Um estudo sobre o movimento de dois corpos celestes pelas modelagens newtoniana e lagrangiana

Um estudo sobre o movimento de dois corpos

celestes pelas modelagens newtoniana e

lagrangiana

CAMPINAS 2016

Instituto de Matemática, Estatística

e Computação Científica

Michael Kennedy Valente Gondim

Um estudo sobre o movimento de dois corpos

celestes pelas modelagens newtoniana e

lagrangiana

Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada e Computa-cional.

Orientador: Prof. Dr. Simão Nicolau Stelmastchuk

Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pelo aluno Michael Ken-nedy Valente Gondim, e orientada pelo Prof. Dr. Simão Nicolau Stelmastchuk.

Assinatura do Orientador

Campinas – SP 2016

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Gondim, Michael Kennedy Valente,

G586e GonUm estudo sobre o movimento de dois corpos celestes pelas modelagens newtoniana e lagrangiana / Michael Kennedy Valente Gondim. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.

GonOrientador: Simão Nicolau Stelmastchuk.

GonDissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Gon1. Orbitas. 2. Lagrange, Equações de. 3. Cálculo das variações. 4. Problema de dois corpos. I. Stelmastchuk, Simão Nicolau,1977-. II.

Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: A study of the movement of two celestial bodies by moddeling newtonian and lagrangian

Palavras-chave em inglês: Orbits

Euler-Lagrange equations Calculus of variations Two-body problem

Área de concentração: Matemática Aplicada e Computacional Titulação: Mestre em Matemática Aplicada e Computacional Banca examinadora:

Simão Nicolau Stelmastchuk [Orientador] Sandra Augusta Santos

Jair da Silva

Data de defesa: 04-10-2016

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada e Computacional

Prof(a). Dr(a). SIMÃO NICOLAU STELMASTCHUK

Prof(a). Dr(a). SANDRA AUGUSTA SANTOS

Prof(a). Dr(a). JAIR DA SILVA

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

A Deus, por ter me sustentado em todos os momentos de minha vida, me ajudando e me guardando. A Ele eternos agradecimentos.

Ao Prof. Dr. Simão Nicolau Stelmastchuk, pela oportunidade de trabalhar ao seu lado e por incentivar a desenvolver este trabalho, desempenhando seu papel com louvor.

Ao Prof. Dr. Cristiano Torezzan por ter me alertado sobre a inscrição no mestrado.

Ao meu amigo e colega de mestrado, João Ferreira, pela contribuição no primeiro capítulo. Ao meu aluno e amigo, Ricardo Laranjeira, pela contribuição com o resumo em inglês.

Aos meus amigos de graduação David e Rosi. Aos professores Isaac Dayan e Sérgio Brazil pela valiosas aulas de Cálculo e Álgebra.

Em especial, meus agradecimentos ao Prof. Antonio Carlos Jr pela orientação desde o primeiro semestre de graduação, ao qual tenho um carinho como meu pai, muito obrigado sr Junior. Agradeço à minha mãe, Marlene Valente, pelo incentivo e apoio durante minha graduação e mestrado.

À minha esposa, Gleizi Mara, pelo apoio e paciencia durante o tempo que dediquei-me exclusi-vamente a escrita deste trabalho.

Neste trabalho desenvolvemos a Mecânica Newtoniana para o estudo de dois corpos, e com isto, chegamos as equações de movimento de planeta em torno do Sol a partir da Gravitação Universal e Segunda Lei de Newton. Então, aplicamos esse conhecimento para demostrarmos as Leis de Kepler. Em seguida, estudamos a Mecânica Lagrangiana a partir do Cálculo Variacional, para obtermos as Equações de Euler-Lagrange. Mostramos assim a relação entre as Equações de Euler-Lagrange com a Segunda Lei de Newton e, por fim, aplicamos as equações na construção de um problema envolvendo os planetas do sistema solar e o Sol.

Palavras-chave: Leis de Kepler; Equações de Euler-Lagrange; Cálculo Variacional;

With this paper we have developed Newton Mechanics with the purpose of studying two bodies, and with that, we achieved the motion equations of a planet around the Sun from Universal Gravitation and from Newton’s Second Law. Then, we aplied that knowledge to prove Kepler’s Laws. After, we studied Lagrange’s Mechanics from Variational Calculus, to obtain Euler-Lagrange’s Equations. With that we’ve shown the relation between Euler-Euler-Lagrange’s Laws with Newton’s Second Law. Finally, we applied the equations into a question involving the Sun and it’s surrounding planets.

Keywords: Kepler Laws; Euler-Lagrange equations; Variational Calculus; Two bodies

1.1 Primeira e Segunda Lei de Kepler. . . 15

1.2 Órbita do planeta . . . 17

1.3 Coordenadas Polares . . . 20

1.4 Órbita do planeta no plano. . . 26

1.5 Relação entre tempo e área na órbita planetária. . . 27

1.6 Elementos da elipse. . . 28

1.7 Satélite em órbita circular. . . 29

2.1 Menor distância entre dois pontos. . . 39

2.2 Duas partículas presas a uma haste rígida. . . 43

2.3 Corpo em queda livre. . . 50

2.4 Partícula deslizando em um corpo inclinado. . . 51

3.1 Órbita do satélite. . . 59

Dedicatória 5 Agradecimentos 6 Resumo 7 Abstract 8 Lista de Ilustrações 9 Sumário 11 Introdução 12

1 Movimento Planetário - Modelagem newtoniana 14

1.1 Leis de Newton . . . 15 1.2 Modelando o movimento . . . 17 1.2.1 Órbita do planeta . . . 17 1.2.2 Momento Angular . . . 18 1.2.3 Coordenadas polares . . . 20 1.2.4 Velocidade areolar . . . 20

1.3 Demonstração das Leis de Kepler . . . 22

1.4 Aplicação . . . 28

2 Equações de Euler-Lagrange 30 2.1 Cálculo Variacional . . . 30

2.1.1 Exemplos Clássicos de Problemas Variacionais . . . 38

2.2 Sistemas Mecânicos . . . 42

2.2.1 Vínculos e Coordenadas Generalizadas . . . 43

2.3 Equação de Euler-Lagrange segundo o Princípio de Hamilton . . . 45

2.3.1 Lagrangianas equivalentes . . . 46

2.3.2 Vínculos não-holônomos . . . 47

2.4 Modelagem Lagrangiana . . . 48

2.4.1 Remodelando o movimento de dois corpos celestes . . . 52

3 Aplicação 54 3.1 Coordenadas do satélite e dos planetas em relação ao Sol . . . 54

3.2 Lagrangiana . . . 55 10

Referências Bibliográficas 61

O estudo dos movimentos planetários é algo fascinante e motivou grandemente o avanço tecnológico. A partir do século XVII, o trabalho de Sir Isaac Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, possibilitou aos cientistas, mesmo que teoricamente, a ideia de exploração do espaço. Desde então, grandes nomes da história da Matemática/Física estudaram o com-portamento das órbitas planetárias a fim de prever os movimentos e entender o funcionamento do Universo. Esse é o famoso problema dos 𝑛 corpos, que até hoje está sem solução. Neste trabalho focamos no problema de dois corpos, que é de simples resolução. Indicamos [16] para uma leitura detalhada do estudo de três corpos.

No Capítulo 1, apresentamos a Mecânica Newtoniana para o movimento de dois corpos. Na seção 1.1, enunciamos as leis de movimento e da gravitação universal de Newton, em seguida, na seção 1.2, modelamos a órbita de um planeta arbitrário em torno do Sol e mostramos que ela é plana. Então, usamos os resultados obtidos para demonstrarmos na seção 1.3 a validade das leis de Kepler e, por fim, na seção 1.4 aplicamos as leis de Kepler para obtermos a altura de um satélite que fica em órbita da Terra sobre o “mesmo” ponto.

No Capítulo 2, usamos o cálculo variacional para construirmos a Mecânica Llagrangiana. Na seção 2.1 definimos um funcional, mínimos global e local, a variação de Gâteaux e a convexidade de funcionais. Demonstramos os lemas 2.1.7 e 2.1.8 que relacionam a convexidade do funcional 𝐼 com a variação de Gâteaux e com um mínimo, respectivamente. Ainda nessa seção, demonstramos o Lema Fundamental do Cálculo das Variações, que nos dá suporte à demonstração do Teorema 2.1.12. Assim, obtemos as equações de Euler-Lagrange. Fazemos dois exemplos clássicos que deram origem ao estudo do Cálculo das Variações, a distância entre dois pontos e o problema da Braquistócrona. Na seção 2.2, conversamos sobre sistemas mecânicos, definimos vínculo e mostramos a existência das coordenadas generalizadas. Na seção 2.3, mostramos que as equações de Euler-Lagrange podem ser obtidas a partir do Princípio de Hamilton, trabalhamos a restrição lagrangiana no caso de vínculos não holônomos, inserindo os multiplicadores de Lagrange (Teorema 2.3.4). Na seção 2.4 mostramos, de forma simplificada, que no caso de movimento de corpos em baixa velocidade a lagrangiana do sistema é dada pela diferença entre energia cinética e energia potencial,

𝐿= 𝑇 − 𝑉.

E, finalizamos mostrando que através da Mecânica Lagrangiana podemos obter as mesmas equações de movimento para a órbita de um planeta.

No Capítulo 3, aplicamos as equações de Euler-Lagrange num problema que envolve a órbita de um satélite influenciada pela força gravitacional do Sol e dos nove planetas do sistema solar. Para realização dos cálculos, utilizamos o software Mathematica 10.4, que realizou não somente as contas, como também construiu os gráficos 3.1 e 3.2. Colocamos os códigos que usamos no

Mathematica e ainda, no Apêndice temos os códigos de forma que o leitor precisará somente copiar e colar no software para obter os mesmos resultados.

Movimento Planetário - Modelagem

newtoniana

Desde a antiguidade o homem é fascinado pelo desejo de compreender os mistérios do Universo e como os planetas se comportam. As leis que foram publicadas por Kepler, na obra intitulada Astronomia Nova, em 1609, constituem um marco na história, pois descrevem e explicam o comportamento dos corpos celestes. Porém, as demonstrações de tais leis só foram realizada, mais tarde, por Newton (1647-1727) com o uso das suas leis do movimento e da gravitação universal, permitindo compreendê-las e calcular as forças de atração que existem entre os planetas, o Sol e os demais astros.

