Análise Comparativa do Nível de Acurácia de Modelos Híbridos Utilizados para Predizer o Tempo de Vida de Baterias

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Análise Comparativa do Nível de Acurácia de

Modelos Híbridos Utilizados para Predizer o Tempo

de Vida de Baterias

Odenis Alessi

Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – Unijuí, como parte dos requisi-tos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática.

Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientadora

Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Coorientador

Ijuí, RS, Brasil c

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Análise Comparativa do Nível de Acurácia de

Modelos Híbridos Utilizados para Predizer o Tempo

de Vida de Baterias

Odenis Alessi

Dissertação de Mestrado apresentada em Março, 2018

Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientadora

Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Coorientador

Mauricio de Campos, Dsc. Componente da Banca Cristiano Roberto Cervi , Dsc.

Componente da Banca

Ijuí, RS, Brasil, Março, 2018

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Agradecimentos

A Deus, pela proteção e por permitir a conclusão desta jornada.

Aos meus pais, Belarmo e Nelci e a minha irmã Simone, que nunca mediram esforços para que eu pudesse concretizar este sonho. Obrigado por tudo e principalmente pelo apoio. Amo vocês.

A Professora Airam, que prontificou-se em ser minha orientadora após a saída do meu primeiro orientador, demonstrando estar sempre preocupada com meu aprendizado e desenvolvimento da pesquisa. Agradeço pela confiança, pela paciência, pelas orientações e pelos inúmeros ensinamentos. Você juntamente com o Professor e coorientador Paulo, são meus exemplos de profissionais e pessoas.

A minha colega e amiga Vanessa com quem tenho uma amizade e carinho imensuráveis. Obrigado pela amizade, pela companhia, conversas, desabafos, ajudas e pelos inúmeros momentos felizes que compartilhamos juntos. Amizade como a nossa vale ouro!

De mesma maneira a minha colega e amiga Nelize, obrigado pela amizade que se iniciou no mestrado e por todas as experiências e situações compartilhadas.

Aos demais colegas do mestrado, a nossa turma simplesmente foi incrível.

Aos colegas doutorandos, Douglas, Luana e Marcia que sempre demonstraram-se dis-postos a ajudar e aconselhar.

Aos demais professores do mestrado que contribuíram para minha formação. À Unijuí e ao GAIC, pela estrutura e laboratórios.

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Resumo

O desenvolvimento tecnológico permite que diferentes dispositivos eletrônicos sejam ca-pazes de executar cada vez mais um número maior de tarefas. Dentre estes dispositivos estão os dispositivos móveis, que pela utilização de uma bateria, agregam mobilidade e comodidade na execução de diferentes serviços, otimizando o tempo do usuário. Desta forma, o funcionamento do dispositivo está ligado diretamente ao tempo de vida da bate-ria, nesse contexto é importante o estudo acerca do desempenho e do comportamento da bateria frente a diferentes cenários de descarga. A predição do tempo de vida de baterias pode ser realizada através da modelagem matemática, que permite realizar a simulação de um processo de descarga real através de modelos matemáticos. Estes modelos são classificados em categorias: os modelos eletroquímicos, os modelos elétricos, os modelos analíticos, os modelos estocásticos, os modelos via teoria de identificação de sistemas e os modelos híbridos. Este trabalho é realizado utilizando a categoria de modelos híbridos. Estes modelos são constituídos através da união de pelo menos dois modelos pertencentes a categorias diferentes, conseguindo agregar as vantagens dos modelos utilizados nesta união. Neste sentido, o objetivo deste trabalho é realizar a modelagem matemática do tempo de vida de baterias utilizando os modelos híbridos encontrados na literatura téc-nica, realizando uma análise comparativa entre o nível de acurácia dos mesmos. São usados perfis de descarga constantes e os dados experimentais são obtidos de uma plata-forma de testes, considerando baterias de Lítio Íon Polímero. Nos dados experimentais é realizado um tratamento estatístico, a fim de identificar a presença de valores outli-ers e médias experimentais diferentes estatisiticamente. As simulações computacionais são realizadas no software MatLab e as validações dos modelos híbridos ocorre através da comparação dos resultados das simulações com os dados obtidos da plataforma de testes. Após as validações, constatou-se que todos os modelos híbridos utilizados neste trabalho são acurados, apresentando erro médio inferior a 5%, independente da presença de valores outliers. Por fim, comparando os valores dos erros, é concluído que o modelo híbrido proposto por Zhang é o modelo mais acurado, seguido pelo modelo híbrido de Kim e de Gomes. Também foi possível observar que os menores erros foram encontrados na presença de valores outliers.

Palavras-chave: modelos híbridos, análise comparativa, baterias, outliers, médias estatisticamente diferentes.

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Abstract

Technological development allows different electronic devices to perform a greater number of tasks. Among these devices are the mobile devices, which by the use of a battery, add mobility and convenience in the execution of different services, optimizing the user’s time. In this way, the device operation is directly connected to the battery life, in this context it is important to study the performance and behavior of the battery against different down-load scenarios. The battery lifetime prediction can be performed through mathematical modeling, which allows the simulation of a real discharge process through mathematical models. These models are classified into categories: electrochemical models, electric mo-dels, analytical momo-dels, stochastic momo-dels, models via system identification theory and hybrid models. This work is carried out using the category of hybrid models, that are which are constituted from the union of at least two models belonging to different catego-ries, being able to aggregate the advantages of each one. In this sense, the work objective is to perform the mathematical modeling of battery lifetime using the hybrid models found in the technical literature, performing a comparative analysis between the accuracy level them. Constant discharge profiles are used and experimental data are obtained from a test platform, considering Lithium Polymer batteries. In the experimental data a statistical treatment is performed in order to identify the presence of outliers values, and statisti-cally different experimental means. The computational simulations are performed in the MatLab software and the validations of the hybrid models are performed by comparing the results of the simulations with the data obtained from the test platform. After the validations, it was verified that all the hybrid models used in this work are accurate, with an average error of less than 5 %, regardless of the presence of outliers values. Finally, comparing the errors values, it is concluded that the hybrid model proposed by Zhang is the most accurate model, followed by the hybrid model of Kim and Gomes. It was also possible to observe that the smallest errors were found in the outliers presence.

Keywords: hybrid models, comparative analysis, batteries, outliers, statistically dif-ferent means.

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Lista de Abreviaturas

A – Ampère

Ah – Ampère-hora

ANOVA – Analysis of Variance

As – Ampère-segundo

AR – Modelo AutoRregressivo

ARX – Modelo AutoRregressivo com entradas eXternas

ARMAX – Modelo AutoRregressivo com Média móvel e entrAdas eXternas

BJ – Box Jenkins

DCEEng – Departamento de Ciências Exatas e Engenharias

DP – Desvio Padrão

EDOs – Equações Diferenciais Ordinárias

EDPs – Equações Diferenciais Parciais

ES – Erro de Saída

GAIC – Grupo de Automação Industrial e Controle

GPS – Global Positioning System

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KiBaM – Kinetic Battery Model

Li-Ion – Lítio Íon

Li-Po – Lítio Íon Polímero

LSI – Laboratório de Sensores Inteligentes

mA – miliampère

mAmin – miliamèpere por minuto

MatLab – Matrix Laboratory

min – minutos

MQ – Mínimos Quadrados

NARMAX – Modelos Não linear AutoRegressivo com Médias e entrAdas eXternas

NARX – Modelo Não linear AutoRegressivo com entrAdas eXternas

NiCd – Níquel Cádmio

NiMH – Níquel Metal Hidreto

NR – Newton - Raphson

PbA – Chumbo Ácido

RV – Rakhmatov e Vrudhula

SOC – State of Charge

SQE – Soma dos Quadrados dos Erros

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SQF – Somo dos Quadrados do Fator

t – tempo

UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul

V – Volts

V-I – Tensão e Corrente

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Lista de Símbolos

α - parâmetro que representa a capacidade da bateria no Modelo Analítico de Rakhmatov-Vrudhula

β - parâmetro que representa a não linearidade da bateria no Modelo Analítico de Rakhmatov-Vrudhula

δ - diferença de altura entre as duas fontes (h2 − h1) do Modelo Analítico Kinetic

Battery Model

τL - capacitância transiente de longa duração

τS - capacitância transiente de curta duração

ai - constante gerada a partir da média, variância e covariância

A - área da superfície do eletrodo no modelo RV

a0, ..., a5 - parâmetros a serem estimados no Modelo Elétrico para Predizer Runtime e

Características V-I nos modelos híbridos

b - coeficiente de Peukert

b0, ..., b5 - parâmetros a serem estimados no Modelo Elétrico para Predizer Runtime e

