Modelagem de cisalhamento de particulados utilizando o método dos elementos discretos

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA AGRÍCOLA

FELIPE THADEU DA SILVA

MODELAGEM DE CISALHAMENTO DE PARTICULADOS

UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS

CAMPINAS 2018

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FELIPE THADEU DA SILVA

MODELAGEM DE CISALHAMENTO DE PARTICULADOS

UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia Agrícola da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Agrícola, na Área de concentração em Máquinas Agrícolas.

Orientador: Profº. Dr. Antonio Carlos de Oliveira Ferraz

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO FELIPE THADEU DA SILVA, E ORIENTADA PELO PROFº. DR. ANTONIO CARLOS DE OLIVEIRA FERRAZ.

CAMPINAS 2018

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Este exemplar corresponde à redação final da Dissertação de Mestrado defendida por Felipe Thadeu da Silva, aprovada pela Comissão Julgadora em 22 de junho de 2018, na Faculdade de Engenharia Agrícola da Universidade Estadual de Campinas.

________________________________________________________________ Prof. Dr. Antonio Carlos de Oliveira Ferraz– Presidente e Orientadora

FEAGRI/UNICAMP

_________________________________________________________________ Prof. Dr. Pérsio Leister de Almeida Barros – Membro Titular

FEC/UNICAMP

_________________________________________________________________ Prof. Dr. Angel Pontin Garcia – Membro Titular

FEAGRI/UNICAMP

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica da discente.

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DEDICATÓRIA

Agradeço a Deus pela força para superar os desafios da vida. Trabalho dedicado a todos amigos e

familiares, em especial minha mãe Antonia e minha noiva Angelica,

pelos caráter e apoio em toda minha formação acadêmica.

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AGRADECIMENTOS

Este trabalho não poderia ser concluído sem a ajuda de diversas pessoas às quais presto minha homenagem:

Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Carlos de Oliveira Ferraz, por proporcionar boas experiências e trocas de conhecimentos, pela paciência, compreensão e disposição em ajudar, podendo assim indicar os melhores caminhos para concluirmos essa etapa.

Aos membros da comissão julgadora de mestrado Prof. Dr. Pérsio Leister de Almeida Barros e Prof. Dr. Angel Pontin Garcia e exame de qualificação Prof.ª Dra. Mara de Andrade Marinho, por toda experiência e empenho em agregar conhecimento ao trabalho com críticas construtivas e sugestões de melhoria.

À secretaria de Pós-Graduação pela competência e empenho durante toda fase acadêmica e assistência prestada neste período.

À minha mãe Antonia Oliveira da Silva, pelo amor, carinho, dedicação e compreensão nesses anos de estudos e por me ajudar a cumprir mais uma etapa fundamental em minha vida pessoal e profissional.

À minha noiva Angelica Guimarães Ruiz, por incentivar e apoiar nos momentos difíceis e que necessitei focar nas atividades para concluir com êxito os trabalhos acadêmicos.

Ao doutorando Luís Alfredo Pires Barbosa e ao mestre Eduardo Malavazi Pinto pela ajuda nos processos de simulação e atividades desenvolvidas durante todo o período de trabalho.

Aos funcionários Leandro Morais e José Maria da Silva do Laboratório de Propriedades Mecânicas de Materiais Biológicos da FEAGRI pelo auxílio na construção e manuseio do equipamento de cisalhamento.

À NSK BRASIL LTDA, por proporcionar alternativas durante o turno de trabalho para que fossem concluídas as tarefas da FEAGRI dentro dos prazos.

À JOHN DEERE por apoiar e incentivar os estudos do mestrado, além de proporcionar alternativas durante o turno de trabalho para que fossem concluídas as tarefas da FEAGRI dentro dos prazos.

Por fim, agradeço a todos que diretamente ou indiretamente agregaram conhecimento e incentivaram o desenvolvimento deste trabalho.

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EPÍGRAFE

“Para nos tornarmos pessoas de mérito e de valor, o que há de mais certo em

nós é confiarmos em nós mesmos” Michelangelo

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RESUMO

As propriedades físicas das partículas de materiais granulares influem no seu comportamento macroscópico, seja em aplicações voltadas para a agricultura ou até mesmo para exploração de superfícies planetárias. Entretanto, para quaisquer aplicações, entender os efeitos do atrito e intertravamento entre partículas é fundamental para descrever o processo de deformação e escoamento dos materiais granulares. Isso decorre da constatação de que elementos fundamentais da interação mecânica entre partículas são pouco conhecidos, existem dificuldades de determinação de parâmetros para meios com partículas de pequena dimensão e as investigações utilizando modelos numéricos estão nos estágios iniciais. Uma das maneiras mais antigas e comuns para o estudo das propriedades do material particulado são os ensaios de cisalhamento. Alternativamente a abordagem experimental, a modelagem numérica é capaz de fornecer maior detalhamento sobre a movimentação das partículas. Desta maneira, o presente trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de um código de simulação de cisalhamento em software de código aberto. Uma plataforma de Método de Elementos Discretos (MED) foi utilizada para o processo de simulação numérica. Para tanto, uma parametrização dos micro parâmetros, que são os dados de entrada da simulação, são requerida. Assim como realizado no método de parametrização proposto por Coetzee e Els (2009), o presente trabalho tem como objetivo a determinação do coeficiente de atrito interno e do módulo de elasticidade do particulado. Tanto nas simulações como nos experimentos, foram conduzidos em caixas metálicas de diâmetro 100, 156 e 200 mm, variando o diâmetro do material particulado em 1,2 e 6,0 mm. Os valores médios do ângulo de inclinação, energia até a força máxima e a força de cisalhamento obtidos através do experimento foram comparados utilizando-se análise de variância (ANOVA) e teste de Tukey, aplicado com nível de significância de 5% (p<0,05). Tanto para os resultados de diâmetro de partícula 1,2 mm como 6,00 mm, as diferenças médias não excederam os 5%, com exceção da energia que ultrapassou os 25%. Essa variação no valor médio da energia pode ser atribuída na extensão do fio de ligação. Concluiu-se que o código de simulação de cisalhamento aqui proposto reproduziu os resultados obtidos em ensaios no laboratório, tanto para a força de cisalhamento quanto para o ângulo de inclinação para diferentes tamanhos de caixa e diâmetros de partículas de 1,2 e 6,0 mm.

Palavra chave:

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ABSTRACT

The physical properties of the particles of granular materials influence their macroscopic behavior, either in agricultural applications or even in the exploration of planetary surfaces. However, for any applications, understanding the effects of friction and interlocking between particles is a fundamental process to describe the deformation and flow of granular materials. Because of the fact that fundamental elements of the mechanical interaction between particles are wispy known, there are difficulties in determining parameters for ways with small particles and investigations using numerical models are in the initial stages. One of the oldest and most common ways of studying the properties of particulate matter is direct shear test. As an alternative to the experimental approach, the numerical modelling is able to provide greater details on the movement of the particles. In this way, the present work has the objective of developing a code of shear simulation in open source software. A Discrete Element Method (DEM) platform was used for the numerical simulation process. For this purpose, a parameterization of the micro parameters, which is the simulation input data, is required. As the method proposed by Coetzee and Els (2009), the present work has the objective of determining the internal friction coefficient and the particulate elasticity modulus. Both simulations and experiments, they were conducted in metallic boxes of diameter 100, 156 and 200 mm, varying the diameter of the particulate material in 1,2 and 6,0 mm. The mean values of the slope angle, energy up to the maximum force and the shear force obtained through the experiment were compared using analysis of variance (ANOVA) and Tukey's test, with a significance level of 5% (p <0,05). For both 1,2 mm and 6,0 mm particle diameter results, mean differences did not exceed 5%, except of fact that the energy exceeding 25%. This variation in the mean value of energy can be attributed to the extension of the bonding wire. It was concluded that the shear simulation code proposed here reproduced the results obtained in laboratory tests for both the shear force and the angle of inclination for different box sizes and particle diameters of 1.2 and 6.0 mm.