Para modelarmos os movimentos planetários iremos fazer uso das leis de Kepler, que neste capítulo serão demonstradas com o uso das Leis de Newton. Para auxiliar o leitor, no que segue, enunciaremos tais leis, conforme [14].

As três leis que Kepler enunciou em seus trabalhos são conhecidas como: lei das órbitas, lei das áreas e lei dos períodos, cujos enunciados, respectivamente são:

Primeira lei. As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses, com o Sol num

dos focos.

Segunda lei O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais. Terceira lei. A razão entre o quadrado do período de um planeta e o cubo do semieixo maior

de sua órbita é a mesma para todos os planetas.

As representações geométricas da Primeira e Segunda Lei se encontram na Figura 1.1. Nosso objetivo é demonstrar as leis de Kepler e, então, modelarmos os movimentos planetá-rios. Após as demonstrações faremos alguns comentários sobre cada uma das leis quanto aos significados geométricos e físicos. Passemos a nos preocupar com a construção simplificada da mecânica newtoniana que nos auxiliará no desenvolvimento desse texto.

(a) Lei das órbitas. Área 2 Área 1 t1 t2 t3 t4 SOL

(b) Lei das áreas. Figura 1.1: Primeira e Segunda Lei de Kepler.

1.1

Leis de Newton

O princípio da Modelagem Newtoniana é fundamentado nas leis do movimento de Newton, mais precisamente na segunda lei, com a qual, o leitor já deve está familiarizado, caso contrário indicamos [5].

Mais à frente enunciaremos as leis de Newton, por hora consideremos o movimento de uma partícula no espaço R3_{. Denotaremos sua posição por}

𝑋(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), (1.1.1)

que será o vetor posição da partícula no instante 𝑡. O vetor velocidade é a derivada de (1.1.1), ou seja,

˙

𝑋(𝑡) = ( ˙𝑥(𝑡), ˙𝑦(𝑡), ˙𝑧(𝑡)). (1.1.2) Definimos, ainda, o vetor aceleração como sendo a derivada de (1.1.2), logo,

¨

𝑋(𝑡) = (¨𝑥(𝑡), ¨𝑦(𝑡), ¨𝑧(𝑡)). (1.1.3) Faremos o uso de um ou dois pontos para designarmos as derivadas primeiras e segunda com relação ao tempo, que é uma notação comumente adotada em textos na área da física.

Vamos então enunciar as leis de Newton:

Primeira lei. Se nenhuma força atua sobre o corpo, sua velocidade não pode mudar, ou

seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração. Em termos matemáticos, isso é equivalente à

⃗

𝐹res = 0,

onde ⃗𝐹res é chamada força1 resultante2 e 0 é o vetor nulo.

1_{Força é uma grandeza vetorial, e como tal, possui intensidade, direção e sentido.} 2_{Força resultante é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo.}

Também conhecida por lei da inércia ou lei de Galileo, nos diz que: se uma partícula está livre, então, ou ela está em repouso ou sua velocidade é constante, o que resulta num movimento retilíneo. É a partir dela que temos os referenciais inerciais, que sempre devemos adotar para a validade das leis de Newton e, consequentemente, toda mecânica newtoniana.

Segunda Lei. A força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa do

corpo pela sua aceleração. Em termos matemáticos,

⃗

𝐹res = 𝑚⃗𝑎,

onde 𝑚 é a massa do corpo e ⃗𝑎 é a aceleração. Isto nos leva a conectar a aceleração da partícula com a força que produz o movimento:

⃗

𝐹res= 𝑚 ¨𝑋, (1.1.4)

no qual ⃗𝐹res e ¨𝑋 são calculados no mesmo ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧). Podemos apresentar essa lei de uma forma mais geral, onde a massa do corpo também é variável, assim

d𝑝 d𝑡 =

d

d𝑡(𝑚 ˙𝑋) = 𝐹,

essa expressão é conhecida por momento linear ou quantidade de movimento. Nesta forma, a 2ª lei é muito útil no estudo de foguetes, pois por consequência da queima de combustível a massa do foguete decresce com o tempo.

A segunda lei, também conhecida como lei fundamental da dinâmica, nos mostra como calcular a força, mas não nos diz a qual o tipo de interação3 a partícula está sujeita. Tal informação pode ser buscada na natureza, ou seja, na origem do problema a ser estudado. Devemos tomar o cuidado para não concluirmos que a primeira lei é uma consequência da segunda, pois sem a primeira não teríamos como definir um referencial inercial.

Terceira lei. Quando dois corpos interagem, as forças que cada corpo exerce sobre o outro

são sempre iguais em modulo e têm sentidos opostos. Consequentemente, temos

⃗

𝐹𝑖𝑗 = − ⃗𝐹𝑗𝑖,

onde 𝑖 e 𝑗 são corpos distintos e ⃗𝐹𝑖𝑗 é a força do corpo 𝑖 sobre o corpo 𝑗 (análogo para ⃗𝐹𝑗𝑖).

A terceira lei é conhecida como lei da ação e reação, pois trata justamente da interação entre duas partículas, onde uma faz a ação, enquanto a outra sofre a ação (reação). Importante ressaltar que se o referencial não for inercial, então a terceira lei não é válida por conta das forças fictícias, também chamadas de forças inerciais. Tais forças só existem em certos referenciais, um exemplo é o caso da força que os passageiros sofrem quando um carro faz uma freada brusca ou mesmo quando faz uma curva fechada, ao qual somente os passageiros do carro sentem, as pessoas que estão fora, mesmo que perto do carro, não sentem essa força.

Uma outra lei bastante importante que faremos uso, será a lei da gravitação universal, também devido a Newton, que nos diz:

3_{Existem essencialmente quatro tipos de interações na natureza: gravitacional, eletromagnética, forte e fraca,}

Gravitação Universal. Toda partícula do universo atrai todas as outras partículas com

uma força gravitacional cujo módulo é dado por 𝐹 = 𝐺𝑚1𝑚2

𝑟2 ,

em que 𝑚1 e 𝑚2 são as massas das partículas, 𝑟 é a distância entre elas e 𝐺 é uma constante, conhecida como constante gravitacional, cujo valor é

𝐺= 6.67 × 10−11N · m2/kg2 = 6.67 × 10−11m3/kg · s2.

1.2

Modelando o movimento

1.2.1

Órbita do planeta

Vamos agora ao nosso problema. Suponhamos um sistema tridimensional no qual o Sol esteja no centro. Consideremos ainda, que exista um planeta 𝒫 de massa 𝑚 cuja órbita ao redor do Sol é dada por 𝑋(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)). A fim de usarmos as derivadas de primeira e segunda ordem de 𝑋(𝑡), assumiremos que tal curva seja de classe 𝐶2_{. Então, os vetores velocidade e} aceleração, são respectivamente, indicados em (1.1.2) e (1.1.3).

Sol

Raio vetor

Planeta órbita

Figura 1.2: Órbita do planeta

Como o planeta está em movimento, temos pela segunda lei de Newton que ⃗

𝐹 = 𝑚 ¨𝑋, (1.2.1)

lembrando que a interpretação física da segunda derivada é a aceleração no instante 𝑡 e 𝑚 é a massa do planeta 𝒫. Voltemos a lei da gravitação universal, mas agora a distância entre o

planeta e o Sol é a norma euclidiana do vetor posição 𝑋(𝑡), ou seja, ⃗ 𝐹 = −𝐺𝑚𝑀 ‖𝑋‖2 𝑋 ‖𝑋‖,

na qual, 𝑀 é a massa do Sol e o sinal negativo é porque a força gravitacional é de atração. Chamando 𝑟 = ‖𝑋‖, segue que

⃗

𝐹 = −𝐺𝑚𝑀

𝑟3 𝑋. (1.2.2)

Das equações (1.2.1) e (1.2.2), concluímos que

𝑚 ¨𝑋 = −𝐺𝑚𝑀 𝑟3 𝑋, ou ainda, ¨ 𝑋 = −𝐺𝑀 𝑟3 𝑋. (1.2.3)

Temos então uma equação diferencial que modela o movimento do planeta. Para simplificar, iremos mostrar que a órbita do planeta está contida num plano, o que facilitará e muito nossos cálculos, pois passaremos a analisar o movimento e as forças no plano 𝑥𝑂𝑦. Antes disso, duas observações importantes serão levadas em consideração, as quais podem ser encontradas em [2].

Observação 1.2.1. Suporemos que o Sol esteja fixo.

De forma bem rigorosa, tanto o planeta em estudo, quanto o Sol, estão em movimento, o que nos leva a um problema mais complexo que tem por nome Problema de 𝑛 Corpos.

Observação 1.2.2. Desprezaremos as forças gravitacionais dos outros planetas sobre o planeta em estudo.

Como a força gravitacional do Sol é muito grande em comparação à dos outros planetas, não há prejuízo em desconsiderarmos a existência dos outros planetas quando se estuda a maior parte dos planetas.

Vamos agora verificar alguns resultados importantes para o nosso modelo, de forma que ele passe a ser um modelo bidimensional.

1.2.2

Momento Angular

O momento angular é uma grandeza física bem importante quando estamos considerando rotações, mas sua definição é abstrata, pois o momento angular é ortogonal aos vetores posição (1.1.1) e a velocidade (1.1.2). Em [17] encontramos a seguinte definição para o momento angular.

Definição 1.2.3. O momento angular 𝐿, associado ao planeta 𝒫 é dado pela curva

𝐿= 𝑋 × ˙𝑋.

Lema 1.2.4. Se o momento angular é constante, então a órbita é plana.

Demonstração. Consideremos 𝑋0 e ˙𝑋0a posição e velocidade iniciais do planeta, respectivamente. Então 𝐿0 = 𝑋0× ˙𝑋0 é o momento angular inicial. Num instante 𝑡 qualquer, temos, pela Definição (1.2.3), que 𝐿 é perpendicular aos vetores posição e velocidade. Por hipótese, temos que o momento angular é constante, ou seja, 𝐿 = 𝐿0. Logo, 𝑋 e ˙𝑋 permanecem no mesmo plano que

contém 𝑋0 e ˙𝑋0. Portanto, a órbita é plana. 

Proposição 1.2.5. A órbita do planeta 𝒫 é uma curva plana.