C - capacidade total da bateria

C∗ - concentração inicial de espécies eletroativas no modelo RV

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C1 - Coeficiente de ajuste não linear na Lei de Peukert Estendida

C2 - Capacidade análoga a capacidade física da bateria na Lei de Peukert Estendida

Capacity - capacidade nominal da bateria

Cavailable - capacidade disponível da bateria

CCapacity - capacidade total da bateria

Cinitial - capacidade inicial da bateria

Cmax - capacidade máxima da bateria

Ctransient - capacitância transiente

Ctransient_L - capacitância transiente de longa duração

Ctransient_S - capacitância transiente de curta duração

Cunavailable(t) - capacidade indisponível da bateria

c - fração da capacidade total disponível da bateria do Modelo Analítico Kinetic Bat-tery Model

c0, ..., a2 - parâmetros a serem estimados no Modelo Elétrico para Predizer Runtime e

D - constante de difusão do modelo RV

d0, ..., d2 - parâmetros a serem estimados no Modelo Elétrico para Predizer Runtime e

e0, ..., e2 - parâmetros que necessitam ser estimados no Modelo Elétrico para Predizer

Runtime e Características V-I nos modelos híbridos

dms - diferença mínima significativa

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- erro

F - constante de Faraday

f0, ..., f2 - parâmetros que necessitam ser estimados no Modelo Elétrico para Predizer

Runtime e Características V-I e nos modelos híbridos

f1(cicle) - fator de correção dependente do número de ciclos

f2(temp) - fator de correção dependente da temperatura

Fcall - valor calculado pelo teste da ANOVA

H0 - hipótese nula do teste estatístico

H1 - hipótese alternativa do teste estatístico

h1 - altura da carga na fonte de carga disponível no Kinetic Battery Model

h2 - altura da carga na fonte de carga limitada no Kinetic Battery Model

I - corrente constante de descarga

Ibatt - corrente elétrica da bateria

icell - corrente de descarga

Ik - corrente, onde k = 0, ..., n e k ∈ N

i(t) - corrente de descarga

k - razão de fluxo de carga entre as fontes de carga do Kinetic Battery Model

k0 - constante relacionada com a taxa de vazão de fluxo de carga entre as fontes de carga do Kinetic Battery Model

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λ - raiz de um intervalo dado

L - tempo de vida da bateria

Li - Limite inferior

Ls - Limite superior

l(t) - carga total consumida pelo sistema

µk - médias das populações no teste da ANOVA

nk - número de observações da amostra

N - número de repetições

p − valor - probabilidade de se obter uma estatística de teste igual ou mais estrema que aquela observada na amostra

q - valor tabelado para o teste Tukey dependente do número de tratamentos e do grau de liberdade

QM Res - quadrado médio do resíduo do teste Tukey

r - número de repetições das amostras para o teste Tukey

Rself −discharge - resistência de auto-descarga

Rseries - resistência em série

Rtransient - resistência transiente

Rtransient_L - resistência transiente de longa duração

Rtransient_S - resistência transiente de curta duração

SOC - estado de carga

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SOCinitial - estado de carga inicial

T Vej - tempo de vida experimental

T Vex - tempo de vida experimental médio

T Vexout - tempo de vida experimental médio calculado sem valores outliers

T Vsim - tempo de vida simulado

td - tempo de duração da corrente de descarga do Modelo Híbrido para descargas

va-riáveis no tempo

tk - tempo, onde k = 0, ..., n e k ∈ N

tr - tempo de descanço da corrente de descarga do modelo Modelo Híbrido para

des-cargas variáveis no tempo

U (τ ) - função degrau

v - número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica no modelo RV

u(t) - capacidade indisponível

Vbatt - tensão da bateria

Vcell - tensão

Vm - média aritmética do grupo

VOC - tensão de circuito aberto

VSOC - tensão inicial

Vtransient - tensão transiente

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VtransientL - tensão transiente de longa duração

VtransientS - tensão transiente de curta duração

w - tamanho do eletrodo no modelo RV

Wcall - valor calculado pelo teste de Shapiro-Wilk

Wt - valor tabelado para o teste de Shapiro-Wilk

x - posição no eletrodo no modelo RV ¯

Xi - média da amostra i para o teste de Levene

¯

Yi - média de cada amostra para o teste de Shapiro-Wilk

¯

Y - média global para o teste de Shapiro-Wilk

y0 - capacidade total no modelo cinético de bateria

y1(0) - quantidade de carga disponível inicial no Kinetic Battery Model

y2(0) - quantidade de carga indisponível inicial no Kinetic Battery Model

y1(t) - Fonte de carga disponível no Kinetic Battery Model

y2(t) - Fonte de carga limitada no Kinetic Battery Model

Zij - diferença absoluta entre Xij e ¯Xi com Xij sendo a observação j na amostra i

para o teste de Levene

Zeqq - impedância interna da bateria

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Lista de Tabelas

4.1 Dados experimentais. . . 44 4.2 Perfis de descarga que apresentaram valores Outliers. . . 47 4.3 Resultados da aplicação do teste de Shapiro-Wilk. . . 51 4.4 Resultados da aplicação do teste de comparação de médias (Teste Tukey). . 53 4.5 Dados utilizados para a estimação dos parâmetros dos modelos híbridos. . 54 4.6 Dados utilizados para a validação dos modelos híbridos. . . 54 4.7 Capacidades disponíveis e indisponíveis para os perfis utilizados na

estima-ção de parâmetros. . . 58 4.8 Parâmetros da parte elétrica do modelo [31] . . . 63 5.1 Validação do modelo híbrido de Kim considerando valores com outlier. . . 67 5.2 Validação do modelo híbrido de Kim considerando valores sem outlier. . . . 67 5.3 Validação do modelo híbrido de Zhang considerando valores com outlier. . 68 5.4 Validação do modelo híbrido de Zhang considerando valores sem outlier. . . 69 5.5 Validação do modelo híbrido de Gomes considerando valores com outlier. . 70 5.6 Validação do modelo híbrido de Gomes considerando valores sem outlier. . 70 5.7 Análise comparativa entre os erros dos modelos híbridos com os valores

outliers. . . 72 5.8 Análise comparativa entre os erros dos modelos híbridos sem os valores

outliers. . . 72

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Lista de Figuras

2.1 Esquema de uma célula eletroquímica [14]. . . 11

2.2 Efeito de recuperação de uma bateria [25]. . . 14

3.1 Ilustração do Modelo Elétrico para Predizer Runtime e Características V-I de uma bateria [5]. . . 22

3.2 Representação do modelo analítico KiBaM [18]. . . 24

3.3 Esquema do Modelo Híbrido de Kim [15]. . . 34

3.4 Esquema do Modelo Híbrido de Zhang [11]. . . 37

3.5 Esquema do Modelo Híbrido de Gomes [13]. . . 38

4.1 Plataforma de Testes do GAIC. . . 42

4.2 Perfil de descarga (mA) x Tempo de vida (min). . . 45

4.3 Perfil de descarga (mA) x Capacidade (mAmin). . . 45

4.4 Curva de uma distribuição normal de dados [30]. . . 49

4.5 Corrente x Capacidade. . . 56

4.6 Corrente x Capacidade . . . 56

4.7 Estimação dos parâmetros do modelo analítico Lei de Peukert Estendida. . 62

5.1 Decaimento da tensão para o perfil de descarga de 275 mA. . . 67

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Sumário

1 Apresentação da Dissertação 5 1.1 Introdução . . . 5 1.2 Motivação . . . 7 1.3 Objetivos da Dissertação . . . 7 1.3.1 Objetivo Geral . . . 7 1.3.2 Objetivos Específicos . . . 7 1.4 Contribuições . . . 8 1.5 Estrutura do Documento . . . 8 2 Revisão Bibliográfica 10 2.1 Introdução . . . 10 2.2 Baterias . . . 10

2.3 Definições das Baterias . . . 12

2.3.1 Nível de Cutoff . . . 12

2.3.2 Tempo de Vida . . . 12

2.3.3 Estado de Carga . . . 12

2.4 Propriedades das Baterias . . . 12

2.4.1 Capacidade da Bateria . . . 13

2.4.2 Tensão . . . 13

2.5 Efeitos Não Lineares . . . 13

2.5.1 Efeito de Recuperação . . . 13

2.5.2 Efeito da Taxa de Capacidade . . . 14

2.6 Tipos de Baterias . . . 15

2.6.1 Baterias de Níquel-Cádmio . . . 15

2.6.2 Baterias de Chumbo-Ácido . . . 15

2.6.3 Baterias de Níquel Metal-Hidreto . . . 15

2.6.4 Baterias Alcalinas Recarregáveis . . . 16

2.6.5 Baterias de Lítio-Íon . . . 16

2.6.6 Baterias de Lítio-Íon Polímero . . . 16

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Sumário 3 2.7 Modelos Matemáticos . . . 16 2.7.1 Modelos Eletroquímicos . . . 17 2.7.2 Modelos Elétricos . . . 17 2.7.3 Modelos Estocásticos . . . 18 2.7.4 Modelos Analíticos . . . 18

