Aula 2008 17c Extremos de vazão

Estimativas de vazões máximas

• Usos:

– Dimensionamento de estruturas de drenagem

– Dimensionamento de vertedores

– Dimensionamento de proteções contra cheias

– Análises de risco de inundação

– Dimensionamento de ensecadeiras

– Dimensionamento de pontes

Estimativas de vazões mínimas

• Usos:

– Disponibilidade hídrica em períodos críticos

– Legislação de qualidade de água

Cheias

União da Vitória PR Rio Iguaçu

Prejuízos causados por cheias

Fonte: Reinaldo Haas - UFSC Cheia de 1983

Vazões máximas

Verão de 2007 – Zona Sul de Porto Alegre Automóveis arrastados pela correnteza

Risco, probabilidade, tempo de

retorno

• Projetos de estruturas hidráulicas sempre são elaborados admitindo probabilidades de falha.

• Por exemplo, as pontes de uma estrada são projetadas com uma altura tal que a probabilidade de ocorrência de uma cheia que atinja a ponte seja de apenas 1% num ano

qualquer.

• Isto ocorre porque é muito caro dimensionar as pontes para a maior vazão possível, por isso admite-se uma

probabilidade, ou risco, de que a estrutura falhe.

• Isto significa que podem ocorrer vazões maiores do que a vazão adotada no dimensionamento.

Risco, probabilidade, tempo de

retorno

• A probabilidade admitida pode ser maior ou menor,

dependendo do tipo de estrutura. A probabilidade

admitida para a falha de uma estrutura hidráulica é

menor se a falha desta estrutura provocar grandes

prejuízos econômicos ou mortes de pessoas.

Estrutura TR (anos)

Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10 Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100

Pontes 50 a 100

Diques de proteção de cidades 50 a 200

Drenagem pluvial 2 a 10

Grandes barragens (vertedor) 10.000

Probabilidade e tempo de retorno

• No caso da análise de vazões máximas, são úteis os

conceitos de probabilidade de excedência e de tempo de

retorno de uma dada vazão. A probabilidade anual de

excedência de uma determinada vazão é a probabilidade que esta vazão venha a ser igualada ou superada num ano qualquer. O tempo de retorno desta vazão é o intervalo médio de tempo, em anos, que decorre entre duas

ocorrências subseqüentes de uma vazão maior ou igual. O tempo de retorno é o inverso da probabilidade de

excedência como expresso na seguinte equação:

P

TR



1

Probabilidade e tempo de retorno

• onde TR é o tempo de retorno em anos e P é a

probabilidade de ocorrer um evento igual ou superior em um ano qualquer. No caso de vazões mínimas, P refere-se à probabilidade de ocorrer um evento com vazão igual ou inferior.

• A equação acima indica que a probabilidade de ocorrência de uma cheia de 10 anos de tempo de retorno, ou mais,

num ano qualquer é de 0,1 (ou 10%).

P

TR



1

• A vazão máxima de 10 anos de tempo de

retorno (TR = 10 anos) é excedida em

média 1 vez a cada dez anos. Isto não

significa que 2 cheias de TR = 10 anos não

possam ocorrem em 2 anos seguidos.

Também não significa que não possam

ocorrer 20 anos seguidos sem vazões iguais

ou maiores do que a cheia de TR=10 anos.

Tempo de retorno

• Inverso da probabilidade de falha num ano

qualquer: TR = 1/P

• TR típicos 2, 5, 10, 25, 50, 100 anos

• A vazão máxima de 10 anos de tempo de retorno é

excedida em média 1 vez a cada dez anos.

• Isto não significa que 2 cheias de TR = 10 anos

não possam ocorrem em 2 anos seguidos.

Tempos de retorno admitidos

para algumas estruturas

Estrutura TR (anos)

Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10

Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100

Pontes 50 a 100

Diques de proteção de cidades 50 a 200

Drenagem pluvial 2 a 10

Grandes barragens (vertedor) 10 mil

Tempos de retorno para

microdrenagem DAEE CETESB

Ocupação da área TR (anos)

Residencial 2

Comercial 5

Áreas com edifícios de serviço público 5 Artérias de trafego 5 a 10

Estimativa de probabilidades

• Probabilidades empíricas podem ser estimadas a

partir da observação das variáveis aleatórias. Por

exemplo, a probabilidade de que uma moeda caia

com a face “cara” virada para cima é de 50%. Esta

probabilidade pode ser estimada empiricamente

lançando a moeda 100 vezes e contando quantas

vezes cada uma das faces fica voltada para cima.