Keywords:

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LISTA DE FIGURAS

Figura 01 – Representação das tensões através de Mohr-Coulomb...20

Figura 02 – Envoltória de Mohr...21

Figura 03 – Aparato experimental e curva característica de um ensaio de cisalhamento com caixas circulares...22

Figura 04 – Representação de uma cadeia de força utilizando linhas em negrito com material granular...24

Figura 05 – Representação do intertravamento de partículas...25

Figura 06 – Modelo esquemático do contato entre partículas i e j...27

Figura 07 – Representação esquemática do modelo simples de contato entre partículas...28

Figura 08 - Ilustração de detecção de colisões “Sweep e Prune”...29

Figura 09 – Partículas esférica em contato...30

Figura 10 – Sobreposição dos corpos...31

Figura 11 – Aparato de Cisalhamento Translacional...32

Figura 12 – Fluxograma da simulação no MED...33

Figura 13 – Representação dos modelos de caixa de cisalhamento...34

Figura 14 – Ilustração da presença de compressão nas partículas próximas ao contorno da caixa de cisalhamento logo após procedimento de preenchimento...36

Figura 15 – Ilustração de procedimento de preenchimento das caixas de cisalhamento no qual a tensão residual no contato com o contorno é nula...37

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Figura 17 – Representação da inclinação, energia e força de cisalhamento utilizados na validação da simulação...41

Figura 18 – Determinação do ângulo de atrito interno...44

Figura 19 – Relação da rigidez da partícula e ângulo de atrito interno para distintos valores do coeficiente de atrito...45

Figura 20 – Curvas de cisalhamento para caixa de cisalhamento de diâmetro 100 mm com esferas de diâmetro 1,2 mm, ensaio e simulação...46

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Dimensões das caixas de cisalhamento...35

Tabela 2 – Variação dos valores de Rigidez da Partícula (kn) e Módulo de Elasticidade (E) para variação do Coeficiente Atrito interno de 0,1, 0,12, 0,15, 0,20, 0,30, 0,40 e 0,50...40

Tabela 3 – Combinações de diâmetros de caixa e partícula utilizados nas simulações e ensaios laboratoriais...41

Tabela 4 – Estimativa do Tempo computacional [h]...43

Tabela 5 – Estimativa do Número de Partículas...43

Tabela 6 – Valores médios (n=10) de força, energia e inclinação das curvas de cisalhamento para ensaio e simulação de diâmetro 100 mm com esferas de diâmetro 1,2 mm...46

Tabela 11 – Resultados da análise do Teste de Tukey para caixa de Ø100 mm...53

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LISTA DE SÍMBOLOS

a – área de contato [m²]

c = força de coesão entre as partículas [ N ] C’ – força de coesão estimada [N]

d – diâmetro da partícula [m]

E – módulo de elasticidade de Young [GPa] F = força de contato [N]

Fcv – Força de contato vertical [N] Fch – Força de contato horizontal [N] Fn = força de contato na direção normal [N] Ft = força de contato na direção tangencial [N] F = força tangencial da partícula j [N]

F = força normal da partícula i [N]

F = força de amortecimento da partícula j [N] F = força de amortecimento da partícula i [N] i = identificação da partícula [-]

j = identificação da partícula [-]

kn = coeficiente de rigidez na direção normal [kN/m] kt = coeficiente de rigidez na direção tangencial [kN/m] l = distância entre o centro da partícula até a extremidade [m] mi – massa inicial do sistema sem material particulado [kg] mtp – massa total do sistema com material particulado [kg] n – número de repetições [-]

R – raio da partícula [m] P – porosidade (%) σ – tensão normal (kPa)

σ1 – tensão máxima de consolidação (kPa) σ3– tensão mínima de consolidação (kPa) τ – tensão ao cisalhamento (kPa)

ϕ – ângulo de atrito interno do material [°] α – plano de inclinação da força [°] μ = coeficiente de atrito interno [-]

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- incremento de sobreposição na direção tangencial do contato [m] – variação da deformação da partícula [m]

– atrito estático da partícula [-]

– atrito de deslizamento da partícula [-] β - ângulo de inclinação da curva [°]

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SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS...10 LISTA DE TABELAS...12 LISTA DE SÍMBOLOS...13 1 INTRODUÇÃO...18 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...20

2.1 CISALHAMENTO DE MATERIAIS CONTÍNUOS E PARTICULADOS...20

2.2 O MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS...22

2.2.1 O Intertravamento...23

2.2.2 Macro e Micro parâmetros do material...25

2.2.3 Modelos de Força de Contato...26

2.3 SOFTWARE PARA O MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS...28

3 MATERIAL E MÉTODOS...31

3.1 MATERIAL...31

3.2 MÉTODOS...33

3.2.1 Modelagem numérica...33

3.2.1.1 Atribuição de valores do material...34

3.2.1.2 Importação de geometrias...34

3.2.1.3 Criação do material particulado...35

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3.2.1.5 Lei de Contato...37

3.2.1.6 Simulação do cisalhamento computacional...38

3.2.1.7 Dados para pós-processamento...39

3.2.2 Determinação do coeficiente de atrito interno...39

3.2.3 Validação do modelo...40

3.2.3.1 Ensaios Laboratoriais...42

3.2.3.2 Ensaios Laboratoriais...42

3.2.3.3 Análise Estatística...43

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES...43

4.1 MODELO DE ENSAIO DE CISALHAMENTO EM PLATAFORMA YADE...43

4.2 PARAMETRIZAÇÃO...44

4.3 VALIDAÇÃO DO MODELO...45

4.3.1 Caixa de Cisalhamento de 100 mm e partícula de 1,2 mm...45

4.3.6 Comparação de médias...53

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5 CONCLUSÃO...57

6 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS...58

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...59

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1. INTRODUÇÃO

O material granular é um estado natural da matéria condensada. Para a ampla variedade de fenômenos macroscópicos observados nesse meio as propriedades físicas das partículas individuais é que influem no seu comportamento mecânico macroscópico, sendo evidência em pesquisas de diversas áreas. O entendimento do efeito dessas micro propriedades no comportamento do material auxilia o desenvolvimento de teorias para abordar questões específicas.

Na indústria, os estudos estão voltados para desempenho de máquinas, reduzindo forças de interações e, consequentemente, o desgaste (Obermayr et al., 2011). Em exploração de superfícies planetárias, desenvolvem-se modelos de interação entre rodas e materiais granulares com diferentes propriedades para estimativas da mobilidade de veículos em diferentes condições de terreno (Taheri et. al., 2015). Na agricultura, a teoria de materiais granulares é atrativa tanto em projeto de equipamentos para manipulação de grãos, sementes ou material a granel, com foco na redução de perdas e custos da produção (Pinto,2017), quanto em estimativa de esforços trativos no manejo do solo (Shmulevich, 2010) e em instalações.

A teoria de Mohr-Coulomb que é bastante utilizada em ensaios com caixa de cisalhamento para determinar propriedades mecânicas de solos como o ângulo de atrito interno e coesão, é utilizada também para definir macro parâmetros em diferentes materiais granulares biológicos e minerais (Coetzee, 2017).

De acordo com a teoria de Mohr-Coulomb, a força máxima de cisalhamento é proporcional à carga normal aplicada. Essa afirmação é válida também aos materiais granulares, pois quanto maior for essa carga maior será a média da força de contato distribuída entre as partículas, também conhecida como cadeia de força.