2.7.5 Modelos da Teoria de Identificação de Sistemas . . . 19

2.7.6 Modelos Híbridos . . . 19

2.8 Resumo do Capítulo . . . 20

3 Modelagem Matemática 21 3.1 Introdução . . . 21

3.2 Modelos Matemáticos . . . 22

3.2.1 Modelo Elétrico Para Predizer Runtime e Características V-I . . . . 22

3.2.2 Modelo Analítico Kinetic Battery Model (KiBaM) . . . 24

3.2.3 Modelo Analítico de Rakhmatov e Vrudhula . . . 27

3.2.4 Modelo Analítico Lei de Peukert Estendida . . . 31

3.3 Modelos Híbridos . . . 33

3.3.1 Modelo Híbrido de Kim . . . 34

3.3.2 Modelo Híbrido de Zhang . . . 36

3.3.3 Modelo Híbrido de Gomes . . . 38

4 Estimação dos Parâmetros dos Modelos Híbridos 41 4.1 Introdução . . . 41

4.2 Descrição da Plataforma de Testes . . . 42

4.3 Obtenção dos Dados Experimentais . . . 43

4.3.1 Metodologia para a Coleta de Dados . . . 43

4.3.2 Apresentação dos Dados . . . 43

4.4 Análise Estatística dos Dados . . . 46

4.4.1 Identificação de Outliers . . . 46

4.4.2 Identificação de Perfis de Descarga Estatisticamente Diferentes . . . 47

4.5 Metodologia para a Estimação dos Parâmetros . . . 54

4.5.1 Estimação dos parâmetros da parte analítica do Modelo Híbrido de Kim . . . 54

4.5.2 Estimação dos parâmetros da parte analítica do Modelo Híbrido de Zhang . . . 59

4.5.3 Estimação dos parâmetros da parte analítica do Modelo Híbrido de Gomes . . . 60

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Sumário 4

4.5.4 Estimação dos parâmetros da parte elétrica dos modelos híbridos . 62

5 Resultados das Simulações e Análises 65 5.1 Introdução . . . 65

5.2 Metodologia Adotada para a Validação dos Modelos Híbridos . . . 66

5.3 Validação do Modelo Híbrido de Kim . . . 66

5.4 Validação do Modelo Híbrido de Zhang . . . 68

5.5 Validação do Modelo Híbrido de Gomes . . . 69

5.6 Análise Comparativa entre os Modelos Híbridos . . . 71

6 Conclusões e Trabalhos Futuros 74 Referências Bibliográficas 76 A M-file: Estimação dos Parâmetros da Lei de Peukert Estendida 79 B M-file: Teste de Shapiro-Wilk 80 C M-file: Carregamento dos Parâmetros para as Simulações dos Modelos Híbridos 82 D Publicações Relacionadas a Dissertação 84 D.1 Artigos Aceitos em Eventos . . . 84

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Capítulo 1

Apresentação da Dissertação

1.1 Introdução

O avanço tecnológico que a indústria eletrônica alcançou nos últimos anos possibilitou a criação de inúmeros dispositivos eletrônicos com as mais variadas finalidades. Dentre esses aparelhos estão os chamados dispositivos móveis, tais como, celulares, câmeras, GPS, que independente da funcionalidade, possuem em comum a presença de uma bateria como fonte de energia. Nestes dispositivos, o tempo que a bateria demora para descarregar, na maioria das vezes, define o tempo que o usuário do dispositivo poderá utilizá-lo sem a necessidade de conectá-lo a uma fonte fixa de energia. Desta forma, torna-se importante o estudo das características e modelos das baterias para a identificação dos fatores que influenciam no processo de descarga, como também no comportamento da bateria frente a diferentes cenários que este processo pode apresentar. A partir disso, é possível contribuir com o desenvolvimento e melhoramento das baterias para que as mesmas sejam mais duráveis, leves e finas, possuam maior capacidade de energia correspondendo assim, as mais diferentes aplicações.

Uma importante ferramenta que pode auxiliar no estudo do tempo de vida de bate-rias é a modelagem matemática, que através de diferentes modelos simula um processo de descarga real, como também, captura características não lineares importantes do seu funcionamento. Dentre os modelos matemáticos presentes na literatura, destacam-se os modelos eletroquímicos [7, 14], os modelos elétricos [5, 14], os modelos estocásticos [23], os modelos analíticos [32], os modelos via teoria de identificação de sistemas, [17, 24] e os modelos híbridos [13, 15, 33]. O objeto de estudo deste trabalho é a classe de modelos híbridos, sendo estes constituídos a partir da união de dois ou mais modelos matemáticos que apresentam características diferentes [16]. Dessa forma, merecem destaque, pois po-dem agregar simultaneamente as vantagens dos modelos utilizados na sua constituição, e assim, possibilitar simulações acuradas, fornecendo um número maior de informações do

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Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 6

processo de descarga.

No Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC), da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), vários trabalhos já foram desenvolvi-dos envolvendo os modelos híbridesenvolvi-dos. Primeiramente, Duarte [8] aplicou o modelo híbrido proposto por Kim [15] constituído pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com o modelo analítico Kinetic Battery Model (KiBaM), considerando correntes de descarga constantes e baterias de Lítio-Íon (Li-Íon), encontrando resultados com boa acurácia. Em seguida, Fransozi [11] realizou a modelagem matemática do tempo de vida de baterias aplicando os modelos híbridos desenvolvidos por Kim [15] e Zhang [33], considerando correntes de descarga constantes, sendo o modelo de Zhang caracteri-zado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com o modelo analítico de Rakhmatov e Vrudhula. Ainda, Kusiak [16] realizou em seu trabalho a modelagem matemática do tempo de vida de baterias utilizando os mesmos modelos híbridos usados por Fransozi [11], porém considerou nas simulações correntes de descarga variáveis, sendo estas, baseadas nas funcionalidades reais desempenhadas por um telefone celular do tipo smartphone, concluindo que o modelo de Zhang é mais acurado. Mais recentemente, Gomes [13] propôs um novo modelo híbrido a partir da união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com o modelo analítico Lei de Peu-kert Estendida [12]. Além desta proposta, Gomes realizou uma análise comparativa entre o modelo proposto e os demais modelos híbridos da literatura, que são o de Kim e o de Zhang [15, 33] considerando correntes de descarga constantes e variáveis. Ao realizar as comparações, Gomes conclui que o modelo proposto em seu trabalho possuiu o melhor nível de acurácia entre os modelos híbridos avaliados.

Dos trabalhos citados anteriormente, considerando modelos híbridos, Fransozi [11], Kusiak [16], e Gomes [13] utilizam dados experimentais obtidos a partir de uma plata-forma de testes de um dos laboratórios do GAIC, considerando oito baterias de Lítion Íon Polímero (Li-Po). Porém, apesar dos bons resultados, não foi realizado nenhum trata-mento estatístico nos dados coletados para a sua utilização na estimação dos parâmetros empíricos ou mesmo no processo de validação dos modelos. Neste sentido, o principal objetivo desta dissertação é realizar uma nova análise comparativa dos modelos híbridos de Kim, Zhang e Gomes a partir de um tratamento estatístico dos dados, assim como, verificar a presença ou não de valores outliers1_{, considerando baterias de Li-Po, perfis de}

descarga constantes, e os dados experimentais obtidos da mesma plataforma de teste. Com isso, busca-se apresentar resultados não tendenciosos e com maior grau de confiabilidade. O restante deste capítulo está organizado como segue: na Seção 1.2, é apresentada

1_{Valores outliers são valores discrepantes que não seguem o perfil do grupo de dados ao qual pertence,}

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a motivação. Na Seção 1.3 é apresentado o objetivo geral da dissertação e os objetivos específicos. Na Seção 1.4 são apresentadas as contribuições deste trabalho. Na Seção 1.5 é apresentada a organização deste documento.

1.2 Motivação

Observando o avanço tecnológico que os dispositivos móveis tem alcançado nos últi-mos anos, principalmente pelos telefones celulares do tipo smartphone, percebe-se que o número de tarefas desenvolvidas por estes dispositivos acompanha este desenvolvimento. Os smartphones vem oferecendo um número maior de serviços a cada novo avanço, ali-ando funcionalidade, portabilidade e dinamismo aos aparelhos, visali-ando otimizar o tempo do seu usuário. Por outro lado, a medida que são agregadas novas funcionalidades nestes dispositivos, espera-se que o desempenho das baterias seja satisfatório, fornecendo energia ao sistema por uma quantidade de tempo prolongado.

