UNIVERSIDADE DO ESTADO DO MATO GROSSO – UNEMAT
GABRIEL VIECELLI RENOSTRO
Automação no processo de integração entre o NAESY e o Pos3D
SINOP
2015/2
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO MATO GROSSO – UNEMAT
GABRIEL VIECELLI RENOSTRO
Automação no processo de integração entre o NAESY e o Pos3D
Projeto de Pesquisa apresentado à Banca Examinadora do Curso de Engenharia Civil – UNEMAT, Campus Universitário de Sinop-MT, como pré-requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.
Prof. Orientador: Me. Maicon José Hillesheim.
Sinop
2015/2
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Malha de elementos Parabólicos ... 9
Figura 2 - Malha de elementos triangulares ... 10
Figura 3 – Elementos Unidimensionais, Bidimensionais e tridimensionais ... 10
Figura 4 - Funções de forma para elementos lineares ... 11
Figura 5 - Função de forma para elementos parabólicos ... 12
Figura 6 - Elemento Bidimensional ... 13
Figura 7 - Avanço de fronteira ... 14
Figura 8 - Concepção dos nós a partir da fronteira ... 15
Figura 9 - Nós internos concebidos ... 15
Figura 10 - Malha interna concebida ... 16
Figura 11 – Empenamento no contorno ... 17
Figura 12 - Empenamento na seção meia lua ... 17
Figura 13 - Emepnamento na seção meia lua 2 ... 18
Figura 14 - Perfil C ... 20
Figura 15 - Nós do perfil C ... 20
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
1. Título: Automação no processo de integração entre o NAESY e o Pos3D. 2. Tema: Engenharias I.
3. Delimitação do Tema: Geração de Malhas. 4. Proponente(s): Gabriel Viecelli Renostro 5. Orientador(a): Maicon José Hillesheim
6. Estabelecimento de Ensino: Universidade do Estado de Mato Grosso. 7. Público Alvo: Estudantes e profissionais de engenharia e matemática. 8. Localização: Av. dos ingás. 3001 Jd. Imperial. Sinop-MT. CEP 78555-000. 9. Duração: 12 meses.
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ... I DADOS DE IDENTIFICAÇÃO ... II 1 INTRODUÇÃO ... 4 2 PROBLEMATIZAÇÃO ... 6 3 JUSTIFICATIVA... 7 4 OBJETIVOS ... 8 4.1 Objetivo Geral ... 8 4.2 Objetivos Específicos ... 8 5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 9 5.1 Malhas ... 9 5.1.1 Malhas de contorno ... 9 5.1.2 Malhas de domínio ... 10 5.2 Funções de Forma ... 11 5.2.1 Elementos Lineares ... 11 5.2.2 Elementos Parabólicos ... 125.3 Matrizes de Coordenadas e de Incidência ... 13
5.4 Avanço de Fronteira ... 14 5.5 Pos3D ... 16 6 METODOLOGIA ... 19 6.1 Primeira etapa ... 19 6.2 Segunda etapa ... 21 6.3 Terceira etapa ... 22 6.4 Quarta etapa ... 22 7 CRONOGRAMA ... 23 8 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO ... 24 9 ANEXOS ... 25 9.1 Anexo A ... 25
1 INTRODUÇÃO
Grande parte dos problemas de engenharia são fenômenos governados por equações diferenciais parciais, dentre esses fenômenos, podemos citar propagação de calor, problemas de campo elétrico, fluxo de água em barragem, campos de tensões em corpos sólidos, propagação de som em diversos meios, etc. As equações que descrevem esses problemas em geral não possuem solução analítica fechada e requerem processos numéricos para sua resolução. Dentre os que mais se destacam, cita-se: Método das Diferenças Finitas, Método dos Elementos Finitos, Método dos Volumes Finitos e Método dos Elementos de Contorno.
Esses métodos transformam os problemas contínuos em problemas discretos, onde os problemas físicos analisados são descritos através de malhas.
Nesse contexto, o NAESY (Numerical Analysis of Engineering Systems) é um conjunto de rotinas desenvolvidas em linguagem de programação Fortran90 com intuito de resolver equações diferenciais de diversos fenômenos através do Método de Elementos de Contorno (MEC).
Neste trabalho em particular será complementada a rotina desenvolvida na pesquisa de mestrado de (HILLESHEIM, 2013) onde foi implementado um novo módulo no âmbito do NAESY e testada a formulação do MEC, aplicada ao problema da torção, que é modelado pela equação diferencial de Laplace. Em tal pesquisa foram implementadas rotinas especiais de integração inerente ao Método dos Elementos de Contorno. Salienta-se que, o bom desempenho dessa formulação depende da eficiência das rotinas de integração, bem como, do refinamento e da qualidade das malhas de entrada de dados que descrevem as seções estudadas.
