Produção de emaranhamento pela interação dipolar magnética

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA. Douglas Franco Pinto. PRODUÇÃO DE EMARANHAMENTO PELA INTERAÇÃO DIPOLAR MAGNÉTICA. Santa Maria, RS 2018.

(2) Douglas Franco Pinto. PRODUÇÃO DE EMARANHAMENTO PELA INTERAÇÃO DIPOLAR MAGNÉTICA. Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Física.. Orientador: Prof. Dr. Jonas Maziero. Santa Maria, RS 2018.

(3) Pinto, Douglas Franco Produção de Emaranhamento pela Interação Dipolar Magnética / Douglas Franco Pinto.- 2018. 82 p.; 30 cm Orientador: Jonas Maziero Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Maria, Centro de Ciências Naturais e Exatas, Programa de Pós-Graduação em Física, RS, 2018 1. Mecânica Quântica 2. Emaranhamento 3. Interação Dipolar Magnética 4. Coerência Quântica I. Maziero, Jonas II. Título.. Sistema de geração automática de ficha catalográfica da UFSM. Dados fornecidos pelo autor(a). Sob supervisão da Direção da Divisão de Processos Técnicos da Biblioteca Central. Bibliotecária responsável Paula Schoenfeldt Patta CRB 10/1728..

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(5) DEDICATÓRIA. À memória de minha querida mãe, Elisete Siqueira Franco..

(6) AGRADECIMENTOS Talvez não existam palavras suficientemente significativas que permitam-me agradecer de maneira digna a todos que estiveram presentes em minha trajetória acadêmica e biográfica, mas gostaria de expressar minha sincera gratidão. À minha mãe, Elisete, por todo amor e carinho, além de todo o empenho exercido em minha criação, apesar de todas as dificuldades passadas; obrigado por tudo. Ao meu pai, Verlei, pelo afeto e apoio dado para que continuasse seguindo em frente, além dos ensinamentos concedidos para o desenvolvimento de meu caráter. Ao meu irmão, Diego, agradeço pela paciência e todo o tempo dedicado em contribuir na minha educação desde a infância, além de inspirar o fascínio pela música e a ciência, regracio por me ensinar através da música, desde cedo, que o sucesso só acontece através de muito esforço e dedicação. À minha amada Patricia, por todo o aconchego que a sua presença me trás; agradeço por ser minha companheira de todos os momentos, pelo apoio dado nas diversas circunstâncias e por fazer meus dias mais felizes. Agradeço ao professor Jonas Maziero, pela ampla dedicação e exemplar orientação concedida durante esses anos, por todo apoio dado para realização deste trabalho e por não poupar esforços para trazer novos conhecimentos e contribuir em minha formação. Aos amigos e colegas de laboratório e da UFSM, que compartilharam momentos importantes de minha vida acadêmica e que sempre estiveram ali para ajudar nas ocasiões em que necessitei. À minha família, que sempre acreditou em mim e deu apoio para seguir adiante nessa longa caminhada. Agradeço a minha avó, dona Clara, minhas tias Edi e Elaine, além de meus primos Gabriel, Ivan e Edileuza que estiveram presentes nos momentos felizes e não tão felizes. Aos colegas da banda Electric Funeral que ajudaram a manter aceso minha paixão por fazer um rock n’ roll para quebrar a rotina acadêmica. Por fim, agradeço a população brasileira que, através de seu suor diário, contribuiu no financiamento da estrutura fornecida pela UFSM e pela bolsa suprida pela Capes..

(7) “You have to die a few times before you can really live” (Charles Bukowski).

(8) RESUMO PRODUÇÃO DE EMARANHAMENTO PELA INTERAÇÃO DIPOLAR MAGNÉTICA AUTOR: Douglas Franco Pinto ORIENTADOR: Jonas Maziero Neste trabalho consideramos um sistema bipartido constituído por dipolos magnéticos, inicialmente caracterizados por estados tipo produto descorrelacionados até que a dinâmica de evolução seja estabelecida pela interação dipolar magnética. Reproduzimos o comportamento dinâmico do emaranhamento produzido pela interação dipolar magnética através de sua dependência temporal, conexão com coerências quânticas locais ou simetrias de estados iniciais e parâmetros de interação, estabelecendo assim critérios que extremizam o emaranhamento. Também investigamos a capacidade de produção de emaranhamento da interação dipolar magnética para algumas classes de estados com purezas menores, com e sem emaranhamento inicial, identificando assim aspectos relevantes entre pureza, simetria e coerências quânticas locais necessárias. Mostramos sobretudo, que algumas classes de estados parcialmente emaranhados podem preservar ou gerar o máximo emaranhamento sob interação dipolar magnética para instantes de tempo distintos.. Palavras-chave: Coerência Quântica. Emaranhamento. Interação Dipolar Magnética. Concurrence..

(9) ABSTRACT ENTANGLEMENT YIELD BY THE MAGNETIC DIPOLAR INTERACTION AUTHOR: DOUGLAS FRANCO PINTO ADVISOR: JONAS MAZIERO In this work we consider a bipartite system consisting of magnetic dipoles, initially characterized by product-states uncorrelated until the dynamics of evolution is established by magnetic dipole interaction. We reproduce the dynamic behavior of the entanglement produced by the magnetic dipole interaction through its temporal dependence, connection with local quantum coherences or symmetries of initial states and interaction parameters, thus establishing criteria that extremize the entanglement. We also investigated the entanglement production capacity of the magnetic dipole interaction for some classes of states with lower purities, with and without initial entanglement, thus identifying relevant aspects between purity, symmetry and necessary local quantum coherences. We show, above all, that some classes of partially entangled states can preserve or generate maximum entanglement under magnetic dipole interaction for different instants of time.. Keywords: Quantum coherence. Entanglement. Magnetic Dipolar Interaction. Concurrence..

(10) LISTA DE SÍMBOLOS † Adjunta de uma matriz I Matriz identidade σ0 Matriz identidade 2x2 σ1 , σ2 , σ3 Matrizes de Pauli ~σ vetor das matrizes de Pauli . Produto escalar h.|.iproduto interno |.ih.| Produto externo ⊗ Produto tensorial := Definição |abi := |ai ⊗ |bi Produto tensorial entre autoestados a e b.

(11) Sumário 1 Introdução. 12. 2 Fundamentação teórica 2.1 Postulados da mecânica quântica para sistemas fechados 2.1.1 Postulado dos estados . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Postulado das medidas . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2.1 Superposição de estados . . . . . . . . . 2.1.2.2 Observáveis Compatíveis e Incompatíveis 2.1.3 Postulado da Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Valor Esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Operador Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Operador densidade reduzido . . . . . . . . . . . 2.2.2 Pureza de um operador densidade . . . . . . . . . 2.3 Desigualdades de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Estados separáveis e estados Emaranhados . . . . 2.4.1.1 Decomposição de Schmidt . . . . . . . . 2.4.2 Medida de Emaranhamento . . . . . . . . . . . . 2.5 Concurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Coerência Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 14 14 16 16 17 17 18 19 21 22 22 24 24 26 28 28 29. . . . . . . .. 32 32 43 43 43 44 47 51. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 Métodos e Resultados Obtidos 3.1 Interação Dipolar Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Dinâmica de emaranhamento através da IDM . . . . . . . 3.2.1 Estados produto iniciais puros . . . . . . . . . . . 3.2.2 Coerência quântica dos estados iniciais puros . . . 3.2.3 Evolução dos estados produto puros . . . . . . . . 3.2.4 Medida de Emaranhamento pela concurrence . . . . 3.2.5 Dinâmica da coerência local de estados puros . . . 3.3 Estados iniciais produto misto, suas evoluções e dinâmica mento sob IDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de emaranha. . . . . . . .. . 56.

(12) 3.3.1. 3.4. Estados iniciais produto mistos incoerentes . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.1 Evolução de estados mistos via IDM . . . . . . . . . . . 3.3.1.2 Dinâmica de emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Estados iniciais produto mistos com coerência quântica . . . . . . 3.3.2.1 Evolução de estados mistos via IDM . . . . . . . . . . . 3.3.2.2 Dinâmica de emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Dinâmica da coerência local dos estados produto misto pela IDM Emaranhamento obtido por estados iniciais parcialmente emaranhados . 3.4.1 Estados puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Estados mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 58 58 59 62 62 63 66 69 69 71. 4 Considerações Finais e Perspectivas Futuras. 73. Referências Bibliográficas. 75. 11.