Demonstração. Para isso basta mostrarmos que o momento angular é constante. De fato, mostraremos que a derivada do momento angular é nula. Calculando a derivada de 𝐿 temos

˙𝐿 = ˙𝑋 × ˙𝑋 + 𝑋 × ¨𝑋. Já que, ˙𝑋 × ˙𝑋 = 0 temos

˙𝐿 = 𝑋 × ¨𝑋. Usamos a Equação (1.2.3) para obter

˙𝐿 = 𝑋 ×(︂ −𝑀 𝐺 𝑟3 )︂ 𝑋 = (︂ 1 − 𝑀 𝐺 𝑟3 )︂ (𝑋 × 𝑋) = 0. Daí, temos ˙𝐿 = 0 ⇒ 𝐿(𝑡) ≡ constante. (1.2.4)

Supondo 𝐿 = 0 vemos que d d𝑡 (︂_𝑋 𝑟 )︂ = 𝑟 ˙𝑋 − ˙𝑟𝑋 𝑟2 = 𝑟 ˙𝑋 − ˙𝑟𝑋 𝑟2 · 𝑟 𝑟 = (𝑋 · 𝑋) ˙𝑋 −(𝑋 · ˙𝑋)𝑋 𝑟3 = (𝑋 × ˙𝑋) × 𝑋 𝑟3 = 𝐿 × 𝑋 𝑟3 = 0.

Assim obtemos 𝑋(𝑡) = 𝑐𝑡𝑒 · 𝑟(𝑡) (integrando) e, portanto, a órbita de 𝒫 seria uma reta, o que neste caso, não é interessante. Suporemos então, que 𝐿(𝑡) = ⃗𝑐 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3) , (0, 0, 0), o que nos

diz que a órbita de 𝒫 é uma curva plana. 

Isto já era de se esperar, devido à conservação do momento angular, cujo teorema enunciare-mos a seguir:

Teorema 1.2.6 (Teorema da Conservação do Momento Angular). O momento angular total de um sistema de partículas se conserva se o torque total externo é nulo.

1.2.3

Coordenadas polares

Na seção anterior, mostramos que 𝑋 é uma órbita plana. Assim, sem perda de generalidade, iremos considerar que o plano 𝑧 = 0 é o plano que contém a órbita de 𝒫 e, portanto, nossa curva passa a ser da forma

𝑋(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 0).

Além disso, o momento angular será apenas 𝐿(𝑡) = (0, 0, 𝑥(𝑡) ˙𝑦 − ˙𝑥𝑦(𝑡)), que devido à equação (1.2.4), é uma constante, a qual denominaremos por 𝜅. Consequentemente,

𝑥(𝑡) ˙𝑦 − ˙𝑥𝑦(𝑡) = 𝜅 (constante). (1.2.5)

r cos θ r sen θ

Figura 1.3: Coordenadas Polares

De agora em diante iremos fazer o uso das coordenadas polares para representar a órbita de 𝒫, isto é,

𝑟(𝑡) = ‖𝑋(𝑡)‖, 𝑥(𝑡) = 𝑟(𝑡) cos 𝜃(𝑡) e 𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡) sen 𝜃(𝑡). (1.2.6)

1.2.4

Velocidade areolar

Considerando a órbita uma curva plana, podemos falar de área sob a curva. Seja 𝑡0 o tempo inicial e 𝑟0 o raio vetor associado a ele, dizemos que

𝐴(𝑡) = 1 2

∫︁ 𝜃(𝑡)

𝜃(𝑡0)

𝑟2(𝜃(𝑡)) d𝜃(𝑡) (1.2.7)

é a área da região sob a curva 𝑋(𝑡) de 𝑡0 a 𝑡.

Segundo [2], “A derivada de 𝐴(𝑡) com relação a 𝑡 é chamada velocidade areolar”, que usaremos para demonstrar a seguinte proposição.

Proposição 1.2.7. A velocidade areolar do planeta é constante.

Demonstração. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo em (1.2.7) obtemos

𝐴(𝜃) = 1 2 ⎛ ⎝ [𝑟(𝜃)]3 3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃(𝑡) 𝜃(𝑡0) ⎞ ⎠= 1 2 (︃ [𝑟(𝜃(𝑡))]3 3 − [𝑟(𝜃(𝑡0))]3 3 )︃ .

Entre as direções 𝜃(𝑡0) = 0 e 𝜃(𝑡) = 𝜃, tem-se: 𝐴(𝜃) = 1 2 (︃ [𝑟(𝜃)]3 3 − [𝑟(0)]3 3 )︃ .

Considerando que no instante inicial 𝑡0 = 0 a posição inicial é 𝑟(0) = 𝑟0, a expressão acima passa a ser: 𝐴(𝜃) = 1 2 (︃ [𝑟(𝜃)]3 3 − [𝑟0]3 3 )︃ . (1.2.8)

Derivando a equação (1.2.8) em relação a 𝜃, tem-se: d𝐴 d𝜃 = ˙𝐴(𝜃) = 1 2 (︃ 3 ·[𝑟(𝜃)]₃ 2 −0 )︃ = 1₂[𝑟(𝜃)]2_{. (1.2.9)} Temos ainda, pela Regra da Cadeia, que:

˙𝐴(𝑡) = d_d𝑡𝐴 = d𝐴 d𝜃 ·

d𝜃

d𝑡 = ˙𝐴 · ˙𝜃. (1.2.10)

Substituindo a equação (1.2.9) na (1.2.10), obtemos

˙𝐴(𝑡) = 1₂𝑟2˙𝜃. (1.2.11)

Usando as equações (1.2.5) e (1.2.6) vemos que

𝑥(𝑡) = 𝑟(𝑡) cos 𝜃(𝑡), 𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡) sen 𝜃(𝑡) e 𝑥(𝑡) ˙𝑦 − ˙𝑥𝑦(𝑡) = 𝜅 (constante). Em consequência,

˙𝑥 = ˙𝑟 cos 𝜃 − 𝑟 ˙𝜃 sen 𝜃 e ˙𝑦 = ˙𝑟 sen 𝜃 + 𝑟 ˙𝜃 cos 𝜃. (1.2.12) Logo,

const ≡ 𝜅 = 𝑥 ˙𝑦 − ˙𝑥𝑦

= 𝑟 cos 𝜃( ˙𝑟 sen 𝜃 + 𝑟 ˙𝜃 cos 𝜃) − ( ˙𝑟 cos 𝜃 − 𝑟 ˙𝜃 sen 𝜃)𝑟 sen 𝜃, e, portanto,

𝜅= 𝑟2˙𝜃. (1.2.13)

Por fim, das equações (1.2.11) e (1.2.13), concluímos que ˙𝐴(𝑡) = 1₂𝑟2˙𝜃 = 1

2𝜅 (1.2.14)

1.3

Demonstração das Leis de Kepler

Nosso objetivo agora é encontrar uma equação diferencial para a órbita do planeta. Na seção anterior mostramos que a órbita está contida num plano e que a velocidade areolar é constante, a qual usaremos para demonstrar a segunda lei de Kepler.

Derivando as equações em (1.2.12) temos

¨𝑥 = ¨𝑟cos 𝜃 − 2 ˙𝑟 ˙𝜃 sen 𝜃 − 𝑟 ˙𝜃2_{cos 𝜃 − 𝑟¨𝜃sen 𝜃} ¨𝑦 = ¨𝑟sen 𝜃 + 2 ˙𝑟 ˙𝜃 cos 𝜃 − 𝑟 ˙𝜃2_{sen 𝜃 + 𝑟¨𝜃cos 𝜃.} Substituindo nas componentes da equação (1.2.3), conseguimos

¨𝑟cos 𝜃 − 2 ˙𝑟 ˙𝜃 sen 𝜃 − 𝑟 ˙𝜃2_{cos 𝜃 − 𝑟¨𝜃sen 𝜃 = −}𝑀 𝐺

𝑟2 cos 𝜃 (1.3.1) ¨𝑟sen 𝜃 + 2 ˙𝑟 ˙𝜃 cos 𝜃 − 𝑟 ˙𝜃2_{sen 𝜃 + 𝑟¨𝜃cos 𝜃 = −}𝑀 𝐺

𝑟2 sen 𝜃. (1.3.2) Agora fazendo cos 𝜃 · (1.3.1) + sen 𝜃 · (1.3.2), obtemos

¨𝑟 − 𝑟 ˙𝜃2 _{= −}𝑀 𝐺

𝑟2 . (1.3.3)

Multiplicando está equação por −(𝑟 ˙𝜃)−2_{, produzimos}

− ¨𝑟 𝑟2˙𝜃2 + 𝑟 ˙𝜃2 𝑟2˙𝜃2 = 𝑀 𝐺 (𝑟2˙𝜃)2. Simplificando, obtemos − ¨𝑟 ˙𝜃𝜅 + 1𝑟 = 𝑀 𝐺 𝜅2 . (1.3.4)

No que segue, usaremos a equação (1.3.4) para provar a conhecida Fórmula de Binet.

Lema 1.3.1 (Fórmula de Binet). A função 𝑟 = 𝑟(𝜃) satisfaz a equação diferencial

d2 d𝜃2 (︂1 𝑟 )︂ + 1 𝑟 = 𝑀 𝐺 𝜅2 . Demonstração. Fazendo uso da Regra da Cadeia, vemos que

d𝑟 d𝜃 = d𝑟 d𝑡 d𝑡 d𝜃 = ˙𝑟 · d𝑡 d𝜃 = ˙𝑟 ˙𝜃 e d ˙𝑟d𝜃 = d ˙𝑟 d𝑡 d𝑡 d𝜃 = ¨𝑟 · d𝑡 d𝜃 = ¨𝑟 ˙𝜃. Disto, segue que

d d𝜃 (︂1 𝑟 )︂ = −𝑟−2_· d𝑟 d𝜃 = − ˙𝑟 𝑟2˙𝜃 =− ˙𝑟 𝜅. Derivando novamente, temos:

d2 d𝜃2 (︂1 𝑟 )︂ = _d𝜃d (︃ d d𝜃 (︂1 𝑟 )︂)︃ = −1 𝜅 · d ˙𝑟 d𝜃 = − ¨𝑟 𝜅 ˙𝜃.

Isto é bem interessante, pois por se tratar de uma equação do tipo oscilador harmônico (cf. [2]), a qual é relativamente fácil de ser resolvida.

