MODELO DE OTIMIZAÇÃO A USINAS INDIVIDUALIZADAS
PARA O PLANEJAMENTO ENERGÉTICO DA OPERAÇÃO
VIA MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES
Aníbal Tavares de Azevedo
FEEC - UNICAMP anibal@densis.fee.unicamp.br
Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira
IMECC - UNICAMP aurelio@ime.unicamp.br
Secundino Soares Filho
FEEC - UNICAMP dino@densis.fee.unicamp.br
Resumo
No Brasil, a geração de energia elétrica é predominantemente de origem hidraúlica. Para minimizar os custos de complementação termelétrica, considerando um horizonte de planejamento de vários anos à frente, é considerado o problema de determinar quanto cada usina hidrelétrica deve gerar em base mensal. A resolução do problema energético utiliza o controle preditivo por meio de um modelo de otimização determinístico, a usinas individualizadas, alimentado por um outro modelo estocástico de previsão de vazões. Diferentes modelos matemáticos, para a otimização determinística, são resolvidos via métodos de pontos interiores. Alguns casos são testados e implementados em MATLAB, demonstrando eficiência e robustez dos métodos.
Palavras chave: Programação Não-Linear, Planejamento da Operação Energética, Métodos de Pontos
Interiores.
Abstract
In Brazil, hydroelectric plants generate a large amount of electric energy. To minimize the thermal complementation for various years planning horizon is necessary to use a model decision that consider how much water will be used for energy generation for each hydroplant in a month base. To solve the energetic problem we use predictive control that combines deterministic optimization using individual hydroplant representation and forecast model for afluency preview. Mathematical models for deterministic optimization are developed and solved by interior-point methods. Some cases are tested in MATLAB, showing the efficiency and robustness of interior-point methods.
1. Introdução
No Brasil, em 2004, 86,6% da energia elétrica provinha de usinas hidrelétricas. Como algumas dispõem de reservatórios e grande capacidade de regularização, é usualmente adotado no setor elétrico um horizonte de planejamento de cinco anos, com discretização mensal, determinando a geração de cada usina. Porém, a conversão da água turbinada nas usinas em energia elétrica, assim como as funções de custo de complementação termelétrica são associadas a funções não lineares. Além disso, as afluências são aleatórias. Isso resulta em um problema de otimização de grande porte, estocástico e não linear.
Este trabalho segue a resolução do problema de planejamento energético por meio do controle preditivo, combinando um modelo de otimização determinístico a usinas individualizadas alimentado por um modelo estocástico de previsão de vazões. O estudo e implementação de um método de pontos interiores para a resolução do problema determinístico para diversos estudos de caso será abordado, comparando seu desempenho com um comando do MATLAB, o Fmincon.
Na Seção 2 é apresentado um primeiro modelo matemático determinístico e o correspondente método de pontos interiores para resolver o mesmo. Na Seção 3, são estudadas modificações do modelo estudado na Seção 2, possibilitando a construção de métodos de pontos interiores mais robustos e eficientes. Na Seção 4 são apresentados os resultados obtidos e uma discussão acerca dos mesmos. Por último, a Seção 5 fornece as conclusões e perspectivas de trabalhos futuros.
2. Modelo Matemático
Para resolver o problema energético, uma modelagem de fluxos em redes com restrições lineares e função objetivo não-linear foi utilizada. Para tanto, primeiramente os elementos constituintes de uma usina hidrelétrica são identificados na Figura 1.
Figura 1: Elementos e variáveis de uma usina hidrelétrica.
As variáveis da Figura 1 estão relacionadas por meio das equações dadas por (1):
t i t li i t i t i t i med t i t lii t i t i med t i t i t i t i q h k p pc u x h x x x v q u , , , , , , , , 1 , , , , , ) ( ) ( 2 = − − = + = + = −
θ
φ
(1) onde:u
i,t é a defluência (m 3 /s),q
i,t é a turbinagem (m 3 /s),v
i,t é o vertimento (m 3 /s),x
i,té o volumedo reservatório (hm3), φ é o polinômio de cota de montante, θ é o polinômio de cota de jusante,
pc
i,t é a perda de carga hidraúlica (m), ek
i é a produtibilidade específica (MW/m3/s).É necessário, também, expressar a equação de balanço energético (2) para cada usina i e período t: 6 , , 1 , ,
10
t k t k t u t i t it
u
y
x
x
iΔ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
∑
Ω ∈ − (2)onde: Ωi é o conjunto de usinas a montante à usina i, Δtt é o número de segundos do intervalo t e 10 6
é a quantidade m3 em um hm3.