• Possivelmente o número de vezes será próximo de

50.

• O mesmo para um dado de seis faces, por

exemplo.

Chuvas totais anuais

• O total de chuva que cai ao longo de um ano pode ser considerado uma

variável aleatória com distribuição

aproximadamente normal. Esta suposição permite explorar melhor amostras relativamente pequenas, com apenas 20 anos, por

exemplo.   __                   2 2 1 exp 2 1 x x x x x x f    

Chuvas totais anuais

• Para o caso mais

simples, em que a

média da população é

zero e o desvio padrão

igual a 1, a expressão

acima fica

simplifcada:

 

_          2 exp 2 1 z2 z f_z 

• Uma variável aleatória x com média _x e desvio padrão _x pode ser transformada em uma variável aleatória z, com média zero e desvio padrão igual a 1 pela transformação abaixo:

• Esta transformação pode ser utilizada para estimar a probabilidade associada a um determinado evento

hidrológico em que a variável segue uma distribuição normal.

x

x

x

z









Tabela

Z Probabilidade 0.0 0.5000 0.1 0.4602 0.2 0.4207 0.3 0.3821 0.4 0.3446 0.5 0.3085 0.6 0.2743 0.7 0.2420 0.8 0.2119 0.9 0.1841 1.0 0.1587 1.1 0.1357 1.2 0.1151 1.3 0.0968 1.4 0.0808 1.5 0.0668 1.6 0.0548 1.7 0.0446 1.8 0.0359 1.9 0.0287 2.0 0.0228 2.1 0.0179 2.2 0.0139 2.3 0.0107 2.4 0.0082 2.5 0.0062 2.6 0.0047 2.7 0.0035 2.8 0.0026 2.9 0.0019 3.0 0.0013

Eventos extremos

• Vazões máximas

• Vazões mínimas

Características das cheias

Q_pico

Cheias em rios diferentes

Rio Paraguai Amolar 1 pico anual Rio Uruguai Uruguaiana Vários picos

Algumas situações em que se deseja

estimar as vazões máximas

• Dimensionamento de canais.

• Dimensionamento de proteções contra

cheias (diques).

• Dimensionamento de pontes.

• Dimensionamento de vertedores (neste caso

o volume é muito importante).

Séries temporais

Série contínua Série de máximos Série de mínimos Série de médias

Vazões máximas

• Selecionando apenas as vazões máximas de cada ano em um

determinado local, é obtida a série de vazões máximas deste local e é possível realizar análises estatísticas relacionando vazão com

probabilidade. As séries de vazões disponíveis na maior parte dos

locais (postos fluviométricos) são relativamente curtas, não superando algumas dezenas de anos.

• Analisando as vazões do rio Cuiabá no período de 1984 a 1992, por exemplo, podemos selecionar de cada ano apenas o valor da maior vazão, e analisar apenas as vazões máximas. Reorganizando as vazões máximas para uma ordem decrescente, podemos atribuir uma

probabilidade de excedência empírica a cada uma das vazões máximas da série, utilizando a fórmula de Weibull:

• onde N é o tamanho da amostra (número de anos); e m é a ordem da vazão (para a maior vazão m=1 e para a menor vazão m=N).

1   N m P

Ano calendário x Ano Hidrológico

Máxima 1988 Máxima 1987

Ano Hidrológico

Ano hidrológico Ano calendário

Grande parte do centro do Brasil: Ano hidrológico outubro a setembro Sul: Ano hidrológico de maio a abril

Usando noções intuitivas de probabilidade

Ano Qmáx 1990 1445 1991 1747 1992 1287 1993 1887 1994 1490 1995 3089 1996 1737 1997 2234 1998 1454 1999 1517 Ano Qmáx ordem 1995 3089 1 1997 2234 2 1993 1887 3 1991 1747 4 1996 1737 5 1999 1517 6 1994 1490 7 1998 1454 8 1990 1445 9 1992 1287 10

Ano Qmáx ordem Probabilidade 1995 3089 1 0.10 1997 2234 2 0.20 1993 1887 3 0.30 1991 1747 4 0.40 1996 1737 5 0.50 1999 1517 6 0.60 1994 1490 7 0.70 1998 1454 8 0.80 1990 1445 9 0.90 1992 1287 10 1.00