Contudo, é possível obter diferentes arranjos e intensidades de cadeias de forças para a mesma carga normal variando o diâmetro do particulado, que regula, simultaneamente, o nível de intertravamento das partículas, ou ainda, a área da seção da caixa de cisalhamento, que altera as propriedades macroscópicas de um particulado, pela simples variação de seu tamanho (Naka,2010). A influência desses fatores na resposta do material particulado a solicitações mecânicas aliada a não existência de uma teoria para explicar seu comportamento torna esse estudo complexo e desafiador.

As investigações nesse sentido estão nos seus estágios iniciais. A maioria dos trabalhos tem cunho experimental e, portanto, com possibilidades limitadas de variação das propriedades

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físicas das partículas e incipientes para esclarecer as causas do fenômeno (Berryand e Bradley, 2007).

A modelagem numérica, no entanto, é capaz de fornecer informações sobre as interações entre partículas durante o processo de cisalhamento tanto micro como macroscopicamente. Em 1979, Cundall e Strack apresentaram uma ferramenta capaz de simular através de cálculos interativos da lei de Newton, o comportamento de materiais granulares. O Método dos Elementos Discretos (MED), como é conhecido, calcula a translação e rotação de diversas partículas no espaço simultaneamente, definindo velocidade e aceleração a cada intervalo de tempo. Quando colisões entre partículas são detectadas, o método utiliza modelos de contato previamente definidos, para efetuar os cálculos de força e deformação dos corpos. A maior limitação do método está no número de partículas empregadas na simulação, que pode aumentar o tempo computacional exponencialmente (Horabik e Molenda, 2016). Para viabilizar a modelagem numérica de materiais granulares com grande número de partículas, como solos por exemplo, utilizam-se partículas maiores e em menor quantidade para reproduzir o mesmo comportamento daquelas do material real. Nessa abordagem, a determinação dos valores dos micro parâmetros do modelo de contato é o principal desafio para se reproduzir numericamente o comportamento macroscópico do material.

Para vencer tal desafio do MED, autores como Coetzee e Els (2009) e Coetzee (2016), ao utilizar o MED para modelar uma caixa de cisalhamento, desenvolveram um método de parametrização baseado na influência do coeficiente de atrito e rigidez da partícula no ângulo de atrito interno. Cui e O’Sullivan (2006) investigaram, através do MED, a influência da força normal na força de cisalhamento. Scholtès e Donzé (2015) mostram que a força de intertravamento é menor quando a partícula se deforma com facilidade para transpor os obstáculos, assim quanto maior a rigidez da partícula maior será a força resultante do intertravamento. Coetzee e Els (2009) comprovaram essa relação mostrando através de simulações que o ângulo de atrito interno aumenta quanto maior a rigidez da partícula, mas que acima de um determinado valor de rigidez a macro propriedade estabiliza-se.

Essas investigações constituem a base da parametrização utilizada no presente trabalho, que tem como objetivo o desenvolvimento de um código de simulação de cisalhamento em software de código aberto.

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2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 – CISALHAMENTO DE MATERIAIS CONTÍNUOS E PARTICULADOS

A resistência ao cisalhamento pode ser calculada pela teoria de Mohr-Coulomb que combina tensões normais (σ) e cisalhantes (τ). Essa combinação de tensões é inserida no círculo de Mohr para definir o estado de tensões em torno de um elemento do contínuo (Figura 01) através da “envoltória de Mohr” (Jenike, 1970), conforme mostra a Figura 02.

Figura 01 – Representação das tensões através de Mohr-Coulomb.

O material contínuo apresenta falha por cisalhamento em um plano inclinado com ângulo α em relação à horizontal. Ao definir esse ponto da máxima tensão cisalhante para diferentes tensões normais emprega-se a teoria de Coulomb para definição do ângulo de atrito interno e coesão do material:

= + . (1)

onde “τ” é a resistência ao cisalhamento, “c” a coesão, “σ” a tensão normal vertical e “ϕ” o ângulo de atrito interno do material.

Essa equação expressa a função de uma tangente aos pontos de ruptura designados pelo ângulo α no círculo de Mohr para diferentes valores de tensões normais. A coesão é definida quando se anula a tensão normal. O ângulo de atrito interno do material é definido pela inclinação da reta conforme Figura 02.

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Figura 02 - Envoltória de Mohr.

Os aparelhos de cisalhamento possuem um papel importante na determinação de propriedades do material, o ângulo de atrito interno e sua influência no comportamento macroscópico do material granular.

Hubbert, 1951, construiu um dispositivo para investigar o cisalhamento de materiais granulares pela equação de Mohr-Coulomb e iniciar as análises do atrito de partículas de areia. Krantz, 1990, utilizou esse dispositivo para mensurar os coeficientes de atrito para areia seca peneirada e mistura de areias. Schellart, 2000, realizou ensaios de cisalhamento para determinação de coeficientes de coesão e atrito para microesferas de vidro e açúcar. Desta forma, nota-se que a teoria de Mohr-Coulomb vem sendo empregado para diversos materiais granulares. Além do mais, há uma diversidade de aparelhos de cisalhamento existentes na literatura, dentre os mais relevantes e citados são os de Jenike (Milani, 1993 e Calil Jr. 1990), Schulze (Schulze, 2007), Walker (Berryand e Bradley, 2007) e Peschl (Schmitt e Feise, 2004), sendo que os de Jenike e Walker são recomendados para estudos com materiais granulares.

Dentre os tipos de ensaios de cisalhamento estão o translacional e o rotacional. O aparelho de cisalhamento de Jenike é um dos mais utilizados e referenciado pela norma ASTM D6128, 2001. Assim como os procedimentos de operação estabelecidos para o aparelho de Jenike, os resultados de aparelhos de cisalhamento circulares são mais simples de comparar com os de Jenike, similar a Figura 03. Por essas razões um aparelho de cisalhamento com caixas circulares será utilizado neste trabalho.

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Figura 03 – Aparato experimental e curva característica de um ensaio de cisalhamento com caixas circulares.

Fonte: Schulze (2007)

Naka, 2010 realizou um estudo de determinação das propriedades físicas e mecânicas dos grãos de mamona utilizando caixas circulares de cisalhamento translacionais, similares as utilizadas por Schulze (1992). Contudo, simulações numéricas não foram empregadas em sua investigação, limitando as análises na variação das propriedades do material, tais como rigidez, densidade e coeficiente de atrito. Naka,2010 concluiu que o tamanho da caixa tem influência na determinação dos parâmetros do comportamento do material dependendo do tamanho e forma das partículas O mesmo aparato experimental será empregado neste trabalho para validação do modelo como descrito no item 3.1.

2.2 – O MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS

O Método dos Elementos Discretos (MED), foi apresentado por Donald Greennspan (Greenspan, 1973). Um dos primeiros trabalhar com esse método, Cundall e Strack (1979), o tornam uma importante ferramenta para análise da deformação e movimentação de materiais granulares. Os cálculos realizados durante um ciclo de simulação no MED alternam-se entre a aplicação da segunda lei de Newton, aplicada às partículas, e a lei de força-deslocamento, aplicado no contato entre as partículas.

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O MED permite que o comportamento mecânico resultante da integração de todas as partículas, no estado macro, possa ser predito como resultado das interações no estado micro, isto é, entre as partículas ou entre as partículas e a superfície. Para isso, as micro propriedades do material, devem ser determinadas e constituem parte fundamental do MED, pois o comportamento macroscópico do sistema considerado na simulação é consequência das propriedades das partículas (Cil, M. B. e Alshibli, 2012).

Cui e O’Sullivan (2006) realizaram estudos de simulação de ensaios de cisalhamento utilizando o MED e empregaram nos ensaios laboratoriais um aparato de cisalhamento com caixas quadradas e taxa de deslocamento constante para investigar a influência da força normal. Além disso, investigaram os micro mecanismos presentes durante o ensaio. Para validar o modelo compararam resultados de ensaios e simulações computacionais, sendo que o material particulado foi composto por esferas de aço do mesmo tamanho que as empregadas na simulação.