Além disso, os limites de capacidade, dados por (3), devem ser respeitados:
t i t i t i t i t i t i u u u x x x , , , , , , ≤ ≤ ≤ ≤ (3)
onde:
[
x
i,t,
x
i,t]
e[
u
i,t,
u
i,t]
são os limites mínimos e máximos do armazenamento e da defluência dausina i no período t.
A função objetivo do problema, dada por (4), visa minimizar a complementação termelétrica:
∑
∑
= =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ψ
−
T t I i it tp
D
Min
1 1 ,)
)
(
(
(4)
onde:
D
t é o mercado de energia no período t, ψ(.) é a curva de custo total de produção do parque termelétrico, neste trabalho representada por uma função quadrática.O problema descrito por (1) até (4) é um problema de fluxos em redes não-linear com arcos capacitados, cuja formulação matricial simplificada é dada por (5):
max min
:
.
.
)
(
x
x
x
b
Ax
a
S
x
f
Min
≤
≤
=
(5)Utilizando que
~
x
=
x
−
x
min e eliminando os “tils”, sem perda de generalidade, e para maior clareza do texto:0
:
.
.
)
(
max
=
−
=
+
=
t
x
x
s
x
b
Ax
a
S
x
f
Min
(6)A função lagrangeana com barreira logarítmica associada ao problema (6) é dada por:
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − − − + − − − =
∑
∑
= = m i i m i i t t Ax b w x s x z x t s t y x f 1 1 max ) log( ) log( ) ( ) ( ~ ) ( ) (μ
l (7)0
0
~
0
0
0
0
~
)
(
1 1 max=
−
=
∇
=
−
−
=
∇
=
−
=
∇
=
−
+
=
∇
=
−
=
∇
=
−
−
−
∇
=
∇
− −e
μT
z
e
μS
w
t
x
x
s
x
b
Ax
z
w
y
A
x
f
t s z w y t xl
l
l
l
l
l
(8)onde: S e T são matrizes diagonais com elementos positivos.
A formulação (8) pode ser simplificada para a formulação (9), observando que
x
=
t
e que w w~=− :0
0
0
0
0
)
(
max=
=
=
−
+
=
−
=
−
+
−
∇
XZ
SW
x
s
x
b
Ax
z
w
y
A
x
f
t (9)Para simplificar a notação, define-se que
H
(
x
)
=
∇
2f
(
x
)
. Aplicando o método de Newton às condições de otimalidade (9): ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − c b a p d t r r r r r ds dz dw dy dx X Z W S I I A I I A x H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( (10) onde: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = − − = − = − + − ∇ = XZe e r SWe e r s x x r Ax b r z w y A x f r c b a p t d
μ
μ
max ) (Reescrevendo o sistema linear:
c b a p d t
r
Zdx
Xdz
r
Wds
Sdw
r
ds
dx
r
Adx
r
dx
x
H
dz
dw
dy
A
=
+
=
+
=
+
=
=
−
+
−
(
)
(11)Considerando que Z, X, W e S são matrizes diagonais com elementos positivos, e, portanto inversíveis, o sistema (11) é resolvido obtendo cada uma das direções conforme a Figura 2:
Figura 2:
Método de Pontos Interiores para o POLP.
Cabe destacar que:• O método da Figura 2 pode ser facilmente modificado para permitir a implementação do MPI preditor-corretor [6], que será o MPI adotado em todos os testes deste trabalho.
• A inversão de
AD
−1A
tenvolve a maior parte do esforço computacional do método. Neste sentido será particularmente importante explorar a estrutura esparsa da Hessiana da função objetivo H(x). Dado que A é mxn, m < n, tendo m linhas linearmente independentes e H(x) é a matriz Hessiana nxn associada a função objetivo f(x), definida positiva, então,
AD
−1A
t é simétrica e definida positiva e, na prática, é utilizada a decomposição de Cholesky para resolver o sistema linear [10].• Caso H(x) não seja uma matriz definida positiva, então, será utilizado o procedimento, descrito em [9], em que um valor λ é somado à diagonal principal da matriz Hessiana até que a mesma seja definida positiva, ou seja, será usada a hessiana perturbada
H
~
(
x
)
=
H
(
x
)
+
λ
I
.3. Particularidades do Problema
O modelo matemático apresentado na Seção anterior é o ponto de partida para a construção de outros modelos matemáticos e considerações acerca da resolução a ser empregada no problema energético. A seguir são abordadas e discutidas algumas particularidades do problema que irão demandar modificações no esquema básico de resolução do problema, descrito na Seção anterior.