Ressalta-se que o MEC precisa apenas de malhas de contorno para solucionar essas equações, proporcionando redução da quantidade de nós necessários para geração da malha e consequentemente redução do sistema de equações algébricas pertencentes à formulação do método, implicando finalmente em alívio computacional. Entretanto, os pós processadores de imagens disponíveis trabalham apenas com malhas de elementos finitos e neste caso necessita-se de malhas bidimensionais internas para visualização dos resultados obtidos com o NAESY, dentre esses resultados, tem-se o empenamento da seção transversal de uma barra sujeita a torção bem como os campos de tensões.
Nesse contexto este trabalho se propõe construir rotinas automáticas para geração e refinamento de malhas de contorno a serem utilizadas no NAESY e malhas bidimensionais internas (de domínio) acopladas à malha de contorno para visualização gráfica dos resultados no Pos3D.
2 PROBLEMATIZAÇÃO
O NAESY é um programa que necessita apenas da malha de contorno para resolver a equação diferencial de Laplace no problema da torção. No entanto, descrever o contorno de uma geometria complexa não é uma tarefa fácil, “Para que seja possível a simulação sobre estes objetos é necessária a sua decomposição em formas geométricas simples.” (LACASSA, 2012).
Essa discretização se dá através de pontos dispostos sobre o contorno do objeto de forma a se aproximar o máximo possível do contorno original. Esses pontos são denominados “nós” e precisam ser alocados em uma matriz de coordenadas. No intermédio desses nós, forma-se os elementos e que também precisam ser alocados em uma matriz, chamada de matiz de incidência.
Atualmente o lançamento de ambas as matrizes é feita manualmente pelo usuário, isso se torna algo extremamente cansativo para os usuários utilizar do NAESY.
3 JUSTIFICATIVA
As vantagens de automatizar processos são relativamente obvias e estão cada vez mais presentes no cotidiano das pessoas.
A automação na entrada de dados no NAESY, juntamente com a visualização no software Pos3D, terá grande impacto aos usuários que se utilizam desse programa para analisar determinados fenômenos presentes no âmbito da engenharia. Pois será possível obter resultados numéricos e visuais de uma forma mais rápida e com maior comodidade. Salienta-se que a visualização gráfica dos resultados ajuda na interpretação e no julgamento dos dados gerados.
4 OBJETIVOS
4.1 Objetivo Geral
Gerar malhas de contorno e malhas bidimensionais a partir de pontos primários em um arquivo .txt para o cálculo do empenamento através das rotinas do NAESY.
4.2 Objetivos Específicos
- Automatizar a geração de malhas de contorno a partir de pontos específicos informados pelo usuário.
- Gerar malhas internas a partir das malhas de contorno. - Visualização dos resultados usando o software Pos3D.
5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
5.1 Malhas
A concepção de uma malha se dá a partir da discretização do domínio por elementos mais simples e pode ser dividia em duas classes, malhas estruturadas e não estruturadas. Nas malhas estruturadas os elementos possuem o mesmo tamanho ao passo que nas não estruturadas a dimensão dos elementos variam se ajustando de acordo com o domínio.
Esses elementos são na grande maioria das vezes lineares para malhas de contorno, e triangulares, para malhas de superfície. As malhas tem como finalidade decompor de maneira simplificada, as formas complexas dos objetos de interesse que caracterizam o problema em potencial. (LACASSA, 2012).
5.1.1 Malhas de contorno
As malhas de elementos de contorno são formadas por um conjunto de elementos lineares ou elementos parabólicos, exemplificados na figura 1. Essa malha consiste em discretizar exclusivamente o contorno do objeto de forma se aproximar a sua geometria original.
“Formalmente a estratégia consiste em interpolar o contorno a partir de pontos conhecidos denominados nós. Assim, na verdade, os elementos ligam os nós uns aos outros, em que o intermédio desses nós são aproximados por funções de forma.” (SAKAMOTO, 2007). Essas funções podem ser lineares, quadráticas ou cúbicas. A Figura 1 ilustra uma malha de contorno com elementos parabólicos.