(13) Capítulo 1 Introdução A pesquisa sistemática sobre fenômenos intrinsecamente quânticos como superposição de estados (THEURER et al., 2017) e coerência quântica (BAUMGRATZ; CRAMER; PLENIO, 2014) além das correlações quânticas como o emaranhamento, tem conduzido a resultados importantes para compreensão das estruturas fundamentais de sistemas físicos além de proporcionar avanços expressivos em diversas áreas da ciência, sobretudo na Ciência da Informação Quântica (CIQ) (NIELSEN; CHUANG, 2000). Tais estudos apresentam finalidades puramente teóricas, que envolvem a caracterização, quantificação, manipulação e dinâmica de tais propriedades(BAUMGRATZ; CRAMER; PLENIO, 2014)(STRELTSOV et al., 2015)(WOOTTERS, 1998); somado a repercussões práticas, que englobam a produção de vantagens operacionais na manipulação da informação como na aplicação de protocolos de comunicação quântica, computação quântica, física de estado sólido, termodinâmica de nanoescalas, sistemas biológicos, etc (STRELTSOV; ADESSO; PLENIO, 2017)(BENNETT et al., 1993)(CASTRO et al., 2016)(PATI, 2000)(ZHOU; OU; WU, 2015). Nos últimos anos, devido a possíveis aplicações como implementação de portas quânticas controladas para computação quântica além de canais quânticos para protocolos de comunicação, as correlações quânticas existentes no estado térmico de Gibbs associadas a interação dipolar magnética (IDM) tem sido vastamente investigadas (FURMAN; MEEROVICH; SOKOLOVSKY, 2012; KUZNETSOVA; YURISCHEV, 2013; FURMAN et al., 2014; CASTRO et al., 2016). Ademais, existem diversos sistemas físicos realísticos em que se analisam a possibilidade de aplicação da IDM em computação quântica, tais como: Estados rotacionais de íons moleculares aprisionados em armadilha de íons, estados hiperfinos de átomos aprisionados em rede ótica, estados eletrônicos de centros de vacância com nitrogênio no diamante (YUN; KIM; NAM, 2015; NEUMANN P. KOLESOV, 2010; YUN; NAM, 2013; DOLDE I. JAKOBI, 2013), além de simulações de sistemas de spins (ZHOU; OU; WU, 2015). O comportamento dinâmico do emaranhamento e de outras correlações quânticas tam12.

(14) 13 bém tem sido extensivamente estudadas (FURMAN; MEEROVICH; SOKOLOVSKY, 2008; HU et al., 2015; KHAN; JAN, 2016; MOHAMED, 2013). Todavia a IDM também é fonte de ruído para diversos sistemas devido a criação de correlações quânticas entre sistema e ambiente (MAZIERO et al., 2010; SOARES-PINTO et al., 2011; POZZOBOM; MAZIERO, 2017). Consequentemente, é de crucial importância, tanto do ponto de vista teórico como prático, investigar a dinâmica de emaranhamento e da coerência quântica em sistemas que interagem sob tal interação. Embora, para algumas classes de estados, esta interação possa produzir superposições de estados ortogonais a partir de suas misturas, em oposição ao que se conhece por operações incoerentes no contexto de teoria de recursos. Também se faz relevante analisar a capacidade que operações físicas possuem para gerar correlações quânticas a partir de estados com e sem coerência quântica, a fim de estabelecer critérios para maximizar as correlações quânticas desejadas. Portanto, neste trabalho são analisadas as principais características da dinâmica do emaranhamento de diversas classes de estados bipartidos evoluindo sob a IDM. Com objetivo de determinar os estados que possuem o máximo emaranhamento alcançável, investiga-se as propriedades determinantes para caracterizar a capacidade de produção de emaranhamento pela IDM. Como a dinâmica da coerência local, simetria dos estados com relação ao hamiltoniano e relações que envolvem a pureza do estado. Os principais resultados do presente trabalho podem ser encontrados em (PINTO; MAZIERO, 2018). Os capítulos posteriores foram distribuídos na forma como segue. No capítulo 2 são apresentadas algumas ferramentas fundamentais da mecânica quântica, encontrando-se os seus postulados para estados puros e mistos. Também são apresentadas as definições para as desigualdades de Bell, emaranhamento e coerência quântica. Algumas definições utilizadas e exemplos mais específicos são exibidos no apêndice. A metologia empregada e os resultados obtidos no trabalho, bem como suas discussões são relatadas no capítulo 3. Por fim, no capítulo 4 são apresentadas as conclusões do trabalho e suas perspectivas futuras..

(15) Capítulo 2 Fundamentação teórica 2.1. Postulados da mecânica quântica para sistemas fechados. Os postulados são as hipóteses fundamentais para descrição de uma teoria física, cujos modelos buscam caracterizar os fenômenos da natureza de forma mais realística possível. Através deles é possível calcular consequências que poderão ser testadas experimentalmente. Se as consequências não descrevem os modelos experimentais, as hipóteses devem ser alteradas. Assim como na mecânica clássica, os postulados da mecânica quântica informam como descrever as eventuais configurações de um sistema, seus observáveis, suas medidas e sua dinâmica. Dado que a mecânica quântica é a teoria responsável por esclarecer fenômenos físicos que ocorrem, em geral, em sistemas de escalas microscópicas. Então, Assumindo a hipótese de sistemas fechados, os postulados que serão enunciados nas próximas subseções devem apresentar plena concordância com a fenomenologia de natureza microscópica.. 2.1.1. Postulado dos estados. Em mecânica quântica, as possíveis configurações dos sistemas físicos fechados podem ser caracterizadas por vetores de estados normalizados, tal que hψ|ψi = 1, pertencentes a um espaço de estados complexo e munido de um produto interno denominado espaço de Hilbert H (NIELSEN; CHUANG, 2000). Considerando a dimensionalidade do espaço onde dim H = n − 1, a descrição do vetor de estado arbitrário|ψi na base ortonormal {|ji} n−1 , 0  ψ0      ψ2  Pn−1 é fornecida pela combinação linear |ψi = j=0 ψj |ji ≡  ..    cujos elementos ψj ∈ C,  .  . . ψn−1 constituem as amplitudes de probabilidade que respeitam a condição de normalização dos vetores de estados, de modo que 14.

(16) 15. . . hψj |ψk i = . ψj∗ hj|. n−1 X j=0. =. n−1 X. !. ψk |ki. k=0. n−1 X n−1 X. ψj∗ ψk δjk. j=0 k=0. =. n−1 X. |ψj |2. j=0. =1,. (2.1). e produto interno entre duas quantidades pertencentes ao espaço de estados é definida como (|ψi, |φi) :=hψ|φi = |ψi† |φi =. n−1 X X n−1. . ψj∗ |ji† (φk |ki). j=0 k=0. =. n−1 X X n−1. ψj∗ φk δjk. j=0 k=0. =. n−1 X. (2.2). ψj∗ φj .. j=0. É possível notar que a realização do produto interno entre dois vetores de estado resulta em um número complexo. Porém, a inversão da ordem dos vetores no produto interno reflete na definição de um novo produto, denominado produto externo, cujo resultado é uma matriz que apresenta a forma dada por. |ψi|φi† :=|ψihφ| =. n−1 X n−1 X. ψj φ∗k |jihk|. j=0 k=0. . ψ1 φ∗1  ..  = . . ··· .. .. ψn−1 φ∗1 · · ·. . ψ1 φ∗n−1  ..  . . ψn−1 φ∗n−1. (2.3). . Observa-se que em geral essa matriz pertence a um espaço complexo do tipo C(n−1)×(n−1) . A representação de produto externo é utilizada com frequência na descrição de medidas projetivas e misturas de estados fornecidas pelos operadores densidade..