Desta forma a presente pesquisa motiva-se em agregar conhecimento científico e contri-buir para o desenvolvimento e aprimoramento de recursos para o estudo de tempo de vida das baterias utilizadas em smartphones, por meio da modelagem matemática. Espera-se com isto, ofertar recursos que possam auxiliar projetistas de baterias no desenvolvimento de baterias com tempo de vida prolongado e que correspondam de forma satisfatória as diferentes demandas de mercado.

1.3 Objetivos da Dissertação

Nesta seção são apresentados os objetivos deste trabalho. Primeiramente é apresentado o objetivo geral da pesquisa e em seguida os objetivos específicos.

1.3.1 Objetivo Geral

O objetivo geral do presente trabalho é realizar a modelagem matemática do tempo de vida de baterias, através da aplicação de modelos híbridos presentes na literatura técnica, comparando seus níveis de acurácia. Acerca dos dados experimentais é realizado um tratamento estatístico nos mesmos afim de estabelecer critérios para a obtenção de resultados confiáveis.

1.3.2 Objetivos Específicos

• Realizar uma revisão bibliográfica das propriedades, tipos e principais características e efeitos não lineares das baterias, assim como dos diferentes modelos matemáticos

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encontrados na literatura técnica para predição do tempo de vida de baterias; • Estudar os principais modelos híbridos encontrados na literatura técnica;

• Obter, a partir de uma plataforma de testes, um conjunto de dados experimentais para a estimação dos parâmetros empíricos e valição dos modelos;

• Definir uma metodologia para o tratamento estatísitcos dos dados objetivando en-contrar um conjunto de dados estatisticamente diferentes;

• Implementar os modelos híbridos na ferramenta computacional MatLab;

• Validar os modelos híbridos através da comparação dos resultados simulados com os dados obtidos da plataforma de testes;

• Realizar a comparação entre os modelos híbridos; e

• Apresentar as conclusões oriundas das análises comparativas entre os modelos hí-bridos.

1.4 Contribuições

As contribuições desta dissertação são:

1. Utilização e aplicação de conceitos estatísticos a fim de estabelecer critérios que tornem os resultados finais não tendenciosos e com elevado grau de confiabilidade. 2. Análise comparativa entre os modelos híbridos existentes na literatura técnica

uti-lizando perfis de descarga constantes e com diferença estatística significativa. 3. Averiguação da influência de valores outliers nos resultados obtidos com os modelos

híbridos.

1.5 Estrutura do Documento

Essa dissertação está organizada conforme a estrutura apresentada a seguir.

No Capítulo 2 é realizada uma revisão bibliográfica a cerca das baterias, sua composi-ção, funcionamento e algumas definições e efeitos não lineares presentes em um processo de descarga. São apresentados também, os diferentes tipos de baterias já desenvolvidas no mercado e os diferentes tipos de modelos matemáticos de baterias encontrados na literatura técnica.

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No Capítulo 3 são detalhados separadamente os modelos matemáticos usados na elabo-ração dos modelos híbridos utilizados neste trabalho. Após, são apresentados os modelos híbridos de bateria, de Kim [15], Zhang [33] e Gomes [13] assim como suas características e conjunto de equações.

No Capítulo 4 é descrita a plataforma de testes utilizada para a obtenção dos da-dos experimentais, a metodologia adotada para a coleta da-dos dada-dos durante o processo de descarga e os dados experimentais obtidos. Além disto são apresentados os conceitos estatísticos que serão aplicados nos dados experimentais, visando a verificação da existên-cia de valores outliers e a identificação de perfis de descarga estatisticamente diferentes. Ainda, é apresentada a metodologia adotada para a obtenção dos parâmetros empíricos dos modelos híbridos.

No Capítulo 5 são realizadas as validações dos modelos híbridos, a partir da compa-ração dos resultados simulados pelos modelos com os resultados experimentais obtidos da plataforma de testes. Na sequência, é realizada uma análise comparativa entre os resultados dos modelos híbridos.

Por fim, no Capítulo 6, são apresentadas as conclusões da pesquisa e as sugestões de trabalhos futuros.

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Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

2.1 Introdução

Devido ao grande crescimento na utilização de dispositivos móveis, mais especifica-mente de smarphones, há uma preocupação acerca do desempenho das baterias utilizadas nestes dispositivos. Atualmente, são realizados estudos sobre o tempo de vida das bate-rias, assim como do seu comportamento, a fim de identificar também, características e efeitos que ocorrem em um processo de descarga, buscando entendê-lo de maneira cada vez mais abrangente. Nesse contexto, nesse capítulo é apresentada uma revisão biblio-gráfica do estado da arte de baterias. Primeiramente são apresentados alguns conceitos básicos da constituição de uma bateria, seguido por algumas definições referentes as mes-mas, as propriedades e efeitos não lineares presentes em um processo de descarga. Em seguida, são descritos os tipos de baterias já desenvolvidos, como também, as categorias de modelos matemáticos de baterias encontrados na literatura e que são utilizados para predizer o seu tempo de vida.

Este capítulo esta organizado como segue. Na Seção 2.2 são descritos os conceitos básicos de baterias. Na Seção 2.3 são apresentadas as algumas definições referentes as baterias. Na Seção 2.4 são abordadas as principais propriedades das baterias. Na Seção 2.5 são descritos os principais efeitos não lineares que ocorrem durante um processo de descarga. Na Seção 2.6 são expostos os principais tipos de baterias disponíveis no mer-cado. Na Seção 2.7 são apresentados as categorias de modelos matemáticos de baterias referenciados na literatura técnica. E, na Seção 2.8, é apresentado um resumo do capítulo.

2.2 Baterias

As baterias são um dos principais meios de obtenção de energia elétrica sem a necessi-dade de ligação a uma fonte fixa de energia, mesmo que por um limite finito de tempo. São

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Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 11

compostas por uma ou mais células que através de reações eletroquímicas transformam energia química armazenada em energia elétrica. Estas células podem ser interligadas em série, paralelo ou ainda através da combinação de ambas [14, 27]. Além disso, podem ser classificadas como células primárias ou células secundárias, sendo que as células primárias não podem ser recarregadas enquanto as células secundárias podem. Isto significa que a reação química que ocorre no interior de uma célula secundária é reversível, possibilitando assim restaurar a sua carga [4].

Basicamente uma célula eletroquímica é formada por dois eletrodos, um ânodo (pola-ridade negativa) e um cátodo (pola(pola-ridade positiva) que são separados por um eletrólito. Os eletrodos são condutores metálicos por onde a corrente elétrica entra e sai da bateria. O eletrólito, que pode ser sólido ou líquido, é um condutor de eletricidade que separa os eletrodos. No período em que a bateria esta fornecendo energia a um circuito externo, a corrente elétrica originada pelas reações químicas no interior das células, faz com que os elétrons, na forma de íons, se movam do ânodo para o cátodo através do eletrólito [27]. O esquema de uma célula eletroquímica é mostrado a seguir:

Figura 2.1: Esquema de uma célula eletroquímica [14].

As reações eletroquímicas que ocorrem no interior de uma bateria ocasionam uma diferença de potencial entre os eletrodos, o qual determina a tensão da bateria, expressa em Volts (V). Além da tensão, outra propriedade importante gerada é a capacidade, expressa normalmente em Ampère-hora (Ah). O produto entre a tensão e a capacidade da bateria determina a quantidade de energia armazenada na mesma. Em uma bateria ideal é esperado que a tensão permaneça constante durante todo o processo de descarga, sendo nula apenas quando a bateria estiver totalmente descarregada, assim como, que a capacidade se mantenha constante durante o processo de descarrega sendo totalmente utilizada [27]. Contudo, em situações reais, nenhum dos casos citados anteriormente

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realmente acontece, devido aos efeitos não lineares presentes no processo de descarga e que devem ser considerados na modelagem matemática da predição do tempo de vida de baterias [14, 27]. Estes efeitos não lineares juntamente com algumas características e propriedades são descritos nas próximas seções.

2.3 Definições das Baterias

Considerando as baterias, observa-se que podem existir algumas diferenças entre os tipos de baterias disponíveis no mercado. Estas diferenças, ocorrem, principalmente, pela utilização final da bateria e pelo material que ela é formada. Entretanto, algumas definições se mantêm em todas as baterias, independente do tipo. A seguir, nessa seção são descritas estas definições, proporcionando assim, um melhor entendimento do seu funcionamento.