Figura 1 - Malha de elementos Parabólicos Fonte: Acervo pessoal
5.1.2 Malhas de domínio
As malhas de domínio ou malhas internas, geralmente são malhas de superfície que descrevem o interior do objeto através da “conectividade” de vários elementos bidimensionais. Essa “conectividade” se dá pela união de vários elementos através dos nós localizados nos vértices de cada elemento. “O modo mais simples de dividir um sólido plano é usar elementos triangulares.” (KIM; SANKAR; 2008, p. 180). Neste trabalho são escolhidas malhas descritas por elementos triangulares, apesar de existirem vários tipos de elementos. Esses triângulos são descritos pelos nós localizados em cada um dos seus três vértices, de certa forma, o elemento pode ser entendido como a área do triângulo delimitado pelos três nós.
Existem várias técnicas para geração de malhas dessa natureza, as três principais são: técnicas de avanço de fronteira, octree e Delaunay. Este trabalho se propõe utilizar a técnica de avanço de fronteira que será explicado na seção 5.4
A figura 2 mostra um exemplo de malha interna concebida através de elementos triangulares bidimensionais.
Figura 2 - Malha de elementos triangulares Fonte: (SAKAMOTO, 2007)
Existem diversos tipos de elementos que compõem malhas, a figura 3 ilustra alguns deles.
Figura 3 – Elementos Unidimensionais, Bidimensionais e tridimensionais Fonte: Acervo pessoal
5.2 Funções de Forma
As funções de forma são utilizadas para interpolar os espaços compreendidos entre os nós, e são escritas em termos de coordenadas naturais
relacionando-as como coordenadas cartesianas. Essas funções podem ser utilizadas para descreverem elementos lineares, parabólicos ou cúbicos.Neste trabalho ressalta-se que serão utilizadas as funções de forma que descrevem elementos lineares e parabólicos para malhas de contorno e, elementos triangulares para malhas internas. O objetivo é proporcionar ao usuário a utilização das diferentes estratégias de integração implementadas no NAESY.
5.2.1 Elementos Lineares
Os elementos lineares são simples pois precisam de apenas dois nós para serem descritos através das funções de forma. A Figura 4 ilustra o
j
ésimo
elemento linear pertencente a uma malha de contorno.Figura 4 - Funções de forma para elementos lineares Fonte: Acervo pessoal
A seguir é apresentada a equação que descreve os pontos cartesianos:
( ) ( ))
(
)
(
)
(
A iAj B iBj ih
x
h
x
x
(
i
1
,
2)
Esses elementos têm as funções de forma apresentadas a seguir:
)
1
(
2
1
)
(
)
1
(
2
1
)
(
B Ah
h
5.2.2 Elementos Parabólicos
Uma particularidade dos elementos parabólicos é que eles precisam de três nós para serem descritos pelas funções de forma. A Figura 3 representa um elemento parabólico e a seguir são apresentadas as funções de forma que possibilitam transformar as coordenadas cartesianas deste elemento em coordenadas naturais.
Figura 5 - Função de forma para elementos parabólicos Fonte: Acervo pessoal
A seguir é apresentada a equação que descreve os pontos cartesianos:
( ) ( ) ( ))
(
)
(
)
(
)
(
A iAj B iBj C iCj ih
x
h
x
h
x
x
Esses elementos, têm as funções de formas a seguir:
1
2
1
)
(
1
1
)
(
)
1
(
2
1
)
(
C B Ah
h
h
5.3 Matrizes de Coordenadas e de Incidência
A sistematização entre os nós, arestas e as coordenadas se dá através das matrizes de coordenadas e de incidência. Na matriz de coordenada é onde são alocadas as coordenadas cartesianas de cada nó e na matriz de incidência é onde são alocados os nós de cada elemento. Geralmente esses os nós são dispostos no sentido anti-horário. A Figura 6 representa uma malha de contorno por elementos lineares conectados aos seus respectivos nós. Em seguida é exposto as matrizes de coordenada e a matriz de incidência dessa malha de contorno.
Figura 6 - Elemento Bidimensional Fonte: Acervo pessoal
- Coordenadas e incidência dos pontos nodais dos elementos representados na figura 6:
Matriz de Coordenada Matriz de Incidência
Nó X Y Elemento Nó 1 Nó 2 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 3 3 4 3 3 3 4 4 2 4 4 4 5 5 1 3 5 5 1
- Representação da matriz de coordenadas e incidência respectivamente:
3
1
4
2
3
4
2
3
1
1
1
5
5
4
4
3
3
2
2
1
5.4 Avanço de Fronteira
O método de avanço de fronteira é utilizado para gerar malhas de domínios. Como o próprio nome já evidência, os nós que irão formar os elementos internos do objeto que, vão sendo criados a partir da fronteira (neste trabalho chamado de contorno) em direção ao seu interior.