Teorema 1.3.2. A solução geral da equação

d2 d𝜃2 (︂1 𝑟 )︂ +1 𝑟 = 𝑀 𝐺 𝜅2 é dada por 1 𝑟 = 𝛼 · cos 𝜃 + 𝛽 · sen 𝜃 + 𝑀 𝐺 𝜅2 , (1.3.5)

em que 𝛼 e 𝛽 são constantes dependendo dos dados iniciais. Demonstração. Iniciamos por escrever 𝑢 = 𝑟−1. Então

d2 d𝜃2 (𝑢) + 𝑢 = 𝑀 𝐺 𝜅2 ¨𝑢 + 𝑢 = 𝑀 𝐺 𝜅2 . (1.3.6)

A equação característica associada a equação diferencial ordinária (1.3.6) é dada por 𝑚2+ 1 = 0

𝑚2 = −1 𝑚 = ±𝑖.

Disto a solução homogênea associada à equação diferencial ordinária (1.3.6) é 𝑢ℎ(𝜃) = 𝑒0𝜃(𝑐1cos 𝜃 + 𝑐2sen 𝜃)

= 𝑐1cos 𝜃 + 𝑐2sen 𝜃.

Por coeficientes a determinar, supomos que a solução particular é dada por: 𝑢𝑝(𝜃) = (𝐴𝜃 + 𝐵) 𝑀 𝐺 𝜅2 . Assim, ˙𝑢𝑝(𝜃) = 𝐴 𝑀 𝐺 𝜅2 e ¨𝑢𝑝 = 0. Substituindo estas equações na equação (1.3.3), produzimos

¨𝑢𝑝+ 𝑢𝑝 = 𝑀 𝐺 𝜅2 0 + (𝐴𝜃 + 𝐵)𝑀 𝐺 𝜅2 = 𝑀 𝐺 𝜅2 . Desta forma obtemos

Logo,

𝑢𝑝 =

𝑀 𝐺 𝜅2

é a solução particular da equação diferencial ordinária (1.3.6). Assim, 𝑢 = 𝑢ℎ+ 𝑢𝑝

= 𝑐1cos 𝜃 + 𝑐2sen 𝜃 + 𝑀 𝐺

𝜅2 , e, portanto, fazendo 𝑐1 = 𝛼, 𝑐2 = 𝛽 e 𝑢 = 𝑟−1, segue que

1

𝑟 = 𝛼 cos 𝜃 + 𝛽 sen 𝜃 + 𝑀 𝐺

𝜅2 .

 Com isto podemos demonstrar as Leis de Kepler.

Proposição 1.3.3 (Leis das Órbitas). Cada planeta se move em uma órbita elíptica, tendo o Sol em um dos focos.

Demonstração. Consideremos a equação (1.3.5) a qual, pela Fórmula de Binet, é equivalente a equação (1.2.3). Suponhamos, sem perda de generalidade, que no instante 𝑡 = 0 o ângulo que o raio (1.1.1) faz com o eixo 𝑥 seja 𝜃(0) = 0 e que a distância do planeta ao Sol, neste mesmo instante, seja 𝑟(0) = 𝑟0. Substituindo em (1.3.5) obtemos o valor da constante 𝛼 em função de 𝑟0 1 𝑟0 = 𝛼 · cos 0 + 𝛽 · sen 0 ⇒ 𝛼 = 1 𝑟0 . (1.3.7)

Derivando (1.3.5) com relação ao tempo e denotando ˙𝑟0 = ˙𝑟(0), temos d d𝜃 (︂1 𝑟 )︂ = −𝛼 · sen 0 + 𝛽 · cos 0 ⇒ 𝛽 = −˙𝑟0 𝜅. (1.3.8)

Então, substituindo (1.3.7) e (1.3.8) em (1.3.5), vemos que 1 𝑟 = 1 𝑟0 ·cos 𝜃 − ˙𝑟0 𝜅 · sen 𝜃 + 𝑀 𝐺 𝜅2 . (1.3.9) Considerando 𝑟−1

0 = 𝜆 · cos 𝜔 e − ˙𝑟0𝜅−1 = 𝜆 · sen 𝜔 e substituindo na equação (1.3.9), temos 1 𝑟 = 𝜆 · cos(𝜃 − 𝜔) + 𝑀 𝐺 𝜅2 . Disto, 𝑟= 𝜅2 𝑀 𝐺 1 + 𝜆𝜅2 𝑀 𝐺·cos(𝜃 − 𝜔) .

Denotando 𝑒 = 𝜆𝜅2_𝑀−1_𝐺−1 _{e 𝑑 = 𝜆}−1_{, chegamos à equação:}

𝑟= 𝑑 · 𝑒

1 + 𝑒 · cos(𝜃 − 𝜔).

Afirmamos que está equação é uma elipse com excentricidade 𝑒 e centro no ponto (︃

𝑒2𝑑 (1 − 𝑒2),0

)︃ .

Assumiremos que 𝑒 < 1, pois 𝑟0, 𝑀 e 𝐺 são constantes razoavelmente grandes e 𝜅 é pequeno, pois se trata da velocidade areolar de um planeta. De fato,

𝑟+ 𝑒 · 𝑟 cos(𝜃 − 𝜔) = 𝑑 · 𝑒. (1.3.10)

Façamos uma mudança de coordenadas polares para cartesianas, donde

𝑥= 𝑟 · cos(𝜃 − 𝜔) e 𝑦 = 𝑟 · sen (𝜃 − 𝜔). (1.3.11) Elevando ao quadrado ambos os lados da equação (1.3.10) e usando as equações (1.3.11), segue que

𝑥2+ 𝑦2 = 𝑒2(𝑑2−2𝑑𝑥 + 𝑥2_). Isto implica que

(1 + 𝑒2_)𝑥2_{+ 2𝑑𝑒}2_{𝑥+ 𝑦}2 _{= 𝑒}2_𝑑2_. Agora completando o quadrado, temos

(︃ 𝑥+ 𝑒 2_𝑑 1 − 𝑒2 )︃2 + _{1 − 𝑒}𝑦2 ₂ = _{(1 − 𝑒}𝑒2𝑑2₂₎₂. Chamando 𝑐= 𝑒 2_𝑑 1 − 𝑒2, 𝑎 2 ₌ 𝑒2𝑑2 (1 − 𝑒2)2 e 𝑏 2 ₌ 𝑒2𝑑2 1 − 𝑒2, (1.3.12) segue que, (𝑥 + 𝑐)2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1. (1.3.13)

Dado que 𝑒 < 1 e 𝑐 > 0 vemos que

0 < (1 − 𝑒2₎2 _{<1 − 𝑒}2 _{<1 ⇒ 𝑎 > 𝑏.}

Sol raio vetor

planeta

órbita

Figura 1.4: Órbita do planeta no plano.

Aqui provamos que as órbitas dos planetas são elipses, pois consideramos 𝑒 < 1. Na Figura 1.4 usamos uma excentricidade bem próxima de zero para que ficasse clara a ideia de uma órbita elíptica. Surge então a pergunta: “e se 𝑒 = 1?” ou ainda “se 𝑒 > 1?”. Fazendo o uso das propriedades de cônicas, temos que se a excentricidade 𝑒 for igual a 1, então a órbita será uma parábola e, se 𝑒 for maior que 1, então a órbita será uma hipérbole. Em geral, os planetas possuem órbitas fechadas (pelo menos no sistema solar), então alguns cometas tem sua órbita em forma de parábola e hipérbole, com isso, tais cometas aparecem uma vez no sistema solar e nunca mais voltam.

Proposição 1.3.4 (Leis das Áreas). O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais.

Demonstração. Iniciamos integrando a equação (1.2.14), 𝐴(𝑡) = 1

2𝜅 · 𝑡+ 𝐴(0).

Agora vamos considerar dois intervalos de tempos iguais. Sejam 𝐼1 = (𝑡1, 𝑡2) e 𝐼2 = (𝑡3, 𝑡4) dois intervalos de tempos, tais que 𝑡2− 𝑡1 = 𝑡4− 𝑡3. Aplicando na equação acima temos que:

𝐴(𝑡2) − 𝐴(𝑡1) = 1

2𝜅 ·(𝑡2− 𝑡1) = 1₂𝜅 ·(𝑡4− 𝑡3) = 𝐴(𝑡4) − 𝐴(𝑡3).

Área 2

Área 1

t1

t2

t3

t4

SOL

Figura 1.5: Relação entre tempo e área na órbita planetária.

Na antiguidade acreditava-se que os movimentos planetários eram circulares e mais, que a velocidade do movimento era constante. A segunda lei de Kepler nos mostra que ao se aproximar do Sol, a velocidade do planeta é maior do que quando o planeta está longe, contudo a área, independentemente da distância ao Sol, em período de tempos iguais, permanece constante. Ilustrado na Figura 1.5, observe que a variação se dá no raio vetor que liga o planeta ao Sol e o ângulo entre os raios no período de tempo. Isto explica, por exemplo, as mudanças climáticas em nosso planeta, quanto mais próximos do Sol, mais quente o tempo. Claro que outros fatores naturais e não-naturais4 também influenciam o clima, entretanto o principal fator para as mudanças das estações do ano é devido às diferentes distâncias Terra-Sol durante o ano.

Como visto na primeira lei de Kepler, a órbita de um planeta é uma elipse e, observando o fato de que as órbitas dos planetas são periódicas, suponhamos um sistema de coordenadas no qual o Sol é a origem, e mais, o Sol é um dos focos dessa elipse. E ainda, digamos que o eixo maior da elipse está sobre o eixo 𝑥, então a equação da elipse é (1.3.13).

Proposição 1.3.5 (Lei dos Períodos). A razão entre o quadrado do período de um planeta e o cubo do semieixo maior de sua órbita é a mesma para todos os planetas.

Demonstração. Suponhamos que o movimento é dado pela equação (1.3.13). Vamos considerar a corda focal dessa elipse de comprimento 2𝑙, que é perpendicular ao eixo maior e passa por um dos focos, veja a Figura 1.6, Isto implica que

𝑐2 𝑎2 + 𝑙2 𝑏2 = 1, e, em consequência, 𝑙2 = 𝑏 2(𝑎2_{− 𝑐}2) 𝑎2 = 𝑏2_{· 𝑏}2 𝑎2 = 𝑏4 𝑎2. (1.3.14)

Substituindo (1.3.12) em (1.3.14) 𝑙= 𝑏 2 𝑎 = 𝑒2_𝑑2 1 − 𝑒2 𝑒𝑑 1 − 𝑒2 = 𝑒 · 𝑑 = 𝜆𝜅2 𝑀 𝐺 · 1 𝜆 = 𝜅2 𝑀 𝐺.

