A equação encontrada determina o parâmetro c dependente da condição inicial da fonte de carga disponível y1(0), e da capacidade inicial total máxima y0. Para a determinação
destes termos, são utilizados os dados da Tabela 4.5. A partir deles é realizada uma representação gráfica, onde as coordenadas são dadas pela corrente em Àmpere e pela capacidade em Àmpere por segundo, conforme apresentado na Figura 4.5. A partir desta representação gráfica e seguindo a metodologia adotada por [15] é realizada uma regressão estatística dos dados, objetivando descrever o comportamento da capacidade em função da corrente aplicada. Desta forma, é possível através da análise da curva obtida compreender valores que ocorrem em determinados perfis de descarga, visto que, dependendo do perfil utilizado tem-se a presença dos efeitos não lineares influenciando na determinação da quantidade de carga, nas fontes de carga disponível e limitada. A regressão utilizada é a de potência, pois foi a que melhor representou o comportamento dos dados, como pode
Capítulo 4. Estimação dos Parâmetros dos Modelos Híbridos 56
Figura 4.5: Corrente x Capacidade. ser observado na Figura 4.6.
Figura 4.6: Corrente x Capacidade
Para a curva apresentada na Figura 4.6 tem-se a seguinte equação de regressão:
y = 2675, 7x−0,018. (4.22)
A partir da análise do gráfico e utilizando a equação (4.22) são obtidos os valores de y1(0) e y0. O valor de y0 é obtido a partir da determinação da capacidade máxima
Capítulo 4. Estimação dos Parâmetros dos Modelos Híbridos 57
Visto que não é possível estimar a quantidade de carga total presente antes do processo de descarga, y0 é determinado observando o valor da capacidade disponibilizada ao sistema
quando aplica-se correntes de descarga muito pequenas. Desta maneira, o efeito não linear de recuperação ocorre inúmeras vezes, permitindo que toda a carga da fonte de carga limitada flua para a fonte de carga disponível, assim a bateria fornecerá ao sistema toda a sua carga. Observando a Figura (4.6), y0 é o maior valor obtido para a capacidade,
sendo aproximadamente 2825 As.
O valor de y1(0), que é a quantidade inicial de carga na fonte de carga disponível, é
determinado observando a quantidade de carga fornecida ao sistema somente pela fonte y1. Não sendo possível determinar a quantidade de carga na fonte de carga disponível
antes do processo de descarga ser iniciado, esta quantidade é observada quando aplica-se correntes de descarga muito altas, visto que nestas condições, não ocorre a passagem de carga da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível, sendo utilizada somente a carga da fonte y1. Desta forma, utilizando a equação (4.22) e considerando uma corrente
de descarga alta, neste caso de 5A, obtém-se y1(0) = 2599, 30 As. Conhecendo os valores
de y1(0) e y0 e utilizando a equação (4.21) o parâmetro c tem o valor estimado de 0, 9201.
O valor do parâmetro k0, que relaciona a taxa do fluxo de elétrons da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível, é obtido a partir da equação (3.77) da capacidade indisponível, proveniente do modelo híbrido de Kim. Primeiramente, analisando o gráfico apresentado na Figura 4.6, percebe-se que a capacidade diminui a medida que a corrente aplicada aumenta. Neste sentido, pode-se afirmar que o valor da capacidade indisponível também varia, devido a ação dos efeitos não lineares que podem, dependendo da corrente de descarga aplicada, ocorrer com mais ou menos frequência. Assim conclui-se que a Cunavailable(t) depende da capacidade disponível para um determinado tempo de vida, de
uma determinada corrente de descarga, e da capacidade máxima, como mostra a equação a seguir:
Cunavailable(t) = y0− Cavailable(t) (4.23)
Utilizando a equação (4.23) são calculados os valores das capacidades indisponíveis para todos os perfis de descarga utilizados na estimação de parâmetros, além disso, são calculados os valores das capacidades disponíveis, os mesmos são apresentados na Tabela 4.7.
Na sequência é utilizada a equação (3.77) para o cálculo do parâmetro k0. Logo, substituindo os valores conhecidos, e considerando Cunavailable(t0) = 0 e t0 = 0 encontra-
se diferentes equações transcendentais formadas por uma função exponencial que não pode ser reduzida na forma polinomial. Como essas expressões dependem somente do parâmetro k0 o mesmo representa a raiz destas equações, sendo necessária a aplicação de um método iterativo para determinar o seu valor aproximado.
Capítulo 4. Estimação dos Parâmetros dos Modelos Híbridos 58
Tabela 4.7: Capacidades disponíveis e indisponíveis para os perfis utilizados na estimação de parâmetros.
Perfil (A) Tempo de vida (s) Cavailable(As) Cunavailable(As)
0,05 56421,6 2821,08 3,92
0,2 13678,8 2735,76 89,24
0,375 7386,6 2769,98 55,02
0,7 3810,6 2667,42 157,58
Dos métodos iterativos presentes na literatura, optou-se por aplicar o método de Newton-Raphson (NR) por apresentar rápida convergência [26], e por já ter sido utili- zado no cálculo de k0 em outros trabalhos [11]. O método NR realiza a estimativa da raiz da função a partir da reta tangente à função em um ponto de partida (chute inicial) [26]. No local em que a reta tangente interceptar o eixo das abscissas será o ponto cor- respondente a estimativa da raiz da função. Para o método NR funcionar corretamente, a equação em que deseja-se obter a aproximação da raiz deve ser uma função contínua no intervalo [a, b] com f0(x) e f00(x) também contínuas, e λ a única raiz no intervalo dado [11].
Para a realização da determinação da raiz da função dada, parte-se de um ponto de partida x0onde determina-se a equação da reta tangente t1no ponto (x0, f (x0)), utilizando
a equação:
y − f (x0) = f0(x0)(x − x0) (4.24)
A reta tangente representada pela equação (4.24) intercepta o eixo das abscissas em um ponto (x1, 0), desta forma:
0 − f (x0) = f0(x0)(x1− x0) (4.25)
que permite isolar x1 obtendo:
x1 = x0−
f (x0)
f0(x 0)
(4.26) Agora, usa-se x1 para encontrar a reta tangente t2 no ponto (x1, f (x1)):
y − f (x1) = f0(x1)(x − x1). (4.27)
Analogamente ao caso anterior, a reta representada pela equação (4.27) intercepta o eixo das abscissas no ponto (x2, 0) então:
Capítulo 4. Estimação dos Parâmetros dos Modelos Híbridos 59
onde é possível isolar x2, obtendo:
x2 = x1−
f (x1)
f0(x 1)
(4.29)
Assim, o processo repete-se, encontrando-se uma sequência de aproximações x0, x1, x2, ...xn
até a seguinte condição ser verificada:
|xn− xn−1| < (4.30)
onde: é o valor do erro determinado. Generalizando, se a n-ésima aproximação é xn a
aproximação seguinte será dada por:
xn+1= xn−
f (xn)
f0(x n)