Usando noções intuitivas de probabilidade

Probabilidade de uma vazão ser excedida

Ordem decrescente de Qmáx P = m / N m = ordem N = número de anos Incoerente

1

N

m

P





Ano Qmáx ordem Probabilidade Tempo de retorno 1995 3089 1 0.09 11.0 1997 2234 2 0.18 5.5 1993 1887 3 0.27 3.7 1991 1747 4 0.36 2.8 1996 1737 5 0.45 2.2 1999 1517 6 0.55 1.8 1994 1490 7 0.64 1.6 1998 1454 8 0.73 1.4 1990 1445 9 0.82 1.2 1992 1287 10 0.91 1.1

Usando noções intuitivas de probabilidade

Probabilidade de uma vazão ser excedida m = ordem N = número de anos

1

N

m

P





Exemplo

• As vazões máximas

anuais do rio Cuiabá

no período de 1984 a

1991 são dadas na

tabela ao lado. Calcule

a vazão máxima de 5

anos de retorno.

Ano Q máx 1984 1796.8 1985 1492.0 1986 1565.0 1987 1812.0 1988 2218.0 1989 2190.0 1990 1445.0 1991 1747.0

Vazões máximas do rio Cuiabá

em Cuiabá

Ano Q máx 1984 1796.8 1985 1492.0 1986 1565.0 1987 1812.0 1988 2218.0 1989 2190.0 1990 1445.0 1991 1747.0

Ordem decrescente

Probabilidade empírica

Ano Vazão (m3/s) Ordem Probabilidade TR (anos) 1988 2218.0 1 0.11 9.0 1989 2190.0 2 0.22 4.5 1987 1812.0 3 0.33 3.0 1984 1796.8 4 0.44 2.3 1991 1747.0 5 0.56 1.8 1986 1565.0 6 0.67 1.5 1985 1492.0 7 0.78 1.3 1990 1445.0 8 0.89 1.1 1 N m P   TR = 5 Q entre 2190 e 2218 m3/s

Problemas com a probabilidade empírica

• Se uma cheia de TR = 100 anos ocorrer em um dos

10 anos da série, será atribuído um tempo de

retorno de 11 anos a esta cheia.

Série de vazões máximas do rio Cuiabá em Cuiabá

1990 a 1999

Série de vazões máximas do rio Cuiabá em Cuiabá

1990 a 1999 1981 a 1990

Comparação

• Como estimar vazões com TR alto, usando

séries de relativamente poucos anos?

– Supor que os dados correspondem a uma

distribuição de freqüência conhecida.

• Calcular a média

• Calcular desvio padrão

• Obter os valores de K da tabela para

probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que

correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100

anos.

• Calcular a vazão para cada TR por

Usando a distribuição normal

passo a passo

Q

S

Q

K

S

Q

Q





_Q



Exemplo Cuiabá

K

P(y>0)

TR

Q

0,000

50 %

2

1789

0,842

20 %

5

2237

1,282

10 %

10

2471

2,054

2 %

50

2882

2,326

1 %

100

3026

K

S

Q

Q





_Q



532

S

_Q



1789

Q



Ajuste da Distribuição Normal aos dados do

rio Cuiabá de 1990 a 1999

Ajuste da Distribuição Normal aos dados do

rio Cuiabá de 1967 a 1999

Ajuste da Distribuição Normal aos dados do

rio Guaporé de 1940 a 1995

Problema

Problema

Outras distribuições de

probabilidade

• Log Normal

• Gumbel

Log Normal

• Admite que os logaritmos das vazões

máximas anuais seguem uma distribuição

normal.

• Calcular os logaritmos das vazões máximas anuais • Calcular a média

• Calcular desvio padrão S

• Obter os valores de K da tabela para probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos.

• Calcular o valor de x (logaritmo da vazão) para cada TR por

• Calcular as vazões usando Q = 10x _{para cada TR}

Usando a distribuição Log - normal

passo a passo

K S x x    x

Ajuste da distribuição Log Normal aos dados

do rio Guaporé

Log Pearson Tipo 3

• Utiliza, além da média e do desvio padrão, um

terceiro parâmetro estimado a partir dos dados,

que é o coeficiente de assimetria.

• Também pode ser expressa na forma:

• Valores de K tabelados para diferentes valores do

coeficiente de assimetria.