2.3.1 Nível de Cutoff

Nível de cutoff é o momento em que a quantidade de energia no interior da bateria não é suficiente para garantir o funcionamento do circuito a qual esta conectada. Desta forma, as reações eletroquímicas em seu interior cessam, e a mesma é considerada descarregada, mesmo ela possuindo ainda uma quantidade pequena de energia [8, 13].

2.3.2 Tempo de Vida

O tempo de vida de uma bateria é definido como sendo o tempo que a bateria demora até atingir o nível de cutoff em seu processo de descarga.

2.3.3 Estado de Carga

O estado de carga da bateria (State Of Charge - SOC) é o percentual de capacidade máxima disponível na bateria. Ele indica a capacidade e a energia útil existente no interior da bateria. Logo se a bateria estiver totalmente carregada, o SOC é de 100%, assim como, se a bateria estiver descarregada, o SOC é de 0% [15]. Alguns fatores podem vir a influenciar o SOC, como por exemplo, o tipo de descarga que esta sendo aplicado a bateria e a taxa de carga/descarga.

2.4 Propriedades das Baterias

Como comentado anteriormente, a partir das reações eletroquímicas que ocorrem no interior da bateria, são produzidas algumas propriedades, sendo elas: a tensão elétrica,

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medida em Volts (V) e a capacidade, medida em Ampére-hora (Ah). O produto dessas grandezas é a energia armazenada na bateria, a qual garante que um dispositivo móvel continue funcionando. A seguir, as duas principais propriedades são descritas com maiores detalhes.

2.4.1 Capacidade da Bateria

A capacidade é a quantidade de carga elétrica armazenada na bateria. Para a sua estimação deve-se considerar a influência dos efeitos não lineares presentes no processo de descarga juntamente com a intensidade da corrente de descarga aplicada, visto que, a atuação dos efeitos não lineares varia de acordo com a intensidade da corrente de descarga utilizada. Basicamente, a capacidade pode ser classificada de três formas diferentes [13]: capacidade teórica, que representa a quantidade de energia armazenada, sendo o limite máximo de energia que pode ser extraída na prática; capacidade padrão, que consiste na energia que pode ser extraída sob condições especificadas pelo fabricante; e capacidade atual, que pode exceder a capacidade padrão, mas não pode exceder a capacidade teórica de uma bateria.

2.4.2 Tensão

Uma diferença de potencial surge a partir das reações eletroquímicas que ocorrem no interior da bateria quando uma carga é conectada a mesma, este efeito caracteriza a tensão da bateria. O valor nominal da tensão varia de acordo com o SOC, e durante o processo de descarga é reduzida gradualmente. Observa-se que durante a descarga a tensão possui dois estados: a tensão inicial e a tensão final. A tensão inicial ocorre quando a bateria está completamente carregada, neste caso a tensão também pode ser denominada de tensão de circuito aberto, visto que não há presença de corrente elétrica. Já a tensão final, também conhecida como tensão de Cutoff, ocorre quando a bateria está descarregada [15].

2.5 Efeitos Não Lineares

Nas baterias, durante o processo de descarga, há a presença de pelo menos dois efei-tos não lineares que possuem grande influência sob suas propriedades. Estes efeiefei-tos são descritos a seguir:

2.5.1 Efeito de Recuperação

O efeito de recuperação ocorre quando a corrente de descarga é reduzida significati-vamente ou é nula no período de descarga. Nestes momentos os elétrons no interior da

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bateria se reorganizam, aumentando a capacidade da bateria naquele momento e conse-quentemente seu tempo de vida [11]. Este efeito pode ser melhor analisado observando a Figura 2.2.

Figura 2.2: Efeito de recuperação de uma bateria [25].

Quando a bateria está totalmente carregada as espécies eletroativas são constantes em todo o eletrólito (Figura 2.2(A)). Ao iniciar o processo de descarga, as espécies eletroa-tivas são reduzidas próximo ao eletrodo (Figura 2.2(B)). Quando ocorre uma diminuição significativa da corrente, também chamado de momento de relaxação, os elétrons se reor-ganizam, (Figura 2.2 (C)) aumentando a concentração de espécies eletroativas no eletrodo, possibilitando assim, um aumento da capacidade da bateria quando reorganizados (Figura 2.2 (D)). Este efeito pode se repetir durante todo o processo de descarga, até que o nível de cutoff seja atingido e a bateria seja considerada descarregada (Figura 2.2(E)). É válido salientar que em nenhum momento a capacidade recuperada será maior que a capacidade inicial [16].

2.5.2 Efeito da Taxa de Capacidade

O efeito da taxa de capacidade depende da capacidade atual da bateria e da intensi-dade da corrente de descarga. Nos processos de descarga com correntes altas, dificilmente o efeito de recuperação acontece, pois não há tempo suficiente para que as espécies eletro-ativas se reorganizem no eletrólito, fazendo com que a capacidade efetiva da bateria seja

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baixa [11]. Desta forma, a energia não é completamente aproveitada, e consequentemente, a bateria tem seu tempo de vida reduzido.

2.6 Tipos de Baterias

A medida que o desenvolvimento tecnológico avança, e novos dispositivos eletrônicos são desenvolvidos (especialmente os dispositivos móveis), ocorre a demanda por baterias que correspondam satisfatoriamente, em termos de desempenho, a este crescimento. Desta forma, no transcorrer dos anos, foram desenvolvidos diferentes tipos de baterias, cada uma com suas características, variando basicamente, o material que é utilizado para sua concepção. Neste sentido, nesta seção são apresentados os tipos de baterias recarregáveis mais utilizadas.

2.6.1 Baterias de Níquel-Cádmio

As baterias de Níquel-Cádmio (Ni-Cd) já possuíram grande importância na utilização como no desenvolvimento tecnológico de dispositivos móveis. Destacaram-se por apresen-tar baixo custo de produção, longa vida útil e capacidade para altas taxas de descarga [4]. Porém, acabaram perdendo espaço por apresentarem o efeito memória, causado quando a recarga da bateria é realizado antes do seu descarregamento completo, e também pelo alto nível de contaminação que podem causar ao meio ambiente [11].

2.6.2 Baterias de Chumbo-Ácido

As baterias de Chumbo-Ácido (PbA) são compostas por eletrodos de chumbo e dióxido de chumbo, imersos em um eletrólito líquido com uma concentração de ácido sulfúrico. Muito utilizada em veículos automotores, são consideravelmente simples e suportam picos de correntes. Suas desvantagens estão ligadas a sua pequena densidade de energia, ao alto risco ambiental caso ocorra algum vazamento, e por suportarem poucos ciclos de carga e descarga sem perder capacidade [4, 13].

2.6.3 Baterias de Níquel Metal-Hidreto

Semelhante as baterias de Ni-Cd, principalmente em características operacionais, as baterias de Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH) são superiores por apresentarem efeito de me-mória menor e densidade de energia maior. Apesar destas vantagens, apresentam um custo de produção maior e não apresentam um ciclo de vida elevado [11]

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2.6.4 Baterias Alcalinas Recarregáveis

Possuem densidade de energia inicial maior quando comparadas as baterias de NiCd e baixo custo de produção, as baterias alcalinas recarregáveis já foram muito exploradas. Entretanto, sua principal desvantagem é ter seu tempo de vida rapidamente diminuído após poucas descargas. Além disso, quando descartadas de forma inadequada, são alta-mente prejudiciais ao meio ambiente, visto que algumas utilizam elementos tóxicos na sua composição.

2.6.5 Baterias de Lítio-Íon

As baterias de Lítio-Íon (Li-Ion) são muito utilizadas em dispositivos móveis atual-mente. Suas principais vantagens em relação as demais baterias é a armazenagem de grande quantidade de energia, utilização de pouco espaço devido a baixa densidade do material que é feita, são relativamente leves e apresentam prolongado ciclo de vida. Como desvantagem apresentam alto custo de produção, são mais sensíveis a efeitos da corrente e possuem certo risco de periculosidade, devido ao eletrólito ser altamente inflamável [8,13].

2.6.6 Baterias de Lítio-Íon Polímero

As baterias de Lítion-Íon Polímero (Li-Po) possuem características semelhantes as ba-terias de Li-Ion, porém podem apresentar finíssimas espessuras (inferior a 1mm). Apesar de serem consideradas um melhoramento das baterias de Li-Ion, ainda apresentam des-vantagens, como por exemplo, alto custo de produção e contagem de ciclos diminuída [13]. Atualmente, possuem grande aplicabilidade em dispositivos móveis, principalmente em te-lefones celulares do tipo smartphone, sendo este o tipo de bateria utilizada para realização deste trabalho.