Figura 1.6: Elementos da elipse.

Da equação (1.2.14), temos que a velocidade areolar ˙𝐴 é constante. Chamando de 𝜏 o período do planeta, obtemos, 𝜏2 𝑎3 = (︃ 2𝜋𝑎𝑏 𝜅 )︃2 𝑎3 = 4𝜋2_𝑏2 𝑎𝜅2 = 𝑏2 𝑎 · 4𝜋2 𝜅2 = 𝑙 · 4𝜋2 𝜅2 = 𝜅2 𝑀 𝐺· 4𝜋2 𝜅2 = 4𝜋2 𝑀 𝐺.

Provamos assim, a Terceira Lei de Kepler. 

1.4

Aplicação

Em seu livro Philosophie naturalis principia mathematica, Newton considerou o lançamento de um satélite artificial, isso através de um canhão. Mas somente após a Segunda Guerra Mundial, que surge a ideia de satélites de comunicações, pelo então oficial de radar Arthur C.

Claker. E em 1957, tivemos o lançamento do primeiro satélite artificial, o Sputinik–1, satélite russo para transmissão de rádio.

Uma órbita geoestacionária é uma órbita circular sobre o plano do Equador da Terra a 35 786 km de altitude, girando na mesma direção e velocidade angular que o planeta, dando a impressão de que ele estaria parado sobre o mesmo ponto [17]. Esse tipo de satélite é também chamado de síncrono.

Então qual seria a altura de um satélite geoestacionário?

Como o satélite é geoestacionário, então ele “permanece no mesmo ponto” sobre a Terra, isto é, seu período orbital é de um dia sideral 𝑑 = 23 h56 min. Pela Terceira Lei de Kepler, segue que 𝜏2 𝑎3 = 4𝜋2 𝑀 𝐺 ⇒ 𝑎 3 ₌ 𝑀 𝐺 4𝜋2 · 𝜏 2_,

em que a massa da Terra é 𝑀 = 5.98 × 1024_{kg, a constante gravitacional é 𝐺 = 6.67 × 10}−11_{N · m}2_/kg2 e 𝜏 = 86 160 s. Um cálculo direto nos dá

𝑎3 = 5, 98 × 10 24_{·6, 67 × 10}−11 4𝜋2 ·86160 𝑎 = [︃ 5, 98 × 1024_·6, 67 × 10−11 4𝜋2 ·86160 ]︃1/3 𝑎 = 42172 km.

Como o raio da Terra 𝑅𝑇 = 6370 km, concluímos que a altura será

𝑎 − 𝑅𝑇 = 42172 − 6370 = 35 802 km.

SATÉLITE

TERRA RAIO

Figura 1.7: Satélite em órbita circular.

Observe que existe uma pequena diferença entre o valor ideal, 35 786 km, e o valor obtido, 35 802 km, isso ocorreu devido a basicamente dois motivos. Primeiro, devido ao truncamento das medidas reais do raio da Terra. Em segundo, temos que a Terra não é uma esfera perfeita, isto faz com que o raio sofra alteração a medida que o satélite a orbita.

Equações de Euler-Lagrange

As Equações de Euler-Lagrange receberam o nome dos matemáticos, que na década de 1750, as desenvolveram. São equações diferenciais cujas soluções são funções conhecidas como estacionárias.

Podemos usar basicamente dois métodos para chegarmos às equações de Euler-Lagrange. Usando o Princípio de d’Alembert e os trabalhos virtuais, nos quais temos que partir da Mecânica Newtoniana [cf. [8]]. O segundo, desenvolvendo a partir do Princípio de Hamilton, que é baseado no Cálculo Variacional [cf. [7]].

Em 1696, Johann Bernoulli propôs aos matemáticos, de sua época, o desafio de encontrar a trajetória de uma partícula de um ponto a outro, num plano, de forma que os pontos não estejam sob uma reta horizontal nem vertical e, em menor tempo possível, sem atrito e sob a ação da gravidade. Esse é o famoso problema da braquistócrona, cuja solução será apresentada posteriormente.

Neste capítulo apresentaremos os princípios do Cálculo Variacional, definindo um funcional e a aplicação clássica de comprimento de arco. Demonstraremos o Lema Fundamental do Cálculo das Variações para um embasamento teórico e, então, deduziremos as equações de Euler-Lagrange a partir da menor ação.

2.1

Cálculo Variacional

O problema de determinar máximos ou mínimos é algo bem antigo e que instiga o estudo em variadas épocas. Isto ocorre porque em vários momentos precisamos ou queremos, por exemplo, maximizar lucros e produção, minimizando gastos e tempo. Na Matemática, especificamente no Cálculo Variacional, este é um problema de extremar funcionais. O Cálculo Variacional estuda os funcionais de forma a procurar seus extremos, sejam máximos ou mínimos. Aqui, nosso objetivo é enunciar as equações de Euler-Lagrange através da minimização de um dado funcional, seguiremos de perto as ideias de [7].

Entendemos por um funcional uma função de funções, ou seja,

Definição 2.1.1. Um funcional 𝐼 é uma aplicação que associa a cada função 𝑥 em uma certa classe 𝑋𝑎𝑑, um único número real. Aqui 𝑋𝑎𝑑 é o conjunto de todas as funções admissíveis

(possíveis).

Estamos interessados em funcionais que, genericamente, podem ser escritos da seguinte

maneira

𝐼(𝑥) = ∫︁ 𝑏

𝑎

𝐿(𝑡, 𝑥, 𝑥′) d𝑡, em que 𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑. Vejamos dois exemplos:

Exemplo: Consideremos o funcional 𝐼(𝑥) =

∫︁ 1 0

𝑥(𝑡) d𝑡, definido em 𝐶[0, 1]. Iremos considerar, primeiramente, 𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡_{. Então} 𝐼(𝑒𝑡) = ∫︁ 1 0 𝑒𝑡d𝑡 = 𝑒𝑡⃒⃒ ⃒ 1 0 = 𝑒 − 1. Por outro lado, se fizermos 𝑥(𝑡) = 2𝑡, obteremos

𝐼(2𝑡) = ∫︁ 1 0 2𝑡 d𝑡 = 𝑡 2⃒ ⃒ ⃒ 1 0 = 1 2 ₋₀2 _{= 1.}  No exemplo seguinte temos um funcional que depende de 𝑥(𝑡) e 𝑥′_(𝑡):

Exemplo: Consideremos o funcional 𝐼(𝑥, 𝑥′) =

∫︁ 𝜋 0 [𝑥(𝑡) + 𝑥 ′_{(𝑡)] d𝑡, definido em 𝐶[0, 𝜋]. Se} 𝑥(𝑡) = sen 𝑡, então 𝐼( sen 𝑡, cos 𝑡) = ∫︁ 𝜋

0 [ sen 𝑡 + cos 𝑡] d𝑡 = − cos 𝑡 + sen 𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜋 0 = 2.  Com esses exemplos, vemos que para cada escolha de 𝑥(𝑡), obtemos valores distintos para o funcional. A questão então é a de determinar quais curvas 𝑥(𝑡) tornam o funcional 𝐼(𝑥) um extremo (máximo ou mínimo).

Consideremos então o problema variacional cuja restrição é conhecida como condição de contorno, em que os extremos do intervalo [𝑎, 𝑏] permanecem fixos1:

Seja 𝐿(𝑡, 𝑥, 𝑥′_{) uma função duas vezes continuamente diferenciável. Nosso objetivo é encontrar} ¯𝑥 que extremiza o funcional

𝐼(𝑥) = ∫︁ 𝑏

𝑎

𝐿(𝑡, 𝑥(𝑡), 𝑥′(𝑡)) d𝑡, (2.1.1)

sujeito a 𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑 = {𝑥 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] | 𝑥(𝑎) = 𝑥𝑎, 𝑥(𝑏) = 𝑥𝑏}.

A fim de garantirmos um valor mínimo em (2.1.1), faremos algumas definições e mostraremos alguns resultados importantes, semelhante ao encontrado em [7]. No Cálculo de uma variável, uma condição necessária para existência de um extremo numa função é de que sua derivada seja nula, aqui apresentaremos uma alternativa a essa condição, que será a variação de Gâteaux. Além disso, precisaremos definir mínimos, global e local, e ainda, uma norma no espaço vetorial das funções contínuas em um dado intervalo.

No que segue faremos as seguintes definições: norma do supremo; mínimo global e local, fazendo distinção entre mínimo local fraco e forte; variação de Gâteaux e a convexidade de funcionais, as quais são essenciais na construção das equações de Euler-Lagrange.

Definição 2.1.2. Seja 𝐼 : 𝑋𝑎𝑑 → R um funcional. Se

𝐼(𝑥) ≥ 𝐼(¯𝑥),

para todo 𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑, então ¯𝑥 é denominado mínimo global de 𝐼 em 𝑋𝑎𝑑.

Seja [𝑎, 𝑏] um intervalo fechado em R. Consideremos o espaço vetorial formado por todas as funções contínuas em [𝑎, 𝑏] e denotemos, daqui pra frente, este espaço por: 𝐶[𝑎, 𝑏]. Introduziremos uma norma neste espaço.

Definição 2.1.3. A norma do supremo (ou de Tschebyscheff) é definida por

‖𝑓 ‖∞= sup

𝑡∈[𝑎,𝑏]

|𝑓(𝑡)|, 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

Como sabemos da Análise Funcional, toda norma dá origem a uma distância (métrica). A norma do supremo define a seguinte distância

𝑑(𝑓, 𝑔) = ‖𝑓 − 𝑔‖∞, 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

Ainda, denotaremos por 𝐶1_{[𝑎, 𝑏] o conjunto das funções continuamente diferenciáveis. E, de} forma análoga, é possível construir uma métrica para 𝐶1[𝑎, 𝑏] como

‖𝑓 − 𝑔‖1,∞= ‖𝑓 − 𝑔‖∞+‖𝑓′− 𝑔′‖∞, 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏].