A figura 6 mostra o processo de geração das malhas de domínios através do processo de avanço de fronteira.
Figura 7 - Avanço de fronteira
Os pontos são criados a partir da intesecção de dois círculos de mesmo raio, com o centro coincidindo com os nós localizados sobre o contorno. As Figuras 8, 9 e 10 mostram o processo de geração dos triângulos a partir da fronteira.
Figura 8 - Concepção dos nós a partir da fronteira Fonte: Acervo pessoal
Figura 9 - Nós internos concebidos Fonte: Acervo pessoas
Figura 10 - Malha interna concebida Fonte: Acervo pessoal
5.5 Pos3D
O Pos3D é um software de pós-processamento genérico de elementos finitos, e sua principal característica é a sua simplicidade de utilização. Seu objetivo é auxiliar na interpretação de resultados qualitativos e quantitativos através da visualização gráfica dos dados obtidos por meio das análises realizadas.
Por ser genérico, o Pos3D utiliza de um arquivo padrão para gerar a malha com os resultados obtidos pela análise, isso faz com que seja um software independente de qualquer tipo de código de análise numérica além de permitir a representação de qualquer tipo de elemento finito.
Na Figura 11 é apresentado o empenamento no contorno da respectiva seção transversal. Ressalta-se que o valor desse empenamento
(
)
é obtido com a resolução do problema de valor de contorno através do MEC e a imagem é concebida manualmente.Figura 11 – Empenamento no contorno Fonte: (HILLESHEIM, 2013)
Na Figura 12 é apresentada uma malha de domínio construída manualmente na qual além do contorno, é dado o valor do empenamento em pontos internos pertencentes a seção. Estruturando tais pontos em uma malha de domínio, é possível gerar o aspecto do empenamento através do Pos3D. Na mesma figura ilustra-se o uso de ferramentas gráficas como as isolinhas. Essas linhas representam infinitos pontos que pertencem ao domínio interno das seção que apresentaram o mesmo valor do empenamento.
Figura 12 - Empenamento na seção meia lua Fonte: (HILLESHEIM, 2013)
É possível observar na Figura 13, a visualização gráfica que o Pos3D é capaz de gerar a partir de dados obtidos pelo NAESY. Fica evidente de que, é muito importante essa visualização para se tomar conhecimento do comportamento da seção que está sujeita ao fenômeno da torção.
Figura 13 - Emepnamento na seção meia lua 2 Fonte: Acervo pessoal
Sendo assim, as rotinas que aqui serão desenvolvidas terão como objetivo automatizar o processo de geração de malhas adaptadas a sintaxe do POS 3D.
6 METODOLOGIA
Neste capítulo pretende-se explicar o processo de automação da entrada e saída de dados do NAESY. Esse processo será explicado em 4 etapas distintas para melhor entendimento do leitor.
A primeira etapa consiste na entrada de dados. A segunda etapa é o processo de melhoramento da malha de contorno e a concepção da malha interna do objeto. A terceira etapa é o cálculo realizado pelo NAESY com base na malha melhorada na segunda etapa do processo. E a quarta e última etapa é a organização dos dados fornecidos pelo NAESY de forma que o software POS 3D consiga reconhecer e gerar a visualização gráfica do objeto em questão.
6.1 Primeira etapa
Na primeira etapa o usuário deverá desenhar o contorno do objeto usando nós devidamente referenciados no sistema cartesiano. Para isso, deverá ser determinado a origem do sistema cartesiano e assim extrair as coordenadas cartesianas de cada nó. Essas coordenadas deverão ser alocadas em sentido anti-horário em uma Matriz de Coordenada, escritas em um arquivo de texto.
Esse arquivo de texto pode ser escrito manualmente pelo usuário ou com auxílio do software Auto CAD, que é bem mais prático. Nesse arquivo de texto cada linha representará um nó e irá conter duas colunas, que serão respectivamente as coordenadas X1 e x2 de cada nó.
A vantagem de utilizar o Auto CAD para gerar o arquivo de texto, é de que o usuário poderá desenhar o objeto usando as ferramentas do software, facilitando muito o trabalho de discretização do contorno, além de proporcionar uma precisão satisfatória em relação às coordenadas cartesianas.
A Figura 10 representa um perfil metálico desenhado no Auto CAD com seu contorno discretizado de forma grosseira com três nós a cada elemento parabólico.