2.7 Modelos Matemáticos

Diversos fenômenos reais podem ser representados através da interpretação matemá-tica, por meio de uma equação ou de um conjunto delas. Esse mecanismo é chamado de modelagem matemática, que além de descrever matematicamente um problema real, permite identificar características, direcionar ações de decisão e prever situações futuras. Um dos processos reais que pode ser representado através da modelagem matemática é o processo de descarga de uma bateria, na qual através de equações é possível predizer o tempo de vida da mesma. Este tipo de representação, apresenta menor custo quando comparado a experimentos físicos, e podem fornecer informações importantes, como o comportamento da tensão e da capacidade da bateria.

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Os modelos matemáticos utilizados para a predição do tempo de vida de baterias são classificados em categorias, cada uma possuindo características específicas. Um modelo matemático utilizado para este fim, é dito acurado, quando o erro máximo obtido pelo modelo for inferior a 5%, conforme [28]. Desta forma, a seguir é apresentada uma revisão bibliográfica das principais categorias de modelos matemáticos encontrados na literatura técnica e que descrevem o processo de descarga, e consequentemente realizam a predição do tempo de vida de baterias que alimentam dispositivos móveis.

2.7.1 Modelos Eletroquímicos

Os modelos eletroquímicos são baseados nas reações químicas que ocorrem no interior da bateria. Por descreverem os processos com grande quantidade de detalhes, apresen-tam resultados bastante fiéis ao sistema real, assim são considerados modelos de grande acurácia. Porém, pelo motivo de necessitarem de uma grande quantidade de informação para a modelagem, são considerados modelos de alta complexidade.

Um dos modelos eletroquímicos desenvolvido e considerado um dos mais acurados é o modelo proposto por Doyle [7]. Este modelo é constituído por um sistema de seis equações diferencias não lineares acopladas. Sua resolução fornece informações de tensão e corrente em função do tempo, como também, as fases de potencial no eletrólito e no eletrodo, a concentração salina, a taxa de reação e a densidade da corrente no eletrólito em função do tempo e da posição na célula. A partir da implementação deste modelo, foi construído o programa computacional Fortran Dualfoil que necessita que o usuário ajuste aproximadamente 50 parâmetros referente a bateria, necessitando que o mesmo tenha um conhecimento bastante detalhado da bateria que está modelando [14].

2.7.2 Modelos Elétricos

Os modelos elétricos descrevem o comportamento da bateria através da combinação de componentes elétricos (resistores, capacitores, fontes, indutores) em um determinado circuito elétrico. Normalmente, o capacitor representa a capacidade da bateria, a taxa de descarga normalizadora determina a perda de capacidade em altas correntes de descarga, uma tabela de pesquisa é usada para comparar tensão versus estado da carga, e um resistor representa a resistência da bateria. Relativamente mais simples, quando comparados com os modelos eletroquímicos, apresentam boa acurácia na modelagem matemática do tempo de vida de baterias [8, 13]. Entre os modelos elétricos presentes na literatura, destaca-se o modelo Battery proposto por Hageman [14] e o modelo para Predizer Runtime e Características V-I proposto por Chen [5]. O modelo proposto por Chen é utilizado na composição de modelos híbridos, que é o foco de estudo desse trabalho, e será descrito

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com maior riqueza de detalhes no Capítulo 3. Os dois modelos são de implementação computacional simples e são considerados acurados [28].

2.7.3 Modelos Estocásticos

Os modelos Estocásticos são os modelos mais abstratos em comparação ao demais modelos matemáticos de baterias. Como característica descrevem a descarga da bateria, considerando o efeito da taxa de capacidade e o efeito de recuperação, a partir de processos estocásticos, ou seja, discretos no tempo. O primeiro modelo estocástico foi proposto por Chiasserini e Rao [14]. Neste modelo, a bateria é representada por um número finito de unidades de carga, e o comportamento de descarga é modelado utilizando um processo estocástico transitório no tempo discreto [16]. Após o processo de descarga ser iniciado e começar a evoluir ao longo do tempo, o estado da bateria é controlado pelo número de unidades de cargas restantes. A corrente média de descarga é medida em intervalos de tempo iguais e usada para determinar a quantidade de carga consumida, indicando se unidades de carga devem ser acrescentadas ou eliminadas. Se a média de descarga não for nula, o número de unidades drenadas é obtido através de uma tabela ou gráfico que contenha os dados de taxa de capacidade. Se a média for nula, isto é, não sofreu descarga, a bateria recupera um certo número de unidades de carga (efeito de recuperação) [8]. Desta forma, os modelos estocásticos são considerados acurados, sendo uma ferramenta importante na modelagem do tempo de vida das baterias.

2.7.4 Modelos Analíticos

Os modelos analíticos descrevem a bateria com alto nível de abstração, através de equações que são fundamentadas em leis físicas ou empíricas. Existem diferentes modelos analíticos presentes na literatura técnica, eles possuem fácil implementação computacio-nal, poucos parâmetros para serem estimados, e alguns consideram as características não lineares presente em um processo de descarga. Os modelos analíticos são muito utilizados na composição de modelos híbridos, principalmente por serem bastante acurados. Alguns dos modelos analíticos da literatura são: o modelo Linear [21], o Kinetic Battery Mo-del (KiBaM) proposto por Manwell e Gowan [18], o moMo-delo de difusão de Rakhmatov e Vrudhula (modelo RV) [21] e o modelo proposto por Freitas [12] chamado de Lei de Peu-kert Estendida, sendo esta uma nova proposta do modelo desenvolvido pelo engenheiro alemão Wilhem Peukert em 1897 conhecido como Lei de Peukert [13]. Os modelos ana-líticos citados (i.e., KiBam, modelo RV e Lei de Peukert Estendida) são apresentados no próximo Capítulo com mais detalhes, por comporem os modelos híbridos aplicados nessa pesquisa.

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2.7.5 Modelos da Teoria de Identificação de Sistemas

Os modelos matemáticos obtidos via teoria de Identificação de Sistemas são modelos que explicam a relação entre a causa (variáveis de entrada) e o efeito (variáveis de saída) de um conjunto de dados sem relacioná-los às leis físicas envolvidas no processo. Para isso, utilizam-se de dados observados no sistema analisado ou algum conhecimento prévio do mesmo. Para o desenvolvimento destes modelos, é utilizada a modelagem caixa preta, ou a modelagem caixa cinza. A modelagem caixa preta não necessita de conhecimentos prévios do sistema a ser modelado e a matemática utilizada não tem relação com as leis físicas envolvidas. A modelagem caixa cinza, por sua vez, é utilizada quando se possui algum conhecimento prévio do sistema a ser modelado e considera alguma relação física ou química do fenômeno [24].

Os modelos utilizados na teoria de Identificação de Sistemas podem ser classificados em três categorias: os modelos paramétricos lineares, os modelos paramétricos não linea-res e os modelos não paramétricos. Entre os modelos paramétricos linealinea-res destacam-se os modelos: AutoRegressivo (AR), AutoRegressivo com entradas eXternas (ARX), Au-toRegressivo com Médias móveis e entrAdas eXternas (ARMAX), Erro de Saída (ES) e Box-Jenkins (BJ). Entre os modelos paramétricos não lineares destaca-se os modelos: Não linear AutoRegressivo com entradas eXternas (NARX) e Não linear AutoRegressivo com Médias móveis e entrAdas eXternas (NARMAX). Por fim, entre os modelos não pa-ramétricos, que são modelos no domínio da frequência, destaca-se o modelo de Analise Espectral [17, 24].

2.7.6 Modelos Híbridos

Os modelos híbridos são caracterizados por serem obtidos a partir da união de dois ou mais modelos diferentes. Seu principal diferencial é oferecer as vantagens dos modelos utilizados na sua construção. Na literatura, podem-se destacar os modelos propostos por Kim [15], Zhang [33] e Gomes [13] que são modelos híbridos para predizer o tempo de vida de baterias a partir da união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Carcteristicas V-I com modelos analíticos. Normalmente o modelo para Predizer Runtime e Caracte-rísticas V-I é escolhido, pois fornece com precisão as caracteCaracte-rísticas do circuito dinâmico da bateria. Entretanto o modelo elétrico não considera os efeitos não lineares presente no processo de descarga, então normalmente, os componentes responsáveis pelo estado da carga e o tempo de vida da bateria no modelo elétrico são substituídos por equações de modelos analíticos, como é o caso dos modelos híbridos citados anteriormente.