(17) 16. 2.1.2. Postulado das medidas. Este postulado estabelece uma regra para calcular as probabilidades dos diferentes valores que um observável pode assumir. Cada observável físico (posição, momento, energia, etc) é representado por um operador hermitiano (O = O† ) que pode ser escrito na forma de P sua decomposição espectral O = nj=1 oj |oj ihoj | , onde os autovalores oj são reais e os autovetores correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais, hoj |ok i = δjk . Em Física Clássica, a princípio, ao conhecer a configuração de um sistema em um dado instante de tempo, pode-se prever com certeza o que será obtido em medidas de observáveis daquele sistema. Porém, na Mecânica Quântica, em geral, não há como prever qual valor oj será ˆ Pode-se apenas calcular a probabilidade condicional de obtido ao medir o observável O. obter oj quando o sistema foi preparado no estado |Ψi. Para isso utiliza-se a regra de Born, que pode ser escrita na forma(NIELSEN; CHUANG, 2000): − P r(→ oj |Ψ) = |hoj |Ψi|2 .. (2.4). Através das preparações de estados quânticos é possível determinar seus autoestados através de um aparato que meça o observável. Pela repetibilidade, é inferido que medidas imediatamente subsequentes retornam ao mesmo valor do observável, dessa forma, se for obtido oj em uma medida de um observável O, após o colapso, o estado do sistema instantaneamente posterior será |oj i com incerteza nula. 2.1.2.1. Superposição de estados. Os autovetores de um operador hermitiano formam uma base para o espaço de Hilbert. Então, qualquer vetor de estado |Ψi do espaço pode ser escrito como uma combinação linear, de maneira que |Ψi =. n X. cj |oj i,. (2.5). j=1. onde cj = hoj |Ψi, pois I = j |oj ihoj | e I|Ψi = j |oj ihoj |Ψi. Da regra de Born, observa-se que |cj |2 é a frequência relativa com que o valor oj será obtido em medidas do observável. Para vários sistemas independentes, quando há existência de dois ou mais coeficientes cj não nulos, existirá dois ou mais valores possíveis para o observável, caracterizando uma indefinição no valor do observável, isto é, haverá superposição de estados. A presença de superposição de estados sugere que antes de que se realize a medida de algum observável, nada se pode afirmar sobre sua característica. No instante em que a medida é realizada, o sistema colapsa para um dos possíveis autoestados e consequentemente, quando o estado do sistema não é um autoestado do observável, haverá incerteza sobre o resultado da medida. Um fenômeno interessante que caracteriza esse tipo de fenômeno é a coerência quântica, a qual será abordada posteriormente. P. P.

(18) 17 2.1.2.2. Observáveis Compatíveis e Incompatíveis. Quando dois operadores hermitianos representam alguma quantidade física mensurável, a qual denomina-se observável, e além disso estabelecem entre si uma relação de comutação tal que [A, B] = 0, significa que estes podem ser diagonalizados na mesma base (NIELSEN; CHUANG, 2000). Isto é, na escolha de uma base de autovetores para o operador A, P tal que A = j aj |jihj|, por conseguinte o operador B poderá ser escrito na forma, P B = j bj |jihj|. Nesse caso, A e B apresentam a bases compatíveis, resultando fisicamente que a composição de medidas sequencialmente realizadas em relação a qualquer ordem destes observáveis não perturbará o estado a ser preparado, como mostrado na figura 2.1. Figura 2.1: Observáveis compatíveis. SYSTEM. MEDE Â. MEDE B. MEDE B. Fonte: autor. Quando [A, B] 6= 0, A e B são observáveis incompatíveis, ou seja, não compartilham a mesma base de autovetores. Então a realização de medidas de A pode provocar uma alteração do estado do sistema de modo que este não seja autovetor de B, havendo uma incerteza sobre qual será o resultado obtido em uma dada realização do experimento para medir o valor do observável B. Portanto, a descrição de existência de observáveis incompatíveis está intimamente associada a existência de propriedades quânticas nos sistemas físicos.. Figura 2.2: Observáveis incompatíveis.. perturbação no sistema. SYSTEM. MEDE Â. MEDE B. MEDE B. Fonte: autor. 2.1.3. Postulado da Dinâmica. A evolução temporal do estado de um sistema quântico é descrita pela ação de um operador unitário,.

(19) 18. |ψt i = Ut |ψt0 i,. (2.6). onde |ψt i representa o estado evoluído, |ψt0 i representa o estado inicial e Ut Ut† = Ut† Ut = I. O operador unitário Ut é obtido a partir da equação de Schrödinger, com i~. ∂ Ut = Ht Ut , ∂t. (2.7). ˆt é o operador hamiltoniano do sistema no instante de tempo t, quando o hamilonde H toniano é independente do tempo, pode-se escrever Ut = exp(−iHt/~).. (2.8). O estado inicial de um sistema escrito na base de vetores do hamiltoniano antes da evolução temporal será,. |ψ0 i = I|ψ0 i =. X. |Ej ihEj |ψ0 i. j. =. X. (2.9). cj |Ej i.. j. Após efetuado o operador unitário da Eq.(2.8), obtém-se |ψt i =. X j. iEj t exp − |Ej ihEj |ψ0 i, ~ . (2.10). finalmente,. |ψt i =. X. =. X. . cj exp −. j. iEj t |Ej i ~ . cj (t)|Ej i.. (2.11). j. Esta evolução temporal, portanto, ocorre de forma determinística.. 2.1.4. Valor Esperado. Considerando-se que uma variável aleatória A pode assumir os valores {aj }dj=1 com probabilidades respectivas {P r(aj )}dj=1 , o valor esperado é definido por hAi =. d X j=1. aj P r(aj ).. (2.12).

(20) 19 Dessa forma, em mecânica quântica, o valor esperado de um observável A pode ser representado por. hAi =. d X. ~ = aj P r(aj |ψ). j=1. d X. aj |haj |ψi|2. j=1. = hψ|A|ψi.. (2.13). O valor esperado é o “centro” das distribuições de probabilidades. Quanto maior for o número de experimentos realizados para estimativas do valor médio de um observável, mais próxima de uma gaussiana centrada em hAi será a distribuição de probabilidades para esses valores médios.. 2.2. Operador Densidade. A definição de operador densidade foi introduzida em 1927 por John Von Neumann (NEUMANN, 1927) e por Lev Landau (Landau, 1927) por motivações diferentes. A razão pela qual inspirou Landau foi a incapacidade de escrever um subsistema de um sistema quântico composto por um vetor de estado. Por outro lado, Von Neumann incorporou o conceito de operador densidade a fim de desenvolver uma descrição para a mecânica estatística quântica. De modo geral, o operador densidade é utilizado em mecânica quântica quando há ausência de informação completa sobre a preparação do sistema em questão. Por outro lado, no caso de sistemas bipartidos, a representação de um estado pertencente a um dos subespaços do sistema é obtida através do traço parcial sobre os graus de liberdade do outro subespaço. Com isso, efetuando-se tal operação sobre estados puros maximamente emaranhados, como qualquer um dos 4 estados da base de Bell, a exemplo do estado singleto |Ψ− i, o traço parcial sobre os graus de liberdade do segundo subsistema resulta em:. trb {|Ψ− ihΨ− |} =trb. . 1 (|01i − |10i) (h01| − h10|) 2. . 1 = trb {|01ih01| − |01ih10| − |10ih01| + |10ih10|} 2 1 = {|0ih0| ⊗ tr|1ih1| + |1ih1| ⊗ tr|0ih0|} 2 1 = {|0ih0| + |1ih1|} , 2. (2.14) (2.15) (2.16) (2.17). que é um estado maximamente misto, cuja descrição não pode ser estabelecida pela representação de estados puros, mas sim uma mistura estatística obtida pela representação.

(21) 20 do operador densidade. Matrizes densidade são operadores hermitianos (ρ = ρ† ), positivos (ρ ≥ 0) e de traço unitário (Tr(ρ) = 1) definidos no espaço de Hilbert H; como visto no exemplo anterior, esses operadores estabelecem uma descrição mais geral para os estados quânticos. Assumindo o caso em que não se tem a informação completa de como um sistema quântico foi preparado, o que pode ocorrer em uma medida não seletiva de um certo observável A. A probabilidade de obter a variável aleatória aj do observável A resulta, pela regra de Born, em: → − P r(aj | ψ ) = |haj |ψi|2 := pj .. (2.18). Para o sub-ensemble de partículas com o valor de Aˆ igual a aj , pode-se calcular a probaˆ de forma que segue bilidade de obter bk para medidas de um observável B, − P r(bk |→ aj ) = |hbk |aj i|2 .. (2.19). Contudo, quando se quer obter a chance de medir bk condicionada a medida anterior, é necessário considerar a média das probabilidades calculadas utilizando as probabilidades de preparação pj , isto é:. − P r(bk |{pj, → aj }) =. X. =. X. =. X. − P r(bk |→ aj )pj. j. |hbk |aj i|2 pj. j. hbk |aj ihaj |bk ipj. j. nX. = hbk |. o. pj |aj ihaj | |bk i,. (2.20). j. onde a mistura estatística Assim,. P. j. pj |aj ihaj | é definida como operador densidade ρ.. − P r(bk |{Pj, → aj }) = P r(bk |ρ) = hbk |ρ|bk i = T r(ρ|bk ihbk |).. (2.21). Pode-se constatar que quando há incertezas de caráter clássico na preparação de um sistema, ou seja, quando a descrição de um sistema envolver misturas estatística de estados, as configurações dos sistemas deverão ser estabelecidas pelo operador densidade. É importante notar que há uma fundamental diferença entre o vetor de estado e o operador densidade. Enquanto o primeiro é autovetor de algum observável, em geral não existe observável O com P r(ok |ρ) = 1. A evolução temporal do operador densidade pode ser obtida da seguinte maneira:.