Coetzee e Els (2009) investigaram a influência do coeficiente de atrito do material no ângulo de atrito interno para sementes de milho. Nas simulações, as sementes foram representadas por uniões de partículas esféricas, de diâmetros convenientes, para representar geometricamente a semente de milho. Nessa investigação, concluíram que no ensaio de cisalhamento tanto a rigidez quanto o coeficiente de atrito afetam o ângulo de atrito interno. Relataram que a rigidez das partículas afeta o comportamento macro do material, aumentando o efeito do intertravamento entre as partículas, resultando na maior dependência do valor do ângulo de atrito interno com a rigidez da partícula. Uma maior rigidez proporciona maior resistência ao deslizamento entre as camadas durante o cisalhamento.

2.2.1 – O Intertravamento

O mecanismo de intertravamento entre as partículas é fundamental para a descrição da deformação e escoamento de materiais granulares, onde o aumento da rigidez aumenta o ângulo de atrito interno isso devido a diminuição das deformações da partícula e aumento da resistência para transpor obstáculos. Neste podem ocorrer diferentes distribuições das cadeias de forças de contato entre partículas para uma mesma carga normal, trocando-se apenas o diâmetro das partículas.

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Na definição de cadeia de força consideram-se três condições: partículas estão próximas umas das outras; pressão atuante sobre cada partícula excede um certo limiar e a linha de conexão entre elas formam um ângulo maior que 150° (Figura 04), ou seja, os centros das três partículas quase que se alinham (Pöschel e Schwager, 2004).

Figura 04 – Representação de uma cadeia de força utilizando linhas em negrito com material granular.

A existência das cadeias de força não se restringe a um particulado específico, mas podem ser observados em vários sistemas granulares experimentais (Behringer,1993) e representadas numericamente (Schöllman, 1999). Assim, a ocorrência da cadeia de força é uma característica inerente do material granular e, sua distribuição afeta as propriedades macroscópicas de um particulado.

O efeito da rigidez das partículas com o intertravamento se manifesta no decorrer do cisalhamento (O’Sullivan, 2011). Quanto menor a rigidez das partículas maior a facilidade de deslocarem-se umas sobre as outras, devido a maior deformação. Isso gera menor resistência ao movimento e, consequentemente, menor intertravamento. Efeito contrário e obtido com o aumento da rigidez. Scholtès e Donzé (2015) mostraram o efeito desse fenômeno microscópico no comportamento macroscópico do material

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25

A Figura 05 ilustra a movimentação de partículas de mesmo diâmetro em um diâmetro de caixa de cisalhamento pré-determinado. Caso essa relação altere-se, seja no aumento do diâmetro das partículas ou diâmetro da caixa, o intertravamento será afetado conforme mostrado em a) cuja condição do centro das partículas estão apenas com a força de contato vertical (Fcv); b) condição em que há um aumento na área cisalhante mantendo-se o mesmo diâmetro de partícula da condição anterior e inicia-se a distribuição das forças de contato vertical e horizontal (Fcv e Fch) que indicam aumento da força cisalhante, ocasionando uma maior dependência com o intertravamento das partículas.

Figura 05 – Representação do intertravamento de partículas.

(a) (b)

Utilizando um particulado em caixas com áreas de seção cisalhantes diferentes, a análise geométrica, mostra que os centros das partículas aumentam suas distâncias verticais quanto menor for a área da seção. Isso reduz o somatório de forças de contato na horizontal, consequentemente, reduz a força de cisalhamento. Outro fator importante é que quanto maior a força de contato na horizontal maior a dependência do intertravamento com a rigidez da partícula, o que aumenta a influência no ângulo de atrito do material (O’Sullivan, 2011).

2.2.2 – Macro e Micro parâmetros do material

Os métodos para determinação de micro parâmetros, que são os dados de entrada do modelo, associam o comportamento macroscópico do modelo e material granular com as propriedades da partícula.

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Asaf et al., (2007) realizou simulações variando somente o valor do atrito entre partículas e verificou que a deformação sem deslocamento do particulado é dependente da rigidez da partícula, mas quando ocorre deslocamento de partículas, o atrito passa a reger o comportamento do material. Observaram que a resposta macroscópica da energia de deformação do material está relacionada com seus micro parâmetros e concluíram que a rigidez e o atrito das partículas afetam significativamente os valores dos macros parâmetros.

Coetzee e Els (2009) ao utilizar o MED para modelar o funcionamento de um ensaio de cisalhamento, desenvolveram um método de parametrização do modelo numérico ao identificar a influência do coeficiente de atrito do material no ângulo de atrito interno. Nessa análise, os resultados do ensaio de compressão mostraram uma dependência da rigidez da partícula. Entretanto, os resultados do cisalhamento determinaram que no ensaio de cisalhamento tanto a rigidez quanto o coeficiente de atrito afetam o ângulo de atrito interno do material. Tendo conhecimento da rigidez da partícula, resta definir o coeficiente de atrito entre as partículas que proporcione um valor de ângulo de atrito interno próximo ao encontrado nos experimentos. Deste modo, o mesmo método de calibração dos micro parâmetros do modelo serão empregado neste trabalho para calibração do modelo numérico como descrito no item 3.2.1.4.

2.2.3 – Modelos de Força de Contato

A relação força-deformação de um meio pode ser representando através de um modelo de contato, como ilustrado na Figura 06, que descreve as forças atuantes na interação de duas partículas (Horabik e Molenda, 2016). Essas forças são as normais, , e as tangenciais, , no ponto de contato. Os modelos podem incluir componentes de atrito e amortecimento.

Os modelos de contato mais comumente empregados para o cálculo de interações no MED entre as partículas utilizam molas lineares com constantes k e k para as direções tangencial e normal conforme mostrado na Figura 07, respectivamente, e em conjunto com as deformações tangencial e normal das partículas pode-se calcular as forças F e F (Cundall e Strack, 1979). Na força tangencial, considera-se o coeficiente de atrito μ. Coeficientes de amortecimento podem ser adicionados para representar o comportamento viscoso e as forças de amortecimento (F eF ) são determinadas em função de tais coeficientes e das velocidades relativas de deslocamento.

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Figura 06 – Modelo esquemático do contato entre partículas i e j.

Fonte: Ucgul et al., 2014

A força de contato na direção normal é dada por:

F ∑ (2)

onde é a rigidez da partícula da direção normal e é o incremento de sobreposição na direção normal do contato. Já a força tangencial é expressada por:

F = ∑ k U , para |∑ U | < μ |k | + F

(μF + F )sign (∑ U ), para |∑ k U | ≥ μ |k | + F (3) onde é o incremento do deslocamento na direção tangencial do contato, é o coeficiente de atrito interno e a força coesiva.

De maneira geral, os modelos de contatos no MED têm como referência o modelo apresentado na Figura 07, podendo exibir leis de contatos mais simples, com elementos elásticos apenas, ou mais complexas, por exemplo, com a introdução de coeficientes de travamento da rotação das partículas e de forças coesivas (Ucgul et al., 2015). A introdução de complexidades no modelo contato deve ser justificada, pois afetará diretamente no tempo computacional caso haja um número elevado de partículas.

De acordo Mindlin, 1949, a força de contato, , atuante entre duas esferas em uma pequena área de contato com raio a pode ser expresso por:

= (4)

onde:

i e j = partículas

= força tangencial da partícula j = força normal da partícula i

= força de amortecimento da partícula j = força de amortecimento da partícula i = coeficiente de atrito

(28)

onde, e são respectivamente o módulo de elasticidade de Young e o raio da partícula em análise. Além disso, a força tangencial pode ser atribuída o atrito de superfície entre as partículas, que é modelado através da lei de atrito de Coulomb que define:

= < _≥ (5)

onde, e são respectivamente os atritos estáticos e deslizamento da partícula.