(1) Defluência X Turbinagem e Vertimento:
Na Seção anterior, a variável x, do sistema (5), engloba dois conjuntos de variáveis: o volume t
i
x
, , e a defluênciau
i,t. Porém, ao realizar este tipo de consideração, a turbinagemq
i,t passa a ser uma variável dependente da defluênciau
i,t de acordo com a seguinte expressão:} , { , max, ,t it it i Max u q q = (12)
A expressão (12) é particularmente problemática se for observado que a função objetivo será descontinua na sua derivada primeira, gerando um ponto de quina. Isto serviu de motivação para a elaboração dos seguintes modelos matemáticos e métodos de resolução:
•
Modelo (x,u): Considera como variáveis de decisão o volumex
i,t, e a defluênciau
i,t. O método de pontos interiores não oferece nenhum tratamento especial para a quina, usando a expressão (12).•
Modelo (x,u) modificado ou (x,u)m: Considera como variáveis de decisão o volumex
i,t, e adefluência
u
i,t. Para calcular o valor da derivada primeira da função objetivo é utilizada a expressão ti t
i
u
q
,=
, , no lugar da expressão (12). A motivação para esta substituição é a de se verificar o quantoa solução obtida será diferente para uma solução cujo modelo matemático considera (12).
•
Modelo (x,q,v): Considera como variáveis de decisão o volumex
i,t, a turbinagemq
i,t e o vertimentov
i,t. A principal vantagem deste modelo é eliminar o problema oferecido pela expressão(12) ao considerar a defluência
u
i,t por meio da turbinagemq
i,t e o vertimentov
i,t. A desvantagem, porém, é que isto ocasiona um aumento de 50% no número de variáveis, aumentando o esforço computacional por iteração do método de pontos interiores.•
Modelo (x,q,v) modificado ou (x,q,v)m: Este modelo só difere do modelo (x,q,v) no sentido que avariável
q
i,t não pode exceder seu valor qimax,t . Portanto, para uma dada iteração, é efetuada a seguinte atribuição:⎩
⎨
⎧
=
>
=
≤
=
max , , max , , , , max , , ,,
,
t i t i t i t i t i t i t i t i t iSe
q
q
q
q
q
q
q
q
Se
q
.(2) Explorando a estrutura esparsa:
Considerando um modelo em que as variáveis de decisão são o volume
x
i,t, e a defluênciat i
u
, , podem ser considerados três possíveis estruturas esparsas:• Sem considerar nenhuma estrutura esparsa particular: formulação dada por (5).
• Considerando a partição da matriz A em submatrizes associadas às variáveis
x
i,t eu
i,t:max min max min
~
:
.
.
)
,
(
u
u
u
x
x
x
b
Su
x
A
a
S
u
x
f
Min
≤
≤
≤
≤
=
+
(13)• Considerando a partição, denominada Ai e Si, das submatrizes
A
~
e S: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = n n B B B B B B A L M M O M M L L L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ 3 2 2 1 e⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
M
M
M
M
S
L
M
O
M
M
M
L
L
L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.onde:
B
i é a matriz identidade dividida por um fator relativo ao número de segundos existentes para cada intervalo de tempo de um mês i selecionado e M é a matriz de incidência nó-arco para as variáveis de defluênciau
i,t.Para o caso em que as variáveis são
x
i,t,q
i,t ev
i,t, a consideração de estrutura esparsa é análoga. Assim, a formulação (5), comu
i,t=
q
i,t+
v
i,t, por exemplo, será dada por:v
q
q
q
x
x
x
b
Sv
Sq
x
A
a
S
u
x
f
Min
≤
≤
≤
≤
≤
=
+
+
0
~
:
.
.