Agora com uma norma estabelecida e bem definida, podemos definir mínimos fracos e fortes numa vizinhança de um dado ¯𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑.

Definição 2.1.4. Seja 𝐼 : 𝑋𝑎𝑑 → R um funcional. Se

∃ 𝛿 >0 tal que ∀ 𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑 com ‖𝑥 −¯𝑥‖1,∞< 𝛿 temos 𝐼(𝑥) ≥ 𝐼(¯𝑥), então ¯𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑 é denominado mínimo local fraco de 𝐼. Agora, se

∃ 𝛿 >0 tal que ∀ 𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑 com ‖𝑥 −¯𝑥‖∞< 𝛿 temos 𝐼(𝑥) ≥ 𝐼(¯𝑥), então ¯𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑 é denominado mínimo local forte de 𝐼.

Quando trabalhamos máximos e mínimos no Cálculo de uma ou mais variáveis, um elemento de fundamental importância são as derivadas e derivada direcionais, vamos então estender esse conceito para que possa ser usado nos problemas à frente.

Definição 2.1.5. Seja 𝑋 um espaço vetorial e 𝐼 : 𝑋 → R um funcional. Dados 𝑥, 𝑣 ∈ 𝑋 definimos a variação de Gâteaux de 𝐼 em 𝑥 na direção de 𝑣 através de

𝛿𝐼(𝑥; 𝑣) = lim

𝜖→0

𝐼(𝑥 + 𝜖𝑣) − 𝐼(𝑥)

𝜖 ,

quando o limite existe. Caso a derivada total de 𝐼 com relação a 𝜖 estiver bem definida em 𝜖= 0, podemos escrever 𝛿𝐼(𝑥; 𝑣) = d d𝜖𝐼(𝑥 + 𝜖𝑣) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜖=0 .

Da Definição 2.1.5, assumindo que as variações existam, temos a linearidade da variação de Gâteaux dadas por:

𝛿(𝛼𝐼1+ 𝛽𝐼2)(𝑥; 𝑣) = 𝛼𝛿𝐼1(𝑥; 𝑣) + 𝛽𝛿𝐼2(𝑥; 𝑣), 𝛼, 𝛽 ∈ R. (2.1.2)

𝛿𝐼(𝑥; 𝛼𝑣) = 𝛼𝛿𝐼(𝑥; 𝑣), 𝛼 ∈ R. (2.1.3)

No que segue trabalhamos para recuperar a conhecida condição para mínimos associada à convexidade.

Definição 2.1.6. Dado um espaço vetorial 𝑋 e um funcional 𝐼 : 𝐷 ⊂ 𝑋 → R, dizemos que 𝐼

é convexo em 𝐷 quando para todo par de elementos 𝑥, 𝑣 ∈ 𝑋 temos

𝐼(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑣) ≤ 𝛼𝐼(𝑥) + (1 − 𝛼)𝐼(𝑣), 𝛼 ∈ [0, 1].

Dizemos que 𝐼 é estritamente convexo em 𝐷, quando a desigualdade na expressão acima for estrita.

Variação de Gâteaux quando bem definida nos fornece o seguinte lema.

Lema 2.1.7. Seja 𝑋 um espaço vetorial e 𝐼 : 𝐷 ⊂ 𝑋 → R um funcional tal que para todo par de elementos 𝑥, 𝑣 de 𝑋 satisfazendo 𝑥, 𝑥+ 𝑣 ∈ 𝐷, a variação de Gâteaux 𝛿𝐼(𝑥; 𝑣) existe. Então 𝐼 é convexo em 𝐷 se, e somente se,

𝛿𝐼(𝑥; 𝑣) ≤ 𝐼(𝑥 + 𝑣) − 𝐼(𝑥). (2.1.4)

Temos ainda que 𝐼 é estritamente convexo em 𝐷 se, e somente se, 𝑣 = 0 na desigualdade acima. Demonstração. Suponhamos que 𝐼 é convexo em 𝐷. Então da definição de convexidade segue que

𝐼(𝑥 + 𝜖𝑣) ≤ (1 − 𝜖)𝐼(𝑥) + 𝜖𝐼(𝑥 + 𝑣), (2.1.5) em que escrevemos 𝑥 + 𝜖𝑣 na forma de combinação linear convexa

𝑥+ 𝜖𝑣 = (1 − 𝜖)𝑥 + 𝜖(𝑥 + 𝑣), 𝜖 ∈ [0, 1]. Desenvolvendo a Equação (2.1.5), vem que

𝐼(𝑥 + 𝜖𝑣) ≤ 𝐼(𝑥) − 𝜖𝐼(𝑥) + 𝜖𝐼(𝑥 + 𝑣) 𝐼(𝑥 + 𝜖𝑣) − 𝐼(𝑥) ≤ 𝜖(𝐼(𝑥 + 𝑣) − 𝐼(𝑥)). Obtemos, então, que

1

𝜖 (𝐼(𝑥 + 𝜖𝑣) − 𝐼(𝑥)) ≤ 𝐼(𝑥 + 𝑣) − 𝐼(𝑥). Aplicando o limite quando 𝜖 → 0, temos

𝛿𝐼(𝑥; 𝑣) = lim

𝜖→0

𝐼(𝑥 + 𝜖𝑣) − 𝐼(𝑥)

O que mostra a ida.

Por outro lado, dados 𝑥, 𝑣 ∈ 𝑋 e 𝛼 ∈ [0, 1], definamos 𝑤 = 𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑣. Da hipótese (2.1.4) segue que

𝛿𝐼(𝑤; 𝛼(𝑣 − 𝑥)) ≤ 𝐼(𝑣) − 𝐼(𝑤) e 𝛿𝐼(𝑤; (1 − 𝛼)(𝑥 − 𝑣)) ≤ 𝐼(𝑥) − 𝐼(𝑤). De (2.1.3) segue agora que

1 1 − 𝛼[𝐼(𝑤) − 𝐼(𝑥)] ≤ 𝛿𝐼(𝑤; (𝑣 − 𝑥)) ≤ 1 𝛼[𝐼(𝑣) − 𝐼(𝑤)], de onde obtemos 𝐼(𝑤) ≤ 𝛼𝐼(𝑥) + (1 − 𝛼)𝐼(𝑣),

ou seja, 𝐼 é convexo em 𝐷. Usando 𝑣 = 0 verificamos diretamente que 𝐼 é estritamente convexo

em 𝐷. 

Lema 2.1.8. Dado um espaço vetorial 𝑋 e um funcional convexo 𝐼 : 𝐷 ⊂ 𝑋 → R, então cada

¯𝑥 que satisfaz

𝛿𝐼(¯𝑥; 𝑣) = 0, ∀ ¯𝑥 + 𝑣 ∈ 𝐷,

minimiza 𝐼 em 𝐷. Se 𝐼 é estritamente convexo, então ¯𝑥 é único. Demonstração. Dado 𝑥 ∈ 𝐷, definamos 𝑣 = 𝑥 − ¯𝑥 ∈ 𝑋. Logo

𝐼(𝑥) − 𝐼(¯𝑥) = 𝐼(¯𝑥 + 𝑣) − 𝐼(¯𝑥) ≥ 𝛿𝐼(¯𝑥; 𝑣) = 0.

Consequentemente, a unicidade de ¯𝑥 se deve à definição de convexidade estrita.  Com esses lemas podemos enunciar um teorema com condição necessária para mínimos de 𝐼 em 𝑋𝑎𝑑 em (2.1.1).

O Teorema a seguir nos dará, de forma simplificada, as equações de Euler-Lagrange.

Teorema 2.1.9. Seja 𝑋 = 𝐶1[𝑎, 𝑏], 𝑋𝑎𝑑 = {𝑥 ∈ 𝑋; 𝑥(𝑎) = 𝑥𝑎, 𝑥(𝑏) = 𝑥𝑏}, 𝐼 : 𝑋𝑎𝑑 ∋ 𝑥 ↦→

∫︁ 𝑏

𝑎

𝐿(𝑡, 𝑥, 𝑥′) d𝑡 ∈ R, onde 𝐿 ∈ 𝐶1_{([𝑎, 𝑏] × R}2_{; R) satisfaz}

𝐿(𝑡, 𝑥 + 𝑣, 𝑦 + 𝑤) − 𝐿(𝑡, 𝑥, 𝑦) ≥ 𝐿𝑥(𝑡, 𝑥, 𝑦)𝑣 + 𝐿𝑦(𝑡, 𝑥, 𝑦)𝑤, (2.1.6)

para todo (𝑡, 𝑥, 𝑦), (𝑡, 𝑥 + 𝑣, 𝑦 + 𝑤) ∈ [𝑎, 𝑏] × R2. Então 𝐼 é convexo em 𝑋𝑎𝑑 se, e somente se,

para cada ¯𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑 que satisfaz a equação diferencial

d

d𝑡[𝐿𝑥′(𝑡, 𝑥, 𝑥′)] = 𝐿_𝑥(𝑡, 𝑥, 𝑥′), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] (2.1.7) é um mínimo global de 𝐼 em 𝑋𝑎𝑑. Temos ainda, que ¯𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑 será único se, e somente se, 𝐼 for

Demonstração. Seja 𝐼 um funcional convexo em 𝑋𝑎𝑑 e suponhamos que ¯𝑥 ∈ 𝑋𝑎𝑑 é a solução da

equação diferencial (2.1.7). Logo, para 𝑣 ∈ 𝑋 com ¯𝑥 + 𝑣 ∈ 𝑋𝑎𝑑 temos:

𝛿𝐼(¯𝑥; 𝑣) = d d𝜖𝐼(¯𝑥 + 𝜖𝑣) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜖=0 = ∫︁ 𝑏 𝑎 [︃ d d𝜖𝐿(𝑡, ¯𝑥 + 𝜖𝑣, ¯𝑥 ′_{+ 𝜖𝑣}′₎ ]︃ 𝜖=0 d𝑡 = ∫︁ 𝑏 𝑎 [𝐿𝑥(𝑡, 𝑥, 𝑥 ′_{)𝑣 + 𝐿} 𝑥′(𝑡, 𝑥, 𝑥′)𝑣′] d𝑡 = ∫︁ 𝑏 𝑎 [︃ d d𝑡𝐿𝑥′(𝑡, 𝑥, 𝑥′)𝑣 ]︃ d𝑡 = 𝐿𝑥′(𝑡, 𝑥, 𝑥′)𝑣 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑏 𝑎= 0.