Coetzee e Els (2009) utilizaram um modelo de contato simplificado para estudos de cisalhamento (Figura 07), onde foi considerado apenas a rigidez normal e tangencial e o atrito entre partículas. Embora seja um modelo simples de contato, foi útil na investigação da influência da rigidez e do coeficiente de atrito no valor do ângulo de atrito interno, assemelhando-se ao modelo de Cundall e Strack (1979). Esse modelo será utilizado no presente trabalho.

Figura 07 - Representação esquemática do modelo simples de contato entre partículas.

2.3 – SOFTWARE PARA O MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS

No âmbito de pesquisas científicas, a modelagem numérica tem ocorrido em diversas plataformas. Deve-se escolher a plataforma adequada para construir o cenário que contemple as premissas de cada trabalho.

(29)

29

Optou-se pela utilização da plataforma Yade, livre e de código aberto, já utilizada em trabalhos científicos e com recursos suficientes para atender os requisitos deste trabalho. O desempenho computacional do Yade é similar ao das plataformas comerciais e apresenta biblioteca enriquecida com vários modelos constitutivos de contato. A linguagem de programação utilizada pelo Yade versão 1.20.0 para o desenvolvimento do algoritmo de simulação é a Python Compilado.

O Yade utiliza o método de “Sweep and Prune” (Smilauer e Chareyre, 2015) mostrado na Figura 08, para detecção rápida de contato entre partículas usando o formato aproximado do “Bounding Volume”. Caso uma possível colisão seja identificada, a geometria da partícula é utilizada e os cálculos de interação se iniciam.

Figura 08 - Ilustração de detecção de colisões “Sweep e Prune”.

Após detecção da colisão, o Yade aplica um modelo de contato em cada objeto envolvido. No caso de duas partículas esféricas, é aplicado o modelo de força de contato para cada esfera (Smilauer e Chareyre, 2015) mostrado na Figura 09 e a rigidez da partícula pode se expressa pela Equação 13. A sua dedução é baseada através dos passos evidenciado pelas equações de 6 a 12.

(30)

Figura 09 – Partículas esféricas em contato. = + (6) = (7) = = = (8) ( + ) = (9) ( + ) = (10) + = (11) = (12)

=

(13)

onde, representa o módulo elasticidade e a deformação de cada partícula. Os índices 1 e 2 representam as distintas esferas.

Devido aos corpos criados no software serem indeformáveis, essas deformações são observadas através da sobreposição dos corpos (ou “overlap”), caso ocorra no material mostrado na Figura 10 (Smilauer e Chareyre, 2015).

(31)

31

Figura 10 – Sobreposição dos corpos.

3. MATERIAL E MÉTODOS

As simulações e ensaios de calibração e validação foram realizados no Laboratório de Propriedades Mecânicas de Materiais Biológicos da Faculdade de Engenharia Agrícola (FEAGRI) da Universidade Estadual de Campinas, durante o período de 2016 e início de 2018.

3.1 – MATERIAL

Para os ensaios de cisalhamento utilizaram-se esferas de aço carbono com diâmetros de 1,2±0,1 mm e 6,0±0,1 mm. A escolha desse material possibilita comparações com os trabalhos de Cui e O’Sullivan (2006) e O’Sullivan,2011 e a utilização das mesmas propriedades.

Nos ensaios foi utilizada uma balança digital, marca Bio Precisa, modelo BB 3000 com precisão de 0,1g, para pesar o material granular visando determinação da densidade e aferição da carga normal aplicada por um peso padrão (2 kg).

Uma máquina universal de ensaios – Ottowa Texture System equipada com um sistema de aquisição de dados modelo Spider 8, marca HBM foram utilizados para execução do ensaio de cisalhamento e aquisição de valores de força através de célula de carga tipo S da Série LC101-20 OMEGA com capacidade máxima de 200N. Os valores de deslocamento foram obtidos indiretamente utilizando-se do relógio do computador e a taxa de deslocamento constante do cabeçote da Máquina Universal estabelecida em 0,17 mm/s.

(32)

O aparelho de cisalhamento translacional mostrado pela Figura 11 foi construído em aço carbono e é composto por uma roldana e fio de ligação, com caixas de cisalhamento de 100, 150 e 200 mm de diâmetro em aço carbono com faces de deslizamento polidas para reduzir o atrito entre a caixa superior e inferior. A força normal foi aplicada utilizando-se de peso calibrado apoiado em disco rígido para distribuição da pressão.

Para medição do diâmetro médio das esferas de aço de 1,2 mm e 6,0 mm, foi utilizado um paquímetro digital, marca MITUTOYO, com resolução de 0,01 mm e recipientes cilindros para enchimento das células de cisalhamento.

Figura 11 – Aparelho de Cisalhamento Translacional.

Para a criação do modelo numérico, foi utilizado o software de código aberto Yade, 1.20.0 e processado por um intel®Core™i7-4790 CPU@3,60GHzx8, com memória de 32 GB em plataforma Ubuntu 16.04 LTS. Para o pós-processamento e análise de imagens, empregou-se o software Paraview SC17-5.5.

O ParaView é um software de análise e visualização de dados de código aberto. Com essa plataforma é possível criar visualizações para analisar dados de simulações do MED e a análise de dados pode ser feita de forma interativa em 3D.

Após a criação do programa de cisalhamento com o Yade, a obtenção de dados será iniciada. Esses dados podem ser salvos em arquivos texto para utilização de softwares mais

(33)

33

preparados para a análise de dados, no caso o Paraview, bem como as simulações salvas em arquivos para utilização no processamento de dados e imagens.

3.2 – MÉTODOS

3.2.1 – Modelagem numérica

Simulações do MED seguem a sequência de eventos: caracterização do material granular, importação ou criação de geometrias para simulação, definição da execução do programa e escolha dos valores a serem exportados para pós-processamento em softwares auxiliares. O fluxograma do algoritmo empregado nesse trabalho é ilustrado na Figura 12.

Figura 12 - Fluxograma da simulação no MED.

(34)

3.2.1.1 – Atribuição de valores do material

Para iniciar a simulação, os valores das propriedades físicas das partículas são necessários. Os valores de densidade, 7865kg/m³, coeficiente de Poisson, 0,3, coeficiente de amortecimento global, 0,22 e coeficiente de atrito, 0,45, foram extraídos de Budynas e Nisbett, 2012 e Coetzee,2017. Para as demais propriedades, tais como módulo de elasticidade e ângulo de atrito interno, será utilizado o método de parametrização proposto por Coetzee e Els (2009), na seção 3.2.2.

3.2.1.2 – Importação de geometrias

Os modelos tridimensionais de caixa de cisalhamento foram desenvolvidos utilizando-se software CREO Parametric 4.0 e exportados para a extensão stl do inglês "Standard

Tessellation Language", que pode ser importada pelo YADE como superfícies triangulares.

A Figura 13 e Tabela 1 mostram o formato e as dimensões das caixas de cisalhamento utilizadas nas simulações.

Figura 13 – Representação dos modelos de caixa de cisalhamento.

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35

Tabela 1 - Dimensões das caixas de cisalhamento.

Descrição da medição

Caixa 1 Caixa 2 Caixa 3 [Dimensões em milímetros] (2) Caixa S up er io r Diâmetro interno 100,8 156,0 204,0 Diâmetro externo 105,7 160,5 209,0 Espessura 2,3 2,5 2,7 Diâmetro do rebordo 113,8 168,0 216,0 Espessura do rebordo 5,2 5,4 5,1 Altura da caixa 44,9 44,9 44,9 (1) C ai xa I n ferio r Diâmetro interno 100,8 156,0 204,0 Diâmetro externo 105,7 160,5 209,0 Espessura 2,3 2,8 2,7 Diâmetro do rebordo 113,9 168,0 216,0 Espessura do rebordo 4,7 4,8 5,1 Altura da caixa 44,9 44,9 44,9

Os valores das propriedades do material construtivos das caixas de cisalhamento, aço, foram extraídos de Horabik e Molenda (2016), sendo 7865kg/m³, 210 GPa e 0,3 para a densidade, módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson, respectivamente.