(22) 21. o dρ d nX = Pj |ψj,t ihψj,t | dt dt j (. =. X. Pj. j. observando que. d |ψj,t i dt. =. H |ψj,t i i~. e. !. (2.22) !). d d |ψj,t i hψj,t | + |ψj,t i hψj,t | dt dt d hψj,t | dt. ,. (2.23). = −H hψj,t |, segue que i~. (. X dˆ ρ H H = |ψj,t ihψj,t | − |ψj,t ihψj,t | Pj dt i~ i~ j 1 [H, ρ] = i~. ). (2.24). Essa é a equação de Von Neumann, que descreve a forma contínua da evolução temporal de um sistema fechado com estado inicial em (t0 = 0), assim como a operação unitária. ρ(t) = U (t, 0)ρU † (t, 0),. (2.25). descreve a forma discreta da evolução de um sistema fechado descrito por um operador densidade. Com isso, todos os postulados da mecânica quântica podem ser reformulados em termos do operador densidade, de modo que este possa de fato estabelecer uma representação mais completa de estados de um sistema físico.. 2.2.1. Operador densidade reduzido. Conhecendo-se o estado global de um sistema bipartido, é factível escrever o operador densidade na forma: ρab =. X. pj |ψjab ihψjab |.. (2.26). j. Para calcular o valor esperado das medidas no sistema A, nota-se que hAiρab = T r(ρab A ⊗ I) = T ra (ρa A),. (2.27). onde o operador densidade reduzido é definido por: ρa := T rb (ρab ). Para probabilidades ter-se-ia o análogo:. (2.28).

(23) 22. P r(aj |ρab ) = T r(ρab |aj ihaj | ⊗ I) := T ra (ρa |aj ihaj |).. 2.2.2. (2.29). Pureza de um operador densidade. A pureza de um estado descrito pelo operador densidade é definido como (WILDE, 2013): . . . . P (ρ) = tr ρ† ρ = tr ρ2 .. (2.30). A função pureza pode ser interpretada como um quantificador de ruído existente sobre um estado quântico, sendo que tal medida deve sempre fornecer o valor 1 para estados puros e valores menores que 1 para estados mistos. O menor valor possível que a pureza de um estado misto é dado por 1/2, de fato, pois a medida da pureza de um estado misto pode ser obtida por (. tr. 2.3. |0ih0| + |1ih1| 2. !. |0ih0| + |1ih1| 2. !). 1 = . 2. Desigualdades de Bell. A. Einstein, B. Podolsky, e N. Rosen publicaram em 1935 (EINSTEIN; PODOLSKY; ROSEN, 1935), o célebre artigo que questionava a respeito de uma teoria completa não poder ter características intrinsecamente probabilísticas como a mecânica quântica. Entretanto, supuseram que deveria existir um elemento de realidade capaz de cumprir o papel de parâmetro arbitrário associado a um observável de forma que este seja determinado com certeza absoluta haver perturbação no sistema. Esse tipo de teoria em que se insere coeficientes que retiram as características intrinsecamente probabilísticas consideradas ficaram conhecidas como teorias de variáveis ocultas (TVO). A fim de testar a existência de variáveis ocultas, em 1964 (BELL, 1964), J. Bell mostrou que, em uma TVO que obedece hipóteses aparentemente razoáveis, os valores esperados de alguns observáveis deveriam obedecer uma desigualdade e, se em algum experimento houvesse a violação dessa desigualdade, tais teorias não poderiam ser verdadeiras. Será apresentada umas das desigualdades de Bell, chamada desigualdade de Clauser, Horne, Shimony e Holt (CHSH) (CLAUSER et al., 1969), que evidencia o carácter não local de certas correlações quânticas vide apêndice A. Considerando dois sistemas, A e B, separados espacialmente. No sistema A pode-se medir os observáveis A1 ou A2 e no sistema B é medido os observáveis B1 ou B2 . Todos estes observáveis tem espectro dicótomo {+1, −1}. Então a seguinte relação entre estes.

(24) 23 observáveis pode ser considerada, C := A1 B1 + A1 B2 + A2 B1 − A2 B2 .. (2.31). Em teorias de variáveis ocultas pressupõe-se a existência de variáveis escondidas λ, com uma distribuição de probabilidades ρ(λ), definidas num espaço amostral Λ, que determinam os valores dos observáveis antes que qualquer medida seja feita, dessa forma C(λ) = A1 (λ)B1 (λ) + A1 (λ)B2 (λ) + A2 (λ)B1 (λ) − A2 (λ)B2 (λ),. (2.32). com A1 (λ), A2 (λ), B1 (λ) e B2 (λ) assumindo os valores +1 ou −1. Admitindo localidade, isto é, supõe-se que o valor do observável medido no sistema A não depende daquele medido no sistema B, e vice versa. Consequentemente C(λ) = A1 (λ)[B1 (λ) + B2 (λ)] + A2 (λ)[B1 (λ) − B2 (λ)] = ±2,. (2.33). assim, a desigualdade CHSH resulta em |hCi| =.

(25) ˆ

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31) {A1 (λ)[B1 (λ) + B2 (λ)] + A2 (λ)[B1 (λ) − B2 (λ)]}p(λ)dλ

(32)

(33) Λ

(34). ≤ 2.. (2.34). Essa desigualdade é violada quando é utilizada uma descrição quântica para valores esperados, o que possibilita verificar experimentalmente se a MQ ou TVO está correta (ASPECT, 2004). Exemplo: supondo um sistema de dois spins separados espacialmente, tal que

(35) Aˆ1 = σ ˆza =

(36) 0.

(37) ED

(38)

(39) ED

(40)

(41)

(42)

(43) 0

(44) −

(45) 1 1

(46) ,.

(47) Aˆ2 = σ ˆxa =

(48) −

(49). ED.

(50)

(51).

(52)

(53). −

(54) −

(55) +. ED. (2.35)

(56)

(57). +

(58) ,. (2.36). 1 b ˆ1 = (ˆ ˆ x .ˆ σxb + n ˆ y .ˆ σyb + n ˆ z .ˆ σzb = √ (ˆ ˆzb ), σx + σ B n.ˆ σ b )φ=0,θ= π4 = n 2. (2.37). 1 b ˆ2 = (ˆ B n.ˆ σ b )φ=0,θ=− π4 = √ (ˆ σz − σ ˆxb ). 2. (2.38). Considerando o estado singleto,

(59) E

(60) E E 1

(61)

(62) E

(63)

(64) √ |Ψab i =

(65) 0 ⊗ |1 −

(66) 1 ⊗

(67) 0 , (2.39) − a b a b 2 √ ˆ é dado por hCi ˆ = −2 2 , está fora do espectro esperado o valor esperado do observável C, por EPR, caracterizando a violação da desigualdade de CHSH..