Logo, pelo Lema 2.1.8 segue que ¯𝑥 é um mínimo global de 𝐼 em 𝑋𝑎𝑑.

Por outro lado, suponhamos que ¯𝑥 é um mínimo global de 𝐼 que satisfaz a equação diferencial (2.1.7). Temos que dados ¯𝑥, ¯𝑥 + 𝑣 ∈ 𝑋𝑎𝑑 a desigualdade (2.1.6) implica em

𝐿(𝑡, ¯𝑥 + 𝑣, ¯𝑥′+ 𝑣′) − 𝐿(𝑡, ¯𝑥, ¯𝑥′) ≥ 𝐿𝑥(𝑡, ¯𝑥, ¯𝑥′)𝑣 + 𝐿𝑥′(𝑡, ¯𝑥, ¯𝑥′)𝑣′. Integrando obtemos ∫︁ 𝑏 𝑎 [𝐿(𝑡, ¯𝑥 + 𝑣, ¯𝑥 ′_{+ 𝑣}′_{) − 𝐿(𝑡, ¯𝑥, ¯𝑥}′_{)] d𝑡 ≥} ∫︁ 𝑏 𝑎 [𝐿𝑥(𝑡, ¯𝑥, ¯𝑥 ′_{)𝑣 + 𝐿} 𝑥′(𝑡, ¯𝑥, ¯𝑥′)𝑣′] d𝑡 ∫︁ 𝑏 𝑎 [𝐿(𝑡, ¯𝑥 + 𝑣, ¯𝑥 ′_{+ 𝑣}′_{)] d𝑡 −}∫︁ 𝑏 𝑎 [𝐿(𝑡, ¯𝑥, ¯𝑥 ′_{)] d𝑡 ≥ 𝛿𝐼(¯𝑥; 𝑣)} 𝐼(¯𝑥; 𝑣) − 𝐼(¯𝑥) ≥ 𝛿𝐼(¯𝑥; 𝑣).

Logo, pelo Lema 2.1.7 𝐼 é convexo em 𝑋𝑎𝑑. A unicidade segue do Lema 2.1.8. 

A equação diferencial (2.1.7) é denominada Equação de Euler-Lagrange e ela nos fornece condições suficientes para resolvermos o problema (2.1.1). Contudo, com o objetivo de abranger resultados mais gerais, iremos verificar mais alguns casos para então seguirmos à formulação da mecânica por um princípio de ação mínima.

A proposição a seguir é conhecida como Lema Fundamental do Cálculo das Variações e foi proposta por du Bois-Reymond e usada pelos matemáticos Euler e Lagrange como objeto de investigação em suas pesquisas. A seguir a sua demonstração.

Proposição 2.1.10 (Lema Fundamental do Cálculo das Variações). Se 𝑓(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, é uma função contínua tal que

∫︁ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑡)𝑣(𝑡) d𝑡 = 0

qualquer que seja a função contínua 𝑣(𝑡) com 𝑣(𝑎) = 𝑣(𝑏) = 0, então 𝑓(𝑡) ≡ 0 em [𝑎, 𝑏].

Demonstração. Suponhamos que num ponto ¯𝑡∈ [𝑎, 𝑏], 𝑓(¯𝑡) , 0. Como a função 𝑓(𝑡) é contínua, ela mantém seu sinal em uma certa vizinhança de ¯𝑡, digamos que essa vizinhança seja [𝑐, 𝑑] ⊂ [𝑎, 𝑏].

Assim, escolhendo uma função 𝑣(𝑡) que mantém seu sinal neste intervalo e se anula fora dele, temos ∫︁ 𝑏 𝑎 𝑓(𝑡)𝑣(𝑡) d𝑡 = ∫︁ 𝑑 𝑐 𝑓(𝑡)𝑣(𝑡) d𝑡 , 0.

Portanto, 𝑓(𝑡) ≡ 0 para todo 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]. 

Agora iremos demonstrar um Teorema que nos fornecerá uma condição necessária para determinarmos mínimos locais de um funcional e, caso o funcional seja convexo, o Teorema a seguir nos fornece uma condição suficiente.

Teorema 2.1.11. Seja 𝐿 duas vezes continuamente diferenciável e ¯𝑥 ∈ 𝐶2[𝑎, 𝑏] um mínimo local fraco do problema (2.1.1). Então ¯𝑥 é solução do problema de valor de contorno

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ d d𝑡𝐿𝑥′(𝑡, 𝑥, 𝑥′) = 𝐿_𝑥(𝑡, 𝑥, 𝑥′), 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑥(𝑎) = 𝑥𝑎, 𝑥(𝑏) = 𝑥𝑏. (2.1.8)

Demonstração. Suponhamos que 𝐿 : [𝑎, 𝑏] × R2 _{→ R é duas vezes continuamente diferenciável} e que o funcional 𝐼 possui um mínimo local fraco, que denotaremos por ¯𝑥, em 𝑋𝑎𝑑 = {𝑥 ∈

𝐶1_{[𝑎, 𝑏] | 𝑥(𝑎) = 𝑥}

𝑎, 𝑥(𝑏) = 𝑥𝑏} satisfazendo ¯𝑥 ∈ 𝐶2[𝑎, 𝑏]. Dados 𝜂 ∈ 𝐶01[𝑎, 𝑏] = {𝜂 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] | 𝜂(𝑎) = 𝜂(𝑏) = 0} e 𝜖0 >0 suficientemente pequeno, definimos a família de funções admissíveis

𝑥(𝑡, 𝜖) = ¯𝑥(𝑡) + 𝜖𝜂(𝑡), 𝜖 ∈ (−𝜖0, 𝜖0). Desta forma vemos que

‖𝑥(𝑡, 𝜖) − ¯𝑥(𝑡)‖1,∞= ‖¯𝑥(𝑡) + 𝜖𝜂(𝑡) − ¯𝑥(𝑡)‖1,∞= ‖𝜖𝜂‖1,∞= |𝜖|‖𝜂‖1,∞. E, pelo fato de ¯𝑥 ser um mínimo local fraco, temos

𝐼(¯𝑥) ≤ 𝐼(𝑥(𝑡; 𝜖)) = 𝐽(𝜖), ∀𝜖 ∈ (−𝜖0, 𝜖0).

Portanto, existe ¯𝜖 ∈ (−𝜖0, 𝜖0) que é mínimo local da função real 𝐽, que só depende da variável 𝜖. Disto, vemos que

d d𝑡𝐽(𝜖) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜖=0 = 0.

Aplicando a variação de Gâteaux, segue a condição necessária para que ¯𝑥 seja um mínimo local de 𝐼 em 𝑋𝑎𝑑: 𝛿𝐼(¯𝑥; 𝜂) = d d𝑡𝐼(¯𝑥 + 𝜖𝜂) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜖=0 = _d𝑡d𝐽(𝜖) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜖=0 = 0. Por hipótese, 𝐿 é continuamente diferenciável, então

𝛿𝐼(¯𝑥; 𝜂) = d d𝑡𝐼(¯𝑥 + 𝜖𝜂) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜖=0 =∫︁ 𝑏 𝑎 [︃ d d𝑡𝐿(𝑡, ¯𝑥 + 𝜖𝜂, ¯𝑥′+ 𝜖𝜂′) ]︃ d𝑡,

o que nos fornece,

𝛿𝐼(¯𝑥; 𝜂) = ∫︁ 𝑏

𝑎 [𝐿𝑥(𝑡, ¯𝑥(𝑡), ¯𝑥

′_{(𝑡))𝜂(𝑡) + 𝐿𝑥}′_{(𝑡, ¯𝑥(𝑡), ¯𝑥}′_(𝑡))𝜂′_{(𝑡)] d𝑡. (2.1.9)} Observe que a função 𝐿𝑥′(𝑡, ¯𝑥(𝑡), ¯𝑥′(𝑡)) é continuamente diferenciável2 em [𝑎, 𝑏] e que 𝜂(𝑎) = 𝜂(𝑏) = 0. Então, integrando por partes (2.1.9) obtemos

𝛿𝐼(¯𝑥; 𝜂) = ∫︁ 𝑏 𝑎 [︃ 𝐿𝑥(𝑡, ¯𝑥(𝑡), ¯𝑥′(𝑡)) − d d𝑡𝐿𝑥′(𝑡, ¯𝑥(𝑡), ¯𝑥′(𝑡)) ]︃ 𝜂(𝑡) d𝑡. (2.1.10) Do fato de (2.1.10) ser válida para toda função 𝜂 ∈ 𝐶1

0[𝑎, 𝑏] e, como vimos acima, 𝛿𝐼(¯𝑥; 𝜂) = 0, aplicando então o Lema Fundamental do Cálculo das Variações, segue que

d

d𝑡𝐿𝑥′(𝑡, ¯𝑥(𝑡), ¯𝑥′(𝑡)) = 𝐿_𝑥(𝑡, ¯𝑥(𝑡), ¯𝑥′(𝑡)), (2.1.11)

para todo 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]. 

Observe que a equação (2.1.11) é a mesma obtida no Teorema 2.1.9. Esta equação nos fornece uma condição necessária para minimizar o funcional e se o funcional for convexo, temos que essa equação é suficiente para encontrarmos os mínimos do funcional. Temos ainda, que as soluções da equação de Euler-Lagrange são denominadas funções estacionárias ou extremais [cf. [7] & [8]].

Suponhamos agora que nosso funcional 𝐼 dependa de várias variáveis (funções), então

𝐼(𝑥𝑖) =

∫︁ 𝑏

𝑎

𝐿(𝑡, 𝑥𝑖, 𝑥′𝑖) d𝑡, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛, (2.1.12)

em que a notação 𝑥𝑖 é usada para representar, de forma compacta, o conjunto de curvas

𝑥1, . . . , 𝑥𝑛.

O problema aqui é determinar para que conjuntos de funções 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, o funcional 𝐼 passa

por um extremo.

Usaremos a mesma ideia que usamos para o funcional de uma variável.