3.2.1.3 – Criação do material particulado

Segundo O’Sullivan, 2011, o estado inicial do material particulado afeta seu comportamento macroscópico. Para identificar o método mais adequado para o preenchimento da caixa de cisalhamento com o material particulado, comparou-se procedimentos experimental e numérico utilizando esferas de aço de 6 mm de diâmetro e caixa de 100 mm de diâmetro.

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No procedimento experimental, o material foi depositado na caixa de cisalhamento, fazendo o material escoar de um recipiente mantido a uma distância de 20 mm da borda superior da caixa. Seguiu-se um ensaio de cisalhamento. Para a simulação, o material granular foi criado por uma função disponível no Yade que, de forma aleatória as partículas preencheram o volume da geometria. Para não ocorrer compactação e sobreposição de partículas antes do processo de aplicação de forças normal e tangencial, as dimensões do envoltório devem ser menores do que a seção da caixa, ou seja, para a caixa de diâmetro de 100 mm com altura de 90 mm, as dimensões do envoltório das partículas foram 95 mm de diâmetro e 75 mm de altura.

A Figura 14 ilustra a condição inicial desse envoltório cilíndrico posicionado dentro da caixa de cisalhamento que mostra a variação temporal, s, do processo. Após o início do programa, o envoltório das partículas é desfeito e a caixa de cisalhamento passa a ser a nova condição de contorno. Verificou-se que esse tipo de preenchimento gerou maior pressão nas partículas em contato com a parede (em vermelho) e, consequentemente o valor máximo da força de cisalhamento na simulação foi 5 vezes superior que o do ensaio. Concluiu-se que esse tipo de procedimento seria inadequado.

Figura 14 – Ilustração da presença de compressão nas partículas próximas ao contorno da caixa de cisalhamento logo após procedimento de preenchimento.

Partículas em vermelho: pré-carregadas Partículas em azul: sem carga

Assim, optou-se por preenchimento semelhante ao experimental. Para isso criou-se uma nuvem de partículas, sem interação inicial entre elas, em um envoltório cilíndrico com diâmetro um pouco menor que o da caixa, mas com uma altura adequada para inserir o volume desejado de partículas. Acionando-se a função gravidade da plataforma Yade, isto é, a aceleração da gravidade de 9,81 m/s², as partículas se acomodam e atingem equilíbrio estático com a altura

(37)

37

final próximo à altura das caixas. Com esse procedimento, ilustrado na Figura 15, a tensão inicial foi eliminada.

Figura 15 – Ilustração de procedimento de preenchimento das caixas de cisalhamento no qual a tensão residual no contato com o contorno é nula.

3.2.1.4 Porosidade

A porosidade (P) é a relação entre a massa de partículas (mtp) e a massa inicial do sistema sem partícula (mi), expresso em %. Assim como nos ensaios, foi realizada a verificação da porosidade inicial na simulação numérica a fim de obter as mesmas condições dos ensaios, visto que a porosidade é determinada pela porcentagem de espaços vazios existentes num determinado recipiente ocupado pelo material, ou seja, o volume de vazios dentro da caixa de cisalhamento.

3.2.1.5 Lei de Contato

O modelo de contato escolhido foi de Cundall&Strack, conforme ilustrado na Figura 7. O valor de é obtido a partir da Equação 13, sendo que a cada contato o programa detecta as deformações envolvidas, , e utiliza os módulos de elasticidade, , fornecidos. Para o nosso caso, o módulo é único e de valor constante. As deformações, consequentemente, são iguais em cada situação de contato, simplificando a relação da rigidez. Assumiu-se que o valor do material granulado seria igual ao módulo do aço, 210GPa, em vez de obtê-lo mediante o ensaio uniaxial confinado com as esferas utilizadas (Coetzee e Els, (2009)). O valor de também é calculado pelo programa

(38)

a partir da relação de = . O coeficiente de atrito interno, um micro parâmetro, foi obtido utilizando-se a parametrização proposta por Coetzee e Els (2009), mostra na seção 3.2.2.

3.2.1.6 – Simulação do cisalhamento

Após a inserção do material granular na caixa, iniciou-se a movimentação vertical do plano horizontal superior para gerar uma força normal de 20 N sobre as partículas. Em seguida iniciou-se o deslocamento horizontal da caixa superior a uma taxa de 0,17 mm/s partindo da posição inicial de 0,050 m até atingir a posição final de 0,035 m (Figura 16).

Figura 16 – Forças e deslocamentos na simulação.

Apesar da disponibilidade de caixas de cisalhamento com vários diâmetros, decidiu-se utilizar as de 100 mm de diâmetro, pois apresenta diâmetro semelhante a caixa de cisalhamento padrão de Jenike (95,25 mm de diâmetro) cujos procedimentos são regidos pela norma ASTM D6128, 2001.

(39)

39

3.2.1.7 – Dados para pós-processamento

Durante qualquer simulação, é possível armazenar de diversas informações geradas, tais como os valores de variação da força horizontal aplicada à caixa superior e seu deslocamento. Para o pós processamento são exportados arquivos “.txt” para utilização nas análises de dados. Esses arquivos armazenados foram utilizados para gerar o gráfico de cisalhamento e realizar animações. Os softwares utilizados foram o Paraview e Excel.

3.2.2 – Determinação do coeficiente de atrito interno

O método de parametrização proposto por Coetzee e Els (2009) tem como objetivo a determinação do coeficiente de atrito interno (μ) e do módulo de elasticidade do particulado ( ).

Neste trabalho, como o material utilizado foram esferas de aço, não foi realizado o ensaio uniaxial confinado para determinação do módulo de elasticidade do particulado. Em vez disso, assumiu-se o valor do módulo de elasticidade do aço de 210 GPa.

Continuando na metodologia de Coetzee e Els (2009), a equação 13 pode ser reduzida para a equação 16 para a determinação do coeficiente de atrito interno, considerando-se o diâmetro da partícula = , módulo de elasticidade ( ) igual para ambas as partículas, resultando em:

= = (14)

= (15)

= (16)

Utilizando-se da Equação 16, seguindo os procedimentos, variou-se o valor de kn de 300 a 800 kN/m em intervalos de 150 kN/m para obtenção dos valores dos módulos de elasticidade ( ) correspondentes. Com esse conjunto e obtidos, simulações numéricas foram feitas utilizando-se valores de atrito interno de 0,1, 0,12, 0,15, 0,20, 0,30, 0,40 e 0,50 (Tabela 2), resultando em 42 simulações. O resultado de cada simulação foi o valor do ângulo de atrito interno, um macro parâmetro. Esses pares ordenados foram colocados em um gráfico

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ângulo de atrito interno x coeficiente de rigidez da partícula, e para cada valor de coeficiente de atrito interno uma regressão linear foi realizada, obtendo-se 7 segmentos de reta.

Tabela 2 – Variação dos valores de Rigidez da Partícula (kn) e Módulo de Elasticidade (E) para variação do Coeficiente Atrito interno de 0,1, 0,12, 0,15, 0,20, 0,30, 0,40 e 0,50.