(68) 24 A propriedade da violação da desigualdade de CHSH para estados quânticos resulta que pelo menos uma das hipóteses utilizadas na demonstração da desigualdade não podem ser satisfeitas simultaneamente, essas hipóteses são: ˆ1 , B ˆ2 possuem valores definidos, indepen• Realismo: Os observáveis físicos Aˆ1 , Aˆ2 , B dentes da realização ou não de suas medições. • Localidade: Os testes realizados na parte A não alteram os resultados dos testes realizados na parte B. A violação mostra que o realismo local não é válido, as duas suposições não podem ser concomitantemente satisfeitas. Tanto o realismo quanto localidade são propriedades aparentemente válidas usualmente, porém na descrição de um mundo microscópico, pelo menos uma delas deve ser descartada. Vale ressaltar que na descrição de estados puros, apenas estados emaranhados possuem a propriedade de violar as desigualdade de Bell. Porém na representação de estados mistos, a propriedade dos estados violarem a desigualdade de Bell, depois denominada não-localidade é consideravelmente diferente do emaranhamento e possui características necessárias para realização da codificação superdensa.. 2.4. Emaranhamento. A concepção de emaranhamento teve início em 1926, com Erwin Schrödinger, ao refletir sobre o fato de que a função de onda é uma função no espaço de configurações e não no espaço real. Mas apenas em 1935, com o artigo de Einstein-Poldolsky-Rosen (EPR), que o conceito de emaranhamento surge para partículas separadas por distâncias macroscópicas. Com o emaranhamento é possível inferir se um estado composto é separável ou não, e no caso de estar emaranhado, sugerir maneiras de quantificar tal correlação. A seguir, será brevemente apresentada como se dá a caracterização e a medida de emaranhamento de um sistema composto por duas partes (sistema bipartido).. 2.4.1. Estados separáveis e estados Emaranhados. Seja um sistema bipartido descrito por um vetor de estado |ψab i no espaço de Hilbert produto Hab = Ha ⊗ Hb . Este estado é dito separável, se for possível escrevê-lo como um produto tensorial entre os estados das partes: sep |ψab i = |ψa i ⊗ |ψb i,. (2.40). onde o vetor de estado |ψa i pertence ao espaço de Hilbert Ha e o vetor de estado |ψb i sep pertence ao espaço de Hilbert Hb . Quando |ψab i não puder ser escrito na forma de |ψab i,.

(69) 25 o estado |ψab i apresenta algum grau de emaranhamento. Uma característica importante que deve ser percebida a partir do emaranhamento, é que o estado de cada subsistema é indefinido. Porém, o estado do sistema global é bem definido. Logo, não há como descrever o estado individual de cada componente de um estado emaranhado atribuindo um único vetor de estado. Um exemplo de estado emaranhado é o estado singleto, representado matematicamente por 1

(70)

(71) E

(72)

(73) E

(74)

(75) E

(76)

(77) E |Ψ−

(78) Z+ ⊗

(79) Z− −

(80) Z− ⊗

(81) Z+ , ab i = √ 2. (2.41). ou, usando a base binária 1

(82)

(83) E 1

(84)

(85) E

(86)

(87) E

(88)

(89) E

(90)

(91) E √ √

(92) 0 := |Ψ− i =

(93) 1 ⊗

(94) 1 −

(95) 0 ⊗

(96) 01 − |10i . ab 2 2. (2.42). Para misturas estatísticas também é possível estabelecer uma distinção entre estados emaranhados e estados separáveis. O emaranhamento para estados mistos de sistemas bipartidos se dá pela definição operacional estabelecida por Werner (WERNER, 1989), em que um operador densidade bipartido é separável se for possível gerá-lo fazendo-se operações quânticas locais em suas partes e coordenando tais operações por comunicação clássica. Dessa forma, o estado mais geral que pode ser criado é dado por ρsep ab =. X. pi ρai ⊗ ρbi ,. (2.43). i. onde ρai ∈ L(Ha ) e ρbi ∈ L(Hb ),. (2.44). e {pi } é uma distribuição de probabilidades, i.e., pi ≥ 0 e. X. pi = 1.. (2.45). i. Portanto, todo operador densidade bipartido que não puder ser escrito na forma (2.43) possui emaranhamento. Operações locais com troca de comunicação clássica (OLCC) são operações incapazes de gerar emaranhamento. Um exemplo que pode ilustrar melhor estas operações é o caso em que dois observadores, Alice e Bob, ao jogar uma moeda usam do resultado obtido para estabelecer uma estratégia de como gerar o estado global, isto é, se obter cara, com uma + probabilidade p, preparam ρ+ a e ρb , informando o resultado do sorteio; mas se der coroa, − com probabilidades 1 − p eles preparam os estados ρ− a e ρb comunicando seus resultados. Então, o estado global preparado, agora classicamente correlacionado será.

(97) 26. − + − ρ0 = pρ+ a ⊗ ρb + (1 − p)ρa ⊗ ρb .. (2.46). Mesmo que o sistema considerado fosse quântico (porém descorrelacionados inicialmente) a operação OLCC não criaria emaranhamento nenhum, e no caso de um sistema com emaranhamento inicial, esta operação é apenas capaz de conservar ou o deteriorar o emaranhamento existente à priori. 2.4.1.1. Decomposição de Schmidt. Admitindo que |aj i ∈ Ha e |bj i ∈ Hb sejam bases ortonormais, então um vetor de estado |ψab i ∈ Ha ⊗ Hb pode sempre ser escrito na forma |ψab i =. dimH Xb X a dimH j=1. (2.47). cjk |aj i ⊗ |bk i. k=1. onde cjk = haj | ⊗ hbk ||Ψab i.. (2.48). A decomposição de Schmidt é uma expansão semelhante a da equação (2.47), quando escolhido bases que permitem um emparelhamento de pares de vetores de estados tal que a expansão passa a apresentar uma soma simples, de fato, considerando-se a decomposição de valores singulares da matriz c tal que c = U DV , onde U e V são matrizes unitárias U U † = U † U = I, V V † = V † V = I e D seja uma matriz hermitiana diagonal não negativa (D ≥ 0) pode-se escrever. |ψab i =. dimH X a dimH Xb j=1. =. dimH X a dimH Xb j=1. =. k=1. . . . Ujl . dimH Xa. dimH Xb. (2.49) . Dlm Vmk  |aj i ⊗ |bk i. (2.50). m=1. l=1. dimH X a dimH Xb l=1. (U DV )jk |aj i ⊗ |bk i. k=1. . dimH Xa. Dlm . m=1. . . dimH Xb. Ujl  |aj i ⊗ . j=1. . Vmk  |bk i.. (2.51). k=1. Definindo a nova base ortonormal, onde . dimH Xa. |˜ al i := . . Ujl  |aj i,. (2.52). j=1. e . |˜bm i := . dimH Xb k=1. . Vmk  |bk i.. (2.53).

(98) 27 A decomposição de Schmidt resulta na expansão. |ψab i = =. dimH Xb X a dimH. Dlm |˜ al i ⊗ |˜bm i. m=1 l=1 dimH a X. dl |˜ al i ⊗ |˜bl i,. (2.54). l=1. pois Dlm = dl δlm . Por conveniência, a base acima foi escolhida de forma que dimHa ≤ dimHb e o operador densidade reduzido ρa do subsistema Ha é diagonal na base {|aj i} e segundo a hermiticidade do operador densidade, é possível escrever ρa =. X. (2.55). λj |aj ihaj |.. j. Por outro lado,. ρa = trb (|ψab ihψab |) . = trb . dimH Xa. (2.56) . |aj i ⊗ |˜bj i . dimH Xa. j=1. = Consequentemente, tem-se. hak | ⊗ h˜bk |. (2.57). k=1. dimH X a dimH Xa j=1. . |aj ihak | ⊗ h˜bk |˜bj i.. (2.58). k=1. h˜bj |˜bk i = λj δjk .. (2.59). Isso resulta que qualquer estado puro bipartite pode ser escrito na forma de uma decomposição de Schmidt, tal que |ψab i =. dimH XA. λj |aj i ⊗ |˜bj i.. q. (2.60). i=1. Notoriamente os espectros de autovalores de ρa e ρb = T r (|ψab ihψab |) são idênticos quando estes são operadores densidade reduzidos de um estado puro |ψab i. Desse modo, um critério que informa se um estado puro bipartido é ou não emaranhado pode ser obtido usando os autovalores dos operadores densidade reduzidos. Se estes tiverem um único autovalor não nulo, λj=k = 1 e λj6=k = 0, o estado é separável. Caso contrário o estado é emaranhado. Nesse caso o máximo emaranhamento ocorre quando todos os autovalores.