)
,
(
max min max min (13) (3) Matriz Hessiana:
Para o caso em que as variáveis de decisão são
x
i,t eu
i,t a matriz Hessiana possui a seguinte estrutura: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = uu xu xu xx H H H H H (14)onde:
H
xx,H
xu eH
uu são matrizes diagonais associadas aos valores da derivada segunda da função objetivo.Uma opção, estudada neste trabalho, é considerar apenas as matrizes
H
xx eH
uu associadas à diagonal principal de H e verificar o desempenho dos métodos de pontos interiores ao utilizar esta aproximação da Hessiana.Para as formulações em que as variáveis de decisão são
x
i,t,q
i,t ev
i,t, a matriz H será dada por:⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
vv qv qv qq xq xq xxH
H
H
H
H
H
H
H
0
0
(15)(4) Desenvolvimento dos métodos de pontos interiores:
O desenvolvimento dos métodos de pontos interiores, apresentado na Seção 2, que será denominado desenvolvimento tradicional, possui uma desvantagem. Caso a estrutura esparsa a ser considerada seja modificada, então, todo o processo de construção do método de pontos interiores terá que ser refeito, do sistema (5) até as equações (11). Uma alternativa é utilizar a abordagem proposta por Gondzio e Sarkissian, descrita em [4].
A metodologia de Gondzio e Sarkissian consiste no desenvolvimento de um método de pontos interiores para uma matriz de restrições A genérica, como o modelo genérico dado na Seção 2. O segundo passo é determinar os blocos matriciais que compõem a matriz A, definindo as operações algébricas associadas a cada bloco. Cada bloco matricial deve tratar de maneira eficiente os seguintes cálculos matriciais:
1. Produto de matriz com vetor: Nz, Ntz para A, D e Φ. 2. Dados A e D, calcular Φ.
3. Calcular os fatores Φ=LLt
.
4. Resolver os sistemas Φx=b, Lz=g e Lt
z=g.
Estes cálculos são detalhadamente discutidos em [1, 4]. A principal vantagem deste enfoque é a reutilização de código implementado para os blocos matriciais, permitindo resolver problemas com diferentes tipos de estrutura esparsa com um pequeno tempo de desenvolvimento de software.
(5) Ponto Inicial:
Devido à característica não-linear da função objetivo é de fundamental importância o ponto inicial a ser utilizado pelo método de pontos interiores. Neste sentido foram testados quatro tipos de inicialização: uma inicialização genérica [10], uma inicialização específica para o problema energético proposta por [5], uma modificação da inicialização de [5] que privilegia a turbinagem média da vazão afluente e uma segunda modificação de [5] que procura atribuir o valor máximo da turbinagem para todas as usinas em todos os períodos.
(6) Parâmetros do MPI:
O parâmetro de centragem é fixado em δ = 1/n, o passo máximo é
τ
=0.995, o número máximo de iterações é de 100, e o GAP γ é calculado como descrito em [6, 10].A seguir um resumo das opções de dedução de métodos de pontos interiores existentes: • Formulações: (x,u), (x,u) modificado, (x,q,v) e (x,q,v) modificado.
• Estrutura esparsa: A, A e S, Ai e Si.
• Matriz Hessiana: tridiagonal (completa) ou diagonal.
• Método de desenvolvimento do método de pontos interiores: tradicional ou por blocos. • Inicializações: quatro tipos, uma genérica e três específicas do problema.
Com isto é possível dizer que existem 196 possíveis versões de MPI, sendo que foram implementadas 96 versões. Para a estrutura esparsa A foram implementadas todas as opções descritas anteriormente, não sendo feito o mesmo para as demais estruturas. Isto foi feito, pois os estudos de desempenho para a estrutura A servirão para priorizar a implementação das demais opções, para as estruturas esparsas A e S, e Ai e Si.
4. Resultados e Conclusões
O primeiro teste computacional é verificar a eficiência e a qualidade das soluções obtidas em função da formulação escolhida. Para tanto, foi escolhida a usina de Furnas, considerando as condições (I):
(I.1) Volume inicial e final iguais a 100% do volume útil. (I.2) Discretização mensal das decisões.
(I.3) Matriz Hessiana diagonal.
(I.4) Desenvolvimento tradicional do MPI. (I.5) Inicialização genérica.
Para o conjunto de condições (I) foram considerados três períodos hidrológicos: • Caso 1: período seco (1950-1960).
• Caso 2: período úmido (1980-1990).