Rigidez da Partícula [kN/m] 300 450 500 600 650 800 Módulo de Elasticidade [GPa] 25 150 167 200 217 267

Após essa etapa de simulações numéricas e dando sequência ao método de parametrização, realizou-se um ensaio laboratorial utilizado uma caixa de cisalhamento de 100 mm de diâmetro, esferas de aço de 6 mm de diâmetro e com normais de 20N, 38N, 58N e 79N para determinação do macro parâmetro ângulo de atrito interno do material. Duas repetições foram realizadas para cada tensão normal aplicada (σ), registrando-se a tensão de cisalhamento (τ).

Esses pares ordenados foram colocados em um gráfico σ e τ, e foi realizada uma regressão linear, obtendo-se como resultado a inclinação da reta que representa o ângulo de atrito interno do material (ϕ). Isso está conforme o modelo de Mohr-Coulomb, mostrado na Equação 1.

Com esse valor do ângulo de atrito interno obtido experimentalmente, traça-se uma reta paralela ao eixo da rigidez (kn) em um gráfico de ângulo de atrito interno e rigidez da partícula. Posteriormente, traça-se uma segunda reta paralela ao eixo de ângulo de atrito interno com o valor de kn obtido para E=210GPa. O ponto de intersecção dessas retas pertence ao segmento de reta do coeficiente de atrito interno desejado, obtida por interpolação.

3.2.3 –Validação do modelo

Após a parametrização, isto é, determinados o micro parâmetros do modelo, é necessário validar o modelo. Para isso, foram realizadas simulações utilizando condições distintas daquelas da parametrização. As novas condições iniciais incluem variações no diâmetro da caixa de cisalhamento e no diâmetro da partícula, resultando em 5 combinações, conforme Tabela 3. Para cada combinação foram realizadas 10 repetições totalizando 50 simulações.

(41)

41

Tabela 3 – Combinações de diâmetros de caixa e partícula utilizados nas simulações e ensaios laboratoriais.

Número de Repetições = 10.

* Ensaio não realizado por não haver esferas suficientes para ensaio em laboratório.

Os resultados da simulação, valores do ângulo de inclinação da curva (β) da força de cisalhamento pelo deslocamento, da energia até a força máxima e da variação da força máxima de cisalhamento, foram comparados com aqueles obtidos nos ensaios laboratoriais conforme ilustra a Figura 17. Os limites superior e inferior correspondem a variação obtida com as repetições.

Figura 17 – Representação da inclinação, energia e força de cisalhamento utilizados na validação da simulação.

Diâmetro da caixa (mm) Diâmetro da partícula (mm)

1,2 6,0

100 A B

156 C D

(42)

3.2.3.1 – Ensaios Laboratoriais

Para os ensaios realizados no Laboratório de Propriedades Mecânicas dos Materiais Biológicos da Faculdade de Engenharia Agrícola da UNICAMP utilizou-se o equipamento de cisalhamento projetado e construído por NAKA (2010), ilustrado na Figura 11. As caixas de cisalhamento foram construídas em aço carbono com polimento nas bordas deslizantes para diminuir o efeito do atrito entre as partes superior e inferior. A força normal foi distribuída pelo material granular utilizando-se de um disco metálico rígido. A caixa superior foi conectada ao cabeçote da máquina universal por meio de um fio de aço (corda de violão). A mudança de direção do fio foi realizada por uma roldana de baixa atrito. Os procedimentos de ensaio seguiram a norma ASTM D6218.

A finalidade dos ensaios foi determinar as curvas de cisalhamento para as caixas de cisalhamento de diâmetro 100, 156 e 200 mm para comparação com os resultados equivalentes obtidos nas simulações. Devido a aleatoriedade do posicionamento inicial das partículas, tanto na simulação quanto no ensaio laboratorial foram realizadas 10 repetições de simulações e ensaios para cada combinação de diâmetro de caixa e de partícula.

3.2.3.2 Porosidade

A porosidade (P) é a relação entre a massa de partículas (mtp) e a massa inicial do sistema sem partícula (mi), expresso em %. Nos ensaios foi utilizada a balança digital para pesar o material granular para determinação da porosidade do material.

A porosidade é determinada pela porcentagem de espaços vazios existentes num determinado recipiente ocupado pelo material e pode ser expressada por:

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43

3.2.3.3 - Análise Estatística

Os valores médios do ângulo de inclinação, energia até a força máxima e a força de cisalhamento obtidos através do experimento foram comparados utilizando-se análise de variância (ANOVA) e teste de Tukey, aplicado com nível de significância de 5% (p<0,05).

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

4.1 – MODELO DE ENSAIO DE CISALHAMENTO EM PLATAFORMA YADE

Uma estimativa do tempo computacional foi obtida medindo-se algumas simulações, como observado na Tabela 4. O número de partículas e o tamanho (Tabela 5), como esperado, afeta o tempo computacional.

Tabela 4 – Estimativa do tempo computacional [h]. Diâmetro da Caixa [mm] Diâmetro da Partícula [mm] 1,2 6 100 24 5 156 35 17 200 60 30

Tabela 5 – Estimativa do Número de Partículas.

Diâmetro da Caixa [mm]

Diâmetro da Partícula [mm]

Simulado Laboratório Simulado Laboratório

1,2 6

100 15000 16200 2500 2800

156 28000 30240 6000 6240

200 40000 41600 - -

Outro fator verificado na comparação dos ensaios e simulações foi a porosidade inicial. Essa verificação é importante para garantir que ambas as condições se assemelhem. O valor médio da porosidade para simulação foi de 73,48% e para o ensaio 74,61%.

(44)

O algoritmo para desenvolvimento do programa de simulação numérica para cisalhamento de material particulado foi codificado utilizando a linguagem Python em código de plataforma aberta, no caso o YADE, e seu detalhamento pode ser visualizado no Anexo A.

4.2 – PARAMETRIZAÇÃO

Os ensaios de cisalhamento para se determinar o ângulo de atrito interno resultaram nos pontos mostrada na Figura 18. A equação obtida da regressão linear foi Y=1,4736x + 0,0139, com coeficiente de correlação de R²=0,9738, o coeficiente angular da reta fornece o ângulo de atrito interno de 56 graus.

Figura 18 – Determinação do Ângulo de Atrito interno.

Na sequência, seguindo o procedimento proposto por Coetzee e Els (2009) foram determinadas as retas para os vários coeficientes de atritos mostrados na Figura 19. Entrando-se com o valor de 56 graus e 630 kN/m, linhas pontilhadas na Figura 19, obtém-Entrando-se o ponto correspondente ao coeficiente de atrito interno desejado. O seu valor foi determinado por interpolação, sendo de µ = 0,39. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 T ensão de Ci salha m ento [ kP a]

(45)

45

Figura 19 – Relação da rigidez da partícula e ângulo de atrito interno para distintos valores do coeficiente de atrito.

Com essa etapa, todos os parâmetros para simulação numérica foram obtidos.

4.3 –VALIDAÇÃO DO MODELO

Neste tópico são apresentados inicialmente as curvas obtidas pela simulação e no ensaio seguido dos principais parâmetros de comparação de ângulo de inclinação, energia até a força máxima e a força de cisalhamento para as diferentes caixas de cisalhamento e diâmetros de partículas.

4.3.1 – Caixa de Cisalhamento de 100 mm e partícula de 1,2 mm

A figura 20 mostra a curva média dos valores de força de cisalhamento em cada instante da simulação e do ensaio laboratorial. Esse comportamento macroscópico é referente a relação de 100 mm de diâmetro de caixa e 1,2 mm de diâmetro de partícula.

(46)

Figura 20 – Curvas de cisalhamento para caixa de cisalhamento de diâmetro 100 mm com esferas de diâmetro 1,2 mm, ensaio e simulação.

Nota-se um salto no valor da força antes do deslocamento. Essa oposição ao movimento está interligada ao intertravamento do material particulado, que encontra uma resistência para transpor os obstáculos para movimentar-se, no caso, as próprias partículas.

As curvas obtidas na simulação e ensaio foram semelhantes. Isso é evidenciado nos valores mostrado na Tabela 6.