(99) 28 λi são iguais, ou seja, quando |ψab i = √. dimH XA 1 |aj i ⊗ |˜bj i. dimHa i=1. (2.61). Portanto a decomposição de Schmidt permite determinar a existência de emaranhamento para estados puros.. 2.4.2. Medida de Emaranhamento. Muitas vezes, não basta saber somente se o estado de um sistema multipartido é emaranhado. Sobretudo, é possível quantificar o grau de emaranhamento entre sistemas através de funções quantificadoras de emaranhamento. Para caracterizar uma função quantificadora de emaranhamento, é necessário que ela obedeça algumas exigências importantes. Um quantificador de emaranhamento deve ser uma função que leva objetos pertencentes ao espaço dos operadores densidade em objetos pertencentes ao conjunto dos números reais, também deve ser positivo semi definido, não pode variar com transformações de similaridade locais e não podem aumentar por OLCC. Rigorosamente, ainda há diversas discussões sobre quais são todas propriedades necessárias e suficientes para que uma medida de emaranhamento deve preservar para que seja considerada uma boa medida. Contudo, as propriedades essenciais que uma medida de emaranhamento deve satisfazer são as seguintes: 1. Discriminância: E (ρ) = 0 se o estado ρ é separável. 2. Monotonicidade: E (ΛOLCC (ρ)) ≤ E (ρ) não deve aumentar por OLCC 3. Convexidade: E. P. . j pj |ψj ihψj | ≤. P. j. pj E (|ψj ihψj |). Existem versões mais fortes para as propriedades essenciais estabelecidas, A seguir, será apresentada a medida de emaranhamento utilizada no presente trabalho.. 2.5. Concurrence. Desenvolvida por Hill e wootters (HILL; WOOTTERS, 1997), a Concurrence é uma medida de emaranhamento associada ao emaranhamento de formação, cuja definição é obtida através da média da entropia de emaranhamento de estados puros, minimizado sobre todas decomposições do operador densidade. A Concurrence obedece os critérios básicos para função quantificadora de emaranhamento. A partir de uma matriz densidade com spins invertidos, a matriz ρ˜ := σy ⊗ σy ρ∗ σy ⊗ σy e consequentemente, R := ρ˜ ρ são definidas. Assim é possível quantificar o grau de emaranhamento existente em estados puros e estados mistos descritos por operadores densidade bipartidos. Explicitamente,.

(100) 29. R = ρ (σy ⊗ σy ρ∗ σy ⊗ σy ) =.           ρˆ          . 0 0 0 −1. 0 0 1 0. . . 0 −1   0    0 1 0   ρ∗     0 0 0    −1 0 0. 0 0 1 0. .  0 −1       1 0   .   0 0       0 0. (2.62). O objetivo é calcular os autovalores da matriz R e ordená-los de forma que λI ≥ λII ≥ λIII ≥ λIV para então definir a concurrence da forma apresentada a seguir: n √ o √ √ √ EC (ρ) = max 0, λI − λII − λIII − λIV ,. (2.63). assim sendo, de acordo com a propriedade da discriminância, quando EC (ρ) = 0 o estado do sistema é separável. Portanto, quando 0 < EC (ρ) < 1 o estado do sistema possui emaranhamento parcial e quando EC (ρ) = 1, o estado é dito maximamente emaranhado.. 2.6. Coerência Quântica. Coerência quântica está atrelada ao conceito mais fundamental da mecânica quântica que estabelece uma ruptura com os conceitos da teoria clássica. Tal propriedade tem recebido atenção nos últimos anos devido a sua capacidade de manter-se viva por mais tempo em relação ao emaranhamento, por permitir a criação de correlações quânticas em sistemas multipartidos, e, consequentemente possuir papel fundamental em áreas como óptica quântica, e termodinâmica de nanoescala, informação quântica e biologia quântica. A existência de superposição de estados na descrição de uma unidade de informação em revela importantes modificações em relação a ciência da informação clássica. Nessas condições, a medida de coerência quântica quantifica a existência de superposição de estados em relação a uma base convenientemente escolhida de acordo com o sistema físico em questão (BAUMGRATZ; CRAMER; PLENIO, 2014), tal propriedade exige um certo custo para que ela possa existir e assim ser utilizada para realização de diversas tarefas através de manipulações incoerentes, que reflete na caracterização de um tipo de recurso quântico que é gasto conforme utilizado. A estrutura formal de tais concepções operacionais dá origem à teoria de recursos da coerência quântica. Em geral, devido a leis fundamentais de conservação, uma teoria de recursos é definida através de restrições nas quais definem um conjunto de operações gratuitas denominadas operações livres, que por sua vez podem gerar um certo conjunto de estados livres limitados pelas restrições impostas anteriormente que impedem que esses estados sejam capazes de realizar certas tarefas. Todos os outros estados que violarem tais condições são denominados estados recurso, que ao serem consumidos podem ser úteis para realização de tarefas (STRELTSOV; ADESSO; PLENIO, 2017)..

(101) 30 No contexto da teoria de recursos para o emaranhamento, os estados livres são representados pelos estados separáveis, as operações livres podem ser representadas por um conjunto de operações locais combinadas com comunicação clássica e os estados recurso são todos aqueles estados que não podem ser gerados por essas operações atuadas sobre os estados livres, nesse caso, o emaranhamento caracteriza tal propriedade. No exemplo da teoria de recursos de coerência, os estados livres são identificados como os estados incoerentes ρ=. X. (2.64). pj |jihj|,. j. são os estados diagonais em relação a base fixada {|ji} . A escolha da base depende da conveniência do problema físico. As operações quânticas1 incoerentes podem ser caracterizadas por toda operação quântica incapaz de gerar estados com coerência quântica na P base especificada ao atuar sobre um estado in coerenteΛ(ρ) = j Λ (pj ) |jihj|. Os estados com coerência quântica são todos aqueles estados que apresentam superposições quânticas e não podem ser representados na forma da Eq. (2.64). Um quantificador de coerência C(ρ) deve obedecer os seguintes axiomas (STRELTSOV; ADESSO; PLENIO, 2017): 1. Não negatividade: C(ρ) ≥ 0 2. Monotonicidade: C não pode aumentar sob a ação de operações incoerentes, ou seja, C(Λ(ρ)) ≤ C(ρ) (2.65) 3. Forte Monotonicidade: C não pode aumentar em média sob operações incoerentes seletivas, ou seja,  X. h. Kj ρKj†. i. T r Kj ρKj† C . j. h. T r Kj ρKj†.  i. ≤ C(ρ),. (2.66). onde Kj são os operadores de Kraus incoerentes que fornecem uma representação para as operações quânticas. 4. Convexidade: C é uma função convexa do estado, i.e, X j. pj C(ρj ) ≥.   X C  pj ρ j  .. (2.67). j. Operações quânticas são definidas como mapas (superoperadores) que levam operadores densidade em operadores densidade, preservando as propriedades como a hermiticidade do operador densidade, a função traço, completa positividade e linearidade. 1.

(102) 31 Uma medida de coerência utilizada em CIQ é a Coerência Norma l1 , Cl1 (ρ) = min kρ − σkl1 = σ∈I. X. |ρjk | .. (2.68). j6=k. Introduzida por Baumgratz et al. (BAUMGRATZ; CRAMER; PLENIO, 2014), ela preserva as 4 requisições apresentadas anteriormente. denomina-se populações os elementos da diagonal principal do estado. Recentemente, com o desenvolvimento de uma teoria de recurso da termodinâmica quântica através da definição de operações térmicas, o papel da coerência na termodinâmica quântica tem sido vastamente discutido em artigos da área(STRELTSOV; ADESSO; PLENIO, 2017). Além disso, existe uma classe de operações chamada operações preservadoras de estados de Gibbs, cujas ações podem gerar coerência quântica a partir de estados incoerentes, i.e, há a possibilidade da existência de estados cujas operações em suas populações resultem na otimização de processos. Então, definindo uma certa base, é razoável escrever a coerência quântica de um certo estado na forma cl1 (ρ) =. X. |hj|ρ|ki|.. (2.69). j6=k. Supondo um qubit que seja descrito pela matriz densidade ρ, onde ~r é o vetor da esfera de Bloch e ~σ o vetor de Pauli, aufere-se 1 (I + ~r.~σ ) 2         0 1 0 −i 1 0 1  1 0   + r2   + r3   = + r1  2 0 1 1 0 i 0 0 −1. ρ =. . . 1  1 + r3 r1 − ir2  = , 2 r1 + ir2 1 − r3. (2.70). consequentemente, a coerência quântica norma−l1 dessa matriz densidade pela equação (2.69) resulta em. cl1 (ρ) = =.

(103)

(104) 1

(105)

(106) 2 q.

(107)

(108)

(109)

(110) 1 (r1 + ir2 )

(111)

(112) +

(113)

(114). 2.

(115)

(116) (r1 − ir2 )

(117)

(118). r12 + r22 .. Portanto, no caso particular onde r12 + r22 = 0, o estado é dito incoerente.. (2.71).