K

S

x

Coeficiente de assimetria - G















 



3 3 i 2 i i

S

2

N

1

N

x

x

N

G

1

N

x

x

S

N

x

x





























Exemplo de tabela de K

Probabilidade G 0,5 0,2 0,1 0,04 0,02 0,01 1,4 -0,225 0,705 1,337 2,128 2,706 3,271 1,0 -0,164 0,758 1,340 2,043 2,542 3,022 0,6 -0,099 0,800 1,328 1,939 2,359 2,755 0,2 -0,033 0,830 1,301 1,818 2,159 2,472 0,0 0,000 0,842 1,282 1,751 2,054 2,326 -0,2 0,033 0,850 1,258 1,680 1,945 2,178 -0,6 0,099 0,857 1,200 1,528 1,720 1,880 -1,0 0,164 0,852 1,128 1,366 1,492 1,588 -1,4 0,225 0,832 1,041 1,198 1,270 1,318

• Calcular os logaritmos das vazões máximas anuais • Calcular a média, o desvio padrão e o coeficiente de

assimetria G

• Obter os valores de K da tabela para o G calculado e para as probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que

correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos. • Calcular o valor de x (logaritmo da vazão) para cada TR

por

• Calcular as vazões usando Q = 10x _{para cada TR}

Usando a distribuição Log Pearson 3

passo a passo

K S x

Exemplo rio Guaporé

• Média de log Q

_i

= 2,8315

• Desvio padrão de log Q

_i

= 0,2057

• Coeficiente de assimetria = -0,1744

• No EXCEL coeficiente de assimetria pode

ser calculado por DISTORÇÃO(valores)

• G = -0,1744

• Tabela tem valores para G = 0,0 ou G = -0,2

• Opção 1: interpolar

• Opção 2: usar 0,2

G 0,5 0,2 Probabilidade0,1 0,04 0,02 0,01 1,4 -0,225 0,705 1,337 2,128 2,706 3,271 1,0 -0,164 0,758 1,340 2,043 2,542 3,022 0,6 -0,099 0,800 1,328 1,939 2,359 2,755 0,2 -0,033 0,830 1,301 1,818 2,159 2,472 0,0 0,000 0,842 1,282 1,751 2,054 2,326 -0,2 0,033 0,850 1,258 1,680 1,945 2,178 -0,6 0,099 0,857 1,200 1,528 1,720 1,880 -1,0 0,164 0,852 1,128 1,366 1,492 1,588 -1,4 0,225 0,832 1,041 1,198 1,270 1,318

Log Pearson rio Guaporé

K (G=0,2) P TR Q (G=0,2) Q (G interpolado) 0,033 0,5 2

₆₈₉

₆₈₅

0,850 0,2 5

₁₀₁₄

₁₀₁₃

1,258 0,1 10

₁₂₃₁

₁₂₃₆

1,680 0,04 25

₁₅₀₃

₁₅₂₂

1,945 0,02 50

₁₇₀₄

₁₇₃₇

2,178 0,01 100

₁₉₀₃

₁₉₅₃

Gumbel



x

x

0

,

45

S



S

7797

,

0

1

b

onde

e

1

P

e b

















 

Usando Gumbel passo a passo

Q b P TR 100 . . . 200 . . . 3000 . . .

• Calcular a média

• Calcular desvio padrão

• Criar uma tabela Q, b, P

• Preencher com valores de Q

• Calcular b

• Calcular P



x

x

0

,

45

S



S

7797

,

0

1

b













b e

e

1

P





 

Comparação de resultados

TR Normal Log Normal Log Pearson 3 Gumbel

2 754 678 685 696 5 1050 1010 1013 1007 10 1204 1245 1236 1212 25 1369 1554 1522 1472 50 1475 1794 1737 1665 100 1571 2041 1953 1856

Considerações finais

• Vazões máximas não seguem distribuição

normal.

• Distribuição assimétrica.

• Estimativa de vazões máximas com

• Log Normal • Gumbel

Comentários sobre as distribuições

• Não há uma distribuição perfeita.

• Log Pearson 3 é recomendada oficialmente

nos EUA, mas não é adequada quando N é

pequeno.

• Gumbel tem a vantagem de não necessitar

tabelas.

Estimativas de vazões mínimas

• Usos:

– Disponibilidade hídrica em períodos críticos

– Legislação de qualidade de água

Vazões mínimas

• A análise de vazões mínimas é semelhante à

análise de vazões máximas, exceto pelo fato que

no caso das vazões mínimas o interesse é pela

probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou

menores do que um determinado limite.