Tabela 6 – Valores médios (n=10) de força e inclinação das curvas de cisalhamento para ensaio e simulação de diâmetro 100 mm com esferas de diâmetro 1,2 mm.

Ensaio Simulação Ângulo de inclinação [graus] Força Média [N] Energia até Força Máxima [J] Ângulo de inclinação [graus] Força Média [N] Energia até Força Máxima [J] Média 78,11 21,68 50,51 80,53 21,85 47,40 Coeficiente de Variação 2,49 2,78 2,78 1,88 3,38 3,38 Limite Máximo 81,80 22,76 53,03 83,76 23,02 49,92 Limite Mínimo 74,79 20,60 47,98 78,12 20,36 44,16 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 For ça de Cisalh am en to [N] Deslocamento [mm] Simulação - YADE

(47)

47

Na Figura 21 manteve-se o diâmetro da caixa e o diâmetro da partícula foi aumentado em 5 vezes. Analisando-se a Tabela 7, novamente constata-se a semelhança dos resultados obtidos com o modelo e com o ensaio.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 For ça d e Ci salh am ento [N ] Deslocamento [mm] Simulação - YADE

(48)

Ensaio Simulação Ângulo de inclinação [graus] Força Média [N] Energia até Força Máxima [J] Ângulo de inclinação [graus] Força Média [N] Energia até Força Máxima [J] Média 84,21 33,33 93,52 83,85 34,60 158,74 Coeficiente de variação 3,13 7,09 2,78 1,87 7,29 3,38 Limite Máximo 87,00 36,75 98,18 86,58 41,00 167,18 Limite Mínimo 80,07 30,00 88,83 81,16 30,00 147,89

Comparando-se os valores de força média de cisalhamento obtida com a partícula de 1,2 e 6 mm de diâmetro na caixa de 100 mm, observa-se um aumento de aproximadamente 57% para a partícula de 6 mm. Com o aumento do particulado para as mesmas dimensões da caixa de cisalhamento o efeito do intertravamento entre as partículas é pronunciado. Nesse caso, a rigidez da partícula passa a exercer maior influência sobre o ângulo de atrito interno do material, devido a influenciar na transposição de obstáculos, conforme ilustrado na Figura 5.

Aumentando-se o diâmetro da caixa de cisalhamento para 156 mm, a força de cisalhamento do material particulado de 1.2 mm também aumenta em relação ao mesmo particulado na caixa de 100 mm. Esse fato é explicado pelo aumento do número de partículas na simulação, que provoca aumento da carga normal total suportada pelo material granular. Consequentemente a força de atrito entre as partículas também aumenta e afeta inclusive o ângulo de atrito interno do material. A Figura 22, mostra o comportamento médio do material simulado e em laboratório. Na Tabela 8 são mostrados os valores médios do ângulo de inclinação, energia até a força máxima e a força de cisalhamento.

(49)

49

Ensaio Simulação Ângulo de inclinação [graus] Força Média [N] Energia até Força Máxima [J] Ângulo de inclinação [graus] Força Média [N] Energia até Força Máxima [J] Média 84,01 27,65 72,76 80,74 30,23 92,82 Coeficiente de Variação 2,21 2,49 2,78 1,64 3,06 3,38 Limite Máximo 87,76 28,96 76,39 83,76 31,76 97,76 Limite Mínimo 81,07 26,48 69,11 78,93 28,40 86,48 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 F orça d e C is al ham ent o [N] Deslocamento [mm] Simulação - YADE

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O aumento da caixa de 100 para 156 mm de diâmetro não afetou o valor absoluto da força de cisalhamento do particulado com 6 mm. Dado o tamanho das partículas, o aumento do diâmetro da caixa não afetou significativamente no volume de partículas, promovendo pequena alteração no peso próprio do material e consequentemente da força cisalhante.

Na Figura 23 manteve-se o diâmetro de 156 mm e o diâmetro da partícula foi aumentado para 6,0 mm. Analisando-se a Tabela 9, constata-se a semelhança dos resultados obtidos com o modelo e o ensaio. Desta maneira, nota-se que em ambos os casos se obteve um baixo coeficiente de variação.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F orça d e Ci sal ham ent o [N] Deslocamento [mm] Simulação - YADE

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Ensaio Simulação Ângulo de inclinação [graus] Força Média [N] Energia até Força Máxima [J] Ângulo de inclinação [graus] Força Média [N] Energia até Força Máxima [J] Média 84,72 33,59 88,61 83,64 32,52 126,79 Coeficiente de Variação 3,09 4,06 2,78 2,15 3,06 3,38 Limite Máximo 89,17 35,62 93,03 87,21 34,17 133,54 Limite Mínimo 79,83 30,87 84,17 80,50 30,55 118,13

Para a última combinação utilizada na validação o diâmetro da caixa foi de 200 mm e o tamanho do particulado de 1.2 mm.

O número de partículas para essa combinação foi substancialmente maior. Observa-se na Figura 24 e Tabela 10 uma discrepância maior entre simulação e ensaio para o momento inicial do cisalhamento representado por β. No ensaio observa-se uma acomodação do particulado com o movimento horizontal da caixa, para depois a força de cisalhamento iniciar seu incremento. Já na simulação a curva apresenta concavidade oposta, indicando que a força de cisalhamento cresce logo nos primeiros instantes do movimento da caixa. Em posse desses resultados, observa-se que a divergência dos resultados possa estar direcionada ao fio de ligação.

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Ensaio Simulação Ângulo de inclinação [graus] Força Média [N] Energia até Força Máxima [J] Ângulo de inclinação [graus] Força Média [N] Energia até Força Máxima [J] Média 83,67 22,38 68,46 80,43 23,90 98,67 Coeficiente de Variação 2,78 4,40 2,78 2,01 3,38 3,38 Limite Máximo 87,84 23,79 71,87 83,76 25,17 103,92 Limite Mínimo 79,48 20,39 65,03 77,72 22,26 91,93 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 For ça de C isalh am en to [N] Deslocamento [mm] Simulação -YADE

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4.3.6 Comparação de médias

A comparação dos valores médios do ângulo de inclinação, energia até a força máxima e a força de cisalhamento foram feitas com mesmo diâmetro de caixa e mesma normal aplicada. Na totalidade dos ensaios e simulações observou-se um comportamento similar no cisalhamento de diferentes tamanhos de partículas e de caixas de cisalhamento.

Apesar desse comportamento similar, nota-se um aumento dos níveis de força que estão correlacionados ao diâmetro da partícula, o diâmetro da caixa de cisalhamento e o efeito do intertravamento das partículas. A análise de variância e significância das médias dos valores podem ser observados nas Tabela 11, 12 e 13 que estão divididas para cada combinação de diâmetro de partícula com diâmetro de caixa de cisalhamento.

Tabela 11 - Resultados da análise do Teste de Tukey para caixa Ø100 mm.

Diâmetro da Partícula [mm] 1,20 Energia até Força Máxima [J] Força Média [N] Ângulo de inclinação [graus] ensaio simulado 50,5 a** 21,8 a* 80,5 a 47,4 b** 21,7 a* 78,1 b 6,00 ensaio simulado 158,7 a 34,5 a 84,2 a 93,5 b 33,3 a 83,9 a

*Letra iguais na vertical representam significamente iguais estatisticamente.

**Letra diferentes na vertical representam significamente diferentes estatisticamente.

Para o diâmetro de partícula 1,2 mm, os valores médios de força são estatisticamente iguais e os valores médios de energia e ângulo de inclinação foram diferentes. No entanto, essa variação foi inferior a 5%.

Para a partícula de 6,00 mm, os valores médios de força e ângulo de inclinação foram estatisticamente iguais. Para energia, no entanto, essa variação ultrapassa os 25%, que pode ter