(119) Capítulo 3 Métodos e Resultados Obtidos 3.1. Interação Dipolar Magnética. A energia potencial clássica de interação entre dipolos magnéticos é obtida quando o ~b momento magnético dipolar da partícula a, µ ~ a , interage com o campo magnético B gerado pelo momento magnético dipolar da partícula b, µ~b . Assim. ~ b, Up = −µ~a .B. (3.1). ou, explicitamente µ0 3 (~µa .~r) (~r.~µb ) − r2 (~µa .~µb ) Up = − . 4π r5 ". #. (3.2). Ao considerar que o sistema bipartido seja acoplado entre si através da interação dipolar magnética (IDM) em sua forma quantizada, para grandes distâncias entre dipolos o hamiltoniano da IDM é estabelecido trocando o momento magnético dipolar µ ~ pelo operador ~γ spin ~s = 2 ~σ de cada partícula. i.e, H = D {[~σ ⊗ σ0 ] . [σ0 ⊗ ~σ ] − 3 (ˆ n.~σ ) ⊗ (ˆ n.~σ )} ,. (3.3). Com o acoplamento dos espaços vetoriais de cada dipolo fornecido pelo produto tensorial P ⊗, onde ~σ = 3j=1 σj eˆj representa o vetor das matrizes de Pauli, σ0 equivale a matriz identidade 2x2 e n ˆ ilustra o vetor unitário que conecta os dipolos, além do fator D = µ0 γa γb ~2 , que configura a intensidade de interação de acordo com a distância r entre os 16πr3 dipolos, o fator giromagnético de cada partícula é representado por γx , com x = a, b eµ0 é a permeabilidade magnética do vácuo. Observando-se que para sistemas de dois níveis uma transformação de similaridade efetuada por matrizes unitárias V ∈ SU (2) tal que V V † = V † V = I sobre qualquer matriz escrita na forma n ˆ .~σ ∈ C, é equivalente a uma rotação R ∈ SO(3)/RRT = RT R = I 32.

(120) 33 aplicada sobre o vetor unitário n ˆ multiplicada escalarmente pelo vetor de Pauli. De fato, seja θ ∈ R, kˆ nk = 1, pode-se escrever (NIELSEN; CHUANG, 2000):. V = eiα Rn (θ) h. i. = eiα e−iθ(ˆn.~σ)/2 ,. (3.4). ao definir λ = θ/2 e utilizando a expansão em série de Taylor da função exponencial, a matriz de rotação arbitrária pode ser reescrita na forma:. Rn (θ) = e. −iλ(ˆ n.~ σ). (−i)j [λ (ˆ n.~σ )] = j! j=0 ∞ X. j. (−i)2 [λ (ˆ n.~σ )]2 (−i)3 [λ (ˆ n.~σ )]3 = σ0 + [−iλ (ˆ n.~σ )] + + + ..., 2! 3!. (3.5). avaliando a quantidade (ˆ n.~σ )2 , chega-se à. 3 X. ". (ˆ n.~σ ) = 2. !. nk eˆk .. k=1. . =. 3 X. 3 X. !#2. σl eˆl. l=1. 2. nk σl δkl . k,l=1. = (n1 σ1 )2 + n1 n2 σ1 σ2 + n1 n3 σ1 σ3 + n2 n1 σ2 σ1 + (n2 σ2 )2 + n2 n3 σ2 σ3 + n3 n1 σ3 σ1 + n3 n2 σ3 σ2 + (n3 σ3 )2 .. (3.6). Reorganizando os termos pode-se notar que. (ˆ n.~σ )2 = (n1 σ1 )2 + (n2 σ2 )2 + (n3 σ3 )2 + n1 n2 {σ1 , σ2 } + n1 n3 {σ1 , σ3 } + n2 n3 {σ2 , σ3 } =σ0 ,. (3.7). onde {a, b} := ab + ba é definido como o anti-comutador entre as quantidades a e b. O resultado obtido na equação (3.7) vem do fato que kˆ nk = 1 e da relação de anti-comutação entre matrizes de Pauli tal que {σj , σk } = 2δjk σ0 , refletindo que σj2 = σ0 . Assim, notando que para m = 1, 2, 3... , (ˆ n.~σ )2m = σ0 e (ˆ n.~σ )2m+1 = (ˆ n.~σ ), a equação (3.5) resulta em.

(121) 34. Rn (θ) =e−iλ(ˆn.~σ) (. =σ0. (−iλ)2 (−iλ)4 (−iλ)3 (−iλ)5 1+ + + ... + (ˆ n.~σ ) (−iλ) + + + ... 2 4! 3! 5! ). (. ). (3.8) ). (. (. ). λ3 λ5 λ7 λ2 λ4 λ6 + − + ... − i (ˆ n.~σ ) λ − + − + ... 2 4! 6! 3! 5! 7! ! ! θ θ =σ0 cos − i (ˆ n.~σ ) sin . 2 2. =σ0 1 −. (3.9). Por outro lado, o hamiltoniano da IDM modificado pelas transformações unitárias locais pode ser escrito na forma. . H 0 = (V ⊗ V ) H V † ⊗ V †. . n. . =D (V ⊗ V ) [(~σ ⊗ σ0 ) . (σ0 ⊗ ~σ )] V † ⊗ V † . − 3 (V ⊗ V ) [(ˆ n.~σ ) ⊗ (ˆ n.~σ )] V † ⊗ V †. o. . (3.10). ,. olhando para o primeiro membro do hamiltoniano, tem-se. (V ⊗ V ) [(~σ ⊗ σ0 ) . (σ0 ⊗ ~σ )] V † ⊗ V. †.   ! 3 3 X X = (V ⊗ V )  σj eˆj ⊗ σ0  . σ0 ⊗ σk eˆk  V † ⊗ V † j=1.  = (V ⊗ V ) . 3 X. k=1.  (σj ⊗ σ0 ) (σ0 ⊗ σk ) δjk  V † ⊗ V †. . j,k=1. =. 3 X. (V ⊗ V ) [(σj ⊗ σ0 ) (σ0 ⊗ σj )] V † ⊗ V † ,. (3.11). j=1. usando a propriedade do duplo produto tensorial,. . . (V ⊗ V ) [(~σ ⊗ σ0 ) . (σ0 ⊗ ~σ )] V † ⊗ V † =. 3 X. . (V ⊗ V ) (σj ⊗ σj ) V † ⊗ V †. . j=1. =. 3 X j=1. Agora, analisando o segundo membro, segue que. V σj V † ⊗ V σj V † .. (3.12).

(122) 35.  −3 (V ⊗ V ) [(ˆ n.~σ ) ⊗ (ˆ n.~σ )] V † ⊗ V. †. = − 3 (V ⊗ V ) . . 3 X. . ni σj δij  ⊗ . i,,j=1.  = − 3. 3 X. nj V σ j V. .  nl σk δlk  V † ⊗ V †. . l,k=1.  †. 3 X. ". ⊗. ,j=1. 3 X. # nk V σ k V. †. . (3.13). .. k=1. Portanto o hamiltoniano transformado assume a seguinte configuração H = 0. 3 X. V σj V ⊗ V σj V − 3 †. †. j=1. " 3 X. . nl V σl V. †. . l=1. #. ⊗. " 3 X. . nk V σk V. †. . #. .. k=1. A fim de explicitar o hamiltoniano em termos de rotações, usa-se o fato de que. V (ˆ n.~σ ) V † = exp (iα) Rn (θ) (ˆ n.~σ ) exp (−iα) R†n (θ) = Rn (θ) (ˆ n.~σ ) R†n (θ) =. 3 X. nj Rn (θ) σj R†n (θ) ,. (3.14). j=1. pois ". Rn (θ) σj R†n. !. !#. ". !. !#. θ θ θ θ − i (ˆ n.~σ ) sin σj σ0 cos + i (ˆ n.~σ ) sin (θ) = σ0 cos 2 2 2 2 " ! ! #" ! !# θ θ θ θ = cos σ0 σj − i sin (ˆ n.~σ ) σj σ0 cos + i (ˆ n.~σ ) sin 2 2 2 2 ! ! ! ! θ θ θ θ = cos2 σj + sin2 (ˆ n.~σ ) σj (ˆ n.~σ ) + i cos sin [σj , n ˆ .~σ ] . 2 2 2 2 (3.15). Lembrando que as relações de comutação1 entre matrizes de Pauli, [σj , σk ] = 2iεjkl σl , onde.    1   . (3.16). p/ permutações cíclicas. εjkl = 0 se há repetições de índices    −1 p/ permutações acíclicas, é o tensor antissimétrico de Levi-Cevita. Isto posto, o produto entre matrizes de Pauli pode ser descrito como uma soma das relações de comutação e anti-comutação, tal que 1. [a, b] := ab − ba é definido como o comutador entre as quantidades a e b..