Os resultados de tempo computacional e o valor da função objetivo para a solução final obtida utilizando o método de pontos interiores e o comando de otimização não-linear Fmincon [8] estão nas Tabelas 1 e 2, respectivamente. O computador utilizado tem um processador Pentium, 1500 MHz, 256 M de Ram e todos os programas foram elaborados e executados em MATLAB 6.1 no ambiente Windows 2000.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
(x,u) 0.14 0.39 3.08 (x,u)m 0.14 0.17 2.23 (x,q,v) 0.23 0.30 5.45 MPI (x,q,v)m 0.27 0.23 3.31 (x,u) 110.51 213.96 * (x,u)m 100.32 200.47 * (x,q,v) 3043.03 3213.34 * Fmincon (x,q,v)m 3128.842 3160.31 *
* Ultrapassou o limite de tempo máximo de 4 horas ou 14400 segundos.
Tabela 1: Tempos computacionais em segundos para o MPI e o Fmincon.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
(x,u) 155672856.9043 78244572.6533 757625487.9035 (x,u)m 155672826.2132 79266935.7545 758746329.5675 (x,q,v) 155677740.9685 77959751.1444 757336964.7078 MPI (x,q,v)m 155677022.7152 77966504.0558 757420839.6995 (x,u) 155672828.7482 77935040.6946 * (x,u)m 155672828.7400 79621937.9600 * (x,q,v) 155672840.3790 77991960.3306 * Fmincon (x,q,v)m 155673029.9260 77994420.9217 *
* Ultrapassou o limite de tempo máximo de 4 horas ou 14400 segundos.
Tabela 2: Valores da solução final obtida pelo MPI e pelo Fmincon.
Um maior valor da função objetivo foi obtido para os modelos que utilizam defluência ao invés de turbinagem e vertimento no Caso 2 e no Caso 3. Para esclarecer esta diferença, foi elaborado o Caso 4 em que são consideradas as condições descritas anteriormente, mas analisando o período de 1982 até 1983. Os resultados, obtidos apenas por meio de método de pontos interiores, podem ser observados na Tabela 3 e na Figura 3.
(x,u) (x,u)m (x,q,v) (x,q,v)m
Tempo(s) 0.05 0.05 0.05 0.06
Valor da F.o. 839909.7383 1016323.6633 660416.5117 660416.4852 Tabela 3: Valores da função objetivo e tempo computacional do MPI para o Caso 4.
Figura 3: Valor da defluência, em m3/s e sob a legenda de “efetiva”, proposta pela solução de cada formulação para cada um dos doze meses do período de maio de 1982 até abril de 1983.
A partir da Figura 3 é possível observar que soluções em que a afluência é tal que a solução ótima consiste em defluir acima da capacidade máxima de turbinagem, ou seja, em que ocorre vertimento, as formulações que utilizam a defluência como variável podem apresentar solução final maior do que as formulações que utilizam turbinagem e vertimento.
Outro teste relevante é verificar o ganho computacional que pode existir caso quando apenas a diagonal principal da Hessiana é considerada nos cálculos de otimização do MPI. Para tanto, o Caso 4 foi utilizado e os resultados obtidos para o MPI com Hessiana diagonal já foram descritos na Tabela 3. A Tabela 4 fornece os resultados para Hessiana Tridiagonal.
(x,u) (x,u)m (x,q,v) (x,q,v)m
Tempo(s) Não Convergiu 0.06 0.06 0.06
Valor da F.o. Não Convergiu 1088487.3601 660416.6462 660416.6462
Tabela 4: Valores da função objetivo e tempo computacional do MPI para o Caso 4 considerando
Hessiana Tridiagonal.
Pela Tabela 4 é possível verificar que a qualidade da solução obtida utilizando a Hessiana Tridiagonal não difere da qualidade da solução obtida pela Hessiana Diagonal. Para verificar se o custo computacional de utilização da Hessiana Tridiagonal, no caso de uso do MPI, é incrementado conforme a dimensão do problema é aumentada, foram utilizados os Casos 1, 2 e 3. Os resultados das Tabelas 5 e 6 são para Hessiana Tridiagonal e devem ser comparados com os resultados das Tabelas 1 e 2 para o MPI.