No modelo híbrido proposto por Kim, o modelo elétrico para Predizer Runtime e Ca-racterísticas V-I é relacionado com o modelo analítico KiBaM. Zhang propôs um modelo

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híbrido baseado na união entre o modelo elétrico para Predizer Runtime e Característi-cas V-I com o modelo analítico de Rakhmatov e Vrudhula. Gomes propôs um modelo híbrido baseado na união do modelo elétrico Runtime e Características V-I com o modelo analítico Lei de Peukurt Estendida. O três modelos obtiveram resultados satisfatórios e são bastante acurados [13]. Os mesmo serão apresentados no próximo Capítulo, pois são objetos de estudo dessa dissertação.

2.8 Resumo do Capítulo

Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica referente as baterias utilizadas em dispositivos móveis, suas propriedades, principais definições e os principais efeitos não lineares presentes em um processo de descarga. Em seguida, são apresentados os diferentes tipos de baterias já desenvolvidos, como também, são abordados as principais categorias de modelos matemáticos de baterias presentes na literatura.

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Capítulo 3

Modelagem Matemática

3.1 Introdução

A utilização da modelagem matemática para a representação de diversos sistemas re-ais, possibilita e facilita a tomadas de decisões, bem como, pode proporcionar um melhor entendimento sobre o sistema estudado e ainda, fornece previsões de situações futuras. No contexto da modelagem matemática do tempo de vida de baterias, além de possibilitar conhecer previamente o desempenho de uma bateria, frente ao processo de descarga, a modelagem matemática possibilita modificar este processo e submeter a bateria a dife-rentes condições de descarga. Dentre as categorias de modelos matemáticos utilizados na predição/estudo do tempo de vida de baterias, existem modelos simples, complexos, de fácil ou difícil implementação computacional, que capturam ou não capturam os princi-pais efeitos não lineares, assim como suas características elétricas (i.e., tensão e corrente). Neste contexto, surge a categoria dos modelos híbridos, sendo uma alternativa viável, pois agregam as vantagens dos modelos matemáticos utilizados na sua concepção. Assim, é possível obter modelos matemáticos sem grande complexidade, que considera em sua modelagem os principais efeitos não lineares presente em um processo de descarga real, como também, captura as características elétricas do mesmo.

Neste sentido, neste capítulo são apresentados os modelos híbridos encontrados na literatura técnica: o modelo proposto por Kim [15] caracterizado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5] com o modelo analítico KiBaM [18]; o modelo proposto por Zhang [33] caracterizado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5] com o modelo analítico de difusão de Rakhma-tov e Vrudhula [22]; e por fim o modelo híbrido proposto por Gomes [13] caracterizado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5] com o modelo analítico Lei de Peukert Estendida [12]. Para um melhor entendimento, inicialmente são apresentados e descritos os modelos originais que compõem os modelos híbridos dessa

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Capítulo 3. Modelagem Matemática 22

quisa. Em seguida são apresentados os modelos híbridos juntamente com o seu conjunto de equações.

Esse capítulo está organizado como segue. Na Seção 3.2 são detalhados os modelos utilizados na concepção dos modelos híbridos, isto é, o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5], e os modelos analíticos: KiBam [18], Rakhmatov e Vrudhula [22], e Lei de Peukert Estendida [12]. Na Seção 3.3 são apresentados os modelos híbridos utilizados neste trabalho. Por fim, na Seção 3.4, é apresentado o resumo do capítulo.

3.2 Modelos Matemáticos

Nesta seção são apresentados os modelos utilizados na concepção dos modelos híbridos abordados neste trabalho. Primeiramente é apresentado o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I, seguido pelos modelos analíticos KiBaM, Rakhmatov e Vrudhula e Lei de Peukert Estendida.

3.2.1 Modelo Elétrico Para Predizer Runtime e Características

V-I

O modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I é um modelo composto por dois circuitos separados, relacionados entre si por uma fonte de tensão e uma fonte de corrente [5], conforme mostrado na Figura 3.1.

Figura 3.1: Ilustração do Modelo Elétrico para Predizer Runtime e Características V-I de uma bateria [5].

Observando a Figura 3.1 pode-se verificar que cada circuito é responsável pela mode-lagem de características importantes da bateria. O primeiro circuito (esquerda) modela a capacidade de armazenamento de energia da bateria e a carga armazenada durante os processos de carga ou descarga. O segundo circuito (direita) modela a resistência interna da bateria e o comportamento transiente para correntes de descarga diferentes.

(39)

Ainda referente a Figura 3.1, no circuito a esquerda o VSOC é a tensão inicial no

ca-pacitor Ccapacity (esse representa a capacidade utilizável da bateria); Ibatt é a fonte de

corrente controlada; Rself −discharge é o resistor que representa a auto-descarga da bateria

quando a mesma é armazenada por um longo período de tempo. No circuito a direita VOC(VSOC) é a fonte de tensão controlada e representa a relação entre a tensão do circuito

aberto (VOC) e o estado da carga (SOC); Rseries é o resistor responsável pela queda de

tensão instantânea da resposta a degraus referentes a tensão da bateria (Vbatt); RtransientS, CtransientS, RtransientL e CtransientL são os resistores e capacitores responsáveis pelas cons-tantes de tempo de curta e longa duração da resposta em degraus da tensão da bateria [5, 11]. A partir desse modelo, o cálculo da tensão pode ser determinado pela tensão do circuito aberto VOC, pela queda de tensão devido a impedância interna (i.e resistência

interna) Zeq, e pela corrente de descarga ibatt [8], resultando na seguinte equação:

Vbatt = VOC − ibatt.Zeq. (3.1)

Como mencionado, o capacitor Ccapacity representa a carga total armazenada na

bate-ria, que pode ser calculada por:

Ccapacity = 3600.Capacity.f1(ciclo).f2(temp) (3.2)

onde: Capacity é a capacidade nominal em Ah, f1e f2são fatores de correção dependentes

do número de ciclos e da temperatura da bateria. Quando se define a tensão inicial VSOC em Ccapacity igual a 1 V ou 0 V, a bateria é inicializada em seu estado totalmente

carregado com SOC 100%, ou totalmente descarregada com SOC 0%. Com isto, a fonte de tensão VOC(VSOC) representa a dependência entre o estado de carga SOC e a tensão de

circuito aberto VOC, ou ainda, VSOC representa a quantidade de carga da bateria (SOC)

quantitativamente [5].

Para a determinação das equações das demais variáveis presentes no modelo elétrico, Chen e Rincón-Mora [5] realizaram um ajuste de curvas, na qual estes componentes são funções do SOC e da corrente de descarga. Observa-se que os parâmetros das funções são aproximadamente constantes quando o valor do SOC é alto (i.e., valores entre 20%-100%) e mudam exponencialmente quando o SOC varia em valores baixos (i.e., valores entre 20%-0%). Assim, tem-se que:

Voc[SOC(t)] = a0e−a1[SOC(t)]+ a2+ a3[SOC(t)] − a4[SOC(t)]2+ a5[SOC(t)]3 (3.3)

Rseries[SOC(t)] = b0e−b1[SOC(t)]+ b2 (3.4)

RtransientS[SOC(t)] = c0e

−c1[SOC(t)]_{+ c}

(40)

Capítulo 3. Modelagem Matemática 24 CtransientS[SOC(t)] = d0e −d1[SOC(t)]_{+ d} 2 (3.6) RtransientL[SOC(t)] = e0e −e1[SOC(t)]_{+ e} 2 (3.7) CtransientL[SOC(t)] = f0e −f1[SOC(t)]_{+ f} 2. (3.8) onde: a0, a1, a2, a3, a4, a5, b0, b1, b2, c0, c1, c2, d0, d1, d2, e0, e1, e2, f0, f1 e f2 são os

parâmetros a serem estimados.

O modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I é considerado um mo-delo preciso para a determinação das características de tensão e corrente, porém esse modelo elétrico não considera em sua modelagem os principais efeitos não lineares pre-sentes no processo de descarga. Desta forma, buscou-se uni-lo a outros modelos que consideram tais efeitos, como os modelos analíticos citados anteriormente (i.e. modelo KiBaM, modelo Rakhmatov e Vrudhula, e modelo Lei de peukert Estendido).

3.2.2 Modelo Analítico Kinetic Battery Model (KiBaM)

O modelo analítico de bateria Kinetic Battery Model (KiBaM) foi desenvolvido a fim de modelar os processos químicos presentes em baterias de chumbo-ácido [15]. Seu desenvolvimento baseia-se na distribuição da carga da bateria em duas fontes, a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada, conforme representado na Figura 3.2, na qual y1 é a carga disponível da bateria, y2 é a carga limitada, h1 e h2 são as alturas das cargas,

respectivamente, c é a fração da carga total que corresponde à carga disponível e 1 − c é a fração da carga total que corresponde à carga limitada.