Figura 14 - Perfil C Fonte: Acervo pessoal
Para conseguir criar e exportar os pontos cartesianos de cada nó sobre contorno, o usuário precisará importar uma linha de código externa para dentro do Auto CAD. Dentro do Auto CAD, o usuário poderá optar por lançar pontos através da ferramenta “Múltiplos Pontos” ou usando o comando “Dividir”, porém esse último comando só gera pontos espaçados igualmente entre si.
A Figura 11 mostra os nós do perfil C discretizados no Auto CAD.
Figura 15 - Nós do perfil C Fonte: Acervo pessoal
A rotina que executa a tarefa de exportar os pontos cartesianos de cada nó para um arquivo de texto está contida no anexo A.
Após criado os nós na área de CAD, o usuário selecionará esses nós e irá acionar o comando ‘PO2TXT.LSP’ e indicará o local para salvar o arquivo.
Com o arquivo salvo, a primeira etapa está concluída.
6.2 Segunda etapa
A segunda etapa consiste em adensar a malha de contorno que foi informada pelo usuário através dos nós, e conceber a malha interna a partir da malha de contorno aperfeiçoada pela rotina.
A rotina que irá executar esse processo será criada em linguagem Fortran 90, e refinará a malha de contorno usando a funções de forma para elementos parabólicos e lineares com o intuito de delinear o contorno com maior precisão.
A Figura 12 mostra um exemplo de malha de contorno após o melhoramento que será feito pela rotina.
Figura 16 - Nós após o melhoramento da malha Fonte: Acervo pessoal
E seguida será criada a malha interna através do processo de avanço de fronteira.
6.3 Terceira etapa
Após o refinamento da malha de contorno e a concepção da malha interna do objeto, os nós serão informados ao NAESY para realizar as rotinas de cálculo necessárias para obter o empenamento do objeto.
6.4 Quarta etapa
Esta etapa consiste em organizar os resultados obtidos pelo NAESY e organiza-los de tal forma que o POS 3D consiga interpreta-los e gerar a visualização dos nós com seus respectivos empenamentos.
7 CRONOGRAMA
Alguns trabalhos já foram feitos com o intuito de familiarizar-se com a linguagem Fortran90 e com a sistemática de geração de malhas. Esses trabalhos já contemplam a visualização de malhas no POS 3D dos elementos lançados através das matrizes de coordenadas e da matriz de incidência.
Abaixo segue o cronograma das atividades para a realização desta proposta de trabalho durante o ano de 2016. A previsão de duração deste Projeto de Pesquisa é de 12 meses a partir de novembro de 2016.
ATIVIDADES TCC II (ARTIGO) – 2016 N O V D E Z J A N F E V M A R A B R M A I J U N J U L A G O S E T O U T N O V Rotina de leitura de dados
Algoritmo de refinamento da malha de contorno
Pesquisa em bibliografias especializadas no tema
Algoritmo para concepção da malha interna
Indexar às rotinas do NAESY Concepção do Trabalho de conclusão de curso
Organização dos resultados para o Pos3D
8 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO
HILLESHEIM, M. J. Análise de torção de Saint-Venant em barras com seção arbritária via método de elementos de contorno. Universidade Federal de Ouro Preto. Minas Gerais. 2013.
KIM, N.-H.; SANKAR, B. V. Introdução à análise e o projeto em elementos finitos. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
LACASSA, A. de. Geração e melhoramento de malhas adaptativas. 2012. 77 f. Tese (Doutorado) Programa de Pós-Graduação em Ciências de Computação e Matemática Computacional – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2012. Disponível em:
<http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55134/tde-09052013-084715/pt-br.php>, Acesso em: 22 nov. 2015.
PINHEIRO, L. V.; FORTES, C. J.; FERNANDES, L. Gerador de malhas de
elementos finitos para a simulação numérica de propagação de ondas marítimas. Revista Internacional de Métodos Númericos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, Lisboa, v. 24 , p. 23, 2008.
SAKAMOTO, M. M. Algoritmo de Refinamento de Delaunay e Malhas
Sequenciais, Adaptativas e com Processamento Paralelo. Universidade de São Paulo. São Carlos. 2007.
9 ANEXOS
9.1 Anexo A
Rotina utilizada pelo software auto CAD para exportar pontos cartesianos em arquivos de texto.
(defun c:PO2TXT (/ file points c i) ;POints to TeXT
(setq file (open (getfiled "specify output file" "c:/" "TXT" 1) "w")) (setq points (ssget) i 0)
(repeat (sslength points)
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(write-line
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