(123) 36. σj σk =iεjkl σl + δjk σ0 =. (3.17). [σj , σk ] + {σj , σk } , 2. (3.18). consequentemente, é plausível conceber que. (ˆ n.~σ ) σj (ˆ n.~σ ) =. 3 X. !. ni σi σj . =. 3 X. . np σp . p=1. i=1. ( X. .  ) 3 X ni [iεijk σk + δij σ0 ]  np σp  ,. (3.19). p=1. i. para j = 1,. (ˆ n.~σ ) σ1 (ˆ n.~σ ) = (n1 σ0 − in2 σ3 + in3 σ2 ) (n1 σ1 + n2 σ2 + n3 σ3 ) =n21 σ1 + n1 n2 σ2 + n1 n3 σ3 − in2 n1 σ3 σ1 − in22 σ3 σ2 − in2 n3 σ0 + in3 n1 σ2 σ1 + in3 n2 σ0 + in23 σ2 σ3 . . = n21 − n22 − n23 σ1 + 2n1 n2 σ2 + 2n1 n3 σ3 .. (3.20). para j = 2,. (ˆ n.~σ ) σ2 (ˆ n.~σ ) = (in1 σ3 + n2 σ0 − in3 σ1 ) (n1 σ1 + n2 σ2 + n3 σ3 ) = − n21 σ2 + n1 n2 σ1 + in1 n3 σ0 + n1 n2 σ1 + n22 σ2 + n2 n3 σ3 − in1 n3 σ0 + n2 n3 σ3 − n23 σ2 . . =2n1 n2 σ1 + n22 − n21 − n23 σ2 + 2n2 n3 σ3 .. (3.21). para j = 3, (ˆ n.~σ ) σ3 (ˆ n.~σ ) = (−in1 σ2 + in2 σ1 + n3 σ0 ) (n1 σ1 + n2 σ2 + n3 σ3 ) ,. (3.22).

(124) 37 ou seja (ˆ n.~σ ) σ3 (ˆ n.~σ ) = − n21 σ3 − in1 n2 σ0 + n1 n3 σ1 + in1 n2 σ0 − n22 σ3 + n2 n3 σ2 + n1 n2 σ1 + n2 n3 σ2 + n23 σ3 ,. (3.23). finalmente, . . (ˆ n.~σ ) σ3 (ˆ n.~σ ) = 2n1 n3 σ1 + 2n2 n3 σ2 + n23 − n21 − n22 σ3 . Agora, explicitando o último membro da equação (3.15), resta. ". [σj , n ˆ .~σ ] = σj ,. 3 X. #. nk σk =. k=1. =2i. 3 X. 3 X. nk [σj , σk ]. k=1. εjkl nk σl ,. (3.24). [σ1 , n ˆ .~σ ] = 2i (n2 σ3 − n3 σ2 ) ,. (3.25). [σ2 , n ˆ .~σ ] = 2i (n3 σ1 − n1 σ3 ) ,. (3.26). [σ3 , n ˆ .~σ ] = 2i (n1 σ2 − n2 σ1 ) .. (3.27). k=1. i.e, para j = 1. para j = 2. e para j = 3. Portanto, torna-se viável expressar a equação (3.15) de maneira completa, utilizando !. !. !. !. θ θ θ θ Rn (θ) σ1 R†n (θ) = cos2 σ1 + sin2 (ˆ n.~σ ) σ1 (ˆ n.~σ ) + i cos sin [σ1 , n ˆ .~σ ] 2 2 2 2 ! ! h i 2 θ 2 θ = cos σ1 + sin n21 − n22 − n23 σ1 + 2n1 n2 σ2 + 2n1 n3 σ3 2 2 ! ! θ θ − 2 cos sin (n2 σ3 − n3 σ2 ) , (3.28) 2 2 i.e,.

(125) 38. ". Rn (θ) σ1 R†n. !. !#. θ θ (θ) = cos + n21 − n22 − n23 sin2 2 2 (" ! !# θ θ + n1 n2 sin + n3 cos 2 sin 2 2 ! !# (" θ θ − n2 cos 2 sin + n1 n3 sin 2 2 2. σ1 !). θ σ2 2 !) θ σ3 ; 2. (3.29). além de !. Rn (θ) σ2 R†n. !. !. !. θ θ θ θ (θ) = cos σ2 + sin2 (ˆ n.~σ ) σ2 (ˆ n.~σ ) + i cos sin [σ2 , n ˆ .~σ ] 2 2 2 2 ! ! i h 2 θ 2 θ σ2 + sin 2n1 n2 σ1 + n22 − n21 − n23 σ2 + 2n2 n3 σ3 = cos 2 2 ! ! θ θ − 2 cos sin (n3 σ1 − n1 σ3 ) , (3.30) 2 2 2. que equivale à !. (". Rn (θ) σ2 R†n. !#. !). θ θ θ − n3 cos 2 sin σ1 (θ) = n1 n2 sin 2 2 2 " ! !# 2 θ 2 2 2 2 θ + cos + n2 − n1 − n3 sin σ2 2 2 (" ! !# !) θ θ θ + n2 n3 sin + n1 cos 2 sin σ3 ; 2 2 2. (3.31). finalmente, !. !. !. !. θ θ θ θ Rn (θ) σ3 R†n (θ) = cos2 σ3 + sin2 (ˆ n.~σ ) σ3 (ˆ n.~σ ) + i cos sin [σ3 , n ˆ .~σ ] 2 2 2 2 ! ! h i 2 θ 2 θ = cos σ3 + sin 2n1 n3 σ1 + 2n2 n3 σ2 + n23 − n21 − n22 σ3 2 2 ! ! θ θ − 2 cos sin (n1 σ2 − n2 σ1 ) 2 2 (" ! !# !) θ θ θ = n1 n3 sin + n2 cos 2 sin σ1 2 2 2 (" ! !# !) θ θ θ + n2 n3 sin − n1 cos 2 sin σ2 2 2 2 " ! !# 2 θ 2 2 2 2 θ + cos + n3 − n1 − n2 sin σ3 . (3.32) 2 2.

(126) 39 Assim, X. V σj V † ⊗ V σj V † =. j. 3 X. Rn (θ) σj R†n (θ) ⊗ Rn (θ) σj R†n (θ). j=1. =Rn (θ) σ1 R†n (θ) ⊗ Rn (θ) σ1 R†n (θ) + Rn (θ) σ2 R†n (θ) ⊗ Rn (θ) σ2 R†n (θ) + Rn (θ) σ3 R†n (θ) ⊗ Rn (θ) σ3 R†n (θ) ,. (3.33). ou seja, exprimindo a última equação, obtém-se (" X. V σj V ⊗ V σj V = †. !. θ θ + n21 − n22 − n23 sin2 2 2. cos. †. 2. j. "". σ1. θ θ n1 n2 sin + n3 cos 2 2. !#. "". !. !#. !#. )⊗2. "". !. !#. !#. )⊗2. +. !. !#. θ 2 sin 2. !#. σ2. θ θ θ + n1 n3 sin − n2 cos 2 sin σ3 2 2 2 ("" ! !# !# θ θ θ + n1 n2 sin − n3 cos 2 sin σ1 2 2 2 " ! !# 2 θ 2 2 2 2 θ + cos + n2 − n1 − n3 sin σ2 2 2 θ θ θ + n1 cos 2 sin σ3 + n2 n3 sin 2 2 2 ("" ! !# !# θ θ θ + n1 n3 sin + n2 cos 2 sin σ1 2 2 2 "" ! !# !# θ θ θ + n2 n3 sin − n1 cos 2 sin σ2 2 2 2 ". !. + cos. 2. θ θ + n23 − n21 − n22 sin2 2 2. )⊗2. !#. σ3. ,. (3.34). onde esses coeficientes podem ser interpretados como elementos de uma matriz ortogonal, da mesma forma que (HORODECKI; HORODECKI, 1996a; HORODECKI; HORODECKI, 1996b), tem-se V σj V † = Rn (θ) σj R†n (θ) =. X. Okj σk ,. (3.35). k. onde O ∈ SO(3) tal que OOT = I. Portanto, a equação (3.34) pode ser reescrita como.