• No caso da análise utilizando probabilidades

empíricas, esta diferença implica em que os

valores de vazão devem ser organizados em ordem

crescente, ao contrário da ordem decrescente

ano data vazão 1970 4/jun 118.7 1971 24/nov 221.8 1972 3/jun 184 1973 23/ago 250.6 1974 24/ago 143 1975 5/set 198 1976 18/mai 194 1977 14/set 106.3 1978 15/mai 77.5 1979 30/abr 108 1980 5/mai 202 1981 17/set 128.6 1982 23/mai 111.4 1983 3/set 269 1984 19/set 158.2 1985 31/dez 77.5 1986 8/jan 77.5 1987 12/out 166 1988 13/dez 70 1989 27/dez 219.6 1990 17/mar 221.8 1991 24/set 111.4 1992 24/fev 204.2 1993 3/mai 196 1994 27/dez 172 1995 19/set 130.4 1996 31/ago 121.6 1997 13/mai 198 1998 1/ago 320.6 1999 2/dez 101.2 2000 26/jan 118.2 2001 24/ago 213

ano data vazão 1988 13/dez 70.0 1978 15/mai 77.5 1985 31/dez 77.5 1986 8/jan 77.5 1999 2/dez 101.2 1977 14/set 106.3 1979 30/abr 108.0 1982 23/mai 111.4 1991 24/set 111.4 2000 26/jan 118.2 1970 4/jun 118.7 1996 31/ago 121.6 1981 17/set 128.6 1995 19/set 130.4 1974 24/ago 143.0 1984 19/set 158.2 1987 12/out 166.0 1994 27/dez 172.0 1972 3/jun 184.0 1976 18/mai 194.0 1993 3/mai 196.0 1975 5/set 198.0 1997 13/mai 198.0 1980 5/mai 202.0 1992 24/fev 204.2 2001 24/ago 213.0 1989 27/dez 219.6 1971 24/nov 221.8 1990 17/mar 221.8 1973 23/ago 250.6 1983 3/set 269.0 ordem 1 2 3 … N = 32

1

N

i

p





Probabilidade TR vazão 0.030 33.00 70 0.061 16.50 77.5 0.091 11.00 77.5 0.121 8.25 77.5 0.152 6.60 101.2 0.182 5.50 106.3 0.212 4.71 108 0.242 4.13 111.4 0.273 3.67 111.4 0.303 3.30 118.2 0.333 3.00 118.7 0.364 2.75 121.6 0.394 2.54 128.6 0.424 2.36 130.4 0.455 2.20 143 0.485 2.06 158.2 0.515 1.94 166 0.545 1.83 172 0.576 1.74 184 0.606 1.65 194 0.636 1.57 196 0.667 1.50 198 0.697 1.43 198 0.727 1.38 202 0.758 1.32 204.2 0.788 1.27 213 0.818 1.22 219.6 0.848 1.18 221.8 0.879 1.14 221.8 0.909 1.10 250.6 0.939 1.06 269 0.970 1.03 320.6

Ajuste de distribuição de frequencias

• Semelhante ao caso das vazões máximas

• Normalmente as vazões mínimas que

interessam tem a duração de vários dias

• Q

_7,10

é a vazão mínima de 7 dias de duração

com TR de 10 anos.

Vazões mínimas

• ver apostila

• distribuição normal

• distribuição weibull

Vazões mínimas

• RESOLUÇÃO CONAMA Nº 020, de 18 de junho de 1986

• O CONSELHO NACIONAL DO MEIO AMBIENTE - CONAMA, no uso das atribuições que lhe confere o art. 7º, inciso IX, do Decreto 88.351, de 1º de junho de 1983, e o que estabelece a RESOLUÇÃO CONAMA Nº 003, de 5 de junho de 1984;

• …

• Art. 13 - Os limites de DBO, estabelecidos para as Classes 2 e 3, poderão ser elevados, caso o estudo da capacidade de autodepuração do corpo receptor demonstre que os teores mínimos de OD, previstos, não serão desobedecidos em nenhum ponto do mesmo, nas condições críticas de vazão (Qcrit. " Q7,10 , onde Q7.10, é a média das mínimas de 7 (sete) dias consecutivos em 10 (dez) anos de recorrência de cada seção do corpo receptor).