(x,u
(x,u)m
(x,q,v)
(x,q,v)m
mesesm
3/s
mesesm
3/s
mesesm
3/s
mesesm
3/s
Caso 1 Caso 2 Caso 3
(x,u) 0.28 Não Convergiu Não Convergiu
(x,u)m 0.22 0.27 6.16
(x,q,v) 0.34 1.05 24.31
MPI
(x,q,v)m 0.34 0.92 61.97
Tabela 5: Tempos computacionais em segundos para o MPI usando Hessiana Tridiagonal.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
(x,u) 155672772.5747 Não Convergiu Não Convergiu
(x,u)m 155672829.0420 79282558.1481 758755037.7081 (x,q,v) 155672762.6782 77933436.5104 757325878.7545 MPI
(x,q,v)m 155672744.5625 77931339.7388 757325867.4250 Tabela 6: Valores da solução final obtida pelo MPI usando Hessiana Tridiagonal.
Comparando as Tabelas 1 e 2 com as Tabelas 5 e 6 é possível verificar que o MPI, utilizando Hessiana Tridiagonal, obteve uma melhoria na função objetivo: no Caso 1 uma melhoria de 0.001 % , no Caso 2 uma melhoria de 0.1% e no Caso 3 uma melhoria de 0.01 %. Esta melhoria, porém, acarretou um acréscimo no tempo computacional: até 50% no Caso 1, até 250% no Caso 2 e até 1772% no Caso 3.
Um último teste com o MPI é realizado para casos com mais de uma usina, considerando: • O conjunto de condições (I).
• Para os modelos com turbinagem e vertimento o ponto inicial considerado foi o proposto por [5]. • A afluência considerada é a do período seco (1950-1960) – Caso 5, e a do período úmido (1980-1990) – Caso 6.
• São consideradas sete usinas: Emborcação, Itumbiara, São Simão, Furnas, Marimbondo, Água Vermelha e Ilha Solteira, cuja potência instalada conjunta corresponde à 12824 MW, ou seja, 5.33% da capacidade instalada das usinas hidrelétricas do SIN de acordo com o ONS.
Os resultados do MPI para estas considerações estão nas Tabelas 7 e 8.
Caso 5 Caso 6
(x,u) Não Convergiu Não Convergiu
(x,u)m 4.94 Não Convergiu
(x,q,v) 18.52 13.89
MPI
(x,q,v)m 20.36 15.00
Tabela 7: Tempos computacionais em segundos para o MPI.
Caso 5 Caso 6
(x,u) Não Convergiu Não Convergiu
(x,u)m 11558276721.9093 Não Convergiu
(x,q,v) 11293032665.3163 5771611281.5604 MPI
(x,q,v)m 11292294907.4957 5771446805.4684 Tabela 8: Valores da solução final obtida pelo MPI.
A Tabela 9 resume as dimensões dos problemas relacionados com cada caso resolvido:
Número de variáveis Número de restrições
Caso
(x,u) e (x,u)m (x,q,v) e (x,q,v)m (x,u) e (x,u)m (x,q,v) e (x,q,v)m
1 240 360 360 480 2 240 360 360 480 3 1608 2412 2412 3216 4 24 36 36 48 5 1680 2520 2520 3360 6 1680 2520 2520 3360
5. Trabalhos Futuros
Para trabalhos futuros é interessante realizar os seguintes testes computacionais:
• Verificar o desempenho do MPI para diferentes valores dos parâmetros δ e
τ
, bem como implementar uma busca unidimensional para o cálculo do passo máximo.• Para o Caso 6 , a melhor inicialização para os modelos com variáveis x, q e v foi a proposta por [5], sendo que a inicialização genérica de [10] não apresentou bom desempenho. Portanto, para problemas com maior número de usinas deverão ser formulados novos tipos de inicialização.
• Implementar as demais opções faltantes de MPIs, implementando todas as 196 opções possíveis de MPIs e testando para casos com maior número maior de usinas.
• A inicialização possui grande peso no número de iterações e até mesmo na convergência ou não do método de pontos interiores. A pesquisa por mais opções de inicialização é uma escolha importante.
Agradecimentos
Este trabalho contou com o suporte financeiro da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES).
Referências Bibliográficas
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[6] Mehrotra, S. “On implementation of a primal-dual interior point methods”, SIAM Journal on
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[10] Wright, S. J., “Primal-Dual Interior Point Methods”, SIAM Publications, SIAM, Philadelphia, PA, USA, 1996.