Figura 3.2: Representação do modelo analítico KiBaM [18].

Durante o processo de descarga, a fonte de carga disponível fornece elétrons direta-mente a corrente i(t), enquanto a fonte de carga limitada fornece elétrons sodireta-mente para a fonte de carga disponível. Assim, o fluxo de elétrons que ocorre entre as fontes de carga

(41)

limitada e disponível equivale a uma taxa k que depende da diferença entre as alturas h1

e h2, onde h1 representa o SOC da bateria. Com isso, durante o processo de descarga,

a carga disponível é reduzida e a diferença entre as alturas das fontes de carga aumenta. Ao ocorrer um momento de relaxação, isto é, quando a corrente de descarga é diminuída significativamente ou anulada, um fluxo de carga flui da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível. Assim, ao iniciar novamente o processo de descarga haverá uma quantidade maior de energia na fonte de carga disponível, o que caracteriza o efeito não linear denominado efeito de recuperação. O efeito da taxa de capacidade também é considerado, pois para correntes de descargas muito altas, a energia da carga disponível é drenada rapidamente, não havendo tempo para que elétrons da carga limitada fluam para a fonte de carga disponível. Desta forma, uma quantidade de carga na fonte de carga limitada não será utilizada totalmente, gerando redução efetiva na capacidade da bateria.

As alturas das fontes e k0 são dados pelas seguintes equações:

h1 = y1(t) c (3.9) h2 = y2(t) 1 − c (3.10) e k0 = k c(1 − c). (3.11)

A variação entre as cargas y1(t) e y2(t) é dado pelo seguinte balaço de massa:

dy1(t)

dt = −i(t) + k(h2− h1) dy2(t)

dt = −k(h2− h1)

. (3.12)

Substituindo as equações (3.9), (3.10) e (3.11) em (3.12) encontra-se o seguinte sistema de Equações Diferencias Ordinárias (EDOs) dado por:

dy1(t) dt = −i(t) + k 0_cy 2(t) − k0(1 − c)y1(t) dy2(t) dt = −k 0_cy 2(t) + k0(1 − c)y1(t) . (3.13)

Para a resolução do sistema de EDOs em (3.13), considerando correntes de descarga constantes, (i.e. i(t) = I) tem-se as seguintes condições iniciais:

y1(0) = cC (3.14)

e

(42)

onde: y1(0) e y2(0) são as quantidades de carga disponível e limitada respectivamente em

t = 0 (i.e., antes do processo de descarga ser iniciado) e C é a capacidade total da bateria. Na sequência, utilizando os conceitos de Transformada de Laplace para a resolução das equações do sistema (3.13), obtém-se:

y1(s)[s + k0(1 − c)] − k0cy2(s) = y1(0) − I_s

y2(s)[s + k0c] − k0(1 − c)y1(s) = y2(0)

. (3.16)

Dando continuidade à resolução, deve-se eliminar ou a variável y1(s), ou a variável

y2(s). Optou-se por eliminar y1(s) e para isto, inicialmente, multiplicou-se a segunda

equação do sistema (3.16) por

s

k0_{(1 − c)} + 1

. (3.17)

Como resultado, após a realização de manipulações matemáticas, obtém-se as seguintes equações: y1(s)[s + k0(1 − c)] − k0cy2(s) = y1(0) − I_s y2(s)[ s 2 k0_(1−c)+ s + _(1−c)cs + k0c] − y1(s)[s + k0(1 − c)] = _ky02_(1−c)(0)s + y2(0) . (3.18)

A adição das equações do sistema (3.18) fornece a equação (3.19) que possui somente a variável y2(s)

y2(s) =

y2(0)s2+ y0k0s(1 − c) − Ik0(1 − c)

s2_{(1 + k)} (3.19)

onde: y0 é a soma entre y1(0) e y2(0).

A equação (3.19) é resolvida a partir da aplicação de frações parciais, obtendo-se a seguinte equação no domínio de Laplace:

y2(s) = −I(1 − c) s2 + (1 − c)(y0k0 + I) k0_s + y2(0) s + k0 − (1 − c)(y0k0+ I) k0_{(1 + k}0₎ . (3.20)

Para retornar ao domínio do tempo, aplica-se na equação (3.20) os conceitos de Trans-formada de Laplace Inversa, na qual encontra-se a função y2(t) que representa a fonte de

carga limitada: y2(t) = y2(0)e−k 0_t + y0(1 − c)(1 − ek 0_t ) −I(1 − c)[k 0_{t − 1 + e}−k0_t ] k0 . (3.21)

Para determinar a função y1(t) que representa a fonte de carga disponível, deve-se

(43)

Capítulo 3. Modelagem Matemática 27 matemáticas obtém-se: y1(t) = y1(0)e−k 0_t +(y0k 0_{c − I)(1 − e}−k0_t ) k0 − Ic (k0t − 1 + e−k0t₎ k0 . (3.22)

Desta forma, os resultados da resolução das equações do sistema (3.13) são: y1(t) = y1(0)e−k 0_t +(y0k0c−I)(1−e−k0t) k0 − Ic (k0t−1+e−k0t) k0 y2(t) = y2(0)e−k 0_t + y0(1 − c)(1 − ek 0_t ) − I(1−c)[k0t−1+e_k0 −k0t]. (3.23)

Por fim, a diferença entre as alturas das duas fontes δ(t) é descrita por:

δ(t) = h2− h1 =

y2(t)

1 − c − y1(t)

c . (3.24)

e a quantidade de carga indisponível u(t) será expressa por:

u(t) = (1 − c)δ(t). (3.25)

É válido salientar que a bateria será considerada descarregada quando y1(t) for igual

a zero.

3.2.3 Modelo Analítico de Rakhmatov e Vrudhula

O modelo analítico de difusão de Rakhmatov e Vrudhula [22], descreve a evolução da concentração de espécies eletroativas no eletrólito. O processo de difusão unidimensional destas espécies é descrito pelas Leis de Fick [21], dadas pelo seguinte sistema de Equações Diferencias Parciais (EDPs):

_{−J(x, t) = D}∂C(x,t) ∂x ∂C(x,t) ∂t = D ∂2_C(x,t) ∂x2 , (3.26)

onde: J (x, t) é o fluxo das espécies eletroativas, as variáveis independentes t e x que são respectivamente o tempo e uma posição no eletrodo com t ∈ [0, L] e x ∈ [0, w], D é a constante de difusão, e C(x, t) é a concentração de espécies eletroativas. Para uma bateria completamente carregada a concentração de espécies eletroativas é uniformemente distribuída em todo eletrólito proporcionando a seguinte condição inicial:

C(x, 0) = C∗ (3.27)

onde: C∗ é a concentração inicial de espécies eletroativas. O eletrólito com tamanho w fornece as condições de fronteira, sendo que quando x = 0 de acordo com a Lei de Faraday,

(44)

o fluxo das espécies eletroativas J (0, t) no eletrodo é proporcional a corrente i(t), ou seja:

− J(0, t)vAF = i(t) (3.28)

onde: A é a área da superfície do eletrodo, F é a constante de Faraday e v é o número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica na superfície do eletrodo. Assim:

D∂C(x, t) ∂x |x=0 =

i(t)

vAF. (3.29)

Além disto, em x = w o fluxo é zero, desta forma:

D∂C(x, t)

∂x |x=w = 0. (3.30)

Para realizar a resolução do modelo, inicialmente aplica-se o conceito de Transformada de Laplace na segunda EDP do sistema (3.26), na qual obtém-se:

sC(x, s) − C(x, 0) = D∂

2_{C(x, s)}

∂x2 . (3.31)

Em seguida, substitui-se na equação (3.31) a condição inicial e realiza-se algumas mani-pulações matemáticas, onde encontra-se:

C00− s

DC = − C∗

D (3.32)

que é uma EDO de segunda ordem não homogênea, que pode ser resolvida utilizando o método de coeficientes a determinar, cuja solução geral é:

C(x, s) = k1e √_s Dx_{+ k} 2e −√s Dx₊C ∗ s . (3.33)

Visando encontrar a solução particular da equação (3.33), primeiramente, deve-se derivá-la em rederivá-lação a x, encontrando: ∂C(x, s) ∂x = k1 r s De √ s Dx− k 2 r s De −√s Dx. (3.34)

Sendo necessário determinar k1 e k2, deve-se aplicar os conceitos de Transformada de

Laplace nas condições de fronteira do modelo, onde obtém-se: ∂C(c, s) ∂x = i(s) vF AD (3.35) ∂C(w, s) ∂x = 0 (3.36)