Teorema 2.1.12. Seja 𝐿: [𝑎, 𝑏] × R2𝑛→ R continuamente diferenciável. Se ¯𝑥𝑖 ∈ 𝑋𝑎𝑑 = {𝑥 ∈

𝐶1_{([𝑎, 𝑏]; R}𝑛_{) | 𝑥}

𝑖(𝑎) = 𝑥𝑖,𝑎, 𝑥𝑖(𝑏) = 𝑥𝑖,𝑏} é um mínimo local fraco do problema (2.1.12), então ¯𝑥𝑖

satisfaz a equação de Euler-Lagrange d d𝑡𝐿𝑥′ 𝑖(𝑡, ¯𝑥𝑖,¯𝑥 ′ 𝑖) = 𝐿𝑥𝑖(𝑡, ¯𝑥𝑖,¯𝑥𝑖), 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, (2.1.13) para todo 𝑡 ∈[𝑎, 𝑏].

Demonstração. Suponhamos que 𝐿 : [𝑎, 𝑏] × R2𝑛 _{→ R é continuamente diferenciável e que o} funcional 𝐼 possui um mínimo local fraco, que denotaremos por ¯𝑥𝑖, em 𝑋𝑎𝑑 = {𝑥 ∈ 𝐶1([𝑎, 𝑏]; R𝑛) |

𝑥𝑖(𝑎) = 𝑥𝑖,𝑎, 𝑥𝑖(𝑏) = 𝑥𝑖,𝑏} satisfazendo ¯𝑥𝑖 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏]. Dados 𝜂𝑖 ∈ 𝐶01[𝑎, 𝑏] = {𝜂𝑖 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] |

𝜂𝑖(𝑎) = 𝜂𝑖(𝑏) = 0} e 𝜖0 >0 suficientemente pequeno, definimos a família de funções admissíveis 𝑥𝑖(𝑡, 𝜖) = ¯𝑥𝑖(𝑡) + 𝜖𝜂𝑖(𝑡), 𝜖 ∈ (−𝜖0, 𝜖0).

O procedimento para chegarmos às equações de Euler-Lagrange é praticamente o mesmo que já usamos. Então, vemos que

‖𝑥𝑖(𝑡, 𝜖) − ¯𝑥𝑖‖1,∞= ‖¯𝑥𝑖(𝑡) + 𝜖𝜂𝑖(𝑡) − ¯𝑥‖1,∞= ‖𝜖𝜂𝑖‖1,∞= |𝜖|‖𝜂𝑖‖1,∞. E, pelo fato de ¯𝑥𝑖 ser um mínimo local fraco, temos

𝐼(¯𝑥𝑖) ≤ 𝐼[𝑥𝑖(𝑡; 𝜖)] = 𝐽(𝜖), ∀𝜖 ∈ (−𝜖0, 𝜖0).

Portanto, existe ¯𝜖 ∈ (−𝜖0, 𝜖0) que é mínimo local da função real 𝐽, que só depende da variável 𝜖. Disto, vemos que

d d𝑡𝐽(𝜖) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜖=0 = 0.

Aplicando a variação de Gâteaux, segue a condição necessária para que ¯𝑥𝑖 seja um mínimo local

de 𝐼 em 𝑋𝑎𝑑 𝛿𝐼(¯𝑥𝑖; 𝜂𝑖) = d d𝑡𝐼(¯𝑥𝑖 + 𝜖𝜂𝑖) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜖=0 = _d𝑡d𝐽(𝜖) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜖=0 = 0. Por hipótese, 𝐿 é continuamente diferenciável, então

𝛿𝐼(¯𝑥𝑖; 𝜂𝑖) = d d𝑡𝐼(¯𝑥𝑖+ 𝜖𝜂𝑖) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜖=0 =∫︁ 𝑏 𝑎 [︃ d d𝑡𝐿(𝑡, ¯𝑥𝑖+ 𝜖𝜂𝑖,¯𝑥′𝑖+ 𝜖𝜂 ′ 𝑖) ]︃ d𝑡, o que resulta em 𝛿𝐼(¯𝑥𝑖; 𝜂𝑖) = ∫︁ 𝑏 𝑎 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 [︁ 𝐿𝑥𝑖(𝑡, ¯𝑥𝑖(𝑡), ¯𝑥 ′ 𝑖(𝑡))𝜂𝑖(𝑡) + 𝐿𝑥′_𝑖(𝑡, ¯𝑥𝑖(𝑡), ¯𝑥′𝑖(𝑡))𝜂 ′ 𝑖(𝑡) ]︁ d𝑡. (2.1.14)

Observe que a função 𝐿𝑥′_𝑖(𝑡, ¯𝑥𝑖(𝑡), ¯𝑥′𝑖(𝑡)) é continuamente diferenciável em [𝑎, 𝑏] e que 𝜂𝑖(𝑎) =

𝜂𝑖(𝑏) = 0. Então, integrando por partes (2.1.14) obtemos

𝛿𝐼(¯𝑥𝑖; 𝜂𝑖) = ∫︁ 𝑏 𝑎 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 [︃ 𝐿𝑥𝑖(𝑡, ¯𝑥𝑖(𝑡), ¯𝑥 ′ 𝑖(𝑡)) − d d𝑡𝐿𝑥′ 𝑖(𝑡, ¯𝑥𝑖(𝑡), ¯𝑥 ′ 𝑖(𝑡)) ]︃ 𝜂𝑖(𝑡) d𝑡. (2.1.15)

Do fato de (2.1.15) ser válida para toda função 𝜂𝑖 ∈ 𝐶01[𝑎, 𝑏] e, como vimos acima, 𝛿𝐼(¯𝑥; 𝜂) = 0, aplicando então o Lema Fundamental do Cálculo das Variações, segue que

𝐿𝑥𝑖(𝑡, ¯𝑥𝑖(𝑡), ¯𝑥 ′ 𝑖(𝑡)) − d d𝑡𝐿𝑥′ 𝑖(𝑡, ¯𝑥𝑖(𝑡), ¯𝑥 ′ 𝑖(𝑡)) = 0, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, (2.1.16) para todo 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]. 

2.1.1

Exemplos Clássicos de Problemas Variacionais

Veremos dois exemplos clássicos do Cálculo Variacional, o caso da distância entre dois pontos e da braquistócrona, que são comumente encontrado no estudo de Cálculo das Variações.

𝑥1 𝑥2 𝑦1

𝑦2

Figura 2.1: Menor distância entre dois pontos.

Distância entre dois pontos

Sejam 𝐴 e 𝐵 dois pontos em R2 cujas coordenadas são (𝑥

1, 𝑦1) e (𝑥2, 𝑦2), respectivamente, e com 𝑥1 < 𝑥2.

Seja 𝑦(𝑥) uma curva que liga esses dois pontos. O comprimento desta curva ou a distância entre os pontos ao longo da curva é definida a partir da distância infinitesimal entre dois pontos infinitesimalmente próximos sob a curva. O comprimento de arco é dado por

d𝑠2 _{= d𝑦}2_{+ d𝑥}2 _{⇒d𝑠 =} √︁_(d𝑥)2+ (d𝑦)2 = ⎯ ⎸ ⎸ ⎷1 + (︃ d𝑦 d𝑥 )︃2 d𝑥.

Logo, o comprimento da curva entre esses dois pontos é um funcional de 𝑦, definido por 𝑠(𝑦) =

∫︁ 𝑥2

𝑥1 √︁

1 + (𝑦′(𝑥))2d𝑥.

Neste caso, temos que 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑦′_{) =} √︁_{1 + (𝑦}′_(𝑥))2. Agora vamos aplicar as equações de Euler-Lagrange, para isso observe que

𝐿𝑦 = 0,

pois 𝐿 não depende diretamente de 𝑦(𝑥). Também temos que

𝐿𝑦′ =

𝑦′ √︁

1 + (𝑦′)2.

Para simplificar a notação, iremos representar 𝑦′_{(𝑥) = 𝑦}′_{. Logo, temos que} d d𝑥𝐿𝑦′ = 0 ⇒ d d𝑥 ⎛ ⎝ 𝑦′ √︁ 1 + (𝑦′)2 ⎞ ⎠= 0 ⇒ 𝑦′ √︁ 1 + (𝑦′)2 = 𝑐. Isolando 𝑦′_{, obtemos} 𝑦′(𝑥) = √︃ 1 1 − 𝑐2 ≡ cte.

Denotando por 𝑎 a constante acima, obtemos, por uma integração, que 𝑦(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏,

em que 𝑏 é a constante de integração. Portanto, acabamos de demonstrar que a curva que liga dois pontos distintos num plano é dada por uma reta, resultado bastante utilizado em Geometria.



Problema da Braquistócrona

Este problema consiste em determinar uma curva que minimize a queda de um objeto de um ponto a outro, sem estarem numa mesma reta vertical e, sob a ação da gravidade. Proposto por Jean Bernoulli, em 1696, o desafio aos matemáticos de sua época, tinha o seguinte enunciado: “Dados dois pontos 𝑃 e 𝑄 em um plano vertical, de forma que a reta que os une não está numa

vertical nem na horizontal, qual a curva que liga os pontos 𝑃 e 𝑄 de tal forma que o tempo que uma partícula deslize de um ponto a outro seja mínimo, sob a ação da gravidade e sem atrito?”

Suponhamos que o objeto parte do repouso em (0, 0), e num ponto genérico (𝑥, 𝑦) o módulo do vetor velocidade pode ser obtido pela conservação de energia:

𝑚𝑔𝑦 = 1 2𝑚𝑣2. Logo, isolando 𝑣, temos

𝑣 = √2𝑔𝑦. Infinitesimalmente, o módulo da velocidade é

𝑣 = d𝑠 d𝑡 ⇒d𝑡 = d𝑠 𝑣 ⇒d𝑡 = d𝑠 √ 2𝑔𝑦, temos ainda que

d𝑠 = √︁d𝑥2+ d𝑦2 = √︁1 + (𝑦′)2d𝑥. (2.1.17) Assim, d𝑡 = √︁ 1 + (𝑦′)2 √ 2𝑔𝑦 d𝑥. Então o funcional é expresso por

𝐼(𝑦) = ∫︁ 𝑥0 0 √︁ 1 + (𝑦′)2 √ 2𝑔𝑦 d𝑥 = 1 √ 2𝑔 ∫︁ 𝑥0 0 √︁ 1 + (𝑦′)2 √ 𝑦 d𝑥, (2.1.18) donde 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = √︁ 1 + (𝑦′)2 √ 𝑦 . (2.1.19)