ;? 2. Mostre que toda inversa à esquerda de f é sobrejetiva.

3. Existem funções que possuem duas inversas à esquerda distintas. Quais são as funções que possuem uma única inversa à esquerda?

Ex. 5.8. Seja f : X → Y . Para B ⊆ Y , definimos a imagem inversa (ou pré-imagem) de B por f como o conjunto:

f−1_{(B ) := {x ∈ X : f (x) ∈ B}. Note que, apesar do termo “f}−1_{” aparecer nessa definição, não estamos requerindo que}

a inversa de f exista, ou seja f−1_{(B ) está bem definida dessa forma, mesmo que f}−1_{não exista. Em particular, se f}−1

existe, a imagem inversa de B por f é a imagem de B por f−1_{. Mostre:}

1. Se B ⊆ C ⊆ Y , então f−1(B ) ⊆ f−1(C ). 2. f ( f−1(B )) = B.

3. Se A ⊆ X , então A ⊆ f−1( f (A)). Mas existem casos em que f−1( f (A))*A.

4. Se f é injetiva, então f−1( f (A)) = A.

Para o próximo exercício, apresentamos mais um axioma da teoria dos conjuntos:

Axioma 7. (da escolha). Suponha queF seja uma família de conjuntos. Então existe uma função f : F →

à [ X ∈F X ! tal que f (X ) ∈ X para todo X ∈ F .

Ex. 5.9. Seja f : X → Y uma função com X 6= ; 6= Y . Uma função g : Y → X tal que, para todo y ∈ Y , f (g (y)) = y é

chamada de uma inversa à direita de f . Note que g uma inversa à direita de f se e só se f é uma inversa à esquerda de g .

1. Mostre que, se f possui uma inversa à direita, então g é sobrejetiva.

2. Mostre que, se f é sobrejetiva, então f possui uma inversa à direita (use o axioma da escolha). 3. Mostre que f é inversível se e só se possui uma inversa à direita e uma à esquerda.